AP1-PC-2009-2 gabarito

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AP 01 – 2009-2 _ Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
1ª. Questão [1,5 ponto: a) 0,5; b) 0,5; c) 0,5]: 
Faça os cálculos necessários e determine quais dos números a seguir são racionais e quais são irracionais. Os 
números racionais devem ser escritos na forma 
q
p
, fração irredutível, com .0¹q 
a) 49,0 b) 
( ) ( )
12
3131
22
--+
 c) 
1,2
3,0
. 
 
Solução: 
 
a) 
10
7
100
49
100
49
49,0 === . É racional. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) 
( ) ( ) ( ) ( )
=
+××--+××+
=
--+
12
)3(3121)3(3121
12
3131 2222
22
 
 
( ) ( )
==
×
=
×+-×+
=
+×--+×+
4
4
12
34
12
324324
12
33213321
 
 
1
2
2
4
= . É um número inteiro, logo racional. 
 
Outra resolução: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
=
-++´--+
=
--+
12
31313131
12
3131
22
 
1
2
2
4
4
4
12
34
12
232
===
×
=
´
. É um número inteiro, logo racional. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
c) 
7
1
12
3
1012
103
1,2
3,0
1
1
==
´
´
= -
-
. É um número racional. 
 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
AP 01 – 2009-2 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
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2ª. Questão [4,0 pontos: a) 2,0; b) 2,0]: 
a) Use fatoração e simplifique ao máximo a expressão 
x
x
x
8
1
1
1
2 -
-
-
. 
Agora, usando essa expressão simplificada, resolva a inequação 0
8
1
1
1
2
³
-
-
-
x
x
x
. 
Solução: 
Como 0=x anula o denominador da fração
x
8
, 1=x anula o denominador da fração
1
1
-x
 
e 2=x anula 
x
x
82 - , que é o denominador da expressão 
x
x
x
8
1
1
1
2 -
-
-
, então esta expressão só 
pode ser calculada para 0¹x , 1¹x e 2¹x . 
=
--
-
=
-
´
-
-
=
-
-
--
=
-
-
-
)8()1(
)2(
81
2
8
1
11
8
1
1
1
333
2 xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
)42()1()42()2()1(
)2(
22 ++-
=
++--
-
xxx
x
xxxx
xx
, para 0¹x 1¹x e 2¹x . 
Vamos usar a expressão simplificada 
)42()1( 2 ++- xxx
x
 para resolver a inequação 0
8
1
1
1
2
³
-
-
-
x
x
x
: 
Observe que para x" real o trinômio do segundo grau 422 ++ xx é positivo, pois seu 
discriminante 016441424 22 <-=××-=-=D cab e o coeficiente do termo 2x é positivo. 
Analisando o sinal da fração 
)42()1( 2 ++- xxx
x
, para 0¹x 1¹x e 2¹x : 
 
 0<<¥- x 0=x 10 << x 1=x ¥+<< x1 
1-x ---- - ---- 0 ++++ 
x ---- 0 ++++ + ++++ 
422 ++ xx ++++ + ++++ + ++++ 
)42()1( 2 ++- xxx
x
 ++++ 0 ---- nd ++++ 
0
)42()1( 2
³
++- xxx
x
 ///////////// ///////////// 
AP 01 – 2009-2 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
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Daí concluímos que 0
)42()1( 2
³
++- xxx
x
, 0¹x 1¹x e 2¹x . 
 
Û ),2()2,1()0,( ¥+ÈÈ¥-Îx . 
 
Logo o conjunto solução é: 
 
{ } ),2()2,1()0,(2210;IR ¥+ÈÈ¥-=><<<Î= xouxouxxS . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Use a definição de valor absoluto e reescreva a equação ( ) 3112 2 =-+- xx sem módulo e resolva a 
equação. 
 
Solução: 
 
 
Temos que 
î
í
ì
<<-+-
³³--
=-
)1(01,1
)1(01,1
1
xxsex
xxsex
x . 
 
Assim, 
 
 
( ) ( )
( )ïî
ï
í
ì
<=-++-
³=-+-
Û=-+-
1,31)1(2
1,31)1(2
3112
2
2
2
xsexx
xsexx
xx Û 
 
ïî
ï
í
ì
<=+-++-
³=+-+-
1,312)1(2
1,312)1(2
2
2
xsexxx
xsexxx
Û Û
ïî
ï
í
ì
<=+-
³=-
1,334
1,31
2
2
xsexx
xsex
 
 
ïî
ï
í
ì
<=-
³=
1,04
1,4
2
2
xsexx
xsex
. 
 
Para, 
1,42 ³= xcomx , temos a solução 2=x , já que a solução 2-=x não satisfaz a condição 
1³x . 
 
Para, 
1,0)4(42 <=-=- xcomxxxx , temos a solução 0=x , já que a solução 4=x não 
satisfaz a condição 1<x . 
 
Portanto a solução da equação ( ) 3112 2 =-+- xx é o conjunto { }2,0 . 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
3ª. Questão [2,0 pontos]: 
Os pontos )0,2(-A , )2,0(B , )1,1(C e )1,1( --D são vértices de um retângulo. 
AP 01 – 2009-2 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
4 de 6 
a) Represente esses pontos no plano cartesiano e desenhe esse retângulo. 
 
b) Escreva a equação das diagonais desse retângulo. 
Essas diagonais são perpendiculares? Explique usando informações retiradas das equações das diagonais 
que você encontrou. 
c) Encontre o ponto de interseção das diagonais. 
Você acaba de encontrar o baricentro, que é o centro de gravidade do retângulo. 
 
Solução: 
 
 
a) Represente esses pontos no plano cartesiano e desenhe esse retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escreva a equação das diagonais desse retângulo. 
Essas diagonais são perpendiculares? Explique usando informações retiradas das equações das diagonais 
que você encontrou. 
 
Seja l a diagonal que une os vértices )0,2(-A e )1,1(C . 
O coeficiente angular de l é: 
3
1
)2(1
01
=
--
-
=lm . 
Equação de l : 
3
2
3
1
))2((
3
1
0 +=Û--=- xyxy . 
 
Seja s a diagonal que une os vértices )2,0(B e )1,1( --D . 
O coeficiente angular de s é: 3
1
3
)1(0
)1(2
==
--
--
=sm . 
Equação de s : 23)0(32 +=Û-=- xyxy . 
 
AP 01 – 2009-2 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
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Como 
s
l m
m
1
-¹ , pois
3
1
=lm e 3=sm , então podemos afirmar que essas diagonais não são 
perpendiculares. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Encontre o ponto de interseção das diagonais. 
 
Vamos resolver o sistema: 
ïî
ï
í
ì
+=
+=
23
3
2
3
1
xy
xy
. 
Temos: 
2
1
8
4
48269
3
2
3
1
23 -=-=Û-=Û+=+Û+=+ xxxxxx 
Substituindo 
2
1
-=x na equação 23 += xy , temos 
2
1
2
2
3
2)
2
1
(3 =+-=+-=y . 
O ponto de interseção das diagonais é )
2
1
,
2
1
(-P . 
Você acaba de encontrar o baricentro, que é o centro de gravidade do retângulo. 
_____________________________________________________________________________________________ 
 
4ª. Questão [2,5 pontos]: 
 
a) Completando o quadrado na variável adequada, escreva a equação 04 22 =+- yxx na sua forma 
canônica e identifique a cônica que essa equação define. Encontre o seu centro C . 
Solução: 
 
Completando o quadrado na variável x : 
4)2(044404 222222 =+-Û=+-+-Û=+- yxyxxyxx . 
Esta é a equação de um círculo centrado no ponto )0,2(C e raio 2=r . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Esboce o gráfico dessa cônica, encontre os pontos 
P e R de interseção com o eixo xO e os pontos 
Q e S de interseção com a reta vertical 2=x . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
AP 01 – 2009-2 – Gabarito _ Pré-Cálculo 
 
6 de 6 
 
 
As interseções desse círculo com o eixo xO são os pontos P e R do círculo de ordenada 0=y . 
Fazendo 0=y na equação 04 22 =+- yxx , obtemos 0)4( =-xx , donde .40 == xex 
Portanto, )0,0(P e )0,4(R . 
 
As interseções desse círculo com a reta vertical 2=x são os pontos Q e S do círculo de abscissa 2=x . 
Fazendo 2=x na equação 4)2( 22 =+- yx , obtemos 42 =y , donde .22 =-= yey 
Portanto, )2,2(Q e )2,2( -S . 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Os pontos P , Q , R , S formam um quadrilátero. Mostre, algebricamente, que esse quadrilátero é 
um retângulo. Use para isso o conceito de coeficiente angular de uma reta, de retas paralelas e de retas 
perpendiculares. 
 
Solução: 
Calculando os coeficientes angular das retas: 
1- que une os pontos )0,0(P e )2,2(Q : 1
02
02
=
-
-
=QPm 
2- que une os pontos )2,2(Q e )0,4(R : 1
42
02
-=
-
-
=RQm 
3- que une os pontos )0,4(R e )2,2( -S : 1
42
02=
-
--
=SRm 
4- que une os pontos )2,2( -S e )0,0(P : 1
02
02
-=
-
--
=PSm 
Lembrando a relação entre os coeficientes angulares de retas paralelas (são iguais) e de retas perpendiculares 
(um é o inverso negativo do outro), concluímos que: 
-os lados SReQP são paralelos e os lados SPeRQ . 
- os lados QReQP são perpendiculares. Ou podíamos também ter verificado que os lados SPeSR são 
perpendiculares ou que RSeQR são perpendiculares ou ainda que PQeSP são perpendiculares. 
Isso mostra, algebricamente, que esse quadrilátero é um retângulo. 
 
Mais que isso, esse quadrilátero é um quadrado, mas esse fato não precisava provar!!!