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<p>Colección Compendios UNI Lumbreras Editores</p><p>Coleccion Compendios Académicos UNI Física Juan Infante Carrascal Victor Canchos López Iván Becerra Tello Fernando de la Cruz Echaccaya Charles Paucar Damas José Mateo Torres Francisco Haro Sánchez Lumbreras Editores</p><p>Índice Presentación 7 Capítulo I. Análisis dimensional 9 Capítulo II. Análisis vectorial 20 Capítulo III. Cinemática de una partícula en una dimensión 41 Capítulo IV. Cinemática de una partícula en dos dimensiones 61 Capítulo V. Gráficas del movimiento 76 Capítulo VI. Estática 93 Capítulo VII. Dinámica 121 Capítulo VIII. Trabajo mecánico y energía 144 Capítulo IX. Impulso y cantidad de movimiento 167 Capítulo X. Gravitación 186 Capítulo XI. Oscilaciones 210 Capítulo XII. Ondas mecánicas 227 Capítulo XIII. Estática de fluidos 242 Capítulo XIV. Fenómenos térmicos 257 Capítulo XV. Termodinámica 271 Capítulo XVI. Electrostática 287 Capítulo XVII. Electrodinámica y Capacitores 315 Capítulo XVIII. Electromagnetismo 345 Capítulo XIX. Ondas electromagnéticas 375 Capítulo XX. Óptica geométrica 390 Capítulo XXI. Física moderna 415 Claves 428 430</p><p>Presentación La realidad de la educación en el Perú es hoy algo preocupante. Los distintos esfuerzos provenientes del Gobierno no se ven reflejados en avances significa- tivos en este aspecto. Las políticas educativas nos muestran resultados negativos desde hace ya muchos años, y es poco lo que los estudios y las propuestas han logrado mejorar en las condiciones del sistema educativo; peor aún, permiten las desigualdades a nivel socioeconómico en las zonas rurales más alejadas del país; es decir, los estudiantes reciben una educación de baja calidad y en condiciones precarias. En este contexto, los esfuerzos por aportar al desarrollo de la cultura y la educación en el país serán siempre valorados. Es así que, conscientes de esta realidad, la Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Afined), a través de su sello Lumbreras Editores, tiene como uno de sus objetivos contribuir al desarrollo de la educación; ello se cristaliza a través del aporte de los profesores del Instituto de Ciencias y Humanidades, quienes han sistematizado los materiales de manera didáctica gracias a su amplia experiencia docente que garantizan un contenido de calidad y, sobre todo, siempre accesible a los sectores populares, sumado a la presencia de nuestro sello editorial en distintos puntos del territorio nacional. En esta ocasión presentamos el libro Física, perteneciente a la colección Compendios Académicos UNI, publicación dirigida al estudiante preuniversitario, que constituye una herramienta útil para reforzar sus conocimientos gracias al trabajo así como a los problemas resueltos y propuestos mostrados por niveles, que permiten una mejor comprensión del tema. Este libro se constituye en material de consulta no solo para alumnos, sino también para docentes, tanto de los ultimos años del nivel escolar como preuniversitario. Finalmente, nuestra institución reafirma su compromiso con la educación y la cultura del contribuyendo en la elaboración de libros de calidad, además de promover el trabajo de investigación, que nos permite acceder a una educación cientifica y todo ello siempre al servicio de los sectores más amplios de nuestra sociedad.</p><p>Capítulo I: Análisis dimensional Análisis dimensional Capítulo I OBJETIVOS Relacionar las magnitudes físicas derivadas con las fundamentales. Expresar la ecuación dimensional de las principales magnitudes físicas. Aplicar las principales reglas para validar dimensionalmente una fórmula física. 1. Magnitudes físicas 2 kg = 2 kg/m Son todas aquellas propiedades o características 1 m que presenta la materia y que pueden ser me- 1.1.2. Por su naturaleza dibles. 1.1. CLASIFICACIÓN a. Magnitudes escalares Son aquellas cuya medida se expresa correc- 1.1.1. Por su origen tamente con un número real y una unidad de medida. a. Magnitudes fundamentales Son aquellas que sirven como base para la for- Ejemplos mación de nuevas magnitudes. El terreno tiene un área de 120 Ejemplos: la longitud, la masa y el tiempo La temperatura en la Antártida es b. Magnitudes derivadas b. Magnitudes vectoriales Son aquellas que se obtienen a partir de la com- Son aquellas cuya medida se expresa correcta- binación de las magnitudes fundamentales. mente con un número positivo, una unidad de Ejemplo: la densidad lineal de masa medida y una dirección. masa: 2 kg Ejemplo El auto se desplaza 2 km hacia el este. longitud: 1 m N 2 km masa = longitud E 9</p><p>Lumbreras Editores 1.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA Nombre de la Símbolo Unidad de Símbolo de la uni- magnitud dimensional medida dad de medida Longitud L metro m Masa M kilogramo kg Tiempo T segundo S Temperatura e kelvin K Intensidad de I amperio A corriente Intensidad J candela cd luminosa Cantidad de N mol mol sustancia 1.3. ECUACIÓN DIMENSIONAL Consiste en establecer la relación correcta entre las magnitudes derivadas y las fundamentales, así como validar a nivel dimensional las fórmulas o ecuaciones que relacionan las magnitudes físicas que intervienen en un determinado fenómeno. Notación Sea A el símbolo dimensional de una magnitud física derivada. Entonces se denota así: "ecuación dimensional de A". Se debe expresar en función de las magnitudes fundamentales. símbolos dimensionales de magnitudes físicas fundamentales Además, x; y; z; w son exponentes, es decir, son números 10</p><p>Capítulo I: Análisis dimensional OBSERVACIÓN Ahora realicemos un análisis, tan solo, de las dimensiones. Para esto nos basamos en la rela- Toda expresión numérica o medida an- gular no presenta dimensiones físicas, ción ya establecida en consecuencia área=bxh y aplicamos el operador de la ecuación dimen- Número o sional a cada miembro de la ecuación. =1 medida angular Ambas son longitudes, La ecuación dimensional de una ex- entonces y presión numérica o medida angular es la unidad. Reemplazamos. Ejemplos [área]=L2 Este resultado significa que las dimensiones del área se expresan como dimensiones de la lon- [sen gitud elevada al cuadrado. Aplicación 2 Para lograr establecer la ecuación Determine la ecuación dimensional del volumen: dimensional de una magnitud, es ne- [volumen]. cesario que se logre establecer la re- lación que existe entre esta magnitud Resolución y otras que también participan en un Como aspecto previo, es conocido que el volumen determinado fenómeno. de un paralelepípedo se calcula así: De estas últimas se debe conocer sus ecuaciones dimensionales. T Aplicación 1 altura: h Determine la ecuación dimensional del área: [área]. área de la base: Resolución Como un aspecto previo, es conocido que T Aplicamos el operador ] en ambos miembros h=1,5m de la ecuación. H b=2 m Sabemos que y área = : [volumen]=L3 área =3m2 11</p><p>Lumbreras Editores Aplicación 3 Aplicamos el operador en ambos miembros Determine la ecuación dimensional de la densi- de la dad: Resolución Como aspecto previo conocer que la densidad de un cuerpo nos expresa qué canti- las reglas del álgebra. dad de masa se encuentra contenida en un de- terminado = M La ecuación dimensional debe expresarse en una densidad sola volumen: = 1.4. ECUACIONES DIMENSIONALES DE LAS PRINCIPALES MAGNITUDES DERIVADAS Y SUS UNIDADES DE MEDIDA Nombre Símbolo Ecuación dimensional Unidad de medida velocidad aceleración a fuerza F newton (N) trabajo W joule energía E (J) potencia P watts (W) cantidad de p movimiento presión P pascal (Pa) PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Establece lo siguiente: sean A, B y símbolos dimensionales de magnitudes físicas que se relacionar mediante la siguiente ecuación: donde y B son expresiones numéricas. SI la ecuación mencionada es dimensionalmente correcta, entonces se debe verificar que [A]=[B]=[C] Esto significa que los términos de la ecuación que se suman o restan deben tener las mismas dimensiones 12</p><p>PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Resolución Sobre un cuerpo actúa una fuerza que depen- Nos piden [y]. de de la velocidad (u) de acuerdo a la expresión Determine la ecuación dimensional de Aplicamos [ ] en ambos miembros de la ecua- ción. la constante K. Resolución Nos piden [K]. Partimos de la ecuación dada y aplicamos [ ] a ambos miembros de la ecuación. Como A es altura [A]=L (II) Aplicamos las reglas del álgebra. Además como es homogénea, entonces tienen las mismas dimensiones. (*) Luego Por propiedad, sabemos que [-1]=1 (III) expresión numérica Por otro lado, sen(Bt) es un número. Además, de la tabla se conoce que [sen(Bt)]=1 (IV) y (Bt) es un ángulo. Reemplazamos en la expresión (*). [Bt]=1 (V) = Reemplazamos los resultados parciales (II), (III), en Problema 3 El tiempo que demora una pequeña esfera para Problema 2 realizar una oscilación completa, atada a una Dada la siguiente ecuación dimensionalmente cuerda de longitud L, se obtiene mediante la siguiente ecuación: donde n es un nú- homogénea, determine las dimensiones de y si mero real y g es la aceleración de la gravedad. A es altura es tiempo. Si se sabe que la ecuación dada es dimensional- = mente correcta, determine x.y. 13</p><p>Lumbreras Editores Resolución Se trata de un instrumento denominado "péndulo ser iguales. Los exponentes de bases iguales simple" y según el enunciado se verifica Nos piden x.y. (III) Reemplazamos (III) en (II). L 1 (IV) Finalmente reemplazamos (III) Como la ecuación dada es dimensionalmente correcta, entonces (I) Problema donde En la ecuación es una densidad - [t]=T volumétrica de masa. Si el producto tiene - longitud (II) unidades de masa, calcule la dimensión dex. - g: aceleración UNI - n: número [n]=1 Resolución Reemplazando los resultados parciales de (II) Nos piden calcular [x]. Para ello debemos en la ecuación (I). de la ecuación dada. donde e se denomina base de logaritmo nepe riano y su valor es e=2,718. Acomodamos la expresión y aplicamos las reglas del álgebra. Luego exponente = a número número 14</p><p>Capítulo I: Análisis dimensional Analizamos el exponente. Problema 5 Un líquido en movimiento satisface la siguiente número ecuación: número = donde P2 es la presión, p es la densidad volumé- Aplicamos [ ] en ambos miembros de la ecua- ción. trica, h es la altura y U es la rapidez. Determine x+y. (g = 9,81 Resolución (I) De la ecuación dada, determinamos las ecua- Por condición del ejercicio, Z es densidad. ciones dimensionales de las magnitudes que intervienen. (II) - P2: presión Reemplazamos (II) en - p: densidad - h: altura [h]=L - - rapidez (III) - g: aceleración de la gravedad Por otro lado, nos plantean en el ejercicio que Como la ecuación [x].[y]=M (IV) es dimensionalmente correcta, entonces Como nos piden [x], entonces dividimos (IV) entre (III). (II) M De la igualdad Elevamos 1/2 en cada miembro de la ecuación. 2 [x]=M.L-3/2 15</p><p>Lumbreras Editores Reemplazamos las ecuaciones dimensionales. Pero no se conoce en forma de la dependencia entre las magnitudes. Entonces, forma general podemos establecer la siguiente relación: (I) -x=-2 x=2 (III) donde K es una constante adimensional. De la igualdad (II) Para determinar los valores considerar que la ecuación es dimensional- mente correcta. (II) Reemplazamos las ecuaciones dimensionales. = Las magnitudes que intervienen presentan las siguientes ecuaciones dimensionales: - ves velocidad -2+y=-1 y=1 (IV) - K es adimensional [K]=1 - P es presión Finalmente, nos piden x+y - D es densidad De las expresiones x+y=2+1 Reemplazamos las ecuaciones dimensionales en x+y=3 la ecuación (II). La velocidad del sonido en un gas depende de la presión (P) del gas y de la densidad (D) del mismo. Determine mediante el análisis dimen- sional la fórmula de la velocidad del sonido en cualquier gas. (K: constante adimensional). 2 Resolución De acuerdo a lo enunciado Finalmente reemplazamos en (1). presión del 1/2 velocidad del depende gas (P) sonido (v) densidad del gas (D) 16</p><p>PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL BÁSICO 1. Una moneda es lanzada sobre un plano Sinesel número del armónico, halle [K]. inclinado tal como se muestra, además, la fuerza resultante que experimenta se ex- A) B) C) presa como Determi- D) E) ne [B]. 5. La energía mecánica asociada a su oscilador A) LT2 armónico se determina de la siguiente forma: B) m: masa de la C) L2 moneda 2 D) LT-2 donde x es la posición del bloque y es su E) velocidad. Determine si la ecuación dada es dimensionalmente correcta. 2. Una canica escapa del borde de un edificio y la altura a la cual se encuentra luego de un A) B) C) tiempo t, se determina mediante la siguiente ecuación: Determine D) E) 6. que experimenta una partícula elec- A) B) C) trizada con en el interior de un campo D) E) electromagnético se expresa de la siguiente forma: 3. Un avión en vuelo no cae debido a que ex perimenta una fuerza sobre sus alas minada fuerza de sustentación, y se evalúa donde es la velocidad de la partícula e de la siguiente forma: es la intensidad de corriente. Determine [E-B]. A) B) C) D) E) donde p es la densidad del aire, es la rapi- dez del avión, el área de las alas y C es una 7. La potencia útil de una turbina se expresa constante adimensional. Si la ecuación es mediante la siguiente fórmula: dimensionalmente correcta, determine x+y. donde PH2O es la densidad del agua, A) B) 2 C) 3 D) -2 E) 4 de el es caudal; g es la tiempo 4. Una cuerda de longitud L se sujeta de sus aceleración de la gravedad; h es la altura, y n es la eficiencia de la turbina. extremos a dos paredes y se tensa con una fuerza F. Si se hace vibrar la cuerda, se ob- Determine serva que se forman unas figuras conocidas como armónicas, donde la frecuencia de A) -1 B) 2 C) 4 vibración de los armónicos es D) 3 17</p><p>Lumbreras Editores 8. Un bloque unido a un resorte se mueve so- bre una superficie horizontal áspera reali- Si la ecuación es dimensionalmente + y determine zando un movimiento oscilatorio amortigua- do, donde su posición queda determinada por la siguiente ecuación: 2 Si la ecuación es dimensionalmente correcta, D) 1 determine Considere lo siguiente: 10. Cuando se tienen dos zonas a diferentes entonces, se mide en metros. temperaturas, fluye energía en forma de entonces, se mide en segundos. calor (Q) de la zona de mayor e=2,718, entonces, es base de logaritmos ra hacia la zona de menor Si neperianos. entre las zonas se ubica una barra metálica de sección transversal cuya área es Ay lon C) gitud de la barra L se determina que el flujo D) E) de calor se obtiene mediante la siguiente fórmula: NIVEL INTERMEDIO temperatura menor 9. Se tiene un dispositivo conocido como el L contador de Venturi, mediante el cual se Q puede determinar la velocidad de un líquido que pasa por una sección transversal estrecha, T2: temperatura tal como se muestra en el gráfico. mayor área g: aceleración de la gravedad = h: altura donde es el tiempo y Km es una constante que depende de las propiedades del mate- U rial. Si las magnitudes se expresan en el sis tema internacional, determine las unidades de transversal área transversal K D) E) 18</p><p>Capítulo I: Análisis dimensional 11. Uno de los resultados que consolidó la teo- TH= ría general de la relatividad anunciada por Albert Einstein fue el corrimiento del perihe- lio del planeta Mercurio; según la teoría el donde eje mayor de la órbita del planeta Mercurio - temperatura del agujero negro gira alrededor del sol en el sentido del movi- miento del planeta un ángulo determinado - M: masa del agujero negro por la siguiente expresión: h = 34 J.S ( constante - de Planck donde a es la longitud del semieje mayor de = kg2 ( constante - gravitacional ) la elipse, es la velocidad y e es la excen- tricidad de la elipse. Si la ecuación dada es K= J/K ( constante - dimensionalmente correcta, determine Boltzman [ - c=3x108 m/s ( velocidad de la luz A) B) L2 Si la ecuación es dimensionalmente correcta, D) E) determine y-z 12. Uno de los últimos avances científicos es el estudio de los agujeros negros desarrollado A) B) 2 C) 1 por el inglés Stephen Hawking, quien 2 cubre que un agujero negro debe irradiar energía como si fuera un cuerpo caliente, 3 E) -1 2 obteniendo la siguiente ecuación: 19</p><p>Lumbreras Editores Análisis vectorial Capítulo II OBJETIVOS Reconocer las características y las principales propiedades de un vector, así como sus principales formas de representación. Realizar operaciones con vectores mediante diversos métodos para obtener el vector re- sultante. Conocer el producto escalar y vectorial, así como su interpretación geométrica. 1. ¿Qué es un vector? Ejemplos Es un elemento matemático que permite repre- =20N sentar las magnitudes vectoriales. Una magnitud B=10 m/s vectorial expresa su medida mediante un número, una unidad de medida y una dirección. b. Dirección (0) Notación Es aquel ángulo que se forma a partir de una se- o A, que se lee 'vector A'. mirrecta paralela al eje X y pasa por el origen del vector, en sentido antihorario hasta interceptar 2. Representación de un vector al vector. Existen muchas formas de representar un vector. Para ello vamos a trabajar primero con un vector Ejemplo ubicado sobre el plano cartesiano XY. Determinemos la dirección de A. 21. REPRESENTACIÓN EN FORMA GRÁFICA A Un vector se representa como un segmento de recta orientado o simplemente una flecha. 309 Y extremo del vector X de acción semirrecta del vector origen del vector 0=60° # 2.2. REPRESENTACIÓN EN FORMA POLAR Elementos de un vector a. Módulo Un vector se representa como un par en donde la primera componente es el módulo del Es también llamado magnitud del vector y repre- vector y la segunda componente su dirección. senta el tamaño del vector. Se expresa mediante un número positivo y acompañado de su respec- tiva unidad de medida. 20</p><p>II: Análisis vectorial Ejemplo Dirección opuesta Determinemos la representación polar de F. A Y 0 F=10N B 40° 2.2.2. Vectores iguales X Dos vectores son iguales si presentan el Del gráfico mismo módulo y la misma dirección. 0+40° = 180° entonces 0=140° A=B Por definición F=(F;0) Representación gráfica 2.2.1. Vectores colineales y paralelos A B Dos vectores son colineales si se ubican sobre la misma línea de acción, y son paralelos si se ubican sobre líneas de acción paralelas. 2.2.3. Vectores opuestos Dos vectores (A y B) son opuestos si presentan igual módulo y se ubican sobre una misma recta paralelas, pero con orientaciones contrarias. Representación gráfica Ay B son colineales. A y C son paralelos. A B Si dos vectores son colineales o paralelos, se # cumple que presentan la misma dirección o la diferencia de sus direcciones es 180°. Si B es el opuesto de A, entonces Igual dirección B=-A B y se cumple que 21</p><p>Lumbreras Editores 2.2.4. Vector unitario Se define al vector unitario de A, cuya notación R como aquel vector que presenta la misma dirección de A, pero su módulo es la unidad. Representación gráfica +Y +X Además 2.3. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR Caso 1 En dos dimensiones. Todo vector que se encuentra en el plano XY se Propiedad puede representar como un par ordenado, donde Sean Ay B los vectores que presentan la misma las componentes del par ordenado son vectores Entonces comparten el mismo vector colineales a los ejes XeY. unitario y, en consecuencia, ambos vectores son directamente proporcionales a sus respectivos Y módulos. A X Se observa que Para determinar las componentes del vector se trazan perpendiculares desde el origen y extreme del vector dado hacia los ejes X e Y. A B Y A 2.2.5. Vectores unitarios asociados al sistema de coordenadas tridimensional XYZ Son aquellos vectores asociados a los semiejes positivos del sistema de coordenadas tridimensio- nal, tal como se muestra en el gráfico siguiente: X 22</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial Sobre los pies de las perpendiculares se trazan dos Resolución vectores, de tal forma que las perpendiculares Para poder expresar los vectores en su forma que parten del origen del vector generan el analítica, debemos descomponer cada uno de los origen de los vectores componentes. vectores. Y A Vector A A, A origen 4 u Ax X Finalmente, el A queda reemplazado por sus 2 u componentes. A este procedimiento se le deno- mina descomposición rectangular de un vector. Vector B Y A A lu B=(+1;-3)u 3 u X X B Vector C 4 u Empleamos los vectores unitarios asociados a los ejes x e y. Aplicación 1 Caso 2 En la siguiente cuadrícula se muestran los vectores En tres dimensiones A, B y C. Exprese los vectores en forma analítica. Z Y A A C B Y 1 u X X 1 u 23</p><p>Lumbreras Editores El vector A se ubica en el sistema de coordena- También se emplean los vectores ciados a los ejes das XYZ y, para determinar sus componentes rectangulares, se trazan perpendiculares desde el extremo del vector hacia el eje Z y hacia el plano XY. Z Aplicación 2 Exprese en forma analítica los vectores mostrados A en el gráfico adjunto. Z(m) Y 4 X A C Seguidamente, la componente que se encuentra en el plano XY también se descompone. 5 7 Z B Y(m) X(m) Resolución Para ello debemos realizar la descomposición Y rectangular de cada uno de los vectores sobre el sistema de coordenadas XYZ. X Finalmente, el vector A presenta tres componentes, Para A las cuales son colineales a los ejes X, Y y Z. Como no tiene componente en Y, entonces Z AY=0. A, Z(m) 4 A=(3;0;4)(m) A A. Ax X Y(m) 3 A = X(m) 24</p><p>II: Análisis vectorial Para NOTA Z(m) Sumar vectores no es lo mismo que sumar números, debido a que un vector posee j 5 m duloy En ese sentido, se aplican dos 3 m 4 métodos generales para sumar vectores: el método del polígono y el método analítico. 3.1. MÉTODO DEL POLÍGONO Es un método gráfico, el cual consiste en realizar B 5 Y(m) los siguientes pasos: 3 Paso 1 X(m) Los vectores se van a trasladar (manteniendo el B=(3i+5j-4k)(m) mismo módulo y dirección), de tal manera que se deben colocar uno a continuación de otro y ha- B=(3;5;-4)(m) ciendo que coincidan el extremo de un vector con el origen del siguiente vector y así sucesivamente. Para Z(m) C 4 m B 2 m A 7 Y(m) 3 B 3 m X(m) C Paso 2 El vector resultante se obtiene uniendo el 3. Vector resultante origen del primer vector con el extremo del último Dado un conjunto de vectores (A,ByC), los cua- vector, y orientado del primero hacia el último. les representan magnitudes de la misma natu- A raleza, se define el vector resultante como aquel que reemplaza a los otros vectores y pro- B duce el mismo efecto físico. R R=A+B+C 25</p><p>Lumbreras Editores Aplicación 3 Del A notable de se deduce, como Se muestra un conjunto de vectores = Determine el vector resultante. R=5u A 3.2. MÉTODO ANALÍTICO Es un método algebraico, el cual consiste presar cada vector en su forma analítica, es B como pares ordenados. D Sean A, B y C los vectores. lu A 1 u Resolución C Se trasladan los vectores ubicándolos uno a con- B tinuación de otro. Se sugiere evitar que los vec- tores se crucen, con el objetivo de que el gráfico Se realiza la descomposición rectangular de cada resulte lo menos engorroso posible. vector. D A A C B B I u lu Ahora unimos el origen de B con el extremo de C, para obtener el vector resultante (R). D Seguidamente, representamos los vectores forma analítica y sumamos. A C R + 4u B + Bx + OR I lu Rx Ry 1 u 26</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial Aplicación 4 Representación gráfica Se muestra un conjunto de vectores Determine el vector resultante. R 4 u A B 3 u D En el lu Resolución R=5u Se expresa cada vector en su forma analítica. Además Para A - A OR=53° 4u NOTA A = (4; 4) u En las aplicaciones desarrolladas se han aplicado dos enfoques diferentes: el método 1 u del polígono y el método analítico, llegando 4 u en ambos casos al mismo resultado. En- Para B tonces podemos concluir que ambos mé- B todos son equivalentes. 2 u B = (-3;2) u 3.3. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Es un caso particular del método del polígono y se Para C emplea cuando se va a determinar la resultante entre dos vectores y se conoce el ángulo formado 2 u C = (0; -2) u entre ellos. C Para D Ejemplo - D = (2; 0) u Sean a y b los vectores. D 2u Pero se define a R =(4-3+0+2;4+2-2+0) - b R 27</p><p>Lumbreras Editores Si aplicamos el método del polígono, trasladamos NOTA al vector a en forma paralela, de tal forma que su El módulo de R depende del ángulo 0 formado origen coincida con el extremo del b. entre los vectores. Entonces se cumple lo siguiente: R a Cuando 0=0° a R=b+a b b a Cuando 0=90° donde R es el vector resultante entre a a a Para determinar su módulo, aprovechamos 0 y b b formamos un triángulo rectángulo. 180° R=b-a a R a a b b 0 Conclusión b Dependiendo del ángulo que forman los vecto- res a y b, el módulo R toma diferentes valores, En el triángulo rectángulo mayor aplicamos el pero todos ellos se encuentran en un intervalo. teorema de Pitágoras. + donde b Por la identidad trigonométrica Comentario También se define la diferencia entre dos vectores (ayb) como que se puede expresar como la resultante entre un vector y el opuesto de otro vector dado. Finalmente a Por el método del polígono tendremos + a a 0 0 b -b 28</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial Formando el triángulo rectángulo se deduce Se traslada el vector a de tal forma que su origen coincida con el origen del vector b. = a línea de acción Finalmente 0 a Trazamos la proyección del vector a sobre la línea de acción de b. a de acción b 4. Producto de vectores Dados dos vectores (ayb), se puede realizar la Se interpreta el producto escalar como el pro- operación producto de dos formas: producto es- ducto del módulo de un vector por la proyección calar y producto vectorial. de un segundo vector sobre la línea de acción del primero, es decir 4.1. PRODUCTO ESCALAR Dados dos vectores (ayb) En el caso de los vectores unitarios i.j.k Z donde se denota el producto escalar como k Se define i y x El resultado es un escalar (número real). 11 0 De igual forma Interpretación geométrica i.k=0 Dados los vectores a y b no colineales. j.k=0 Además a De igual forma j.j=1 o 29</p><p>Lumbreras Editores OBSERVACIÓN Aplicación 5 (-) Dados los vectores in a = D determine (+) Ejemplo Resolución (-) Expresamos b como un par ordenado. 3 2 (+) Por definición =3+2 =5 Aplicación 6 Dados los vectores 4.2. PRODUCTO VECTORIAL Dados los vectores a y b, donde b=(1;3;-1) determine el producto vectorial de ambos vec- tores. se denota el producto vectorial como axb. Resolución Se define Determinemos axb. 2 M = El resultado es un vector que al representarlo re- sulta ser perpendicular al plano formado por a Para determinar su dirección, se emplea la regla de la mano derecha. Interpretación geométrica Dados los vectores a y b, tal como se muestra a a plano que 0 mano contiene a derecha b a b 30</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial axb De igual manera a jxk=i A=l kxi=j En forma práctica se aplica la regla de la mano b derecha. El módulo del producto vectorial axb repre- senta el área del paralelogramo formado con los vectores a y b. Por otro lado mano a derecha k b Entonces Giramos los cuatro dedos de la mano derecha del primer vector unitario al segundo y el dedo pulgar nos señala el vector resultante. OBSERVACIÓN En el caso de los vectores unitarios Ejemplo Determinemos k xj. -i i y k=(0;0;1) mano derecha ixj=k kxj=-i 31</p><p>PROBLEMAS RESUELTOS Resolución Problema Si denotamos Sean los vectores = 2 = entonces nos piden Si ambos vectores son iguales, determine mxn. R. (I) Resolución Se puede apreciar que el vector a está represen- tado en forma analítica; mientras que b, en for- Expresemos los vectores términos de ma polar. Entonces expresemos a b también en los vectores unitarios cartesianos. su forma analítica. 2j 3j B A Y 10 u 8 b b=(-6;8) j -2j c i -i 127° -6 X De la figura Y por condición del problema a=b B=-i+3j (m+3;3n-1)=(-6;8 m+3=-6 ^ 3n-1=8 m=-9 n=3 Finalmente, nos piden R=i+j+2i-6j+2j Problema (II) En el siguiente sistema de vectores que se muestra, Además determine el vector unitario de (III) B Reemplazamos (II) y (III) en (I). A T 1 u + 1 32</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial Problema 3 Determine el vector x que debemos agregar al conjunto de vectores, de tal manera que la re- sultante sea (-5;7). Problema 4 A T Determine el vector unitario de la resultante. 1 B Z B 4 Resolución 3 Y Nos piden un vector x, de tal forma que al agre- A 2 garle los vectores A, B y C se obtiene X x+ R Resolución (I) Si consideramos a R como la resultante de los Aprovechemos el gráfico para determinar vectores A, A+B+C, para ello se trasladan los vectores y se ubican uno a continuación de otro. R=A+B+C (I) Nos piden A (II) B C Ahora expresamos los vectores en su T forma analítica. 2u A+B+C Para A 10 u Uniendo el origen del primero con el extremo 1 Y(+) del último, se determina la resultante de -2i (II) Reemplazamos (II) en 2 X(+) 33</p><p>Lumbreras Editores Problema Para B Dado el conjunto de vectores mostrados Z(+) B=3j+4k gráfico, determine el módulo del vector en 4 4k dirección de la resultante es 61°. tante y la medida del ángulo si se sabe Y 3 Y(+) 10 u 76° 10 u 14° 0 Para X Por el método del polígono Z 10 u 4 c=-3j-2i +4k 4k Resolución Sea R la resultante de los vectores No es 3 conveniente realizar una descomposición rec- Y tangular de los vectores porque los ángulos que x2 forman con los ejes no son conocidos. -3j Si agrupamos de a dos Reemplazamos A,ByCen (I). 10 u R=-4i+j+8k (III) 10 u 14° 76° = o X Ahora los otros dos (IV) Y Reemplazamos (III) y (IV) en (II). o 90° X 45° 10 34</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial En consecuencia, en vez de trabajar con cuatro Resolución vectores, tenemos dos vectores. Aplicando el Sean a y b los vectores representados tal como método del paralelogramo, determinamos R. se muestra. a Por condición, = Y R b Ahora representemos la suma y la diferencia de ambos vectores. 60° 59° 61° D=a-b X a 0+45° S=a+b Del gráfico b Pero por la propiedad del paralelogramo al trazar u las diagonales, estas se cortan en sus puntos me- 60° dios. u # 60° 59° 61° X Además, por condición del problema, el vector Como el triángulo formado es equilátero suma es perpendicular a la diferencia. R = u D S a Luego 61°+0-45°=60° 0+16°=60° b 0=44° En consecuencia, el triángulo sombreado es isósceles, entonces Problema 6 Nos piden Se tienen dos vectores de tal manera que m+3m la suma de ambos vectores es perpendicular a 2m-n m su Determine =4 35</p><p>Lumbreras Editores Aplicamos productos escalares. Problema 7 En el siguiente sistema de vectores mostrados, la = resultante es nula. Determine (II) Y A u 10 u (III) 45° 53° X (IV) Resolución Nos piden Finalmente reemplazamos 108 60 Entonces expresemos en su forma analí- tica y luego, determinemos C para, finalmente, hallar los productos escalares. Problema 8 Y 8j Se tiene un hexaedro regular. Determine el vector 10 u unitario que es perpendicular a la región sombreada. A Z 53° -5i 6/ X Luego A = -5i + Y Ahora, como nos plantean que la resultante es X nula, entonces Resolución Nos piden el vector unitario (ii) que sea b a la gión sombreada. Si consideramos dos vectores que se encuentran en dicha región, entonces el producto vectorial tiene que ser b a la región formada por ambos vectores. 36</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial Z Ahora determinemos axb. b ax b L OLL a Y V 2 2 L 0 X Por la definición de vector unitario De la figura, se determina a y b en términos de los vectores unitarios Para el vector a (II) Z a - Además Lj Ahora expresamos el vector b en terminos de vec- tores unitarios. (III) Z Reemplazamos (II) y (III) en b Lj 37</p><p>PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL BÁSICO 1. Dados dos vectores representados, Y determine si se sabe que los vectores L son opuestos. I X Y n b=(15 u; A) 3 10 a B) m X C) A) 59 B) -108 C) 108 E) 120 10 3 10 j D) -60 2. Se tiene un conjunto de vectores: 3 10 1 sobre una región formada con celdas de lado igual a 1 u. Determine el vector 4. Sobre un bloque actúan las fuerzas 2 tal como se muestra en el.gráfico. Determine la fuerza F3 que debe actuar sobre el bloque A de tal manera que la resultante de fuerzas sea nula. B Y Y C F2=25 N N 16° lu X 37° X A) B) C) D) A) E) B) 3. En el siguiente sistema de vectores que se C) muestra en el gráfico adjunto, determine el D) vector unitario de la resultante. E) 38</p><p>Capítulo II: Análisis vectorial 5. Dado el siguiente conjunto de vectores, de- A) 10 cm B) cm C) cm termine el módulo del vector resultante si D=15u y D) 5 cm E) cm C 8. Los vectores se encuentran sobre el cubo A D de 2 cm de arista. Determine el módulo del B vector resultante. 53° E C H F G B A A) 13 u B) 10 u 25 u D) 50 u E) 26 u 6. En el siguiente conjunto de vectores, deter- A) cm B) 3 cm C) 2/2 cm mine el módulo de la resultante sabiendo D) cm E) 2 cm que se encuentra sobre el eje Y 9. A partir del gráfico, determine el vector x en 50 u función de los vectores A y B. A B 10 u A) 58 u B) 75 u C) 68 u x D) 60 u E) Falta 0. A) NIVEL INTERMEDIO 3 7. Se muestra un conjunto de vectores. Deter- B) 3(1-B) mine el módulo del vector resultante. B 2 cm 2 cm 3 cm C C) 3 cm D) E) 2 A D 39</p><p>Lumbreras Editores B) 18 C) 52 10. En el siguiente conjunto de vectores que se E) 36 muestra, se conoce que la resultante no pre- senta componente en el eje Y. Determine el módulo de la resultante. 12. Determine aquel vector cuyo módulo es y es perpendicular a la región Z(m) el hexaedro regular. 2 Z Y(m) 2 X(m) Y A) m C) X D) 8m E) 4 A) - 11. Se tiene dos vectores (AyB) que son para- B) lelos a los vectores respecti- C) vamente. Determine AB si D) + E) 10f 40</p><p>Capítulo III: Cinemática de una partícula en una dimensión Cinemática de una partícula en una dimensión Capítulo III OBJETIVOS Describir matemáticamente el movimiento mecánico y sus elementos. Estudiar los principales movimientos Aplicar ecuaciones escalares y vectoriales para los movimientos rectilíneos. 1. Definición de cinemática Y Es la parte de la física que describe el movi- miento mecánico de los cuerpos sin prestar observador atención a las causas que dan inicio o modifi- can el X observador XF r donde - posición inicial - posición final - to: instante de tiempo inicial (cuando se decide iniciar el control o análisis del movimiento) - instante de tiempo final Para el el ciclista va cambiando - At=tf-to: intervalo de tiempo continuamente de posición, es decir, experimenta movimiento mecánico. NOTA El observador siempre se ubica en el origen del 1.1. SISTEMA DE REFERENCIA sistema de coordenadas. Está conformado por los siguientes elementos: Cuerpo de referencia (observador) 1.2. MOVIMIENTO MECÁNICO Instrumento para medir el paso del tiempo Es aquel fenómeno que consiste en el cambio (reloj) continuo de posición de un cuerpo con respecto Sistema de ejes coordenados a otro. A este último se le denomina cuerpo de referencia. 41</p><p>Lumbreras Editores 1.3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO Notamos del gráfico anterior: Nos permiten describir el movimiento mecánico, estos elementos son los siguientes: Móvil m Es el cuerpo o partícula que realiza el movi- miento mecánico. Desplazamiento Trayectoria Es un vector que mide el cambio de Es la línea que resulta de unir todas las posiciones móvil. por donde pasó el móvil. o trayectoria X d Recorrido (e) Del gráfico, se observa es la resultante Es la longitud de la trayectoria. entre y d. Ejemplo Si la esfera se lanza en A y solo sube hasta B, calculamos el recorrido desde A hasta que pasa por segunda vez por C. B (desplazamiento o 3 m cambio de posición) Distancia (d) Viene a ser el módulo del desplazamiento, es decir, la longitud del segmento que une la Para ello, dibujamos la trayectoria. ción inicial y final. B d=d C Ascenso En el ejemplo de recorrido, 1 m, que es Pasa por 5 m menor al recorrido de 11 m. A 3m En todo movimiento se verifica que el re- corrido es mayor o igual a la distancia. Pasa por 5 m 42</p><p>Capítulo III: Cinemática de una particula en una dimensión Aplicación 1 2. Relatividad del movimiento Un escarabajo se mueve desde A hasta D si- mecánico guiendo la trayectoria mostrada. Halle el reco- rrido y la distancia. Luis está en 16 cm reposo, no B Luis se mueve experimenta 8 cm junto con el movimiento. camión. 20 cm D Hugo Luis Paco o A Respecto a Hugo, Luis no cambia de posición, Resolución es decir, no se mueve. En cambio, respecto a Sabemos que el recorrido es igual a la longitud Paco, Luis se mueve con el camión. de la trayectoria. Como el movimiento mecánico de un cuerpo e=AB+BC+CD depende de quién lo observa, se dice que es relativo. Reemplazamos. e=20+16+8 Velocidad e=44 cm Es el vector que mide con qué ritmo el móvil va cambiando de posición. Para hallar la distancia, debemos trazar un seg- mento rectilíneo desde el inicio al final. 16 cm B C T A B 8 cm d D 20 cm d su módulo 12 cm d = se denomina = rapidez: A 16 cm Unidad de medida: m/s; km/h; cm/s En el aplicamos el teorema de Pitágoras. NOTA km h 18 5 = d=20 cm 43</p><p>Lumbreras Editores Aplicación 2 3. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Ahora, medimos el tiempo y la distancia que re- Es el único movimiento en el cual la velocidad corre un móvil, obteniendo los siguientes datos: constante. d=24 m y t=3 S 3.1. CARACTERÍSTICAS La trayectoria es 3s v=8m/s ¿Cuál es el significado? Veamos qué puede suceder durante los El módulo y la dirección de la velocidad se mantienen constantes. 1 S 1 S 1 S 4 m/s 4 m/s 4 m/s 12 m 7 m En intervalos de tiempos iguales, los reco- rridos son iguales. 2 s 2 S 4 m/s 4 m/s 4 m/s 8m 8 m 8 8m m 8m En los dos primeros casos, segundo a segundo, Los recorridos son directamente proporcio- durante los 3 S no realizan distancias regulares, nales a los tiempos transcurridos. por lo cual en 1 S adicional no se puede precisar la distancia; mientras que en el tercer caso, en 2 S 1 S cada segundo, la distancia es pero si deja- mos pasar S más y si el movimiento conserva sus características, entonces la distancia será 8 m. A continuación, desarrollaremos el análisis del movimiento del tercer -4m m 44</p><p>Capítulo III: Cinemática de una en una dimensión 3.2. ECUACIÓN DEL MRU 4. Aceleración Sabemos que durante su movimiento, un móvil puede cambiar su velocidad en módulo, direc- ción o ambos aspectos. d Por ejemplo Se verifica que 20 m/s v=0 Cambia el módulo NOTA de la velocidad. Para el MRU se verifica lo siguiente: Tiempo de encuentro (le) 20 m/s Cambia la dirección de la velocidad. UB A B d Para el estudio de este fenómeno se emplea una magnitud física vectorial denominada ace- te = d leración (@), la cual nos expresa el ritmo de UA + cambio de la velocidad. Matemáticamente Tiempo de alcance UF B d a - = = d - - a = UB 45</p><p>Lumbreras Editores donde - DO: velocidad inicial 1. En un movimiento rectilíneo, la dad y la aceleración son - UF: velocidad final Av: variación o cambio de la velocidad a UF - Aumenta la velocidad - At: intervalo de tiempo o tiempo transcurrido Unidad de m medida: a UF # Disminuye la Aplicación 3 Una partícula se mueve como se muestra. Halle 2. En un movimiento rectilíneo con ace- su aceleración si el tiempo que le toma desde leración constante, el valor numérico A hacia B es 4 S. de la aceleración indica el cambio de rapidez por unidad de tiempo. a=3 m/s2 En cada segundo, la A B rapidez aumenta en 3 m/s. m/s Resolución Por definición 2 m/s 5 m/s 8 m/s - = (*) Para vectores horizontales se considera que los a=4 m/s2 { En cada segundo, la rapidez disminuye signos + y - indican dirección, hacia la derecha en 4 m/s. y hacia la izquierda, En (*) 10 m/s 6 m/s 2 m/s - 5. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) Es aquel movimiento mecánico que desarrolla El signo - indica que el vector a es horizontal y un cuerpo describiendo una trayectoria apunta hacia la izquierda. y experimentando una aceleración constante. 46</p><p>Capítulo III: Cinemática de una partícula en una dimensión 5.1. CARACTERÍSTICAS La trayectoria es rectilínea. 1. Si un cuerpo inicia un MRUV desde el La aceleración (a) es constante, en módulo reposo, en el primer segundo de su mo- y dirección. vimiento su recorrido es numéricamen- En intervalos de tiempos iguales, los cam- te igual a la mitad del valor de la acele- bios de velocidad son iguales. ración (a). 1 primer segundo 5.2. ECUACIONES DEL MRUV a a UF d a 2. La diferencia de los recorridos de dos d segundos consecutivos es igual al valor de la aceleración (a). Si la rapidez va aumentando S 1 S at d d+a Si la rapidez va disminuyendo d = 1 d d + 2ad 5.3. ECUACIONES VECTORIALES DEL MRUV Consideremos que una pequeña esfera se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado de manera que realiza un MRUV. 2 a donde - rapidez inicial - UF: rapidez final Su trayectoria será - d: distancia v=0 - a: aceleración - intervalo de tiempo - (+): cuando su rapidez aumenta - (-): cuando su rapidez disminuye UF 47</p><p>Lumbreras Editores Como se ve en una parte de la trayectoria, la La esfera desciende describiendo trayec. rapidez disminuye y luego, en otra parte, esta toria rectilínea y llega primero al piso; aumenta. Por lo cual, las ecuaciones que he- tras que la hoja de papel también desciende mos planteado en el MRUV (ecuaciones es- pero describiendo una trayectoria curvilínea calares del MRUV) no se pueden usar para y empleando mayor tiempo en llegar al piso. analizar este movimiento de inicio a fin. Pero ¿Por qué ocurren estas diferencias? se verifica que sí se puede analizar este movi- miento con el uso de las ecuaciones vectoria- Se deben a la presencia del aire. El aire ofrece una resistencia (oposición) sobre el les del MRUV. movimiento y el efecto es el retardo del vimiento y la realización de una trayectoria curvilínea. La resistencia del aire también actúa sobre la esfera en movimiento, pero su efecto es me. nor debido a su forma geométrica. A cada vector, UF, d y a, se le un sig- ¿Qué sucede si despreciamos la resistencia no + o para indicar la dirección. Como todos del aire? estos vectores son paralelos, se considera po- sitiva la dirección de uno de ellos y negativa, la Sería como quitar el aire de la región donde se dirección opuesta. mueven los cuerpos, entonces estaríamos asu- miendo que los cuerpos se mueven en el 6. Caída libre y movimiento vertical de caída libre (MVCL) Al existir un vacío, el movimiento que experi- Al soltar desde una misma altura y en forma mentan los cuerpos se debe solo a la atracción simultánea una pequeña esfera de metal y una terrestre, entonces decimos que los cuerpos hoja de papel, se verifica que la esfera llega pri- experimentan un movimiento de caída libre. mero al piso. ¿Por qué? Si su respuesta es porque En caída libre, la esfera de metal y la hoja de la esfera pesa más, este tema nos hará ver que papel que estamos analizando describen una a veces el sentido común nos puede engañar. trayectoria rectilínea y, además, llegan al piso 6.1. CAÍDA LIBRE Soltamos de una misma altura, y en forma simul- tánea, una esfera de metal y una hoja de papel. Conclusión Un cuerpo está en caída libre si su movimiento se debe solo a la atracción terrestre. 48</p><p>Capítulo III: Cinemática de una particula en una dimensión NOTA Si durante su movimiento, la altura a la que se No se puede evitar la resistencia del aire. Pero encuentra el cuerpo es muy pequeña compara- para monedas, canicas, piedras, etc., en mo- da con el radio de la tierra RT (RT 6400 km), vimiento, la resistencia del aire es desprecia- entonces g se considera que es constante. Así ble. Entonces al lanzar o soltar estos objetos, que el MVCL es un movimiento rectilíneo y con se les puede considerar en caída libre. aceleración constante, o sea, es un MRUV. Así que todas las características y ecuaciones Se verifica que todo cuerpo en caída libre, sin que se cumplen para el MRUV son también vá- importar su masa, presenta la misma acelera- lidas en el MVCL. Esta aceleración se conoce como acelera- ción de la gravedad (g). OBSERVACIÓN Si un cuerpo asciende, el valor de su velo- objeto en cidad disminuye; si desciende, su rapidez caída libre Y aumenta. a=g X g g El valor de la El valor de la m/s2 velocidad velocidad disminuye. aumenta. Se puede considerar, en forma práctica, que Con respecto a la velocidad, se observa lo si- guiente: 6.2. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE 1 S (MVCL) Es aquel movimiento mecánico donde el cuerpo que lo experimenta está en caída libre y describe 10 m/s 1 S una trayectoria rectilínea y vertical. g=10m/s2 30 m/s g Cada segundo, la velocidad cambia en 10 m/s (el valor de g). 49</p><p>Lumbreras Editores Además Además v=0 10 m/s - nivel g 10 m/s 20 m/s 30 - nivel 30 m/s 20 m/s nivel 30 m/s Para cada nivel, la rapidez de subida y de bajada 2. Si un cuerpo se suelta desde cierta altura, son iguales. se verifica, para los recorridos que hace se- Debe notar que cuando un cuerpo es lanzado gundo a segundo, lo siguiente: verticalmente hacia arriba y alcanza su altura máxima; en ese instante su velocidad es nula, pero no su aceleración. 5m g=10m/s2 10 m/s 15 m Características 20 m/s 1. Respecto al tiempo se verifica 30 m/s sub 'baj 3. La altura máxima (Hmax) que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba nivel se obtiene de la siguiente expresión: donde v=0 - tiempo de subida - tbaj : tiempo de bajada 2 g Para un cierto nivel, el tiempo de subiday el Hmax de bajada son iguales. 50</p><p>PROBLEMAS RESUELTOS Problema Para el movimiento de B hasta A (MRU) Sobre una pista rectilínea se encuentran dos puntos (A y B) separados L kilómetros. Un auto va de A hasta B con una rapidez constante de L=ut2 55 km/h; al llegar a B, inmediatamente regresa con rapidez Si consideramos la ida y la vuelta, (III) para que la rapidez promedio (rapidez media) sea de 49,5 km/h, indique el valor de en km/h. Reemplazamos (II) y (III) en Resolución Grafiquemos. 2L = 49,5 55 =55 km/h km/h 2L = B L = A; B L Por dato 49,5-55 km/h 60,5 recorrido tiempo = 49,5 u=45 km/h Problema 2 Sale un tren hacia el norte con velocidad de Para el movimiento de A hasta B (MRU) 30 km/h; luego de 20 min sale otro también hacia el norte y con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad, en km/h, debe moverse un tren que viaja de norte a sur para que demore 12 min desde que se encuentra con el primer tren hasta (II) que se encuentra con el segundo? 51</p><p>Lumbreras Editores Resolución Nos piden Grafiquemos según la información. Se observa que el tercer tren se cruza con Primer tren que se dirige hacia el norte. primer tren y tarda 12 min en cruzarse con el segundo tren, entonces el t=12 30 km/h 20 min d 5 10 1 + 30 30 km/h U3+30=50 Del MRU = min) Problema 3 perolh<>60min Se muestra una vela que se consume a razón de 60 min x 20 min 8 cm/min y una araña que desciende realizando d = 10 km un MRU con 10 cm/min. Calcule la rapidez de su sombra en la pared. Luego, como el segundo tren tiene la misma ve- locidad, la distancia entre estos dos se mantie- ne Consideremos al tercer tren que se dirige de norte a sur. L 3 U3 Resolución Para un análisis más sencillo, consideremos que 1 30 km/h 3 12 min transcurre 1 min, con lo cual la vela desciende 8 cm y la araña 10 cm. d=10 km Colocamos los datos. 2 S 12 min 8 cm 10 cm d, 2 30 km/h s' L 52</p><p>Capítulo III: Cinemática de una en una dimensión Notamos que se forma un trapecio y los 10 cm Reemplazamos. se calcula como base media. (I) Para determinar UB se requiere conocer la ace- cm leración (a), para ello vamos a emplear el dato del gráfico. Nos piden En el tramo AB Problema 4 Una partícula realiza un MRUV como se mues- tra. Si su velocidad en A es nula y los tiempos desde A hasta B y desde B hasta C son 3 S y respectivamente, halle su rapidez en B. (II) A B C AC 216 m Resolución Colocamos los datos. (III) Reemplazamos (II) y (III) en UB a 2 C A B 216 m a=6 m/s2 Nos piden UB. Analizamos el gráfico en el tramo AB. m/s 53</p><p>Lumbreras Editores Problema Reemplazamos. La camioneta mostrada realiza un MRUV. A partir del instante mostrado, demora 3 S en ingresar completamente al puente. Determine su rapidez 10,8=9a al terminar de cruzar el puente. (II) 1,2 m/s Reemplazamos (II) en 1,44+75,6(1,2) 28,8 m m/s Resolución Problema 6 Colocamos los datos. Un móvil inicia su movimiento con aceleración 3 S constante de 6 m/s2 durante cierto tiempo para 1,2 m/s luego desacelerar con 8 m/s2 hasta detenerse. UF a Calcule su máxima velocidad si el recorrido total es 2100 m. 28,8 m Resolución 37,8 Graficamos las dos etapas. Nos piden a,=6 m/s2 En el tramo desde que empieza a ingresar al A B C puente hasta que termina de salir de este tene- d1 mos que Nos piden Observamos que no hay información de transcurrido y por ello usamos la siguiente ecuación: En el tramo desde que empieza a ingresar al puente hasta que termina de ingresar a este te- A B: nemos que B 54</p>