Aula de Operações com Matrizes

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<p>Operações</p><p>com</p><p>Matrizes</p><p>Operações com Matrizes</p><p>I - Adição e Subtração</p><p>Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes</p><p>A e B basta que elas sejam de mesma ordem. Isto é, elas devem ter o</p><p>mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.</p><p>Define-se a adição A + B ou a subtração A – B como sendo a matriz</p><p>formada pelos elementos aij + bij ou aij - bij</p><p>A + B =</p><p>𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 … 𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏</p><p>𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 … 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏</p><p>⋮</p><p>𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏</p><p>⋮</p><p>𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐</p><p>…</p><p>⋮</p><p>𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏</p><p>01. Sendo as matrizes A =</p><p>2 5 1</p><p>3 − 2 4</p><p>e B =</p><p>1 6 0</p><p>−1 3 2</p><p>,</p><p>Calcule A + B e A – B</p><p>Solução:</p><p>A + B =</p><p>A – B =</p><p>2 + 1 5 + 6 1 + 0</p><p>3 – 1 - 2 + 3 4 + 2</p><p>=</p><p>3 11 1</p><p>2 1 6</p><p>2 – 1 5 – 6 1 – 0</p><p>3 + 1 - 2 – 3 4 – 2</p><p>=</p><p>1 −1 1</p><p>4 −5 2</p><p>02. Dadas as matrizes A =</p><p>5 7</p><p>8 10</p><p>e B =</p><p>3 5</p><p>4 6</p><p>, determine o</p><p>valor de At – B.</p><p>Solução:</p><p>𝐴 =</p><p>5 7</p><p>8 10</p><p>At =</p><p>5 8</p><p>7 10</p><p>At – B =</p><p>5 − 3 8 − 5</p><p>7 − 4 10 − 6</p><p>=</p><p>2 3</p><p>3 4</p><p>03. Dadas as matrizes: A =</p><p>1 2 3</p><p>0 1 −1</p><p>2 1 0</p><p>e B =</p><p>3 0 4</p><p>0 1 0</p><p>2 −1 3</p><p>Se C = A – B, então o valor da soma dos elementos da diagonal</p><p>principal da matriz C é:</p><p>A =</p><p>1 2 3</p><p>0 1 −1</p><p>2 1 0</p><p>DP</p><p>B =</p><p>3 0 4</p><p>0 1 0</p><p>2 −1 3</p><p>DP</p><p>(1 – 3) + (1 – 1) + (0 – 3) =</p><p>Soma da DP da matriz C é:</p><p>– 2 + 0 – 3 = – 5</p><p>0– 2 – 3</p><p>a) 1</p><p>b) – 1</p><p>c) – 5</p><p>d) 5</p><p>e) 6</p><p>II - Produto de um número real por uma matriz</p><p>Se A é uma matriz m × n, de elementos aij , e  é um número</p><p>real, então A é uma matriz m × n cujos elementos são aij .</p><p>Exemplo:</p><p>04. Sendo A =</p><p>2 0 1</p><p>4 1 3</p><p>e B =</p><p>0 − 1 2</p><p>5 0 6</p><p>, determine:</p><p>a) 5A b) – 2B c) 3A + B</p><p>Solução:</p><p>a) 5A = 5 .</p><p>2 0 1</p><p>4 1 3</p><p>=</p><p>b) – 2B = - 2 .</p><p>0 − 1 2</p><p>5 0 6</p><p>=</p><p>c) 3A + B =</p><p>5 . 2 5 . 0 5 . 1</p><p>5 . 4 5 . 1 5 . 3</p><p>=</p><p>𝟏𝟎 𝟎 𝟓</p><p>𝟐𝟎 𝟓 𝟏𝟓</p><p>0 2 − 4</p><p>−10 0 − 12</p><p>=</p><p>6 + 0 0 − 1 3 + 2</p><p>12 + 5 3 + 0 9 + 6</p><p>=</p><p>6 − 1 5</p><p>17 3 15</p><p>3.</p><p>2 0 1</p><p>4 1 3</p><p>+</p><p>0 − 1 2</p><p>5 0 6</p><p>=</p><p>=</p><p>6 0 3</p><p>12 3 9</p><p>+</p><p>0 − 1 2</p><p>5 0 6</p><p>=</p><p>III - Multiplicação de Matrizes</p><p>Dada duas matrizes A (m x n) e B (n x p), chama-se produto da</p><p>matriz A pela matriz B que se indica A . B a matriz m x p definida</p><p>por:</p><p>(ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj)</p><p>Observações:</p><p>•O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas</p><p>da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.</p><p>•Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente, então o</p><p>produto A . B existe e é uma matriz m x p.</p><p>05. Efetue as Multiplicações:</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>530</p><p>023</p><p>011</p><p>.</p><p>411</p><p>320a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>20154</p><p>15136</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++++++</p><p>++++++</p><p>=</p><p>20001221031</p><p>1500940060</p><p>2x3 3x3</p><p>2x3</p><p>0 . 1 + 2 . 3 + 3 . 0 0 . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 0 . 0 + 2 . 0 + 3 . 5</p><p>1 . 1 + 1 . 3 + 4 . 0 1 . 1 + 1 . 2 + 4 . 3 1 . 0 + 1 . 0 + 4 . 5</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6200</p><p>3511</p><p>.</p><p>03</p><p>31</p><p>42</p><p>b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++++</p><p>++++</p><p>++++</p><p>6.03.32.05.30.01.30.01.3</p><p>6.33.12.35.10.31.10.31.1</p><p>6.43.22.45.20.41.20.41.2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++++</p><p>++++</p><p>++++</p><p>090150303</p><p>183650101</p><p>2468100202</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>91533</p><p>211111</p><p>301822</p><p>3x2</p><p>2x4</p><p>3x4</p><p>c)</p><p>10 0</p><p>4 −4</p><p>.</p><p>4 3</p><p>1 0</p><p>2 −4</p><p>=</p><p>3x2</p><p>2x2</p><p>Não é possível haver o produto</p><p>06. (Pref. de Taquaritinga do Norte/PE) Uma matriz C3x4 é</p><p>resultado do produto da matriz A3x2 pela matriz Bmxn, ou seja,</p><p>C = A x B. Qual é a ordem da matriz B?</p><p>Solução: A3x2 x Bmxn = C3x4</p><p>O produto de duas matrizes existe se e somente se o</p><p>número de colunas da matriz A for igual ao número de</p><p>linhas da matriz B</p><p>O número de Colunas da</p><p>segunda matriz determina o</p><p>número de colunas do resultado</p><p>B2x4</p><p>07. Sejam as matrizes A =</p><p>1 2 0</p><p>0 1 2</p><p>2 0 1</p><p>e B =</p><p>5 8</p><p>1 9</p><p>7 −3</p><p>. Se C = (cij) é a</p><p>matriz produto A . B, determine, se existir, os elementos:</p><p>a) c22 b) c31 c) c33</p><p>Solução:</p><p>C =</p><p>𝑐11 𝑐12</p><p>𝑐21 𝑐22</p><p>𝑐31 𝑐32</p><p>C = (cij)3x2</p><p>a) c22 = 0 . 8 + 1 . 9 + 2 . (– 3) = 0 + 9 – 6</p><p>c22 = 3</p><p>b) c31 = 2 . 5 + 0 . 1 + 1 . 7 = 10 + 0 + 7</p><p>c31 = 17</p><p>c) c33 = Não existe esse elemento na matriz C</p><p>08. Caju, Laranja e Banana foram plantados nas regiões Sul e Norte do</p><p>Brasil, com a ajuda dos produtos X, Y e Z. A matriz A indica a área</p><p>plantada de cada fruta, em hectares, por região. A matriz B indica a</p><p>quantidade de cada produto usado, em kg, por hectares, em cada tipo de</p><p>fruta.</p><p>A =</p><p>Caju Laranja Banana</p><p>Sul 50 20 20</p><p>Norte 40 10 30</p><p>X Y Z</p><p>Cajú 10 20 15</p><p>Laranja 15 20 20</p><p>Banana 30 20 30</p><p>B =</p><p>a) Calcule a matriz C = A . B</p><p>b) O que significa o valor do elemento c23 da matriz C?</p><p>c) O que significa os resultados da primeira linha da matriz C?</p><p>Solução:</p><p>a) C = A . B =</p><p>50 20 20</p><p>40 10 30</p><p>.</p><p>10 20 15</p><p>15 20 20</p><p>30 20 30</p><p>=</p><p>Caju Laranja Banana</p><p>Sul 50 20 20</p><p>Norte 40 10 30</p><p>X Y Z</p><p>Cajú 10 20 15</p><p>Laranja 15 20 20</p><p>Banana 30 20 30</p><p>=</p><p>750 + 400 + 6001000 + 400 + 400500 + 300 + 600</p><p>400 + 150 + 900 800 + 200 + 600 600 + 200 + 900</p><p>1400 1800 1750</p><p>1450 1600 1700</p><p>b) O que significa o valor do elemento c23 da matriz C?</p><p>c23 = 1700 Quantidade total de produtos Z utilizados</p><p>na região norte na plantação das três frutas.</p><p>KBÔ!</p>