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<p>AULA Nº 12</p><p>Geometria Analítica e Álgebra Linear</p><p>Prof. Pedro L. Fagundes</p><p>Espaços Vetoriais Reais e Subespaços</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Def. Um conjunto , não vazio, é um Espaço Vetorial Real, quando podemos definir duas operações:</p><p>i) Adição: que a cada dois elementos associa um novo elemento de denotado por .</p><p>ii) Multiplicação por escalar: que para cada número real e cada associa um novo elemento de denotado por</p><p>Tais que, para todo e :</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>A1)</p><p>A2)</p><p>A3) Existe , tal que</p><p>A4) Dado , existe , tal que</p><p>O elemento da propriedade A3 é chamado vetor nulo de e o elemento da propriedade A4 é chamando oposto de .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>M1)</p><p>M2)</p><p>M3)</p><p>M4)</p><p>Os elementos de serão chamados vetores.</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Exemplos:</p><p>1) ,</p><p>2)</p><p>3) ,</p><p>4) , ,</p><p>5) , o conjunto de todas as matrizes com entradas reais, neste espaço o vetor nulo é a matriz nula.</p><p>Espaços Vetoriais Reais</p><p>6) , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes reais, aqui o vetor nulo é o polinômio nulo.</p><p>7) , o conjunto de todas as funções reais contínuas definidas no intervalo , aqui o vetor nulo é a função nula.</p><p>Dadas , definimos a soma das funções como sendo a função , dada por:</p><p>Dados e , definimos a função como sendo a função , dada por:</p><p>Espaços Vetoriais Reais</p><p>8) Seja , considere em as seguintes operações:</p><p>Adição: .</p><p>Multiplicação por um real: .</p><p>O conjunto com estas duas operações é um espaço vetorial real e, neste caso, .</p><p>.</p><p>Espaços Vetoriais Reais</p><p>Se é um espaço vetorial real, então:</p><p>O vetor nulo de é único.</p><p>Dado o seu vetor oposto é único.</p><p>Para todo vetor , .</p><p>Para todo real , .</p><p>Dado , .</p><p>Se , então ou ou .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Def. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial de se, com as mesmas operações definidas em , é por si só um espaço vetorial.</p><p>Proposição: é subespaço vetorial de se, e só se:</p><p>i)</p><p>ii) Dados</p><p>iii) Dados e</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Exemplo: Se é um espaço vetorial, então:</p><p>a) é um subespaço vetorial de .</p><p>b) é um subespaço vetorial de</p><p>Os subespaços vetoriais de , dados nos itens a) e b) são chamados subespaços triviais de .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Verifique que o subconjunto é um subespaço vetorial de .</p><p>i) O vetor nulo de é o polinômio nulo, ou seja, temos , onde para todo .</p><p>Em partícula se , temos , logo este polinômio satisfaz a condição para estar no subconjunto .</p><p>Assim .</p><p>ii) Sejam , assim temos , quero mostrar que o polinômio também pertence ao subconjunto .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>, logo .</p><p>iii) Dados e , quero mostrar que o polinômio também pertence ao subconjunto .</p><p>, logo .</p><p>Provados i), ii) e iii) concluímos que é um subespaço vetorial de .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Verifique que o seguinte subconjunto é um subespaço vetorial do</p><p>.</p><p>i) O vetor nulo de é , que claramente verifica as equações que definem , logo .</p><p>ii) Sejam .</p><p>Vamos mostrar que</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Logo .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>iii) Sejam e .</p><p>Vamos mostrar que ,</p><p>Logo .</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Podemos ver o conjunto do exemplo anterior, como sendo o conjunto de todas as soluções do sistema linear homogêneo com duas equações e quatro incógnitas.</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Proposição: O conjunto das soluções de um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas é sempre um subespaço vetorial de .</p><p>Proposição: Se é um subespaço vetorial de , então é o conjunto das soluções de um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas.</p><p>Espaços Vetoriais e Subespaços</p><p>Os subespaços vetoriais de , além dos triviais, são as retas que passam pela origem, ou seja, soluções do sistema .</p><p>Os subespaços vetoriais de , além dos triviais, são as retas que passam pela origem ou planos que passam pela origem, ou seja soluções dos sistemas:</p><p>ou .</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image70.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image90.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p>