aulas da faculdade e da escola pj

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<p>\]</p><p>64. **Problema 64:** Encontre a derivada de \(f(x) = x^4 \sin(x)\).</p><p>A) \(4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x)\)</p><p>B) \(4x^3 \sin(x) - x^4 \cos(x)\)</p><p>C) \(x^3 \sin(x) + 4x^4 \cos(x)\)</p><p>D) \(4x^3 \sin(x) + 4x^4 \cos(x)\)</p><p>**Resposta:** A) \(4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x)\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^4)' \sin(x) + x^4 (\sin(x))' =</p><p>4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x)\).</p><p>65. **Problema 65:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** D) 3</p><p>**Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \(0/0\). Fatorando, temos \(x^3</p><p>- 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), então:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3.</p><p>\]</p><p>66. **Problema 66:** Determine a integral indefinida \(\int (5x^4 - 3x^3 + 2) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\)</p><p>B) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\)</p><p>C) \(5x^5 - 3x^4 + 2x + C\)</p><p>D) \(5x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\)</p><p>**Resposta:** B) \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 5x^4 \, dx = x^5\), \(\int -3x^3 \, dx = -</p><p>\frac{3}{4}x^4\) e \(\int 2 \, dx = 2x\). Portanto, a integral é \(x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C\).</p><p>67. **Problema 67:** Calcule a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).</p><p>A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>B) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>C) \(-\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>D) \(\frac{1}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>**Resposta:** A) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do quociente, temos:</p><p>\[</p><p>f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.</p><p>\]</p><p>68. **Problema 68:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 4</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 4</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\), onde \(k=4\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4\).</p><p>69. **Problema 69:** Calcule a integral definida \(\int_0^2 (x^2 - 4x + 4) \, dx\).</p><p>A) 0</p><p>B) 2</p><p>C) 4</p><p>D) 6</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (x^2) \, dx = \frac{x^3}{3}\), \(\int (-4x) \, dx = -</p><p>2x^2\) e \(\int 4 \, dx = 4x\). Avaliando de 0 a 2:</p><p>\[</p><p>\left[\frac{8}{3} - 8 + 8\right] - \left[0\right] = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}.</p><p>\]</p><p>70. **Problema 70:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sin(5x)\).</p><p>A) \(5\cos(5x)\)</p><p>B) \(-5\sin(5x)\)</p><p>C) \(\cos(5x)\)</p><p>D) \(5\sin(5x)\)</p><p>**Resposta:** A) \(5\cos(5x)\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 5\cos(5x)\).</p><p>71. **Problema 71:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \(0/0\). Fatorando, temos \(x^2</p><p>- 1 = (x - 1)(x + 1)\), então:</p><p>\[</p><p>\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.</p><p>\]</p><p>72. **Problema 72:** Determine a integral indefinida \(\int (x^3 - 2x + 1) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C\)</p><p>B) \(\frac{1}{4}x^4 - x + C\)</p><p>C) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + 1 + C\)</p><p>D) \(\frac{1}{4}x^4 - 2x + C\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4\), \(\int -2x \, dx = -x^2\)</p><p>e \(\int 1 \, dx = x\). Portanto, a integral é \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C\).</p><p>73. **Problema 73:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).</p><p>A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\)</p><p>D) \(\frac{1}{2x}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1}\).</p><p>74. **Problema 74:** Encontre o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\), onde \(k=2\), obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\).</p><p>75. **Problema 75:** Calcule a integral definida \(\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{4}\)</p><p>B) \(\frac{1}{3}\)</p><p>C) \(\frac{5}{12}\)</p><p>D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta:** D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int (3x^2) \, dx = x^3\), \(\int (-2x) \, dx = -x^2\) e</p><p>\(\int 1 \, dx = x\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\[</p><p>\left[1^3 - 1^2 + 1\right] - 0 = 1 - 1 + 1 = 1.</p><p>\]</p><p>76. **Problema 76:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{2x}\).</p><p>A) \(2e^{2x}\)</p><p>B) \(e^{2x}\)</p><p>C) \(4e^{2x}\)</p><p>D) \(2x e^{x}\)</p>