Morgado - Geometria 1

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Geometria I
4a EDIÇÃO
A.C. Morgado 
E. Wagner
M. Jorge
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
GEOMETRIA I
4? EDIÇÃO *
FICHA CATALOGRÁFICA
M845g
CDD
Morgado, Augusto César
Geometria I |por| A.C. Morgado, E. Wagner. 
|e| Miguel Jorge. Fortaleza, VestSeller, 2008.
1. Geometria (2o grau) I. Wagner, Eduardo.
II. Jorge, Miguel. III. Título.
CDD 17— 513
18 — 516
— 513
(Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte do 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, GB)
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
1.1 — Axioma» do Associação
1.2 — Axioma» de Paralelismo .............
1.3 — Direção............................................................................ • •
1.4 — Determinação do Plano ...............
1.5 — Posições Relativas entre os Elementos Primitivos,
1.6 — Condições de Paralelismo
P6g.
1
1
2
3
4
5
ó
8
9
9
11
13
15
16
17
17
18
19
19
19
20
21
21
21
22
— Definições
— Conjuntos Convexos.. . .
—- Setor Angular Convexo.
— Ângulo
— Ângulo de Duas Retas.
— Ângulo entre Reversas.
— Retas Ortogonais
— Congruência
—■ Bissetriz
— Relas Perpendiculares..
— Ângulo Reto
— Ângulos Adjacentes....
— Definições
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2 1 1
2.12
2.13
01 — Um Pouco de História
02 — Princípios Lógicos Fundamentai»
03 — As Definições — Os Conceitos Primitivos.
04 —- Os Axiomas
05 — Os Teoremas
06 — Sistema Axiomótico
Pag.
2.24
CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 4 — TRIÂNGULOS
CAPÍTULO 5 — PRINCIPAIS QUADRILÁTEROS
— Trapézio
— Paralelograma.
46
47
37
38
38
40
42
43
43
43
44
44
45
31
32
32
33
34
34
35
35
22
23
24
25
25
25
26
27
27
28
28
29
29
29
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6 
4.7
4.8
4.9 
5.1
5.2
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
—- Classificações
— Condição de Existência
— Principais Cevianas
—- Congruência de Triângulos
— 1.* Lei de Thales
— Ângulo Externo de um Triângulo.
— O Triângulo Isósceles
—■ O Triângulo Eqüilátero
— Soma dos Ângulos Internos de
4.10 — Soma dos Ângulos Externos de 
4.11 — Polígonos Eqüiânguíos
— Linha Poligonal — Polígono
— Número de Diagonais de um Polígono.
—- Região Poligonal .
—- Classificação dos Polígonos
— Ângulos Internos de um Polígono
Ângulos Externos de um Polígono
— Observações
— Extensão do Conceito de Polígono
um Polígono não Entrecruzado. 
um Polígono não Entrecruzado.
— Teorema
— Ângulos Opostos pelo Vértice
— Ângulos nas Paralelas
—- Ângulos de Lados Paralelos
—- Ângulos de Lados Perpendiculares 
—— Reta Perpendicular a Plano
— Diedro 
—- Bissetor de um Diedro
~ Planos Perpendiculares . . . .
— A Medida de um Segmento
2.23.2 — Axioma da Distância .
2.23.3 — Axioma da Ordem (Soma de Segmentos).
2.23.4 — Axioma da Menor Distância
— Medida de Ângulos
Pág.
CAPÍTULO 6
CAPÍTULO 7 — CÍRCULO
CAPÍTULO 8 — PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
— Circuncentro
— Incentro ....................
— Ortocentro
— Baricentro
— Ex-incentro$ 
—- Observações 
—- Principais Segmentos do Triângulo,
Exercícios de Fixação 
Problemas 
Respostas dos Problemas 
Problemas Resolvidos
68
68
69
70
71
71
73
78
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58
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60
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62
63
63
63
66
67
— Retângulo. 
— Losango
— Quadrado. . . .
— Observações. . . . 
47
48
48
48
7.8
7.9
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
5.3
5.4
5.5
5.6
—— Definições .................................
— Elementos ................
— Observações ..............................................
— Tangente 
— Normal Principal ...................................
— Tangente e Normal a um Círculo 
— Quadrilátero Circunscritível (Teorema de Pitot)., 
— Ângulo de Duas Curvas Secantes em um Ponto, 
— Curvas Ortogonais ......................... 
7.10 — Círculos Ortogonais 
7.1 1 — Arcos e Ângulos
7.12 — Arco Capaz ........................................................
7.13 — Quadrilátero Inscritível
— Projeções Ortogonais
— Mediatriz
— Perpendiculares e Oblíquas 
—- Lugar Geométrico
— Mediatriz como LG
— Bissetriz como LG.. ..........
/
INTRODUÇÃO
0.1—UM POUCO DE HISTÓRIA
0.2 — PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS
0.2.1 — Princípio da Identidade:
"Todo conceito é igual a si mesmo.”
0.2.2 — Princípio da Contradição:
”É impossível que algo seja e não seja verdadeiro ao 
mesmo tempo e sob uma mesma condição.”
Possivelmente 
Geometria foi um 
posse do escriba Ahmes, que o recopiou dois séculos mais tarde.
Até o quarto século antes de Cristo, a < 
receitas descobertas experimentalmente, sem 
exemplo, era de conhecimento dos egípcios que
o primeiro documento importante da história da 
papiro que datava do séc. XIX a. C. e que esteve em
Geometria não passava de 
i fundamento científico. Por 
o triângulo cujos lados 
medem 3, 4 e 5 é retângulo, e era do conhecimento dos gregos que 
o comprimento de um círculo era aproximadamente 3 vezes o compri­
mento de seu próprio diâmetro.
Com o desenvolvimento da Lógica e com a contribuição de grandes 
sábios como Thales, Pitágoras, Platão e outros, a Geometria toma di­
mensão nova com o aparecimento de uma grande obra em 13 volumes 
chamada os ELEMENTOS de Euclides, com mais de mil edições até os 
dias de hoje. Nele a Geometria é apresentada de forma lógica e or­
ganizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se 
por raciocínio lógico.
2 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
afirmação:
é
a
causa.
0.3 —AS DEFINIÇÕES — OS CONCEITOS PRIMITIVOS
0.2.3 — Princípio do Meio Excluído:
“Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa."
0.2.4 — Princípio da Razão Suficiente:
“Todo juízo deve ter uma razão suficiente."
Para esclarecer este último princípio, considere a
a causa ou razão suficiente, 
é o efeito (conclusão).
"Se C é um círculo, ENTÃO C tem centro."
C é um círculo 
C tem centro
"Definir um conceito, representado por uma palavra ou símbolo, é 
expressar seu significado por meio de outras palavras ou símbolos já 
conhecidos.”
É claro que toda definição deve ser suficientemente precisa para 
que, definido um conceito, possamos afirmar com segurança se um ele­
mento está ou não contido na definição.
Devemos notar que, se o efeito é dado, não podemos concluir
Por exemplo, se dissermos que C tem centro, não podemos con­
cluir que C seja um círculo. Pode ser umo elipse ou uma infinidade de 
outras curvas.
3GEOMETRIA I
iil
t UM* RETAl'
0.4 —OS AXIOMAS
■soí
O grande passo dado por Euclides consistiu na introdução do mé­
todo axiomático que consiste em estabelecer um conjunto de proposi­
ções que admitimos serem verdadeiras. Os axiomas são, pois, relações
Sabendo que se deve definir um conceito por meio de outros já 
anteriormente definidos, sendo estes também definidos por meio de 
outros anteriores, e assim sucessivamente, chegaremos a um 
primeiro cuja impossibilidade 
existe nenhum outro anterior. 
mitivo.
LOSANGO í UMA FIGURA FORMÃO*) 
por guatpo segmentos de reta oeJ 
L MESMO COMPRIMENTO,0 OUE É UM
LOSANOO ?
8EM...NE.HE■ SAIE, E
AQUILO OUE OLHA. SAÍ
COMO é NE .. V
assim sucessivamente, chegaremos a um conceito 
de defini-lo é evidente posto que não 
Chegamos, portanto, a um conceito prí-
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE4
0.5 — OS TEOREMAS
X
QUÊ?
E SEMPRE POSSÍVEL TRAÇAR UMA RETA' 
QUE PASSE POR DOIS PONTOS DISTINTOS^
entre os conceitos primitivos admitidos como verdadeiras e não con­
cluídas, mediante encadeamento lógico de conceitos anteriores.
MAS QUAL E? 
TA PENSANDO 0
DEMONSTRA AH
É fácil notar que algumas afirmações em Geometria nos parecem 
tão óbvias que nunca nos lembraríamos de descobrir por que elas são 
verdadeiras e outras não são absolutamente óbvias, a ponto de desper­
tar nossa curiosidade para a verificação de sua veracidade.
Estamos, então, em frente a um teorema.
"7em um triângulo, o j 
QUADRADO DA HIPOTENUSAj 
.SOMA DOS quadrados;
DOS 
CATETOS——1
5GEOMETRIA I
0.6 —SISTEMA AXIOMÁTICO
* David Hilbert (1862-1943) — matemático alemão.
* Grundlagen der Geometria— 1899.
O Sistema Axiomático foi profundamente estudado por Hilbert*. 
Transcrevendo suas palavras: “Imaginemos três categoriasde objetos, 
que chamaremos de PONTOS, RETAS e PLANOS. Haverá tontas Geo- 
metrias quantos forem os significados distintos que dermos a estas pa­
lavras. As relações entre esses elementos serão estabelecidas através 
dos axiomas."**
Para confruirmos a Geometria Euclidiana, poderemos partir de 
vários conjuntos de axiomas. Não começaremos de Euclides, mas sim 
de Hilbert, cuja base axiomático é bem mais sólida.
Em um sistema axiomático, os axiomas são basicamente de cinco 
tipos: de associação, de paralelismo, de continuidade, de congruência 
e de ordenação.
Um teorema é, pois, qualquer proposição que seja consequência 
de proposições anteriores. Os teoremas constam de duas partes essen­
ciais: a HIPÓTESE, que é o conjunto de proposições dadas, e a TESE, 
que é a proposição deduzida da hipótese mediante encadeamento 
lógico das proposições dadas; é, pois, o conclusão.
Se tomarmos a experiência e intuição como únicas bases das in­
vestigações matemáticas, fatalmente erraremos em algum ponto, pois, 
sendo imperfeitos nossos sentidos, deveremos concluir que não necessa­
riamente nossa intuição sempre nos levará a um resultado correto. Real­
mente, deveremos apoiar nossas primeiras deduções em conceitos não 
definidos e proposições indemonsfráveis, que admitiremos verdadeiras, 
mas, a partir daí, a lógica deve ser a responsável pela elaboração de 
outras proposições e propriedades decorrentes.
O conjunto de proposições que servem de fundamento a uma 
ciência é seu SISTEMA DE AXIOMAS. Como ele é arbitrário, respei­
tando certas normas, poderemos inventar Geometrias tão esquisitas, mas 
tão lógicas, quanto quisermos.
CAPÍTULO 1
1.1—AXIOMAS DE ASSOCIAÇÃO
A-11 — O espaço é o conjunto de todos os pontos.
A-5 —Três pontos de
A, B e C 
determinam 
um plano.
São axiomas de associação os que definem a pertinência 
terminação de elementos.
A, B, e C 
não determinam 
um plano.
e a de-
um plano determinam esse mesmo plano.
|A-2| — Dois pontos distintos determinam uma reta.
|a-3| — Dois pontos distintos de uma reta determinam essa mesma 
reta.
GEOMETRIA I 7
ponto comum, então possuem
é uma reta ou
PLANOS
SECANTES
PIANOS
PARALELOS
A-7| — Se dois planos possuem um 
pelo menos algum outro ponto comum.
|A-8| — A interseção de dois planos distintos, ou 
um conjunto vazio.
OBSERVAÇÕES: A2 e A3 dizem que dois pontos distintos determinam 
UMA, e APENAS UMA, reta.
A4 e A5 dizem que três pontos não colineares deter­
minam UM, e APENAS UM, plano.
|a~ó| — Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, 
todos os pontos dessa reta pertencem a esse plano.
8 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
1.2 —AXIOMAS DE PARALELISMO
4>
A-9 — A interseção de duas retas distintas de um plano, ou é um 
ponto ou um conjunto vazio.
1. Carl Friodrich Gauss (1777-1855)
2. N. I. Lobachevikl (1792-1856)
3. Janos Bolyoi (1802-1860)
|A-1 0| — Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, 
e apenas uma, reta paralela à primeira.
Este axioma caracteriza a geometria de Euclides. Parece que 
Gauss1 foi o primeiro a verificar que era possível construir geometrias 
independentes do axioma das paralelas. Em 1 826, Lobachevski2 e, 
em 1829, Bolyai3 apresentavam modelos de geometrias não euclidia­
nas. Ambos negavam o axioma das paralelas, admitindo uma infini-
GEOMETRIA I 9
um plano passa um,
1.3 — DIREÇÃO
reta r damos ouma
1.4 — DETERMINAÇÃO DO PLANO
G. F. 8. Riemann (1826-1866)
Ao conjunto de todas as 
nome de direção de r (Dir. (r)).
Por extensão, consideramos 
(não distintas). Assim, é verdadeira 
mesma direção são paralelas.
De acordo com os axiomas anteriores, 
não colineares, podemos concluir que um
IA -1 11 — Por um ponto não pertencente a 
e apenas um, plano paralelo ao primeiro.
e sendo A, B e C três pontos 
plano fica determinado por:
retas paralelas a
retas coincidentes como paralelas 
a afirmação: duas retas de uma
dade de retas do plano passando por um ponto e não secantes a uma 
reta dada. Em 1854, Riemann4 apresentava uma geometria em que 
duas retas eram sempre concorrentes. Estas duas geometrias não eucli­
dianas são conhecidas como hiperbólica (a primeira) e elíiica (a se­
gunda). Naturalmente que as noções de ângulo e de distância são di­
ferentes. Na geometria de Lobachevski-Bolyai a soma dos ângulos 
internos de um triângulo é inferior a 1 80° e na de Riemann é superior 
a 180°.
10 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
O Bnõo
o
■O
-o
d) Duas retas pa­
ralelas distintas
C°
b} Uma reta e um 
ponto não per­
tencente a essa 
reta
a) Três pontos 
colineares
11GEOMETRIA I
• AA
[não pertencente || pertencente j
s
[paralelas distintas |[coincidentes |
[concorrentes |
s
• A=B 
|coincidentes[
cj reta e reta
(T) Ponto e reta
1.5 —POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE OS ELEMENTOS PRIMITIVOS 
--------- ■s
Ponto e ponto
A_______ B
[ distintos [
reversas |
12 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
GEOMETRIA I 13
oc
paralelos
1.6 —CONDIÇÕES DE PARALELISMO
a) reta e plano
plano
Se uma reta é paralela a uma reta de um plano, ela é para­
lela a esse plano.
b) plano e
Se duas retas concorrentes r e s são respectivamente para­
lelas a duas retas r' e s' de um plano a, o plano determinado 
por r e s é paralelo a a.
16 A. C. MORGADO/E. V/AGNER / M. JORGE
r
A reta r é o suporte do segmento A B.
2.2 — CONJUNTOS CONVEXOS
-o 
A
o 
B
Um conjunto de pontos é convexo se, para todo par de pontos A e B 
do conjunto, o segmento AB está inteíramente contido no conjunto.
2.1.4 — Dados dois pontos A e B em uma reta r, chama-se seg­
mento AB ao conjunto de pontos de r entre A e B, que 
são os extremos do segmento.
2.1.3 — Um plano qualquer divide o espaço em dois conjuntos 
de pontos chamados SEMI-ESPAÇOS, sendo o plano de 
divisão chamado ORIGEM ou FRONTEIRA de cada 
semi-espaço.
GEOMETRIA I 17
2.3 —SETOR ANGULAR CONVEXO
interseção de dois semiplanos de fronteiras concorrentes.
2.4 —ÂNGULO
figura formada por duas semi-retas de mesma origem.
R são convexos, eAssim, os conjuntos P, Q e S é não convexo.
a) É a
É a
Devemos notar que assim como reta, plano e espaço são conjuntos 
convexos, semi-reta, semiplano e semi-espcço são também conjuntos 
convexos.
18 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
AOB
(OA 08)
NOTAÇÕES -
S.
8
b) Um ângulo determina dois setores angulares, um convexo e 
outro não, caso as semi-retas que o formam não sejam opostas.
c) A notação a é a única que os distingue. No caso anterior, 
vemos que o ângulo associa um setor convexo. Um ângulo 
associa um setor não convexo quando estiver representado 
como abaixo.
2.5 — ÂNGULO DE DUAS RETAS
É o menor ângulo formado por elas.
GEOMETRIA I 19
2.7 —RETAS ORTOGONA1S
Duas retas são ortogonais quando são reversas e o ângulo por elas 
formado é reto.
2.8 —CONGRUÊNCIA
a) Dois segmentos são congruentes quando podem ser levados a coinci­
dir porsuperposição, mediante um deslocamentorígidodeumdeles.
2.6 —ÂNGULO ENTRE REVERSAS
É o ângulo formado por duas concorrentes, respectivamente, para­
lelas às duas primeiras.
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE20
2.9 — BISSETRIZ
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que o divide em dois outros 
congruentes.
b) Duas figuras são congruentes quando podem ser levadas a 
coincidir por superposição, mediante um deslocamento rígido 
de uma delas.
21GEOMETRIA I
2.10 —RETAS PERPENDICULARES
s
s
3.
2.11 — ÂNGULO RETO
2.12 —ÂNGULOS ADJACENTES
Qualquer dos ângulos formados pelas retas perpendiculares 
chama-se ângulo refo.
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam 
quatro ângulos congruentes.
Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice e 
um lado comum, estando os outros dois lados em semiplanos opostos, 
cuja fronteira é o suporte do lado comum.
22 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
C
B
1o
A
2.14 —TEOREMA
â + 0 = 2 R 
Ô + 0 = 4 R
se
se
2.13 —DEFINIÇÕES
a) a é um ângulo:
1) agudo se
2) obtuso se
b) Dois ângulos a e
O ângulo AOC é o ângulo soma dos ângulos AOB e BÓC.
Definimos: AOC =a + /3.
a < 1 R
a > 1 R
0 são:
1) complementares se a + 0 = 1 R
2) suplementares
3) replementares
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são per­
pendiculares.
H — AOB e BOC são ângulos adjacentes suplementares.
— r e s são bissetrizes desses dois ângulos.
T — (r 7 s) = 1 R.
GEOMETRIA I 23
c o
2.15 —ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
o)
b) â = ?
c) As bissetrizes de dois ân­
gulos opostos pelo vértice 
são semi-retas opostas.
Dois ângulos opostos pelo 
vértice são congruentes.
D - 2 J -f- 2 0 = 2 R. 
a + 0 = R 
e = r
Dois ângulos são opostos 
pelo vértice quando os 
lados de um são as semi- 
retas opostas dos lados 
do outro.
A. C. MOR GADO / E. WAGNER / M. JORGE24
2.16 —ÂNGULOS NAS PARALELAS
a) Denominações
íjeflj
alternos internos
alternos externos
colaterais internos correspondentes-
colaterais externos-
b) Propriedades
2.1Z —ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
i + ft - 2R; - è
São congruentes se ambos 
forem agudos ou obtusos.
<X4 e jS2 
â2e04
São suplementares se um for 
agudo e outro, obtuso.
,a3 e02
âi e 0S
«i e0, 
â2 e 02 
âj e 03
Ôj e 03
1) Os ângulos alternos são congruentes.
2) Os ângulos correspondentes são congruentes.
3) Os ângulos colaterais são suplementares.
GEOMETRIA I 25
2.18 —ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
2.19 —RETA PERPENDICULAR A PLANO
um plano quando é perpendicular
t
r ± s
r ± a.
r ± t
s
b) Se uma reta é perpendi­
cular ou ortogonal a duas 
retas concorrentes, ela é 
perpendicular ao plano de­
finido pelos concorrentes.
a) Uma reta é perpendicular a 
ou ortogonal a todas as 
retas do plano.
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE26
2.20 — DIEDRO
figura formada por dois semiplanos de mesma fronteira.a)
b)
c)
s
t
A reta s de (3 perpendicular à fronteira r é chamada reta de 
maior declive de (3 em relação a a.
Retilíneo de um diedro é o ângulo formado pelas retas de maior 
declive de um plano em relação ao outro.
É a
17GEOMETRIA
2.21 — BISSETOR DE UM DIEDRO
dois diedros congruentes.
2.22 —PLANOS PERPENDICULARES
6
>
r ± a
■ => a
r C
a) Dois planos são perpendiculares quando formam quatro diedros 
congruentes.
b) Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer plano que 
a contenha é perpendicular ao plano dado.
É o semiplano que divide o diedro em
d) As retas de maior declive s e t determinam um plano a perpen­
dicular à aresta r. Assim, o retilíneo de um diedro é o ângulo 
obtido pela interseção de um plano perpendicular à aresta.
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE28
2.23 —A MEDIDA DE UM SEGMENTO
o
AB = mu , m e R +
OBSERVAÇÃO: representaremos por AB a medida do segmento AB.
2.23.2 — AXIOMA DA DISTÂNCIA
AB = 0
c
PQ AB
A Q
u =° unidade
m ™ medida do segmento na unidade u.
O 
P
O 
A
O 
B
o- 
B
b — Ao considerarmos os pontos A e B, admitimos a possibilidade 
de A s B. Neste caso,
— Ao considerarmos quatro pontos colineares A, B, P e Q, pode 
acontecer que PQ (2 AB. Neste caso,
A coda par de pontos corresponde um único número positivo ou 
nulo.
2.23.1 — Medir um segmento é 
como unidade.
a — O axioma da distância leva em conta que a unidade já foi 
arbitrada anteriormente.
Daí resulta um número 
a que chamaremos de 
medida do segmento AB 
na unidade u, ou dis­
tância entre os pontos 
A e B.
-O— 
u
compará-lo com um outro tomado
29GEOMETRIA I
2.23.3 — AXIOMA DA ORDEM (SOMA DE SEGMENTOS)
2.23.4— AXIOMA DA MENOR DISTÂNCIA
2.24 —MEDIDA DE ÂNGULOS
Z
â
unidade de medida angular
Dados três pontos, A, 
Be C não colineares, 
tem-se AC < AB + BC.
Para três pontos colineares, 
A, B e C, dados nesta ordem, temos 
AC = AB 4- BC.
= m 7
d—A distância é definida para um par de pontos e não depende 
da ordem em que esses pontos são mencionados. Portanto, 
teremos AB = BA sempre.
m — medida de ângulo Cl
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE30
a) SISTEMA SEXAGESIMAL
unidade — grau
subunidades — minuto
— segundo 1
b) SISTEMA DECIMAL
unidade — grado
subunidades — decígrado 1 dgr
centígrado, 1 cgr
milígrado, 1 ------- do grmgr
__1 
1000
= -l-R
90
Io
1 gr = — - ----- R
100
1' = —-— do grau
60
1= -------- do minuto
60
1
=--------do gr
10
1
= --------- do gr
100
31GEOMETRIA I
3.1—LINHA POLIGONAL — POLÍGONO
Em
a) A, B, C, . . . F vértices.
AB, BC . .. EF, FA lados.b)
c)
d) polígono é o número de lados.
e)
segmento de reta que une doisfl Diagonal de um 
vértices não adjacentes.
Unindo-se os extremos por um segmento, obtemos uma linha poli­
gonal fechada, ou POLÍGONO.
Gênero (n) de um
um polígono, temos:
Dados vários pontos, A, B, C, D L em ordem e de forma que 
três consecutivos não sejam colineares, a figura formada pela reunião 
dos segmentos AB, BC, JL chama-se LINHA POLIGONAL ABERTA 
e os pontos A e L, extremos
polígono é o
Vértices adjacentes. Dois vértices P e Q são adjacentes se, e 
somente se, PQ é lado.
Perímetro (2p) é a soma dos comprimentos de todos os lados.
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE32
3.2 —NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
vértices
d =
3.3 —REGIÃO POLIGONAL
Seja um polígono
A, B, C. . . J 
de gênero n.
n (n —3)
2
Escolhendo um determinado vértice (A, p. ex.), verificamos que 
por esse vértice podemos traçar n — 3 diagonais. A mais simples aritmé­
tica nos diz que pelos n vértices poderemos traçar n(n — 3) diagonais. 
Neste raciocínio há um erro, pois uma diagonal qualquer XY foi contada 
duas vezes, tanto partindo de X, quanto de Y. Assim, o número de dia­
gonais de um polígono é dado por
Desde que dois lados não consecutivos de um polígono não se 
cortem, o polígono define uma região do plano a que chamaremos de 
região poligonal. Quando um polígono não define uma região, dizemos 
que o polígono é entrecruzado.
33GEOMETRIA I
não define regiãodefinem regiões
3.4 — CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
a) Quanto ò região
uma
b) Quanto
polígonos podem receber as deno-
n =
n =
n =
n =
7n =
8n =
5
6
ao gênero
o gênero, osDe acordo com 
minações
3 --> triângulo
4 —> quadrilátero 
pentágono 
hexágono 
heptágono 
octógono
Um polígono é convexo caso sua região poligonal seja 
figura convexa. Em caso contrário, ele é dito não convexo.
34 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
n
3.5 —ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
Os ângulos internos serão notados por: iA, i ic . . .
3.6 —ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO
eneágono 
decágono 
undecágono
Em um polígono qualquer, percorrendo-o em uma 
direção, ao ângulo formado pelo prolongamento de 
lado com o lado seguinte, chama-se ângulo externo.
determinada 
um determinado
Em um polígono A, B, C . . . que 
os ângulos ABC, BCD, etc., localizados no 
ma dos ângulos internos.
define uma região poligonal, 
interior da região, são cha-
n = 9
n = 10
n = 1 1
n — 12 —> dodecágono
= 1 5 —> pentadecágono 
n = 20 —■> icoságono
35GEOMETRIA I
Os ângulos externos serão notados por:
3.7 — OBSERVAÇÕES
c) eqüiângulo.e
Os ângulos
a)
b)
Consideremos um polígono entrecruzado qualquer. 
externos são colocados de acordo com a definição anterior.
ÔA> ©Br ec • •
Um polígono é eqüilátero quando seus lados forem congruentes. 
Um polígono é eqüiângulo quando seus ângulos internos forem 
congruentes.
Um polígono é regular quando for eqüilátero
3.8 —EXTENSÃO DO CONCEITO DE POLÍGONO
36 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
f s
t
Os ângulos Internos são marcados do lado da linha tracejada e 
d© tal forma que, passando por um vértice, marcamos o ângulo que o 
segundo lado devo girar para quo possua direção e sentido do an­
terior (v. figura).
Para localizar os ângulos internos, vamos percorrer o polígono e 
marcar, de um mesmo lado (à esquerda de quem percorre o polígono, 
p. ex.), uma região a que chamaremos de "interior”.
CAPÍTULO 4
TRIÂNGULOS
4.1 — CLASSIFICAÇÕES
a) Quanto aos lados
Equi l Bt efo isdscelos Escaleno
(três lados congruentes) (dois lados congruentes)
b) Quanto aos ângulos
(três ângulos agudos) (um ângulo reto) (um ângulo obtuso)
38 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
4.2 — CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
r
a, b, c reais positivos.10 + 2
c < 12 e c 8
8 < c < 12.
4.3 — PRINCIPAIS CEVIANAS
a) altura (h)
1 
!• 
J
Ceviana é qualquer reta que passa por 
guio. As principais sco:
a < b + c
e 
a > j b — c |
c > i 10 - 2|
um vértice de um triân-
dois lados de um triângulo medem 10 e
Sejam a, b e c os comprimen­
tos dos lados do triângulo ABC. 
Tomando como verdadeira a afir­
mação que "a menor distância 
entre dois pontos é o comprimento 
do segmento de reta que os une”, 
chegamos facilmente a:
Assim, se dois lados de um triângulo medem 10 e 2, para que o 
triângulo exista, o terceiro lado deverá satisfazer às condições:
GEOMETRIA I 39
b) mediana (m)
c) bissetríz interna (ft)
d) bissetriz externa (/?c)
Observação
referir:
— ao segmento AH
— à medida do segmento AH
— à reta que contém A e H.
Quando escrevemos por exemplo ho, poderemos nos
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE40
4.4 —CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
a) Triângulos quaisquer.
for verificada uma
=> A ABC s A A'B'C'.
c =c'
 = Â'
ãb = ÃV A ABC = A A'B'CZ.
AC = A'C'
BC = B7C7
B = B'
1 — "Um lado e 
congruentes."
Dois triângulos quaisquer são congruentes se 
das condições seguintes:
Faremos assim para a simplificação das notações, mas o seu sentido 
correto estará sempre claro no contexto.
2 — "Dois lados e 
congruentes."
os dois ângulos adjacentes respectivamente
o ângulo compreendido respectivamente
41GEOMETRIA I
3 — "Três lados respeclivamente congruentes."
AB = A'B'
AC = A'C' A ABC = A A'B'C'.
BC = B'CZ
b) Triângulos retângulos.
for verificada
 = Â' = 90°
B = B' ABC s tX A'B'C'.
BC = B'C'
1 — "A hipotenusa 
gruentes."
e um ângulo agudo respectivamente con-
Dois triângulos retângulos sao congruentes se 
uma das condições seguintes:
42 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
2 — "A hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes."
AC = A'C'
4.5 — 1.» LEI DE THALES
180°.
B = B
r//s =>
C = t
 + B + 7 = 180° Â+ B +C = 180°
 = Â' = 90°
BC = Fc7
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a
=> Es. ABC s Cs A'B'C'.
43GEOMETRIA I
4.6 —ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO
ec = A + B
4.7 — 0 TRIÂNGULO ISÓSCELES
f B = C
b = c
4.8 — 0 TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
A = B = C = 60°
h = m =
 + B + C = 180° 
ê. + C = 180°
Um ângulo externo de um 
triângulo é a soma dos dois 
internos não adjacentes.
[ mo = ho = 0ta
a = b = c => •
Ã
8 c
44 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
S, = 180° (n - 2)
onde n é o gênero do 
polígono.
4.9 —SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO NÃO 
ENTRECRUZADO
4.10 —SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO NÃO 
ENTRECRUZADO
De acordo com a orientação dos ângulos externos dada em
45GEOMETRIA I
4.11 —POLÍGONOS EQUIÂNGULOS
n
Em polígonos equiângulos, como os ângulos internos são congruentes 
e, consequentemente, também os externos, teremos para cada ângulo:
360° 
e = ----------
T = 180°(n ~~ 2) 
n
CAPÍTULO 5
PRINCIPAIS QUADRILÁTEROS
5.1 — TRAPÉZIO
Definição
par de lados paralelos.
b‘ CESCALENO
h = altura
b B
ISÓSCELES
 = B
C =5
b, b' = comprimentos das 
bases J
É o quadrilátero que possui um
AD = BC =>
47GEOMETRIA I
RETÂNGULO
 = D = 90°.
5.2 — PARALELOGRAMO
1) OS
2)c0
3)
4)B
5.3 — RETÂNGULO
que os quatro ângulos são congruentes.
paralelograma equiângulo.D
2)
3)
paralelogramo que possui 
ângulo reto.
É o 
um
É o
Definição
É o quadrilátero em
lados opostos paralelos.
Quadrilátero que possui 
lados opostos congruentes.
Quadrilátero que possui ângu­
los opostos congruentes.
Quadrilátero em que dois ân­
gulos adjacentes são sempre 
suplementares.
Quadrilátero cujas diagonais 
cortam-se ao meio.
(Al = IC e Dl = IB).
Definição
É o quadrilátero que possui os
É o paralelogramo que possui 
diagonais congruentes.
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE48
5.4 —LOSANGO
5.5 — QUADRADO
quadrilátero regular (v. definição
D c
1) É o retângulo eqüilátero.
2) É o losango equiângulo.
BA
5.6 —OBSERVAÇÕES
De fato,
AM = — AJ 
2
a) A mediana relativa à hi- 
potenusa de um triângulo 
retângulo mede metade 
da hipotenusa.
Definição 
É o
Definição
É o em 3.7C.).
mo = — BC
2
quadrilátero que possui os 4 lados congruentes.
1) É o paralelograma que possui 
diagonais perpendiculares.
2) É o paralelograma que possui 
dois lados consecutivos congru­
entes.
3) É o paralelogramo em que as 
diagonais são bissetrizes dos 
ângulos internos.
GEOMETRIA I 49
A
B =0Â = 90°
(c = a.AH 1 BC
MN // BCM médio de AB
N médio de AC MN = —BC.
2
b) A mediana relativa à hipo- 
tenusa de um triângulo re­
tângulo divide o mesmo em 
dois triângulos isósceles.
c) No triângulo retângulo que 
possui um ângulo de 30°z 
o cateto oposto a esse ân­
gulo vale metade da hipo- 
tenusa.
d) A altura relativa à hipotenusa de
dois outros iguais aos ângulos agudos do
uin triângulo retângulo divide
o ângulo reto em 
triângulo.
= = -• J2 vL
e) O segmento que une os pon­
tos médios de dois lados de um 
triângulo é paralelo ao terceiro 
lado e vale metade deste.
50 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
MN // AB // CD
Somando,
MN = =
trapézio
(mediana de Euler*)JL =
(-)
JL = m. =
* Leonhard Euler (1707-17831 foi um dos maiores matemáticos do século XVIII. Mem­
bro da Academia de Ciências de Sõo Petersburgo, onde substituiu Bernoulli (1733), c da 
Academia de Ciências de Berlim (1741). Euler deu contribuições importantíssimas a quase 
todos os remos da Matemática.
b + b'
2
b - b'
2
MJ = — b' 
2
f) Base média de um trapézio
É o segmento que une os pontos médios dos lados não parale­
los de um trapézio.
MJ = -È_
2
ML = A
2
g) Mediana de Euler* de um
É o segmento que une os 
quadrilátero.
pontos médios das diagonais de um
JN = — b.
2
CAPÍTULO 6
6.1— PROJEÇÕES ORTOGONAIS
a) Pro/eção ortogonal de utn ponto
P
d d
2
A ”5.
Sobre um planoSobre uma reta
X.
A é a projeção ortogonal de P
distância dob) Distância de um ponto a uma reta ou a um plano é a 
ponto à sua projeção ortogonal.
P
c) Projeção de uma reta sobre um plano é o conjunto das projeções 
ortogonais dos pontos da reta sobre o plano.
A
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE52
c
B C
B’C' « BC B*C' « BC b'c* - oB
B' x C'B* B‘C‘ C*
d) Projeção de um segmento sobre uma reta
Seja B'C' a projeção de BC sobre a reta y.
e) Projeção de 
mento sobre
f) Ângulo de uma reta com um plano é o ângulo que a reta forma 
com sua projeção sobre o plano.
um segmento sobre um plano é a projeção do seg- 
a reta projeção de sua reta suporte sobre o plano.
GEOMETRIA I 53
g) Pro/eçõo do ângulo reto
Um ângulo reto se projeta como 
no se, e somente se, um de • 
(ou estiver nele contido) e o 
mesmo plano.
um ângulo reto sobre um pla- 
seus lados for paralelo ao plano 
> outro não for perpendicular ao
54 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
m
A B
7
6.3 —PERPENDICULARES E OBLÍQUAS
O- 
A
-O 
B
6.2 — a) Mediatriz de um segmento é 
mento que contém seu ponto médio.
O plano mediador de um 
segmento contém todas as media- 
trizes desse segmento.
reta (ou a um plano) traçarmos a
a reta perpendicular ao seg-
Se de um ponto exterior a uma 
perpendicular e várias oblíquas:
b) Plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao 
segmento, que contém o seu ponto médio.
55GEOMETRIA I
6.4 —LUGAR GEOMÉTRICO
a
E
a
2) £ A s L'| a
• V = C i.
E
Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que satisfazem 
determinada propriedade (ou propriedades).
Assim, se L é o lugar geométrico dos pontos que possuem uma pro­
priedade p, teremos:
1—o segmento da perpen­
dicular é menor que o de 
qualquer oblíqua.
3 — Se duas oblíquas se 
pendicular, o maior segmento é 
afasta (e recíprocamente).
2 — os segmentos de oblíquas 
que se afastam igual­
mente do pé da perpen­
dicular são congruentes 
(e reciprocamente).
afastam desigualmente do pé da per- 
o da oblíqua que mais se
A possui 
propriedade p.*
1) V A £ L, A possui 
propriedade p.
56 A. C. MORGADO/e. WAGNER / M. JORGE
6.5—MEDIATRIZ COMO LG
m
1.* parte
2.' parte
A
H - P ím
T = PA # PB
D -
Realmente, como PA edo pé da perpendicular, PA = PB.
m s
B
Em qualquer demonstração teremos, portanto, que dividi-la em duas 
partes. Numa mostraremos que todos os pontos do conjunto possuem 
a mesma propriedade e na outra mostraremos que essa propriedade 
é exclusiva desses pontos, ou seja, nenhum outro ponto, fora do con­
junto, poderá possuir a referida propriedade.
PB são oblíquas que se afastam igualmente 
(D
H — P 8 m
T — PA = PB
D -
m. Logo,
PB < PJ + JB 
mas JB = JA, pois J e 
PB < PJ 4- JA ou
PB < PA, o que é suficiente 
para escrever
PA PB. (2)
Por (1) e (2), C. Q. D.
A mediatriz de um segmento 
é o LG dos pontos que eqüidistam 
dos extremos do segmento.
Seja m a mediatriz de AB.
57GEOMETRIA I
6.6 —B1SSETRIZ COMO LG
LG dos pontos que eqüidístam dos
1? parte
6
POB escreve-se
(DPA = PB
2.a parte
PA PB (2)
Por (1) C. Q. D.
Realmente, da 
imediatamente:
H - P e í
T - PA PB
D -
H - P e 0
T - PA PB
D -
A bissetriz de um ângulo é o 
lados do ângulo.
Seja fi a bissetriz do ângulo
AÔB. 
PB < PC < PJ + JC
mas JC = JA, pois J e /3. Logo, 
PB < PJ + JA ou
PB < PA, o que basta para 
escrever
e (2),
congruência dos triângulos POA e
CAPÍTULO 7
CÍRCULO
7.1 — DEFINIÇÕES
CÍRCULO
O ponto O é o centro e R é o raio.
7.2 — ELEMENTOS
raio
menor dos arcos.
Sejam R um segmento dado e O 
pectivamente. Definimos:
— AB
— ÊF
— CD
— S
— R
— ÃB*
= [P | OP = R] 
= (P | OP < R)
arco 
corda 
flecha 
diâmetro 
setor circular 
segmento circular — S'
* A notação AB refere-se ao
e P pontos fixo e variável, res-
DISCO ABERTO
DISCO FECHADO = (P | OP R)
GEOMETRIA I 59
7.3 — OBSERVAÇÕES
•s
e
AB = CD <=> OM = ON
J A
J # B
V J E círculo
distância ao 
e reci-
d) Duas cordas iguais pos­
suem mesma 
centro do círculo 
procamente.
a) O diâmetro é a maior corda de um círculo.
b) As distâncias máxima 
mínima de um ponto a um 
círculo estão sobre a 
reta que passa por esse 
ponto e contém o centro 
do círculo.
c) Todo raio perpendicular a 
uma corda divide esta ao 
meio e reciprocamente.
j. => PA < PJ < PB.
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE60
ABC CD <=> OM>ON.
7.4 —TANGENTE
uma curva plana em
7.5—NORMAL PRINCIPAL
reta perpendicular
Tangente a uma curva plana em um ponto A é a reta posição limite 
da secante AB quando o ponto B tende ao ponto A.
e) Se duas cordas se afastam 
desigualmente do centro 
do círculo, a menor é a 
que mais se afasta e reci­
procamente.
Normal a uma curva plana em um ponto A é a 
à tangente ao ponto de tangência.
61GEOMETRIA I
t
n
<C)
UM CÍRCULO7.6 —TANGENTE E NORMAL A
a um
a
congruentes.
b) A normal a um círculo 
passa sempre pelo centro.
c) Os segmentos das tangen­
tes traçadas de um ponto 
exterior a um círculo são
a) A tangente a um círculo é 
reta que só possui 
ponto em comum 
círculo.
com o
62 A. C. MORGAOO / E. WAGNER / M. JORGE
7.7 — QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL* (TEOREMA DE PITOT)
Demonstração
Pela observação c) temos:
+ yAB = x
+
w +CD = z
AB + CD = AD + BC
AD = u + w
+
BC = y + z
7.8 — ÂNGULO DE DUAS CURVAS SECANTES EM UM PONTO
Um quadrilátero é circunscri- 
tível a um círculo se, e somente 
sez as somas dos Iodos opostos 
forem iguais.
Se duas curvas são concorrentes em A, o ângulo entre 
é o ângulo das tangentes traçadas por A.
as duas curvas
em um círculo se, e só se, existe um círculo que contém
• Um polígono é CIRCUNSCRITÍVEL a um círculo se, e só se, existe um círculo que é 
tangente a todos os seus Iodos.
Um polígono é INSCRITÍVEL 
todos os seus vértices.
63GEOMETRIA I
7.9 —CURVAS ORTOGONAIS
no
concurso.
uma
7.10 —CÍRCULOS ORTOGONAIS
7.11—ARCOS E ÂNGULOS
1) ÂNGULO CENTRAL
gentes 
ponto
São curvas que possuem tan- 
perpendiculares 
do
É o ângulo cujo vértice é o 
centro do círculo.
A medida de um arco de 
círculo é igual à medida 
do ângulo central corres­
pondente.
Em curvas ortogonaís, a tan­
gente a uma é normal à 
outra e vice-versa.
64 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
2) ÂNGULO INSCRITO
2(6cj + S2) - ab
2à = AB
y
X
y =
2aj + 2cc2 — AB (v. ângulos 
externos).
ÁB
“ 2
3) ÂNGULO DE VÉRTICE INTERIOR
A medida do ângulo de 
vértice interior é igual à 
semi-soma dos arcos de­
terminados pelos seus la­
dos e prolongamentos.
â = x +
ÃB ]
2 I
CD |
É o ângulo cujo vértice é 
um ponto do círculo e cujos 
lados são secantes.
A medida do ângulo ins­
crito é igual à medida da 
metade do arco determi­
nado por seus lados.
~ AB + CD 
2
65GEOMETRIA I
4) ÂNGULO DE VÉRTICE EXTERIOR
X
5 =
cujos lados são
à =
ó) OBSERVAÇÃO
AB
2
BC 
2
ABC
2
A medida do ângulo de vértice 
exterior cujos lados são secantes 
ao círculo é a semidiferença dos ar­
cos determinados por seus lados.
AB - CD
2
- CD
Y =~
â = -*L
2
ponto do círculo e
2 = x — y
A medida do ângulo de 
segmento é a metade da 
medida do arco interior ao 
setor angular.
â = 90° - x
5) ÂNGULO DE SEGMENTO
É o ângulo cujo vértice é um 
uma tangente e uma secante ao círculo
Um ou ambos os lados de um ângulo de vértice exterior 
podem ser tangentes ao círculo. A medida do ângulo
66 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
□
a = x y
(segmento)x
(inscrito)
a =
v cc
BA
a
=> | a = 90° |
ãb
2
AB - AC
2
- AC 
y = —
um dos arcos,
continua a ser 
pelos lados.
semidiferença dos arcos determinados
7.12 — ARCO CAPAZ
a) Quando considerarmos uma 
corda AB de um círculo, 
verificamos que de qual­
quer ponto de um dos ar­
cos podemos ver o segmen­
to AB sob mesmo ângulo a. 
De fato, para qualquer posição do vértice sobre
a = —■ sendo constante, portanto. O arco AVB é chamado 
a
arco capaz do ângulo a sobre o segmento AB.
b) OBSERVAÇÃO
Qualquer triângulo inscrito 
em um círculo tendo um dos 
lados como diâmetro desse 
círculo é retângulo.
a = ÃB 1 80° 
a
67GEOMETRIA I
7.13 —QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL
C =
 + c =
Â+C=B+D= 180°
DAB
2
BCD
2
BCD + DAB
2
Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus ângulos 
opostos forem suplementares.
CAPÍTULO 8
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
8.1 — CIRCUNCENTRO
OA = OC
8.2 —INCENTRO
As mediatrizes dos lados de um triângulo cortam-se em um ponto 
denominado circuncentrO, que é o centro do círculo que passa pelos 
três vértices.
As bissetrizes internas de um triângulo cortam-se em um ponto de­
nominado incentro, que é o centro do círculo tangente aos três lados 
do triângulo.
Consideremos as mediatrizes de AC e BC e seu ponto de concurso O.
Como O pertence à mediatriz de AC, temos:
Como O pertence à mediatriz de BC, temos: OB = OC.
Consequentemente, como OA = OB, concluímos que O pertence 
à mediatriz de AB, sendo O o centro do círculo circunscrito.
69GEOMETRIA I
Verificamos que:
8.3 —ORTOCENTRO
A NM
B
BC = MA
BC = AN
As três alturas de um triângulo concorrem em um único ponto de­
nominado ortocentro.
e
A é médio de MN.
Pelo mesmo raciocínio anterior, consideremos o ponto de concurso 
das bissetrizes de B e G
IP = IM 
ÍM = ÍN 
ÍP = ÍN
Logo, I pertence à bissetriz de A, sendo o 
curado.
centro do círculo pro-
Tracemos pelos vértices do triângulo ABC paralelas aos lados 
opostos. ABCN e ACBM são paralelogramas. Logo,
70 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
OBSERVAÇÃO
H3 é chamado triângulo ártico
8.4 — BARICENTRO
B C
As três medianas de um triângulo cortam-se em 
que dista do comprimento de cada mediana 2/3 do vértice 
ponto médio do lado oposto.
Consideremos as medianas BM e CN e seu ponto de concurso G.
Consideremos, também, os pontos P e Q, médios de BG e CG.
____ ___ Dr~
No triângulo ABC . . . MN II BC e MN = --------
2
___ __ nr
No triângulo GBC . . . PQ // BC e PQ = --------
2
O triângulo de vértices Hn H2 e 
do triângulo ABC.
C são também médios dos lados MP e NP. 
um ponto, pois são mediatrizes
É fácil verificar que B e 
Assim, as três alturas concorrem em 
dos lados do triângulo MNP.
um único ponto 
e 1/3 do
71GEOMETRIA I
paralelogramo e, como
e
BP = PG = GM
8.5 — EX-fNCENTROS
C e seu ponto
ponto I pertence à bissetriz
8.6 —OBSERVAÇÕES
GB = 2/3 de BM 
GM =1/3 de BM.
Logo, MNPQ é um paralelogramo e, como as diagonais, cortam-se ao 
meio PG = GM. Mas, como P é médio de BG, temos:
Consideremos as bissetrizes externas dos ângulos B e 
de concurso I. Temos que:
e a interna
Consequentemente, como IM = IP# o 
de Â.
ÍM = IN e
IN = IP
As bissetrizes externas de dois ângulos de um triângulo 
do terceiro ângulo encontram-se em um ponto chamado ex-incentro, 
que é o centro do círculo tangente a um dos lados e aos prolongamentos 
dos outros dois.
Existem, portanto, três círculos ex-inscritos.
a) O simétrico do ortocentro em relação a um dos lados está sobre 
o círculo circunscrito ao triângulo.
72 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
a = 7 =
HJ = JHj
triângulo é o incentro de
inscritível
a' = b'
HiC
2
P = 7 (lados respec. Is).
â = P
CH, H H2 —> inscritível 
b = b'
BH> H H3 
â = â'
pois possuem mesmo comple­
mento A. Logo,
a = b
b) O ortocentro de um 
ártico.
seu triângulo
Da congruência dos tri­
ângulos BJH e BJH] temos:
73GEOMETRIA I
8.7 —PRINCIPAIS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO
8.7.1 — Sejam:
I
— a
— b
— c
AT = AS = p 
BR = BS = p 
CR = CT = p
Assim, as alturas do A ABC são bissetrizes internas do AHIH2H3 
e o ponto H é, portanto, seu incentro.
c) Os vértices de um triângulo são os ex-incentros do triângulo 
órtico.
De fato, se HJ4, H^H
as retas BHtC/ CH2A
triângulo, pois são perpendiculares às bissetrizes internas.
Então, A, B e C são ex-incentros do A HiH2H3.
lados
perímetro
raio do círculo inscrito
raio de círculo circunscrito 
raio dos círculos ex-ínscritos.
a, b, c
2p 
r 
R 
roí rb, rc
e H3H são bissetrizes internas do A HjH2H3, 
e ÀH3B são bissetrizes externas do mesmo
2x + 2y 4- 2z = 2p
x 4- y + z = p
x = p — (y 4- z) => x = p — a
74 A. C. MORGAOO/E. WAGNER/M. JORGE
Como CM = CD, BM = BD' AD = AD', temos:e
AC + CB + AB = 2p
AC + CM + BM + AB = 2p
AC + CD + BD' + AB = 2p .
AD' = 2p+AD
AD = AD' = P
75GEOMETRIA I
Temos então
II
Vemos também que:
III
MR = CR — CM = p — c — (p — b) = b — c Então,
IV
Então,
V
EM = EC + CM = p - a + p - b = 2p - (a + b) = c. Assim,
e também = b
= c
= a
MR = b - c 
PT = a - c 
SN = a - b
AD = AD' = p 
BE = BE' = p 
CF = CF' = p.
EF = b + c 
DF' = a + c 
P'E' = a + b
EF = EB + BF = p -|- p — a = 2p — a
RE
RF = c 
SD' = a 
SE' = b 
TF' 
TD
EM = DP = c 
MF = ND' = b 
NE' = PF' = a
CE = CP = BF = BN = p-a
CD = CM = AN = AF' = p-b •
BM = BD' = AP = AE' = p-c
A. G MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE76
A'K' =
= — (ra — r).
2
C'K2.8.7.2 — Calcularemos, agora, os segmentos A'K, B'K, e
A'K = KL - LA' = — (r + ra) - r 
2
Sabemos que CM = BR (8.7.1, I e III).
e que EC = BF (8.7.1, III).
Assim, Az é médio de BC# de MR e de EF.
Imediatamente, A'K' é base média de EFIclb e: 
rb + rc 
2
Kl = — Jla = — (JM + Mia) = — (r + ra).
2 2 2
1
2
1
2
77GEOMETRIA I
Temos, então, os resultados:
I
II
8.7.3 — Relação dos Cinco Raios
4 R = ro + rb + rt - r
Como KK' ~ 2 R, vem:
KK' = A'K' + A'K
A'K' = 2- (rb + rc)
2 R = — (rb + rc) + — (ra — r) =
2 2
C'KS = 1 (rc - r)
C'K'2 = 2. (ra + rb)
2
A'K = 2- (r. - r)
8'K', = 2- (r„ + r.)
B'K, = y (rb - r)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
EXERCÍCIOS
1 — Um dos princípios lógicos diz que, se dois juízos estão em opo­
sição contraditória, então.
2 — Certo ou errado?
definidos e3 — A Geometria parte de conceitos.
chamados conceitos.
demonstróveis denominadas.
5 — Certo ou errado?
Axioma é uma verdade evidente por si mesma.
ó — Definido um sistema de axiomas, os teoremas daí decorrentes
7—0 conjunto de todos os pontos chama-se.
8 — Se um plano
 ou 
devem ser obtidos por 
(intuição, raciocínio lógico).
Se r é uma reta e a um plano, então ou r pertence a a ou é 
paralela a a.
e uma reta possuem um ponto comum, então.
4 — Chama-se a toda proposição que 
seja consequência de outras anteriores.
e de proposições não
79GEOMETRIA I
OU 
C sejam.
um plano pertencem a um outro plano, então
11 — Um plano fica determinado por
a) 
b) 
c) 
d) 
9 — Se dois pontos de 
sua interseção 
ou os dois planos...
10— Duas retas podem ser:
a) 
b) 
c) 
d) 
14— Certo ou errado?
Três pontos determinam um plano.
15— Um conjunto é colinear quando existe
........................... que passa por todos os pontos do conjunto.
ló — Um conjunto é coplanar quando existe 
que passa por todos os pontos do conjunto.
17 — A, B e C pertencem a um plano a e também a um plano (3. Então 
a e são .
caso A, B e 
12 — Certo ou errado?
É possível definir cada termo geométrico usando termos geomé­
tricos mais simples?
13 - Certo ou errado?
Qualquer afirmação que parece verdadeira deve-se tornar 
um axioma.
80 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
OU 
 OU 
23 — Dois pontos de uma reta determina um.
 de reta.
21 — Um ponto de uma reta determina duas 
 sendo esse ponto chamado. 
24 — Certo ou errado?
Se A e B são pontos de um plano situados em semiplanos opostos 
determinados por uma reta r, então r e a reta AB são necessa­
riamente concorrentes.
20 ~ Quando dizemos que:
“Um círculo é algo que é redondo.”
O que há de errado nessa definição?
19- Certo ou errado?
Duas retas não paralelas são concorrentes.
18 — Certo ou errado?
Se duas retas têm um ponto comum, não são paralelas.
22 — Uma reta de um plano determina dois
...................................... sendo essa reta chamada
25 — Certo ou errado?
Se A e B são pontos de um plano situados em um mesmo semi- 
plano determinado por uma reta r. Então:
A) r e o segmento AB não possuem ponto comum.
B) r e a reta AB possuem necessariamente um ponto comum.
26 — Certo ou errado?
Semí-retaS/ semiplanos e semi-espaços são conjuntos convexos.
27 — Sejam A e B dois pontos. O conjunto das posições ocupadas por
um ponto Cz colinear com A e B, tal que B esteja sempre entre
81GEOMETRIA I
são convexas.28 - Das figuras abaixo 
,de fronteiras concorrentes.
31 — 0 ângulo entre duas retas é.
mediante um 
29 - Setor angular convexo é a
de dois
32 — Duas retas são 
quando são reversas e formam ângulo reto.
figura formada por duas.
 de mesma
A e C, é .
cuja fronteira é.
30 - Ângulo é a
33 — Se duas figuras são congruentes, podemos levá-las a
em todos os seus pontos
82 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
34 — Ângulo formado por duas reversas é.
35 — Bissetriz de um ângulo é.
39 — Dois ângulos opostos pelo vértice são.
são 
relação:.
40 - Se duas paralelas são cortadas por uma transversal, então os 
ângulos são iguais, os 
correspondentes são e os colaterais 
são
41 — Os ângulos da figura possuem a
36 — Duas retas são
quando são concorrentes e formam quatro ângulos congruentes.
37 — As bissetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares formam
um ângulo igual a
38 — As bissetrizes de dois ângulos adjacentes complementares formam
um ângulo igual a
 e suas bissetrizes
83GEOMETRIA I
42 — Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são.
 se 
ou são 
 se 
plano(s)
plano(s)
que passa
por A e é. .a
51 — Diedro é a figura formada por.
relação a um plano a é
53 - Retilíneo de
50 — As retas ortogonais a uma reta r que passam pelo ponto A, 
estão contidas. 
48 — Por um ponto exterior a uma reta passa(m). 
paralelo(s) à reta.
45 — Três retas em um plano separam este plano em... 
regiões. Destas são convexas.
43 — Dois ângulos agudos de lados respectivamente perpendiculares 
são .............................
ou 
reta do plano.
49 — Por um ponto exterior a uma reta passa(m) 
 plano(s) perpendicular(es) à reta.
46 — Por um ponto exterior 
plano(s) paralelo(s) ao
52 — Reta de maior declive de um plano em
.a qualquer
um diedro é o ângulo obtido pela interseção do 
diedro com um plano
44 — Se uma reta é perpendicular a um plano ela é.
a um plano passa(m). 
plano dado.
47 — Por um ponto exterior a um plano passa(m). 
perpendicular(es) ao plano dado.
84 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
56 — Dois planos são perpendiculares quando formam.
correspondência
Tal que
.0
centígradosa,
63 — A unidade angular no sistema decimalé o. 
que é igual a 10. 
sistema sexagesimal é o 
...minutos ou segundos.
d(A, A) = 
d(A, B)
Se C é colinear com A e B 
 d(A, B).
54 — Bissetor de um diedro é o
que divide o diedro em
55 — Dois diedros são suplementares quando.
62 — A unidade angular no 
que é igual a........
(maior, menor, igual).
e se C está entre A e B, então
e a.
Seja d(A, B) a distância entre os pontos A e B
60 — Certo ou errado?
d(A, B) = d(B, A)
61 - ÃB->d(A, B)
a)
b)
c)
d(A, C).
ao plano a, existe(m).
plano(s) contendo r e em perpendicular a a.
um plano a, qualquer plano
............................................a a.
57 — Faça a
1—ângulos ( ) bissetor
2 —vértice (1) diedros
3 —lados ( ) aresta
4-bissetriz ( ) faces
58 — Se uma reta r é perpendicular a
que contenha r é ...
59 — Se a reta r é oblíqua
85GEOMETRIA I
65 — A soma dos comprimentos dos lados de
66 — Diagonal de um polígono é.
região poligonal convexauma
diagonais.71 — Um pentadecágono possui.
72 — Um polígono é eqüilátero quando 
73 — Um polígono é eqüiângulo quando 
74 - Um polígono é regular quando.
76 — Em um polígono convexo, os ângulos interno e externo de mesmo
vértice são 
77 — Certo ou errado?
70 — A interseção de uma reta com
é sempre
69 — Uma reta corta um polígono convexo 
pontos.
67 — Se um polígono possui o mesmo número de lados e diagonais 
ele é um
um polígono é o seu
75 — Certo ou errado?
Todo polígono eqüilátero é regular.
68 — Por um vértice de um dodecágono podemos traçar.
diagonais.
Qualquer propriedade verificada em um triângulo isósceles é 
verificada, também, em um triângulo eqüilátero.
em um máximo de.
64 — Uma linha poligonal fechada é um. 
e o número de lados é o seu .
86 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
78 — Quanto
 
ou.
e.
82 -
passa por um vértice
 e 
79—0 maior lado de um triângulo 
chama-se hipotenusa, e os dois menores, 
80 — Se dois lados de um triângulo medem 7 cm e 3 cm, o terceiro 
lado é menor que e maior que
de um triângulo é a reta que 
e pelo ponto médio do lado oposto.
87 — Em um triângulo, cada ângulo externo é igual a 
aos ângulos os triângulos podem ser:
e se
85 — Os casos de congruência de triângulos retângulos são:
1) 
2) 
84 — Os casos de congruência de triângulos quaisquer são:
1) 
2) 
3) 
86 — A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a.
e a soma dos externos igual a....
83 — Se os lados de um triângulo isósceles são números inteiros 
o seu perímetro é igual a 8, seus lados medem
81 — Altura de um triângulo é uma reta que passa por um vértice 
 .ao lado oposto.
87GEOMETRIA I
88 — A soma dos ângulos internos de um eneágono convexo é igual
a 
soma de seus ângulos
91 — Certo ou errado?
92 - Certo ou errado?
94 — Um paralelogramo possui
95 — Um retângulo possui
9ó — Um losango possui
97 — Um quadrado possui
93 — Certo ou errado?
Se qualquer paralelogramo possui certa propriedade Pt então 
P é válida em qualquer retângulo.
90 — Em um polígono convexo de gênero n, a soma dos ângulos internos 
vale e a dos externos
Considere
A)
B)
O
D)
E)
F)
89 — Certo ou errado?
Se um polígono tem 9 diagonais, então a 
internos é igual a 720°.
as propriedades.
as propriedades.
as propriedades.
as propriedades:
Possuir lados opostos congruentes
Possuir ângulos opostos congruentes
Possuir ângulos adjacentes suplementares
Possuir diagonais cortando-se ao meio
Possuir diagonais congruentes
Possuir diagonais perpendiculares.
as propriedades.
Em um polígono qualquer, a soma dos ângulos internos depende 
do gênero, enquanto que a dos externos é sempre constante.
Todo trapézio é um quadrilátero assim como todo quadrilátero 
é também um trapézio.
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE88
mediana relativa à hipotenusa
ângulo de 30°, o cateto
104 — Distância de um ponto a um plano é a distância do ponto.
105 — Certo ou errado?
que
108 — No espaço todas as mediatrizes de um segmento estão contidas
no.
109 — Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que.
100—0 segmento que une os pontos médios de dois lados de um tri­
ângulo,
102 — A mediana de Euler de um trapézio mede a 
das bases.
O comprimento da projeção de um segmento sobre uma reta é 
sempre menor que o comprimento do segmento.
107 — Mediatriz de um segmento é a reta.
passa pelo 
103 — Projeção de um ponto sobre uma reta é o pé....
traçada do ponto à reta.
106 - Um ângulo reto projeta-se sobre um plano como 
desde que um de seus lados seja. 
e o outro.
um ângulo reto,
ao mesmo plano.
99 — Se um triângulo retângulo possui um 
oposto a esse ângulo
101 — A base média de um trapézio mede a. 
das bases.
98 — Em um triângulo retângulo, a
89GEOMETRIA I
110— Certo ou errado?
d
s
-rf-
0
A
Seja d a distância entre os centros de dois círculos de raios R e r.
115— Círculo de centro O e raio R é o conjunto dos pontos P do plano 
que contém O, tal que ......... ............................
A reta r da figura é o lugar geométrico dos pontos que estão 
a uma distância d da reta s.
112— Certo ou errado?
Os pontos do arco AB constituem um
111 — Certo ou errado?
Todos os pontos do arco AB 
possuem mesma distância 
ao ponto 0.
lugar geométrico.
113-0 lugar geométrico dos centros dos círculos de raio R, que 
passam pelo ponto A é 
114 — 0 lugar geométrico dos centros dos círculos que passam por 
dois pontos fixos A e B é
90 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
118— Os círculos sào secantes se.
119— Os círculos sâo tangentes interiormente se.
120— Os círculos sâo interiores se.
122 — Se em um mesmo círculo
mais próxima do centro é.
quadrilátero
125 — Ângulo central é.
126— Ângulo inscrito é.
127 —Ângulo de segmento é.
128—0 ângulo de vértice interior tem por medida.
129—0 ângulo de vértice exterior tem por medida 
24 — Se dois crcíulos são ortogonais, as retas que unem os centros a 
um dos pontos de concurso são 
 e sua medida é.
 e sua medida é.
 ,e sua medida é.
121 — Os círculos são concêntricos se 
a corda AB é maior que CD, a corda
116— Os círculos são exteriores se.
117— Os círculos são tangentes exteriormente se.
23 — A condição necessária e suficiente para que um 
seja circunscritível a um círculo é
91GEOMETRIA I
primento de um círculo é.
131 — A condição necessária
convexo seja inscritível
triângulo é o ponto de concurso das.
 dos lados e é o centro do círculo.
133 — Incentro de um triângulo é o ponto de concurso das 
134 - Ortocentro de um triângulo é o ponto de concurso das.
 do triângulo.
13ó - Baricentro de um triângulo é
 do menor.
C
círculo que é tangente ao lado
 e
 e 
135 — Os pés das alturas de um triângulo são vértices de um triângulo 
chamado ..................................................................
137 - Em um triângulo ABC, as bissetrizes externas que partem de B e 
cortam-se em um ponto chamado
130—0 lugar geométrico dos pontos médios das cordas de mesmo com-
132 — Circuncentro de um
o ponto de concurso das.
 e é o centro do círculo.
138 — Este ponto é o centro de um
divide cada uma delas em
e está de tal forma situado, que 
dois segmentos, sendo o maior o
e suficiente para que um quadrilátero 
em um círculo é 
aos prolongamentos dos lados
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE92
139 - Os simétricos do ortocentro em relação aos lados do triângulo 
estão sobre o
140 - Se X, Y e Z são os pés das alturas de um triângulo ABC, o incentro 
do triângulo XYZ é o .............................................................
do triângulo ABC, e os pontos A, B e C são os 
do triângulo XYZ.
PROBLEMAS
3) Efetuando 55° 15z 37' - 20° 42' 30"/ temos:
Nota: Ot problema» assinalado»
A) 34° 28'7"
B) 34° 33' 7"
C) 33° 28'7"
D) 33° 33' 7"
E) N. R. A.
2) Efetuando 20° 45' 16" + 18° 27' 12", temos:
A) 33° 33' 28"
B) 38° 12'28"
C) 39° 28' 28"
D) 39° 12' 28"
E) N. R. A.
4) O quádruplo de 15° 12'20" é:
A) 60° 49' 20"
B) 58° 48'80"
1) Escrevendo 100° 47'57" em segundos, encontraremos:
A) 36775"
B) 36757"
C) 362757"
D) 752376"
E) N. R. A.com * estão resolvidos no final deste volume.
94 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
O complemento de 18° 42' é:5)
2x 4- 60°. O6)
7)
A)
B)
C)
D)
E)
O ângulo cujo suplemento excede de 6° 
complemento é:
A) 72° 28'
B) 71’28'
C) 71’ 29'
D) 70° 28'
E) N. R. A.
C)
D)
E)
52 gr
64 gr
82 gr
96 gr
102 gr.
60’
62’
64’
N. R.A.
56° 
108° 
124° 
132°
60° 48' 60"
60° 49'
N. R. A.
A) 58’
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E) N. R. A.
Dois ângulos suplementares medem 3x — 40° e 
maior desses ângulos mede:
o quádruplo do seu
8) As semi-retas OA e OB e a reta r (0 e r) formam em um mesmo 
semiplano três ângulos adjacentes expressos em grados por 
2x + 10, 5x — 3 e x + 25. O maior desses ângulos mede:
95GEOMETRIA I
*9)
10)
11)
12) Complete o quadro abaixo onde r, s, t, u e v são retas distintas
i
//u
V
s
A)
B)
C)
D)
E)
90° 
120° 
135° 
150°
três pontos
três retas concorrentes em um ponto
três retas paralelas
um reta e dois pontos quaisquer
N. R. A.
O símbolo | aparece:
3 vezes
4 vezes
5 vezes 
ó vezes
N. R. A.
A)
B)
C)
D)
E) N. R. A.
Um plano fica determinado por:
A)
B)
C)
D)
E)
As semi-retas OA, OB, OC e OD formam os ângulos adjacentes 
AOB, BOC, COD e DOAZ sendo os três primeiros proporcionais 
a 1, 3 e 6. Sabendo que OD é o prolongamento da bissetriz 
de BOC, o maior dos quatro ângulos mede:
A) 90°
B) 120°
C) 144°
D) 150°
E) N. R. A.
Quatro semi-retas OA, OB, OC e OD formam os ângulos adja­
centes AOB, BOC, COD e DOA, respectivamente proporcionais 
aos números 1, 2, 4 e 5. As bissetrizes de AOB e COD formam:
96 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
A) 0 = a 4“ b
B) 9 — 2 (a 4" b)
2b
C) 0 =
d) e =
E) N. R. A.
13) Cinco retas distintas em 
maior valor que
A) 5
B) ó
C) 10
D) 12
E) N. R. A.
A) 135°
B) 145°
C) 155°
D) 165°
E) 175°.
a e b. 
bisse-
a + 3b
2
a + 2b
2
14) Seja AOB um ângulo e r uma reta do seu plano, que contém O, 
e situada na região não convexa. Sejam OX e OY as bissetrizes 
dos ângulos agudos que OA e OB formam com r. Se AOB = 1 50°, 
XOY mede:
15) Calcule 9 em função de 
Sabe-se que OJ é a 
triz de AOC.
um plano cortam-se em n pontos. O 
n pode assumir é:
97GEOMETRIA I
17) O ângulo formado pelos ponteiros de
A) 90°
B) 95°
C) 100°
D) 85°
E) N. R. A.
ló) As bissetrizes de dois ângulos colaterais internos
A) sõo perpendiculares
B) são paralelas
C) formam 60°
D) formam um ângulo cuja medida depende da dos dois cola­
terais
E) N. R. A.
um relógio às 4 h 42 min.
um relógio às 5 h 10 min.
18) O ângulo formado pelos ponteiros de
A) 120°
B) 141°
C) 108°
D) 111°
E) N. R. A.
20) Um polígono é convexo, quando:
A) ele é regular
B) seus ângulos são todos agudos
C) existe uma reta que o corta somente em 2 pontos
D) o número de vértices e o de lados sõo iguais
E) N. R. A.
19) A que horas pela primeira vez após o meio-dia, os ponteiros de 
um relógio formam 1 10o?
A) 12 h 1 8 min aproximadamente
B) 12 h 20 min
C) 13 h 22 min
D) 1 3 h 23 min
E) N. R. A.
98 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
de
22) O polígono cujo número de diagonois é igual
23) O polígono de 14 diagonais tem gênero igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
5
7
9
1 1
N. R. A.
5
6
7
8
N. R. A.
10
12
17
20
N. R. A.
A)
B)
C)
D)
E)
pentágono 
hexágono 
heptágono 
octógono 
N. R. A.
*25) O gênero do polígono cujo número de diagonais excede de 25 
o número de lados é:
24) O gênero do polígono cujo número de diagonais é 
do número de Iodos é:
A) 9
B) 10
C) 12
se pode traçar por um dos vértices
o quádruplo
ao de lados é o:
*21) O número de diagonais que 
um ícosógono é:
99GEOMETRIA l
26) razão
3
27)
28) gêneros de dois polígonos é 3. O total
B)
29) A mediana de
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
O 
o
D) não existe
E) N. R. A.
par 
ímpar 
múltiplo de 3 
não existe 
N. R. A.
hexágono 
eneógono 
dodecágono 
pentadecágono 
N. R. A.
eneógono. 
pentágono 
um quadrilátero
A) divide esse triângulo em dois outros congruentes
B) é perpendicular ao lado oposto
C) é perpendicular à bissetriz externa
um triângulo:
A razão entre os gêneros de dois polígonos é — 
entre os números de diagonais é — 
nero é o:
e a
A diferença entre os
de diagonais desses dois polígonos é 9. Então:
A) um dos polígonos é
um dos polígonos é
C) o de menor gênero é
D) um dos polígonos não tem diagonais
E) N. R. A.
Se a razão entre o número de diagonais e de lados de um polí­
gono é um número inteiro positivo, então o número de lados do 
polígono é:
2
3
O polígono de maior gê-
100 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
D)
E)
30) Em um triângulo retângulo:
31)
33) Os lados de um
Sejam os conjuntos: A
B
D
2
*32) Os lados de
de valores inteiros possíveis de x é:
A) 9
B) 1 1
O 17
D) 19
E) N. R. A.
A)
B)
C)
D)
E)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) mais de 5.
e 4 cm. 
medida em cm
existe apenas um altura
não pode ser isósceles
cada ângulo externo é maior que o interno adjacente
as bissetrizes dos ângulos formam 45° com os lados opostos 
nada disso.
triângulo são: ló — x, 2x -f- 2, x -f- 12.
= j x E R | 10 < x < 1 5)
— [ x E R | 0 <
C = j x E R | 5 <
= [ x E R | —
x < 10}
x 13).
Os dois menores lados de um triângulo medem 14 cm 
Qual dos números abaixo pode representar a 
do 3.° lado?
x < 15]
coincide com a bissetriz interna se os dois lados adjacentes 
forem congruentes 
nada disso.
um triângulo são: 10, x + 2, 12 — 2x. O número
101GEOMETRIA I
Diremos que x, é so/uçõo, se para x = Xj o triângulo existe.
34) Na figura abaixo, sendo AM
3Ó) Em
A) DE = AD + EC
B) DE = AE + BD
C) DE = BD + EC
D) DE = BC - AD
E) N. R. A.
A) MBP = MAC
B) ÃP = PQ
C) A ABM = A ACM
D) BP = CQ
E) N. R. A.
A) AE = EC
B) AE = DC
C) AE = BD
D) AE = BF
E) N. R. A.
uma mediana, podemos concluir que:
A) não existem soluções em A.
B) x é a solução desde que x E B
C) o triângulo existe para todo x E C
D) D é o conjunto de todas as soluções do problema
E) N. R. A.
as bissetrizes de B e C encontram-se em O. 
a BC (D em AB e E em AC).
35) Em um triângulo ABC, seja D o pé da bissetriz interna de A 
Traça-se DE paralela a AB e EF paralela a CB. Então:
um triângulo ABC, 
Traça-se DOE paralela 
Então:
102 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
um
ângulo dado por:
A) 20
B) 27
C) 35
D) 44
E) N. R. A.
A) ó
B) 7
C) 8
D) 9
E) N. R. A.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) N. R. A.
37) A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo é:
A) 520°
B) 600°
C) 720°
0) 900°
E) N. R. A.
38) O gênero do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos 
é 900° é:
soma dos ângulos internos de dois polígonos convexos é 1620°. 
diferença entre os gêneros é 3, um dos polígonos tem
A)
n
39) A j
Se a 
gênero igual a:
41) Duas bissetrizes internas de dois ângulos adjacentes de 
polígono eqüiângulo formam um
40) O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos 
ângulos internos é 1440° é:
GEOMETRIA I 103
B)
180°
D)
E) N. R. A.
42) Os ângulos externos de
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
A) 14
B) 20
C) 27
D) 35
E) N. R. A,
1 10
127
132
135
N. R. A.
ó
9
10
12
N. R. A.
90° (n —2)
n
180° (n —2)
n
44) Seja ABCD. . . .
BD formam 20°,
C) — 
n
um polígono regular medem 40°. O 
número de diagonais desse polígono é:
. . um polígono regular. Se as diagonais AC e 
o número de diagonais desse polígono é:
43) O polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo 
tem gênero igual a:
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE104
45)
Assinale a afirmativa falsa:46)
A) Se
C) Em
E)
A)
B)
C)
D)
A soma das distâncias do ponto P aos vértices do triângulo da 
figura pode ser igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
10
12
13
18
N, R. A.
um polígono convexo Pj está contido no interior de um 
polígono qualquer P2, o perímetro de Pj é menor que o de P5. 
B) Se, em um triângulo, uma ceviana é ao mesmo tempo mediana 
o bissetriz, esse triângulo é isósceles.
um triângulo isósceles, as alturas relativos aos lados con­
gruentes são congruentes.
D) Em todo triângulo, cada ângulo interno é o suplemento da 
soma dos outros dois.
E) Uma das afirmativas anteriores é falsa.
*47) Se S = a + b + c, considerando 
afirmarque:
a figura abaixo, podemos
S = 180°
S = 80°
S = 140°
nada se pode afirmar 
sobre S.
N. R. A.
105GEOMETRIA I
49) Da figura abaixo sabe-se que:
D Â B = 60°
2) AM = AP
3) BM = BQ
4) MP = MQ.
O ângulo â mede:
A) 10°
B) 12°
C) 15°
D) 20°
E) N. R. A.
A) S = 360°
B) S = 540°
C) S = 420°
D) S é variável
E) N. R. A.
48) SeS=a + b + c + d+ e + f, considerando a figura abaixo, 
podemos afirmar que:
= 80° e
106 A. C. MORGADO / E, WAGNER / M. JORGE
50) Da figura abaixo sabe-se que:
Então, a vale:
51) Na figura, tem-se AB = AC e CD = CE.
Podemos afirmar que:
D) 0 = - â
E) N. R.A.
A) â + 0 = 90°
B) 0 = 2â 
0 0 = 3â
A) 90°
B) 100°
C) faltam dados
D) i variável
E) N. R. A.
D r//s
2) AM = AP
3) BM = BQ.
3
2
107GEOMETRIA I
52) Na figura tem-se
AB = AC e
AD = DC = CB.
O ângulo a mede:
32°
*53)
54)
3ó°
40°.
20°
30°
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
48°
50°
53°
54°
N. R. A.
80°
100°
130°
não existe o triângulo 
N. R. A.
O ângulo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos B e C 
de um triângulo mede 50°. Então, o ângulo A mede:
Em um triângulo retângulo, a altura e bissetriz relativas à hipo- 
tenusa formam 14°. O maior dos ângulos agudos mede:
108 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
B) é igual a
sempre
B) é igual
55) Em um triângulo retângulo, a altura e mediana relativas à hipo- 
tenusa formam 20°. O maior dos ângulos agudos mede:
A) 50°
B) 55°
C) 60°
D) 64°
E) N. R.A.
2
D) é igual
E) N. R.A.
2
C) é maior que
a Â
57) Da figura, sabe-se que D é 
do I 
ângulo a:
A) 6 Igual a c
90°+ c a ------------
2
C) é igual a 45°
D) é maior que 45°
E) N. R. A.
56) Da figura sabe-se que
1) PB = PR
2) QC = QR.
Então â:
A) é maior 
sempre
que Â,
o pé da bissetriz do ângulo reto A 
triângulo retângulo ABC. Se DE é perpendicular a BC, o
109GEOMETRIA I
*58) Se P é
C)
A)
B) — do lado do triângulo
Quantas estão certas?
A) nenhuma
D
2)
3)
4)
C)
D)
E)
59) A soma das distâncias de um ponto P, interior a um triângulo 
eqüilátero aos lados, é constante
ao lado do triângulo
Considere as afirma­
ções:
DÂE = 45°
A ADE é isósceles 
A BAE é isósceles 
A CAD é isósceles.
à altura do triângulo 
não é constante 
N. R. A.
e igual
60) O triângulo ABC 
é
da 
figura é retângulo 
em A. AH é altura 
e AD e AE são as 
bissetrizes dos ângu­
los HAB e HAC.
2 
a -
3
um ponto qualquer da base BC de um triângulo isósceles 
ABC, a soma das distâncias de P aos lados congruentes é cons­
tante e igual
A) à base BC
B) à altura relativa a um dos lados congruentes
a um dos lados congruentes
D) não é constante
E) N. R. A.
110 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
B) m0 >
C) mo = —
2
D) m0 <
E) N. R. A.
B) 1
C) 2
D) 3
E) todas.
b + c
2
61) Um ponto A qualquer 
é considerado sobre 
o lado Ox do ângulo 
xOy da figura. 
Traçamos então:
1) ÃB±Oy
2) ÃQ//Oy
3) OPQ tal que 
PQ = 2 OA.
Se^ POB = 26°, 
xOy mede:
A) 61°
B) 66°
C) 72°
D) 78°
E) N. R. A.
*62) Se mo é a medida da mediana relativa ao lado a de um triân­
gulo de lados a, b e c, então:
A) m„ < a
b + c
2
111GEOMETRIA I
abaixo, AB = AC. Calcule a.
A) 20°
B) 28°
C) 29° 30'
D) 30°
E) N. R.A.
63) Na figura
A. C. MORGADO / E. WAGNER/M. JORGE112
obtu-
c
São verdadeiras:
65) O quadrilátero que possui
A) paralelograma
B) retângulo
C) losango
D) quadrado
E) N. R. A.
A) somente 1
B) somente 2
C) somente 2 e 3
D) nenhuma
E) todas.
os quatro lados congruentes é o:
as afirmativas:
64) Seja r perpendicular 
em B ao segmento AB 
da figura. Se P é tal 
que BÂP = PBC, o 
triângulo ABP
A) é sempre acutân- 
gulo
B) é sempre retân­
gulo
C) é sempre 
sângulo
D) é sempre isósceles
E) N. R. A.
óó) Considere
1) Todo trapézio inscritível é isósceles
2) Todo retângulo é inscritível
3) Todo losango é circunscrítível.
113GEOMETRIA I
cm
cm
cm
cm
69) Um trapézio ABCD de base maior AB = 10 cm é tal 
A = B = 60°, sendo 
O perímetro desse trapézio é:
A) 20
B) 25
C) 30
D) indeterminado
E) N. R. A.
os quatro lados congruentes não
que
a diagonal AC perpendicular ao lado CB.
67) Considere as afirmativas:
1) Um paralelogramo que possui as diagonais congruentes é 
um quadrado.
2) Um quadrilátero que possui 
é um paralelogramo.
3) Um quadrilátero que possui diagonais perpendiculares é 
um quadrado.
4) Um quadrilátero que possui diagonais congruentes e per­
pendiculares é um quadrado.
São verdadeiras:
A) 1 somente
B) 2 somente
C) 2 e 4 somente
D) 1, 2 e 4 somente
E) nenhuma.
68) Um paralelogramo ABCD é tal que  = 60°, AB = CD = 10 cm 
e BC = AD = 8 cm. Suas bissetrizes internas formam um qua­
drilátero cujo menor lado mede:
A) 1 cm
B) 1,5
C) 2 cm
D) 4 cm
E) N. R. A.
A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE114
73) Sejam ABCD
A)
B)
C)
D)
E)
cm 
cm 
cm 
cm
A base média desse trapézio mede:
8 cm
9 cm
10 cm
1 1 cm
N. R.A.
70) Do trapézio da figura, 
sabe-se que
AD = DC = CB e
BD = BA
O ângulo A mede:
A) 60°
B) 64°
C) 68°
D) 72°
E) N. R. A.
e CD é tal que:
um quadrado, ABP um triângulo eqüilátero interior 
e BCQ um triângulo eqüilátero exterior. O ângulo DPQ mede:
A) 160°
B) 170°
as diagonais são bissetrizes dos
*71) Calcule o perímetro de um trapézio isósceles cujas bases medem
12 cm e 8 cm, sabendo que 
ângulos adjacentes à base maior,
A) 24
B) 28
C) 30
D) 36
E) N. R. A.
72) Um trapézio ABCD de bases AB
 = B = 60°
AD — 8 cm
DC = 7 cm
115GEOMETRIA I
trapézio medem 110°um
*7ó) Sejai
A) 110°
B) 130°
C) 130°
C) 175°
D) 180°
E) N. R. A.
as 
a
distâncias dos vértices A, B e D de um parale- 
uma reta r que contém o vértice C. Então,
77} A base maior de 
não paralelos medem 4 
conjunto dos valores que 
exista o trapézio?
A) entre
B) entre
C) entre
75) Se dois ângulos internos de 
os outros dois medem.-
im a, b e d 
logramo ABCD 
a = b + d
e 50°,
74) Se um trapézio isósceles é circunscrifível 
mento dos lados não paralelos é igual ao da
A) base maior
B) base menor
C) base média
D) mediana de Euler
E) N. R. A.
a um círculo, o compri-
5 e 21
0 e 21
0 e 13
a CD ou a CB
A) sempre
B) nunca
C) só se r for bissetriz externa de C
D) só se r for perpendicular
E) N. R. A.
um trapézio isósceles mede 13 cm, e os lados 
cm. Qual dos conjuntos abaixo é o 
a base menor pode assumir para que
e 50°
e 80°
e 70°
D) o problema é indeterminado
E) N'R. A.
116 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
78)
*79)
cm
cm
cm
cm
A)
B)
C)
D)
E) N. R. A.
D) entre
E) entre 13
A)
B)
C)
D)
E)
2
4
2
3
2
3
a soma da 
12 cm e que a
Em um trapézio, a base maior mede 12 cm e a diferença entre 
a base menor e a mediana de Euler mede 3 cm. A base média 
desse trapézio mede:
7 cm
8 cm
9 cm
10 cm
N. R. A.
5 e 13 
e 21.
Calcule a base menor de um trapézio sabendo que 
base média com a mediana de Euler é igual a 
razão entre as bases é 2.
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) N. R.A.
80) Em um trapézio as diagonais dividem a base média em segmen­
tos proporcionais a 2, 1 e 2. A razão entre as bases do tra­
pézio é:
_1_
2
117GEOMETRIA I
81)
D
4)
centro O
82) B localizados em um semiplano deter-
a
a
a
a
83)
A)
B)
C)
D)
E)
2)
3)
A)
B)
C)
D)
E)
somente 
somente 
somente 
somente 
N. R. A.
São verdadeiras:
1
1 e 3
2
2
raio R e dois diâmetros per- 
ponto qualquer do círculo
M é
M é
M é
M é
N. R. A.
e raio
Considere um círculo de centro O e 
pendiculares AB e CD. Seja M um 
e trace MP e MQ perpendiculares a AB e CD/ respectivamente. 
Considere as afirmações:
Quando M não coincide com A, B, C ou D, PQ é menor do 
que R.
PQ é sempre constante e igual a R.
O lugar geométrico do ponto médio de PQ é um quadrado 
cujos vértices são os pontos médios de OA, OB, OC e OD.
O lugar geométrico do ponto médio de PQ é um círculo de 
_R
2 ‘
e 4
Considere os pontos A e B localizados em um mesmo semiplano 
determinado pela reta r. Seja M o ponto de r tal que MA — MB 
é máximo (A está mais afastado da reta que B). Então:
A) M é a projeção ortogonal de A ou B sobre r.
B) M é a projeção do ponto médio de AB sobre r.
C) M é a interseção da mediatrizde AB sobre r.
Considere os pontos A e 
minado pela reta r. Seja M o ponto de r tal que MA + MB 
é mínimo. Então:
projeção ortogonal de A ou B sobre r.
projeção do ponto médio de AB sobre r. 
interseção da mediatriz de AB com r.
interseção da reta AB com r.
118 A. C. MORGADO/E. WAGNER / M. JORGE
84)
8 cm
D C
2 J
D)
E)
4 cm
4,5 cm
4,75 cm
5 cm
N. R. A.
_X_,
I I
: !’
________ I____________ 1
P £
A B
O desenho representa uma mesa de bilhar com AB = 8 cm e 
AD = 5 cm (no desenho) e duas bolas cujas posições estão 
indicadas. Determine, gráfica ou analiticamente, a posição de 
um ponto P da tabela DC que a bola J deve atingir para que, 
após tocar nas tabelas CB e BA, alcance a bola L. Nessa situa­
ção, DP mede:
A)
B)
O
D)
E)
M é a interseção da reta AB com r.
N. R. A.
119GEOMETRIA I
figuras.
A soma das três respostas é:
1
A)
B)
C)
D)
E)
102°
108°
112°
110°
N. R.A.
85) Calcule a nas
120 A. C. MORGADO / E WAGNER / M. JORGE
e
A) 20°
B) 22°
C) 25°
D) 50°
E) N. R. A.
Na figura, BaC = 46° 
BCA = 28°, calcule ABC.
a = 90° 
b = 40°
? = 15°
86) O ângulo a da figura 
mede:
A) 96°
B) 106°
C) 112°
D) 115°
E) N. R. A.
121GEOMETRIA I
*91) Sejam os pontos A, B, C e D de
cm
cm
cm
arco
A)
um círculo tais que AB e CD sejam, 
respectivamente, os lados do pentágono e pentadecágono re­
gulares inscritos. As retas AD e BC formam um ângulo de:
A) 20°
B) 24°
89) Em um círculo de centro O, prolonga-se uma corda AB de um 
comprimento BC igual ao raio. A reta CO corta o círculo em D 
e E (D entre O e C). Se ACE = 20°, AOE mede:
A) 00°
B) 80°
C) 40°
D) 45°
E) N. R. A.
90) Um triângulo ABC está inscrito em um círculo de raio 6 cm e tem 
seu ângulo interno A = 30°. Se o perímetro do triângulo é igual 
a 16 cm, a soma AB + AC é igual a:
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 10
D) 11
E) 13
88) Do trapézio da figura 
sabe-se que A = 75° 
e que CD = 60°. O 
AB mede: 
90°
B) 120°
C) 150°
D) o problema é in­
determinado.
E) N. R. A.
122 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
C) 36°
D) 44°
E) N. R. A.
e
e
e
e
70°
65°
00°
55°
em arcos de me-
As tangentes traçadas por A e B
93) Da figura sobe-se que 
BC = 110o 
ÃC = 113°. 
a mede:
e que
Então,
92) A e B são pontos de um círculo que o dividem 
didos proporcionais a 7 e 3. 
formam:
A) 60°
B) 66°
C) 72°
D) 78°
E) N. R. A.
94) Na figura, AB é o diâ­
metro do semicírculo 
que forma 20° com a 
corda AC- Sendo t 
paralela o AC, os ân- 
guios a e 3 medem 
respectivamente:
A) 20°
B) 25°
C) 30°
D) 35°
E) N. R. A.
A) 12°
B) 10°
C) 8°
D) 6°
E) N. R. A.
123GEOMETRIA I
95) Se círculo é tangenteo
se se-
sabe-se
90° + TPA 
se pode 
afirmar sobre a. 
E) N. R. A.
a AC e aos prolon-na figura, onde 
gamentos de BA e 
BC, Ã = 72°, então 
C I B mede:
A) 32°
B) 36°
C) 45°
D) 48°
E) N. R. A.
97) Na figura, 
que OA = AB, N e C 
são as projeções or- 
togonais de A e B 
sobre uma tangente t, 
e que OÂC = 1 26°. 
Calcule ACB.
A) 42°
B) 56°
C) 45°
D) 50°
E) N. R. A.
96) Na figura que 
gue, AB é o diâmetro 
do círculo, P é um 
ponto qualquer de seu 
prolongamento, PT é 
uma tangente e PC é 
a bissetriz de TpA. 
Então,
A) â = 4 TPA
B) â = 135°
C) a =
D) nada
A. C. MORGADO/E. WAGNER/M. JORGE124
A) DO' = CD
D) AB =
E) N. R. A.
A) sempre
B) nunca
C)
se CM = 2 MD ouD)
E) N. R. A.
OC + O'D
2
CM = — MD
2
se M for médio 
de CD
99) Considerando a figura 
ao lado, se M varia 
sobre o menor arco 
CD, o quadrilátero 
PQBA será inscritível.
C) AB =
2
, DO'B) AB = —— 
2
98) Considerando a figu­
ra ao lado, podemos 
afirmar que:
125GEOMETRIA I
1 2 cma
14 cma
1 1 cm
C
= 5 cm. Considera-se 
PQ variável, tangen­
te ao círculo inscrito, 
como mostra a figura.
A) 20°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) N. R. A.
101) O raio do círculo cir­
cunscrito a um triân­
gulo ABC é igual ao 
lado BC. O ângulo A 
desse triângulo mede:
O perímetro do tri­
ângulo APQ
100) Um triângulo ABC é 
tal que AB = 8 cm, 
AC = 9 cm e BC =
A) é igual
B) é igual
C) é igual a 1
D) é variável
E) N. R. A.
126 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
um
r + r'um o
D) círculo de roio igualum a
E) N. R. A.
r r>
2
A)
B)
O
80° 
100° 
1 10° 
120° 
N. R. A.
e o cir- 
seja M o ponto médio de AC.
102) Da figura < 
sabe-se que.-
É falso afirmar
A)
B)
O
D)
E)
Oz e raios r e rz. 
e Az do segundo, 
e Ô'A' sejam sempre paralelos.
uma elipse
círculo tangente aos dois primeiros 
círculo de raio igual
103) Sejam H, I e O respectivamente o ortocentro, o incentro 
cuncentro de um triângulo ABC, e 
que: 
BÂH = CÁO 
ABI = CBI 
HÂI = OÂI 
ABC = AÔM 
uma das anteriores é falsa.
• 04) Sejam dois círculos exteriores de centros O e 
Sejam ainda dois pontos, A do primeiro círculo 
variáveis de tal forma que OA
O lugar geométrico do ponto médio de AAZ é:
DAC = 1 50°
AD — 1 10° (sobre o 
círculo menor). Então, 
AB mede:
A)
B) 
O
D)
E)
ao lado
127GEOMETRIA I
105) CICE — 69
Considere as afirmações:
3 são verdadeiras.
106)
107)
A)
B) 
O
D)
E)
um arco de círculo 
um segmento de reta
a me-
base BC é fixa e o vértice A variá- 
semiplano determinado por BC de tal forma que 
o lugar geométrico do incentro desse
Se em um triângulo ABC, a 
vel sobre um 
o ângulo A seja constante, 
triângulo é:
A)
B)
1) Em um quadrilátero convexo, um dos ângulos formados 
pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos é igual à metade 
da soma dos outros dois.
2) Em um quadrilátero convexo, um dos ângulos formados 
pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos é menor que a 
metade da soma dos outros dois.
3) Em um quadrilátero convexo, um dos ângulos formados pelas 
bissetrizes de dois ângulos opostos é igual à metade da di­
ferença dos outros dois.
4) Em um quadrilátero convexo, os ângulos formados pelas 
bissetrizes de dois ângulos opostos são maiores que 
tade da diferença dos outros dois.
A) 2
B) 1
Um segmento AB desloca-se de tal forma que A e B são per­
tencentes, respectivamente, às retas r e s, perpendiculares. O 
lugar geométrico do ponto médio de AB é:
um quadrado 
uma esfera 
um círculo
uma elipse 
nada disso
e 4 sào verdadeiras
e 3 são verdadeiras
C) 2 é verdadeira
D) 1 e 4 são verdadeiras
E) 2 e
128 A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE
108) Sejam a
110) Os pontos médios dos lados de
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B) 
O
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
O
D)
E)
cada lado de um triân-
seus
um par de segmentos de retas concorrentes 
um arco de elipse
N. R. A.
paralelograma 
retângulo 
losango 
quadrado 
N. R. A.
uma reta 
um círculo 
um plano 
um segmento de reta 
N. R. A.
111) Os pontos M, N 
guio ABC. O perímetro do triângulo MNP será mínimo se 
vértices forem
109) O lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de três 
pontos nâo colineares é:
C)
D)
E) N. R. A.
os pés das bissetrizes internas
os pés das medianas
os pés das alturas
quaisquer porque o perímetro é constante 
N. R. A.
e 0 planos paralelos e A e B pontos de a e de [3t respec­
tivamente. O lugar geométrico do ponto médio de AB é:
A) um ponto
B) uma reta 
um plano 
a união de 3 retas
um quadrilátero formam um
e P pertencem um a
129GEOMETRIA I
1 1 2) Sejam:
1 1 3) Sejam:
1 1 4) Sejam:
BB' ~
reta
ao
A)
B)
A)
B)
C)
n —*
A, B
e s
A, B, C —* pontos nôo colineares
n.° de retas do plano ABC eqüidistantes de 
e C. Então,
115) Prove que, se
- AA' = AB, a 
AB é tangente 
círculo.
Então,
A) â + 0 = 90°
B) S = fj = 45°
C) â + 0 90°
D) S + 0 45°
E) N. R. A.
7r e 7r' —► planos perpendiculares
a e 0 —►ângulos que uma reta qualquer forma 
com rr e ir', respectivamente.
n = 0
n = l
C) n = 2
D) n — zo
E) N. R. A.
n = 0 
n = l 
n = 2
D) n = 3
E) N. R. A.
r e s retas concorrentes
n —* n.° de planos perpendiculares a 
Então,
130 A. G MORGADO / E. WAGNER i M. JORGE
116)
117) figura abaixo# E é médio do
Prove que, sendo o triângulo ABC eqüilátero e sendo M um pon­
to qualquer de BC, MA = MB -f- MC.
Prove que, de acordo com a 
maior arco AB.
118) Considere um círculo de centro 0, um diâmetro AOB e um ponto M 
do círculo. Prolonga-se AM deum segmento MN igual a AM. 
NO e MB cortam-se em P. Prove que NP = 2 PO.
131geometria I
120) Com os Iodos de um parolelogramo constroem-se quadrados 
exteriores ao mesmo. Prove que os centros desses quadrados for­
mam um outro quadrado.
119) Dado um triângulo 
ABC, cufos ângulos 
medem: A — 60°, 
B = 70° e C = 50°, 
calcule os ângulos in­
ternos do triângulo 
formado pelas inter­
seções das alturas 
com o círculo circuns­
crito.
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE132
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
31 —C
32 — B
33 — C
34 — D
35 — D
36 — C
37 — C
38 — B
39 —C
40 — C
41 — A
42 —C
43 —E
44 — D
45 — D
46 — E
47 —C
48 — A
49 —A
50 —A
51 —C
52 — D
53 —A
54 — E
55 — B
56 — D 
57—D
58 — B
59 —C
60 — D
61 —D
62 —D
63 — D
64 — B
65 —C
66 — E
67 —E
68 — A
69 — B
70 — D
71 — D
72 —D
73 — D
74 —C
75 — D
76 —A
77 —D
78 — C
79 — B
80 — C
81 — D
82 — E
83 — D
84 —C
85 — D
86 —C
87 — B
88 — B
89 —A
90 — C
91 — B
92 — C
93 — D
94 — D
95 — B
96 — B
97 —A
98 —C
99 —C
100 —A
101 — B
102 —B
103 — E
104 — D
105 — B
106 — C
107 —A
108 — C
109 —A 
1 10 —A 
1 1 1 — C
112 — A 
1 13 — D 
114 — C
119 — P =60°
Q = 40°
R = 80°
1 — E
2 —D
3 — B
4 —A
5 —E
6 —C
7 —C
8 —E
9 —C
10 —C
11 —E
12 —C
13 — C
14 — D
15 — 0
16 —A
17 —B
18 — D
19 — B
20 —E
21 —C
22 —A
23 — C
24 — D
25 — B
26 —B
27 —B
28 —D
29 —D
30 — E
133GEOMETRIA I
PROBLEMAS RESOLVIDOS
temos:
12x = 360° =>
x = 30°.
COD = 120°.Então, AOB = 30°, BÔC = 60° e
a - ---------1- 60 + -------= 135°
RESPOSTA: C
RESPOSTA: C
número de Iodos (n).
d - 25 = n
Então,Mas d =
n(n —3) 
2
9 —AOB = x
BÔC = 2x
CÔD = 4x
DOA = 5x
25 — O número de diagonais (d) excede de 25 o
Como a soma 
desses ângulos é 
igual a 300°,
21 —Sabemos que é possível traçar, por um vértice de um polígono 
de n lados, n — 3 diagonais. Então, por um vértice de um ico- 
ságono (n = 20) podemos traçar 17 diagonais.
30
2
120
2
A. C. MORGADO / E. WAGNER / M. JORGE134
n2 — 3n — 50 = 2n
n = 10n2 — 5n — 50 = 0
RESPOSTA: B
32 — Sejam
x < 410 < x + 2 + 12 — 2xa c
b < a + c
x > 02x < 10 + x + 2c < a -j- b => 12 -
O-
■O
Os valores inteiros possíveis são
RESPOSTA: B
4- 
0
O 
-t- 
4
-+-
20
3
Verificamos que 0 < x < 4. 
1, 2 e 3.
n(n —3) 
2
Como cada lado de um triângulo deve ser menor que 
dos outros dois, temos:
„ 20 x <-------
3
x + 2 < 10 + 12 - 2x
= 25 = n
a soma
a = 10
b = x + 2
c = 12 - 2x-
Para verificar quais são os valores de x que satisfazem às 3 con­
dições, fazemos o gráfico abaixo:
135GEOMETRIA I
47 —
S = 140°
RESPOSTA: C
53 —
Como A + B + C = 1 80,
100
 = 80°
RESPOSTA: A
40 + x + ?= 180
I
X = o + b (ângulo 
externo)
50 = -L+A
2 2
No triângulo BIC, 
50° é o valor de um 
dos ângulos externos. 
Logo,
Ô+b + c = 180-40
136 A. C. MORGADO / E. WAGNER i M. JORGE
58 —
AB = AC
Então,
PQ + PR = BH RESPOSTA: B
medic-
o
Então, CJ = AB = C.
No triângulo ABC 
temos:
eB = C.
PQ =_PR = PS + PR = SR = BH
62 — Prolongando a
na AM de um compri­
mento MJ = AM, vemos 
que o quadrilátero 
ACJB é um paralelo­
grama, pois suas dia- 
nais cortam-se ao meio.
Sejam PQ e PR as 
distâncias de P aos lados 
congruentes do triângulo. 
Consideremos BX para­
lela a AC e a reta su­
porte de PR que encon­
tra BX em S. Da con­
gruência dos triângulos 
PQB e PSB, vem,
PQ - PS.
137GEOMETRIA I
triângulo AJC, podemos escrever:
2mo < b + c = ma <
RESPOSTA: D
71 —
lados nãoque os
RESPOSTA: D
AA', temos:
Aj = DD'â BJA = ACDD'
RESPOSTA: A
AA' = a 
BB' = b 
DD' = d
b + c
2
(2p) = 36 cm
Analisando o
a = b + d.
Traçando BJ perpendicular a
a — b = d
Observando os triângulos isósceles, concluímos 
paralelos são iguais ò base menor.
138 A. C. MORGAOO/E. WAGNER/M. JORGE
79— bm + m. = 12
Da primeira equação temos:
= 12
= 12
b = 12
Na segunda encontramos:
b' = 6
RESPOSTA: B
91 — AB = 360/5 = 72°
CD = 360/15 = 24°
a =
â = 24°
RESPOSTA: B
2
b;
b
72 - 24
2
b - b'
2
= i2
2
— = 1/2
12
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