Determine a integral \( \int_0^1 (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) \, dx \). A) \( 2 \) B) \( \frac{5}{4} \) C) \( \frac{9}{4} \) D) 1

Para resolver a integral \( \int_0^1 (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( 4x^3 \): \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] 2. Integral de \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] 3. Integral de \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] 4. Integral de \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \] Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^4 + x^3 + x^2 + x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ x^4 + x^3 + x^2 + x \right]_0^1 = (1^4 + 1^3 + 1^2 + 1) - (0^4 + 0^3 + 0^2 + 0) \] \[ = (1 + 1 + 1 + 1) - 0 = 4 \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) \, dx = 4 \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.