aulas da faculdade e da escola ph

Prévia do material em texto

<p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** D) 3</p><p>**Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \(0/0\). Fatorando, temos \(x^3</p><p>- 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), então:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3.</p><p>\]</p><p>39. **Problema 39:** Calcule a integral definida \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{4}\)</p><p>B) \(\frac{1}{3}\)</p><p>C) \(\frac{5}{12}\)</p><p>D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta:** D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (4x^3) \, dx = x^4\), \(\int (-2x^2) \, dx = -</p><p>\frac{2}{3}x^3\) e \(\int 1 \, dx = x\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\[</p><p>\left[1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 1\right] - 0 = 1 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} =</p><p>\frac{2}{3}.</p><p>\]</p><p>40. **Problema 40:** Encontre a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\).</p><p>A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)</p><p>B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\)</p><p>C) \(3x^2 \ln(x) + \frac{x^2}{x}\)</p><p>D) \(3x^2 \ln(x) + 1\)</p><p>**Resposta:** A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \cdot</p><p>\frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2\).</p><p>41. **Problema 41:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\).</p><p>A) 2</p><p>B) 0</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\), onde \(k=2\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\).</p><p>42. **Problema 42:** Determine a integral indefinida \(\int (6x^5 - 4x^3 + 2x) \, dx\).</p><p>A) \(x^6 - x^4 + x^2 + C\)</p><p>B) \(6x^6 - x^4 + x^2 + C\)</p><p>C) \(x^6 - \frac{4}{4}x^4 + x^2 + C\)</p><p>D) \(6x^6 - 4x^4 + x^2 + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(x^6 - x^4 + x^2 + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 6x^5 \, dx = x^6\), \(\int -4x^3 \, dx = -x^4\) e</p><p>\(\int 2x \, dx = x^2\). Portanto, a integral é \(x^6 - x^4 + x^2 + C\).</p><p>43. **Problema 43:** Calcule a derivada de \(f(x) = x^2 e^x\).</p><p>A) \(x^2 e^x + 2x e^x\)</p><p>B) \(2x e^x + x^2 e^x\)</p><p>C) \(e^x(2x + x^2)\)</p><p>D) \(e^x(2x^2 + x)\)</p><p>**Resposta:** A) \(x^2 e^x + 2x e^x\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' = 2x e^x</p><p>+ x^2 e^x\).</p><p>44. **Problema 44:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 4}\).</p><p>A) \(\frac{3}{5}\)</p><p>B) \(\infty\)</p><p>C) 0</p><p>D) 1</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{3}{5}\)</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty}</p><p>\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}\).</p><p>45. **Problema 45:** Determine a integral definida \(\int_0^1 (5x^4 - 3x^3 + 2) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{5}\)</p><p>B) \(\frac{1}{3}\)</p><p>C) \(\frac{2}{5}\)</p><p>D) \(\frac{3}{5}\)</p><p>**Resposta:** B) \(\frac{1}{5}\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (5x^4) \, dx = x^5\), \(\int (-3x^3) \, dx = -</p><p>\frac{3}{4}x^4\) e \(\int 2 \, dx = 2x\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\[</p><p>\left[1^5 - \frac{3}{4}(1^4) + 2(1)\right] - 0 = 1 - \frac{3}{4} + 2 = \frac{5}{4}.</p><p>\]</p><p>46. **Problema 46:** Calcule a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 2}\).</p><p>A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}\)</p><p>B) \(\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}\)</p><p>C) \(-\frac{1}{(x^2 + 2)^2}\)</p><p>D) \(\frac{1}{(x^2 + 2)^2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do quociente, temos:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 2) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}.</p><p>\]</p><p>47. **Problema 47:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 5</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 5</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k\), onde \(k=5\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5\).</p><p>48. **Problema 48:** Calcule a integral definida \(\int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx\).</p><p>A) 8</p><p>B) 10</p><p>C) 12</p><p>D) 14</p><p>**Resposta:** B) 10</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (x^2) \, dx = \frac{x^3}{3}\), \(\int (2x) \, dx = x^2\)</p><p>e \(\int 1 \, dx = x\). Avaliando de 1 a 3:</p><p>\[</p><p>\left[\frac{27}{3} + 9 + 3\right] - \left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] = (9 + 9 + 3) - \left(\frac{1}{3} +</p><p>2\right) = 21 - \frac{7}{3} = \frac{63 - 7}{3} = \frac{56}{3}.</p><p>\]</p><p>49. **Problema 49:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{3x}\).</p><p>A) \(3e^{3x}\)</p><p>B) \(e^{3x}\)</p><p>C) \(e^{x}\)</p><p>D) \(3e^{x}\)</p><p>**Resposta:** A) \(3e^{3x}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 3e^{3x}\).</p><p>50. **Problema 50:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p>