Problemas Matemáticos UFRJ

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<p>Questões de matemática</p><p>Origem: Ufrj</p><p>(Ufrj-1998) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas.</p><p>Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis. (imagem abaixo)</p><p>Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis.</p><p>Determine o número de cartas que ele vai utilizar.</p><p>(Ufrj-1998) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir: (imagem abaixo)</p><p>A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II.</p><p>Calcule a distância entre os pontos A e B.</p><p>(Ufrj-1998) Considere uma seqüência infinita de pontos P�, P‚, P3, ... sobre uma circunferência.</p><p>Encontra-se Pn ø � a partir de Pn ao se caminhar no sentido trigonométrico, sendo o arco PnPnø� igual a 14°. (imagem abaixo)</p><p>Determine o menor valor de n > 1 tal que Pn coincide com P�.</p><p>(Ufrj-1998) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal. (imagem abaixo)</p><p>Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo.</p><p>(Ufrj-1998) Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um valor aproximado de Q, obtido através de uma certa medição. O erro relativo E desta medição é definido por</p><p>E = ¦ Q - M ¦ / Q.</p><p>Considere ainda um instrumento com uma precisão de medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no máximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido.</p><p>Determine o menor valor possível de Q.</p><p>(Ufrj-1998) Ping Oin recolheu 4,5 m³ de neve para construir um grande boneco de 3 m de altura, em comemoração à chegada do verão no Pólo Sul.</p><p>O boneco será composto por uma cabeça e um corpo ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.</p><p>Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π(Pi) por 3.</p><p>Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas.</p><p>(Ufrj-1998) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:</p><p>(a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.</p><p>(b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.</p><p>(c) O problema tem mais de uma solução.</p><p>(d) O problema tem pelo menos uma solução.</p><p>(e) O problema tem exatamente uma solução positiva.</p><p>João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa.</p><p>Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.</p><p>(Ufrj-1998) Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.</p><p>Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS. (imagem abaixo)</p><p>Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc.</p><p>(Ufrj-1997) Para montar uma fábrica de sapatos, uma empresa fez um investimento inicial de R$ 120.000,00. Cada par de sapatos é vendido por R$ 30,00, com uma margem de lucro de 20%. A venda mensal é de 2.000 pares de sapato.</p><p>Determine o número de meses necessários para que a empresa recupere o investimento inicial.</p><p>(Ufrj-1997) Determine os números naturais maiores do que zero que, ao serem divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente.</p><p>(Ufrj-1997) Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16. (imagem abaixo)</p><p>Determine x.</p><p>(Ufrj-1997) Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um vento com velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de (300+v)km/h. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidade é de (300-v)km/h.</p><p>Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento é constante e tem a mesma direção que a do movimento do avião.</p><p>a) Determine d como função de v.</p><p>b) Determine para que valor de v a distância d é máxima.</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p>