AULA 08 - TEOREMA DE PITÁGORAS

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<p>Página | 1</p><p>PREPARATÓRIO ITEP/RN</p><p>PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>MATEMÁTICA – AULA 08</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Conteúdos:</p><p> TEOREMA DE PITÁGORAS;</p><p> RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO;</p><p> TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.</p><p>ALUNO(A):</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 1</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de</p><p>um triângulo retângulo da seguinte maneira:</p><p>Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é</p><p>igual à soma dos quadrados dos catetos.</p><p>Onde: a = hipotenusa;</p><p>b e c = catetos</p><p>Dessa forma temos que:</p><p>Ao traçar a altura h em um triângulo retângulo ABC,</p><p>retângulo em A, obtemos os seguintes segmentos, formando</p><p>três triângulos que são semelhantes entre si:</p><p>Podemos relacionar de várias formas as medidas dos lados</p><p>desses triângulos, obtendo-se as seguintes relações:</p><p>c.h = b.n</p><p>c² = a.n</p><p>b.c = a.h</p><p>b² = a.m</p><p>h² = n.m</p><p>b.h = c.m</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>Determine a medida de x nos triângulos retângulos a seguir.</p><p>Em uma escola, há dois blocos de salas de aula. Um aluno</p><p>que está no bloco 2 percorre o trajeto SRPQ para chegar ao</p><p>pátio, como pode ser visto na figura a seguir.</p><p>A distância percorrida por este aluno, em metros, é</p><p>TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>QUESTÃO 01</p><p>QUESTÃO 02</p><p>RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>A. 18</p><p>B. 19</p><p>C. 20</p><p>D. 13 + √7</p><p>E. 13 + √14</p><p>Na figura, um menino está soltando pipa em um terreno</p><p>totalmente plano. Quando a pipa atinge 60 m de altura, a</p><p>ação do sol projeta sua sombra sobre o solo. O menino</p><p>resolve, então, dar mais linha à pipa para colocá-la em uma</p><p>altura de 90 m, mas mantendo a sombra projetada à mesma</p><p>distância em relação a ele. A linha da pipa permanece</p><p>perfeitamente esticada e a altura do rolo de linha na mão do</p><p>menino é desprezada.</p><p>Utilizando √145 ≅ 12 , a quantidade de linha, em metro,</p><p>que ele precisará dar a mais à pipa é</p><p>A. 20</p><p>B. 25</p><p>C. 30</p><p>D. 35</p><p>E. 40</p><p>No triângulo a seguir, calcule o valor de x.</p><p>Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela</p><p>cidade B, conforme mostra a figura.</p><p>É correto afirmar que ao realizar esse trajeto entre as cidade</p><p>A e E, esse motorista percorreu uma distância em</p><p>quilômetros igual a</p><p>A. 41</p><p>B. 15</p><p>C. 9</p><p>D. 36</p><p>E. 24</p><p>Em cada triângulo retângulo, determine os valores</p><p>desconhecidos indicados pelas letras.</p><p>QUESTÃO 03</p><p>QUESTÃO 04</p><p>QUESTÃO 05</p><p>QUESTÃO 06</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Em todo triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo</p><p>reto são denominados catetos, o lado oposto ao ângulo reto</p><p>é chamado de hipotenusa.</p><p>RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>Ao viajar com sua familia até uma parque de diversões Bruno</p><p>resolveu realizar a descida de tirolesa por um cabo de aço</p><p>que ligava duas torres que distavam 100 metros uma da</p><p>outra conforme mostra a imagem abaixo.</p><p>Sabendo que a inclinação do cabo formava um ângulo de</p><p>35º com uma linha imaginaria horizonal que ligava as duas</p><p>torres, é correto afirmar que o comprimento aproximado, em</p><p>metros, desse cabo de aço é igual a:</p><p>(Dados: Sen 35º = 0,57 / Cos 35º = 0,82 / Tg 35º = 0,7)</p><p>A. 118,56.</p><p>B. 119,45.</p><p>C. 120,65.</p><p>D. 121, 95.</p><p>E. 122, 85.</p><p>Um caminhão de bombeiro foi acionado para apagar um</p><p>incêndio em uma residência. Ao chegarem ao local os</p><p>bombeiros tiveram que posicionar o caminhão a uma</p><p>distância horizontal de 9,52 m do prédio para resgatar os</p><p>moradores que estavam na cobertura da casa. Ao liberarem</p><p>a escada, um bombeiro percebeu que a abertura entre a</p><p>escada e a estrutura que a sustenta no caminhão era de 70º.</p><p>De acordo com as informações dadas, é correto afirmar que</p><p>o comprimento, em metros, da escada é igual a (Dados:</p><p>Sen70º = 0,94 / cos70º = 0,34 / tgt70º = 2,75).</p><p>A. 28,0</p><p>B. 27,5</p><p>C. 26,18</p><p>D. 25,0</p><p>E. 24,32</p><p>Duas crianças brincam em uma gangorra de madeira cujo</p><p>comprimento é igual a 3 metros. Sabendo que a ponta da</p><p>gangorra toca o solo em dois pontos que distam entre si 280</p><p>centímetros, considerando a imagem e a tabela abaixo, é</p><p>correto afirmar que a altura máxima que as crianças podem</p><p>TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÃNGULO</p><p>QUESTÃO 08</p><p>QUESTÃO 07</p><p>QUESTÃO 09</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 4</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>atingir ao brincarem na gangorra é, aproximadamente igual</p><p>a</p><p>A. 1,075 m</p><p>B. 1,130 m</p><p>C. 1,205 m</p><p>D. 1,355 m</p><p>E. 1,465 m</p><p>No desenho abaixo está representado o instante em que um</p><p>satélite de órbita baixa transmite o sinal para uma antena</p><p>receptora.</p><p>Qual é a distância S que esse sinal de satélite deve percorrer</p><p>para chegar até a antena receptora?</p><p>A. 457,3 km</p><p>B. 703,9 km</p><p>C. 1000 km</p><p>D. 1292 km</p><p>E. 1539,5 km</p><p>Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício.</p><p>Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para</p><p>medir ângulos) a 300 metros do edifício e mediu um ângulo</p><p>de 30º, como indicado na figura a seguir.</p><p>Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo,</p><p>determine a altura do edifício.</p><p>Adote a aproximação: .</p><p>Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base</p><p>de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela</p><p>caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de</p><p>onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°.</p><p>Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando</p><p>em linha reta no sentido de A para B, para que possa</p><p>enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?</p><p>A. 150</p><p>B. 180</p><p>C. 270</p><p>QUESTÃO 10</p><p>QUESTÃO 11</p><p>QUESTÃO 12</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 5</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>D. 300</p><p>E. 310</p><p>Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um</p><p>poste, a uma altura h do ponto P, no chão.</p><p>Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo</p><p>de 30°, conforme mostra figura abaixo.</p><p>O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a</p><p>coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma</p><p>distância BR de medida metros.</p><p>Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P</p><p>alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se</p><p>afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em</p><p>metros, é um número entre:</p><p>A. 3 e 4</p><p>B. 4 e 5</p><p>C. 5 e 6</p><p>D. 6 e 7</p><p>E. 7 e 8</p><p>Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob</p><p>ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura</p><p>abaixo.</p><p>Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as</p><p>cidades A e B é:</p><p>A. 7 km</p><p>B. 5,5 km</p><p>C. 5 km</p><p>D. 6,5 km</p><p>E. 6 km</p><p>SEÇÃO ENEM</p><p>Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de</p><p>cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10</p><p>cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces.</p><p>Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra</p><p>a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte,</p><p>dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o</p><p>corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de</p><p>pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe</p><p>desejará dispor da</p><p>maior área possível da região em que serão afixados os</p><p>doces.</p><p>Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a</p><p>calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a</p><p>A. 5 - √91/2</p><p>B. 10 - √91</p><p>C. 1</p><p>D. 4</p><p>E. 5</p><p>A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos</p><p>planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de</p><p>madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são</p><p>bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las</p><p>o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita,</p><p>preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1</p><p>ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma</p><p>cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha,</p><p>de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2</p><p>cm, conforme ilustra a figura 2.</p><p>QUESTÃO 01</p><p>QUESTÃO 02</p><p>QUESTÃO 13</p><p>QUESTÃO 14</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 6</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O</p><p>como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são pontos em</p><p>que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da</p><p>cancha, e que a distância entre A e B é igual a d.</p><p>Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?</p><p>A. 1</p><p>B. 2√10/5</p><p>C. √10/2</p><p>D. 2</p><p>E. √10</p><p>Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada</p><p>de 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do</p><p>corrimão é igual a:</p><p>A. 1,8 m.</p><p>B. 1,9 m.</p><p>C. 2,0 m.</p><p>D. 2,1 m</p><p>E. 2,2 m.</p><p>Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago</p><p>formando um ângulo X com a sua superfície, conforme indica</p><p>a figura.</p><p>Em determinadas condições, pode-se supor que a</p><p>intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago,</p><p>seja dada aproximadamente por I(x) = k . sen(x)</p><p>sendo k uma constante, e supondo-se que X está entre 0° e</p><p>90º.</p><p>Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual</p><p>percentual de seu valor máximo?</p><p>A. 33%</p><p>B. 50%</p><p>C. 57%</p><p>D. 70%</p><p>E. 86%</p><p>Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros</p><p>a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu</p><p>nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de</p><p>Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O</p><p>artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,</p><p>desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e</p><p>Itália, para a medição do comportamento da camada de</p><p>ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo</p><p>previsto de medição.</p><p>Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.</p><p>Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou</p><p>sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição</p><p>vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo</p><p>sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo</p><p>de 30º. Qual a altura aproximada em que se encontrava o</p><p>balão?</p><p>A. 1,8 km</p><p>QUESTÃO 03</p><p>QUESTÃO 04</p><p>QUESTÃO 05</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 7</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>B. 1,9 km</p><p>C. 3,1 km</p><p>D. 3,7 km</p><p>E. 5,5 km</p><p>Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura</p><p>projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins,</p><p>para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há</p><p>uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição</p><p>do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas</p><p>paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.</p><p>Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de</p><p>distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de</p><p>verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num</p><p>plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde,</p><p>no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição</p><p>a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao</p><p>meio-dia.</p><p>Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto,</p><p>as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira</p><p>que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de</p><p>A. 9.</p><p>B. 15.</p><p>C. 26.</p><p>D. 52.</p><p>E. 60.</p><p>Para determinar a distância de um barco até a praia, um</p><p>navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um</p><p>ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto</p><p>fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele</p><p>seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o</p><p>mesmo possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto</p><p>sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:</p><p>Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e,</p><p>ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido</p><p>a distância AB = 2 000 m.</p><p>Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a</p><p>menor distância do barco até o ponto fixo P será</p><p>A. 1 000 m.</p><p>B. 1 000 √3 m.</p><p>C. 2 000 √3/3 m.</p><p>D. 2 000 m</p><p>E. 2 000 √3 m.</p><p>O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente</p><p>ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três</p><p>cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados</p><p>para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará</p><p>perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P</p><p>do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade,</p><p>num ponto no chão, como mostra a figura.</p><p>Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão.</p><p>Por medida de segurança, há apenas três opções de</p><p>instalação:</p><p>• opção I: h = 11 m e a = 30°</p><p>• opção II: h = 12 m e a = 45°</p><p>• opção III: h = 18 m e a = 60°</p><p>QUESTÃO 06</p><p>QUESTÃO 07</p><p>QUESTÃO 08</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 8</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos</p><p>cabos seja a menor possível.</p><p>Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a</p><p>serem instalados?</p><p>A.</p><p>22√3</p><p>2</p><p>B. 11√2</p><p>C. 12√2</p><p>D. 12√3</p><p>E. 22</p><p>Gabarito Fixação:</p><p>1 – a) 5 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 5 cm, 2 – A, 3 – A, 4 – x = 2, 5 – D, 6 – a) m = 3,2 b) a =</p><p>5 c) h = 60/13 d) h = 9,6 , 7 – D, 8 – A, 9 – A, 10 – C, 11 – sala, 12 – C, 13 – B, 14 – E.</p><p>Gabarito ENEM:</p><p>1 – C, 2 – E, 3 – D, 4 – B, 5 – C, 6 – C, 7 – B, 8 - C.</p>