Apostila Calculo1 com Exercicios_pag144

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<p>140</p><p>.</p><p>As duas primeiras equações são chamadas de equações diferenciais de primeira</p><p>ordem e as últimas são chamadas de equações diferenciais de segunda ordem.</p><p>Generalizando, a ordem de uma equação diferencial segue a ordem da maior derivada da</p><p>equação.</p><p>Agora, vamos estudar melhor esses tipos de equações. Como exemplo, vamos tentar</p><p>resolver a equação:</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= y.</p><p>Nesse exemplo, podemos "chutar" a solução. Em particular, a função y(x) = ex resolve</p><p>a equação, mas, na realidade, uma função y(x) = Cex, com C constante real, também</p><p>resolve o problema. Dessa forma, observe que temos um cojunto enorme de funções</p><p>que satisfazem a nossa equação. Esse fato, no entanto, não é positivo se estivermos</p><p>resolvendo um problema cientí�co, tal como no estudo do movimento de corpos ou no</p><p>estudo de crescimento de populações, por exemplo. Para contornar essa questão e resolver</p><p>essas equações de maneira única, devemos adicionar outras informações ao sistema: as</p><p>condições iniciais.</p><p>Finalmente, vamos de�nir o conceito de problema de valor inicial (PVI). De modo</p><p>geral, de�nimos um problema de valor inicial como um sistema de equações diferenciais</p><p>com suas respectivas condições iniciais. Para ilustrar esse conceito, veja, por exemplo, o</p><p>sistema </p><p>dy</p><p>dx</p><p>= y</p><p>y(0) = 1</p><p>cuja solução é única e é dada por y(x) = ex (con�ra o resultado com a solução da</p><p>equação diferencial, que resolvemos acima).</p><p>Uma prova decente da existência e unicidade da solução de um PVI é um pouco</p><p>complicada sem utilizar conceitos de análise, mas, podemos assumir que, se estivermos</p><p>trabalhando com funções contínuas, suaves e sem problemas de domínio, não teremos</p><p>problemas em relação a essa questão.</p><p>3.2.2 O Método de Euler</p><p>Nas ciências, praticamente nenhum PVI é fácil de ser resolvido como o exemplo da</p><p>seção anterior. Na realidade, os problemas são extremamente mais complexos e, dessa</p>