03 - Métodos de discretização (1)

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Professor Me. Cádmo Dias | cadmo.dias@sga.pucminas.br 4179370820959565
Dinâmica das Estruturas
Métodos de discretização | 03/10
Pós-graduação em Engenharia das Estruturas - IEC, PUC Minas
Um dos principais passos de uma análise dinâmica é a 
construção de um modelo matemático que seja condizente à 
estrutura tão precisamente quanto for necessário
Para construir tal modelo, é necessário:
● Listar simplificações consideradas para reduzir o 
modelo físico;
● Listar parâmetros de projeto (a exemplo, o 
dimensionamento e os materiais utilizados);
● Obter desenhos que retratam o modelo analítico
Investigação dinâmica
Investigação dinâmica
Visão geral de uma investigação dinâmica
Figura retirada de Nabarrete (2022)
Os modelos analíticos podem ser divididos em dois grandes 
grupos:
Modelos analíticos
Contínuo Discretizado
Necessita de um número
infinito de graus de liberdade 
para ser analisado
Necessita de um número
finito de graus de liberdade 
para ser analisado
Modelos analíticos
Modelos analíticos de 
uma viga
Figura retirada de Vimieiro (2021)
Desde que os modelos sejam capazes de representar o 
comportamento dinâmico das estruturas, a simplificação 
costuma ser desejada;
A complexidade do modelo depende:
● Do número de variáveis a serem analisadas;
● Da capacidade de processamento disponível;
● Do custo e tempo necessários para a análise
Simplificação de modelos
Simplificação de modelos
Modelos analíticos utilizados 
durante o projeto do Saturno V, 
na década de 60
Figura retirada de Green et al. (1972) apud 
Vimieiro (2021)
Método da Massa 
Concentrada
Método da Massa Concentrada
Os modelos discretizados mais simples são os modelos de 
massa concentrada, pois a massa do sistema é representada 
concentrada em um ponto
Simplificação do modelo contínuo para o modelo de massa 
concentrada
Figuras retiradas de Clough e Penzien (2003)
Método da Massa Concentrada
O modelo da massa concentrada consiste em limitar o número 
de graus de liberdade considerados durante a análise 
dinâmica;
Com isso, esse procedimento é efetivo em sistemas onde 
relativamente grande parte massa está concentrada em 
determinados pontos bem definidos da estrutura;
Entretanto, outras abordagens são recomendadas para 
sistemas onde a massa não é uniformemente distribuída
Método dos 
Deslocamentos 
Generalizados
Método dos Deslocamentos Generalizados
O procedimento dos deslocamentos generalizados se baseia 
no princípio de que o deslocamento de uma estrutura pode ser 
expressado pela soma de uma série padrões de deslocamentos;
Um exemplo clássico que facilita o entendimento desse modelo 
é o deslocamento de uma viga bi-apoiada, onde a Resistência 
dos Materiais diz que o deslocamento desse sistema tende ao 
formato de uma curva senoidal
Método dos Deslocamentos Generalizados
Série senoidal da representação da 
deformação de uma viga
Figura retirada de Clough e Penzien (2003)
Método dos Deslocamentos Generalizados
A utilização de componentes senoidais foi uma escolha 
arbitrária para o exemplo apresentado;
Entretanto, o conceito pode ser generalizado para qualquer 
estrutura que se deforme em uma função de deslocamento 
arbitrária , onde as condições geométricas e de restrições 
da estrutura, além da continuidade dos deslocamentos 
internos; sejam respeitadas
onde: é o perfil de deformação;
 é a amplitude dos termos
Método dos Deslocamentos Generalizados
Algumas notas são válidas quanto ao método dos 
deslocamentos generalizados:
● Mais termos resultam em maior precisão do deslocamento, 
mas maior será o recurso computacional necessário para 
que a solução seja encontrada;
● Cada termo presente na série é um grau de liberdade dos 
números infinitos de GDLs do sistema;
● A grande vantagem do modelo é a forma na qual as curvas 
são aproximadas pelas séries de equações
Método dos Elementos 
Finitos
Unindo conceitos dos dois métodos previamente abordados, o 
Método dos Elementos Finitos (MEF) ganhou grande 
popularidade nos últimos anos junto ao desenvolvimento 
computacional;
O conceito que será aqui apresentado é a base do MEF, sendo 
aplicado a todos os tipos de estrutura: De membros 
unidimensionais, como vigas e pilares; a elementos 
tridimensionais, como sólidos; passando por elementos 
bidimensionais, como placas;
Método dos Elementos Finitos
Uma vez que no presente momento o objetivo é apenas 
apresentar o conceito de elementos finitos, somente elementos 
unidimensionais serão tratados
Seja considerada a viga abaixo, onde sete nós são 
estrategicamente selecionados: Consequentemente, têm-se seis 
elementos
Método dos Elementos Finitos
Representação típica de um 
viga sob os conceitos de 
elementos finitos
Figura retirada de Clough e Penzien (2003)
Os nós nada mais são do que a união dos elementos 
considerados; sendo o deslocamento deles responsáveis por 
definir o perfil de deslocamento da estrutura;
Paralelamente, o tamanho de cada elemento pode ser definido 
arbitrariamente - No entanto, tamanhos homogêneos são 
preferidos visando otimizar a solução numérica;
Apesar da similaridade com o Método dos Deslocamentos 
Generalizados, as funções de deslocamento aqui são chamadas 
de funções de interpolação uma vez que elas definem o 
formato produzido pelos deslocamentos nodais
Método dos Elementos Finitos
Considerando análises que utilizam da discretização, o Método 
dos Elementos Finitos é o que apresenta maior eficiência para 
encontrar deslocamentos tipos distintos de estruturas;
Dentre suas principais vantagens, destacam-se:
● A quantidade de coordenadas dependem, basicamente, da 
quantidade de divisões realizadas na estrutura;
● Como as funções de interpolação para cada segmento 
podem ser iguais, o processamento computacional é 
simplificado;
● As equações utilizadas no método são independentes entre 
si, uma vez que cada cálculo realizado considera 
deslocamentos em volta das vizinhanças dos nós
Método dos Elementos Finitos
Método dos Elementos Finitos
Modelo de elementos finitos de 
uma ponte. Os pontos em verde 
na primeira figura são os nós, 
enquanto as demais figuras 
apresentam modos de vibração 
da resposta dinâmica da 
estrutura
Próximas etapas
Após a obtenção do modelo analítico do ativo, aplicam-se as 
leis da física almejando a obtenção das equações diferenciais 
do movimento que descrevem, em linguagem matemática, o 
modelo analítico;
Após formulado o modelo matemático, a investigação dinâmica 
segue para a solução de equações diferenciais almejando as 
respostas dinâmicas
Próximas etapas
Referências bibliográficas
● Clough, R.; Penzien, J. 2003. Dynamics of Structures. 
Computers & Structures, Inc: Berkeley, EUA.
● Nabarrete, A. 2021. Dinâmica de Estruturas e 
Aeroelasticidade. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. São 
Paulo.
● Vimieiro, C. 2021. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Pontifícia 
Universidade Católica de Minas Gerais. Belo Horizonte.
Referências bibliográficas