6WLQ charlie

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- **Resposta:** B) 5 
 - **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{5\sec^2(5x)}{1} = 5\). 
 
60. **Qual é a solução da equação diferencial \(y'' + 4y = 0\)?** 
 - A) \(y = A \cos(2x) + B \sin(2x)\) 
 - B) \(y = A e^{2x} + B e^{-2x}\) 
 - C) \(y = A \cos(4x) + B \sin(4x)\) 
 - D) \(y = A e^{4x} + B e^{-4x}\) 
 - **Resposta:** A) \(y = A \cos(2x) + B \sin(2x)\) 
 - **Explicação:** A equação tem raízes complexas, resultando em uma solução geral 
que envolve funções trigonométricas. 
 
61. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) \(\frac{1}{4}\) 
 - **Resposta:** A) 0 
 - **Explicação:** A função é um polinômio que se anula em \(x = 1\) e \(x = 0\), portanto, 
a integral de uma função que é zero em ambos os limites resulta em \(0\). 
 
62. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)?** 
 - A) 2 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 - **Resposta:** A) 2 
 - **Explicação:** Usamos fatoração: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\). Avaliando o limite, 
obtemos \(1 + 1 = 2\). 
 
63. **Qual é a solução da equação diferencial \(y' = 4y + 3\)?** 
 - A) \(y = Ce^{4x} - \frac{3}{4}\) 
 - B) \(y = Ce^{-4x} - \frac{3}{4}\) 
 - C) \(y = Ce^{4x} + \frac{3}{4}\) 
 - D) \(y = Ce^{-4x} + \frac{3}{4}\) 
 - **Resposta:** A) \(y = Ce^{4x} - \frac{3}{4}\) 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e a solução 
pode ser encontrada usando o método do fator integrante. 
 
64. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (4x^3 - 4x^2 + 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) \(\frac{1}{2}\) 
 - D) \(\frac{2}{3}\) 
 - **Resposta:** B) 1 
 - **Explicação:** A integral é avaliada como \(\left[x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x\right]_0^1 = 1 - 
\frac{4}{3} + 1 = 1\). 
 
65. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - C) \(\frac{1}{2}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{6}\) 
 - **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). A integral se 
torna \(\int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{4}\). 
 
66. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\)?** 
 - A) \(2xe^{x^2}\) 
 - B) \(e^{x^2}\) 
 - C) \(x e^{x^2}\) 
 - D) \(2e^{x^2}\) 
 - **Resposta:** A) \(2xe^{x^2}\) 
 - **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\). 
 
67. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^3 + 2x^2 + 1) \, dx\)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 - **Resposta:** B) 2 
 - **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + x\). Avaliando de \(0\) 
a \(1\), obtemos \(\frac{3}{4} + \frac{2}{3} + 1 = 2\). 
 
68. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\)?** 
 - A) 0 
 - B) 5 
 - C) 1 
 - D) Não existe 
 - **Resposta:** B) 5 
 - **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{5\sec^2(5x)}{1} = 5\). 
 
69. **Qual é a solução da equação diferencial \(y'' + 4y = 0\)?** 
 - A) \(y = A \cos(2x) + B \sin(2x)\) 
 - B) \(y = A e^{2x} + B e^{-2x}\) 
 - C) \(y = A \cos(4x) + B \sin(4x)\) 
 - D) \(y = A e^{4x} + B e^{-4x}\) 
 - **Resposta:** A) \(y = A \cos(2x) + B \sin(2x)\) 
 - **Explicação:** A equação tem raízes complexas, resultando em uma solução geral 
que envolve funções trigonométricas. 
 
70. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\)?** 
 - A) 0 
 - B) 1