Resolução de Exercícios Matemáticos

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<p>Resolução de exerćıcios da lista 4.</p><p>1. Calcule, caso existam, os limites abaixo indicados.</p><p>(13). lim</p><p>x→3</p><p>x− 3</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>3</p><p>Solução: Primeiramente, note que, temos uma indeterminação do tipo 0</p><p>0</p><p>. Assim,</p><p>devemos simplificar a expressão para sair dessa indeterminação. Para tanto, observe</p><p>que,</p><p>x− 3 = ( 3</p><p>√</p><p>x)3 − (</p><p>3</p><p>√</p><p>3)3 = ( 3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>3)(</p><p>3</p><p>√</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>√</p><p>3x+</p><p>3</p><p>√</p><p>32).</p><p>Dessa forma,</p><p>lim</p><p>x→3</p><p>x− 3</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>3</p><p>= lim</p><p>x→3</p><p>( 3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>3)(</p><p>3</p><p>√</p><p>x2 + 3</p><p>√</p><p>3x+</p><p>3</p><p>√</p><p>32)</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>3</p><p>= lim</p><p>x→3</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>√</p><p>3x+</p><p>3</p><p>√</p><p>32)</p><p>= lim</p><p>x→3</p><p>3</p><p>√</p><p>32 +</p><p>3</p><p>√</p><p>3 · 3 +</p><p>3</p><p>√</p><p>32</p><p>= 3 · 3</p><p>√</p><p>9.</p><p>(16). lim</p><p>x→0</p><p>√</p><p>x2 + x+ 1− 1</p><p>x</p><p>Solução:</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>√</p><p>x2 + x+ 1− 1</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>√</p><p>x2 + x+ 1− 1</p><p>x</p><p>(√</p><p>x2 + x+ 1 + 1√</p><p>x2 + x+ 1 + 1</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>x2 + x</p><p>x(</p><p>√</p><p>x2 + x+ 1 + 1)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>x(x+ 1)</p><p>x(</p><p>√</p><p>x2 + x+ 1 + 1)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>x+ 1√</p><p>x2 + x+ 1 + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(43). lim</p><p>x→+∞</p><p>(√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>)</p><p>Solução:</p><p>lim</p><p>x→+∞</p><p>(√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→+∞</p><p>(√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>)(√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x− 1√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>)</p><p>= lim</p><p>x→+∞</p><p>x+</p><p>√</p><p>x− (x− 1)√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>= lim</p><p>x→+∞</p><p>√</p><p>x+ 1√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>x− 1</p><p>= lim</p><p>x→+∞</p><p>√</p><p>x</p><p>(</p><p>1 +</p><p>1√</p><p>x</p><p>)</p><p>√</p><p>x</p><p>(√</p><p>1 +</p><p>1√</p><p>x</p><p>+</p><p>√</p><p>1 +</p><p>1</p><p>x</p><p>) =</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2. Seja f uma função definida em R. Suponha que lim</p><p>x→0</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>= 1. Calcule:</p><p>(3). lim</p><p>x→1</p><p>f(x2 − 1)</p><p>x− 1</p><p>Solução:</p><p>Fazendo a mudança de variável, u = x2 − 1 e</p><p>isolando o “x”, obtemos, |x| =</p><p>√</p><p>u+ 1.</p><p>Se x→ 1 então x > 0.</p><p>Logo, |x| = x e u→ 0.</p><p>Assim,</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>f(x2 − 1)</p><p>x− 1</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>f(u)√</p><p>u+ 1− 1</p><p>(√</p><p>u+ 1 + 1√</p><p>u+ 1 + 1</p><p>)</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>f(u)(</p><p>√</p><p>u+ 1 + 1)</p><p>u+ 1− 1</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>f(u)</p><p>u</p><p>· lim</p><p>u→0</p><p>√</p><p>u+ 1 + 1 = 2.</p><p>3. Se f é a função dada por f(x) =</p><p></p><p>x2 − 4, se x</p>