calculo ensino medio m

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2. **Encontre a derivada de** \(f(x) = e^x \cdot \sin(x)\). 
 **Resposta**: \(f'(x) = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x))\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto. A derivada de \(e^x\) é \(e^x\) e a derivada de 
\(\sin(x)\) é \(\cos(x)\), então aplicamos a regra do produto. 
 
3. **Resolva a equação diferencial** \(y'' + 4y = 0\). 
 **Resposta**: \(y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 **Explicação**: A equação diferencial é homogênea e de coeficientes constantes. A solução 
geral é uma combinação linear das funções \(\cos(2x)\) e \(\sin(2x)\). 
 
4. **Encontre o valor de** \(\int_0^1 x^2 \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: Integrando \(x^2\) de 0 a 1, obtemos \(\frac{x^3}{3}\) avaliado entre 0 e 1. 
 
5. **Calcule a integral** \(\int e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: Não possui uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: A integral do \(e^{-x^2}\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares; usa-se a função erro para essa integral. 
 
6. **Determine o valor de** \(\frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 + 1)\right)\). 
 **Resposta**: \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia e a derivada de \(\ln(u)\), obtemos \(\frac{2x}{x^2 
+ 1}\). 
 
7. **Calcule a integral** \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\ln|\ln(x)| + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), e a integral resulta em \(\ln|\ln(x)|\). 
 
8. **Resolva a equação** \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = 1\) (dupla raiz) 
 **Explicação**: A equação é um quadrado perfeito, \((x - 1)^2 = 0\). 
 
9. **Encontre o valor da série** \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 **Explicação**: Esta é a série de Basileia. O valor é um resultado famoso da análise 
matemática. 
 
10. **Determine o valor da função** \(f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, dt\) para \(x = 1\). 
 **Resposta**: Aproximadamente 0.746824 
 **Explicação**: A função não tem uma antiderivada elementar, então é avaliada 
numericamente. 
 
11. **Encontre a solução geral da equação diferencial** \(y' = y\). 
 **Resposta**: \(y(x) = C e^x\) 
 **Explicação**: A equação diferencial é linear e separável, e a solução é uma exponencial. 
 
12. **Calcule o determinante da matriz** \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta**: -2 
 **Explicação**: O determinante é calculado como \(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3\). 
 
13. **Resolva a integral** \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: 2 
 **Explicação**: Integrando \(\sin(x)\) de 0 a \(\pi\), obtemos \(-\cos(x)\) avaliado entre 0 e 
\(\pi\). 
 
14. **Calcule a integral de linha** \(\int_{C} (x^2 + y^2) \, dx + (x - y) \, dy\), onde \(C\) é a 
linha reta de \((0,0)\) a \((1,1)\). 
 **Resposta**: \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação**: Parametrizando a linha reta e integrando ao longo da curva. 
 
15. **Encontre a série de Taylor para** \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta**: \(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\) 
 **Explicação**: A série é uma soma infinita das derivadas de \(\cos(x)\) avaliadas em 0.