contas e mais contas 5DE

Prévia do material em texto

<p>46. **Problema (Teoria dos Conjuntos):** Quantos elementos tem \( A \times B \) se \( A =</p><p>\{1, 2\} \) e \( B = \{3, 4, 5\} \)?</p><p>- **Resposta:** 6</p><p>- **Explicação:** O produto cartesiano \( A \times B \) tem \( |A| \times |B| = 2 \times 3 =</p><p>6 \) elementos.</p><p>47. **Problema (Álgebra Linear):** Qual é a norma de \( \vec{v} = (3, -4) \) no \( \mathbb{R}^2</p><p>\)?</p><p>- **Resposta:** 5</p><p>- **Explicação:** A norma é \( \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \).</p><p>48. **Problema (Probabilidade):** Qual a probabilidade de tirar um número par ao lançar um</p><p>dado justo?</p><p>- **Resposta:** \( \frac{1}{2} \)</p><p>- **Explicação:** Existem 3 números pares (2, 4, 6) em um total de 6 possíveis resultados,</p><p>então a probabilidade é \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).</p><p>49. **Problema (Cálculo):** Determine \( \int \cos(x) \, dx \).</p><p>- **Resposta:** \( \sin(x) + C \)</p><p>- **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \).</p><p>50. **Problema (Álgebra Linear):** Determine a solução de \( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6</p><p>\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 10 \end{bmatrix} \).</p><p>- **Resposta:** \( x = 5 - 3y \)</p><p>- **Explicação:** O sistema é linearmente dependente e tem infinitas soluções, expressas</p><p>como \( x = 5 - 3y \).</p><p>Claro! Aqui estão 100 problemas de Cálculo 1, com suas respostas e explicações. Vou listar</p><p>todos os problemas seguidos das soluções e explicações:</p><p>1. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^3 \sin(x) \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = x^3 \cos(x) + 3x^2 \sin(x) \).</p><p>**Explicação:** Use a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \), onde \( u = x^3 \) e \( v = \sin(x)</p><p>\). Então, \( u' = 3x^2 \) e \( v' = \cos(x) \).</p><p>2. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** Este é um limite fundamental que pode ser demonstrado usando a definição</p><p>de derivada ou a série de Taylor para \( \sin(x) \).</p><p>3. **Problema:** Determine a integral indefinida de \( \int e^{2x} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \).</p><p>**Explicação:** Para integrar \( e^{2x} \), use a substituição \( u = 2x \), então \( du = 2 \, dx</p><p>\), e assim a integral torna-se \( \frac{1}{2} e^u + C \).</p><p>4. **Problema:** Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \), então \( \sin(x) \) avaliada de 0 a \(</p><p>\pi/2 \) é \( \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 \).</p><p>5. **Problema:** Determine a segunda derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).</p><p>**Resposta:** \( f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).</p><p>**Explicação:** Primeiro, encontre \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \), e então derive novamente.</p><p>6. **Problema:** Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \ln|\ln(x)| + C \).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \), e a integral</p><p>torna-se \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \).</p><p>7. **Problema:** Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln(x) \), então \( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 \).</p><p>8. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \).</p><p>**Explicação:** A derivada da função arco tangente é uma fórmula conhecida.</p><p>9. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{1} (4x - 2) \, dx \).</p><p>**Resposta:** 1.</p><p>**Explicação:** Integre \( 4x - 2 \) para obter \( 2x^2 - 2x \), avalie de 0 a 1 para obter \( (2 -</p><p>2) - (0 - 0) = 1 \).</p><p>10. **Problema:** Determine o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - x} \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{3}{2} \).</p><p>**Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \( x^2 \), então o limite é \(</p><p>\frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2} \).</p><p>11. **Problema:** Encontre a integral indefinida de \( \int \cos^2(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \).</p><p>**Explicação:** Use a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) e integre.</p><p>12. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = e^x \cos(x) \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \).</p><p>**Explicação:** Use a regra do produto, onde \( u = e^x \) e \( v = \cos(x) \). Então, \( u' =</p><p>e^x \) e \( v' = -\sin(x) \).</p><p>13. **Problema:** Determine a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** 2.</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \), então \( -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 2 \).</p><p>14. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \).</p><p>**Explicação:** Use a regra da cadeia com \( u = x^2 + 4 \), então \( \frac{d}{dx} (\sqrt{u}) =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \).</p><p>15. **Problema:** Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( -\frac{1}{x} + C \).</p><p>**Explicação:** A integral de \( x^{-2} \) é \( \frac{x^{-1}}{-1} \), ou seja, \( -\frac{1}{x} \).</p><p>16. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^3 + 3} \).</p><p>**Resposta:** 2.</p><p>**Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \( x^3 \), então o limite é \(</p><p>\frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2 \).</p><p>17. **Problema:** Encontre a integral indefinida de \( \int x e^x \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( (x - 1) e^x + C \).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes com \( u = x \) e \( dv = e^x dx \).</p><p>18. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) \).</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \), então \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).</p><p>19. **Problema:** Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).</p><p>**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \), então \( -\frac{1}{2} - (-1) =</p><p>\frac{3}{4} \).</p><p>20. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \).</p><p>**Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \).</p><p>**Explicação:** Use a regra do quociente: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v -</p><p>uv'}{v^2} \).</p><p>21. **Problema:** Determine a integral indefinida de \( \int x^2 \cos(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + 2 \sin(x) + C \).</p><p>**Explicação:** Use integração por partes duas vezes, primeiro com \( u = x^2 \) e \( dv =</p><p>\cos(x) dx \), depois com o resultado.</p><p>22. **Problema:** Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} \left( x^3 - x \right) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \).</p>