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<p>Prof. Dr. Walterley A. Moura</p><p>contato: walterley@gmail.com</p><p>1</p><p>DEPARTAMENTO DE ELETROELETRÔNICA</p><p>2</p><p>Sistemas Lineares Invariantes no Tempo</p><p>3</p><p>1. Introdução</p><p>• Uma das principais razões para estudar sistemas</p><p>lineares invariantes no tempo (LIT) é o fato de</p><p>por que eles têm a propriedade da</p><p>Superposição de Sinais, ou seja:</p><p>4</p><p>2.1 Representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos</p><p>2. Sistemas LIT em tempo discreto – A soma de convolução</p><p>• Qualquer sinal de tempo discreto é uma sequência de</p><p>impulsos individuais</p><p>• Veja o exemplo</p><p>5</p><p>• De uma forma mais compacta e generalizada,</p><p>podemos escrever</p><p>Essa expressão representa uma sequência arbitrária como sendo</p><p>uma combinação linear dos impulsos unitários deslocados [n-k],</p><p>em que os pesos são nessa combinação linear são x[k]</p><p>Exemplo: Seja x[n] = u[n], o degrau unitário. Assim, temos</p><p>Aplicando a equação (1), obtemos:</p><p> A equação (2) é chamada de propriedade seletiva do impulso</p><p>unitário em tempo discreto</p><p>6</p><p> O somatório do segundo membro da equação (2) peneira a</p><p>sequência de valores x[k] extrai somente o valor</p><p>correspondente k = n.</p><p>• Propriedades:</p><p>7</p><p>2.2 Resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos</p><p>sistemas de tempo discreto LIT</p><p> A equação (2), de uma outra maneira, representa a</p><p>superposição ponderada de um conjunto de funções impulsos</p><p>unitários deslocados [n-k].</p><p> Para um sistema linear, conhecendo a resposta ao impulso [n], a</p><p>resposta a qualquer entrada arbitrária pode ser obtida pela soma das</p><p>resposta do sistema aos vários componentes impulsivos.</p><p>8</p><p>9</p><p> A equação (3) representa a soma de convolução ou soma de superposição.</p><p>A soma do membro direito da equação (3) é conhecida como convolução</p><p>das sequências x[n] e h[n], e representamos simbolicamente a operação de</p><p>convolução como:</p><p> Definição: Auto-função</p><p>Um sinal de entrada é denominado auto-função de um sistema se a saída</p><p>correspondente for igual ao sinal de entrada multiplicado por uma constante</p><p>(em geral complexa).</p><p>10</p><p>2.3 Propriedades dos sistemas LIT em tempo discreto:</p><p>11</p><p>12</p><p>13</p><p>14</p><p>3. Sistemas LIT em tempo contínuo - A integral de convolução</p><p>3.1 Representação de sinais de tempo contínuo em termos de impulsos</p><p>Considere uma aproximação em degraus, , para um sinal de</p><p>tempo contínuo</p><p>Aproximação do sinal x(t) por degraus.</p><p>15</p><p>16</p><p>Aproximação em degraus do sinal x(t) de tempo contínuo.</p><p>17</p><p>• A aproximação pode ser feita como uma combinação</p><p>linear de pulsos atrasados, conforme ilustram as figuras</p><p>acima.</p><p>• Assim, temos a seguinte expressão:</p><p>18</p><p>• Vamos considerar  aproximando-se 0, assim a aproximação</p><p>de torna-se cada vez melhor;</p><p>• No limite, ou seja,  → 0, iguala-se a x(t) e portanto,</p><p>podemos escrever:</p><p>• Nesse caso, podemos afirmar que:</p><p>19</p><p>• Como em tempo discreto, a equação anterior possui a</p><p>propriedade seletiva do impulso de tempo contínuo.</p><p>• Para um exemplo específico:</p><p>20</p><p>4. Resposta ao impulso unitário e a representação por integral</p><p>de convolução dos sistemas e tempo contínuo LIT</p><p>• Assim como em tempo discreto, um sinal arbitrário em tempo</p><p>contínuo é uma superposição de impulso deslocados e</p><p>ponderados.</p><p>• Consequentemente, a resposta de um sistema LIT ao</p><p>sinal de entrada será a superposição das respostas às</p><p>versões ponderadas e deslocadas de</p><p>• Vamos definir como a resposta de um sistema</p><p>LIT a entrada</p><p>• De maneira análogo em tempo discreto, temos:</p><p>21</p><p>• No limite, ou seja, → 0,</p><p>• Nesse caso:</p><p>22</p><p>A equação acima representa a integral de convolução ou integral de</p><p>superposição. A soma do membro direito da equação (6) é conhecida</p><p>como convolução das dos sinais x(t) e y(t), e representamos simbolicamente</p><p>a operação de convolução como:</p><p>23</p><p>4.1 Propriedades dos sistemas LIT de tempo contínuo:</p><p>24</p><p>25</p><p>26</p><p>4.2 Tabela de convolução de tempo discreto</p><p>27</p><p>4.3 Procedimento Gráfico/Analítico para o Somatório de Convolução.</p><p>O somatório de convolução de sinais causais x[n] com h[n] é dado por:</p><p>i) Inverta h[k] com relação ao eixo vertical (k = 0) para obter h[-k];</p><p>ii) Desloque h[-k] por n unidades para obter h[n-k]. Para n > 0 o</p><p>deslocamento é para a direita (atraso) e para n</p><p>é como o equilíbrio neutro do cone. Este tipo de sistema é dito ser</p><p>marginalmente estável. A estabilidade interna também é chamada de</p><p>estabilidade assintótica ou estabilidade no sentido de Lyapunov.</p><p>Estabilidade Marginal</p><p>62</p><p>Sistemas LIT causais descritos por equações</p><p>diferenciais e equações de diferenças lineares</p><p>• Uma classe extremamente importante de sistemas de tempo contínuo é</p><p>aquela em que a entrada e a saída são relacionadas por meio de uma</p><p>equação diferencial linear com coeficientes constantes.</p><p>• Essas equações aparecem na descrição de uma grande variedade de</p><p>sistemas e de fenômenos físicos</p><p>• Correspondentemente, uma classe importante de sistemas de tempo</p><p>discreto é aquela em que a entrada e a saída são relacionadas por uma</p><p>equação de diferenças lineares com coeficientes constantes.</p><p>• Essas equações são usadas para descrever o comportamento</p><p>sequencial de muitos processos diferentes.</p><p>63</p><p>Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes</p><p>64</p><p>Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes</p>