Calculo 1 Limites e Funções

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Segunda Lista de Exercícios de Cálculo I
Rubens Sucupira
1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
b) lim
z→−5
z2 − 25
z + 5
c) lim
x→−3/2
4x2 − 9
2x+ 3
d) lim
x→1/3
3x− 1
9x2 − 1
e) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
f) lim
s→1
s3 − 1
s− 1
g) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
h) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s+ 4
i) lim
x→0
√
x+ 2−
√
2
x
j) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
k) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
l) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
m) lim
t→3/2
√
8t3 − 27
4t2 − 9
n) lim
h→0
(t+ h)2 − t2
h
o) lim
x→1
1−
√
x
x2 − 1
p) lim
x→−1
√
2− 2x− 2
1 + 3
√
x
2. Calcule os limites trigonométricos a seguir:
a) lim
x→0
sen 4x
x
b) lim
x→0
2x
sen 3x
c) lim
x→0
sen 9x
sen 7x
d) lim
t→0
sen 3t
sen 6t
e) lim
x→0
sen3 x
x2
f) lim
x→0
sen2 3x
3x2
g) lim
x→0
sen4 2x
4x4
h) lim
x→0
1− cos 4x
x2
i) lim
x→0
1− cosx
1 + senx
j) lim
x→0
x2 + 3x
senx
k) lim
x→0
tg x
2x
l) lim
x→0
1− cos 2x
sen 3x
m) lim
x→π
senx
x− π
n) lim
x→π/2
1− senx
π
2 − x
o) lim
x→0
x cos
1
x
p) lim
x→0
x2 sen
1
3
√
x
q) lim
x→0
sen(senx)
x
r) lim
x→0
senx sen
1
x
3. Nos ítens a seguir, faça um esboço do grá�co de cada uma das funções dadas e determine o limite
da função no ponto especi�cado, caso exista.
a) f(x) =
{
x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2
lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x), lim
x→2
f(x)
b) g(s) =
{
s+ 3 se s < −2
3− s se s ≥ −2
lim
s→−2+
g(s), lim
s→−2−
g(s), lim
s→−2
g(s)
c) h(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
10− x se x > 3
lim
x→3+
h(x), lim
x→3−
h(x), lim
x→3
h(x)
d) f(x) =

2x+ 3 se x < 1
4 se x = 1
7− 2x se x > 1
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
4. Dadas as funções f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
, mostre que não existem
lim
x→1
f(x) e nem lim
x→1
g(x), mas existe lim
x→1
[f(x) · g(x)].
5. Dada f(x) =
{
3x+ 2 se x ≤ 4
5x+ k se x > 4
, determine k para que exista lim
x→4
f(x).
6. Dada f(x) =
{
kx− 3 se x ≤ −1
x2 + k se x > −1 , determine k para que exista limx→−1 f(x).
7. Dada f(x) =

2x− a se x < −3
ax+ 2b se −3 ≤ x ≤ 3
b− 5x se x > 3
, determine a e b reais para que existam lim
x→−3
f(x) e
lim
x→3
f(x).
8. Seja f(x) = dxe − bxc. Determine lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x). Observe o que acontece com os
limites laterais de f(x) quando x tende para a, sendo a qualquer número real.
9. A função sinal é de�nida como sgn(x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
. Determine lim
x→0+
|sgn(x)|, lim
x→0−
|sgn(x)|,
lim
x→0
|sgn(x)|.
10. Seja h(x) = (x − 1) · sgn(x). Faça um esboço do grá�co de h e determine lim
x→0+
h(x), lim
x→0−
h(x),
lim
x→0
h(x).
11. Seja G(x) = bxc + b4 − xc. Faça um esboço do grá�co de G e determine lim
x→3+
G(x), lim
x→3−
G(x),
lim
x→3
G(x).
12. Calcule os seguintes limites:
a) lim
t→2+
t− 2
t2 − 4
b) lim
t→2−
−t+ 2
(t− 2)2
c) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
d) lim
x→4−
√
16− x2
x− 4
e) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x2
)
f) lim
x→3−
bxc − x
3− x
g) lim
s→2−
(
1
s− 2
− 3
s2 − 4
)
h) lim
t→−4−
(
2
t2 + 3t− 4
− 3
t+ 4
)
i) lim
x→1−
bx2c − 1
x2 − 1
j) lim
x→1+
x− 1√
2x− x2 − 1
k) lim
x→2−
x− 2
2−
√
4x− x2
l) lim
h→1+
bh2c − bhc2
h2 − 1
m) lim
t→0−
t3 − 5t
2t3 − 3t2
n) lim
h→2+
bhc − 1
bhc − h
13. Calcule os seguintes limites:
a) lim
t→+∞
2t+ 1
5t+ 2
b) lim
t→−∞
6t− 4
3t+ 1
c) lim
x→−∞
2x+ 7
4− 5x
d) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
e) lim
s→−∞
4s2 + 3
2s2 − 1
f) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
g) lim
s→+∞
s2 + 5
s3
h) lim
t→−∞
4t3 + 2t2 − 5
8t3 + t+ 2
i) lim
x→−∞
5x3 − 12x+ 7
4x2 − 1
j) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
k) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
l) lim
x→−∞
−3x√
x2 + 3
14. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(√
x2 + 1− x
)
b) lim
s→+∞
(√
s2 + s− s
)
c) lim
r→+∞
(√
3r2 + r − 2r
)
d) lim
x→+∞
(
3
√
x3 + 1− x
)
e) lim
x→−∞
(
3
√
x3 + x− 3
√
x3 + 1
)
f) lim
t→+∞
√
t+
√
t+
√
t
√
t+ 1
15. Determine a e b reais para que se tenha lim
x→+∞
(√
x2 − x− 1− ax− b
)
= 0.
16. Calcule lim
x→0+

√√√√1
x
+
√
1
x
+
√
1
x
−
√√√√1
x
−
√
1
x
+
√
1
x
.
17. Calcule lim
n→+∞
1− 2 + 3− 4 + · · ·+ (2n− 1)− 2n√
n2 + 1 +
√
4n2 − 1
.
18. Calcule lim
x→+∞
x1/3
[
(x+ 1)2/3 − (x− 1)2/3
]
.
19. Calcule lim
x→+∞
4
√
x5 + 2− 3
√
x2 + 1
5
√
x4 + 2−
√
x3 + 1
.
20. Calcule lim
x→+∞
√
2x+
√
3x+
√
4x
√
5x+ 6
.
21. Calcule lim
x→+∞
(√
x2 − 2x− 1−
√
x2 − 7x+ 3
)
.
22. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço de cada um dos grá�cos a seguir:
a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
b) g(x) =
4− 3x
x+ 1
c) h(x) =
2√
x2 − 4
d) F (x) =
−3x√
x2 + 3
e) G(x) = arctg x
f) H(x) = tg 2x
g) f(x) = cotg
(x
4
)
23. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
c) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
d) lim
x→+∞
(
1 +
1
3x
)2x
e) lim
x→+∞
(
1− 3
x
)x
f) lim
x→+∞
(
1 +
2
3x
)−x
g) lim
x→+∞
(
x+ 5
x− 7
)x+2
h) lim
x→+∞
(
x2 − 2x+ 1
x2 − 4x+ 2
)x
i) lim
x→0
ln(1 + 2x)
x
24. Calcule lim
x→0
(senx
x
) senx
x− senx .
25. Calcule lim
x→0
[
tg
(π
4
− x
)]cotg x
.
26. Calcule lim
x→π/4
(tg x)tg 2x.
27. Calcule lim
x→0
(
1 + x · 2x
1 + x · 3x
)1/x2
.
28. Calcule lim
x→0
e3x − e−3x
2x
.
29. Calcule lim
x→0
a2x − b2x
sen 2x
, sendo a > 0 e b > 0.
30. Calcule lim
x→0
(
ax
2
+ bx
2
ax + bx
)1/x
, sendo a > 0 e b > 0.
31. Calcule lim
n→+∞
{
2 [6 + 11 + 16 + · · ·+ (5n+ 1)]
n2
− 4
}3n
.
32. Calcule lim
x→0
(
ax + bx + cx
3
)1/x
, sendo a > 0, b > 0 e c > 0.
33. Calcule lim
x→+∞
(x+ a)x+a · (x+ b)x+b
(x+ a+ b)2x+a+b
.
34. Calcule lim
x→
√
3
17x − 17
√
3
x−
√
3
.
35. Calcule lim
x→a
lnx− ln a
x− a
, sendo a > 0.
36. A função f de�nida por f(x) =
√
2 + 3
√
x− 2
x− 8
é descontínua em x = 8. Mostre que a descontinui-
dade é removível e rede�na f de modo a torná-la contínua em R.
37. Esboce o grá�co da função f(x) =
x2 + 4
x4 − 16
, determinando suas assíntotas verticais e horizontais,
bem como seus pontos de descontinuidade.
38. Determine a e b reais para que a função f de�nida por f(x) =

x2 − 4
x− 2
se x < 2
ax2 − bx+ 3 se 2 ≤ x < 3
2x− a+ b se x ≥ 3
seja contínua em R.
39. Determine e classi�que as descontinuidades da função g(x) =
x− 3
x2 − 9
.
40. Determine c e k reais para que a função f de�nida por f(x) =

(1− 3x)2/x se x < 0
c se x = 0√
1 + x−
√
1− x
kx
se x > 0
seja contínua em R.
41. Use a continuidade da função seno para calcular lim
x→π
sen(x+ senx).
42. Mostre que a função:
a) f(x) = x3 + x− 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1];
b) f(x) = x3 + 3x− 5 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2];
c) f(x) = 1 + x cos(πx/2) tem pelo menos uma raiz no intervalo [1/2, 3/2].
43. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que os grá�cos das funções f(x) =
√
|x| e
g(x) = x2 − 3 possuem dois pontos de interseção.
44. No caso das funções f(x) =
√
|x| e g(x) = x2, os grá�cos possuem três pontos de interseção. Um
deles não pode ser detectado através do uso do Teorema do Valor Intermediário. Identi�que esse ponto
e explique o porquê da impossibilidade do uso do teorema.
Respostas
1.
a) 14
b) −10
c) −6
d) 12
e) 12
f) 3
g) 12
h) 167
i)
√
2
4
j) 1
k) 13
l) 13
m) 3√
2
n) 2t
o) −14
p) −32
2.
a) 4
b) 23
c) 97
d) 12
e) 0
f) 3
g) 4
h) 8
i) 0
j) 3
k) 12
l) 0
m) −1
n) 0
o) 0
p) 0
q) 1
r) 0
3.
a) lim
x→2+
f(x) = 4, lim
x→2−
f(x) = 4, lim
x→2
f(x) = 4
b) lim
s→−2+
g(s) = 5, lim
s→−2−
g(s) = 1, lim
s→−2
g(s) não existe
c) lim
x→3+
h(x) = 7, lim
x→3−
h(x) = 7, lim
x→3
h(x) = 7
d) lim
x→1+
f(x) = 5, lim
x→1−
f(x) = 5, lim
x→1
f(x) = 5
4.
• lim
x→1+
f(x) = 2, lim
x→1−
f(x) = 4, lim
x→1
f(x) não existe
• lim
x→1+
g(x) = 2, lim
x→1−
g(x) = 1, lim
x→1
g(x) não existe
• f(x) · g(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
• lim
x→1+
[f(x) · g(x)] = 4, lim
x→1−
[f(x) · g(x)] = 4, lim
x→1
[f(x) · g(x)] = 4
5. k = −6 6. k = −2 7. a = −3, b = −6
8.
• lim
x→1+
f(x) = 1, lim
x→1−
f(x) = 1, lim
x→1
f(x) = 1
• lim
x→a+
f(x) = 1, lim
x→a−
f(x) = 1, lim
x→a
f(x) = 1
9. lim
x→0+
|sgn(x)| = 1, lim
x→0−|sgn(x)| = −1, lim
x→0
|sgn(x)| não existe.
10. h(x) = |x− 1|, lim
x→0+
h(x) = 1, lim
x→0−
h(x) = 1, lim
x→0
h(x) = 1
11.
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
lim
x→3+
G(x) = 3, lim
x→3−
G(x) = 3, lim
x→3
G(x) = 3
12.
a) 14
b) +∞
c) +∞
d) −∞
e) −∞
f) −∞
g) −∞
h) +∞
i) +∞
j) −∞
k) −∞
l) 0
m) −∞
n) −∞
13.
a) 25
b) 2
c) −25
d) 73
e) 2
f) 0
g) 0
h) 12
i) −∞
j) −1
k) 1
l) 3
14.
a) 0 b) 12 c) −∞ d) 0 e) 0 f) 1
15. a = 1 e b = −12 16. 1 17. −
1
3 18.
4
3
19. 0
20.
√
10
5
21. 52
22.
a) horizontal:y = 2, vertical:x = 3
b) horizontal:y = −3, vertical:x = −1
c) horizontal:y = 0, verticais:x = −2 e x = 2
d) horizontais:y = −3 e y = 3
e) horizontais:y = −π2 e y =
π
2
f) verticais:x = π4 + k
π
2 com k ∈ Z
g) verticais:x = 4kπ com k ∈ Z
23.
a) e2
b) e
c)
√
e
d)
3
√
e2
e) e−3
f) e−2/3
g) e12
h) e2
i) 2
24. 1e
25. 1
e2
26. 1e
27. 23
28. 3
29. ln ab
30. 1√
ab
31. e21
32.
3
√
abc
33. e−(a+b)
34. 17
√
3 ln 17
35. 1a
36. Como existe lim
x→8
f(x) =
1
48
, a descontinuidade é removível e podemos de�nir
f(x) =
{ √
2+ 3
√
x−2
x−8 se x 6= 8
1
48 se x = 8
.
37. horizontal:y = 0, verticais:x = −2 e x = 2
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
38. a = b = 12
39. x = −3 descontinuidade essencial e x = 3 descontinuidade removível.
40. c = e−6 e k = e6.
41. lim
x→π
sen(x+ senx) = sen
(
lim
x→π
(x+ senx)
)
= sen(π + senπ) = senπ = 0.