mat 2 12

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Identificando pontos notáveis de 
polígonos – Parte 2
Matemática
2o bimestre – Aula 12 – Sequência de Atividades 6
Ensino Médio
● Soma das medidas de 
ângulos internos e externos 
de triângulos e 
quadriláteros.
● Verificar que a soma das 
medidas dos ângulos internos 
de um quadrilátero é 360°;
● Calcular medida de ângulos 
desconhecidos em 
quadriláteros usando o fato 
de a soma dos ângulos 
internos de qualquer 
quadrilátero ser igual a 360°.
Na aula passada, 
aprendemos que a soma dos 
ângulos internos de qualquer 
triângulo é igual a 180°. 
Sabendo-se disso, determine 
a medida do ângulo 
representado por x em cada 
triângulo.
Você aprendeu?
Virem e conversem 5 MINUTOS
Você aprendeu? – Correção 
x + 50° + 30° = 180°
x + 80° = 180°
x = 180° − 80° = 100°
x + 90° + 30° = 180°
x + 120° = 180°
x = 180° − 120° = 60°
x + 50° + 65° = 180°
x + 115° = 180°
x = 180° − 115° = 65°
x + 60° + 75° = 180°
x + 135° = 180°
x = 180° − 135° = 45°
A seguir, demonstraremos que a soma dos ângulos internos de qualquer 
quadrilátero é igual a 360°.
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
Elementos:
Lados: AB, BC, CD, DA
Ângulos internos: �A, �B, �C, �D
Diagonais: DB, AC
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ponto E: Interseção das diagonais.
Certo é certo 10 MINUTOS
Pela ilustração, podemos notar que o 
ponto E é o vértice comum de quatro 
triângulos: ADE, ABE, BCE e DCE, 
nesses triângulos, podemos indicar 
os ângulos internos, conforme a 
figura a seguir:
Continua...Fonte: Elaborada pelo autor.
Realizando a soma dos quatro ângulos 
internos dos triângulos, temos: 
 
  
  
  

1 2
2 2
1 1
1 2
A B 1 180
A D 4 180
D C 3 180
B C 2 180
+ + = °
+ + = °
+ + + = °
+ + = °
 ( )  ( )  ( )  ( )   ( )
       
   
1 21 2 1 2 1 2A A B B C C D D 1 2 3 4 4 180
A B C D 360 720 A B C D 720 360
A B C D 360
+ + + + + + + + + + + = ⋅ °⇒
⇒ + + + + ° = °⇒ + + + = ° − °⇒
⇒ + + + = °
Continua...Fonte: Elaborada pelo autor.
Analise o triângulo AEB, inscrito no quadrado ABCD, e determine a 
medida dos ângulos 𝛾𝛾 (gama) e 𝛼𝛼 (alfa).
Atividade 1
Aprender Sempre, Caderno do Aluno, S.A. 6, Aulas 3 e 4, Ativ. 4, p. 175 (Adaptado).
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mostre-me 10 MINUTOS
Atividade 1
a. Se continuarmos com o prolongamento do 
segmento BE até o vértice D e AE até o vértice C, 
o quadrado será dividido em quantos triângulos?
b. Qual é classificação do triângulo ABE, de acordo 
com a medida dos lados?
c. Considerando o tipo dos triângulos internos ao 
quadrado ABCD, a medida dos ângulos 𝛾𝛾 e 𝛼𝛼 é:Fonte: Elaborada pelo autor.
Aprender Sempre, Caderno do Aluno, S.A. 6, Aulas 3 e 4, Ativ. 4, p. 175 (Adaptado).
Atividade 1 – Correção
a. Se continuarmos com o prolongamento do segmento BE até o 
vértice D e AE até o vértice C, o quadrado será dividido em 
quantos triângulos?
Como podemos observar na figura ao 
lado, ao prolongarmos os segmentos 
informados, o quadrado ABCD fica 
dividido em quatro triângulos.
Continua...Fonte: Elaborada pelo autor.
b. Qual é classificação do triângulo ABC, de acordo com a medida dos 
lados?
O ponto E é o ponto médio das diagonais 
do quadrado, portanto os lados AE e EB 
são congruentes. Dessa forma, o triângulo 
ABE é isósceles.
Atividade 1 – Correção
Continua...Fonte: Elaborada pelo autor.
c. Considerando o tipo dos triângulos internos ao quadrado ABCD, a 
medida dos ângulos 𝛾𝛾 e 𝛼𝛼 é:
Se o triângulo ABE é isósceles, temos que:
f ≡ g, por consequência os ângulos opostos a 
esses lados também serão congruentes; então, 
𝜸𝜸 ≡ 𝜶𝜶.
Portanto, podemos escrever:
𝜸𝜸 + 𝜸𝜸 + 90° = 180° ⇒ 2𝜸𝜸 = 180° − 90° ⇒
⇒ 2𝜸𝜸 = 90° ⇒ 𝜸𝜸 =
90°
2 = 45°
Como 𝜸𝜸 ≡ 𝜶𝜶 e 𝜸𝜸 = 45°, temos que 𝜶𝜶 = 45°. 
Atividade 1 – Correção
Fonte: Elaborada pelo autor.
(AAP, 2015, Adaptado) 
Atividade 2
Com quatro triângulos iguais ao da 
figura, Gustavo montou um losango. 
A soma das medidas dos ângulos 
internos do losango de Gustavo é:
Mostre-me 5 MINUTOS
Atividade 2 – Correção
Como podemos perceber, o losango é 
composto por 4 triângulos, idênticos à 
primeira figura, cuja composição dos 
ângulos internos resulta em:
120° + 120° + 60° + 60° =
240° + 120° = 360°
(Fuvest – SP) Nesta figura, os ângulos �a, �b, �c e �d medem, 
respectivamente, x2 , 2x, 3x
2 e x. 
O ângulo �e é reto. Qual é a medida do ângulo f̂?
(A) 16° (B) 18° (C) 20° (D) 22°
Atividade 3 Mostre-me 5 MINUTOS
Atividade 3 – Correção 
De acordo com o enunciado da 
questão, temos:
�a =
x
2
�b = 2x
�c =
3x
2
�d = x
(A) 16° (Incorreta)
(B) 18° (Correta)
(C) 20° (Incorreta)
(D) 22° (Incorreta)
Qual é a medida do ângulo f?
Continua...
No quadrilátero que contém esses ângulos, temos:
x 3x 4x2x x 360 3x 360 3x 2x 360 5x 360
2 2 2
360x x 72
5
+ + + = °⇒ + = °⇒ + = °⇒ = °⇒
°
⇒ = ⇒ = °
 
 
   
 
x 72a a 36
2 2
b 2x b 2 72 144
3x 3 72c c c 3 36 c 108
2 2
d x d 72
°
= ⇒ = = °
= ⇒ = ⋅ ° = °
⋅ °
= ⇒ = ⇒ = ⋅ °⇒ = °
= ⇒ = °
Atividade 3 – Correção 
Continua...
No triângulo retângulo, o ângulo g é oposto 
ao vértice ao ângulo d = 72°; portanto, eles 
são congruentes e, então, �g = 72°.
Dessa forma, podemos concluir que:
72 90 f 180 f 180 162 f 18° + ° + = °⇒ = ° − °⇒ = °  
Portanto, a alternativa correta é a B.
Atividade 3 – Correção 
Explorando
O link a seguir disponibiliza o acesso a um applet, que permite a 
constatação de que a soma dos ângulos internos e externos de um 
quadrilátero equivale a 360°.
Para utilizar o applet, movimente com o mouse os vértices do quadrilátero 
e verifique que, independentemente do quadrilátero formado, a soma dos 
ângulos internos será sempre igual a 360°.
https://www.geogebra.org/classic/rcbspcyu
Exploração ativa 10 MINUTOS
https://www.geogebra.org/classic/rcbspcyu
● Verificamos que a soma dos ângulos 
internos e externos de um quadrilátero 
é sempre igual a 360°.
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 
2018.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, Volume 2, Parte 2, Sequência de 
Atividades 6, Aulas 1 e 2, 2023. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-
content/uploads/2022/02/EM-MT-Professor-Parte-II-2%C2%BA-Bimestre.pdf. Acesso em: 19 jan. 2024.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Aluno, Volume 1, Sequência de Atividades 6, 
Aulas 1 e 2, 2023. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-
content/uploads/2023/02/AprenderSempre_LP-MAT_1serieEM_web.pdf. Acesso em: 19 jan. 2024.
Lista de imagens:
Slides 3 a 15: Elaboradas pelo autor.
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/02/EM-MT-Professor-Parte-II-2%C2%BA-Bimestre.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/02/EM-MT-Professor-Parte-II-2%C2%BA-Bimestre.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/AprenderSempre_LP-MAT_1serieEM_web.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/AprenderSempre_LP-MAT_1serieEM_web.pdf
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Você aprendeu?
	Você aprendeu? – Correção 
	Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Atividade 1
	Atividade 1
	Atividade 1 – Correção
	Atividade 1 – Correção
	Atividade 1 – Correção
	Atividade 2
	Atividade 2 – Correção
	Atividade 3
	Atividade 3 – Correção 
	Atividade 3 – Correção 
	Atividade 3 – Correção 
	Explorando
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22