Gabarito-P1-Noturno

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Eletromagnetismo II
Prof. Dr. R.M.O Galvão - 1◦ Semestre 2015
Preparo: Diego Oliveira
Gabarito - Primeira Prova Noturno
1 Uma onda plana ~E1 = E01e
i(kz−ωt)êx se propagando no ar (n1 = 1) na
direção z incide perpendicularmente sobre a superfície plana de um meio
condutor semi-infinito como mostrado na figura.
a) Escreva as componentes dos campos ~H e ~E nos meios 1© e 2© e as
condições de contorno apropriadas em z = 0.
1
b) Encontre a seguinte expressão para o coeficiente de reflexão:
r = E ′1x
E1x
= k2 − k1
k1 + k2
= α2 + β2 − (ω/c)2 + 2(ωβ/c)i
(α + (ω/c))2 + β2
onde k1 e k2 são, respectivamente, os números de onda no meio 1© e 2©.
Qual o significado físico da parte imaginária de r?
Lembre-se: A quantidade k em condutor é um número complexo, k =
α + iβ.
c) Supondo que o condutor é um mau condutor, isto é σ/ε0ω � 1 e que
α = ω
√√√√ε0µ0
2
1 +
√√√√√√1 +
 σ
ε0ω
2

1/2
e
β = ω
√√√√ε0µ0
2
−1 +
√√√√√√1 +
 σ
ε0ω
2

1/2
mostre que:
α ≈ ω
√
µ0ε0 = k1; β ≈ σ
2
√√√√√µ0
ε0
;
R ≈ β2
4α2 + β2 e A = 1−R = 4α2
4α2 + β2
onde R é a reflectância, definida por R = |r|2 = r.r∗, e A a absorvância
que determina a quantidade de energia absorvida pelo meio.
d) Sabendo que β = 1/δ e α = 2π/λ definem, respectivamente, a profundi-
2
dade de atenuação e o comprimento de onda, mostre que:
1
π
λ
δ
= σ
ωε0
� 1
e a partir deste resultado que:
R ≈ 0 e A ≈ 1.
Com estes resultados, descreva fisicamente o problema que acaba de ser
resolvido.
2 Nos metais, a condução elétrica é devida aos elétrons de condução, que não
estão ligados, mas sim livres. Desta forma, as características de dispersão em
metais podem ser obtidas fazendo-se ω2
0 = 0 na equação de movimento que
determina a resposta dos elétrons a um campo oscilante no meio.
a) Considerando uma onda plana se propagando em um metal,
~E(~r, t) = ~E0e
−βk̂·~rei(αk̂·~r−ωt),
onde k̂ é o versor na direção de propagação, mostre que
α = ω
µ0ε0
2
1−
ω2
p
ω2 + γ2


1/2
1 +
√√√√√√√1 +
 γω2
p
ω(ω2 − ω2
p + γ2)

2

1/2
e
β = ω
µ0ε0
2
1−
ω2
p
ω2 + γ2


1/2
−1 +
√√√√√√√1 +
 γω2
p
ω(ω2 − ω2
p + γ2)

2

1/2
3
b) Considere agora a situação sem amortecimento, isto é γ = 0. Determine
a condição que a frequência ω deve satisfazer para que haja propagação
no metal.
c) Determine as expressões das velocidades de fase, vf , e de grupo vg, no
metal, supondo que a condição do item anterior seja satisfeita.
d) Esboce o diagrama de dispersão ω × k na condição em que γ = 0.
e) Considere agora γ 6= 0. Determine se neste caso é possível propagação
mesmo que a condição do item b) não seja satisfeita.
3 Numa região do espaço livre (sem cargas e correntes) existe um campo
magnético dado por
~B(~r, t) = B0e
−ax−btêz
a) Determine a relação entre as constantes a e b para que este campo satis-
faça as equações de Maxwell.
b) Determine as expressões para o potencial escalar φ(~r, t) e vetor ~A(~r, t)
associados a estes campos.
c) Determine a expressão do vetor de Poynting associado a este campo.
d) Verifique se o teorema de conservação de energia eletromagnética é satis-
feito para este campo.
4
4 Considere um guia de ondas de seção reta retangular com lados a e
b. Neste caso, a relação de dispersão tanto para modos TE como TM se
propagando no guia é dado por
k2 = ω2
c2 − π
2
m2
a2 + n2
b2
 ;
a componente do campo ~H ao longo do guia, para os modos TE, é
Hz(x, y, z, t) = H0 cos
(mπx
a
)
cos
(nπy
b
)
ei(kz−ωt)
e a componente do campo ~E ao longo do guia, para os modos TM, é
Ez(x, y, z, t) = E0 sen
(mπx
a
)
sen
(nπy
b
)
ei(kz−ωt)
a) Definindo o comprimento de onda do guia caso λg = 2π/k, mostre que
λg = λ√√√√√√1−
 λ
λc
2
; λ = c
f
e determine a expressão para λc.
(1,0) b) Qual os valores mínimos que podem ter os pares (m,n) para os modos
TE e TM? Justifique sua resposta.
c) Suponha que a = b = 2 cm e f = 15GHz Determine os valores dos
pares (m,n) para todos os modos que podem se propagar no guia neste
caso.
d) Considerando o modo mais fundamental do item anterior calcule a velo-
cidade de fase e a velocidade de grupo.
5
GABARITO
Questão 1:
(0,5) a)
~B =
~k
ω
× ~E
meio 1:
~E1 = E01e
i(k1z−ωt)êx; ~B1 =
~k1
ω × ~E1 = k1êz
ω ×
(
E01e
i(k1z−ωt)
)
êy
∴ ~B1 = k1
ω E01e
i(k1z−ωt)êy; ∴ ~H1 = k1
µ1ωE01e
i(k1z−ωt)êy
~E ′1 = −E ′01e
−i(k1z+ωt)êx; ∴ ~H ′1 = k1
µ1ωE
′
01e
−i(k1z+ωt)êy
meio 2:
~E2 = E02e
i(k2z−ωt)êx; ∴ ~H2 = k2
µ2ωE02e
i(k2z−ωt)êy
Condições de contorno z = 0
Et1 = Et2 ∴ E01 − E ′01 = E02
Ht1 = Ht2 ∴
k1
µ1ω
(E01 + E ′01) = k2
µ2ω
E02
6
(1,0) b)
µ2k1
µ1k2
(E01 + E ′01) = E02 = E01 − E ′01
∴
1 + µ2k1
µ1k2
E ′01 =
1− µ2k1
µ1k2
E01
∴ r = E ′01
E01
= µ1k2 − µ2k1
µ2k1 + µ1k2
; µ1 = µ2 ⇒ r = k2 − k1
k1 + k2
(0, 5)
∴ r = α + iβ − ω/c
α + iβ + ωc
= (α + iβ − ω/c) (α− iβ − ω/c)
(α + ω/c)2 + β2
∴ r = α2 + β2 − (ω/c)2 + 2i(ωβ/c)
(α + ω/c)2 + β2 (0, 5)
Parte imaginária significa defasagem.
(0,5) c) σ
ωε0 � 1
∴ α = ω
√√√√µ0ε0
2
1 +
√√√√√1 +
 σ
ωε0


1/2
≈ ω
√
µ0ε0
β = ω
√√√√µ0ε0
2
−1 +
√√√√√1 +
 σ
ωε0


1/2
≈ ω
√√√√µ0ε0
2

���−1 + ��1 + 1
2
 σ
ωε0
1/2
∴ β ≈ σ
2
√√√√√µ0
ε0
7
R = |r|2 ≈ �
�
�
�ω2
c2 + σ2
4
µ0
ε0
−
�
�
�
�ω2
c2 + i
ωσ
c
√√√√√µ0
ε0ω2
c2 + ω2
c2
 + σ2
4
µ0
ε0

�
�
�
�ω2
c2 + σ2
4
µ0
ε0
−
�
�
�
�ω2
c2 − i
ωσ
c
√√√√√µ0
ε0ω2
c2 + ω2
c2
 + σ2
4
µ0
ε0

∴ R ≈
(
β2 + 2iβω
c
) (
β2 − 2iβω
c
)
4α2 + β2 ; α = ω
c
R ≈
β4 −
�
�
�
��2iβ3ω
c
+
�
�
�
��2iβ3ω
c
+ 4β2ω
2
c2[
4α2 + β2
]2 = β2 β2 + 4α2
[
4α2 + β2
]2
∴ R ≈ β2
4α2 + β2 ; A = 1−R = 4α2
4α2 + β2
(0,5) d)
1
π
λ
δ
= 1
��π
2��πβ
α
=
��2
σ
��2
√√√√√µ0
ε0
ω
√
µ0ε0
= σ
ε0ω
� 1
∴ A ≈ 1
���4α2
�
��4α2
1 + 1
4
β
α
2
︸ ︷︷ ︸
�1
≈ 1; ∴ R = 1− A ≈ 0
Se o condutor for mau condutor, praticamente numa energia é refletida
de sua superfície, sendo absorvida no próprio condutor.
8
Questão 2:
(0,5) a) ω0 = 0 ⇒ Re[εr] = 1− ω2
p
ω2 + γ2 ; Img[εr] = γ ω2
p
ω(ω2 + γ2)
∴
Img[εr]
Re[εr]
=
γ ω2
p
ω(ω2 + γ2)
1− ω2
p
ω2 + γ2

=
γ ω2
p
ω
[
ω2 + γ2 − ω2
p
]
∴ α = ω
µ0ε0
2
1−
ω2
p
ω2 + γ2


1/2
1 +
√√√√√√√√1 +
 γ ω2
p
ω
[
ω2 + γ2 − ω2
p
]

2

1/2
∴ β = ω
µ0ε0
2
1−
ω2
p
ω2 + γ2


1/2
−1 +
√√√√√√√√1 +
 γ ω2
p
ω
[
ω2 + γ2 − ω2
p
]

2

1/2
(0,5) b)
γ = 0 ⇒ α = ω
µ0ε0
2
1−
ω2
p
ω2


1/2√
2 ⇒ α = ω
c
√√√√√√1− ω2
ω2
p
β = 0
Para que a onda se propague no metal, α tem que ser real; portanto
ω2 > ω2
p é a condição de propagação.
(0,5) c) vf = ω
α ∴ vf = c√√√√√1− ω2
p
ω2
9
vg = ∂ω
∂α
1 = 1
c
√√√√√1−
ω2
p
ω2
∂ω
∂α
+ ω
c
1
2
1− ω2
p
ω2

−1/2
��2
ω2
p
ω2
∂ω
∂α
1 = 1
c
√√√√√1−
ω2
p
ω2
1 +
ω2
p
ω2
1− ω2
p
ω2
 ∂ω∂α = 1
c
√√√√√1−
ω2
p
ω2
1
1− ω2
p
ω2
∂ω
∂α
1 = 1
c
√√√√√1−
ω2
p
ω2
∂ω
∂α
vg = ∂ω
∂α
= c
√√√√√1−
ω2
p
ω2 ∴ vfvg = c2
(0,5) d)
Ωp
Ω
Α
= c
Α
Ω
(0,5) e) γ 6= 0 ⇒ condição de propagação: 1− ω2
p
ω2 − γ2 > 0
ω2 + γ2 > ω2
p ∴ ω2 > ω2
p − γ2
Sim é possível.
10
Questão 3:
(0,5) a)
∇× ~B = µ0ε0
∂ ~E
∂t
∴ aB0e
−ax−btêy = µ0ε0
∂ ~E
∂t
∴ ~E = − a
bµ0ε0
B0e
−ax−btêy
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∴
a2
bµ0ε0
B0e
−ax−btêy = bB0e
−ax−bt ∴
a2
b2 = µ0ε0
(1,0) b)
~B = ∇× ~A ∴ B0e
−ax−btêz =
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
 êz
~E = −∇φ− ∂ ~A
∂t
∴ − a
bµ0ε0
B0e
−ax−btêy = −∂φ
∂y
êy −
∂Ay
∂t
êy
∴ ~A só tem componente y ⇒ ∂Ay
∂x
= B0e
−ax−bt
∴ ~A = −B0
a
e−ax−bt
Substituindo na expressão para ~E:
−
�
�
�
��a
bε0µ0
B0e
−ax−bt = −∂φ
∂y
−
��
���
����
b
a
B0e
−ax−bt
∴
∂φ
∂y
= 0 ⇒ φ = 0
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(0,5) c)
~S = 1
µ0
~E × ~B = − 1
µ0
a
bµ0ε0
B2
0
(
e−ax−bt
)
êx
∴ ~S = − 1
µ0
b
a
B2
0
(
e−ax−bt
)2
êx
(0,5) d)
~j = 0; ∇ · ~S = ∂S
∂x
= − 2
µ0
b
a
B2
0e
−ax−bt(−a)e−ax−bt
∴ ∇ · ~S = 2
µ0
bB2
0
(
e−ax−bt
)2
ε = ε0
2
E2 + 1
2µ0
B2 = ε0
2
a2
b2ε20µ
2
0
B2
0
(
e−ax−bt)2 + B2
0
2µ0
(
e−ax−bt
)2
ε = 1
2µ0
 a2
b2ε20µ
2
0
+ 1
B2
0
(
e−ax−bt
)2 = B2
0
µ0
(
e−ax−bt
)2
∴
∂ε
∂t
= −2b
µ0
B2
0
(
e−ax−bt
)2 ⇒ ∇ · ~S + ∂ε
∂t
= 0.
Questão 4:
a)
k2 = ω2
c2 − π
2
m2
a2 + n2
b2
 ∴
4��π2
λ2
g
= 4��π2
λ2 − π
2
m2
a2 + n2
b2

1
λ2
g
= 1
λ2 −
m2
a2 + n2
b2
4
λ2
g = 4λ2
4− λ2
(
m2
a2 + n2
b2
)
12
∴ λg = λ√√√√√√1− λ2
λ2
c
; λc = 2√√√√√m2
a2 + n2
b2
b)
TEmn =
m = 0
n = 0
ou
m = 1
n = 0
TMmn =
m = 1
n = 1
porque, para m = 0 ou n = 0, Ez se anula
c)
a = b = 2cm
f = 15GHz
⇒ fcmn = c
λmn
= 1, 5× 108
√√√√√ m2
4× 10−4 + n2
4× 10−4
∴ fcmn
1, 5
2
× 1010√m2 + n2
∴ fcmn = 7, 5× 109√m2 + n2 = 7, 5
√
m2 + n2GHz
TEmn :
m = 0
n = 1
;
m = 1
n = 0
X
m = 1
n = 1
X m ou n ≥ 2 ⇒ fcmn = f
TMmn :
m = 1
n = 1
X as outras não
Portanto, podem se propagar TE01, TE10, TE11 e TM11
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d) Mais fundamental: TE01 ou TE10
λ2
λ2
c
= c2
f 2 × 4
1/a2
= a2c2
4f 2 = 4× 10−4 × 4× 1016
4× 1, 52 × 1020
∴
λ2
λ2
c
= 4× 10−8
∴ vf = c√
1− 4× 10−8 ≈ c; vgvf = c2 ∴ vg ≈ c
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