Limite e Continuidade de Funções

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2. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
SITUAÇÃO PROBLEMA: Modelou-se a evolução da população de uma certa 
cidade, após t anos, a partir de 2009 por: 
𝐸(𝑡) = 20000 +
15000𝑡
𝑡2 + 2𝑡 + 10
 
Qual é o comportamento da população a longo prazo? 
2.1. Noção intuitiva de continuidade 
As funções de uma variável real que vão interessar ao curso são aquelas que 
têm por domínio um intervalo ou reunião de intervalos. Portanto, de agora em 
diante, sempre que nos referirmos a uma função de uma variável real e nada 
mencionarmos sobre seu domínio, ficará implícito que o mesmo é um intervalo 
ou uma reunião de intervalos. 
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto 𝑝 de seu domínio é uma 
função cujo gráfico não apresenta “salto” em 𝑝. 
 
Observe que a medida que 𝑥 se aproxima de 𝑝, quer pela direita ou pela 
esquerda, os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 𝑓(𝑝); e quanto mais próximo 𝑥 
estiver de 𝑝, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑝). 
Intuitivamente, dizemos que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑝, é igual a 𝑓(𝑝) 
que, se escreve lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝). Assim, 
𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑝 ⇔ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) 
Exercício 1: Usando a ideia intuitiva de limite, calcule lim
𝑥→1
2𝑥 + 1. 
2.2. Noção intuitiva de limite 
Seja a função 𝑓(𝑥) =
(2𝑥+3)(𝑥−1)
𝑥−1
. Temos que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1. 
OBJETIVO: Analisar os valores da função 𝑓 quando 𝑥 assume valores próximos 
de 1, mas diferentes de 1. 
𝑥 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 
𝑓(𝑥) 3 4 4,5 4,8 4,98 4,998 
 
𝑥 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 
𝑓(𝑥) 7 6 5,5 5,2 5,02 5,002 
 
Note que na 1ª tabela: 
𝑥 = 0,9 → 𝑓(𝑥) = 4,8; 𝑥 − 1 = −0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,2 
𝑥 = 0,99 → 𝑓(𝑥) = 4,98; 𝑥 − 1 = −0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,02 
𝑥 = 0,999 → 𝑓(𝑥) = 4,998; 𝑥 − 1 = −0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = −0,002 
 
Note que na 2ª tabela: 
𝑥 = 1,1 → 𝑓(𝑥) = 5,2; 𝑥 − 1 = 0,1 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,2 
𝑥 = 1,01 → 𝑓(𝑥) = 5,02; 𝑥 − 1 = 0,01 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,02 
𝑥 = 1,001 → 𝑓(𝑥) = 5,002; 𝑥 − 1 = 0,001 → 𝑓(𝑥) − 5 = 0,002 
Portanto, 
|𝑥 − 1| = 0,1 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,2 
|𝑥 − 1| = 0,01 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,02 
|𝑥 − 1| = 0,001 → |𝑓(𝑥) − 5| = 0,002 
 
Ou seja, podemos tornar o módulo da diferença entre 𝑓(𝑥) e 5 tão pequeno 
quando desejarmos, desde que tomemos o módulo da diferença entre 𝑥 e 1 
suficientemente pequeno. 
A Matemática usa símbolos para indicar essas diferenças pequenas. Os 
símbolos utilizados são 𝜀 (épsilon) e 𝛿 (delta). 
Exercício 2: No exemplo anterior, determine quão próximo 𝑥 deve estar de 1 
para tornar 𝑓(𝑥) dentro de uma distância 0,02 de 5. 
 
 
2.3. Definição formal de limite 
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real 𝑝. Seja 𝑓 uma função 
definida para 𝑥 ∈ 𝐼 − {𝑝}. 
 
Dizemos que o limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑝, é 𝐿, se para todo número 
positivo 𝜀, existir um número positivo 𝛿 (que depende de 𝜀), tal que: 
0 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝜀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
𝑝 − 𝛿 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝜀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑥 ∈ 𝐷𝑓,
𝑝 − 𝛿 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝜀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
|𝑥 − 𝑝| 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
(𝛿 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝜀 ) , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ,
𝑝 − 𝛿 0 dado, existir um intervalo aberto 𝐼 =
(𝑎, 𝑏), com 𝑝 ∈ 𝐼, tal que para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 
𝑥 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑓(𝑝) − 𝜀 0. Prove 
que existe 𝛿 > 0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 
𝑝 − 𝛿 0. 
De modo análogo, prova-se que se lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝐿 , com 𝐿 
0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 
𝑝 − 𝛿 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 0 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 − 𝛿Se lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) existirem e forem diferentes, então lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) não 
existirá. 
2. Se existirem 𝑎 e 𝑏 tais que ]𝑎, 𝑝[ e ]𝑝, 𝑏[ estejam contidos em 𝐷𝑓 e se, em 
𝑝, um dos limites laterais não existir, então lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) não existirá. 
3. Se existirem reais 𝑟 > 0 e 𝑏 tais que ]𝑝, 𝑏[ ⊂ 𝐷𝑓 e ]𝑝 − 𝑟, 𝑝[ ∩ 𝐷𝑓 = ∅,então 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) , desde que o limite lateral à direita exista. Se ocorrer 
]𝑏, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 e ]𝑝, 𝑝 + 𝑟[ ∩ 𝐷𝑓 = ∅,então lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) , desde que o 
limite lateral à esquerda exista. 
Exercício 14: Calcule: 
a) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
 onde, 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
. b) lim
𝑥→1
|𝑥−1|
𝑥−1
. 
 
2.7. Limite de função composta 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚𝑓 ⊂ 𝐷𝑔, onde 𝑔 ou é contínua em 𝑎 ou não 
está definida em 𝑎, tais que: 
𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑎 ( 𝑢 → 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 → 𝑝) 
E que lim
𝑢→𝑎
𝑔(𝑢) exista. Então 
lim
𝑥→𝑝
𝑔 (𝑓(𝑥)⏞
𝑢
) = lim
𝑢→𝑎
𝑔(𝑢). 
 
Exercício 15: Calcule lim
𝑥→−1
√
𝑥3+1
𝑥+1
3
. 
Exercício 16: Calcule lim
𝑥→1
(3−𝑥3)
4
−16
𝑥3−1
. 
 
Teorema: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚𝑓 ⊂ 𝐷𝑔. Se lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑎 e 𝑔 é 
contínua em 𝑎, então, 
lim
𝑥→𝑝
𝑔 (𝑓(𝑥)⏞
𝑢
) = lim
𝑢→𝑎
𝑔(𝑢) = 𝑔(𝑎) 
 
2.8. Teorema do confronto 
 
Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ três funções e suponhamos que exista 𝑟 > 0 tal que 
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) 
Para |𝑥 − 𝑝| 0 é um número real fixo. 
Prove que: 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0. 
2.9. O limite trigonométrico fundamental (𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
) 
Para todo 𝑥, com 0 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑀 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝐿 − 𝜀 0, ∃ 𝑀 > 0, 𝑐𝑜𝑚 −𝑀 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 𝑀.
 
 
Definição 2: Sejam 𝑓 uma função, 𝑝 um número real e suponhamos que exista 
𝑎 tal que ]𝑎, 𝑝[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos 
lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ {
∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 − 𝛿 𝑀.
 
 
Exercício: Defina lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ ; lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞ ; lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) =
−∞ ; lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞; lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ ; lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = −∞ ; 
 
TEOREMA: 
 
a) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ 
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞ 
⇒ {
lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞ 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ 
 
 
b) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞ 
⇒ {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 > 0 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = −∞ , 𝑠𝑒 𝐿 0 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = +∞ , 𝑠𝑒 𝐿 0 tal que 𝑓(𝑥) >
0 para 𝑝 0, tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0, para 𝑝