Espaço vetorial

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Definição: Seja V um conjunto não 
vazio no qual estão definidas as 
operações de soma 
 
e multiplicação por escalar 
 
O conjunto V com essas duas 
operações é chamado espaço 
vetorial real (ou espaço vetorial 
sobre R) se, para quaisquer u, v, w E 
V e α, β E R, as seguintes afirmações 
são verdadeiras: 
 
→ usaremos a palavra vetor para 
designar um elemento de um espaço 
vetorial 
→ se na definição anterior 
tivéssemos tomado os escalares no 
conjunto C dos números complexos, 
V seria um espaço vetorial 
complexo. Neste curso, 
trabalharemos apenas com espaços 
vetoriais reais 
Propriedades: 
1 – Existe um único vetor nulo 
2 – Cada vetor u E R admite um 
único simétrico (-u) E V 
3 – Se u + w = v +w, então u = v 
4 – Para todo v E V, tem-se –(-v) = v 
5 – Dados u, v E V, existe um único x 
E V tal que u + x = v. Nesse caso, 
escrevemos x = v – u 
6 – Para todo v E V, tem-se 0 . v = 0⃗ 
7 – Para todo α E R, temos α . 0⃗ = 0⃗ 
8 – Se αv = 0⃗ , então α = 0 ou v = 0⃗ 
9 – Para todo v E V, tem (-1).v = -v 
DEFINIÇÃO 
Um subconjunto W de um espaço 
vetorial V é dito subespaço vetorial 
de V se W é um espaço vetorial em 
relação às operações de soma e 
multiplicação por escalar definidas 
em V. 
TEOREMA 
Seja W um subconjunto não vazio 
de um espaço vetorial V. Então W é 
um subespaço vetorial de V se, e 
somente se, valem as condições: 
1 Se u e v pertencem a W, então 
u + v pertence a W 
2 Se α E R e u E W, então αu E W 
OBSERVAÇÃO 
 • qualquer subespaço W de V 
contém o vetor nulo, por conta da 
condição 2 do teorema anterior 
com α = 0 
• todo espaço vetorial admite pelo 
menos dois subespaços (chamados 
triviais), o conjunto formado somente 
pelo vetor nulo e o próprio espaço 
vetorial 
TEOREMA 
Dados W1 e W2 subespaços de um 
espaço vetorial V, a interseção 
W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de 
V 
OBSERVAÇÃO 
A união de subespaços de V não é 
um subespaço de V em geral 
TEOREMA 
Sejam W1 e W2 subespaços de um 
espaço vetorial V. Então 
W1 + W2 = { v = w1 = w2 : w1 E W1 e 
w2 ∈ W2 } 
É um subespaço de V 
DEFINIÇÃO 
Sejam V um espaço vetorial, 
v1 , ..., vn ∈ V e αn E R. Então o vetor 
V = α1v1 + ... + αnvn 
É um elemento de V chamado 
combinação linear de v1, ..., vn 
• fixados v1, ..., vn E V, o conjunto W 
de todos os vetores de V que são 
combinação linear de v1, ..., vn é um 
subespaço de V. W é chamado 
subespaço gerado por v1, ..., vn e 
escrevemos 
 
DEFINIÇÃO 
Sejam V um subespaço vetorial e 
v1, ..., vn E V. Dizemos que o conjunto 
{v1, ..., vn} é linearmente 
independente (LI) ou que os vetores 
v1, ..., vn são LI se 
 
Implica que α1 = ... = an = 0 
No caso em que exista algum αi ≠ 0 
dizemos que {v1, ..., vn} é 
linearmente dependente (LD) ou que 
os vetores v1, ..., vn são LD. Nesse 
caso, temos 
 
Ou seja, vi se escreve como 
combinação linear dos outros 
vetores 
DEFINIÇÃO 
Um conjunto {v1, ..., vn} de vetores 
de um espaço vetorial V é chamado 
base de V se: 
1 {v1, ..., vn} é LI 
2 [v1, ..., vn] = V 
• existem espaços que não tem base 
infinita 
TEOREMA 
Sejam v1, ..., vn vetores não nulos 
que geram um espaço vetorial V. 
então dentre esses vetores 
podemos extrair uma base de V 
TEOREMA 
Seja V um espaço vetorial gerado 
por um conjunto finito de vetores 
v1, ..., vn. Então qualquer conjunto 
com mais de n vetores é LD 
 
COROLÁRIO 
Qualquer base de um espaço 
vetorial tem sempre o mesmo número 
de elementos. Esse número é 
chamado dimensão de V e 
denotado por dim V 
• quando um espaço vetorial V 
possui uma base finita, dizemos que 
V é um espaço vetorial de dimensão 
finita 
TEOREMA 
Qualquer conjunto de vetores LI de 
um espaço vetorial V de dimensão 
finita pode ser completado de 
modo a formar uma base de V 
COROLÁRIO 
Se dim V = n, qualquer conjunto de 
n vetores LI forma uma base V 
TEOREMA 
Se U e W são subespaços de um 
espaço vetorial V de dimensão 
finita, então 
 
Além disso, 
 
TEOREMA 
Dada uma base B = {v1, ..., vn} de 
um espaço vetorial V, cada vetor 
de V pode ser escrito de maneira 
única como combinação linear de 
v1, ..., vn. 
DEFINIÇÃO 
Sejam B = {v1, ..., vn} base de V e v 
E V, onde v = α1v1 + .. + αnvn. 
Chamamos os números α1, ..., αn de 
coordenadas de v em relação à 
base B e denotamos