Apostila Calculo1 com Exercicios_pag112

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<p>108</p><p>f ′(x) = 2x5</p><p>(c) Considere a função f(x) = x2 − 1. No intervalo [−1, 1], f somente assume</p><p>valores negativos ou zero, então podemos remover o módulo invertendo o sinal</p><p>da expressão em seu interior.</p><p>1∫</p><p>−1</p><p>|x2 − 1| dx =</p><p>1∫</p><p>−1</p><p>1− x2 dx =</p><p>(</p><p>x− x3</p><p>3</p><p>) ∣∣∣1</p><p>−1</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>(d) Vamos começar substituindo o sen(x) por cos(x) utilizando a relação funda-</p><p>mental trigonométrica.</p><p>sen2(x) + cos2(x) = 1⇒ 1 + sen2(x) = 2− cos2(x)</p><p>2π∫</p><p>0</p><p>1</p><p>1 + sen2(x)</p><p>dx =</p><p>2π∫</p><p>0</p><p>1</p><p>2− cos2(x)</p><p>dx</p><p>Em seguida, substituiremos o cos por arctg.</p><p>sen2(x) + cos2(x) = 1⇒ tg2(x) + 1 = sec2(x)⇒ 1</p><p>cotg2(x)</p><p>+ 1 =</p><p>1</p><p>cos2(x)</p><p>⇒ 1 + cotg2(x)</p><p>cotg2(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>cos2(x)</p><p>⇒ cos2(x) =</p><p>cotg2(x)</p><p>cotg2(x) + 1</p><p>Fazendo as devidas substituições, temos</p><p>2π∫</p><p>0</p><p>1</p><p>2− cos2(x)</p><p>dx =</p><p>π∫</p><p>0</p><p>cotg2(x) + 1</p><p>cotg2(x) + 2</p><p>dx+</p><p>2π∫</p><p>π</p><p>cotg2(x) + 1</p><p>cotg2(x) + 2</p><p>dx</p><p>Obs: A divisão da integral em dois intervalos foi feita pois a função cotg não</p><p>está de�nida em x = π.</p><p>Agora, faremos a substituição cotg(x) = u</p><p>√</p><p>2. Com isso, temos</p><p>du</p><p>√</p><p>2 = − cossec2(x) dx = −(1 + cotg2(x)) dx</p><p>x = 0⇒ u =∞ x = π− ⇒ u = −∞</p><p>x = π+ ⇒ u =∞ x = 2π ⇒ u = −∞</p><p>π∫</p><p>0</p><p>cotg2(x) + 1</p><p>cotg2(x) + 2</p><p>dx +</p><p>2π∫</p><p>π</p><p>cotg2(x) + 1</p><p>cotg2(x) + 2</p><p>dx =</p><p>−∞∫</p><p>∞</p><p>−</p><p>√</p><p>2</p><p>2 + 2u2</p><p>du +</p><p>−∞∫</p><p>∞</p><p>−</p><p>√</p><p>2</p><p>2 + 2u2</p><p>du =</p><p>√</p><p>2</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>1</p><p>1 + u2</p><p>du =</p><p>√</p><p>2( lim</p><p>u→∞</p><p>arctg(u)− lim</p><p>u→−∞</p><p>arctg(u)) = π</p><p>√</p><p>2</p><p>2. Podemos calcular g′(x) pelo TFC:</p><p>g′(x) = (ex + x)1/x</p>