aulas da faculdade e da escola pf

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<p>**Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \(0/0\), então podemos fatorar:</p><p>\(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\), e substituindo \(x\) por 2, obtemos \(4\).</p><p>12. **Problema 12:** Determine a integral indefinida \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\).</p><p>A) \(x^5 - x^3 + 2x + C\)</p><p>B) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\)</p><p>C) \(5x^5 - 3x^3 + 2x + C\)</p><p>D) \(x^5 - x^2 + 2x + C\)</p><p>**Resposta:** B) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 5x^4 \, dx = x^5\), \(\int -3x^2 \, dx = -x^3\) e</p><p>\(\int 2 \, dx = 2x\). Portanto, a integral é \(x^5 - x^3 + 2x + C\).</p><p>13. **Problema 13:** Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).</p><p>A) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>B) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>C) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>D) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x =</p><p>\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).</p><p>14. **Problema 14:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).</p><p>A) 1</p><p>B) 0</p><p>C) \(e\)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 1</p><p>**Explicação:** Usando a definição de derivada de \(e^x\) em \(x = 0\), obtemos</p><p>\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1\).</p><p>15. **Problema 15:** Determine a integral definida \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{3}\)</p><p>B) \(\frac{1}{2}\)</p><p>C) \(\frac{2}{3}\)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** C) \(\frac{2}{3}\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (3x^2) \, dx = x^3\), \(\int (-2x) \, dx = -x^2\) e</p><p>\(\int 1 \, dx = x\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\[</p><p>\left[1^3 - 1^2 + 1\right] - \left[0\right] = 1 - 1 + 1 = 1.</p><p>\]</p><p>16. **Problema 16:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2)\).</p><p>A) \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\)</p><p>B) \(\frac{2x + 3}{2}\)</p><p>C) \(\frac{2x + 3}{x^2}\)</p><p>D) \(\frac{1}{x^2 + 3x + 2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 3x + 2} \cdot (2x + 3)\).</p><p>17. **Problema 17:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) 2</p><p>**Resposta:** C) 3</p><p>**Explicação:** Fatorando, temos \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). Assim, \(\lim_{x \to 1}</p><p>\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\).</p><p>18. **Problema 18:** Determine a integral indefinida \(\int (4x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx\).</p><p>A) \(x^4 - 2x^3 + x^2 + C\)</p><p>B) \(x^4 - 3x^2 + x + C\)</p><p>C) \(x^4 - 2x^3 + 2x + C\)</p><p>D) \(4x^4 - 6x^3 + 2x^2 + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(x^4 - 2x^3 + x^2 + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 4x^3 \, dx = x^4\), \(\int -6x^2 \, dx = -2x^3\) e</p><p>\(\int 2x \, dx = x^2\). Portanto, a integral é \(x^4 - 2x^3 + x^2 + C\).</p><p>19. **Problema 19:** Calcule a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).</p><p>A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>B) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>C) \(-\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>D) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>**Resposta:** A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do quociente, temos:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.</p><p>\]</p><p>20. **Problema 20:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\).</p><p>A) 5</p><p>B) 0</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 5</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\), onde \(k=5\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5\).</p><p>21. **Problema 21:** Calcule a integral definida \(\int_1^3 (x^2 - 4x + 4) \, dx\).</p><p>A) 0</p><p>B) 2</p><p>C) 4</p><p>D) 6</p><p>**Resposta:** D) 6</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (x^2) \, dx = \frac{x^3}{3}\), \(\int (-4x) \, dx = -</p><p>2x^2\) e \(\int 4 \, dx = 4x\). Avaliando de 1 a 3:</p><p>\[</p><p>\left[\frac{27}{3} - 18 + 12\right] - \left[\frac{1}{3} - 2 + 4\right] = \left[9 - 18 + 12\right] -</p><p>\left[\frac{1}{3} - 2 + 4\right].</p><p>\]</p><p>22. **Problema 22:** Encontre a derivada de \(f(x) = \cos(3x)\).</p><p>A) \(-3\sin(3x)\)</p><p>B) \(3\sin(3x)\)</p><p>C) \(-\sin(3x)\)</p><p>D) \(3\cos(3x)\)</p><p>**Resposta:** A) \(-3\sin(3x)\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)\).</p><p>23. **Problema 23:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}\).</p><p>A) 2</p><p>B) 3</p><p>C) \(\infty\)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** A) 2</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty}</p><p>\frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\).</p><p>24. **Problema 24:** Determine a integral indefinida \(\int (7x^6 - 2x^3 + 5) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{2}{4}x^4 + 5x + C\)</p><p>B) \(x^7 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C\)</p><p>C) \(7x^7 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C\)</p><p>D) \(7x^7 - \frac{2}{4}x^4 + 5x + C\)</p><p>**Resposta:** B) \(x^7 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 7x^6 \, dx = x^7\), \(\int -2x^3 \, dx = -</p><p>\frac{1}{2}x^4\) e \(\int 5 \, dx = 5x\). Portanto, a integral é \(x^7 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C\).</p><p>25. **Problema 25:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(5x + 1)\).</p>