01 Unidades e Análise Dimensional

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TEXTO DE REVISÃO 01 Unidades de Medidas, Notação Científica e Análise Dimensional. 
Caro aluno: 
No livro texto (Halliday) o cap.01 Medidas introduz alguns conceitos muito importantes, que serão 
retomados ao longo de todo o primeiro ano de curso. Por exemplo, é muito importante que o aluno se 
habitue a utilizar as unidades de grandeza pertencentes ao SI (Sistema Internacional), também é 
fundamental que o aluno consiga compreender os enunciados que envolvam códigos e símbolos físicos. 
Assim, como se expressar corretamente utilizando a linguagem física e os seus símbolos de forma 
adequada. 
 
Este texto de revisão é um texto introdutório, talvez a melhor forma de abordá-lo seja sugerir que ele 
seja lido individualmente e, depois verificar a compreensão do conteúdo fazendo uma auto-avaliação 
através dos testes e exercícios propostos. 
Fazer esta revisão é uma atitude prudente e sensata, mas de modo especial esta revisão deve ser feita por 
aqueles que sentem dificuldade de base neste tema. Boa Sorte! 
 
Sistema Internacional de Unidades 
 
Antigamente, para medir comprimentos ou para pesar um corpo, cada país escolhia uma 
unidade ou padrão. Observe os quadros, que representam alguns desses padrões: 
 
PAÍS NOME DA UNIDADE VALOR APROX. EM 
METROS 
Inglaterra e 
Estados Unidos 
jarda 
polegada 
0,914 
0,025 
China tsun 
jin 
0,06 
58,8 
Rússia Versta 0,66 
 Unidades de comprimento 
 
PAÍS NOME DA UNIDADE VALOR APROX. EM 
kg 
Inglaterra e 
Estados Unidos 
libra 
onça 
0,45 
0,028 
China pecul 71 
Egito rotolo 0,69 
 Unidades de massa 
 
Como cada país fixava o seu próprio padrão, as relações entre os países, o ensino e os trabalhos 
científicos se tornavam muito difíceis. Para resolver estes problemas, foram criados padrões 
internacionais que vieram a facilitar as relações entre esses países. Assim, foi criado o Sistema 
Internacional de Unidades, que se indica SI. 
 
O Sistema Internacional de Unidades estabelece sete unidades como fundamentais, e cada uma 
delas corresponde a uma grandeza. 
 
 
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO 
comprimento metro m 
massa quilograma kg 
tempo segundo s 
intensidade de corrente 
elétrica 
ampère A 
temperatura kelvin K 
quantidade de matéria mol mol 
intensidade luminosa candela cd 
O SI é também denominado MKS, que corresponde às iniciais dos símbolos das três unidades 
fundamentais usadas. 
 Comprimento Massa Tempo 
MKS m kg s 
 
Obs. Todas as unidades, quando escritas por extenso, devem ter a inicial minúscula, mesmo 
que sejam nomes de pessoas. Exemplo: metro, newton, quilômetro, pascal, etc. 
Como exceção a esta regra, há a unidade de temperatura da escala Celsius, que se escreve grau 
Celsius, com inicial maiúscula. 
 
Os símbolos são escritos com letra minúscula, a não ser que se trate de nome de pessoa. 
Exemplos: 
UNIDADE SÍMBOLO 
ampère A 
newton N 
pascal Pa 
metro m 
 
Os símbolos não se flexionam quando escritos no plural. 
 
Exemplo: 10 newtons - 10 N, e não 10 Ns . 
 
Algumas unidades não pertencentes ao Sistema Internacional 
 
Os utilizadores do SI terão necessidade de empregar conjuntamente certas unidades que não 
fazem parte do Sistema Internacional, porém estão amplamente difundidas. Elas figuram no 
quadro a seguir: 
 
GRANDEZA NOME SÍMBOLO VALOR EM UNID. SI 
tempo minuto 
hora 
dia 
min 
h 
d 
1 min = 60 s 
1 h = 60 min = 3 600 s 
1 d = 24 h = 86 400 s 
ângulo plano grau 
minuto 
segundo 
º 
' 
" 
1º = (π/180) rad 
(1/60)º = (π/10 800) rad 
(1/60)' = (π/648 000) rad 
volume litro l 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3
massa tonelada t 1 t = 103 kg 
 
 
 
 1- SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
 Medida de comprimento 
 
 No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, cuja 
abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela: 
 
Múltiplos u.f
. 
Submúltiplos 
quilôm
etro 
hectô
metro 
decâ
metro 
met
ro 
Decí
metro 
centí
metro 
Milím
etro 
km hm dam m Dm cm mm 
1 000 
m 
100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 
m 
0,001 
m 
 
 
 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as 
relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal: 
 
1 polegada = 25,40 milímetros 
1 milha = 1 609 metros (aproximadamente) 
1 légua = 5 555 metros (aproximadamente) 
1 pé = 30,48 centímetros 
1.1 - Transformação de unidades 
 
Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de comprimento é 
10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. 
Concluí-se então que para transformar uma unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10n 
onde n é o número de colunas à direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta 
dividir por 10n onde n é o número de colunas à esquerda do número na tabela. 
 
Por exemplo: 7 m = 7 x 102 cm = 700 cm 500 m = 500 x 10-3 km = 0,5 km 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
1 - Transforme em m: 
a) 1,23 km b) 1003 mm c) 0,02 km d) 51 cm e) 17 mm 
 
Resp. 1) a) 1230 m b) 1,003 m c) 20 m d) 0,51 m e) 0,017 m 
 
2- Efetue as operações e dê o resultado em m: 
a) 42 km + 620 m b) 5 km - 750 m c) 8 x 2,5 km 
 
Resp. 2 a) 42 620 m b) 4 250 m c) 20 000 m 
 
2- Medida de superfície 
 
 No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, 
cuja representação é m2 . O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de 
lado. Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos: 
 
Múltiplos u.f
. 
Submúltiplos 
km2 hm2 da
m2
m2 dm2 cm2 mm2
1 000 
000 m2
10 
000 
m2
100 
m2
1 
m2
0,01 
m2
0,000
1 m2
0,0000
01 m2
 
2.1 - Transformação de unidades 
 
 Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de 
área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 102 e não 10. Veja os exemplos: 
 
a) 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2 
b) 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2 
c) 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2 
Obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma 
unidade agrária chamada hectare (ha). O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 
m de lado. 
 
1 hectare (há) = 1 hm2 = 10 000 m2
 
 Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire. 
• 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2. 
• 1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m2. Dica: 1 cm2 = 10–4 m2 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
 
3 - Transforme em m2 : 
 
a) 21 dm2 b) 1 250 cm2 c) 1 km2 d) 0,72 hm2 e) 103,2 cm2
 Resp.: 3) a) 0,21 b) 0,125 c) 1 000 000 d) 7 200 e) 0,01032 
 
3 - Medidas de volume 
 
 No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico, cuja 
abreviatura é m3 . O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Como nas 
medidas de comprimento e de área, no volume também temos os múltiplos e os submúltiplos: 
 
Múltiplos u.f
. 
Submúltiplos 
km3 hm3 dam
3
m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000 
m3
 1000 000 
 m3
1000 
m3
1 
m3
0,001 
m3
0,00001 
m3
0,000000001 
m3
 
 As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico. 
 
3.1 - Transformação de unidades 
Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, 
orém para cada devemos multiplicar ou dividir por 10p 
3 e não 10. Veja os exemplos: 
 
a) 8,2 m3 = 8,2 x 103 dm3 = 8 200 dm3 
b) 500 000 cm3 = 500 000 x 10-6 m3 = 0,5 m3 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
 
4 - Transforme em m3 : 
a) 840 dm3 b) 14 500 000 mm3 c) 1 000 dm3 Resp.: a) 0,840 m3 b) 0,014 m3 c) 1 m3
 
4 - Unidades de medida de capacidade 
 
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro, cuja abreviaçãoé l . 
De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume 
equivalente a um decímetro cúbico, ou seja: 
1 litro = 1,000027 dm3 , para aplicações práticas, simples, podemos definir: 
 
1 litro = 1 dm3 = 10-3 m3
Veja os exemplos: 
 
1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36 m3. 
Quantos litros de água foram consumidos? Solução: 36 m3 = 36 000 dm3 = 36 000 l 
 
2) Uma industria farmacêutica fabrica 1.400 litros de uma vacina que devem ser colocados em 
ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina? 
 
Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3
 (1 400 000 cm3 ) : (35 cm3) = 40 000 ampolas. 
4.1 -Transformação de unidades de medidas de capacidade 
 
Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade de capacidade é 
10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. 
Veja os exemplos: 
 
Expressar 15 litros em ml. Solução: 15 l = (15 x 103) ml = 15 000 ml 
 
Expressar 250 ml em cm3. Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm3 = 250 cm3 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:
5 - Expresse em litros: 
 
a) 1 200 ml b) 85 cl c) 2 hl d) 87 dm3 e) 3,5 m3 f) 1 cm3 g) 0,1256 m3 h) 50 000 mm3 
 
Resp.: 5) a) 1,2 b) 0,85 c) 200 d) 87 e) 3500 f) 0,001 g) 125,6 h) 0,05 
 
6 - Uma lata de refrigerante cilíndrica tem 15 cm de altura e o raio da base mede 3 cm. Quantos ml de 
refrigerante, aproximadamente, cabem nessa lata? 
Resp.: 423,9 m l 
 
5 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA: 
Notação científica é uma forma abreviada de escrever medidas físicas porque facilita os cálculos 
envolvendo números muito grandes ou muitos pequenos. 
Qualquer número pode ser escrito sob a forma N x 10x em que 1 ≤ N < 10 e x é um número inteiro 
positivo ou negativo. Por exemplo: 
 
805 = 8,05 x 102 , (312 = 3,12 x 102) , 7924,5 = 7,9245 x 103 , (0,42 = 4,2 x 10-1) , 0,036 = 3,6 x 10-2 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
7 - Expresse em notação científica: 
a) 480 b) 0,00085 c) 492 . 10-3 d) 
5
1000
 
 
Resp.: a) 4,80 x 102 b) 4,92 x 10-1 c) 8,5 x 10-4 d) 5 x 10-3
 
8 - Expresse em notação científica o resultado de cada uma das operações indicadas: 
 
a) 2m + 400 cm = ................................................................................... cm 
 
b) 7 kg + 300 g = ................................................................................... g 
 
c) 2 . 103 cm + 4,7 . 105 mm = ..........................................................................................................mm 
 
d) 2 h + 30 min = ....................................................................................s 
 
Resp.: a) 6 x 102 cm c) 4,9 x 105 mm b) 7,3 x 103 g d) 9 x 103 s 
 
6 - Análise Dimensional:
 
A análise dimensional tem várias aplicações em Ciências Exatas. Dentre as principais, podemos 
destacar: 
• Previsão das unidades de medida de uma grandeza física; 
• Mudanças de unidades de medida das grandezas; 
• Previsão de equações físicas; 
• Verificação da correção das equações físicas (homogeneidade). 
 
 
EQUAÇÃO DIMENSIONAL: 
A dimensão de uma grandeza é um dado importante para a completa caracterização física da 
referida grandeza. As grandezas físicas fundamentais para a Mecânica terão os seguintes símbolos 
dimensionais: 
Grandezas físicas 
fundamentais 
Símbolos dimensionais 
Massa M 
Comprimento L 
Tempo T 
 
A equação que relaciona os símbolos dimensionais de uma determinada grandeza recebe o nome de equação 
dimensional. 
 
Exemplos: 1) Estabeleça a equação dimensional do volume V. 
 
 Volume do Paralelepípedo: V = a.b.c 
a
c b
 
 
 
 
 
Solução: Sabendo que o volume é o produto de três grandezas de comprimento, podemos escrever: 
 
 V = L.L.L então ⇒ Equação dimensional de volume 
 
 símbolo de dimensional 
[V] = L3
 
Cada lado do paralelepípedo possui a dimensão de comprimento. 
 
2) Qual é a equação dimensional da grandeza derivada da velocidade, sabendo-se que ela é assim 
definida: v = distância / tempo . 
 
Solução: Substituindo distância e tempo, na equação da definição da velocidade, pelos seus respectivos símbolos 
dimensionais teremos: 
[ ]V L
T
= sendo assim, [V] = LT-1
 
Quando determinamos, no SI, as unidades de medida das grandezas velocidade, aceleração e 
força, necessitamos recordar suas definições. 
Assim, podemos estabelecer que a fórmula de definição de uma grandeza física é a fórmula 
matemática que a define. Tomemos outro exemplo simples a área de um retângulo: 
 
a 
b 
Área do Retângulo: A = a.b 
 
 
b [A] = L.L = L2
 
 
 
b 
Equação Dimensional de uma grandeza física 
 
Em Mecânica utilizamos os símbolos L M T, determinando Comprimento, Massa e Tempo, 
respectivamente. A importância deste fato é que todas as grandezas físicas derivadas em Mecânica podem 
ser expressas em termos destas três grandezas fundamentais. Isto fica bem claro no conceito de Fórmula 
Dimensional ou Equação Dimensional: 
 
[ ] zyx TMLG ××=
 
 
Onde: 
• G é a grandeza que se deseja obter a fórmula dimensional; 
• L, M e T são os símbolos dimensionais das grandezas de base comprimento, massa e tempo; 
• x, y e z são as dimensões de G em relação às grandezas fundamentais comprimento, massa e tempo, 
respectivamente. 
 
 
Como exemplo, vamos determinar as fórmulas dimensionais da área e do volume. 
Área: A = a.b, onde a e b são comprimentos. Então, 
 
[A] = L.L = L2 
 
Logo, [A] = L2M0T0, para ficar em uma forma mais completa, explicitando-se as três dimensões. 
 
Volume: V = a.b.c, onde a, b e c também são comprimentos. Daí segue 
 
[V] = L.L.L = L3 = L3M0T0. 
 
Mais exemplos: 
[ ] 1011 TMLLT
T
L
tempo
distânciav −− ==== Velocidade: 
 
 
[ ] 201211
1
TMLLTTLT
T
LT
tempo
velocidadea −−−−
−
=====Aceleração: 
 
 
Força: [F] = massa x aceleração = M. L1M0T-2 = L1M1T-2
 
Como podemos notar, tendo-se a fórmula de definição, facilmente chegamos à fórmula dimensional da 
grandeza física em questão. O fundamental é notarmos que se duas grandezas físicas, mesmo de nomes e 
origens diferentes, tiverem a mesma fórmula dimensional, então os seus significados físicos são iguais e 
suas unidades de medida são rigorosamente as mesmas. 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
1) Sabendo-se que a grandeza aceleração a é definida pelo quociente d/t2 , em que d se refere a uma 
distância e t a um tempo, conclua a equação dimensional da aceleração. Resp.: 1) [a] = LT-2 
 
2) A grandeza força F é dada pelo produto da massa m da partícula pela aceleração a de que está 
animada. Sabendo-se que a = distância / (tempo ao quadrado) , qual será a dimensional da força? 
Resp.: 2) [F] = LMT-2 
 
Exercícios: 
1) Determine as fórmulas dimensionais das grandezas físicas abaixo. As definições utilizadas serão 
detalhadas (e aperfeiçoadas) ao longo do seu curso de Física I. 
a) Energia Cinética: 
2
2mvE = 
b) Energia Potencial Gravitacional: E = mgh (g é a aceleração da gravidade, h é a altura de onde está o 
corpo que se deseja calcular a energia) 
 
c) Trabalho Mecânico: W = Força x Deslocamento 
 
d) Quantidade de Movimento: P = massa x velocidade 
Determinação da Unidade de Medida de uma Grandeza Física 
Uma vez que tenhamos a fórmula dimensional de uma grandeza física, facilmente chegamos à sua 
unidade de medida. Isto pode parecer redundante já que fizemos algo semelhante para determinar tais 
unidades para o SI, a vantagem aqui é que podemos determinar as unidades para qualquer sistema que 
seja definido da forma LMT. 
Exemplo: 
Área: [A] = L2M0T0. Unidades no SI: [A] = m2 (não depende da massa nem do tempo). 
 
Volume: [V] = L3M0T0. Unidades no SI: [V] = m3 
 
Velocidade: [v] = L1M0T-1 = m.s-1 = m/s 
 
Força: [F] = L1M1T-2= m.kg.s-2 = m.kg/s2 que é o Newton. 
Exercícios: 
 
1) A força elástica de uma mola é dada pela Lei de Hooke, F = kx, onde k é a constante elástica da mola e 
x é o comprimento do tanto que a mola foi esticada (ou comprimida). Utilizando análise dimensional, 
encontre as unidades no SI da contante k. 
 
2r
GMmF =2) A Lei da Gravitação Universal de Newton estabelece que a força de atração 
gravitacional entre dois corpos é dada por: 
 
Onde G é a constante gravitacional, M e m são as massas dos corpos e r é a distância entre seus centros. 
Determine as unidades da constante G no SI, utilizando análise dimensional. 
 
Homogeneidade Dimensional de Equações Físicas 
 
Como as equações físicas são expressas por igualdades, não apenas os valores numéricos dos dois lados 
devem ser idênticos, mas também as unidades de todos os termos da equação. Não podemos ter um termo 
da equação com dimensão L2 e outro termo (independente do lado da igualdade) com dimensão L-3, por 
exemplo. Tal equação contém incorreções, ou seja, não é verdadeira. Quando todos os termos têm as 
mesmas dimensões em relação a cada uma das grandezas básicas (LMT), dizemos que a equação é 
dimensionalmente homogênea. Toda equação física é dimensionalmente homogênea, embora a recíproca 
não seja verdadeira, ou seja, é possível que uma equação seja dimensionalmente homogênea mas, esteja 
errada, devido a algum procedimento errôneo de cálculos em sua elaboração. Vejamos alguns exemplos: 
 
1) Equação de Torriceli para o MRUV: 
 v2 = vo2 + 2a.Δx onde Δx é o deslocamento. 
Temos que: 
(LT-1)2 = (LT-1)2 + LT-2.L > L2T-2 = L2T-2 + L2T-2
Devemos notar os seguintes pontos: 
• O “2” é uma constante numérica, ou seja, não tem dimensões (adimensional); 
• As operações algébricas são feitas termo a termo individualmente, ou seja, não se somam ou 
simplificam termos semelhantes, o objetivo é comparar as dimensões de cada termo com os outros da 
equação. 
 
Exercícios: 
 
m
.Fv l=
1) Verifique a homogeneidade dimensional da velocidade de propagação de 
 um pulso em uma corda tracionada, dada por 
 
onde F é a força com que a corda é tracionada, l o comprimento da corda e m a sua massa. 
 
2) A força de atrito entre um bloco e uma superfície é dada por: 
F = μN ; 
 onde μ é o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície e N a força normal que a superfície aplica no 
bloco a fim de sustentá-lo. Supondo tal equação dimensionalmente homogênea, encontre a fórmula 
dimensional e as unidades no SI do coeficiente de atrito. 
 
3) A expressão que dá o deslocamento Δx de um corpo em função do tempo é dada por: 
Δx = C.axty
Onde C é uma constante adimensional, a é a aceleração e t o tempo. Encontre os valores de x e y nesta 
equação. 
 
4) Na expressão x = a + bt + ct2 + dt3, quais são as unidades das constantes numéricas a, b, c e d? 
 
Referências Bibliográficas 
• Ramalho, Francisco et al. Os Fundamentos da Física, Vol 3, 8a Ed. São Paulo: Moderna, 2003. 
• Sistema Internacional de Unidades. 8a Ed. Rio de Janeiro: INMETRO, 2007. 
 Disponível em www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf
 
• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 2, 3 e 4. 6a. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
 
• Este texto também utiliza como base os apêndices disponíveis na página do Prof. Hélder M. Medeiros 
http://sites.uol.com.br/helderjf 
http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf
http://sites.uol.com.br/helderjf
	TEXTO DE REVISÃO 01 Unidades de Medidas, Notação Científica e Análise Dimensional.
	Algumas unidades não pertencentes ao Sistema Internacional
	Grandezas físicas fundamentais
	Determinação da Unidade de Medida de uma Grandeza Física
	Homogeneidade Dimensional de Equações Físicas