II - Limites e continuidade_b103307f7ca5e232099c3590a0b62efc

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<p>INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA (UFBA)</p><p>PROFESSOR: MAIKEL ANTONIO SAMUAYS</p><p>DISCIPLINA: MATA02 - CÁLCULO A</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE</p><p>Neste caṕıtulo, estudaremos o conceito-chave do Cálculo Diferencial e Integral, a saber, o limite de</p><p>funções reais, fundamental para o desenvolvimento das ciências exatas.</p><p>A ideia central do limite é estudar o comportamento de uma função f(x) para valores de x próximos</p><p>de um determinado ponto p ∈ R, o qual pode ser “problemático”, no sentido de que p /∈ Df .</p><p>Exemplo 0.1. Considere a função racional f(x) =</p><p>x− 1</p><p>x2 − 1</p><p>. Até então, estávamos satisfeitos em calcular</p><p>o domı́nio de funções, que nesse caso é dado por</p><p>Df =</p><p>{</p><p>x ∈ R ; x2 − 1 ̸= 0</p><p>}</p><p>= R \ {−1, 1} .</p><p>Em particular, a função f não está definida em x = 1, uma vez que não faz sentido calcular o valor</p><p>de f(1). No entanto, o que acontece com o valor de f(x) quando tomamos valores de x suficientemente</p><p>próximos de 1? As tabelas a seguir fornecem os valores de f(x), corretos até a sexta casa decimal, para</p><p>alguns valores de x que tendem a 1:</p><p>Com base nesses valores, somos levados à seguinte conjectura: À medida que x fica próximo de 1,</p><p>tanto por valores maiores quanto menores, os valores de f(x) se aproximam de 0, 5. Matematicamente,</p><p>escreveremos esse comportamento por meio da seguinte notação:</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>f(x) = 0, 5</p><p>e diremos “o limite de f(x), quando x tende a 1, é igual a 0, 5”.</p><p>Observação 0.1. O uso de tabelas para calcular limites, além de ser impreciso, torna o trabalho um tanto</p><p>quanto cansativo! Felizmente, como veremos, o Cálculo oferece diversas ferramentas que, em conjunto</p><p>com manipulações envolvendo Matemática básica, nos auxiliarão na determinação de tais limites.</p><p>1</p><p>2</p><p>Definição 0.1 (Intuitiva). Escrevemos</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L</p><p>e dizemos o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L, quando pudermos tornar os valores</p><p>de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximo quanto desejarmos), tomando-se x suficientemente</p><p>próximo de p, mas não igual a p.</p><p>Assim, escrever lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L significa: quando x tende a p, f(x) tende ao número L ∈ R. Logo, a</p><p>simbologia do limite representa um “processo” (de calcular f(x) para valores de x cada vez mais próximos</p><p>de p), e o valor L é o resultado do processo (o número real do qual a expressão f(x) se aproxima).</p><p>Atenção: Ao calcularmos o limite de f(x) quando x tende à p, não consideramos x = p, pois estamos</p><p>interessados no que acontece próximo de p. Além disso, a função f sequer precisa estar definida em p!</p><p>Visualização geométrica:</p><p>Exemplo 0.2. Encontre, se existir, o valor de lim</p><p>x→1</p><p>x− 1</p><p>x2 − 1</p><p>.</p><p>Vimos, através de tabelas, que à medida que x se aproxima de 1, o valor de f(x) tende ao número 0, 5.</p><p>Para justificarmos esse fato, consideremos a função f(x) =</p><p>x− 1</p><p>x2 − 1</p><p>e note que</p><p>f(x) =</p><p>x− 1</p><p>x2 − 1</p><p>=</p><p>x− 1</p><p>(x− 1)(x+ 1)</p><p>=</p><p>1</p><p>x+ 1</p><p>.</p><p>= g(x).</p><p>Assim, f(x) = g(x), ∀ x ̸= ±1. Como, para calcular o limite, a função não precisa estar definida em 1,</p><p>pois queremos saber o que ocorre na proximidade do valor 1 e, próximo de 1, temos f(x) = g(x), então</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x− 1</p><p>x2 − 1︸ ︷︷ ︸</p><p>= f(x)</p><p>= lim</p><p>x→1</p><p>1</p><p>x+ 1︸ ︷︷ ︸</p><p>= g(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>1 + 1︸ ︷︷ ︸</p><p>= g(1)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>uma vez que a função g(x) está definida em x = 1.</p><p>3</p><p>Exemplo 0.3. Calcule o valor de lim</p><p>x→2</p><p>x2 − 4</p><p>x− 2</p><p>.</p><p>Utilizando Matemática básica, obtemos lim</p><p>x→2</p><p>x2 − 4</p><p>x− 2</p><p>= lim</p><p>x→2</p><p>(x− 2)(x+ 2)</p><p>x− 2</p><p>= lim</p><p>x→2</p><p>x+ 2 = 2 + 2 = 4.</p><p>Observação 0.2. Denotando f(x) =</p><p>x2 − 4</p><p>x− 2</p><p>e g(x) = x+2, as contas do exemplo anterior mostram que</p><p>f(x) = g(x), ∀ x ̸= 2, ou seja, o gráfico de f(x) é a reta g(x) “furada” em x = 2:</p><p>Nos casos similares à função g(x) = x + 2, ou seja, quando uma função f for definida no ponto p,</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L e L = f(p), o referido limite, a saber,</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = f(p)</p><p>denotará que f é cont́ınua em p.</p><p>Exemplo 0.4. (a) A função g(x) = x+ 2 é cont́ınua em p = 2, pois lim</p><p>x→2</p><p>g(x) = 4 e g(2) = 4.</p><p>(b) f(x) =</p><p>x2 − 4</p><p>x− 2</p><p>não é cont́ınua em p = 2, pois 2 /∈ Df .</p><p>(c) h(x) =</p><p></p><p>x2 − 4</p><p>x− 2</p><p>, se x ̸= 2</p><p>5, se x = 2</p><p>não é cont́ınua em p = 2, pois lim</p><p>x→2</p><p>h(x) = 4 ̸= h(2).</p><p>Intuitivamente, uma função f não é cont́ınua em um ponto p ∈ Df quando apresenta um “salto”, um</p><p>“buraco” no seu gráfico. Assim, para analisar a continuidade neste ponto, à medida que nos aproximamos</p><p>do ponto p por um valor x, precisamos analisar o que ocorre com o valor de f(x). Ou seja, o quão distante</p><p>está f(x) do valor f(p)? A definição formal de continuidade é dada abaixo:</p><p>Definição 0.2. Dizemos que uma função f é cont́ınua em p ∈ Df , e escrevemos lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = f(p),</p><p>quando a seguinte sentença for verdadeira:</p><p>∀ ε > 0, ∃ δ > 0 ; |x− p| 0, existe um δ > 0 tal que qualquer ponto x</p><p>próximo de p possui imagem f(x) próximo de f(p). Ou seja,</p><p>|x− p| 0 arbitrário, tome δ = ε > 0.</p><p>Dáı, ∀ x ∈ Df satisfazendo |x− 2| 0 é arbitrário, segue o resultado almejado.</p><p>Observação 0.3. Para a demonstração de qualquer limite, como o anterior, é crucial a determinação</p><p>do δ > 0 a ser considerado. No entanto, como encontrá-lo? Para respondermos essa pergunta, note que</p><p>um tal x nas condições da definição da continuidade deve satisfazer |f(x)− f(2)| 0, neste caso, é o próprio valor ε > 0.</p><p>Exemplo 0.6. Dados a, b ∈ R, com a ̸= 0, mostre que a função f(x) = ax+ b é cont́ınua em p ∈ R.</p><p>Rascunho: Precisamos provar que lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = f(p). Para isso, seja ε > 0 dado arbitrariamente. Como</p><p>|f(x)− f(p)| = |(ax+ b)− (ap+ b)| = |ax− ap| = |a(x− p)| = |a||x− p|</p><p>basta tomar δ =</p><p>ε</p><p>|a|</p><p>, pois |f(x)− f(p)| 0, tome δ =</p><p>ε</p><p>|a|</p><p>. Assim, para tal δ > 0, temos</p><p>|x− p| 0. Neste caso espećıfico, como</p><p>|f(x)− f(p)| = |k − k| = |0| = 0 0,</p><p>independentemente do valor de x, a implicação na definição de continuidade é satisfeita, donde segue o</p><p>resultado.</p><p>Exemplo 0.9. A função g(x) =</p><p>{</p><p>2, se x ≥ 1</p><p>1, se x 0 que “fure” a definição</p><p>de continuidade. Desta forma, tome ε0 =</p><p>1</p><p>2</p><p>> 0. Dáı, ∀ δ > 0, existe x ∈ Dg tal que 1− δ</p><p>1</p><p>2</p><p>∴ |f(x)− f(1)| > ε0</p><p>Logo, g não é cont́ınua em p = 1. Equivalentemente, g é descont́ınua em p = 1.</p><p>Exemplo 0.10. Analise a continuidade da função g(x) =</p><p>{</p><p>2, se x ≥ 1</p><p>1, se</p><p>x 1, então g(x) = 2 para todo x próximo de tal p. Como g é constante nesses casos, então g é</p><p>cont́ınua nos pontos p > 1.</p><p>Finalmente, chegamos à conclusão que g é cont́ınua em R \ {1}. Um tal conjunto é chamado de</p><p>conjunto dos pontos de continuidade da função g.</p><p>Observação 0.4. A continuidade da reta, provada anteriormente, garante aquele “processo” de unir os</p><p>pontos calculados, que faźıamos no ensino médio:</p><p>Finalmente, bem entendida a noção de continuidade, vamos reforçar a noção de limite. Para isso,</p><p>perceba que a única diferença entre os processos</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L e lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = f(p)</p><p>é que no primeiro, a função f(x) não precisa estar definida para x = p. Já no segundo, além de f necessitar</p><p>estar definida em p, o valor do limite deve coincidir com o valor de f(p).</p><p>Definição 0.4 (Formal). Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L, com</p><p>L ∈ R, e escrevemos lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L, quando a seguinte sentença for verdadeira:</p><p>∀ ε > 0, ∃ δ > 0 ; 0 0 que “fura” a definição formal de limite. Matematicamente,</p><p>∃ ε0 > 0 ; ∀ δ > 0, ∃ x ∈ Df satisfazendo</p><p>{</p><p>0 0, temos que{</p><p>∃ δ1 > 0 ; 0 0 ; 0 0, isto é, δ é o mı́nimo entre os valores δ1 e δ2 (ver figura abaixo). Dáı,</p><p>para todo x ∈ Df ∩Dg satisfazendo 0 0, temos por</p><p>hipótese a existência de um δ > 0 tal que</p><p>0 0, temos que</p><p>0 0 é arbitrário e provamos a desigualdade |λf(x)− λL| 0 tal que</p><p>0 0. Temos, por definição, o seguinte:</p><p>✓ ∃ δ2 > 0 ; 0 0 ; 0 0 temos, pela desigualdade triangular, que</p><p>0 0 tal que</p><p>(2) 0 |M | − |M |</p><p>2</p><p>=</p><p>|M |</p><p>2</p><p>.</p><p>= C ∴ |g(x)| > C, ∀ x satisfazendo 0 0, existe δ2 > 0 tal que</p><p>(4) 0 0, temos</p><p>0</p><p>+ a2x</p><p>2 + · · · + anx</p><p>n. Como f é dada por uma soma de funções</p><p>cont́ınuas, multiplicadas por constantes, o resultado acima segue pelo corolário anterior, ou seja,</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>(</p><p>a0 + a1x+ a2x</p><p>2 + · · ·+ anx</p><p>n</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>a0 + a1p+ a2p</p><p>2 + · · ·+ anp</p><p>n</p><p>)</p><p>, ∀ p ∈ R.</p><p>11</p><p>(e) Para calcularmos o limite lim</p><p>x→1</p><p>x4 − 2x+ 1</p><p>x3 + 3x2 + 1</p><p>, note que</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>(</p><p>x4 − 2x+ 1</p><p>)</p><p>= 14 − 2 + 1 = 0 e lim</p><p>x→1</p><p>(</p><p>x3 + 3x2 + 1</p><p>)</p><p>= 13 + 3 + 1 = 5 ̸= 0︸ ︷︷ ︸ .</p><p>Logo, pela propriedade (e), obtemos</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x4 − 2x+ 1</p><p>x3 + 3x2 + 1</p><p>=</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x4 − 2x+ 1</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>x3 + 3x2 + 1</p><p>=</p><p>0</p><p>5</p><p>= 0.</p><p>A seguir, provaremos a unicidade do limite. Antes, porém, vejamos um resultado preliminar:</p><p>Lema 0.1. |a| 0 =⇒ a = 0.</p><p>Demonstração. Suponha que a ̸= 0, digamos a > 0. Tomando ε =</p><p>a</p><p>2</p><p>, temos que |a| = a ></p><p>a</p><p>2</p><p>= ε,</p><p>contradizendo a hipótese. □</p><p>Teorema 0.1. O limite, quando existe, é único.</p><p>Demonstração. Seja f uma função tal que ∃ lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L. Suponha que lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L1. Assim, dado</p><p>qualquer ε > 0, temos que{</p><p>∃ δ1 > 0 ; 0 0 ; 0 0, tem-se, para todo x ∈ Df com 0 0, segue pelo lema anterior que L1 = L. □</p><p>Até então temos um pequeno “pacote” de funções consideradas cont́ınuas. Vamos aumentá-lo afirmando</p><p>que as funções da forma f(x) = n</p><p>√</p><p>x, com n ∈ N, são cont́ınuas, ou seja,</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>n</p><p>√</p><p>x = n</p><p>√</p><p>p, ∀ p ∈ Df .</p><p>Para exemplificar a demonstração deste fato, provaremos o caso particular em que n = 2.</p><p>Proposição 0.2. lim</p><p>x→p</p><p>√</p><p>x =</p><p>√</p><p>p, ∀ p > 0.</p><p>Demonstração. Antes de verificarmos, vejamos a ideia da prova:</p><p>Ideia: Como |</p><p>√</p><p>x−√</p><p>p| 0 tal que ε ≤ √</p><p>p. Tomando-se</p><p>δ = min</p><p>{</p><p>(</p><p>√</p><p>p+ ε)2 − p, p− (</p><p>√</p><p>p− ε)2</p><p>}</p><p>> 0,</p><p>tem-se que</p><p>|x− p| 0. Para isso, dado ε0 ></p><p>√</p><p>p, temos que</p><p>(</p><p>√</p><p>p− r,</p><p>√</p><p>p+ r) ⊂ (</p><p>√</p><p>p− ε0,</p><p>√</p><p>p+ ε0) , ∀ r ≤ √</p><p>p.</p><p>Dáı, pelo que foi provado anteriormente, para tais r > 0, existe δr > 0 tal que</p><p>x ∈ (p− δr, p+ δr) =⇒ f(x) ∈ (</p><p>√</p><p>p− r,</p><p>√</p><p>p+ r) ∴ f(x) ∈ (</p><p>√</p><p>p− ε0,</p><p>√</p><p>p+ ε0) .</p><p>□</p><p>Exemplo 0.14. Calcule, caso exista, o valor dos limites seguintes:</p><p>(a) lim</p><p>x→3</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>3</p><p>x− 3</p><p>.</p><p>Note que</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>3</p><p>x− 3</p><p>=</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>3</p><p>x− 3</p><p>·</p><p>(√</p><p>x+</p><p>√</p><p>3</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>x− 3</p><p>(x− 3)(</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>3)</p><p>=</p><p>1</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>3</p><p>.</p><p>Como a função f(x) =</p><p>√</p><p>x é cont́ınua, temos pela propriedade do quociente que</p><p>lim</p><p>x→3</p><p>√</p><p>x−</p><p>√</p><p>3</p><p>x− 3</p><p>(6)</p><p>= lim</p><p>x→3</p><p>1</p><p>√</p><p>x+</p><p>√</p><p>3</p><p>=</p><p>1√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>3</p><p>.</p><p>(b) lim</p><p>x→2</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>2</p><p>x− 2</p><p>.</p><p>Neste caso, racionalizar não resolve o problema (Por que?). Porém, observe que</p><p>x− 2 =</p><p>3</p><p>√</p><p>x3 − 3</p><p>√</p><p>23 = ( 3</p><p>√</p><p>x)3 − (</p><p>3</p><p>√</p><p>2)3</p><p>.</p><p>= a3 − b3</p><p>= (a− b)(a2 + ab+ b2)</p><p>=</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>2</p><p>) [</p><p>( 3</p><p>√</p><p>x)2 + 3</p><p>√</p><p>x</p><p>3</p><p>√</p><p>2 + (</p><p>3</p><p>√</p><p>2)2</p><p>]</p><p>.</p><p>Dáı, pela continuidade da função raiz n-ésima e pela propriedade do quociente, segue que</p><p>lim</p><p>x→2</p><p>3</p><p>√</p><p>x− 3</p><p>√</p><p>2</p><p>x− 2</p><p>= lim</p><p>x→2</p><p>1[</p><p>( 3</p><p>√</p><p>x)2 + 3</p><p>√</p><p>x 3</p><p>√</p><p>2 + ( 3</p><p>√</p><p>2)2</p><p>] = 1[</p><p>( 3</p><p>√</p><p>2)2 + 3</p><p>√</p><p>2 3</p><p>√</p><p>2 + ( 3</p><p>√</p><p>2)2</p><p>] = 1</p><p>3 3</p><p>√</p><p>4</p><p>.</p><p>13</p><p>(c) lim</p><p>x→−1</p><p>x3 + 1</p><p>x2 + 4x+ 3</p><p>.</p><p>Como lim</p><p>x→−1</p><p>x2 + 4x+ 3 = 0, a propriedade do quociente não se aplica! No entanto, não se desespere,</p><p>pois nem tudo está perdido: Note que −1 é raiz dos polinômios x2 + 4x+ 3 e x3 + 1. Assim,</p><p>x3 + 1</p><p>x2 + 4x+ 3</p><p>=</p><p>x3 − (−1)3</p><p>(x+ 1)(x+ 3)</p><p>=</p><p>(x+ 1)(x2 − x+ 1)</p><p>(x+ 1)(x+ 3)</p><p>=</p><p>x2 − x+ 1</p><p>x+ 3</p><p>.</p><p>Dáı, pela propriedade do quociente, obtemos</p><p>lim</p><p>x→−1</p><p>x3 + 1</p><p>x2 + 4x+ 3</p><p>= lim</p><p>x→−1</p><p>x2 − x+ 1</p><p>x+ 3</p><p>=</p><p>lim</p><p>x→−1</p><p>(x2 − x+ 1)</p><p>lim</p><p>x→−1</p><p>(x+ 3)</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>LIMITES LATERAIS</p><p>As seguintes definições serão úteis por diversos motivos, principalmente para provarmos a não-existência</p><p>de determinados limites.</p><p>Definição 0.5. Dada uma função f e um p ∈ R (não necessariamente no Df ), definimos</p><p>(a) lim</p><p>x→p+</p><p>f(x) = L quando ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que p 0, ∃ δ > 0 tal que p− δ 1</p><p>.</p><p>Como f(x) = x2 para valores x 1, então</p><p>lim</p><p>x→1+</p><p>f(x) = lim</p><p>x→1+</p><p>2x = 2.</p><p>O próximo resultado garante que a função do exemplo anterior não possui limite em p = 1, pois seus</p><p>limites laterais são distintos:</p><p>Teorema 0.2. lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L ⇐⇒ lim</p><p>x→p−</p><p>f(x) = lim</p><p>x→p+</p><p>f(x) = L.</p><p>Demonstração. Para provar a ida (=⇒), basta separar, na definição de limite, a aproximação em p. Já</p><p>em relação à volta (⇐=), basta juntar as definições de limites laterais. Os detalhes são deixados como</p><p>exerćıcio! □</p><p>Conclusões: (a) Se os limites laterais existirem e forem diferentes, então o limite lim</p><p>x→p</p><p>f(x) não existirá;</p><p>(b) Se algum dos limites laterais não existir em p, então o limite lim</p><p>x→p</p><p>f(x) também não existirá.</p><p>Exemplo 0.16. O limite lim</p><p>x→0</p><p>|x|</p><p>x</p><p>existe? Por que?</p><p>Como</p><p>lim</p><p>x→0+</p><p>|x|</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0+</p><p>x</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0+</p><p>1 = 1 e lim</p><p>x→0−</p><p>|x|</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0−</p><p>−x</p><p>x</p><p>= lim</p><p>x→0+</p><p>−1 = −1,</p><p>ou seja, os limites laterais existem em p = 0, porém são diferentes, segue que ∄ lim</p><p>x→0</p><p>|x|</p><p>x</p><p>, pelo Teorema</p><p>anterior.</p><p>LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA</p><p>A ideia nesta seção é calcular limites da forma lim</p><p>x→p</p><p>g(f(x)). Assim, escrevendo u = f(x) e supondo</p><p>que lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = a, então é razoável esperar que</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>g(f(x)) = lim</p><p>u→a</p><p>g(u),</p><p>pois x −→ p =⇒ u −→ a. O que fizemos na igualdade anterior nada mais é do que uma mudança de</p><p>variável no limite. Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 0.17. (a) lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2 = 0.</p><p>De fato, fazendo a mudança de variável u = x− 1, tem-se que x → 1 ⇐⇒ u → 0. Logo,</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>(x− 1)2 = lim</p><p>u→0</p><p>u2 = 0.</p><p>15</p><p>(b) lim</p><p>x→1</p><p>(</p><p>3− x3</p><p>)4 − 16</p><p>x3 − 1</p><p>.</p><p>Denotando u = 3− x3, tem-se que x → 1 é equivalente à u → 2. Dáı,</p><p>lim</p><p>x→1</p><p>(</p><p>3− x3</p><p>)4 − 16</p><p>x3 − 1</p><p>= lim</p><p>u→2</p><p>u4 − 16</p><p>(3− u)− 1</p><p>= lim</p><p>u→2</p><p>(u2)2 − 42</p><p>−(u− 2)</p><p>= lim</p><p>u→2</p><p>(u2 − 4)(u2 + 4)</p><p>−(u− 2)</p><p>= − lim</p><p>u→2</p><p>(u− 2)(u+ 2)(u2 + 4)</p><p>(u− 2)</p><p>= − lim</p><p>u→2</p><p>(u+ 2)(u2 + 4)</p><p>= −4 · 8</p><p>= −32.</p><p>(c) lim</p><p>x→−1</p><p>3</p><p>√</p><p>x+ 2− 1</p><p>x+ 1</p><p>.</p><p>Fazendo u = 3</p><p>√</p><p>x+ 2, então u3 = x+ 2, donde u3 − 1 = x+ 1. Além disso, x → −1 ⇐⇒ u → 1. Dáı,</p><p>lim</p><p>x→−1</p><p>3</p><p>√</p><p>x+ 2− 1</p><p>x+ 1</p><p>= lim</p><p>u→1</p><p>u− 1</p><p>u3 − 1</p><p>= lim</p><p>u→1</p><p>u− 1</p><p>(u− 1)(u2 + u+ 1)</p><p>= lim</p><p>u→1</p><p>1</p><p>u2 + u+ 1</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(d) Através da mudança de variável h = x− p, obtemos</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L ⇐⇒ lim</p><p>h→0</p><p>f(p+ h) = L.</p><p>O próximo resultado é fundamental no cálculo de diversos</p><p>limites:</p><p>Teorema 0.3. A seguinte igualdade é verdadeira:</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>g(f(x)) = g</p><p>(</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x)</p><p>)</p><p>= g(a),</p><p>desde que lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = a, g seja cont́ınua em a e, é claro, Im(f) ⊂ Dg.</p><p>Demonstração. Para todo ε > 0, ∃ r > 0 ; |u− a| 0, ∃ δ > 0 tal que 0 0, ∃ δ > 0 tal que 0 0, então f(x) > 0 para valores de</p><p>x suficientemente próximos de p.</p><p>Demonstração. Tomando ε = L na definição de limite, temos a existência de um δ > 0 que satisfaz</p><p>0 0, ∀ x ∈ Df tal que 0 0. Nestas condições, se lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = L = lim</p><p>x→p</p><p>h(x),</p><p>então lim</p><p>x→p</p><p>g(x) = L.</p><p>Demonstração. Seja ε > 0 arbitrário. Por hipótese, sabemos que</p><p>✓ ∃ r > 0 tal que 0 0 tal que 0 0 tal que 0 0, obtemos</p><p>0 0 ; |f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ A.</p><p>Corolário 0.3 (Teorema do Anulamento). Sejam f e g duas funções com domı́nio A ⊂ R. Se</p><p>lim</p><p>x→p</p><p>f(x) = 0 e g é limitada em A, então lim</p><p>x→p</p><p>f(x)g(x) = 0.</p><p>Demonstração. Como |f(x)g(x)− 0| = |f(x)g(x)| = |f(x)| · |g(x)| ≤ M |f(x)|, então</p><p>−M |f(x)| ≤ f(x)g(x) ≤ M |f(x)|, ∀ x ∈ A.</p><p>Logo, pelo Teorema do Confronto, segue que lim</p><p>x→p</p><p>f(x)g(x) = 0. □</p><p>Exemplo 0.20. Calcule lim</p><p>x→0</p><p>x2 · g(x), sendo g(x) =</p><p>{</p><p>1, se x ∈ Q</p><p>−1, se x /∈ Q</p><p>.</p><p>Como lim</p><p>x→0</p><p>x2 = 0 e g é limitada em R (pois |g(x)| ≤ 1, ∀ x ∈ R), segue que lim</p><p>x→0</p><p>x2 · g(x) = 0, pelo</p><p>Teorema do Anulamento.</p><p>Observação 0.8. Note o “poder” do Teorema do Anulamento, visto que ∄ lim</p><p>x→0</p><p>g(x) (Por que?).</p>