Apostila Calculo1 com Exercicios_pag90

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<p>86</p><p>Agora podemos aplicar na segunda integral o método de integração por partes com</p><p>as escolhas f(x) = x e g′(x) =</p><p>x√</p><p>1− x2</p><p>. Para isso, precisamos determinar a função</p><p>g(x), que é primitiva de g′(x), isto é, precisamos calcular a integral∫</p><p>x√</p><p>1− x2</p><p>dx.</p><p>Podemos calculá-la por substituição (fazendo u =</p><p>√</p><p>1− x2), ou simplesmente ob-</p><p>servar que, a menos de constantes</p><p>d</p><p>dx</p><p>√</p><p>1− x2 =</p><p>−x√</p><p>1− x2</p><p>⇐⇒ g(x) = −</p><p>√</p><p>1− x2.</p><p>Logo, segue de (2.19)∫ √</p><p>1− x2 dx = arcsen(x) + x</p><p>√</p><p>1− x2 −</p><p>∫ √</p><p>1− x2 dx,</p><p>ou equivalentemente,∫ √</p><p>1− x2 dx =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>arcsen(x) + x</p><p>√</p><p>1− x2</p><p>)</p><p>+ C.</p><p>5. Tomando a forma explícita de sua equação, isto é,</p><p>x2</p><p>a2</p><p>+</p><p>y2</p><p>b2</p><p>= 1 =⇒ y =</p><p>b</p><p>a</p><p>√</p><p>a2 − x2,</p><p>podemos calcular a área de um quadrante da elipse integrando essa equação com</p><p>limites inferior e superior iguais a x = 0 e x = a respectivamente. A �m de encontrar</p><p>a área total A da elipse, devemos multiplicar, por simetria, o resultado dessa integral</p><p>por 4. Ou seja,</p><p>A =</p><p>4b</p><p>a</p><p>∫ a</p><p>0</p><p>√</p><p>a2 − x2 dx.</p><p>Observe que, para todo a > |x|, vale</p><p>√</p><p>a2 − x2 =</p><p>a2 − x2</p><p>√</p><p>a2 − x2</p><p>.</p><p>Portanto,</p><p>A =</p><p>4b</p><p>a</p><p>∫ a</p><p>0</p><p>√</p><p>a2 − x2 dx =</p><p>4b</p><p>a</p><p>(∫ a</p><p>0</p><p>a2</p><p>√</p><p>a2 − x2</p><p>dx−</p><p>∫ a</p><p>0</p><p>x2</p><p>√</p><p>a2 − x2</p><p>dx</p><p>)</p><p>. (2.20)</p>