matematica ao extremo DL

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- B) \( \sec^{-1}(x) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - D) \( -\cot^{-1}(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \tan^{-1}(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é uma integral padrão que resulta em 
\( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
42. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 - A) \( 2xe^{x^2} \) 
 - B) \( e^{2x} \) 
 - C) \( e^{x^2} \) 
 - D) \( 2e^{x^2} \) 
 - **Resposta: A) \( 2xe^{x^2} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} 
\). 
 
43. **Qual é a solução da equação \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \) 
 - D) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)** 
 - **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 + 4 = 0 \) são complexas, 
resultando na solução \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 
44. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 - A) 2 
 - B) 1 
 - C) 0 
 - D) 4 
 - **Resposta: A) 2** 
 - **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a propriedade conhecida \( \lim_{x \to 
0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
45. **Qual é a integral de \( \cos(x) \)?** 
 - A) \( \sin(x) + C \) 
 - B) \( -\sin(x) + C \) 
 - C) \( \tan(x) + C \) 
 - D) \( \sec(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \sin(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) + C \). 
 
46. **Qual é a transformada de Laplace de \( e^{at} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{s - a} \) 
 - B) \( \frac{1}{s + a} \) 
 - C) \( \frac{1}{s^2 - a^2} \) 
 - D) \( \frac{1}{s^2 + a^2} \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{1}{s - a} \)** 
 - **Explicação:** A transformada de Laplace de \( e^{at} \) é dada pela fórmula \( 
\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \). 
 
47. **Qual é a integral de \( \tan(x) \)?** 
 - A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 - B) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 - C) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 - D) \( \sec(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é conhecida e resulta em \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
48. **Qual é a solução da equação \( y' + 3y = 0 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-3x} \) 
 - B) \( y = Ce^{3x} \) 
 - C) \( y = 3Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{-3x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{-3x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{-3x} \). 
 
49. **Qual é a integral de \( x^n \)?** 
 - A) \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) 
 - B) \( \frac{x^{n}}{n} + C \) 
 - C) \( \frac{x^{n+1}}{n} + C \) 
 - D) \( n x^{n-1} + C \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( x^n \) é dada por \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). 
 
50. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?** 
 - A) 3 
 - B) 1 
 - C) 0 
 - D) 6 
 - **Resposta: A) 3** 
 - **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a propriedade conhecida \( \lim_{x \to 
0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \), temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
51. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x} \)?** 
 - A) \( \ln|x| + C \) 
 - B) \( \ln(x) + C \) 
 - C) \( e^x + C \) 
 - D) \( x + C \) 
 - **Resposta: A) \( \ln|x| + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\ln|x| + C \). 
 
52. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 \)?** 
 - A) \( 4x^3 + 6x^2 + 6x \) 
 - B) \( 4x^3 + 6x + 3 \) 
 - C) \( 4x^3 + 2x^2 + 3 \) 
 - D) \( 3x^2 + 6x + 3 \) 
 - **Resposta: A) \( 4x^3 + 6x^2 + 6x \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da potência, a derivada é \( f'(x) = 4x^3 + 6x^2 + 6x \). 
 
53. **Qual é a solução da equação \( y'' - 4y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - B) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - C) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 - D) \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \) 
 - **Resposta: A) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \)** 
 - **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 - 4 = 0 \) são \( r = \pm 2 \), 
resultando na solução \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \). 
 
54. **Qual é a integral de \( e^{-x} \)?** 
 - A) \( -e^{-x} + C \) 
 - B) \( e^{-x} + C \) 
 - C) \( -\ln(x) + C \) 
 - D) \( e^x + C \) 
 - **Resposta: A) \( -e^{-x} + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( e^{-x} \) é \( -e^{-x} + C \). 
 
55. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 - B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
 - C) \( \frac{1}{2x} \) 
 - D) \( \frac{1}{2x^{3/2}} \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}} \).