EDO Aplicação 2 ordem

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<p>UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO</p><p>CENTRO DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS</p><p>INSTITUTO DE QUÍMICA</p><p>Trabalho de Equações Diferenciais Ordinárias</p><p>Professora: Mariana Villapouca</p><p>Movimento harmônico simples: sistema massa-mola</p><p>Fabiana Soares de Faria</p><p>Introdução:</p><p>Vamos considerar uma mola de massa desprezível com uma das</p><p>extremidades fixas e pendurada verticalmente. O comprimento dessa mola será L</p><p>e na extremidade inferior vamos prender uma massa m que fará com que a mola</p><p>sofra uma distensão de tamanho s.</p><p>Pela Lei de Hooke temos: F= k.s, que é a força interna da mola, onde k é</p><p>uma constante e s é a distensão que a massa provocou na mola. Também temos</p><p>a força peso P= m,g e estando o bloco m na posição de equilíbrio a força interna</p><p>da mola será igual a força peso, o que significa que m.g - k.s = 0 (Figura B). Agora</p><p>vamos deslocar o bloco para baixo em uma distância x e soltamos (Figura C).</p><p>Suponhamos que nenhuma outra força externa atue sobre o sistema (movimento livre).]</p><p>Pela 2ª Lei de Newton</p><p>F = m . a → - k (s + x) + m . g = m 𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>O sinal negativo indica que a força restauradora da mola atua na direção</p><p>oposta ao movimento. Deslocamentos abaixo da posição de equilíbrio serão</p><p>considerados positivos, Temos, agora,</p><p>- k . s - k . x + m . g = m → m + k . x = 0 𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>Dividindo a equação por m dá</p><p>+ x = 0 → + w² x = 0 onde w² = 𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>𝑘</p><p>𝑚</p><p>𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>𝑘</p><p>𝑚</p><p>Notamos que temos uma equação linear de segunda ordem homogênea de</p><p>coeficiente constante, então</p><p>Equação característica:</p><p>m + 1 = 0 → m 1i ² ±</p><p>A solução geral da equação diferencial é</p><p>x(t) = C1 cos + C2 sen = 1β𝑡 β𝑡 β</p><p>As constantes C1 e C2 podem ser determinadas pelo problema do valor</p><p>inicial, PVI, adotando x(0) = ( posição inicial) e x١(0) = (velocidade inicial).α β</p><p>Problema 1</p><p>Uma massa de 2 kg suspensa por uma mola cuja constante é 10 N/m a partir</p><p>do repouso. Ela é então colocada em movimento com uma velocidade de 1,5 m/s.</p><p>Determinar a equação do movimento executado pela massa, desprezando a</p><p>resistência do ar.</p><p>Solução: m = 2kg , k = 10 N/m , x(0) = 0 , x١(0) = 1,5 m/s</p><p>2 . + 10 . x = 0 → + 5 . x = 0𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>Eq. Característica: m² + 5 = 0 m = → i ± − 5 ± 5</p><p>x(t) = C1 cos + C2 sen , x١(t) = -C1 sen t + C2 cos t5 𝑡 5 𝑡 5 5 5 5</p><p>P.V.I:</p><p>x(0) = 0 → x(0) = C1 cos (0) + C2 sen (0) , C1 = 05 5</p><p>x١(0) = 1,5 → x١(0) = -C1 sen (0) + C2 cos (0) = 1,5 , C2= 3 / 25 5 5 5 5</p><p>Logo, x(t) = 3/2 sen t5 5</p><p>Problema 2</p><p>Uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0,5 m. Uma</p><p>força de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0,7</p><p>m.Se a mola é esticada até um comprimento de 0,7 m e, em seguida, libertada</p><p>com uma velocidade inicial 0, encontre a posição da massa em qualquer</p><p>momento t.</p><p>Solução: m = 2kg , x = 0,2m , x١(0) = 0</p><p>Fe = - k . x → 25,6 = - k .(0,2) → = N/m𝑘| | − 128| |</p><p>2 + 128. x = 0 → + 64 . x =0𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>𝑑² 𝑥</p><p>𝑑𝑡²</p><p>Equação Característica: m² + 64 = 0 m = 8i ±</p><p>x(t) = C1 cos + C2 sen , x١(t) = -C1 8 sen 8t + C2 cos 8t 8𝑡 8𝑡 8</p><p>P.V.I:</p><p>x(0) = 0,5 → x(0) = C1 cos (0) + C2 sen (0) = 0,5 , C1 = 0,5</p><p>x١(0) = 0 → x١(0) = -C1 8 sen 8 (0) + C2 cos 8 (0) = 0 , C2 = 0 8</p><p>Logo, x(t) = 0,5 cos 8t</p>