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Classificação e validação de soluções de equações diferenciais APRESENTAÇÃO As equações diferenciais são extremamente importantes para a ciência, uma vez que permitem descobrir como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. Para se ter uma ideia de sua relevância, a Segunda Lei de Newton, por exemplo, é uma equação diferencial. Em problemas associados à Economia, à Biologia e à Física, existe a necessidade do uso de equações diferenciais. Para chegar ao desenvolvimento e à solução de modelos matemáticos que são construídos por meio de equações diferenciais, é necessário conhecer seus conceitos básicos. Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que conheça conceitos básicos de álgebra, equações algébricas, além de conceitos envolvendo derivadas, pois precisará recordar algumas propriedades. Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá a definição de equações diferenciais e como elas podem ser classificadas. Você verá também como proceder para saber se uma função é solução de uma equação diferencial. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir equação diferencial.• Classificar equações diferenciais quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.• Reconhecer quando uma função é solução de uma equação diferencial.• DESAFIO Muitos princípios importantes das ciências físicas e sociais envolvem taxas de variação e, portanto, podem ser modelados por equações diferenciais. A exemplo, pode-se pensar em um modelo de crescimento populacional irrestrito, que tem aplicação na modelagem do aumento de bactérias em uma placa de Petri se o número inicial de bactérias for pequeno. INFOGRÁFICO Quando o assunto são equações diferenciais, é importante ficar atento às diferentes notações que podem surgir durante os estudos e a quem é sua variável independente. Note, por exemplo, que, ao tratar x como variável independente, y' representa , mas representa se a variável independente for p. Entenda, no Infográfico a seguir, essas diferentes notações. CONTEÚDO DO LIVRO As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas. Suas soluções são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, a dissipação de calor em objetos sólidos, o aumento ou a diminuição de populações, entre muitas outras aplicações. Ou seja, elas são importantes na modelagem de problemas reais com os quais nos deparamos com frequência. No capítulo Classificação e validação de soluções de equações diferenciais, da obra Equações diferenciais, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer desde a definição de equações diferenciais até suas classificações e identificação de soluções. Além disso, vai conhecer algumas das suas aplicações importantes na Física e na Biologia. Boa leitura. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Cristiane da Silva Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Definir equação diferencial. � Classificar equações diferenciais quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. � Reconhecer quando uma função é solução de uma equação diferencial. Introdução As equações diferenciais têm vasta aplicação e podem ser abordadas de maneiras diferentes. Sob o ponto de vista matemático, elas são utilizadas para descrever situações do mundo real e são um elo de interação da matemática com outras ciências, como a física, a biologia, a química, a economia e a engenharia. Algumas das aplicações estão na modela- gem do crescimento de populações, na descrição de forças sofridas por corpos, na formulação de modelos acerca do mercado, em economia, na administração de drogas, em farmacologia, entre outras. Neste capítulo, você vai compreender a importância das equações diferenciais, estudando a sua definição e a sua classificação. Você também vai aprender a reconhecer uma função como solução de uma equação diferencial. Ao longo do capítulo, você vai verificar ilustrações, exemplos e notações variadas relacionadas ao tema, além de pontos de atenção, a fim de facilitar a compreensão sobre o conteúdo. 1 Equação diferencial Para compreender as equações diferenciais, pode-se partir do entendimento de um tema mais abrangente. Zill e Cullen (2009) explicam que, de modo geral, as expressões “diferencial” e “equação” sugerem algum tipo de equação que contenha derivadas. Sabe-se que a derivada de uma função y = ϕ(x) é, por si própria, uma função ϕʹ(x) que foi determinada a partir de uma regra específica. Para ficar mais claro, tome como exemplo a função y = e0,1x2, que é diferenciável no intervalo (–∞, ∞), sendo sua derivada dada por = 0,2xe0,1x2. Substituindo-se e0,1x2 pelo símbolo y, obtém-se: Dito isso, suponha que você tenha em mãos a equação = 0,2xy, mas desconheça a forma como ela foi construída. Nesse caso, ao ser indagado sobre qual é a função representada pelo símbolo y, você vai se deparar com um dos problemas básicos de equações diferenciais: como resolver a equação para a função incógnita y = ϕ(x)? Podemos encarar esse problema de maneira semelhante ao problema inverso do cálculo diferencial, em que, dada uma derivada, pede-se para determinar uma antiderivada (ZILL; CULLEN, 2009). Assim, uma equação diferencial pode ser entendida como aquela que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes — ou seja, uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Essas equações têm aplicações não apenas na matemática, mas na física, na engenharia, na biologia, entre outras áreas do conhecimento. Classificação e validação de soluções de equações diferenciais2 Algumas equações diferenciais envolvendo a função incógnita y são apresentadas a seguir: Fonte: Bronson e Costa (2008, p. 15). Çengel e Palm III (2014) definem equação diferencial como aquela que envolve as derivadas de uma ou mais funções. De acordo com os autores, uma equação diferencial expressa a relação entre as funções e as suas derivadas. Esse tipo de equação vem sendo utilizado há muito tempo por cientistas e engenheiros, com o propósito de modelar e resolver problemas práticos. Nem todos os problemas com os quais nos deparamos podem ser solucio- nados com o uso de equações algébricas. Vários problemas encontrados nas ciências e na engenharia são originados de equações diferenciais e, portanto, dependem delas para sua solução (ÇENGEL; PALM, 2014). Veja nos Exemplos a seguir uma aplicação das equações diferenciais no estudo de fenômenos físicos. 3Classificação e validação de soluções de equações diferenciais O estudo de fenômenos físicos envolve dois passos importantes, conforme mostra a Figura 1. Problema de física Uma equação diferencial Solução do problema Aplicar as condições iniciais e de contorno Aplicar uma técnica de solução Aplicar as leis físicas relevantes Elaborar pressuposições e aproximações razoáveis Identi�car variáveis importantes Figura 1. Modelo matemático de problemas de física. No primeiro passo, são identificadas todas as variáveis que afetam o fenômeno e são elaboradas as pressuposições e aproximações razoáveis sobre ele; ainda, investiga-se a independência das variáveis. As leis e os princípios relevantes da física são empregados, e o problema é modelado matematicamente, normalmente na forma de uma equação diferencial. Essa equação diferencial costuma ser instrutiva e evidencia o grau de dependência de algumas variáveis em relação a outras e a importância relativa de vários termos. No segundo passo, a equação diferencial é resolvida por meio de um método apropriado para sua resolução, e obtém-se uma razão entre a função desconhecida e as variáveis independentes. Fonte: Çengele Palm III (2014, p. 2). Classificação e validação de soluções de equações diferenciais4 Nesse contexto, Boyce e Diprima (2015, p. 1) destacam que: [...] muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Expressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são equa- ções diferenciais [...]. Veja nos Exemplos, a seguir, equações diferenciais aplicadas a problemas reais. Não serão buscadas soluções, mas o entendimento do modelo matemático formulado, ou seja, da equação diferencial capaz de descrever cada situação. Exemplo 1: um objeto em queda Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o momento. Solução: O tempo será denotado por t, e a velocidade do objeto em queda por v. Uma vez que a velocidade deve variar com o tempo, considere v como função de t, ou seja, t é a variável independente e v é a variável dependente. O tempo t será medido em segundos, e a velocidade v em metros por segundo. Além disso, suponha que a velocidade v é positiva quando o sentido do movimento é para baixo (quando o objeto está caindo). A lei física que governa o movimento de objetos é a segunda lei de Newton, que diz que a massa do objeto multiplicada por sua aceleração é igual à força total atuando sobre o objeto. Essa lei pode ser expressa pela equação: F = ma Em que m é a massa do objeto (medida em quilogramas), a é a sua ace- leração (medida em metros por segundo ao quadrado) e F (em newtons) é a força total agindo sobre o objeto. É claro que a e v estão relacionados por a = , de modo que 5Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Agora, considere as forças que agem no objeto em queda. A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto, ou mg, em que g é a aceleração por causa da gravidade e foi determinada experimentalmente como aproximadamente igual a 9,8 m/s2 próximo à superfície da Terra. A força devido à resistên- cia do ar é mais difícil de modelar. Assume-se aqui que ela tem magnitude (ou módulo) yv, em que y é uma constante chamada de coeficiente de resistência do ar e corresponde à massa por unidade de tempo, ou seja, kg/s neste pro- blema. Lembre-se de que yv tem que ter unidades de força, ou seja, kg · m/s2. Ao escrever uma expressão para a força total F, deve-se lembrar que a gravidade sempre age para baixo (no sentido positivo), enquanto a resistência do ar age para cima (no sentido negativo), como mostra a Figura 2. Figura 2. Diagrama de forças agindo sobre um objeto em queda livre. m mg γv Logo, F = mg – yv, e a equação se torna Essa equação é um modelo matemático de um objeto caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Note que o modelo contém as três constantes m, g e y. É importante destacar que as constantes m e y dependem do objeto particular que está caindo e será diferente, em geral, para objetos diferentes. É comum se referir a essas constantes como parâmetros, já que podem tomar um conjunto de valores durante um experimento. Por outro lado, g é uma constante física, cujo valor é o mesmo para todos os objetos. Classificação e validação de soluções de equações diferenciais6 A proposta agora é verificar o que é possível descobrir sobre soluções sem encontrar, de fato, qualquer uma delas. Para simplificar, atribuem-se valores numéricos para m e y, já que, independentemente dos valores escolhidos, o procedimento é o mesmo. Suponha que m = 10 kg e y = 2 kg/s. Então, a equação pode ser escrita como: Exemplo 2: ratos do campo e corujas Considere uma população de ratos do campo que habita certa área rural. Suponha que, na ausência de predadores, a população de ratos cresça a uma taxa propor- cional à população atual. Essa hipótese é uma lei física que não está muito bem estabelecida, mas é uma hipótese inicial usual em um estudo de crescimento populacional. Denotando-se o tempo por t e a população de ratos por p(t), então, a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa por: Na qual o fator de proporcionalidade r é chamado de taxa constante ou taxa de crescimento. Suponha que o tempo é medido em meses e que a taxa constante r tem o valor de 0,5 por mês. Então, cada uma das expressões na equação = rp tem unidades de ratos por mês. Agora, suponha que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos do campo por dia. Para incorporar essa informação ao modelo, deve-se acrescentar outro termo à equação diferencial = rp, de modo que ela se transforma em: 7Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Observe que o termo correspondente à ação do predador é – 450, em vez de −15, já que o tempo está sendo medido em meses, e o que se precisa obter é a taxa predatória mensal. Fonte: Boyce e Diprima (2015, p. 1-4). Note que, para aplicar as equações diferenciais, é necessário primeiro formular a equação diferencial que poderá adequadamente descrever, ou modelar, o problema em questão. É importante ter em mente que cada pro- blema é diferente e que a modelagem não se restringe a uma lista de regras. A construção de um modelo satisfatório pode ser, muitas vezes, a parte mais difícil de um problema (BOYCE; DIPRIMA, 2015). 2 Classificação das equações diferenciais Conforme apontam Zill e Cullen (2009), uma equação composta apenas por deri- vadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente é denominada equação diferencial ordinária. Observe: Por outro lado, quando uma equação envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes, tem-se uma equação diferencial parcial. Acompanhe: Você poderá se deparar com notações diferentes para expressar derivadas ordinárias, conforme mostrado a seguir. Notação de Leibniz: Classificação e validação de soluções de equações diferenciais8 Notação prima: y', y'', y''', … Observe que, nessa última notação, as equações podem ser escritas de forma um pouco mais compacta. Ela é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas — da quarta em diante, é escrita como y(4) — ou seja, a derivada de ordem n é expressa por ou y(n). Cabe destacar que, embora menos compacta, a notação de Leibniz tem vantagem sobre a de prima, por apresentar de maneira mais clara tanto as variáveis dependentes quanto as variáveis independentes. Fonte: Zill e Cullen (2009, p. 18). No que se refere à classificação por ordem, seja uma equação diferen- cial ordinária ou uma equação diferencial parcial, a ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada na equação (ZILL; CULLEN, 2009). Observe: Esse é um exemplo de equação ordinária de segunda ordem. As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem também podem ser escritas na forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Considerando-se que y representa a variável dependente em (y – x)dx + 4xdy = 0, então, y' = , e dividindo-se pelo elemento diferencial dx, tem-se a forma alternativa 4xy' + y = x (ZILL; CULLEN, 2009). Também é possível expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n como uma variável dependente, pela forma geral: F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 9Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Em que F é uma função de valores reais com n + 2 variáveis: x, y, y ,́ ..., y(n). Será adotada a hipótese de que é possível resolver uma equação diferencial ordinária unicamente para a derivada mais elevada y(n) em termos das n + 1 variáveis restantes (ZILL; CULLEN, 2009). Assim, a equação diferencial será: Zill e Cullen (2009) explicam que f é uma função contínua de valor real e é referida como a forma padrão de F(x, y, y', ..., y(n)) = 0. Então, quando for mais conveniente, serão utilizadas suas formas normais para representar equações diferenciais ordinárias geraisde primeira e segunda ordem: Agora, será avaliada a classificação das equações diferenciais quanto à linearidade. Conforme Zill e Cullen (2009), uma equação diferencial ordinária de ordem n, como F(x, y, y', ..., y(n)) = 0, será linear se F for linear em y, y', ..., y(n). O que significa dizer que uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear quando F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 puder ser escrita como an(x)y (n) + an–1(x) y(n–1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y – g(x) = 0, ou Dois casos especiais dessa equação se referem às equações diferenciais de primeira ordem linear (n = 1) e de segunda ordem linear (n = 2); são eles: Com a combinação aditiva no lado esquerdo de Classificação e validação de soluções de equações diferenciais10 tem-se que as duas propriedades características de uma equação diferencial ordinária linear são (ZILL; CULLEN, 2009): � a variável dependente y e todas as duas derivadas yʹ, y'ʹ, ..., y(n) são de primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1; e � os coeficientes a0, a1, ..., an de yʹ, y'ʹ, ..., y (n) dependem no máximo da variável independente x. No entanto, as equações diferenciais ordinárias nem sempre serão lineares — elas podem ser não lineares. Vejamos, a seguir, exemplos de funções não lineares da variável dependente ou suas derivadas. Esses são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira, segunda e quarta ordem, respectivamente. Fonte: Zill e Cullen (2009, p. 20). 11Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Além das classificações mencionadas, você pode se deparar com as ex- pressões “homogênea” e “não homogênea”. Confira a seguir. Uma equação diferencial linear é denominada homogênea se g(x) = 0 para todo x em consideração. Caso contrário, ela é não homogênea. Observe: Equação linear não homogênea: Equação linear homogênea: Note que, em cada termo de uma equação linear homogênea, há a variável depen- dente ou uma de suas derivadas após a simplificação dos fatores comuns da equação. O termo g(x) é denominado termo não homogêneo. Uma equação linear homogênea de ordem n pode ser expressa, de forma geral, como: Fonte: Çengel e Palm III (2014, p. 16-17). 3 Função solução Quando o assunto é a solução de equações diferenciais, ao contrário das equações algébricas com as quais estamos habituados, as equações diferenciais geralmente são funções, em vez de valores discretos. Também é importante destacar que não existe um único método de solução geral aplicável a qualquer equação diferencial. Ao contrário, para diferentes classes de equações dife- renciais, têm-se técnicas diferentes de solução, podendo, inclusive, a solução envolver duas ou mais técnicas (ÇENGEL; PALM III, 2014). Classificação e validação de soluções de equações diferenciais12 Nas equações diferenciais, buscam-se funções que satisfaçam a equação em intervalos específicos. De modo análogo ao que ocorre nas equações algébricas, em que um valor encontrado como solução pode não ser o único, as equações diferenciais possuem múltiplas soluções, que contêm pelo menos uma constante arbitrária (ÇENGEL; PALM III, 2014). Sendo assim, de acordo com Çengel e Palm III (2014), qualquer função que satisfaça uma equação diferencial em um intervalo é chamada de solução da equação diferencial. Já uma solução que possui uma ou mais constantes arbitrárias e representa uma família de funções que satisfazem a equação diferencial é denominada solução geral da equação. Outro aspecto importante é que, em álgebra, um número é considerado solução da equação se ele satisfaz a equação. Por exemplo, x1 = 5 é uma solu- ção da equação x3 − 125 = 0, pois a substituição da variável x pelo número 5 resulta em um valor nulo. O mesmo raciocínio pode ser feito para as equações diferenciais, ou seja, a função é solução de uma equação diferencial se conduz à identidade quando a substituímos na equação diferencial (ÇENGEL; PALM III, 2014). Exemplo 1: solução de uma equação diferencial Mostre que y1 = 3e –2x é solução da equação diferencial yʹʹ – 4y = 0. Solução: A função dada será solução da equação diferencial se sua derivada se- gunda for subtraída do resultado do produto de 4 por essa mesma função e o resultado for igual a zero. As derivadas primeira e segunda da função dada são, respectivamente, yʹ1 = –6e –2x e yʹʹ1 = 12e –2x. Dessa forma, temos yʹʹ – 4y = 12e–2x – 4(3e–2x) = 0. Com base nisso, pode-se afirmar que y1 é solução da equação diferencial. Exemplo 2: solução geral de uma equação diferencial Mostre que y1 = Cxe 2x + 2x – 3 é solução da equação diferencial yʹʹ – 4yʹ + 4y = 8x – 20, independentemente do valor da constante arbitrária C. 13Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Solução: A primeira e a segunda derivadas de y1 = Cxe 2x + 2x – 3 são: e Dessa forma, temos Portanto, y1 é a solução da equação diferencial, independentemente do valor de C. Trata-se de uma solução geral, pois ela possui uma constante arbitrária (ÇENGEL E PALM III, 2014, p. 19). Anton, Bivens e Davis (2014) mostram que uma função y = y(x) é uma solução de uma equação diferencial em um intervalo aberto se a equação estiver satisfeita identicamente no intervalo quando y e suas derivadas forem substituídas na equação. Suponha que y = e2x é uma solução da equação diferencial – y = e2x no intervalo (–∞, +∞), pois, substituindo-se y e suas derivadas no lado esquerdo dessa equação, obtém-se: com qualquer valor real de x. No entanto, essa não é a única solução em (–∞, +∞). Observe que a função y = e2x + Cex também é uma solução com qualquer valor real da constante C, pois Classificação e validação de soluções de equações diferenciais14 Sendo assim, depois de se desenvolverem algumas técnicas de solução de equações, como a dada em – y = e2x, é possível mostrar que todas as soluções dessa equação em (–∞, +∞) podem ser obtidas substituindo-se a constante C em y = e2x + Cex por outros valores. Chamamos de curva integral da equação o gráfico de uma solução de uma equação diferencial. A Figura 3 mostra algumas curvas integrais de – y = e2x que foram obtidas atribuindo-se valores para a constante arbitrária de y = e2x + Cex. Como se pode perceber, a solução geral de uma equação diferen- cial vai produzir uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes escolhas para as constantes arbitrárias (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Figura 3. Curvas integrais de – y = e2x. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 562). De acordo com Anton, Bivens e Davis (2014), em se tratando de problemas aplicados que envolvam equação diferencial, normalmente existem condições no problema que determinam os valores específicos para as constantes arbitrá- rias. Toma-se como regra que são necessárias n condições para determinar os valores de todas as n constantes arbitrárias na solução geral de uma equação diferencial de ordem n. 15Classificação e validação de soluções de equações diferenciais Considerando-se uma equação de primeira ordem, a única constante arbi- trária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida y(x) em um ponto arbitrário x0 — por exemplo, y(x0) = y0. Isso é chamado de condição inicial, e denomina-se problema de valor inicial de primeira ordem quando se resolve uma equação de primeira ordem sujeita a uma condição inicial. Geometricamente, a condição inicial y(x0) = y0 tem o efeito de isolar a família completa de curvas integrais à curva integral que passa pelo ponto (x0, y0) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Veja a seguir alguns dos exemplos propostos pelos autores envolvendo problemas de valor inicial. Exemplo 3: Encontre a solução do problema de valor inicial – y = e2x, y(0) = 3. Solução: A solução pode ser obtida pela substituição da condição inicial x = 0, y = 3 na solução geral y = e2x + Cex, para encontrar C. Obtém-se: 3 = e0 + Ce0 = 1 + C Assim, C = 2, e a solução do problema de valor inicial, obtida substituindo- -se essevalor de C em y = e2x + Cex, é: y = e2x + 2ex Geometricamente, essa solução pode ser vista como a curva integral na Figura 3 que passa pelo ponto (0,3). Exemplo 4: crescimento populacional irrestrito Um dos modelos mais simples de crescimento populacional está baseado na observação de que, quando populações (pessoas, plantas, bactérias e moscas- -das-frutas, por exemplo) não estão restritas por limitações ambientais, elas tendem a crescer a uma taxa proporcional ao tamanho da população — quanto maior for a população, mais rapidamente ela cresce. Classificação e validação de soluções de equações diferenciais16 Para traduzir esse princípio em um modelo matemático, suponha que y = y(t) denote a população no instante t. A cada momento, a taxa de crescimento populacional em relação ao tempo é . Portanto, a hipótese de que a taxa de crescimento seja proporcional à população é descrita pela equação diferencial onde k é uma constante de proporcionalidade positiva, que pode ser usualmente determinada experimentalmente. Assim, se a população for conhecida em algum instante, digamos, y = y0 em t = 0, então, a fórmula geral para a popu- lação y(t) pode ser obtida resolvendo-se o problema de valor inicial (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 563). ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2. BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. BRONSON, R.; COSTA, G. B. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. (Coleção Schaum). ÇENGEL, Y. A.; PALM III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: AMGH, 2014. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia: equações diferenciais elementares e transformada de Laplace. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1. 17Classificação e validação de soluções de equações diferenciais DICA DO PROFESSOR As equações diferenciais permitem desenvolver modelos para explicar diversos cenários ou eventos, seja em Física, Engenharia, Química, Estatística, Biologia, etc. Contudo, as equações que resultam de uma aplicação específica podem ser muito complexas e, às vezes, até não solucionáveis. Uma equação linear é mais fácil de resolver. Um exemplo aplicado é a Segunda Lei do Movimento de Newton. Já as equações não lineares são difíceis de resolver. Como exemplo, podemos mencionar a equação de Navier-Stokes, a equação de Euler na dinâmica de fluidos e as equações de campo de Einstein de relatividade geral. Entenda mais sobre as equações lineares e não lineares nesta Dica do Professor. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Uma equação diferencial pode conter muitas derivadas, de várias ordens, de uma função desconhecida. Além disso, uma equação diferencial pode ser classificada quanto ao tipo (EDO ou EDP), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear). Nesse contexto, determine qual das equações diferenciais dadas é de terceira ordem e não linear, assinalando a alternativa que contém a resposta correta: A) y'' + 3y = 0. B) y''' + 3y = 2x + 5. C) y'' + 3yy' = 0. D) y''' + 2(y')2 + 3y = 5. E) y''+ 3x4y = 0. 2) As equações diferenciais são importantes para a modelagem matemática, pois permitem modelar determinadas situações práticas da Física, da Biologia, da Engenharia, entre outras áreas do conhecimento. Nesse contexto, determine qual dos modelos a seguir pode representar um modelo de crescimento populacional, assinalando a alternativa que contém a resposta correta: A) P'(t) = kP(t). B) TF = 32 + 1,8TC. C) PV = nRT. D) Confira a alternativa d: Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! E) Confira a alternativa e: Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! 3) As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo (equação diferencial ordinária [EDO] ou equação diferencial parcial [EDP]), à ordem (primeira, segunda, terceira, ...) e à linearidade (linear ou não linear). Assim, classifique a equação sob esses três aspectos, assinalando a alternativa que contém a resposta correta: A) EDO; terceira ordem; linear. B) EDP; segunda ordem; linear. C) EDO; segunda ordem; não linear. D) EDO; terceira ordem; não linear. E) EDP; segunda ordem; não linear. 4) Os modelos matemáticos podem ser imaginados como equações, e, por meio de equações diferenciais, muitos problemas práticos podem ser solucionados. No entanto, é importante analisar o comportamento da equação para decidir se ela atende a determinada necessidade prática. Propõe-se, aqui, a análise do comportamento de uma equação. Considere a equação diferencial Quanto ao comportamento de y em y=1 e y=2, é correto afirmar que: A) y está diminuindo. B) y está aumentando. C) y não existe. D) y é indeterminado. E) y é uma constante. 5) Uma equação diferencial ordinária de ordem n que envolva as variáveis y e x pode ser expressa da seguinte forma: assumindo que y = y(x). Isso mostra, genericamente, que existe relação entre as variáveis que figuram como argumento da função real F, relação esta que constitui uma equação diferencial. Assim, uma solução dessa equação diferencial é qualquer relação entre as variáveis x e y que não contenha derivadas e que verifique a equação Nesse contexto, verifique qual das equações a seguir é uma solução da equação diferencial A) y(x) = x2 - 2. B) y(x) = -x2. C) y(x) = x3. D) y(x) = x2. E) y(x) = 2x2. NA PRÁTICA Existem diversos problemas que podem ser solucionados por meio de equações diferenciais, como problemas de crescimento e decaimento, de temperatura, de queda de corpos, de diluição, de circuitos elétricos, entre vários outros. Dominar essa parte do conhecimento matemático abre um leque de alternativas para a solução de problemas práticos dos mais variados. Assim, o conhecimento de seus conceitos, classificações e soluções permite dar um passo à frente para compreender as situações que surgem e que podem ter sua solução por meio de equações diferenciais. A economia é uma área do conhecimento que faz uso constante de equações diferenciais. Neste Na Prática, você vai ver o estudo de um problema econômico por meio das equações diferenciais. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Introdução às equações diferenciais Neste vídeo, o professor inicia definindo e classificando as equações diferenciais de acordo com suas características principais, para que no futuro seja possível aplicar o melhor método ou a técnica mais adequada para sua resolução. Além de apresentar os conceitos teóricos, o professor apresenta vários exemplos para esclarecer cada um dos pontos teóricos discutidos. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! A função é solução da equação diferencial ordinária? Neste vídeo, você verá como reconhecer se uma função dada é solução de determinada equação diferencial. A professora inicia fornecendo dicas importantes sobre como realizar o desenvolvimento do problema. Os cálculos são realizados em detalhes, com dicas e destaque ao significado das etapas que vão sendo solucionadas. O exemplo é finalizado mostrando que a função é solução da equação diferencial ordinária para quaisquer valores de constante. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Equações diferenciais: função solução de uma ED Neste vídeo, você verá vários exemplos em que será verificado se as funções dadas constituem soluções das respectivas equações diferenciais. Os desenvolvimentos são realizados passo a passo, com explicações a cada etapa, de forma que você compreenda o que está sendo feito para chegar à resposta final. O vídeo ajuda a ampliar o conhecimento e a exercitar com exemplos bem direcionados. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Lista de exercíciosPara aprender equações diferenciais, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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