aprendizado ao extremo CCXX

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<p>**Resposta: A) \( (2, 1) \)**</p><p>**Explicação:** Para encontrar pontos críticos, derivamos \( f(x) \) e igualamos a zero: \(</p><p>f'(x) = 2x - 4 \). Igualando a zero, temos \( 2x - 4 = 0 \) ou \( x = 2 \). Substituindo na função, \(</p><p>f(2) = 1 \).</p><p>5. Qual é o valor da integral definida \( \int_{0}^{1} (3x^2 + 2) \, dx \)?</p><p>A) 2</p><p>B) 3</p><p>C) 4</p><p>D) 5</p><p>**Resposta: B) 3**</p><p>**Explicação:** Calculamos a integral: \( \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C \). Avaliamos de</p><p>0 a 1: \( [1^3 + 2(1)] - [0 + 0] = 1 + 2 = 3 \).</p><p>6. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \)?</p><p>A) \( 2e^{2x} \)</p><p>B) \( e^{2x} \)</p><p>C) \( 4e^{2x} \)</p><p>D) \( 2x e^{2x} \)</p><p>**Resposta: A) \( 2e^{2x} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \).</p><p>Aqui, \( u = 2x \) e \( u' = 2 \), então \( f'(x) = 2e^{2x} \).</p><p>7. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \).</p><p>A) \( y = 2x - 1 \)</p><p>B) \( y = x + 1 \)</p><p>C) \( y = 2x - 2 \)</p><p>D) \( y = x^2 + 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( y = 2x - 1 \)**</p><p>**Explicação:** A derivada \( f'(x) = 2x \) nos dá a inclinação no ponto \( x = 1 \), que é 2.</p><p>Usando a fórmula da reta tangente \( y - y_0 = m(x - x_0) \), temos \( y - 1 = 2(x - 1) \) ou \( y =</p><p>2x - 1 \).</p><p>8. Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 - 4} \).</p><p>A) \( \frac{5}{3} \)</p><p>B) \( \infty \)</p><p>C) 0</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: A) \( \frac{5}{3} \)**</p><p>**Explicação:** Para limites em \( \infty \), dividimos todos os termos pelo maior grau de \(</p><p>x \) no denominador. Assim, \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 - \frac{4}{x^3}} =</p><p>\frac{5}{3} \).</p><p>9. Qual é a segunda derivada da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \)?</p><p>A) \( 12x - 6 \)</p><p>B) \( 12x^2 - 12x \)</p><p>C) \( 12x^2 - 6 \)</p><p>D) \( 24x^2 - 12x \)</p><p>**Resposta: D) \( 24x^2 - 12x \)**</p><p>**Explicação:** A primeira derivada é \( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \). Derivando novamente,</p><p>obtemos \( f''(x) = 12x^2 - 12x \).</p><p>10. Qual é o valor da integral definida \( \int_{1}^{2} (x^2 + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{7}{3} \)</p><p>B) \( 3 \)</p><p>C) \( 5 \)</p><p>D) \( 4 \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{7}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \). Avaliando de 1 a 2:</p><p>\( [\frac{8}{3} + 2] - [\frac{1}{3} + 1] = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} =</p><p>\frac{10}{3} \).</p><p>11. Determine a integral \( \int \cos(3x) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)</p><p>B) \( \sin(3x) + C \)</p><p>C) \( -\frac{1}{3} \sin(3x) + C \)</p><p>D) \( 3 \sin(3x) + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da integral de \( \cos(kx) \), que é \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C</p><p>\). Aqui, \( k = 3 \), então a integral é \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \).</p><p>12. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>C) \( \frac{2}{x} \)</p><p>D) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u'</p><p>\). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \), então \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>13. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Usando a regra de</p><p>L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1</p><p>\).</p><p>14. Qual é a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) \( -1 \)</p><p>**Resposta: C) 2**</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \): \( [-</p><p>\cos(\pi) - (-\cos(0))] = [1 - (-1)] = 2 \).</p><p>15. Determine a derivada de \( f(x) = \tan(x) \).</p><p>A) \( \sec^2(x) \)</p><p>B) \( \sin^2(x) \)</p><p>C) \( \cos^2(x) \)</p><p>D) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)</p><p>**Resposta: A) \( \sec^2(x) \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é uma identidade conhecida: \( f'(x) = \sec^2(x)</p><p>\).</p><p>16. Qual é o valor de \( \int x e^{x^2} \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)</p><p>B) \( e^{x^2} + C \)</p><p>C) \( x^2 e^{x^2} + C \)</p><p>D) \( 2 e^{x^2} + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( \frac{1}{2}</p><p>du = x \, dx \). A integral se torna \( \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).</p><p>17. Qual é a equação da reta normal à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \)?</p><p>A) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)</p><p>B) \( y = 2x - 1 \)</p><p>C) \( y = -2x + 3 \)</p><p>D) \( y = x + 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)**</p><p>**Explicação:** A inclinação da tangente é 2. A inclinação da normal é o negativo do</p><p>recíproco, que é \( -\frac{1}{2} \). Usando a fórmula da reta, temos \( y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)</p><p>\), ou \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \).</p><p>18. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p>