Apostila Calculo1 com Exercicios_pag95

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<p>91</p><p>∫</p><p>sec3(θ) dθ =</p><p>1</p><p>2</p><p>[tg(θ) sec(θ) + ln(tg(θ) + sec(θ))] + C</p><p>Assim, �camos com:</p><p>∫</p><p>sec3(θ) dθ =</p><p>1</p><p>2</p><p>[sec(θ) tg(θ)− ln (| sec(θ) + tg(θ)|)]</p><p>Voltando as variáveis originais, temos:</p><p>Resposta:</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>x</p><p>√</p><p>x2 − 1− ln</p><p>(</p><p>|x+</p><p>√</p><p>x2 − 1|</p><p>))</p><p>8. (a) Tome: u = 1 +</p><p>√</p><p>x+ 1⇒ du =</p><p>dx</p><p>2</p><p>√</p><p>x+ 1</p><p>⇒ dx = 2</p><p>√</p><p>x+ 1 du = 2(u− 1) du</p><p>Então:</p><p>∫</p><p>dx</p><p>1 +</p><p>√</p><p>x+ 1</p><p>= 2</p><p>∫</p><p>u− 1</p><p>u</p><p>= 2</p><p>∫ (</p><p>1− 1</p><p>u</p><p>)</p><p>du = 2u− 2 ln(|u|) + C</p><p>Resposta: 2(1 +</p><p>√</p><p>x+ 1)− ln</p><p>(</p><p>(1 +</p><p>√</p><p>x+ 1)2</p><p>)</p><p>+ C</p><p>(b) Seja:</p><p>u = ex ⇒ du = ex dx⇒ dx =</p><p>du</p><p>u</p><p>Então:</p><p>∫</p><p>dx</p><p>1 + ex</p><p>=</p><p>∫</p><p>du</p><p>u(u+ 1)</p><p>=</p><p>∫</p><p>du</p><p>u2 + u</p><p>Por frações parciais:</p><p>1</p><p>u(u+ 1)</p><p>=</p><p>A</p><p>u</p><p>+</p><p>B</p><p>u+ 1</p><p>=</p><p>(A+B)u + A</p><p>u(u+ 1)</p><p>⇐⇒ A = 1, B = −1</p><p>Portanto:</p><p>∫</p><p>du</p><p>u(1 + u)</p><p>= ln(|u|)− ln(|u+ 1|) + C = ln</p><p>(∣∣∣∣ u</p><p>u+ 1</p><p>∣∣∣∣)+ C</p><p>Resposta: ln</p><p>(</p><p>ex</p><p>ex + 1</p><p>)</p><p>+ C</p>