Teláris Essencial Matemática 9 Ano

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MATEMÁTICA
COMPONENTE CURRICULAR:
MAT EMÁT I C A
MANUAL DO PROFESSOR
E N S I N O F U N DA M E N TA L 
 A N O S F I N A I S
L U I Z R O B E R T O D A N T E F E R N A N D O V I A N A
PNLD 2024-2027 PNLD 2024-2027
ANOS FINAIS... ANOS FINAIS...
Obras Didáticas Obras Didáticas
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
1ª edição
São Paulo, 2022
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
E N S I N O F U N DA M E N TA L A N O S F I N A I S
LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mes-
quita Filho” (Unesp-SP), campus Rio Claro
Doutor em Psicologia da Educação pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP)
Licenciado em Matemática pela Unesp-SP – Rio Claro
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp-SP – Rio Claro
Atuou como professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na rede pública de ensino 
Autor de materiais didáticos e paradidáticos de Matemática para estudantes e professores 
da Educação Básica
FERNANDO VIANA
Doutor em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
Licenciado e mestre em Matemática pela UFPB
Professor efetivo do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba (IFPB)
Professor do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e de cursos pré-vestibulares há mais 
de 20 anos
Autor de materiais didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio
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“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas
com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada”.
Direção executiva: Flávia Bravin
Direção de negócio: Volnei Korzenieski
Gestão editorial: Alice Ribeiro Silvestre
Gestão de planejamento: Eduardo Kruel Rodrigues
Gestão de projeto digital: Tatiany Renó
Gestão de área: Rodrigo Pessota
Coordenação de área: Pamela Hellebrekers Seravalli
Edição: Marina Muniz Campelo, Débora Bezerra L. Libório, 
Nadili L. Ribeiro, Juliana Bomjardim, Vanessa Chevitarese de Oliveira e 
Cecília Limeira Longo (assist.), Rogério Fernandes Cantelli (digital)
Planejamento e controle de produção: Vilma Rossi, Camila Cunha, 
Adriana Souza e Isabela Salustriano 
Revisão: Mariana Braga de Milani (ger.), Ana Paula C. Malfa, 
Flavia S. Vênezio, Heloísa Schiavo, Hires Heglan e Sueli Bossi 
Arte: Claudio Faustino (ger.), Erika Tiemi Yamauchi (coord.), 
Alexandre Miasato Uehara (edição de arte), Estúdio Diagrami (diagramação)
Iconografia e tratamento de imagens: Roberto Silva (ger.), 
Douglas Cometti e Lucas Maia (pesquisa iconográfica), 
Emerson de Lima (tratamento de imagens)
Direitos autorais: Fernanda Carvalho (coord.), Emília Yamada, 
Erika Ramires e Carolyne Ribeiro
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Erika Ramires e 
Tempo Composto Ltda.
Ilustrações: Diagrami, Estúdio Mil, Ericson Guilherme, Felix Reiners, 
Guilherme Asthma, Luis Moura, Mauro Souza, Michel Ramalho, 
Murilo Moretti, Paulo Manzi, Thiago Neumann, Vespúcio Cartografia, 
Rodrigo Pascoal e Tiago Donizete Leme
Cartografia: Mouses Sagiorato e Vespúcio Cartografia
Design: Flávia Dutra (proj. gráfico, capa e Manual do Professor)
Ilustração de capa: Paula de Aguiar
Pré-impressão: Alessandro de Oliveira Queiroz,  
Débora Fernandes de Menezes, Fernanda de Oliveira,  
Pamela Pardini Nicastro e Valmir da Silva Santos
Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A.
Alameda Santos, 960, 4o andar, setor 1
Cerqueira César – São Paulo – SP – CEP 01418-002
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2022
Código da obra CL 720434
CAE 802130 (AL) / 802131 (PR)
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens 
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de créditos e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, 
eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, 
são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Impressão e acabamento
 
 
Dante, Luiz Roberto 
 Teláris Essencial : Matemática : 9º ano / Luiz Roberto 
Dante, Fernando Viana. -- 1. ed. -- São Paulo : Ática, 
2022. 
 (Teláris Essencial Matemática) 
 
Bibliografia 
Suplementado pelo manual do professor 
ISBN 978-65-5767-497-0 (aluno) 
ISBN 978-65-5767-498-7 (professor) 
 
 
1. Matemática (Ensino fundamental Ð Anos finais) I. Título 
II. Viana, Fernando 
 
CDD 372.7 22-2467
II
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A p r e s e n t a ç ã o
III
Caro professor,
Este Manual do professor foi pensado com o objetivo de auxiliar você no desenvolvi-
mento do seu trabalho com esta coleção. Esperamos que as proposições aqui apresenta-
das permitam a construção de importantes percursos com os estudantes e favoreçam o 
desenvolvimento de inúmeras habilidades e de significativas conquistas.
Convidamos você a nos acompanhar em algumas reflexões sobre os principais pres-
supostos teóricos que embasam o ensino e a aprendizagem de Matemática, bem como 
conceitos e concepções relativos à prática pedagógica que foram nossas referências para 
pensar este material, como letramento matemático, interdisciplinaridade, resolução e for-
mulação de problemas, raciocínio lógico-matemático, pensamento computacional, entre 
outros. Também debatemos estratégias metodológicas que estejam em conformidade 
com as demandas do mundo atual e das culturas juvenis, tão diversas e tecnológicas.
Neste Manual, você também encontrará algumas ideias para a utilização desta coleção, 
que foi estruturada respeitando as diretrizes e normas oficiais relativas à Educação, como 
a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e outros documentos norteadores de ensino 
e pesquisas. Você também terá à disposição sugestões de recursos didáticos auxiliares.
Além disso, apresentamos uma seleção de sites, textos, podcasts e vídeos visando 
sua formação continuada, com o objetivo de mantê-lo sempre atualizado, tornando-o 
um permanente pesquisador de sua própria prática, para que possa contribuir para uma 
aprendizagem mais significativa e em consonância com as necessidades e os desejos dos 
estudantes.
Por fim, pedimos que você compartilhe conosco suas vitórias, sucessos, dúvidas e difi-
culdades, enviando-nos sugestões para que, juntos, possamos melhorar este instrumento 
de troca, formação e transformação, que é o livro didático. Temos muitos objetivos em 
comum, principalmente o de trilhar novos caminhos da Educação Matemática, para que 
nossos estudantes aprendam a conhecer, a fazer, a conviver e a ser.
Os autores
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IV
S u m á r i o
Parte geral
 Conheça seu Manual ................................................................................. V
O ensino e a aprendizagem de Matemática 
nos Anos Finais do Ensino Fundamental ................................. VI
 A BNCC ............................................................................................................. VII
Educação por competências: integração entre 
conhecimentos, habilidades, atitudes e valores ............... VII
Competências gerais da BNCC ............................................. VIII
Competências específicas de Matemática 
no Ensino Fundamental ................................................................. X
Unidades temáticas e habilidades de Matemáticaessa temática contribui para o desenvolvimento das 
competências gerais 7, 9 e 10 e da competência específica 7 de 
Matemática da BNCC.
Educação Financeira
Munir os estudantes de conhecimentos, habilidades e com-
petências para que se sintam preparados para enfrentar as si-
tuações desafiadoras do cotidiano é um dos objetivos atuais do 
ensino da Matemática.
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Educar financeiramente é muito mais do que apresentar con-
teúdos sobre finanças; é criar oportunidades para que os estu-
dantes possam refletir sobre as próprias ações, percebendo que 
cada uma delas, mesmo que pequena, pode gerar consequências 
para eles e para as pessoas com as quais convivem, e que as atitu-
des de cada um no presente podem gerar, além de consequências 
imediatas, reflexos no futuro.
As aulas de Matemática constituem um ótimo momento 
para evidenciar a diferença, por exemplo, entre necessidade e 
desejo, essencial e supérfluo, consumo e consumismo, preço e 
valor, bens individuais e bens coletivos/públicos. Nesse sentido, 
essa temática contribui para o desenvolvimento da competên-
cia geral 6 e da competência específica 6 de Matemática da 
BNCC.
A macroárea Economia é composta dos Temas Contemporâneos 
Transversais Trabalho, Educação Financeira e Educação Fiscal.
Educação Fiscal
A Matemática tem muito a contribuir para a construção de um 
mundo com justiça social, à medida que tem como um dos ob-
jetivos levar os estudantes a compreender a importância de se 
tornarem cidadãos participativos e cientes dos próprios direitos, 
deveres e responsabilidades sociais. Nesse sentido, a Educação 
fiscal nas aulas tem o papel de despertar o interesse pelo funcio-
namento da sociedade, tomando consciência da função socioe-
conômica dos tributos e da importância da aplicação e da fisca-
lização dos recursos públicos que vão se tornar benefícios para 
toda a população.
Esse trabalho pode ser feito por meio da coleta e análise de no-
tas fiscais e da análise de contas de luz e de água para perceber 
os impostos que incidem nos produtos e serviços, conscientizan-
do-se também dos tributos que incidem sobre o salário do traba-
lhador. Desse modo, os estudantes desenvolvem a competência 
geral 6 e a competência específica 6 de Matemática da BNCC.
Educação para o Consumo
Aspectos relativos aos direitos do consumidor também neces-
sitam da Matemática para serem mais bem compreendidos, por 
exemplo, para analisar a composição e a qualidade dos produtos e 
avaliar o impacto deles na saúde e no meio ambiente ou para ana-
lisar a relação entre menor preço/maior quantidade. Neste caso, 
você pode ajudar os estudantes a compreender que ofertas como 
“Compre 3 e pague 2” nem sempre são vantajosas, pois geral-
mente são criadas para produtos que não têm muita saída – não 
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XVII
havendo a necessidade de comprá-los em grande quantidade – ou 
que estão com o prazo de validade próximo do vencimento.
Habituar-se a analisar essas situações é fundamental para 
que os estudantes possam reconhecer e criar estratégias para se 
protegerem de propagandas enganosas e de estratagemas de 
marketing a que são submetidos como consumidores. Desse 
modo, os estudantes desenvolvem a competência geral 7 e a 
competência específica 2 de Matemática da BNCC.
Educação para o Trânsito
No trânsito, o fator humano sempre está presente. Trata-se, 
portanto, de um problema coletivo. Motoristas e pedestres divi-
dem as responsabilidades, os direitos e os deveres nesse amplo 
espaço de convivência. Mas será que ser conhecedor do Código 
de Trânsito Brasileiro e analisar dados quantitativos sobre a quan-
tidade de acidentes já nos garante uma atitude consciente e ci-
dadã nas ruas, nas avenidas e nas estradas que frequentamos? 
Nas aulas de Matemática, além de ler e interpretar informa-
ções sobre o trânsito no Brasil, os estudantes devem ser incen-
tivados a refletir sobre práticas de companheirismo, tolerância, 
solidariedade, cooperação e comprometimento, para que possam 
aplicá-las nos diversos espaços de convivência nos quais transi-
tam. Esse tema contribui para o desenvolvimento da competência 
geral 9 e da competência específica 8 de Matemática da BNCC.
Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes 
históricas e culturais Brasileiras
Abordagens propostas a partir desse tema podem afetar a 
vida dos seres humanos de maneira local, regional e global e dar 
subsídios para a construção de uma pedagogia da diversidade, 
que garanta o reconhecimento da importância histórica e cultural 
africana, afro-brasileira e indígena.
É preciso buscar a superação de opiniões e contextos pauta-
dos em abordagens estereotipadas das diferenças étnico-raciais 
e buscar o rompimento dos comportamentos sociais equivoca-
dos, que tomam as etnias como modo de classificação social e de 
demarcação de diferenças.
A ideia é dar lugar a uma educação capaz de valorizar a his-
tória e os saberes produzidos por diferentes povos, possibilitar a 
compreensão das características naturais e culturais nas diferen-
tes sociedades e lugares, e propor o reconhecimento dos diversos 
referenciais para a produção, circulação e transmissão de conhe-
cimentos. Isso significa levar para a escola uma perspectiva com-
prometida com a diversidade a ponto de promover a execução 
de ações, projetos, novos desenhos curriculares e novas posturas 
pedagógicas que atendam ao preceito legal da educação como 
direito social capaz de garantir também o direito à diferença, no 
sentido de viabilizar a construção de uma sociedade mais demo-
crática e justa. Nesse sentido, essa temática contribui para o de-
senvolvimento das competências gerais 9 e 10 da BNCC.
Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso
A Matemática certamente é uma área do conhecimento reple-
ta de possibilidades que incentivam o pensar. Atividades envol-
vendo a lógica, o raciocínio e a memória devem fazer parte dos 
processos de ensino e de aprendizagem da Matemática. A memó-
ria é uma importante função cognitiva do ser humano e está inti-
mamente ligada à linguagem e à atenção. Também não podemos 
deixar de mencionar a memória como identidade.
Resolver desafios e inferir e conjecturar sobre diversas questões 
são habilidades essenciais e podem propiciar significativas evolu-
ções cognitivas. Os estudantes, a partir de diferentes experimen-
tações envolvendo essas habilidades, devem ser incentivados a 
reconhecer a importância dos idosos na sociedade e a importância 
da Matemática na preservação da memória e no desenvolvimen-
to das funções cognitivas dos indivíduos. Nesse sentido, essa te-
mática também contribui para o desenvolvimento da competên-
cia geral 9 da BNCC.
A macroárea Cidadania e civismo é composta dos temas Vida Familiar e 
Social, Educação para o Trânsito, Educação em Direitos Humanos, Direitos 
da Criança e do Adolescente e Processo de envelhecimento, respeito e 
valorização do Idoso.
Saúde
Dados estatísticos sobre fatores que interferem na saúde do 
cidadão, quando trabalhados adequadamente na sala de aula, 
podem conscientizar os estudantes e, indiretamente, a família de-
les. Alguns contextos apropriados para a aprendizagem de con-
teúdos matemáticos são: índices de fome, subnutrição e mortali-
dade infantil em várias regiões do país, particularmente naquela 
em que os estudantes vivem; médias de desenvolvimento físico 
no Brasil e em outros países; estatísticas sobre doenças (den-
gue, febre amarela, covid-19 e outras) e prevenção contra elas; 
levantamento de dados sobre saneamento básico ou condições 
de trabalho; dieta básica; entre outros. Nesse sentido, essa temá-
tica contribui para o desenvolvimento da competência geral 8 e a 
competência específica 4 de Matemática da BNCC.
O TemaContemporâneo Transversal Saúde compõe a macroárea Saúde, 
junto com o Tema Contemporâneo Transversal Educação Alimentar e 
Nutricional.
Trabalho
Situações relacionadas a esse tema, como pesquisas dos es-
tudantes na escola ou na comunidade a respeito das profissões, 
podem ser contextos interessantes a serem explorados em sala 
de aula.
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XVIII
Na faixa etária em que eles estão, é pertinente explorar proje-
tos de vida e escolhas e especificidades do mundo do trabalho, de 
modo a trazer uma visão ampla sobre dilemas, desafios, relações, 
tendências e oportunidades no mundo do trabalho, por meio da 
análise de dados em tabelas e gráficos relacionados a pesquisas 
nacionais sobre esses temas. Nesse sentido, essa temática con-
tribui para o desenvolvimento da competência geral 6 da BNCC.
Vida Familiar e Social
A Matemática está presente em inúmeras situações do coti-
diano, no mundo do trabalho e da família. Portanto, o ensino e a 
aprendizagem da Matemática devem estar vinculados à realidade 
social em que vivemos.
O conhecimento matemático deve fornecer aos estudantes con-
dições de analisar e até mesmo criticar questões sociais, econômi-
cas e políticas. Para isso, as aulas de Matemática devem incentivar 
a criação de estratégias pessoais, a argumentação, a criatividade, o 
trabalho em equipe, o espírito crítico e o desenvolvimento da auto-
nomia. O uso dos números e das operações, a leitura e a interpreta-
ção de dados quantitativos, a destreza com as unidades de medida, 
as relações multiescalares, as proporções, os padrões, a dedução de 
propriedades e a verificação de conjecturas são algumas das inú-
meras habilidades e dos conceitos aplicados diariamente nas dife-
rentes situações do cotidiano de adultos, jovens e crianças.
Assim, cada estudante é um ser social, dotado de história, vi-
vências, conhecimentos e desejos pessoais. O ensino da Matemá-
tica deve, portanto, identificar, acolher e preocupar-se com sabe-
res, desejos e necessidades individuais e coletivos e construir-se 
de acordo com esses cenários. Nesse sentido, essa temática con-
tribui para o desenvolvimento da competência geral 8 e a compe-
tência específica 3 de Matemática da BNCC.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Trans-
versais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. 
Brasília, DF, 2019. Disponível em: Disponível em: http://basenacio 
nalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualiza 
cao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 26 maio 2022.
O documento é um dos materiais elaborados pelo MEC após a ho-
mologação da BNCC. Ele descreve de modo detalhado o contexto 
histórico percorrido pelos TCTs e a ênfase dada a cada um deles.
Sugestão de leitura 
Etnomatemática
Outra possibilidade de integrar os conhecimentos matemáti-
cos – tanto entre as diferentes Unidades temáticas quanto a ou-
tras áreas do conhecimento – é a inserção de dados e reflexões 
acerca da Etnomatemática. 
Esse trabalho também favorece a percepção e a compreensão 
de que a Matemática é uma ciência humana, fruto da construção 
de vários grupos sociais. Isso porque a construção do conheci-
mento acontece em todas as culturas, para atender às demandas 
de cada uma, de acordo com as próprias necessidades e concep-
ções. A Matemática, cuja gênese encontra-se na resolução de 
problemas reais, também faz parte desse conhecimento cultural 
e histórico – e essa percepção é importante para a compreensão 
dos objetivos de aprendizagem. Além disso, o estudo da Etnoma-
temática pode favorecer a construção do respeito e da valoriza-
ção da diversidade cultural.
O matemático e professor brasileiro Ubiratan D’Ambrosio (1932-
-2021), precursor e idealizador desse tema de estudo, expõe na obra 
Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade (2019, 
p. 2) que a Etnomatemática busca, dentro de um “ambiente natu-
ral, social, cultural e imaginário” (etno), “explicar, aprender, conhe-
cer e lidar com” (matema) “modos, estilos, artes, técnicas” (tica).
Professor Ubiratan 
D’Ambrosio, doutor em 
Matemática e teórico 
da Educação. Foto de 
2007.
Assim, podemos compreender que a Etnomatemática aborda 
relações interculturais, propondo que a Matemática seja explorada 
em um contexto cultural próprio para explicar os procedimentos de 
formação, organização e transmissão de conhecimentos em siste-
mas culturais variados e para conduzir o estudo da Matemática a 
novas maneiras de relação intercultural.
Abrangente, essa área de estudo busca identificar e valorizar a 
pluralidade cultural do nosso país, de modo a corresponder às ne-
cessidades educacionais em um nível de referência comum, para 
que se possa estabelecer relações significativas entre a teoria e a 
prática e entre as propostas escolares e as atividades do cotidia-
no, no âmbito social e cultural.
Por exemplo, a maneira como um vendedor e um economista 
vivenciam a Matemática é diferente, por isso é importante enfa-
tizar a diversidade em razão do contexto social e cultural em que 
cada um está inserido. Nesta coleção você encontrará propostas 
relacionadas à Etnomatemática, no que se refere a diferentes so-
ciedades e grupos culturais.
Educação integral
Diante de tantas transformações que culminam no mundo 
contemporâneo (tão espontâneo, complexo, dinâmico, fluido e 
incerto), nos parece evidente que os desafios com os quais os es-
tudantes terão de lidar permanecerão em constante mudança e 
transformação. Assim, cabe a nós a percepção de que os modos 
de ensinar e aprender não podem mais ser tão rígidos, pautados 
apenas na transmissão de saberes; eles devem, entre outras fa-
cetas, preconizar a complexidade e a capacidade de se reinventar 
diante de tantas mudanças.
Na premissa da educação integral e considerando o mundo 
atual, em que os estudantes cursam a Educação Básica, e fazendo 
uma projeção futura, para quando se tornarem adultos em um 
mundo sobre o qual não é possível fazer muitas previsões, sabe-
mos que eles poderão atuar em profissões que ainda não existem. 
Por essa razão, é fundamental repensar a educação e as práticas 
pedagógicas, bem como o papel do professor, as temáticas e as 
metodologias utilizadas.
A seguir, propomos reflexões a respeito dessa temática.
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http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf
XIX
Metodologias ativas
O estudante é e deve ser o centro de todo o processo educa-
cional, o autor da própria aprendizagem. Desse modo, espera-se 
que ele possa construir autonomia no processo de aprendizagem, 
sendo também o protagonista da própria formação, de maneira 
que, aprendendo a aprender, possa continuar o processo mesmo 
quando já tiver vivenciado toda a Educação Básica formal.
Metodologias ativas são um conjunto de estratégias de ensino que têm o 
objetivo de conduzir o estudante à ação para que ele aprenda de maneira 
participativa e autônoma.
Objetivando esse protagonismo, sugerimos a proposição cons-
tante de metodologias ativas de modo que o estudante, fazendo, 
possa aprender mais e de maneira mais significativa.
As metodologias ativas constituem alternativas pedagógicas que colo-
cam o foco do processo de ensino e de aprendizagem no aprendiz, envol-
vendo-o na aprendizagem por descoberta, investigação ou resolução de 
problemas.
[...] As metodologias voltadas para a aprendizagem consistem em uma 
série de técnicas, procedimentos e processos utilizados pelos professores 
durante as aulas, a fim de auxiliar a aprendizagem dos alunos. O fatode elas 
serem ativas está relacionado com a realização de práticas pedagógicas para 
envolver os alunos, engajá-los em atividades práticas nas quais eles sejam 
protagonistas da sua aprendizagem. Assim, as metodologias ativas procu-
ram criar situações de aprendizagem nas quais os aprendizes possam fazer 
coisas, pensar e conceituar o que fazem e construir conhecimentos sobre os 
conteúdos envolvidos nas atividades que realizam, bem como desenvolver 
a capacidade crítica, refletir sobre as práticas realizadas, fornecer e receber 
feedback, aprender a interagir com colegas e professor, além de explorar ati-
tudes e valores pessoais. (BACICH; MORAN, 2018, p. 27-28)
Existem várias estratégias para trabalhar com metodologias 
ativas e cabe perceber quais delas são as mais interessantes e 
adequadas para cada grupo de estudantes, quais funcionam me-
lhor e promovem o maior engajamento e atuação de cada turma.
As diferentes estratégias mencionadas a seguir, e tantas ou-
tras que você pode conhecer, são sugestões de práticas que viabi-
lizam a concepção de que o estudante aprende quando age para 
a aprendizagem. Contudo, é preciso, paralelamente, repensar a 
concepção de educação escolar, seu papel como professor e a or-
ganização dos espaços pedagógicos.
Acompanhe algumas descrições de metodologias ativas que 
podem ser adotadas no trabalho com os Volumes desta coleção.
Aprendizagem baseada em problemas 
Do inglês problem based learning (PBL), essa aprendizagem 
consiste na proposição de um problema amplo aos estudantes, 
geralmente transdisciplinar. Eles devem pesquisar, modelar e pro-
 
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por soluções criativas e possíveis para esse problema. Para isso, 
mobilizam-se competências específicas e habilidades de diversas 
áreas do conhecimento. É possível trabalhar individualmente ou 
em grupos, viabilizando uma abordagem mais personalizada e 
atenta à diversidade em sala de aula.
Aprendizagem em equipe
Do inglês team based learning (TBL), essa estratégia propõe 
aos estudantes o trabalho em equipes, em grupos com mais de 
4 estudantes com perfis variados e que devem atuar conjunta-
mente por um período preestabelecido. Dessa maneira, a apren-
dizagem pode acontecer na interação entre os pares. Para isso, é 
importante que as proposições provoquem e possibilitem a troca 
de saberes e opiniões. Essa estratégia também pode contribuir 
para o desenvolvimento de competências gerais.
KRUG, Rodrigo de Rosso et al. O “bê-á-bá” da aprendizagem 
baseada em equipe. Revista Brasileira de Educação Médica. Dis- 
ponível em: https://www.scielo.br/j/rbem/a/w5Tg86RL75mkjX7 
yZhmnQ6F/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 6 maio 2022.
O artigo apresenta particularidades para o trabalho com as eta-
pas da metodologia ativa TBL.
Sugestão de leitura 
Sala de aula invertida
A ideia central dessa metodologia é propiciar tempo aos es-
tudantes para que possam ter contato com a parte teórica da 
aprendizagem em outros espaços – por exemplo, em casa. Assim, 
o tempo na escola ganha finalidade didática e pode ser utilizado 
na realização de atividades, como um debate, um problema ou 
uma investigação. Recursos tecnológicos digitais, como vídeo ou 
coleta de informações na internet, também podem ser opções de 
estudo antes da aula.
A abordagem da sala de aula invertida não deve ser novidade para pro-
fessores de algumas disciplinas [...]. Mesmo nas disciplinas das ciências exa-
tas, muitos professores podem estar usando estratégias de ensino que têm 
alguma semelhança com a sala de aula invertida. Eles podem não estar 
conscientes dessa terminologia [...]. 
[...] Os professores podem iniciar com o básico sobre a inversão da sala 
de aula e, à medida que vão adquirindo experiência, passar a usar a apren-
dizagem baseada em projetos ou em investigação. Com isso, vão se rein-
ventando, criando cada vez mais estratégias centradas nos estudantes ou 
na aprendizagem, em vez das aulas expositivas que costumavam ministrar. 
(BACICH; MORAN, 2018, p. 30)
Rotação por estações
Nessa metodologia, cria-se um tipo de circuito no espaço pe-
dagógico com diferentes “estações”. Em cada estação propõe-se 
uma atividade independente, com início, meio e fim, mas todas 
elas devem estar inter-relacionadas com o assunto a ser trabalha-
do. Os estudantes, organizados em grupos de até 4 integrantes, 
devem passar por todas as estações.
Essa metodologia é uma estratégia interessante para explorar 
diferentes habilidades relacionadas a um mesmo objeto do co-
nhecimento e para proporcionar distintas abordagens para uma 
mesma habilidade.
Trabalho individual e em grupo
A educação por competências nos leva a refletir sobre várias 
características do trabalho pedagógico, incluindo a organiza-
ção da sala de aula. Saímos de uma concepção em que a sala 
de aula modelo era formada por estudantes sentados em fila e 
que se mantinham silenciosamente atentos às aulas e atividades. 
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Contudo, para que cada estudante seja autor do próprio proces-
so de aprendizagem, a interação coletiva é considerada não ape-
nas benéfica como necessária ao processo.
Para isso, é preciso planejar e pensar com antecedência os gru-
pos de trabalho, considerando necessidades, interesses e conhe-
cimentos prévios dos estudantes, além da diversidade de aspec-
tos étnicos e culturais e das diferentes maneiras de aprender e 
de se relacionar. A diversidade humana, que naturalmente existe 
dentro da sala de aula, passa a ser considerada valiosa, pois pode 
ampliar e enriquecer as práticas educacionais.
Os estudantes podem trabalhar individualmente, em duplas, 
pequenos grupos, grupos grandes ou até no coletivo da sala de 
aula. As diferentes possibilidades precisam estar atreladas aos 
objetivos da aula (ou de uma sequência de aulas) e às metodolo-
gias empregadas. O trabalho em grupo pode favorecer o desen-
volvimento de competências gerais, principalmente aquelas rela-
cionadas à convivência, como as competências gerais 9 e 10 da 
BNCC, pois é preciso mobilizar atitudes e valores como empatia, 
cooperação e escuta.
Isso porque na vida social convivemos com o pluralismo de 
ideias, ou seja, as pessoas são diferentes e podem pensar de ma-
neiras diferentes. Por consequência, nos grupos de estudantes é 
muito provável existirem distintos modos de refletir, problema-
tizar, organizar e propor soluções. Com isso, é possível transpor 
para as interações escolares noções de convívio social, de acordo 
com atitudes, costumes e valores republicanos, desprovidos de 
preconceitos e de discriminações relativas à condição socioeco-
nômica, origem étnico-racial, gênero, entre outros.
Essa possibilidade de variar a organização dos espaços escola-
res, promovendo a interação, também pode contribuir para aten-
der aos diferentes perfis de estudantes, incluindo as diversidades 
étnicas, culturais, neurodiversidade e deficiências.
Planejar situações para que os estudantes possam desenvolver a 
autonomia, o protagonismo, o convívio, o pluralismo de ideias, o convívio 
social republicano e a argumentação pode favorecer a formação integral 
de cidadãos críticos, participativos, aptos a uma leitura consciente das 
situações e engajados na transformação do mundo, contribuindo para 
uma sociedade mais justa, democrática e igualitária.
A prática docente
Se você, professor, não é mais o responsável por “transferir” 
o conhecimento, por “ensinar”, qual é, então, sua função nessa 
nova perspectiva? A de organizador, mediador, orientador, pro-
motor. Isso porque, mudando a autoria do processo pedagógico 
para o estudante, ao professor cabe a responsabilidade de plane-
jar, analisar, promover e acompanhar o percurso. Os professoresdeixam de ser transmissores do conhecimento para se tornarem 
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promotores e mediadores dos processos que acolhem e valorizam 
a diversidade, o crescimento individual e coletivo.
O professor promotor/mediador constrói pontes para que os 
estudantes trilhem o caminho. E isso não é o mesmo que ensinar, 
porque, na verdade, quem aprende é o estudante: ele estabelece-
rá relações entre as novas aprendizagens e aquelas que já tinha 
para construir uma grande teia de conexões. Promover e mediar é, 
exatamente, contribuir para que essas conexões e aprendizagens 
aconteçam.
De acordo com Demo (2001), existem algumas características 
e práticas que podem favorecer a formação e prática dos pro-
fessores nessa nova perspectiva. Acompanhe, a seguir, algumas 
reflexões a respeito.
 ⓿ Pesquisa: a prática de pesquisa confere ao professor compe-
tências para resolver problemas que envolvem observação, 
investigação, análise e proposição de soluções possíveis para 
auxiliar os estudantes nos processos de aprendizagem.
 ⓿ Autoria: considerando a diversidade como inerente à humani-
dade e ao compromisso com a educação integral, o professor 
precisa ser formulador da própria proposta e prática, para que 
elas estejam de acordo com as necessidades dos grupos de 
estudantes.
 ⓿ Teoria e prática: é preciso conhecer as teorias e os pressupos-
tos, mas é fundamental a atenção para o estudante e para o 
grupo, sabendo identificar o que funciona ou não em cada 
realidade.
 ⓿ Atualização: a vida é movimento e as mudanças acontecem 
cada vez mais rapidamente, impondo ao professor a necessi-
dade da busca de novas referências, informações, descobertas, 
a fim de tentar acompanhar as mudanças significativas que 
vêm acontecendo não só na educação.
 ⓿ Tecnologia: o uso de recursos tecnológicos em sala de aula não 
é mais só uma questão de “falar a mesma língua que os estu-
dantes”, pois a tecnologia amplia as possibilidades do trabalho 
pedagógico e contribui para a aprendizagem significativa.
 ⓿ Interdisciplinaridade: o professor mediador, que trabalha com 
contextualização e educação integral, precisa pensar de ma-
neira interdisciplinar, a fim de identificar possibilidades de pro-
posições e relações que favoreçam a aprendizagem.
 ⓿ Aprendizagem: o professor, na nova perspectiva, define-se 
pela aprendizagem e não pelo ensino – e talvez essa seja a 
maior responsabilidade: ao olhar para um grupo e identificar 
as particularidades, potencialidades e necessidades de cada 
estudante, encontra-se a razão de ser da atividade docente.
Culturas juvenis
Partindo novamente da premissa da educação integral e da 
autoria do estudante no processo educativo, torna-se fundamen-
tal refletirmos sobre os diferentes perfis, interesses e característi-
cas de aprendizagem que compõem os grupos.
De acordo com Coll (2003), a escola deve identificar os diver-
sos fatores que se relacionam com a aprendizagem, que podem 
ser de natureza cognitiva, emocional, afetiva e/ou social, para 
atender à diversidade. 
A qualidade de um sistema educativo está estreitamente relacionada – 
sobretudo nos níveis correspondentes à educação básica – a sua capacidade 
de satisfazer as necessidades educativas e de formação de todos os alunos, 
ou seja, a sua capacidade de diversificar e de ajustar a ação educativa às ca-
racterísticas individuais e à ampla gama de capacidades, interesses e moti-
vações demonstrados por alunos e alunas diante da aprendizagem escolar. 
(COLL, 2003, p. 2)
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Assim, olhar e respeitar os estudantes é, também, reconhe-
cer as culturas juvenis como inerentes ao processo educativo: os 
jovens não deixam em casa os próprios interesses, gostos e co-
nhecimentos e chegam à escola desprovidos de individualidade. 
Muito pelo contrário, a escola precisa acolher tudo isso, afinal, ela 
não é – e jamais poderá ser – um mundo à parte, mas parte do 
mundo, considerando que os estudantes participam e atuam em 
diversos grupos, em várias instâncias da própria vida e até mes-
mo do espaço escolar, estreitando as relações com alguns deles 
e estabelecendo-se como parte de uma comunidade. Esse movi-
mento, natural e necessário à construção da identidade, resulta 
em categorias socialmente produzidas e cada uma delas adota 
maneiras próprias de ler, interpretar e ressignificar a cultura em 
que está socialmente inserida, caracterizando uma cultura juvenil.
À escola, então, cabe reconhecer e valorizar as culturas juve-
nis e, mais do que isso, a diversidade em todas as manifestações, 
como uma característica da sociedade plural, sem qualificações, 
capacitismo e juízos de valor, além de proporcionar modos de 
aprendizagem que contemplem e acolham essa diversidade.
Podemos definir culturas juvenis como os modos de vida, práticas sociais, 
gostos, interesses e saberes específicos que envolvem uma gama de 
estilos, escolhas, linguagens e ações. Por isso mesmo usamos o plural: 
culturas juvenis, uma vez que é impossível unificá-las e dependem de 
inúmeros aspectos, entre eles territorialidades, fatores socioeconômicos, 
personalidades, interesses.
Cultura de paz
Ao prover, dentro da escola, práticas, atitudes e comporta-
mentos de respeito e acolhimento, considerando a diversidade 
inerente à humanidade, podemos construir e contribuir para a 
cultura de paz.
A cultura de paz pode ser entendida como um conjunto de va-
lores, atitudes e comportamentos fundamentais para o respeito 
à vida, os direitos humanos e a garantia de liberdades fundamen-
tais do ser humano.
Em tempos de guerra e de falta de respeito à vida, é preciso 
enxergar a paz como caminho e destino da educação, promoven-
do a cultura da não violência por meio de um projeto criado co-
letivamente por toda a comunidade escolar, envolvendo decisões 
curriculares e metodológicas.
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A Unesco, por meio da publicação do texto “Cultura de paz no 
Brasil”, afirma que a educação não violenta favorece:
⓿ aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, bem 
como os nossos direitos; 
⓿ aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferenças e simila-
ridades;
⓿ desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no diálogo e 
na compreensão intercultural;
⓿ ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas para resolve-
rem seus conflitos, experimentarem conflitos utilizando maneiras 
construtivas de mediação e estratégias de resolução;
⓿ promover valores e atitudes de não violência – autonomia, respon-
sabilidade, cooperação, criatividade e solidariedade;
⓿ capacitar estudantes a construírem juntos, com seus colegas, os 
seus próprios ideais de paz. (UNESCO, [s. d.])
Contudo, não há que se confundir paz com falta de diálogo e 
argumentação. Muito pelo contrário, é preciso promover o deba-
te, a troca de ideias e opiniões, auxiliando os estudantes a com-
preender que pluralismo de ideias é algo positivo e não motivo 
para violência. O diálogo nutre-se de humildade, confiança e res-
peito, em uma verdadeira relação de comunicação e desenvolvi-
mento do estudante, contribuindo para a compreensão de que é 
possível viver as diferenças se reconhecermos o direito do outro a 
ter os próprios pontos de vista.
Ademais, é preciso promover reflexões junto aos estudantes 
sobre situações contrárias à paz, como a intimidação sistemática 
(bullying), por exemplo, bem como outras formas de preconceito 
e de discriminação, inadmissíveis no espaço educativo.
A escola, assim, vai se configurando como um espaço aco-
lhedor aos jovens e às transformações tão comuns nessa fase 
da vida, auxiliando-os inclusive na percepção de si, dos próprios 
sentimentos e desejos por meio de práticas que promovem o de-
senvolvimento de competências relativas à saúde mental, como 
a autogestão e a amabilidade,conforme a competência geral 8 
da BNCC.
Todos os envolvidos no processo educativo (estudantes, profes-
sores e gestores escolares) devem acolher a diferença, ressaltando 
os aspectos positivos, e contribuir para o combate à violência e 
para a promoção da saúde mental dos estudantes, da empatia e 
da cooperação, e da cultura de paz na escola e na sociedade.
Ao promover a cultura de paz e o diálogo, a escola passa 
a ser reconhecida pelos estudantes como um lugar seguro e 
propício para o desenvolvimento das potencialidades, de modo 
que cada um seja autor da própria vida, dos sonhos e dos pro-
jetos futuros.
A BNCC levou, para dentro da escola, a reflexão sobre o pro-
jeto de vida, destacando como relevante à educação integral dos 
estudantes a construção de identidades, metas e sonhos, bem 
como a identificação de caminhos que levem à concretização 
desses projetos.
De acordo com a publicação Projeto de vida: ser ou existir, do 
MEC, promover a cultura de paz na escola é fundamental para 
o planejamento de vida, pois projetá-la pode consistir em ques-
tionar as diversas violências físicas e simbólicas que existem em 
consequência das desigualdades sociais, étnicas e de gênero. 
Então, idealizar a própria vida é refletir sobre a atuação social, 
descobrir a si, os outros e o meio, percebendo vários jeitos e ma-
neiras de ser.
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É nesse contexto no qual tanto o processo de reflexão a respeito do que cada estudante almeja quanto o planejamento de ações 
a serem desenvolvidas para concretizar os planos podem representar uma possibilidade privilegiada de desenvolvimento pessoal e 
social – e é nesse aspecto que a escola assume um papel especial, tendo em vista que essa é uma fase de vida relevante em que uma 
série de experiências e aprendizados deve acontecer para que os jovens possam, de fato, se constituírem como sujeitos. Assim, é dada 
aos estudantes a condição de formar uma identidade não apenas pessoal, mas coletiva, que ocorre por meio do pertencimento a uma 
categoria socialmente produzida. 
Princípios teórico-metodológicos da coleção
Esta coleção foi desenvolvida e pautada em princípios teóri-
co-metodológicos que favorecem a formação integral dos estu-
dantes. Por conseguinte, neste Manual – tanto nesta Parte geral 
quanto na Parte específica – você pode acompanhar algumas re-
flexões a respeito de teorias e sugestões de ordem mais prática 
que buscam favorecer o ensino e a aprendizagem da Matemática 
de acordo com esses princípios. A elaboração desta coleção foi 
apoiada em pesquisas sobre Educação Matemática, nas orienta-
ções oficiais do MEC e, de modo especial, na BNCC.
Assim, as abordagens teórico-metodológicas que inspiraram a 
elaboração deste material foram selecionadas para auxiliá-lo no 
trabalho pedagógico, contribuindo para a aprendizagem efetiva 
dos estudantes.
A seguir, apresentamos mais algumas reflexões que foram fun-
damentais para a elaboração deste material.
Formulação e resolução de problemas
Desde a Antiguidade a resolução de problemas é considerada 
o pilar estrutural da instrução Matemática. 
Quando falamos da importância da resolução de problemas, 
objetivamos que os estudantes possam identificar o problema 
e os dados, traçar um plano de ação, chegar a uma possibilida-
de de resposta e, por fim, validar essa resposta. Apesar de muito 
coerente com a Educação Matemática, a resolução de problema 
é uma habilidade fundamental para a vida, não sendo restrita a 
uma área do conhecimento.
O matemático e professor húngaro George Polya (1887-1985) 
foi um dos grandes estudiosos da resolução de problemas e é em 
muitas das reflexões dele que nos pautamos para a elaboração 
desta coleção.
O trabalho pedagógico com a resolução de problemas tem 
por objetivo instrumentalizar o estudante a resolver problemas 
reais. De acordo com a BNCC (2018, p. 265), “espera-se que eles 
[os estudantes] desenvolvam a capacidade de identificar opor-
tunidades de utilização da matemática para resolver problemas, 
aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter solu-
ções e interpretá-las segundo os contextos das situações”, o que 
nos leva a refletir sobre a importância da contextualização dos 
problemas que são explorados em sala de aula e da aplicação da 
realidade para dar sentido ao aprendizado.
Desse modo, a resolução de problemas deve ter por meta a 
ação dos estudantes, levando-os a pensar de maneira criati-
va e abrangente para buscar soluções possíveis, identificando 
os conhecimentos que precisam mobilizar e as estratégias que 
precisam utilizar.
A BNCC indica também a importância da formulação ou elabo-
ração de problemas para o processo de aprendizagem Matemá-
tica – e isso pode ser verificado pela quantidade de habilidades 
específicas que citam “elaborar e resolver problemas”. 
Cumpre também considerar que, para a aprendizagem de certo con-
ceito ou procedimento, é fundamental haver um contexto significati-
vo para os alunos, não necessariamente do cotidiano, mas também de 
outras áreas do conhecimento e da própria história da Matemática. No 
entanto, é necessário que eles desenvolvam a capacidade de abstrair o 
contexto, apreendendo relações e significados, para aplicá-los em ou-
tros contextos. Para favorecer essa abstração, é importante que os alu-
nos reelaborem os problemas propostos após os terem resolvido. Por 
esse motivo, nas diversas habilidades relativas à resolução de problemas, 
consta também a elaboração de problemas. Assim, pretende-se que os 
alunos formulem novos problemas, baseando-se na reflexão e no ques-
tionamento sobre o que ocorreria se alguma condição fosse modificada 
ou se algum dado fosse acrescentado ou retirado do problema proposto. 
(BRASIL, 2018, p. 299)
A formulação de problemas envolve conhecer os objetos do 
conhecimento que se espera utilizar, bem como as diferentes 
Na escola, os estudantes precisam descobrir sobre a vida, sobre o mundo, sobre 
si mesmos e os outros, por meio da promoção do diálogo, do pensamento, do 
desenvolvimento da criatividade, da identificação 
dos sentimentos, da ousadia e, também, 
dos sonhos.
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estratégias de resolução e a expressão em língua materna. Tra-
ta-se não apenas de um recurso facilitador da aprendizagem, 
mas também de um acompanhamento do desenvolvimento da 
aprendizagem.
Você pode analisar os problemas elaborados e avaliá-los, e 
também pode oportunizar a análise de um colega que, para resol-
ver o problema, precisará mobilizar as estratégias de resolução, 
identificar particularidades relacionadas à escrita e ao contexto 
utilizado pelo autor, compreender o enunciado e, caso o problema 
não possa ser resolvido, nortear as modificações necessárias. As-
sim, para elaborar problemas constrói-se também a habilidade de 
resolver problemas parecidos.
 ⓿ KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (org.). A resolução de 
problemas na Matemática escolar. Tradução de Hygino H. 
Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997.
 ⓿ POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de 
Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
Sugerimos a leitura e consulta desses livros com o objetivo de 
aprimorar a compreensão do método de resolução de proble-
mas desenvolvido por Polya.
Sugestão de leitura 
Segundo George Polya em A arte de resolver problemas, há 
4 etapas para a resolução de um problema, que discutiremos bre-
vemente a seguir.
Compreensão do problema
Para compreender um problema de modo claro e completo, é 
preciso identificar informações essenciais à resolução: quais são 
os dados do problema, quais são as respostas que precisamos 
obter e, sobretudo, quais condições ligam esses dados (ou parte 
dessesdados) às respostas.
Nesse momento, é importante promover a reflexão, indagando 
os estudantes e incentivando-os a criar hipóteses. Para criar hipó-
teses mais consistentes, pode ser interessante empregar recursos 
como desenhos, esquemas, diagramas, entre outros.
Elaboração de um plano de solução
Após a compreensão, é preciso elaborar o plano de ação, ou 
seja, planejar os passos, identificar os recursos e possíveis cami-
nhos para a resolução. De acordo com Polya (1995, p. 5), “temos 
um plano quando conhecemos, pelo menos de modo geral, quais 
as contas, os cálculos ou os desenhos que precisamos executar 
para obter a incógnita”.
Neste momento, é importante destacar a possibilidade de um 
problema ter várias estratégias possíveis para resolução, pois, 
no mundo real, os problemas não aparecem sempre de maneira 
“fechada” e organizada. O trabalho em grupos e a elaboração 
de painéis de solução são estratégias pedagógicas que podem 
favorecer essa percepção.
Para elaborar o plano, incentive os estudantes a se lembra-
rem de problemas parecidos que já realizaram, a elaborar de-
senhos, diagramas ou tabelas, a refletir sobre a possibilidade 
de resolvê-lo por partes. É também no momento de estabeleci-
mento de um plano que deve ocorrer a seleção de quais dados 
fornecidos serão utilizados (no caso de problemas com exces-
so de dados) ou quais outros dados, que não foram expressos 
no enunciado, seriam necessários para a resolução (problemas 
com falta de dados).
Execução do plano
De acordo com Polya (1995, p. 8) “executar o plano é muito mais 
fácil; paciência é o de que mais se precisa”. Isso porque, tendo 
sido o planejamento bem realizado, a prática é basicamente a 
aplicação do plano.
Verificação ou retrospectiva
Após a execução do plano, os estudantes provavelmente che-
garão a uma resposta, mas é importante refletir sobre ela e verifi-
car se é coerente para responder à pergunta. Isso porque podem 
ter ocorrido erros durante a resolução – e essa percepção é enri-
quecedora para o processo de aprendizagem.
A ação de retrospecto ou verificação pode trazer grandes be-
nefícios quanto à construção e ao aperfeiçoamento das compe-
tências e habilidades dos estudantes em resolver problemas, pois, 
ao fazer o retrospecto da resolução de um problema, apreende-se 
de que maneira será possível resolver outros problemas com ra-
ciocínio similar ao aplicado àquela resolução.
Raciocínios lógico-matemáticos
Alguns raciocínios (indução, dedução, abdução e raciocínio 
por analogia) são inerentes aos processos e ao fazer matemático 
e podem ser explorados por meio da proposição de problemas 
e atividades. No entanto, é fundamental a maneira como esses 
processos serão explorados e, levando isso em conta, também 
é fundamental privilegiar a investigação e a modelagem, inves-
tindo tempo necessário nessa tarefa, pois é a atuação do estu-
dante que, convidado a agir e protagonizar o próprio processo de 
aprendizagem, construirá aprendizagens repletas de significados.
O envolvimento do estudante no exercício da curiosidade inte-
lectual, bem como a utilização das ciências com criticidade e cria-
tividade, é essencial para a produção de conhecimentos que es-
tejam de acordo com processos de investigação científica. Nesse 
sentido, é preciso que cada um realize investigações de natureza 
Matemática com cientificismo, de maneira adequada a cada nível 
de ensino, formalizando os objetos de aprendizagem enquanto 
desenvolve o raciocínio e a lógica. Afinal, investigar cientificamen-
te implica a formulação de perguntas, a interpretação de dados e 
o desenvolvimento de hipóteses e conjecturas, bem como habili-
dades de análise, comparação, avaliação, verificação, validação e 
demonstração.
Nesse processo, a atuação do professor é de incentivador que 
apoia e privilegia o desenvolvimento de atitudes questionadoras, 
a observação para a análise de problemas, a formulação de hipó-
teses e a busca de explicações e argumentações em que o desen-
volvimento de ideias próprias tem papel de destaque.
As investigações matemáticas 
têm adquirido destaque 
no processo de ensino 
e de aprendizagem por 
proporcionarem ao estudante 
oportunidades de criar e de 
consolidar conhecimento 
matemático, desenvolvendo a 
criatividade.
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XXIV
A seguir, destacamos as principais ideias sobre os tipos de ra-
ciocínio mencionados anteriormente.
Indução
Na indução, parte-se de situações similares ou iguais para 
construção ou identificação de uma lei, definição ou teoria geral 
que as explica. Nesse tipo de raciocínio, a definição ou teoria apa-
rece no final do percurso.
A identificação de padrões e de regularidades é fundamental à 
indução, bem como a inferência matemática. Por exemplo, desco-
brimos que ao multiplicar um número por 
1
2
 o produto será igual 
à metade do primeiro fator. Ora, mas isso não acontecia apenas 
ao dividirmos um número por 2? Passa-se então a investigar (e 
podemos fazer isso utilizando uma calculadora), testando vários 
números. Induzimos, desses casos particulares, que dividir um nú-
mero por 2 é igual a multiplicar por 
1
2
, porém, quando considera-
mos casos particulares, dizemos que as conclusões obtidas são 
prováveis e precisam ser provadas.
Dedução
A dedução consiste exatamente no inverso da indução: par-
te-se de uma verdade já conhecida, que funciona como princípio 
geral ao qual se subordinam todos os casos particulares iguais, ou 
seja, vai do geral para o particular.
O ponto de partida, portanto, é uma ideia ou teoria verdadeira 
(ou uma definição) e pretende-se chegar a novas conclusões de 
acordo com a teoria já existente. Na dedução, os objetos particu-
lares são conhecidos pela inclusão em uma teoria geral.
Por exemplo, se definirmos o triângulo como uma figura geométrica 
cujos ângulos internos somados são iguais à soma de dois ângulos retos, 
dessa definição deduziremos todos os diferentes tipos de triângulos pos-
síveis [...], todas as propriedades de todos os triângulos possíveis e todas 
as propriedades de cada um dos tipos possíveis de triângulos. (CHAUÍ, 
2016, p. 94)
Para além das demonstrações matemáticas, em que usamos 
uma argumentação lógica para provar a validade de resulta-
dos, o raciocínio dedutivo pode ser usado como estratégia 
para explorar a leitura de textos matemáticos, desenvolvendo 
a análise crítica de maneira a validar e a elaborar argumenta-
ções matemáticas.
O trabalho com as demonstrações matemáticas pode incenti-
var o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo, bem como 
da argumentação. Tais habilidades são aliadas no desenvolvimen-
to do senso crítico dos estudantes quando deparam com textos 
de diferentes naturezas, inclusive textos matemáticos.
Abdução
A abdução pode ser compreendida como um tipo de intuição 
explorada com parcimônia, ou seja, que avança passo a passo 
para chegar a uma conclusão. Esse tipo de raciocínio parte da in-
terpretação racional de fatores, como sinais, indícios e signos – de 
modo análogo como fazem os detetives e os historiadores que, 
investigando pequenos sinais, chegam a uma conclusão.
Nesse tipo de raciocínio, as conjecturas e a identificação de 
padrões são relevantes, pois procura-se compreender os sentidos 
mais coerentes para obter conclusões.
Raciocínio por analogia
No raciocínio por analogia a ideia é associar conceitos novos a 
conceitos adquiridos anteriormente, em busca de padrões. Ele se 
assemelha à indução, porém, parte de similaridades entre casos 
particulares para chegar a outra proposição particular e não a uma 
conclusão geral. Quanto maior a similaridade entre os casos par-
ticulares comparados melhor será a proposição a que se chegará.
KOVALSKI, Larissa. O pensamento analógico na Matemática e 
suas implicações na modelagem matemática para o ensino.2016. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e em 
Matemática), Universidade Federal do Paraná, 2016. Disponí-
vel em: https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/ 
1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI.pdf? 
sequence51&isAllowed5y. Acesso em: 29 jun. 2022.
Para aprimorar os conhecimentos dos tipos de raciocínio lógico-
-matemático, sugerimos a leitura do trabalho de dissertação de 
mestrado de Larissa Kovalski, em especial o tópico 2.1.5, “Analo-
gia”, que apresenta exemplos aplicados na área de Matemática. 
Sugestão de leitura 
Leitura inferencial, argumentações e análises
A Matemática, como sistema simbólico estruturado que permi-
te a comunicação e o pensamento, pode ser compreendida como 
uma linguagem. Em consonância com a língua materna, contribui 
para a leitura de mundo e para a comunicação de ideias. Além 
disso, as estruturas do pensamento matemático, como a análise 
de dados, por exemplo, são fundamentais para a construção de 
argumentos sólidos e coerentes.
Por meio da argumentação, busca-se convencer o outro da-
quilo que se está afirmando ou negando e isso envolve o racio-
cínio que se emprega para comprovar ou demonstrar aquilo que 
se propõe. Argumentar matematicamente com proficiência, oral-
mente ou por escrito, tem por objetivo possibilitar uma partici-
pação de qualidade do estudante no mundo que o cerca. Afinal, 
a argumentação pressupõe a formulação e a avaliação de pro-
postas, bem como a tomada de decisões, considerando que estas 
estejam orientadas pela ética e para o bem comum.
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https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI.pdf?sequence51&isAllowed5y
XXV
Assim, podemos refletir que a argumentação é fundamental 
para a construção da cidadania e que o trabalho com Matemática 
pode contribuir de maneira significativa para a reflexão e as prá-
ticas cidadãs, voltadas ao fortalecimento da democracia. As práti-
cas cidadãs, por sua vez, também estão relacionadas aos Temas 
Contemporâneos Transversais e, consequentemente, a discussões 
referentes à vacinação, ao desmatamento, aos direitos humanos, 
à consciência socioambiental, ao consumo responsável, à mobili-
dade urbana e rural, à sustentabilidade, à inclusão, entre outras 
que estão voltadas à construção de um mundo mais democrático, 
inclusivo e sustentável.
Nesta coleção, o trabalho com a argumentação (oral e escrita), 
a leitura inferencial e as análises (críticas, criativas e propositivas) 
ocorre ao longo de todos os Volumes, pois é fundamental para a 
elaboração de argumentos matemáticos que o estudante saiba 
se comunicar, inclusive matematicamente, seja para expressar o 
que pensa, seja para compartilhar raciocínios. Ao trabalhar com 
a argumentação, os estudantes desenvolvem o raciocínio lógico 
e são capazes de perceber falhas nas argumentações falsas (co-
nhecidas como falácias). Afinal, não será possível compreender 
o que o estudante está pensando se não externalizar de modo 
eficaz aquilo que raciocinou para desenvolver a resolução de um 
problema, por exemplo. É preciso que ele saiba demonstrar como 
testou o raciocínio, argumentando quais foram as estratégias for-
muladas durante a investigação.
Torna-se relevante, então, a interação do estudante com os 
pares e com o professor, para que, juntos, reflitam e verifiquem 
hipóteses. Podem ser interessantes propostas de investigação de 
problemas e a discussão delas, de modo a possibilitar a explica-
ção e a justificativa das resoluções a que os estudantes chega-
ram, sempre empregando a argumentação matemática. Também 
é fundamental saber identificar e expressar o próprio argumento, 
bem como praticar a escuta atenta, o não julgamento e aprender 
com ideias e pensamentos diferentes.
Pensamento computacional
A expressão “pensamento computacional” vem sendo empre-
gada e valorizada por alguns autores como tão importante no 
mundo contemporâneo quanto o desenvolvimento de linguagens, 
como a língua materna e a matemática.
A origem dessa expressão tem relação não apenas com um 
artigo publicado pela cientista da computação e pesquisadora 
estadunidense Jeannette Wing (1956-), como também com re-
flexões da psicologia cognitiva, que envolve processos de pen-
samento que se desenvolvem quando se usam fundamentos da 
computação.
O conceito de pensamento computacional não se limita aos 
estudos e aos profissionais da Ciência da Computação, progra-
mação ou ao uso de computadores, mas a habilidades e raciocí-
nios inerentes a eles, que são importantes para qualquer pessoa 
e profissional, pois envolvem resolução de problemas, pensamen-
to recursivo, abstração, algoritmos, fluxogramas, decomposição, 
análise de erros, planejamento e replanejamento, assim como 
criatividade na busca por soluções.
Pensamento computacional envolve resolução de problemas, desenvol-
vimento de sistemas e compreensão do comportamento humano basean-
do-se nos conceitos fundamentais à ciência da computação. Pensamen-
to computacional inclui uma gama de ferramentas mentais que refletem a 
abrangência da ciência da computação. (WING, 2006, p. 33. Tradução dos 
autores.)
Assim, podemos refletir que o pensamento computacional é 
um processo de raciocínio que envolve abstração para se iden-
tificar a principal característica da solução para uma situação, 
a fim de que essa solução possa se tornar válida para diversos 
problemas parecidos. Isso implica que a abstração é algo que 
não acontece de uma hora para outra, mas somente após várias 
decomposições do problema em partes menores e, assim, menos 
complexas, mais fáceis de resolver.
Podemos definir 4 pilares para o pensamento computacional.
 ⓿ Decomposição: fragmentar um problema complexo em partes 
menores e trabalhar uma de cada vez.
 ⓿ Abstração: focar no centro do problema em vez de priorizar os 
detalhes, analisando-o de maneira mais crítica e sistemática.
 ⓿ Pensamento algorítmico: criar um sequenciamento de passos 
que, juntos, configuram a resolução do problema.
 ⓿ Reconhecimento de padrões: identificar regularidades que po-
dem favorecer a generalização de uma resolução para proble-
mas similares.
A BNCC prevê o desenvolvimento do pensamento computacio-
nal em todos os anos do Ensino Fundamental até o Ensino Médio. 
Esse conceito está, de fato, presente quando os estudantes preci-
sam desenvolver uma representação do raciocínio lógico em ativi-
dades de todas as áreas do conhecimento. Nesta coleção, ele está 
presente em atividades e seções de todos os Volumes, como em 
atividades que envolvem a resolução de problemas, na compreen-
são do passo a passo e na elaboração de fluxogramas.
Tecnologias digitais e recursos pedagógicos
As tecnologias digitais cada vez mais fazem parte da vida de 
estudantes e professores, e o acesso a esses recursos tem sido 
ampliado por todo o Brasil – ainda que não estejam disponíveis 
em todos os lugares de maneira adequada aos estudantes.
Contudo, para muito além de atender às culturas juvenis – que 
atualmente estão substancialmente inseridas no mundo digital – e 
considerar os jovens não apenas consumidores, mas produtores de 
conteúdo em diferentes mídias, a exploração das tecnologias digi-
tais no ambiente escolar pode se configurar como recurso muito 
interessante para o desenvolvimento de competências e habilida-
des, considerando também as vantagens do uso das tecnologias 
de informação e comunicação no acesso ao conhecimento e na di-
vulgação de dados e iniciativas. A introdução dessas ferramentas 
pode ser considerada um processo em andamento e irreversível.
É fundamental, contudo, considerar com atenção o uso de re-
des sociais e outros mecanismos de interação visando à seguran-
ça dos estudantes e evitando o bullying e a perda de privacidade. 
Faz-se necessário auxiliá-los também a construir princípios éticos 
e seguros parao uso das tecnologias digitais.
Jeannette Wing, 
cientista da 
computação e 
pesquisadora 
estadunidense. 
Nova York (Estados 
Unidos). Foto de 2018.
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XXVI
No que diz respeito às fontes de informação, é preciso con-
siderar veículos confiáveis que apresentem dados verdadeiros, 
sempre indicando as fontes e justificando a análise apresentada 
com argumentos lógicos. No mundo atual, a habilidade de ana-
lisar de modo crítico as informações recebidas é imprescindível 
para evitar a compreensão da realidade de maneira distorcida e a 
divulgação de dados ou notícias falsas (fake news).
Para a exploração das tecnologias como recursos didáticos, 
considere que não é imperativo que você sempre construa e ela-
bore materiais, mas é plausível e viável que utilize materiais e 
atividades que já existem, apenas adaptando-os, se for necessá-
rio. Nesse caso, procure buscar fontes seguras. Além disso, evite 
adotar determinado recurso por modismo; selecione aqueles que 
façam mais sentido conforme o perfil dos estudantes e do plane-
jamento escolar.
BORBA, Marcelo de Carvalho; da SILVA, Ricardo S. R.; GADANI-
DIS, George. Fases das tecnologias digitais em Educação Mate-
mática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2020.
Para auxiliar o professor na identificação de oportunidades de 
uso de tecnologias digitais, bem como na adequação delas à 
realidade escolar, sugerimos a leitura desse livro.
Sugestão de leitura 
Geogebra
Um exemplo matemático de tecnologia digital aplicável nas 
aulas – especialmente nas de Matemática – é o software livre 
GeoGebra. Trata-se de uma multiplataforma gratuita, dinâmica, 
aplicável a todos os níveis de ensino, que combina Geometria, 
Álgebra, Números e Estatística. Pode ser acessada on-line ou bai-
xada em computadores, tablets e celulares. 
Planilhas eletrônicas
As planilhas eletrônicas podem ser ex-
ploradas em diversas construções e aná-
lises para favorecer o processo de apren-
dizagem. Elas permitem efetuar cálculos, 
entender fórmulas, construir gráficos, vi-
sualizar simulações financeiras, contribuir 
no trabalho com educação financeira e 
educação fiscal. Um exemplo de planilha 
que também é um software livre é o Calc, 
do LibreOffice.
Calculadora
Seja em forma física, seja no smartphone, no computador ou 
on-line, a calculadora pode e deve ser utilizada pelos estudantes 
em atividades, uma vez que as atividades escolares não podem se 
distanciar da realidade de vida e o uso da calculadora já está ins-
titucionalizado pela sociedade. A decisão de usá-la ou não cabe 
a você, professor, de acordo com o planejamento e os objetivos 
da aula. As propostas podem incluir, por exemplo, verificação de 
padrões e regularidades, investigações de propriedades mate-
máticas e a resolução de cálculos quando o objetivo principal da 
atividade for a elaboração de estratégias de resolução de proble-
mas, e não efetuar algoritmos e realizar cálculos.
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Diferentes recursos tecnológicos podem ser usados como práticas, uma 
vez que são maneiras diferentes de reorganizar o pensamento. Nesta 
coleção, propiciamos atividades direcionadas ao uso de diversos deles.
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Scratch
Outro recurso bastante interessante para o uso em sala de aula 
está relacionado à linguagem de programação, como o Scratch 
ou o Code. Por meio da exploração desses sites, softwares e apli-
cativos, os estudantes podem modelar soluções e planejar pro-
blemas simples, como determinar se um número é múltiplo do 
outro, se um número é par ou ímpar, entre outras possibilidades. 
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XXVII
Internet
No mundo fora da escola todos procuramos informações na 
internet – e elas estão à distância de um clique. A parte difícil é 
identificar quais fontes são confiáveis, ler e interpretá-las e, por 
fim, saber o que fazer com elas.
Na escola, pode ser muito interessante propor aos estudantes a 
busca de informações confiáveis na internet e convidá-los à refle-
xão do uso delas, de modo a favorecer o processo de “aprender a 
aprender”. Essa estratégia pode fazer parte, também, de propos-
tas envolvendo metodologias ativas, como a sala de aula invertida. 
Falaremos mais sobre o assunto no próximo tópico deste Manual.
Noções de prática de pesquisa
A prática de pesquisa está intimamente relacionada aos pro-
cedimentos de estudo e à capacidade de aprender a aprender – o 
que guarda relação com as competências gerais 1 e 2 da BNCC. 
A pesquisa exige do pesquisador levantamento de hipóteses, 
comparação, reflexão, estabelecimento de relações, análise, sín-
tese, generalização, entre outros. Além disso, propostas para o 
desenvolvimento dessas noções precisam estar planejadas e fa-
zer parte do percurso de aprendizagem, transpassando todas as 
áreas do conhecimento.
Para os estudantes do século XXI, a prática de pesquisa é fun-
damental, pois a escola provavelmente os forma para um mundo 
que demandará deles conhecimentos muitas vezes desconheci-
dos até agora. 
Os conteúdos se consomem no tempo, enquanto a habilidade de saber 
pensar necessita manter-se viva, mais que nunca. Se não sabe pesquisar, 
não sabe questionar. Não sabendo questionar, não sabe ultrapassar os im-
passes inevitáveis que toda profissão encontra em sua prática. Assim, o mais 
importante hoje na pesquisa não é o manejo de instrumentos metodológi-
cos, mas o manejo dos desafios inovadores e por vezes surpreendentes da 
vida. Saber pensar é ótimo para o mercado, mas é ainda mais essencial para 
a vida. (DEMO, 2001, p. 10)
A BNCC cita que:
em geral, ao recorrermos às nossas lembranças acerca de como aprende-
mos a pesquisar, salvo raras exceções, a primeira lembrança que nos vem à 
mente é a cópia. Com o avanço tecnológico, os comandos “recortar e colar” 
acabou substituindo-a. De todo modo, na esfera escolar, os estudantes se-
guem pesquisando sem, todavia, aprender a pesquisar. 
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Ensinar o “comportamento pesquisador” implica o desenvolvimento da 
própria intelectualidade, de um exercício crítico-reflexivo que demanda uma 
aprendizagem ativa e, assim, exige daquele que pesquisa as capacidades de 
analisar, comparar, refletir, levantar hipóteses, estabelecer relações, sinteti-
zar, generalizar, etc. 
Nessa perspectiva, é preciso que o ato de pesquisar seja compreendido 
também como uma aprendizagem a ser desenvolvida. Isso demanda, dos 
professores, investimento e planejamento de situações de aprendizagem 
que fomentem nos estudantes o desenvolvimento, entre muitas outras, das 
habilidades de:
⓿ localizar;
⓿ selecionar e compartilhar informações;
⓿ ler, compreender e interpretar textos com maior grau de complexi-
dade;
⓿ consultar, de forma crítica, fontes de informação diferentes e con-
fiáveis;
⓿ formar e defender opiniões;
⓿ argumentar de forma respeitosa;
⓿ sintetizar;
⓿ expor oralmente o que aprendeu apoiando-se em diferentes recur-
sos;
⓿ generalizar conhecimentos;
⓿ produzir gêneros acadêmicos.
Todas essas habilidades favorecerão o avanço no processo de aprendi-
zagem de diferentes naturezas e em diferentes campos do conhecimento. 
O mais importante é que os estudantes se reconheçam não como meros 
consumidores de conhecimento, mas como sujeitos capazes de produzi-los 
também.
[...]
Aprender a pesquisar é indissociável de aprender a estudar. Portanto, é 
condição fundamental para a ampliação do grau de autonomia dos estudan-
tes, pois favorece o desenvolvimento do artesanato intelectual,impulsio-
nando a construção de novos conhecimentos em qualquer área. Dessa for-
ma, tanto a escrita quanto a leitura precisam ser compreendidas como pano 
de fundo para o desenvolvimento de diferentes formas de estudar.
Assim, contribuir para que os estudantes desenvolvam o hábito de es-
tudo pressupõe, além de práticas de leituras e escritas diversificadas, boas 
situações de aprendizagem em sala de aula nas quais, contando com a in-
tervenção de professores e colegas, tenham oportunidade, por exemplo, de: 
⓿ localizar informações em textos, em função dos seus objetivos de 
leitura;
⓿ diferenciar as informações relevantes das periféricas e sintetizá-las;
⓿ criar novos registros a partir das várias leituras realizadas durante a 
pesquisa;
⓿ organizar diários de pesquisa, fichamentos, resenhas, sinopses, 
etc., por meio dos quais expressem, de diferentes maneiras, aqui-
lo que compreenderam nas leituras realizadas, reorganizando as 
informações para compartilhá-las em debates, seminários, coló-
quios, etc.
Não podemos esquecer que aprender a pesquisar também envolve dife-
rentes práticas de linguagem, que precisam ser desenvolvidas como conte-
údo de ensino. É então que se instaura o objetivo principal da orientação de 
estudo, que precisa ser definido a partir de sua característica de assegurar 
momentos específicos em que aprender a estudar ganhe centralidade nas 
práticas de ensino das diferentes disciplinas. [...]
Ao propor uma pesquisa aos estudantes, é essencial que o primeiro passo 
seja compartilhar com eles por que a pesquisa será feita, que relação ela terá 
com o que estão aprendendo ou aprenderão e qual será o tempo estipulado 
para sua realização, entre outras informações que ajudem a contextualizar e 
problematizar a temática a ser investigada. Esse compartilhamento tem por 
objetivo criar nos estudantes expectativas que os ajudem a atribuir signifi-
cado e sentido ao ato de pesquisar.
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XXVIII
O planejamento coletivo da pesquisa favorece, inclusive, a organização 
dos próprios estudantes em função da atividade que realizarão. A elaboração 
de um roteiro de pesquisa pode ser um importante instrumento de fomento 
à disciplina de estudo. É necessário explicitar didaticamente os passos que 
constituem uma pesquisa, desde o levantamento inicial das informações, a 
seleção de diversas fontes, a leitura de todo o material selecionado, a utili-
zação dos procedimentos de estudo para aprofundamento das leituras e os 
registros das aprendizagens construídas, até a apresentação dos resultados 
obtidos, garantindo que existam ao longo desse processo, sobretudo, mo-
mentos de compartilhamento do que se aprendeu.
Nessa perspectiva, a estratégia de avaliação da pesquisa realizada tam-
bém pode considerar cada passo da pesquisa e pode ser utilizada também a 
autoavaliação. Assim, os estudantes podem se avaliar em cada etapa da rea-
lização da pesquisa, identificando suas dificuldades, os desafios do ato de 
pesquisar e, principalmente, seus avanços. Com essa estratégia de avaliação, 
é possível observar, por exemplo, que um estudante se saiu muito bem na 
seleção de material, porém não teve o mesmo êxito ao apresentar oralmente 
seus resultados; ou que teve sucesso na apresentação dos resultados, mas 
selecionou fontes não confiáveis. Nesse contexto, a avaliação final conside-
raria todas as etapas da produção da pesquisa, sem focar apenas um quesito. 
METODOLOGIA de pesquisa na escola. Base Nacional Comum Curricular. 
Brasília, DF, [s. d.]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.
br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/aprofundamentos/ 
192-metodologia-de-pesquisa-na-escola. Acesso em: 26 maio 2022.
Nesta coleção, apresentamos propostas que favorecem as 
práticas de pesquisa e que podem ser exploradas na área da Ma-
temática ou em conjunto com outras áreas do conhecimento e de 
maneira interdisciplinar, que desafiarão os estudantes a investi-
gar, pesquisar, obter conclusões e apresentá-las para a comuni-
dade escolar.
As avaliações
As avaliações são um instrumento fundamental para fornecer 
informações sobre como está se realizando o processo de ensi-
no-aprendizagem como um todo – tanto para você e a equipe 
escolar conhecerem e analisarem o processo como para cada es-
tudante verificar e monitorar a própria aprendizagem.
É por meio das avaliações (não pode existir apenas uma, por-
que elas permeiam todo o trabalho pedagógico) que se elaboram 
os planejamentos e replanejamentos, as possibilidades de traba-
lho com o grupo e individualmente. Elas são fundamentais para 
que o professor perceba o percurso de cada estudante e o próprio 
percurso, enquanto promotor das aprendizagens, considerando 
os diferentes perfis, as características e as necessidades de cada 
um. As avaliações também sinalizam a necessidade de interven-
ções durante o processo, como as remediações da aprendizagem.
O contexto pós-pandêmico nos impõe, ainda, o desafio de 
identificar possíveis defasagens no processo, causados pelas au-
las on-line, falta de aulas e isolamento social. Destaca-se, ainda, a 
importância de as avaliações serem coerentes com os princípios 
da educação integral, considerando aspectos cognitivos, atitudi-
nais e procedimentais dos estudantes. Nesse sentido, se as difi-
culdades sinalizadas nas avaliações forem gerais, sugerimos que 
o trabalho de remediação seja pensado e planejado para ser feito 
com toda a turma, antes de iniciar a próxima etapa de seu plane-
jamento. Porém, caso haja dificuldades por parte de alguns estu-
dantes, sugerimos intervenções pontuais individuais, como aulas 
de reforço ou atividades extraclasse.
Cipriano Luckesi (2005), um dos estudiosos da área, afirma que as 
avaliações precisam ser um ato amoroso, de olhar atento e respeito-
so ao estudante – não pautadas na obtenção do melhor resultado 
possível, mas no acolhimento da realidade como ela é para, assim, 
diagnosticar a situação da aprendizagem, subsidiando a tomada 
de decisão para auxiliar cada estudante em seu processo. Por isso 
mesmo elas são processuais, dinâmicas e essencialmente inclusivas.
Quando, o que e como avaliar?
Quando?
Considerando as avaliações em sua função de prover dados 
muito mais qualitativos do que quantitativos, sobre o processo de 
aprendizagem, cujo objetivo é orientar a prática pedagógica, cons-
tata-se que elas precisam ser realizadas ao longo de todo o proces-
so como maneira de verificar o que os estudantes já construíram e 
em que é preciso investir mais tempo e em quais propostas.
O quê?
As avaliações se concentram na obtenção de dados sobre o 
desenvolvimento dos objetivos pedagógicos e das habilidades e 
competências que se esperam que os estudantes construam ao 
longo do processo, tomando como norte as potencialidades indi-
viduais. Cumprem, também, avaliar procedimentos e atitudes, as 
interações entre os estudantes e tudo que concerne ao processo 
de ensino e aprendizagem com foco na educação integral.
Como?
Todo esse processo deve ser pautado no olhar atento do pro-
fessor e com a participação ativa do estudante.
O sentido da avaliação é compreender o que se passa na interação entre 
o que e como se ensina e entre o que e como se aprende, para uma inter-
venção consciente e melhorada do(a) professor(a), refazendo seu planeja-
mento e seu ensino, e para que o “aprendente” tome consciência também 
de sua trajetória de aprendizagem e possa criar suas próprias estratégias de 
superação. Assim, a avaliação também pode incentivar e subsidiar a meta-
cognição do(a) estudante na medida em que favorece um pensar reflexivo e 
fundamentado não somente sobre o que se aprende, mas, principalmente, 
sobre como se está aprendendo. (SILVA, 2004, p. 60)
Com isso, tende a ser benéfica a mobilização de recursos e es-
tratégias avaliativos diversos, de maneira a se construir uma visão 
abrangente a respeito decada estudante. Um professor media-
dor adota a prática de investigação, em que interroga a relação 
entre o ensino e a aprendizagem. E faz isso para identificar não 
somente os conhecimentos construídos pelos estudantes, mas 
também as dificuldades de cada um deles, estabelecendo assim 
uma análise completa, realizada em perspectiva dialógica, e assu-
mindo uma função diagnóstica em que verifica quais causas po-
dem estar impedindo a aprendizagem de cada estudante.
Alguns modelos de avaliações
Avaliações diagnósticas e avaliações progressivas
O que diferencia um modelo de avaliação do outro é o objetivo 
de cada um.
As avaliações diagnósticas têm por finalidade diagnosticar 
quanto cada estudante já sabe a respeito de um objetivo peda-
gógico, uma habilidade ou uma competência no início do pro-
cesso, de maneira a orientar o planejamento inicial, dando pistas 
para o professor e para os estudantes de onde será preciso iniciar. 
Em tempos pós-pandemia, as avaliações diagnósticas se tornam 
mais essenciais para o processo de ensino e aprendizagem e para 
o planejamento escolar.
As avaliações progressivas acompanham, de modo comple-
mentar, o processo de aprendizagem fornecendo subsídios para 
o replanejamento, para os ajustes e as intervenções que possibili-
tem a aprendizagem de todos os estudantes. Culmina, ao final do 
processo, na percepção de todo o percurso vivenciado.
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http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/aprofundamentos/192-metodologia-de-pesquisa-na-escola
XXIX
Nesta coleção, propostas de avaliações diagnósticas encon-
tram-se no início de cada Volume, no Ponto de partida. Já as ava-
liações progressivas estão ao final de cada capítulo, no Ponto de 
checagem, e no final de cada Volume, no Ponto de chegada. Elas 
contêm sugestões de atividades que podem ser aplicadas aos es-
tudantes com objetivos pedagógicos definidos, bem como dis-
cussões de possíveis dificuldades que possam surgir e propostas 
de como remediá-las.
Avaliações por meio de exames de larga escala
Os exames de larga escala têm o objetivo de realizar um diag-
nóstico da Educação Básica brasileira sob o aspecto da política 
pública para avaliação da educação e das redes de ensino, bem 
como de fatores que podem interferir no desempenho do estu-
dante. O resultado dessas avaliações é um indicativo que oferece 
subsídios para a elaboração, o monitoramento e o aprimoramen-
to de políticas educacionais fundamentadas em evidências.
Promover com o grupo explorações e reflexões sobre algumas 
atividades apresentadas nas avaliações de larga escala pode 
mobilizar diversos objetos do conhecimento e habilidades, con-
figurando-se também como uma estratégia pedagógica e um 
dos mecanismos para as avaliações progressiva de uma rede de 
aprendizagens.
Presente em todos os Volumes e capítulos desta coleção, a se-
ção Testes oficiais contém questões de provas oficiais utilizadas 
para avaliação de larga escala.
Diferentes instrumentos de avaliação
De acordo com a perspectiva da educação integral, da valori-
zação da diversidade e do olhar para cada estudante, faz-se ne-
cessário diversificar os instrumentos de avaliação, a fim de obter 
dados mais assertivos para a tomada de decisões. A seguir, des-
tacamos algumas possibilidades.
Observação e registro
Talvez o instrumento mais importante em todo o processo 
avaliativo seja o olhar do professor e o registro das observações. 
Diante dos questionamentos, da participação e do envolvimento 
de cada estudante, considerando as potencialidades e as neces-
sidades específicas de cada um, pode ser possível identificar pon-
tos de atenção e de construção.
Esse acompanhamento próximo dos estudantes é muito va-
lioso, sobretudo considerando as metodologias ativas, em que 
cada estudante formula perguntas, emite opiniões, levanta hi-
póteses, constrói novos conceitos e busca informações. Além 
disso, nas atitudes deles é possível observar a responsabilidade, 
a cooperação, a organização e outros modos de agir, ou seja, 
a observação pode fornecer informações sobre as habilidades 
cognitivas, as atitudes e os procedimentos dos estudantes em 
situações espontâneas.
O registro cuidadoso dessas observações permite a percepção 
de todo o processo continuamente.
Atividades, provas, testes e trabalhos
Esses instrumentos de avaliação são, na maioria dos sistemas 
de ensino, os mais empregados para medir e quantificar desem-
penhos. Deixando de lado a aplicação apenas para fins quanti-
tativos, eles podem ser estratégias interessantes para perceber 
avanços e dificuldades em relação a um conteúdo – e para isso 
é fundamental que a formulação dos estudantes se fundamente 
em questões de compreensão e raciocínio, não de memorização 
ou mecanização.
Podemos destacar, dentro dessa gama de atividades, as ques-
tões de múltipla escolha e avaliação por distratores, as de ver-
dadeiro ou falso, as discursivas, as de produção de texto, além 
da organização de seminários, trabalhos “para entregar”, listas de 
exercícios e atividades, entre outros.
Uma sugestão é arquivar trabalhos significativos dos estudan-
tes em pastas ou portfólios para que eles verifiquem, periodica-
mente, a própria evolução.
Entrevistas e conversas informais
Algumas vezes, em situações de avaliações formais, sobretudo 
durante a adolescência, os estudantes não conseguem demons-
trar todo o conhecimento e raciocínio, muitas vezes pela ansieda-
de gerada nesses momentos – fruto de pressões desnecessárias 
decorrentes de visões ultrapassadas sobre as avaliações. Assim, 
é importante criar estratégias para conversar e ouvi-los em situ-
ações informais, estabelecer canais de comunicação e atentar ao 
que cada um deles tem a dizer sobre o processo de aprendizagem, 
além de perceber o que e como estão aprendendo.
Autoavaliações
As autoavaliações são entendidas como situações e propostas 
que convidam o estudante à reflexão e à percepção dos próprios 
processos de aprendizagem. Elas também devem acontecer de ma-
neira planejada e contínua, porque, se pretendemos auxiliá-lo a cons-
truir autonomia, é preciso que a reflexão sobre si seja exercitada.
Se bem orientadas, as autoavaliações podem ser um meca-
nismo construtivo para favorecer uma análise crítica do próprio 
desempenho. O estudante pode se expressar de modo escrito 
ou oral, indicando o que mais gostou ou do que menos gostou e 
por quê, quanto acha que aprendeu, quais foram as dificuldades 
e facilidades, o que pode e deve ser feito para melhorar o próprio 
desempenho, as sensações ao resolver um problema particular-
mente desafiador, etc.
Diferentes modelos de registro das avaliações
Os registros das avaliações podem ser realizados utilizando di-
ferentes modelos, sendo que cada um tem a finalidade de atender 
a objetivos específicos de comunicação.
 ⓿ Fichas avaliativas são relevantes para esclarecer os responsá-
veis sobre como está se dando o processo educativo de cada 
estudante. Nessa ficha, podem constar aspectos cognitivos 
(dificuldades de aprendizagem, providências tomadas para 
sanar as dificuldades), além de aspectos gerais (afetivos, atitu-
dinais, socioemocionais, de socialização, de organização, entre 
outros).
 ⓿ Registros individuais e do grupo podem compor documen-
tos específicos para que o próprio estudante, ao manusear 
os registros individuais ao longo do processo, possa analisar 
o próprio desenvolvimento envolvendo diferentes linguagens 
e situações.
 ⓿ Avaliações por rubrica devem ser desenvolvidas de acordo 
com os objetivos do professor e a abrangência deles. As rubri-
cas são registros codificados, breves e rápidos, que fornecem 
dados objetivos. Podem ser utilizadas para gerar gráficos, ta-
belas e estratégias visuais que auxiliem na percepção do de-
senvolvimento de cada estudante ou da turma......... XII
Contextualização, interdisciplinaridade, temas 
contemporâneos transversais e Etnomatemática ........ XIII
 Educação integral ................................................................................ XVIII
Metodologias ativas ................................................................... XIX
Trabalho individual e em grupo .............................................. XIX
A prática docente .......................................................................... XX
Culturas juvenis .............................................................................. XX
Cultura de paz ............................................................................... XXI
 Princípios teórico-metodológicos da coleção ................. XXII
Formulação e resolução de problemas ............................. XXII
Raciocínios lógico-matemáticos ........................................ XXIII
Leitura inferencial, argumentações e análises .............. XXIV
Pensamento computacional .................................................. XXV
Tecnologias digitais e recursos pedagógicos ................. XXV
Noções de prática de pesquisa ......................................... XXVII
 As avaliações ....................................................................................... XXVIII
Quando, o que e como avaliar? ....................................... XXVIII
Alguns modelos de avaliações ......................................... XXVIII
Diferentes instrumentos de avaliações ............................ XXIX
Diferentes modelos de registro das avaliações ............ XXIX
As avaliações em Matemática ............................................... XXX
 Estrutura da coleção ........................................................................... XXX
Proposta de ensino da Matemática nesta coleção ...... XXX
Os Volumes desta coleção .................................................... XXXI
Objetos de conhecimento e habilidades 
abordados nos 4 Volumes desta coleção ................... XXXIV
As seções e os boxes desta coleção e ideias 
de como explorá-los ................................................................... XLII
 Referências complementares para 
aprofundamento ........................................................................... XLV
Sites .................................................................................................. XLV
Podcasts e vídeos ....................................................................... XLVI
Revistas e boletins de Educação Matemática ............... XLVI
Livros ............................................................................................... XLVI
 Referências bibliográficas comentadas ............................. XLVII
Parte específica 
 Sobre este Volume ............................................................................... XLIX
As Unidades temáticas e os capítulos 
deste Volume ............................................................................... XLIX
Conteúdos e sugestões de cronogramas 
para este Volume ....................................................................... XLIX
Ponto de partida ............................................................................. LI
Capítulo 1: Números reais .......................................................... LII
Capítulo 2: Produtos notáveis, fatoração e 
equações do 2o grau ................................................................... LIII
Capítulo 3: Proporcionalidade e juros .................................. LIV
Capítulo 4: Geometria: semelhança, perspectiva 
e vistas ortogonais ...................................................................... LVI
Capítulo 5: Estatística, combinatória 
e probabilidade ............................................................................ LVII
Capítulo 6: Relações métricas nos 
triângulos retângulos .............................................................. LVIII
Capítulo 7: Explorando a ideia de função .......................... LIX
Capítulo 8: Grandezas e medidas ......................................... LXI
Capítulo 9: Circunferências e círculos ................................. LXII
Ponto de chegada ..................................................................... LXIII
 Resoluções .................................................................................................. LXV
 Reprodução do Livro do Estudante ................................................. 1
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3o passo: Clique novamente em “Círculo dados centro e um de seus pontos”, clique no ponto E e, em 
seguida, no ponto C, que é o centro da circunferência, para formar uma nova circunferência de centro em 
E e raio CE . 
4o passo: Clique agora em “Ponto” e marque os 2 pontos F e G de intersecção das circunferências. Com 
ao botão “Reta”, trace a reta que passa por esses pontos. Esta é a 
s ruu
FG , perpendicular à 
s ruu
AB .
Representação de retas perpendiculares e retas paralelas no GeoGebra
O GeoGebra é um software livre e dinâmico de Matemática que pode ser uti-
lizado em diversos conteúdos de Álgebra e de Geometria, em todos os níveis de 
ensino. Ele foi criado em 2001 pelo matemático austríaco Markus Hohenwarter 
(1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.
No endereço www.geogebra.org/download, você pode fazer o download
do software “Geometria” ou acessá-lo on-line no link https://www.geogebra.org/geometry. Se precisar, 
peça para alguém mais experiente ajudá-lo com a instalação.
Considere os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para a representação de retas paralelas e 
de retas perpendiculares. 
1o passo: Clique no botão “Reta” no menu de ferramentas básicas (à esquerda da tela, na parte su-
perior), clique em 2 pontos próximos ao centro da tela para representar uma reta horizontal.
2o passo: Clique no botão “Círculo dados centro e um de seus pontos” e clique em um ponto qual-
quer da reta e em outro ponto na tela. Em seguida, clique em “Ponto” , marque o ponto E de intersecção 
entre a circunferência e a reta (escolha um dos pontos de intersecção).
software livre: qualquer 
programa gratuito de 
computador cujo código-fonte 
deve ser disponibilizado para 
permitir o uso, o estudo, a 
cópia e a redistribuição.
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Tela 1: Representação de 
circunferência com centro 
sobre a reta no GeoGebra.
Tela 2: 
Representação de 
reta perpendicular 
no GeoGebra.
Atenção: O GeoGebra nomeia 
como círculo, mas a construção 
é de uma circunferência.
Se preferir, retire a malha 
quadriculada da tela, clicando 
no botão “Configurações”, no 
canto superior direito, em 
seguida em “Exibir malha” e na 
opção ”Sem malha”.
142
Matemática
e tecnologias digitais
142
Reprodução do Livro do Estudante em tamanho reduzido.
Matemática e
tecnologias digitais
EF06MA22 EF06MA27
Nesta seção, iniciamos a apresen-
tação do software livre GeoGebra, que 
pode ser proposto em diversas ativida-
des ao longo do livro.
No site indicado para o download do 
GeoGebra, também é possível acessar o 
“GeoGebra clássico”, que apresenta ou-
tras funcionalidades além das que apa-
recem na versão exclusiva de Geometria.
Os passos de representação de re-
tas perpendiculares e de retas paralelas 
no GeoGebra são análogos aos que po-
demos utilizar para construir essas re-
tas usando régua e compasso. Propo-
nha aos estudantes que identifiquem as 
características em comum e as diferen-
ças entre as representações com régua 
e esquadro e as representações feitas 
no GeoGebra; se julgar oportuno, ensi-
ne-os a utilizar o compasso para fazer 
as representações.
As representações feitas utilizando 
rapidamenteAs planilhas 
eletrônicas podem favorecer esse trabalho. Geralmente as 
rubricas descrevem níveis (qualitativos ou quantitativos) para 
cada habilidade avaliada, de maneira a categorizá-las em nível 
de aproximação, apropriação e uso.
 ⓿ Geração de relatórios por meio de tabelas, gráficos e apresen-
tações visuais, favorecem a percepção do todo e podem ser 
instrumentos utilizados em apresentação para a comunidade 
escolar (gestores, coordenadores, orientadores), a fim de bus-
car soluções de ordens geral e específica, visando ao aumento 
da qualidade do ensino.
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XXX
Estrutura da coleção
Como qualquer outro material didático, o livro deve ser compre-
endido como mais um (e não o único) importante auxiliar do pro-
fessor que busca ensinar Matemática de modo mais significativo 
aos estudantes, apresentando assuntos do cotidiano, auxiliando-
-os a desenvolver conceitos com compreensão e oferecendo pro-
blemas interessantes, contextualizados, atuais e interdisciplinares.
Proposta de ensino da Matemática nesta coleção
Esta coleção apresenta a seguinte proposta pedagógica de 
ensino da Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamen-
tal (do 6o ao 9o ano).
 ⓿ Contemplar as 5 Unidades temáticas da Matemática – Números, 
Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e es-
tatística – integradas entre si e, sempre que possível, com as 
demais áreas do conhecimento. Os temas e objetos de conhe-
cimento apresentados em cada Unidade temática são traba-
lhados de modo espiral ao longo dos 4 Volumes, retomando-se, 
ampliando-se e aprofundando-se gradativamente os conceitos 
e procedimentos já estudados por meio de uma linguagem que 
dialoga com o estudante e o incentiva a aprender, pensar, inves-
tigar, explorar e conjecturar, além de possibilitar uma interação 
contínua e não apenas uma exposição passiva dos conteúdos.
As avaliações em Matemática
Diante de tudo o que foi analisado e discutido, considerando 
que o ensino e a aprendizagem de Matemática objetivam a per-
cepção e a atuação no mundo e que a função das avaliações é 
nortear o planejamento e o processo de aprendizagem, as avalia-
ções em Matemática devem:
 ⓿ avaliar o que o estudante já sabe, como sabe e como pensa 
matematicamente;
 ⓿ avaliar se o estudante compreendeu os conceitos, os proce-
dimentos e se desenvolveu atitudes positivas em relação à 
Matemática;
 ⓿ avaliar o processo e a criatividade nas soluções dadas pelo es-
tudante para os problemas;
 ⓿ propor problemas que envolvam a mobilização de um conjunto 
de ideias matemáticas;
 ⓿ propor problemas abertos que tenham mais de uma solução;
 ⓿ propor que o estudante elabore, formule problemas e os resolvam;
 ⓿ disponibilizar materiais manipulativos, calculadoras e compu-
tadores em situações de avaliação;
 ⓿ avaliar a capacidade de mobilizar conhecimentos matemáticos 
para o desenvolvimento de argumentos.
Indicadores para a avaliação em Matemática
Esta coleção contempla, em termos de princípios teórico-
-metodológicos, as atuais tendências em Educação Matemática e 
as diretrizes oficiais. Entre outras, elas dizem respeito a desenvolver 
um processo de ensino e aprendizagem que contribua para o letra-
mento matemático dos estudantes por intermédio da formulação 
e da resolução de problemas, valorizando a comunicação matemá-
tica, a construção e a compreensão de conceitos e procedimentos.
A seguir, acompanhe algumas considerações a respeito das 
avaliações dessas competências específicas.
Formulação e resolução de problemas
Como a formulação e a resolução de problemas devem cons-
tituir o eixo fundamental da Matemática escolar, o mesmo deve 
acontecer nas avaliações. A capacidade de o estudante formular 
e resolver problemas desenvolve-se ao longo do tempo, como re-
sultado de um ensino contínuo e consistente, de várias oportu-
nidades para a resolução de muitos tipos de problema e do con-
fronto com situações do mundo real.
Ao avaliar essa capacidade, é importante verificar se o estudante 
resolve problemas não padronizados, formula problemas de acordo 
com certos dados, emprega diferentes estratégias de resolução e 
faz a verificação dos resultados, bem como a generalização deles.
Conceitos
As avaliações do conhecimento e da compreensão de concei-
tos deve indicar se o estudante: verbaliza e define os conceitos; 
identifica e produz exemplos e contraexemplos; utiliza modelos, 
diagramas e símbolos para representar conceitos; passa de uma 
forma de representação para outra; reconhece vários significados 
e interpretações de um conceito; compara-os e agrega.
Procedimentos
Procedimentos matemáticos são, por exemplo, os algoritmos 
ou as técnicas de cálculo, as maneiras de representar retas para-
lelas, retas perpendiculares, ângulos etc.
A avaliação do estudante quanto ao conhecimento de proce-
dimentos deve indicar se ele: executa uma atividade matemática 
com confiança e eficiência; justifica os passos de um procedimen-
to; elabora algoritmos e fluxogramas; reconhece se um proce-
dimento ou uma parte dele é adequada ou não a determinada 
situação e se funciona ou não; e, sobretudo, cria procedimentos 
corretos e simples.
Comunicação
Na sala de aula, debatemos ideias e conceitos matemáticos, par-
tilhamos descobertas, confirmamos hipóteses e adquirimos conhe-
cimentos matemáticos pela escrita, pela fala e pela leitura. O pró-
prio ato de comunicar clareia e organiza o pensamento, auxiliando 
o estudante a se envolver na construção do raciocínio matemático.
Ao avaliar como o estudante comunica as ideias matemáticas, é 
preciso verificar se ele: se expressa oralmente, por escrito, de ma-
neira visual ou por demonstrações com o material pedagógico; se 
compreende e interpreta corretamente ideias matemáticas apre-
sentadas de forma escrita, oral ou visual; e se utiliza corretamente 
o vocabulário matemático e a linguagem matemática para repre-
sentar ideias, descrever relações e construir modelos da realidade.
Como agir diante dos erros dos estudantes
Os erros são naturais e inerentes ao processo de aprendizagem. 
Pode-se aprender muito pelo erro, considerado um apoio para no-
vas ideias. Quando o estudante erra e, com naturalidade, analisa 
o próprio erro, aumenta as chances de não o cometer novamente, 
configurando a aprendizagem. Por esse motivo, o erro precisa ser 
compreendido como parte do processo de construção do conheci-
mento – é natural errar –, e essa liberdade permite ao estudante a 
experimentação de novas ideias, de caminhos diferentes.
Encarados com naturalidade e racionalmente tratados, os erros passam a 
ter importância pedagógica, assumindo um papel profundamente constru-
tivo, e servindo não para produzir no aluno um sentimento de fracasso, mas 
para possibilitar-lhe um instrumento de compreensão de si próprio, uma 
motivação para superar suas dificuldades e uma atitude positiva para o seu 
futuro pessoal. (PAVANELLO & NOGUEIRA, 2006, p. 37)
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XXXI
 ⓿ Os conceitos são, em geral, desencadeados a partir de um pro-
blema, como é recomendado pelos educadores matemáticos que 
trabalham com formulação e resolução de problemas; a modela-
gem matemática é feita pela procura de modelos matemáticos de 
acordo com os problemas reais; as abordagens da História da Ma-
temática são trabalhadas por meio de diversas leituras; o uso das 
tecnologias digitais, como calculadoras, computadores, softwares 
e a internet, é indicado em vários momentos desta coleção; e as 
tecnologias de informação e comunicação são abordadas em ati-
vidades diversas, sempre com orientações para o professor.
 ⓿ Considera-se a exploração das etapas na resolução de um pro-
blema, como leitura e compreensão, elaboração de um plano, 
execuçãodo plano, verificação e emissão da resposta.
 ⓿ Existe a proposta de uma apropriação gradativa dos conheci-
mentos, uma vez que o cuidado com a progressão do conhe-
cimento é de fundamental importância. Assim, um dos obje-
tivos norteadores desta coleção é permitir que os estudantes 
revisitem as experiências e identifiquem aprendizagens ante-
riores, as consolidem e as ampliem.
 ⓿ As atividades propostas procuram incentivar a experimenta-
ção e a reflexão, fornecendo aos estudantes a oportunidade 
de conversar sobre Matemática, de acordo com as próprias 
vivências, além de trabalhar os conceitos em problemas, desa-
fios, pesquisas e trabalhos interdisciplinares e artísticos.
 ⓿ Prioriza-se a compreensão dos conceitos e procedimentos para 
a possível aplicação na formulação e na resolução de problemas. 
Por isso, minimiza-se o cálculo mecânico, os problemas-padrão 
rotineiros, o uso excessivo de técnicas e dispositivos práticos, a 
memorização de fórmulas sem compreensão, o excessivo cálcu-
lo com radiciação, a ênfase nos cálculos com frações, aumentan-
do-a nos cálculos com decimais – tendo em vista a aplicação real 
deles nas medidas, no sistema monetário e nas calculadoras.
 ⓿ Procura-se ajudar os estudantes a construir e desenvolver con-
ceitos e procedimentos matemáticos, sempre compreendendo 
e atribuindo significado ao que estão fazendo, evitando a sim-
ples memorização e a mecanização. Também, sempre que pos-
sível, busca-se trabalhar com problemas contextualizados e, 
posteriormente, aplicar os conceitos em situações cotidianas, 
na própria Matemática ou em outras áreas do conhecimento.
 ⓿ Objetiva-se trabalhar, sempre que possível, a Matemática de 
maneira transversal e integrada com outros componentes curri-
culares – Ciências, Língua Portuguesa, História, Geografia, Arte, 
etc. – e com os Temas Contemporâneos Transversais por meio de 
textos e problemas a serem realizados em duplas ou em grupos.
Os Volumes desta coleção
Cada um dos 4 Volumes do Livro do Estudante está organizado em capítulos (6o ano – 10 capítulos, 7o ano – 9 capítulos, 8o ano – 
8 capítulos e 9o ano – 9 capítulos) que abordam todas as Unidades temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e 
Probabilidade e estatística.
Conheça os principais conteúdos de cada capítulo dos 4 Volumes.
Capítulo Conteúdos
Capítulo 1: Números naturais e sistemas 
de numeração
 1. Números naturais: um pouco de História
 2. Onde usamos os números naturais
 3. Números naturais
Capítulo 2: Operações com 
números naturais
 1. Adição de números naturais
 2. Subtração de números naturais
 3. Adição e subtração: operações inversas
 4. Multiplicação de números naturais
 5. Divisão de números naturais
 6. Multiplicação e divisão: operações inversas
 7. Cálculo mental
 8. Arredondamento e resultado aproximado
 9. Igualdades e propriedades das igualdades
 10. Resolução de problemas envolvendo as 4 operações
 11. Potenciação de números naturais
 12. Expressões numéricas envolvendo as operações estudadas
 13. A ideia de função
Capítulo 3: Sólidos geométricos
 1. Sólidos geométricos
 2. Prismas e pirâmides
 3. Principais corpos redondos
Capítulo 4: Múltiplos e divisores
 1. Múltiplos de um número natural
 2. Divisores de um número natural
 3. Múltiplo e divisor de um número natural
 4. Número primo
Capítulo 5: Ângulos e polígonos
 1. Ponto, plano e reta
 2. Ângulos
 3. Retas paralelas e retas concorrentes
 4. Regiões planas e contornos
 5. Polígonos
 6. Plano cartesiano
 7. Ampliação e redução de figuras planas
Volume 6
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XXXII
Capítulo Conteúdos
Capítulo 1: Números inteiros e 
sequências
 1. Explorando a ideia de número positivo e de número negativo
 2. O conjunto dos números inteiros
 3. Comparação de números inteiros
 4. Operações com números inteiros
 5. Expressões numéricas com números inteiros
 6. Representação de pares ordenados de números inteiros no plano cartesiano 
(coordenadas cartesianas)
 7. Sequências
Capítulo 2: Revendo e aprofundando 
múltiplos, divisores e frações
 1. Múltiplos e divisores de números naturais
 2. Frações
Capítulo 3: Números racionais e 
cálculo de porcentagem
 1. Os números racionais
 2. Operações com números racionais
 3. Cálculo de porcentagem
Capítulo 4: Expressões algébricas 
e equações do 1o grau
 1. Expressões algébricas
 2. Equações
 3. Equações do 1o grau com 1 incógnita
Capítulo 5: Geometria: circunferência, 
ângulo e polígono
 1. Circunferência e círculo
 2. Ângulo
 3. Polígono
 4. Soma das medidas de abertura dos ângulos de um polígono
Capítulo 6: Proporcionalidade
 1. As ideias de proporcionalidade e de razão
 2. Proporções
 3. Números proporcionais
 4. Regra de 3 simples
 5. Outras atividades e problemas que envolvem proporcionalidade
Capítulo 7: Noções de estatística 
e probabilidade
 1. Pesquisa estatística e termos relacionados
 2. Média aritmética
 3. Gráfico de setores
 4. Probabilidade
Capítulo 8: Simetria
 1. Tipos de simetria
 2. Simetrias no plano cartesiano
Capítulo 9: Perímetro, área e volume
 1. Perímetro
 2. Área
 3. Volume
Volume 7
Capítulo Conteúdos
Capítulo 6: Frações e porcentagem
 1. Algumas ideias associadas à fração
 2. Frações equivalentes
 3. Comparação de frações
 4. Adição e subtração de frações
 5. Frações em ampliação e redução de figuras planas
 6. Porcentagem
Capítulo 7: Decimais
 1. Décimos, centésimos e milésimos
 2. Decimais e o sistema de numeração decimal
 3. Comparação de decimais
 4. Operações com decimais
 5. Outras situações envolvendo os decimais e as operações
 6. Porcentagem na forma decimal
Capítulo 8: Grandezas geométricas: 
comprimento, perímetro e área
 1. Grandeza comprimento
 2. Grandeza perímetro
 3. Grandeza área
 4. As grandezas perímetro e área em vistas aéreas e plantas baixas
Capítulo 9: Outras grandezas e medidas
 1. Grandeza massa
 2. Grandeza volume
 3. Grandeza capacidade
 4. Mais grandezas
Capítulo 10: Probabilidade e pesquisa 
estatística
 1. Probabilidade
 2. Pesquisa estatística
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XXXIII
Capítulo Conteúdos
Capítulo 1: Números, dos naturais aos 
racionais, e sequências
 1. Conjuntos numéricos
 2. Potenciação
 3. Radiciação
 4. Sequências
Capítulo 2: Estatística e probabilidade
 1. Termos de uma pesquisa estatística
 2. Representação gráfica dos dados de uma pesquisa
 3. Medidas de tendência central
 4. Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem
 5. Probabilidade
Capítulo 3: Área e volume
 1. Retomando e aprofundando o cálculo de medida de área
 2. Retomando e aprofundando o cálculo de medidas de volume e medidas de capacidade
Capítulo 4: Expressões algébricas, 
equações e proporcionalidade
 1. Expressões algébricas
 2. Equações
 3. Proporcionalidade
Capítulo 5: Lugares geométricos e 
construções geométricas
 1. Construções geométricas com régua, esquadro, transferidor e compasso
 2. Lugares geométricos
 3. Mais construções geométricas com régua não graduada e compasso
Capítulo 6: Triângulos e quadriláteros
 1. Ampliando o estudo dos triângulos
 2. Ampliando o estudo dos quadriláteros
Capítulo 7: Sistema de equações do 
1º grau com 2 incógnitas
 1. Equações do 1º grau com 2 incógnitas
 2. Sistemas de 2 equações do 1º grau com 2 incógnitas
Capítulo 8: Transformações geométricas
 1. Transformações geométricas
 2. Composição de transformações geométricas
Volume 8
Capítulo Conteúdos
Capítulo 1: Números reais
 1. Conjunto dos números racionais (Q)
 2. Conjunto dos números irracionais (I)
 3. Conjunto dos números reais (R)
 4. Operações com raízes
 5. Potenciação com base real
Capítulo 2: Produtos notáveis, fatoração 
e equações do 2º grau
 1. Produtos notáveis
 2. Fatoração de polinômios
 3. Equações do 2º grau com 1 incógnita
Capítulo 3: Proporcionalidade e juros
 1. Retomando as ideiasde razão e de proporção
 2. Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales
 3. Outras situações que envolvem proporcionalidade em Geometria
 4. Juros
Capítulo 4: Geometria: semelhança, 
perspectiva e vistas ortogonais
 1. Semelhanças de figuras
 2. Perspectivas: técnicas para representação de objetos no plano
Capítulo 5: Estatística, combinatória e 
probabilidade
 1. Estatística
 2. Combinatória: método de contagem
 3. Probabilidade
 4. Estatística e Probabilidade
Capítulo 6: Relações métricas nos 
triângulos retângulos
 1. Uma grande descoberta que envolve medidas de área: o teorema de Pitágoras
 2. Os elementos e as relações métricas nos triângulos retângulos
 3. Aplicações importantes do teorema de Pitágoras
Capítulo 7: Explorando a ideia de função
 1. A ideia de função
 2. Construção do gráfico de uma função
 3. Função quadrática
Capítulo 8: Grandezas e medidas
 1. Grandezas e medidas no plano cartesiano
 2. Volume de sólidos geométricos
 3. Unidades de medida de outras grandezas
Capítulo 9: Circunferência e círculos
 1. Circunferência e círculo
 2. Circunferências, retas e polígonos
 3. Ângulos em uma circunferência
Volume 9
Os objetos de conhecimento e as habilidades a serem explorados em cada Unidade temática estão distribuídos nos capítulos e ar-
ticulados ao longo do livro, retomando, ampliando e aprofundando conceitos, procedimentos e atitudes trabalhados nos Anos Iniciais 
do Ensino Fundamental.
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XXXIV
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se software são úteis, mas pouco ins-
trutivas no estudo da Geometria.
Retome com os estudantes algumas informações, como a de que 2 pontos definem 
uma reta. Em seguida, peça a eles que, no GeoGebra, marquem 6 pontos quaisquer 
clicando no botão “Ponto” .
Os estudantes devem verificar que, ao clicar no botão “Reta” e em 2 pontos (A e 
B), que foram anteriormente marcados, o software traça uma reta para eles.
Agora, peça aos estudantes que cliquem no botão “Semirreta” e em 2 pontos 
(primeiro C e depois D).
A ordem de escolha dos pontos é importante. Se escolherem primeiro o ponto D e, 
depois, o C, devem obter uma imagem como esta:
Agora, solicite aos estudantes que cliquem no botão “Segmento” e em 2 pontos (E e F).
Por fim, oriente os estudantes a explorar as características das figuras geométricas 
planas traçadas e a representação matemática de cada uma: 
s ru
AB , 
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CD (ou 
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DC) e EF. 
Eles devem ter clareza de que: a reta é infinita e definida por 2 pontos; a semirreta 
tem um ponto como origem e é infinita no sentido do outro ponto que a define; e o 
segmento de reta tem 2 pontos como extremidades.
Sugestão de atividade
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5o passo: Para representar a reta paralela à 
s ruu
AB, basta você representar uma 
reta perpendicular à 
s ru
EF seguindo os passos anteriores.
Observação: O GeoGebra também permite representar retas perpendiculares 
e paralelas de uma maneira mais prática, usando os botões “Reta perpendicular” 
 e “Reta paralela” . Esses botões aparecem no menu "Construções", abaixo 
das ferramentas básicas, quando se clica em "mais". Salve suas representações e 
faça novas, usando esses botões e representando diversas retas.
Medição da abertura de ângulos no GeoGebra
No GeoGebra, temos o botão “Ângulo” no menu de ferramentas para me-
dir a abertura de ângulos. Nessa opção, a medição é feita com a orientação anti-
-horária e, portanto, a ordem pela qual as retas são selecionadas é importante. 
Siga os próximos passos para medir ângulos entre retas perpendiculares e 
entre retas quaisquer.
1o passo: Represente um par de retas perpendiculares.
2o passo: Clique no botão “Ângulo” e clique nas 2 retas. Qual foi a medi-
da de abertura do ângulo obtido entre elas?
3o passo: Clique no botão “Mover” e depois movimente lentamente uma 
das retas. O que você percebe?
4o passo: Salve seu trabalho. Em seguida, represente 2 retas quaisquer que 
sejam concorrentes oblíquas. 
Clique no botão “Ângulo” e meça a abertura do ângulo entre essas retas. Em 
seguida, clique na opção “Mover” e movimente lentamente uma das retas. O 
que você percebe?
90¡
Toda a construção se movimenta, mantendo o perpendicularismo das retas, e a 
medida de abertura do ângulo entre elas se mantém.
Apenas a reta selecionada se movimenta, e a medida de abertura 
do ângulo se mantém.do ângulo se mantém.
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Tela 3: Medição da abertura de um ângulo no GeoGebra.
143
143
Matemática e
tecnologias digitais
Auxilie os estudantes na seleção das 
retas, de modo a obter a medida de 
abertura do menor ângulo formado en-
tre elas.
Ao representar retas concorrentes 
oblíquas e medir a abertura do ângu-
lo entre elas, é possível que apareçam 
medidas representadas com decimais.
Note que as funções utilizadas nesta 
seção expressam muito pouco da capa-
cidade do GeoGebra. Para entendê-lo 
melhor, é necessário praticar e estudar, 
e, para isso, é possível consultar diver-
sas atividades no site indicado para o 
download desse programa.
As atividades propostas favorecem 
o pensamento computacional, pois os 
estudantes são levados a seguir alguns 
passos para realizar as construções pro-
postas. No 5o passo, a construção da re-
ta paralela à 
s ru
AB incentiva o raciocínio 
por analogia, uma vez que eles podem 
comparar as construções realizadas an-
teriormente e perceber que essa reta é 
obtida construindo uma reta perpendi-
cular à 
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EF .
V
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Conheça seu Manual
Na Parte geral deste Manual, você encontrará os principais fundamentos teóricos que embasam esta coleção e participará de refle-
xões sobre temas pertinentes à educação, de maneira geral, e à Educação Matemática, de modo mais específico.
De acordo com essa proposta, as temáticas abordarão a importância da resolução e da elaboração de problemas e, claro, os processos 
avaliativos, que são inerentes à educação e à nossa prática.
No que diz respeito à prática, este Manual também inclui temas que envolvem a importante profissão do professor e oferece dife-
rentes exemplos e sugestões para aprofundar e ampliar sua prática pedagógica no uso desta coleção.
Na Parte específica deste Manual, explanamos os principais conteúdos desenvolvidos no Volume, de acordo com cada Unidade temáti-
ca da BNCC. Apresentamos sugestões de cronograma para orientá-lo na organização das aulas, com os capítulos e as seções do Volume, e 
citamos, para cada capítulo, os objetivos pedagógicos, as habilidades, as competências gerais e as competências específicas mobilizadas, 
bem como as orientações específicas para o capítulo.
Ainda na Parte específica deste Manual, apresentamos as resoluções completas e comentadas de todas as atividades presentes no 
Livro do Estudante.
No final deste Manual, você encontrará a reprodução reduzida do Livro do Estudante com as respostas das atividades, além de mais 
orientações didáticas e sugestões para seu planejamento, prática diária e reflexões sobre a aprendizagem.
Habilidades da BNCC 
abordadas no tópico 
ou seção.
Comentários e 
orientações em cada 
página, além de 
sugestões de 
acompanhamento 
para os estudantes 
que apresentarem 
mais dificuldade, e 
sugestões de 
aprofundamento e de 
possibilidades de 
ampliação, inclusive 
interdisciplinares, 
quando possível.
Sugestões de atividades, textos, leituras e 
jogos para o professor e para os estudantes.
Reprodução reduzida de cada 
página do Livro do Estudante com 
as respostas das atividades.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 5III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 5 13/07/22 11:3813/07/22 11:38
VI
O ensino e a aprendizagem de Matemática nos Anos Finais
do Ensino Fundamental
É inegável que o mundo passa por transformações rápidas e 
significativas, causa ou consequência da evolução tecnológica, das 
ressignificações de tempo e espaço, e do desenvolvimento da so-
ciedade. Dessa maneira, uma educação pautada na transmissão de 
conhecimentos há tempos não atende às demandas do mundo con-
temporâneo e essa constatação nos leva a refletir sobre a educa-
ção, o nosso papel nesse contexto e a própria prática pedagógica.
Diretrizes oficiais, como a Lei de Diretrizes e Bases da Educação 
Nacional – LDB (Lei nº 9.394/1996), o Plano Nacional de Educação 
PNE – 2014-2024 (Lei nº 13.005/2014), as Diretrizes Curriculares 
Nacionais Gerais para a Educação Básica (Resolução CNE/CEB 
nº 7/2010) e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) apontam 
de maneira significativa para a mesma direção e destacam a 
necessidade de pensar no educando em sua integralidade, de ma-
neira atenta e cuidadosa, objetivando a formação cidadã.
Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB 
(Lei nº 9.394/1996)
Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/ 
l9394.htm.*
Plano Nacional de Educação PNE – 2014-2024 
(Lei nº 13.005/2014)
Disponível em: https://pne.mec.gov.br/18-planos-subnacio 
nais-de-educacao/543-plano-nacional-de-educacao-
lei-n-13-005-2014.*
Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica 
(Resolução CNE/CEB nº 7/2010)
Disponível em: http://portal.mec.gov.br/conaes-comissao-nacio 
nal-de-avaliacao-da-educacao-superior/323-secretarias-112877 
938/orgaos-vinculados-82187207/12992-diretrizes-para-a-edu 
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XLII
As seções e os boxes desta coleção e ideias de 
como explorá-los
Cada Volume do Livro do Estudante desta coleção está orga-
nizado em capítulos e apresenta seções e boxes. Com o objetivo 
de oferecer melhor aproveitamento, servindo também como su-
gestão de roteiro para as aulas, compartilhamos, a seguir, nossa 
intenção ao elaborar as várias seções e os boxes desta coleção, 
propondo algumas sugestões de como trabalhá-los.
 Apresentação
Na abertura de cada Volume há 
um texto destinado aos estudantes, 
que os incentiva a se dedicarem aos 
estudos. Pode ser trabalhado logo na 
primeira aula, por meio de uma leitu-
ra individual ou coletiva.
 Sumário
Contém a enumeração dos capí-
tulos e das principais seções do livro, 
além de expor aos estudantes o que 
eles vão encontrar no livro de Mate-
mática e qual é a estrutura dos capí-
tulos. Desse modo, podem conhecer 
o material, os conteúdos e as seções 
que eles trabalharão ao longo do 
ano letivo.
 Ponto de partida
No início de cada Volume, antes do primeiro capítulo, a seção 
apresenta uma série de atividades para iniciar o trabalho com os 
estudantes, visando levantar o que eles já sabem e possíveis difi-
culdades sobre alguns assuntos da Matemática. Com isso, é pos-
sível traçar estratégias eum plano de ação geral para a turma e 
outro específico para cada estudante antes de iniciar o trabalho 
com os capítulos.
Nas orientações didáticas deste 
Manual que acompanham as respec-
tivas páginas do Livro do Estudante, 
apresentamos sugestões de como 
trabalhar as atividades da seção, bem 
como possibilidades de intervenções 
para remediação das dificuldades 
apresentadas pelos estudantes.
 Abertura do 
capítulo
Cada capítulo é iniciado 
com imagens e textos que 
procuram contextualizar os 
assuntos que serão apre-
sentados, relacionando-os 
a vivências cotidianas. No 
boxe Para come•ar, são 
apresentadas atividades 
que situam os estudantes 
como protagonistas dessa 
exploração.
Incentive os estudantes a criar inferências sobre os assuntos 
e oriente-os no momento de socialização das respostas às ativi-
dades. Incentive também a participação de todos e verifique os 
conhecimentos que eles já têm sobre os assuntos.
 Explore para descobrir
As atividades do boxe visam promover a aprendizagem signi-
ficativa por meio da experimentação de conteúdos matemáticos, 
que inclui a confecção, a manipulação e a exploração de materiais 
concretos e o projeto de conjecturar, por exemplo, regularidades 
numéricas, regularidades algébricas e propriedades antes das 
formalizações conceituais. Nas atividades propostas, os estudan-
tes verificam possibilidades, descobrem e constroem relações, in-
vestigam concretamente diversas situações propostas, concluem 
e sistematizam, desenvolvendo, assim, a argumentação matemá-
tica e o raciocínio lógico indutivo e dedutivo. Também exercitam o 
diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação; é o protagonis-
mo do estudante em ação.
Considere as adições: 5 1 0 5 5 0 1 734 5 734 0 1 13 5 13 1 595 1 0 5 1 595
a) O que essas adições têm em comum?
b) Analise os resultados. O que você percebeu?
c) No caderno, registre outras adições em que uma das parcelas é 0 (zero).
Todas têm o 0 (zero) como uma das parcelas.
Cada resultado é igual à parcela diferente de 0 (zero).
Resposta pessoal.
Explore para descobrir
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
Há um provérbio chinês que diz:
Eu ouço e eu esqueço
Eu vejo e eu lembro
Eu faço e eu aprendo.
Aprender fazendo é um dos objetivos desta coleção e, em es-
pecial, das atividades desse boxe. Assim, ao acompanhar os 
estudantes agindo (fazendo verificações, testando proposições, 
recortando, medindo, comparando, etc.), você terá a oportunida-
de de verificar os conhecimentos, as aptidões e as dificuldades de 
cada um deles. De acordo com essa observação, sua ação peda-
gógica se torna mais eficaz. Para ampliar as explorações, os estu-
dantes podem criar um dicionário matemático ou um caderno de 
descobertas matemáticas no qual podem registrar termos, des-
cobertas, significados e utilizações de conteúdos da Matemática.
 Bate-papo
As atividades propostas nesse boxe são, essencialmente, orais 
e em grupo, para que os estudantes conversem informalmente so-
bre Matemática entre eles e com você. Nos momentos propostos, 
há uma troca de ideias, percepções e experiências. Ao se expres-
sar oralmente, cada estudante organiza 
as ideias e o pensamento. Ao verbalizar 
conceitos e procedimentos, ele promove 
a comunicação matemática, que auxilia a 
aprendizagem.
Aproveite para verificar como os es-
tudantes se expressam, como pensam, 
como escutam, que tipo de dificuldades 
têm, etc. e aja pedagogicamente consi-
derando essa observação, visando sem-
pre ao exercício da empatia, ao respeito e 
à cooperação entre eles.
Reprodução de parte da 
página 44 do capítulo 2, 
no Volume 6 do Livro do 
Estudante.
 1 Analise a tabela que indica as medidas de tem-
peratura ideais para o transporte e a conserva-
ção de determinados alimentos.
Produto Medida de temperatura
Produtos congelados
Até 212 °C ou conforme a 
recomendação do fabricante
Carnes e derivados 
resfriados
Até 7 °C ou conforme a 
recomendação do fabricante
Pescados resfriados
Até 3 °C ou conforme a 
recomendação do fabricante
Demais produtos 
resfriados
Até 10 °C ou conforme 
a recomendação do 
fabricante
Preparações prontas 
para o consumo com 
pescados crus ou 
carne bovina crua
Até 5 °C
Produtos quentes No mínimo a 60 °C
Temperaturas de transporte e recebimento
Fonte dos dados: PREFEITURA DE SOROCABA. Vigilância 
Sanitária. Manual de conservação de alimentos. Disponível 
em: https://saude.sorocaba.sp.gov.br/vigilanciaemsaude/
wp-content/uploads/sites/5/2017/08/folder-consevaco-de
-alimentos.pdf. Acesso em: 9 mar. 2022.
 a) Qual produto deve ser conservado em me-
nor temperatura?
 b) Em uma indústria alimentícia, há refrigerado-
res para armazenar alimentos com as seguin-
tes medidas de temperatura: 22,3 °C; 3,4 °C;
4,2 °C e 20,5 °C. No caderno, represente uma
reta numérica e localize cada uma dessas
medidas.
 c ) Quais refrigeradores dessa empresa podem 
armazenar pescados e derivados?
 2 Júlia tinha R$ 650,72 na conta bancária. Ela fez 
um saque no valor de R$ 200,00, um depósito 
no valor de R$ 52,48 e 2 outros saques no valor 
de R$ 320,00 cada um. Ao final dessas transa-
ções, Júlia ficou com o saldo bancário negativo 
e precisou fazer mais um depósito. 
 a) Se o depósito foi realizado apenas com cé-
dulas de R$ 20,00 e moedas, quantas cédu-
las ela usou para deixar o saldo zerado?
Os produtos congelados.
 b) Qual foi a quantia depositada em moedas?
 c ) Utilize uma expressão numérica para repre-
sentar no caderno o saldo e todos os saques 
e depósitos que Júlia realizou.
 3 Bruno encheu o tanque do carro para fazer uma 
viagem. Na primeira hora de viagem, verificou 
que havia consumido um oitavo do combustí-
vel no tanque. Algumas horas depois, verificou 
que havia utilizado, na segunda parte do traje-
to, o triplo da quantidade de combustível que 
havia consumido na primeira hora da viagem.
Abastecimento de tanque de carro.
Considerando o percurso da viagem até esse 
momento, foi consumido:
 a) todo o combustível no tanque.
 b) metade do combustível no tanque.
 c ) mais da metade do combustível no tanque.
 d) menos da metade do combustível no tanque.
 4 Um produto custava, inicialmente, 
R$ 100,00. O preço do produto sofreu um au-
mento de 15% e, depois, um desconto de 15%. 
O produto retornou ao valor inicial? Use uma 
calculadora para verificar seus cálculos.
R$ 16,80 (136,80 2 120 5 16,80)
Exemplo de 
resposta: 650 2 200 1 50 2 2 ? 300 1 6 ? 20 1 16,80 5 0.
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
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22,3 °C 20,5 °C °C3,4 °C 4,2 
1. b)
1. c) Os refrigeradores com medida de
temperatura 22,3 °C e 20,5 °C, respectivamente.
6 cédulas. (650,72 2 200 1 52,48 2 2 ? 320 5 2136,80; 
136,80 4 20 5 6 e resto 16,80)
3. Alternativa b. 1 ? 5 5
1
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1
2




Não. (Exemplo de cálculo: 100 ? 1,15 5 115; 
115 ? 0,85 5 97,75; 100 = 97,75.)
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A p r e s e n t a ç ã o
Caro estudante,
Bem-vindo a esta nova etapa de estudos e 
aprendizagens.
Como você já deve saber, a Matemática é 
uma parte importante da sua vida. Ela está 
presente em todos os lugares e em todas 
as situações do seu cotidiano: na escola, no 
lazer, nas brincadeiras, em casa.
Escrevemos este livro para você com-
preender as ideias matemáticas e aplicá-las 
em seu dia a dia. Estamos certos de que fará 
isso de maneira prazerosa, agradável e par-
ticipativa. Isso porque, ao longo deste li vro, 
você será convidado a pensar, explorar, re-
solver problemas e desafios, trocar ideias 
com os colegas, analisar seu entorno, ler 
sobre a evolução histórica da Matemática, 
trabalhar em equipe, conhecer curiosidades, 
investigar, pesquisar, argumentar, redigir e 
divertir-se.
Gostaríamos muito de que você aceitasse 
este convite com entusiasmo e dedicação, 
participando ativamente de todas as ativi-
dades propostas.Vamos começar?
Um abraço,
Os autores
3
S u m á r i o
Ponto de partida ........................................... 12
1
Números inteiros e sequências ........... 16
1 Explorando a ideia de número 
positivo e de número negativo ................. 18
Temperatura ................................................. 18
Altitude ......................................................... 20
Fuso horário civil ......................................... 20
Valor monetário ........................................... 21
2 O conjunto dos números inteiros ............. 23
Representação na reta numérica ............ 23
Módulo ou valor absoluto de 
um número inteiro ....................................... 25
Números opostos ou simétricos .............. 26
3 Comparação de números inteiros ............ 27
4 Operações com números inteiros ............. 29
Adição de números inteiros ...................... 29
Subtração de números inteiros ................ 32
Conexões e leitura: 
Acima e abaixo de zero ............................... 35
Multiplicação de números inteiros .......... 36
Divisão de números inteiros ..................... 38
Potenciação: número inteiro na base 
e número natural no expoente ................. 39
Conexões e leitura: 
Transações financeiras ............................... 41
5 Expressões numéricas com 
números inteiros .......................................... 42
6 Representação de pares ordenados de 
números inteiros no plano cartesiano 
(coordenadas cartesianas) ........................ 43
7 Sequências .................................................... 45
Sequência finita e infinita ......................... 46
Sequência recursiva .................................... 47
Para ler, pensar e divertir-se ........................... 48
Testes oficiais ...................................................... 49
Ponto de checagem .................................... 50
4
Ponto de partida
Nas primeiras páginas do 
livro, você vai encontrar 
atividades para verificar 
seus conhecimentos sobre 
assuntos que já estudou 
em Matemática nos anos 
anteriores. Aproveite para 
identificar os conteúdos em 
que você tem dificuldades e 
tirar todas as suas dúvidas 
com o professor.
p
Converse com um colega 
e descubram por que o 
oposto de um número 
racional recebe também o 
nome de simétrico.
Bate-papo
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
Reprodução da 
página 3, no 
Volume 7 do Livro 
do Estudante.
Reprodução da página 4, 
no Volume 7 do Livro do 
Estudante.
Reprodução da página 12, 
no Volume 8 do Livro do 
Estudante.
Reprodução das páginas 16 e 17 do capítulo 1, 
no Volume 9 do Livro do Estudante.
Reprodução de parte da 
página 88 do capítulo 3, 
no Volume 7 do Livro do 
Estudante.
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Plantação de eucaliptos.
Plantação de soja.
16
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Na fazenda de Pedro e Giovana, podemos concluir que a medida de comprimento do lado do terreno 
com a plantação de eucaliptos é 100 m, já que 1002
5 10 000 e que o terreno tem o formato quadrado.
Contudo, não parece tão fácil determinar a medida de comprimento do lado do terreno com plantação 
de soja, que também tem o formato quadrado. Qual número elevado ao quadrado resulta em 8 500? Neste 
capítulo, vamos aprender que esse é um número irracional e vamos aprender maneiras de trabalhar com ele.
 1 Quanto mede o comprimento do lado de uma horta quadrada com medida de área de 81 m2?
 2 Como você indicaria a medida de comprimento do lado de uma praça quadrada com medida de 
área de 70 m2? 70 m
 3 Qual é a característica comum a todos os números racionais?
 4 Como ficam os números racionais a seguir, representados na forma decimal?
 a) 
3
4
 b) 
1
2
2 c ) 2
3
5
 d) 
8
3
2
9 m (81 5 9 3 9)
Todos podem ser escritos na forma de 
fração com numerador e denominador 
inteiros e denominador diferente de zero.
20,5
2,6 



5 5 4 52
3
5
13
5
13 5 2, 6
x 
x 
x x 10 000 m
2
y
y
y y8 500 m
2
Sabendo que a medida 
de área do terreno da 
plantação de soja é 
8 500 m2 e que o terreno 
tem o formato quadrado, 
temos que a medida de 
comprimento do lado dele é 
tal que, quando elevada a 2, 
é igual a 8 500.
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A medida de comprimento 
do lado do terreno com a 
plantação de eucaliptos só 
pode ser de 100 m, pois a 
medida de área do terreno 
é 10 000 m2 e ele tem o 
formato quadrado.
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Para começar
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
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4. a) 
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3
3
0,75 3 4 0,75 ou
3
4
75
100
0,75.
25
25
d) 22, 6 (28 4 3 5 22,666» 5 22, 6 )
AS IMAGENS NÃO ESTÃO 
REPRESENTADAS EM PROPORÇÃO.
17
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XLIII
 Raciocínio lógico
As atividades desse boxe propi-
ciam um momento a mais para os 
estudantes pensarem logicamente. 
Sendo este um dos principais objeti-
vos do estudo da Matemática, incen-
tive-os a pensar sobre o problema 
proposto e a resolvê-lo individual-
mente ou em pequenos grupos.
 Você sabia?
Este boxe apresenta informações adicionais 
ou curiosidades interessantes para mostrar aos 
estudantes uma aplicação do conteúdo estu-
dado ou para que se sintam motivados com 
o que estudarão a seguir. Traz também dados 
históricos da Matemática e informações da Et-
nomatemática para que os estudantes possam 
conhecer e valorizar a abordagem histórico-cul-
tural dessas ciências.
Fazendo um rodízio, pode-se pedir a um es-
tudante que leia em voz alta o texto, incenti-
vando a leitura e trabalhando a desinibição.
 Glossário
Neste boxe, apresentamos o significado de palavras ou expres-
sões que aparecem nos textos e que podem não ser do conheci-
mento dos estudantes. Trata-se de uma espécie de pequeno di-
cionário que promove a ampliação do vocabulário geral, além do 
vocabulário matemático continuamente apresentado e utilizado.
solstício: evento que 
ocorre 2 vezes por ano, 
marcando o início do verão 
ou do inverno.
O famoso matemático também contribuiu com outras ciências, como a 
Astronomia, desenvolvendo o cálculo da medida de intervalo de tempo entre 
um solstício e outro similar, a previsão e explicação de eclipses solares, etc. 
Atribui-se a Tales o famoso teorema que leva o nome dele e que você estudou 
neste capítulo. Para a época, chegar à conclusão que esse teorema indica era um grande feito, pois esse 
conceito possibilitou calcular medidas de distância inatingíveis. A primeira demonstração desse teorema 
apareceu no livro Os Elementos, organizado por Euclides, outro grande matemático que contribuiu princi-
palmente na Geometria e na Álgebra.
Fontes dos dados: MASSUQUETTO, Almir. Aprendendo em sala de aula o teorema de Tales, através da História da Matemática. Produções 
didáticos pedagógicas, v. 3. Curitiba, 2014, p. 10-11. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/
producoes_pde/2014/2014_ufpr_mat_pdp_almir_massuquetto.pdf. Acesso em: 4 mai. 2022; CYRINO, Hélio. Matemática e gregos. 
Campinas, SP. Átomo, 2006; BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. Revista Eletrônica 
de Educação Matemática. v. 2.5, UFSC: 2007. p. 94-106. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_
teses/2010/Matematica/artigo_bongiovanni.pdf. Acesso em: 4 maio 2022.
Reprodução de parte da página 90 do capítulo 3, no Volume 9 do Livro do 
Estudante.
 Atividades
Ao longodos capítulos, são propostas atividades e problemas 
diversos com o objetivo de fixar, ampliar e aprofundar os concei-
tos e procedimentos essenciais estudados. Há atividades do tipo 
desafio, que instigam e exigem mais perspicácia na resolução, e 
atividades do tipo cálculo mental, que visam ao desenvolvimento 
de estratégias de realização de cálculos mentais.
Em algumas atividades, há tam-
bém indicações de atividade oral e 
de atividade em dupla ou em grupo. 
Outras propostas indicam o uso de 
tecnologias digitais, como a calcula-
dora e as planilhas eletrônicas.
 Atividade resolvida passo a 
passo
Nas sugestões de atividades re-
solvidas passo a passo, os estudan-
tes encontram, de maneira detalhada 
e comentada, cada uma das etapas e 
dos passos a serem utilizados duran-
te a resolução de um problema, além 
de propostas de ampliação.
Em algumas atividades, há tam-
bém indicações de atividade oral e 
de atividade em dupla ou em grupo. 
Outras propostas indicam o uso de 
tecnologias digitais, como a calcula-
dora e planilhas eletrônicas.
 Conexões e leitura
Ao longo dos capítulos, há diversas 
ocorrências dessa seção e propõem-
-se variados gêneros textuais que am-
pliam e enriquecem o conteúdo tra-
balhado, relacionando a Matemática 
com outras áreas do conhecimento e 
mostrando algumas das aplicações. 
No final de algumas dessas seções, são 
propostas atividades para os estudan-
tes responderem, propiciando reflexão 
e interpretação do tema tratado.
A seção também possibilita tra-
balhos em grupo e a apresentação 
de seminários, incentivando pesqui-
sas aprofundadas sobre o assunto estudado e o aprimoramento 
das práticas de pesquisa. Após realizarem as pesquisas, cada gru-
po também pode utilizar as informações obtidas e criar questio-
namentos, solicitando que outros grupos respondam.
 Matemática e tecnologias 
digitais
Essa seção, distribuída ao longo 
de cada Volume, permite aos estu-
dantes explorar diferentes ferramen-
tas tecnológicas, como a calculadora, 
o computador e diversos softwares 
livres, como planilhas eletrônicas e 
softwares de Geometria dinâmica. 
Incentive a troca de ideias entre 
os estudantes sobre as atividades e 
os procedimentos para que possam 
levantar e validar hipóteses, simular 
situações e exercitar a argumentação.
 Biblioteca
O boxe apresenta sugestões de 
leituras que complementam os as-
suntos desenvolvidos no Volume.
Incentivar e promover momentos 
de leitura é um dos papéis do profes-
sor. A leitura de livros paradidáticos 
de Matemática, em especial, pode 
auxiliar na aprendizagem de várias 
maneiras, como na introdução de um 
A empresa em que Carla trabalha tem 2 diretores: Bruna e Pedro, que são diretamente subordinados ao presidente, Mário. 
Cada diretor lidera uma equipe, e em cada equipe há 2 gerentes. Carla e Ricardo são gerentes subordinados a Pedro, e cada 
gerente lidera 1 supervisor. Rosa e Felipe são gerentes subordinados a Bruna, e cada um deles lidera 1 supervisor: Antônio e 
Luísa. Analise o organograma a seguir e, no caderno, escreva o nome dos funcionários (A, B, C e D) que estão faltando.
Racioc’nio l—gico
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Mário
Presidente
Bruna
Diretora 
de vendas
Carla
Gerente 
financeiro
Clara
Supervisora
Diogo
Supervisor
B
C
Antônio
Supervisor
Felipe
Gerente de 
produtos
A
D
A: Rosa (Gerente); B: Pedro (Diretor); 
C: Ricardo (Gerente); D: Luísa (Supervisora).
“Circunferência” feita com 
retas
Você sabia que é possível obter 
uma circunferência traçando ape-
nas linhas retas?
Esta figura, feita por um artista 
minucioso, mostra que essa proeza 
gráfica é realizável. Na parte cen-
tral da figura aparece uma “circun-
ferência” composta exclusivamente 
de feixes de reta.
Do ponto de vista rigorosamente 
matemático, a parte central da fi-
gura, que parece ser uma circunfe-
rência, é apenas um polígono regu-
lar convexo com 33 lados.
Fonte dos dados: TAHAN, Malba. 
As maravilhas da Matemática. 
Rio de Janeiro: Bloch, 1972.
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Voc• sabia?
118
Atividade resolvida passo a passo
Lendo e compreendendo
O diâmetro da sombra e o diâmetro do objeto voador representam, 
respectivamente, as bases de 2 triângulos semelhantes que têm o mes-
mo vértice, supondo este vértice, um ponto situado no holofote que 
está preso ao helicóptero. O problema pede a medida de comprimento 
do raio do objeto voador não identificado.
Planejando a solução
Como os triângulos são semelhantes, as alturas e os lados homólogos são proporcionais. Então, 
vamos estabelecer essa relação de proporcionalidade entre as medidas de comprimento desses lados 
e as medidas de comprimento dessas alturas.
Executando o que foi planejado
d
d
16
30
80
16 30
80
65 ~5 ~
30
5 ~ 5
?
5
Como o problema pede a medida de comprimento do raio do “objeto voador”, teremos:
r
d
2
6
2
35 55 5 5
Verificando
As medidas de comprimento das alturas e dos lados homólogos devem determinar uma proporção:
H: medida de comprimento da altura do maior triângulo.
h: medida de comprimento da altura do menor triângulo.
B: medida de comprimento da base do maior triângulo.
b: medida de comprimento da base do menor triângulo.
H
h
B
b
80
30
16
6
80 6 30 16.5 ~5 ~
B
5 ~ 5 ~5 ~
16
5 ~ ? 56 3? 56 30 1?0 1
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Emitindo resposta
O raio do objeto voador não identificado tem medida de comprimento de 3 metros.
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80
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1
9
9
8
(Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voa-
dor não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m 
do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado 
a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme mostra a figura [...]. Sendo assim, pode-se 
afirmar que o raio do disco mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 e) 5,0
Lados homólogos são lados que estão, respectivamente, entre ângulos de medidas de abertura iguais.
Alturas homólogas são alturas relativas a lados homólogos.
Coordenadas geográficas: latitude e longitude
Em muitas situações existe a necessidade de determinar ou descrever um ponto da Terra, como na nave-
gação e no transporte aéreo. Qualquer ponto da Terra pode ser localizado utilizando como referência linhas 
imaginárias chamadas de linhas de latitude e linhas de longitude.
Como o formato da Terra é uma superfície aproximadamente esférica, essas linhas têm formato aproxi-
mado de circunferências ou de partes de circunferências. A latitude e a longitude são medidas em graus e 
em submúltiplos do grau (minutos e segundos).
Analise como podemos nos localizar na superfície da Terra. Além da linha do equador, existem 4 princi-
pais círculos de latitude que estão destacados; qualquer ponto nesses círculos tem as latitudes indicadas.
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Polo Norte: 190°
Meridiano de
Greenwich
Círculo
Polar Ártico: 
166° 348
Trópico de
Câncer:
123° 268
P
Linha do 
Equador
Trópico de
Capricórnio: 
223° 268
Círculo Polar
Antártico: 266° 348
Polo Sul: 290°
230°
280°
45°
140°
Q
N
M
Linha do
Equador
Meridiano de Greenwich
R
Qualquer ponto sobre o meridiano de Greenwich 
(que passa pelo observatório de Greenwich na 
Inglaterra) tem longitude 0°.
A longitude de um ponto P é a medida em graus, 
minutos e segundos, de 0° a 180°, correspondente 
a esta parte da circunferência.
Qualquer ponto sobre a linha do 
equador tem latitude 0°.
A latitude de um ponto P é a medida 
em graus, minutos e segundos, de 0° a 
90°, correspondente a esta parte da 
circunferência.
Por convenção, utiliza-se o sinal 
positivo (1) para indicar a latitude de 
qualquer ponto acima da linha do 
equador e um sinal(2) para indicar 
a latitude de qualquer ponto abaixo 
da linha do equador. No exemplo da 
fi gura, o ponto R está situado a uma 
latitude 140° e o ponto Q está situado 
a uma latitude 230°.
Por convenção, atribui-se o sinal positivo (1) à 
longitude de todos os pontos a leste do meridiano 
de Greenwich e o sinal negativo (2) à longitude 
de todos os pontos a oeste desse meridiano. No 
exemplo da imagem, o ponto M está situado a 
uma longitude 145° e o ponto N está situado a 
uma longitude 280°.
23
Conexões
e leitura
p
3o passo: Clique novamente em “Círculo dados centro e um de seus pontos”, clique no ponto E e, em 
seguida, no ponto C, que é o centro da circunferência, para formar uma nova circunferência de centro em 
E e raio CE . 
4o passo: Clique agora em “Ponto” e marque os 2 pontos F e G de intersecção das circunferências. Com 
ao botão “Reta”, trace a reta que passa por esses pontos. Esta é a 
s ruu
FG , perpendicular à 
s ruu
AB .
Representação de retas perpendiculares e retas paralelas no GeoGebra
O GeoGebra é um software livre e dinâmico de Matemática que pode ser uti-
lizado em diversos conteúdos de Álgebra e de Geometria, em todos os níveis de 
ensino. Ele foi criado em 2001 pelo matemático austríaco Markus Hohenwarter 
(1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.
No endereço www.geogebra.org/download, você pode fazer o download
do software “Geometria” ou acessá-lo on-line no link https://www.geogebra.org/geometry. Se precisar, 
peça para alguém mais experiente ajudá-lo com a instalação.
Considere os passos que devem ser seguidos no GeoGebra para a representação de retas paralelas e 
de retas perpendiculares. 
1o passo: Clique no botão “Reta” no menu de ferramentas básicas (à esquerda da tela, na parte su-
perior), clique em 2 pontos próximos ao centro da tela para representar uma reta horizontal.
2o passo: Clique no botão “Círculo dados centro e um de seus pontos” e clique em um ponto qual-
quer da reta e em outro ponto na tela. Em seguida, clique em “Ponto” , marque o ponto E de intersecção 
entre a circunferência e a reta (escolha um dos pontos de intersecção).
software livre: qualquer 
programa gratuito de 
computador cujo código-fonte 
deve ser disponibilizado para 
permitir o uso, o estudo, a 
cópia e a redistribuição.
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Tela 1: Representação de 
circunferência com centro 
sobre a reta no GeoGebra.
Tela 2: 
Representação de 
reta perpendicular 
no GeoGebra.
Atenção: O GeoGebra nomeia 
como círculo, mas a construção 
é de uma circunfer•ncia.
Se preferir, retire a malha 
quadriculada da tela, clicando 
no botão “Configurações”, no 
canto superior direito, em 
seguida em “Exibir malha” e na 
opção ”Sem malha”.
142
Matemática
e tecnologias digitais
Biblioteca
Aventura decimal, de 
Luzia Faraco Ramos. São 
Paulo: Ática, 2019.
Reprodução de parte da 
página 162 do capítulo 5, 
no Volume 6 do Livro do 
Estudante.
Reprodução da página 253 
do capítulo 8, no Volume 7 
do Livro do Estudante.
Reprodução da página 142 
do capítulo 5, no Volume 6 
do Livro do Estudante.
Reprodução da página 118 
do capítulo 4, no Volume 9 
do Livro do Estudante.
Reprodução da página 23 
do capítulo 1, no Volume 8 
do Livro do Estudante.
Reprodução de 
parte da página 
158 do capítulo 5, 
no Volume 8 
do Livro do 
Estudante.
Reprodução de parte da 
página 92 do capítulo 3, 
no Volume 7 do Livro do 
Estudante.
 1 No caderno, represente 2 figuras que apresen-
tem simetria axial. Trace o eixo de simetria de 
cada uma delas.
 2 Copie em uma malha quadriculada apenas as 
figuras que apresentam simetria axial e repre-
sente, em cada uma delas, o eixo de simetria.
 3 Analise as figuras e responda no caderno.
 a) Qual figura apresenta simetria axial e a linha 
tracejada é o eixo de simetria? A figura azul.
 b) Qual não apresenta simetria axial?
 c ) Qual apresenta simetria axial, mas a linha 
tracejada não é o eixo de simetria?
 4 Copie e complete as figuras em uma malha qua-
driculada de modo que a figura obtida apresen-
te simetria em relação ao eixo indicado. Mante-
nha a mesma cor nas partes simétricas. 
a) b) c)
 5 Simetria axial e operações. Analise a tabela 
com a adição de números naturais. Ela apre-
senta uma simetria em relação ao eixo verme-
lho, levando em consideração a posição dos 
números.
Resposta pessoal.
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A figura amarela.
A figura verde.
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1 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7 8
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9 10
 a) Copie a tabela no caderno e complete-a. 
Perceba que alguns quadradinhos com nú-
meros em posições simétricas estão pinta-
dos com a mesma cor. Faça o mesmo com 
mais 3 pares de números nessas condições. 
 b) Por que os números em posições simétricas 
são iguais?
 c ) Na tabela da multiplicação de números na-
turais também haverá esse tipo de simetria? 
Por quê?
 6 Analise um desenho do mosquito Aedes aegypti, 
transmissor da dengue. Por isso ele é conhecido 
como "mosquito da dengue". 
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Representação artística 
do mosquito transmissor 
da dengue.
Responda no caderno: Esse desenho apresenta 
simetria axial? Justifique sua resposta.
O mosquito da dengue tem por hábito picar durante 
o dia. Ele se desenvolve em água parada. Com os 
colegas, façam um levantamento de 3 ou mais atitudes 
que podemos tomar para prevenir a proliferação do 
mosquito da dengue.
Bate-papo
Pintura pessoal.
Sim; justificativa pessoal.
5. c) Sim, porque a multiplicação de números naturais também tem a 
propriedade comutativa.
5. b) Porque a adição de números naturais tem a propriedade comutativa, ou 
seja, trocando a ordem das parcelas, a soma permanece a mesma.
Bate-papo. Exemplos de resposta: Evitar o acúmulo de água parada em garrafas, latas, pneus, vasos de plantas e 
outros recipientes; manter bem tampados caixas-d’água, poços, cisternas e outros depósitos de água; manter tratada 
a água de piscinas.
Prática de 
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253253
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 43III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 43 13/07/22 11:3813/07/22 11:38
XLIV
novo conteúdo a ser estudado, na complementação e aprofunda-
mento após o estudo de determinado conteúdo, na ampliação de 
um conteúdo estudado e na integração entre Matemática e Língua 
Portuguesa no que se refere à leitura e à interpretação de textos. 
Além disso, é importante que os estudantes tenham acesso a di-
versos tipos de leitura, para que possam compreender as funções 
dos variados gêneros textuais.
 Na tela
O boxe traz sugestões de 
sites, softwares, simulado-
res, jogos e outros recursos 
disponíveis em dispositivos 
digitais. Os estudantes dessa 
faixa etária aprendem muito 
brincando, interagindo com 
os colegas e se desenvolven-
do integralmente. No caso de 
jogos, durante as partidas, a 
interação entre os participantes produz aprendizagem e, muitas 
vezes, o que não se aprendeu em uma aula ou em uma lição do 
livro é assimilado no momento lúdico.
Há vários sites relacionados com Matemática e conhecimentos 
gerais que os estudantes podem acessar para desenvolver apren-
dizagens. Nesse boxe, relacionamos alguns deles, disponíveis na 
época em que a obra foi publicada. Oriente os estudantes nas 
consultas e incentive-os a pesquisar outros sites coerentes com 
o que é estudado.
 Visitação
O boxe traz recomendações de visitas presenciais ou virtuais 
a parques, museus, monumentos e outros locais que favorecem a 
exploração da Matemática no cotidiano.
Visita•‹o
Museu Quilombola da Picada,localizado na zona rural de 
Ipanguaçu (RN). Há também uma galeria virtual disponível 
em: http://museuquilombolapicada.com.br/#gallery1-2. 
Acesso em: 14 mar. 2022.
 Testes oficiais
Auxiliar os estudantes a conhecer e reconhecer os processos 
de aprendizagem favorece o desenvolvimento das estratégias in-
dividuais que permitem os avanços e a superação de possíveis 
desafios.
Nessa seção, os estudantes são convidados a conhecer e a 
resolver diferentes atividades apresentadas em avaliações de 
exames de larga escala, como Saresp, Saeb, Obmep, Prova Brasil, 
entre outras, que são geralmente realizadas durante a jornada 
escolar. É importante esclarecer para a turma que, em provas 
oficiais, diversos conteúdos podem ser cobrados em uma única 
questão. Além disso, algumas ques-
tões podem apresentar linguagens 
um pouco diferentes das apresen-
tadas nos livros didáticos e é impor-
tante que eles estejam preparados 
para compreendê-las e relacioná-las.
Além da resolução das atividades, é fundamental que eles se-
jam incentivados a refletir sobre a importância da mensuração 
de resultados e do desempenho e, principalmente, a compreender 
a necessidade e a relevância de construir diagnósticos contínuos 
e dinâmicos que possam permitir replanejamentos de ações que 
favoreçam novas aprendizagens.
 Para ler, pensar e divertir-se
Essa seção faz parte do encerra-
mento de cada capítulo. É compos-
ta de uma leitura (Ler), um desafio 
(Pensar) e um divertimento (Divertir-
-se). A leitura apresenta textos rela-
cionados ao conteúdo do capítulo, a 
tópicos da História da Matemática 
ou a uma aplicação interessante da 
Matemática no cotidiano dos estu-
dantes. Essas abordagens favore-
cem o desenvolvimento de atitudes 
positivas em relação à Matemática. 
Incentive a troca de ideias sobre as 
leituras e leve-os a desenvolver ou-
tras pesquisas relacionadas que se-
jam do interesse deles.
O desafio, apesar de nem sempre se relacionar com os conteú-
dos do capítulo, traz situações interessantes e desafiadoras, que 
aguçam o raciocínio lógico dos estudantes. Trata-se, portanto, de 
mais uma oportunidade de levá-los a pensar logicamente.
O divertimento é um momento de descontração representado 
por uma brincadeira, uma atividade lúdica, uma pegadinha, etc. 
O objetivo é mostrar aos estudantes que é possível divertir-se 
com a Matemática. Muitos divertimentos clareiam e reforçam 
ideias matemáticas, melhorando a aprendizagem.
 Ponto de checagem
Essa seção permite revisar, verificar 
e avaliar a aprendizagem relacionada 
aos objetivos pedagógicos trabalha-
dos ao longo do capítulo. Tem o ob-
jetivo de checar a aprendizagem dos 
estudantes sobre conceitos e procedi-
mentos matemáticos essenciais e dar 
pistas a você, professor, do que preci-
sa ser mais bem trabalhado para que 
possa planejar os próximos passos.
Ao final, a seção apresenta uma 
proposta de autoavaliação convi-
dando os estudantes a refletir sobre 
o próprio processo de aprendizagem 
e atitudes em relação aos estudos e 
aos colegas. O objetivo é auxiliá-los a construir a autonomia em 
relação à própria aprendizagem.
Se julgar pertinente, solicite aos estudantes que produzam um 
texto sobre as aprendizagens do capítulo e sobre a maneira como 
se dedicaram aos estudos. Comente que o objetivo principal des-
se instrumento de avaliação é o remanejamento das próximas 
ações e do planejamento escolar, como a elaboração de revisões, 
se for necessário. Oriente-os a ser sinceros, refletindo sempre se 
as próprias ações geraram os resultados esperados.
Durante a correção das atividades, retome alguns conceitos e 
reserve um tempo da aula para a socialização das estratégias de re-
solução das atividades mais complexas. Nas orientações didáticas 
deste Manual, apresentamos algumas propostas de intervenções 
Na tela
Gráfico de Quadráticas, simulador para identificar 
as mudanças que ocorrem no gráfico da parábola 
ao realizar alterações nos coeficientes a, b e c. 
Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/
graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_
pt_BR.html. Acesso em: 15 abr. 2022.
8 (Prova Brasil) O número decimal 2,401 pode ser 
decomposto em:
 a) 2 1 0,4 1 0,001.
 b) 2 1 0,4 1 0,01.
 c) 2 1 0,4 1 0,1.
 d) 2 1 4 1 0,1.
9 (Saresp) O produto de 12 por 8 000 é 96 000.
 a) 9 600
 b) 960
 c) 96
 d) 9,6
10 (Saresp) Helena vende sanduíches naturais na 
cantina da escola e, devido ao aumento de cus-
tos, teve que reajustar os preços em 6%. Calcu-
le qual será o novo preço de um sanduíche que 
custava, antes do aumento, R$ 2,50.
11 (Obmep) Uma cerca de arame reta tem 12 pos-
tes igualmente espaçados. A distância entre o 
terceiro e o sexto poste é de 3,3 metros. Qual o 
comprimento da cerca?
 a) 8,4 m
 b) 9,9 m
 c) 12,1 m
 d) 13,2 m
12 (Spaece) Sabendo-se que 12% é o mesmo que 
12
100
, para se calcular 12% de 230, a operação a 
ser feita é:
 a) 12,1 3 230.
 b) 12 3 230.
 c) 1,2 3 230.
 d) 0,12 3 230.
Alternativa a.
Alternativa c.
(Um dos fatores foi 
dividido por 100 e o 
outro foi dividido por 
10, então o resultado 
será dividido por 
100 3 10 5 1 000.)
10. R$ 2,65 (6% de 
2,50 5 0,06 3 2,50 5
5 0,15; 2,50 1 0,15 5 
5 2,65)
Alternativa c.
(3,3 4 3 5 1,1; 11 3 1,1 5 12,1)
Alternativa d.
1 (Saeb) Quanto deve ser somado a 
1
4
 para que 
o resultado dê igual a 1?
 a) 0,2
 b) 0,25
 c) 0,5
 d) 0,75
2 (Prova Brasil) Na reta numérica, a melhor repre-
sentação do número P 5 3,46 é:
 a)
 b)
 c)
 d)
3 (Saeb) Dentre estes números […], um número 
maior do que 1,05 e menor do que 1,5 pode ser:
 a) 1,0.
 b) 1,1.
 c) 1,51.
 d) 1,008.
4 (Obmep) Marcos tem R$ 4,30 em moedas de 
10 e 25 centavos. Dez dessas moedas são de 
25 centavos. Quantas moedas de 10 centavos 
Marcos tem?
 a) 16
 b) 18
 c) 19
 d) 20
 e) 22
5 (Obmep) Qual dos números abaixo é maior que 
0,12 e menor que 0,3?
 a) 0,013
 b) 0,7
 c) 0,29
 d) 0,119
 e) 0,31
6 (Obmep) Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 
com uma nota de R$ 5,00 e recebeu o troco em 
moedas de R$ 0,25. Quantas moedas ele recebeu?
 a) 4
 b) 5
 c) 6
 d) 7
 e) 8
7 (Obmep) Em 1998, a população do Canadá era 
de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo repre-
senta a população do Canadá em 1998?
 a) 30 300 000
 b) 303 000 000
 c) 30 300
 d) 303 000
 e) 30 300 000 000
Alternativa d.
Alternativa c.
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(3,4seguir no caderno. Usando apenas 4 traços, tente passar por todos os pontos sem tirar 
o lápis do papel.
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Divertir-se
 Leia esta tirinha e converse com os colegas sobre o significado dela. Resposta pessoal.
Exemplo de resposta.
Início
Ilusão de ótica.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2010. p. 26.
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Para ler, pensar e divertir-se
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
293
 1 Calcule no caderno a medida de área do terre-
no representado pela região plana a seguir.
40 m
8 m
16 m
24 m
 2 Analise a região plana representada a seguir.
3 cm
1 cm
1 cm
2 cm
2 cm
Qual é a medida de área dessa região plana 
considerando cada região plana indicada nos 
itens como unidade de medida de área?
a) b)
1 cm
2 cm
 3 Uma moeda de 25 centavos tem diâme-
tro de medida de comprimento 25 mm e medi-
da de espessura 2 mm.
 No caderno, calcule o que se pede usando uma 
calculadora e considerando p 5 3,1.
 a) A medida de perímetro de cada face da 
moeda.
 b) A medida de área de cada face da moeda.
 c ) A medida de volume da moeda.
B
a
n
c
o
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m
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g
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2,5 unidades.
2,5 cm
1 cm
4 unidades.
77,5 mm (25 4 2 5 12,5; 
2 ? 3,1 ? 2,5 5 77,5)
Aproximadamente 484,375 mm2 (3,1 ? (12,5)2 5 484,375)
 4 Quantos metros cúbicos de areia pode carregar 
um caminhão cuja carroceria tem o formato de 
paralelepípedo e medidas de comprimento, lar-
gura e altura de 12 m, 3 m e 1,5 m?
 5 Os vasilhames A e B representados a seguir es-
tão cheios de água, e o vasilhame C, cujo forma-
to é cúbico, está vazio. Despejando a água de A
e B em C, este fica com 
4
5
da medida de capaci-
dade ocupada. Qual é a medida de comprimen-
to de cada aresta do vasilhame C?
3,6 L
A
2 800 mL
B
C
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 6 Analise os recipientes representados a seguir, 
depois responda no caderno: Em qual dos re-
cipientes cabe mais água? Quantos litros de 
água a mais do que no outro? (Use p 5 3.)
0,5 m
0,75 m
0,25 m
0,25 m
0,5 m
0,5 m
54 m3 (12 ? 3 ? 1,5 5 54)
1. 576 m2 (16 3 24 5 384; 40 2 16 5 24; 24 2 8 5 16; 
(24 3 16) 4 2 5 192; 384 1 192 5 576)
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
6. No recipiente 2; aproximadamente 31,25 litros a mais. (0,5 m)3 1 (0,25 m) ? (0,25 m) ? (0,5 m) 5 0,15625 m3
5
5 156,25 L; p ? (0,5 m 4 2)2 ? 1 m â 3 ? (0,25 m)2 5 0,1875 m3
5 187,5 L; 187,5 L 2 156,25 L 5 31,25 L)
Respostas pessoais.
Il
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B
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Recipiente 1.
Recipiente 2.
1 m
0,5 m
AS IMAGENS NÃO ESTÃO 
REPRESENTADAS EM PROPORÇÃO.
D
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g
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A
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u
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Ponto de checagem
125
Autoavaliação
Algumas atitudes e reflexões são fundamentais para melhorar o aprendizado e a convivência na escola. Reflita 
sobre elas.
⓿ Compreendo como resolver problemas que envolvem o cálculo de áreas, volumes e capacidades?
⓿ Verifico no cotidiano como as unidades m3 e L se relacionam e são utilizadas?
⓿ Utilizo diferentes ferramentas matemáticas para validar estratégias na resolução de problemas?
5. 20 cm (2 800 mL 5 2,8 L; 3,6 L 1 2,8 L 5 6,4 L 5 6 400 cm3; 
6 400 cm3
5 4 ? VC 4 5 ~ VC 5 8 000 cm3
~ aC
3
5 8 000 cm3
~ aC 5 20 cm)
Aproximadamente 968,75 mm³ (484,375 ? 2 5 968,75) 
Atenção
Retome os assuntos que você 
estudou neste capítulo. Verifique em 
quais teve dificuldade e converse 
com o professor, buscando maneiras 
de reforçar seu aprendizado.
Reprodução de parte da página 217 
do capítulo 7, no Volume 9 do Livro 
do Estudante.
Reprodução da página 240 
do capítulo 7, no Volume 6 
do Livro do Estudante.
Reprodução da página 125 
do capítulo 3, no Volume 8 do 
Livro do Estudante.
Reprodução de parte da 
página 84 do capítulo 2, 
no Volume 8 do Livro do 
Estudante.
Reprodução da página 293 
do capítulo 9, no Volume 7 do 
Livro do Estudante.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 44III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 44 13/07/22 11:3913/07/22 11:39
XLV
para a remediação das possíveis dificuldades apresentadas pelos 
estudantes, de acordo com os conteúdos e os objetivos pedagó-
gicos relacionados a cada capítulo.
 Ponto de chegada
Ao final de cada Volume, depois 
do último capítulo, a seção propõe 
atividades com o objetivo de avaliar 
os conhecimentos dos estudantes 
sobre os principais conteúdos estu-
dados ao longo de todo o Volume. 
Essa é uma oportunidade para iden-
tificar assuntos que precisam ser 
retomados antes de prosseguir com 
os estudos.
Peça a eles que resolvam as ati-
vidades no caderno e anotem, ao 
lado de cada uma, o sentimento que 
foi provocado ao realizá-las. A ideia é 
levá-los a identificar as atividades e 
os conteúdos que geram maior tranquilidade e conforto e aqueles 
que precisam ser retomados. Nesse momento, seu papel é perce-
ber lacunas de aprendizagem e preenchê-las com novas ativida-
des e metodologias diferentes das utilizadas anteriormente, para 
superar defasagens.
Nas orientações didáticas deste Manual, apresentamos su-
gestões de abordagem relacionadas aos conteúdos e objetivos 
pedagógicos trabalhados na seção, bem como propostas para 
remediar possíveis dificuldades apresentadas pelos estudantes.
 Respostas
Quando os estudantes terminam 
uma atividade ou resolvem um pro-
blema, eles pensam: “Será que fiz 
corretamente?”. Por isso, essa seção 
foi elaborada com as respostas das 
principais atividades, para que eles 
possam conferir as respostas obti-
das. Caso não tenham acertado, eles 
devem procurar refazer os raciocí-
nios e os cálculos individualmente.
É importante acertar a resposta, mas lembre-os de que mais 
importante ainda é o processo utilizado para chegar a ela. Incen-
tive-os a persistir na busca dos próprios caminhos e nas estraté-
gias para resolver um problema, conferindo se acertaram ou não. 
Em seguida, oriente-os a comparar as respostas e as resoluções 
com as dos colegas, para que percebam que o conhecimento 
deve ser um processo contínuo.
 Lista de siglas
Seção que apresenta o significado das siglas de provas oficiais 
que são apresentadas ao longo dos capítulos.
Lista de siglas
Enem: Exame Nacional do Ensino Médio.
Obmep: Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.
OBM: Olimpíada Brasileira de Matemática.
Saeb: Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica.
Saresp: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.
Vunesp: Vestibular da Universidade Estadual Paulista.
Reprodução de parte da página 262, no 
Volume 8 do Livro do Estudante.
 Referências bibliográficas comentadas
Para escrever uma coleção, é preciso ler e pesquisar muito. 
Apresentamos, nesta seção, referências bibliográficas comenta-
das que foram lidas e consultadas nos últimos anos para a elabo-
ração deste material.
BACICH, L.; MORAN. J. (org.). Metodologias ativas para uma 
educação inovadora: uma abordagem teórico-prática. Porto 
Alegre: Penso, 2018.
Nesse livro, os estudantes são colocados no centro do pro-
cesso educacional por meio do uso de metodologias ativas 
que favorecem a aprendizagem. Além disso, diversos tipos 
de metodologia ativa são analisados por uma perspectiva 
que se fundamenta no desenvolvimento de competências 
e na construção e formalização de conhecimentos. O livro 
serviu de referência para a concepção das propostas de uti-
lização de práticas pedagógicas nos volumes desta coleção.
BOALER, J. Mentalidades matemáticas: estimulando o potencial 
dos estudantes por meio da matemática criativa, das mensagens 
inspiradoras e do ensino inovador. Porto Alegre: Penso, 2018.
A autora propõe nesse livro que a maneira como um es-
tudante encara os próprios erros pode ser uma poderosa 
ferramenta no processode aprendizagem e de ensino. Além 
disso, são apresentados estudos recentes que mostram o 
funcionamento do cérebro durante a aprendizagem. Os 
pontos levantados foram considerados durante a elabo-
ração das propostas didáticas desta coleção.
BOALER, J. O que a Matemática tem a ver com isso?: como 
professores e pais podem transformar a aprendizagem da 
Matemática e inspirar sucesso. Porto Alegre: Penso, 2019.
A obra apresenta uma perspectiva interessante sobre a 
aprendizagem da Matemática, bem como comenta que 
alguns fatores interferem no melhor entendimento dessa 
área – entre eles, a abordagem baseada em projetos, a 
aplicação de uma avaliação que incentiva a aprendizagem 
e a adoção de determinadas estratégias e maneiras funda-
mentais de trabalhar. No livro também é definido o conceito 
do aprendizado da Matemática e a importância dele. Tais 
fatores nortearam a elaboração das propostas de avaliação 
e de projetos de pesquisa presentes nesta coleção. 
BORBA, M. de C. et al. Fases das tecnologias digitais em 
Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. 
Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Coleção Tendências em 
Educação Matemática).
Esse livro aborda a inserção de tecnologias no processo de 
ensino e aprendizagem e o impacto no ensino da Matemática 
e inspirou a elaboração das propostas didáticas com tec-
nologias digitais nos volumes desta coleção.
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard 
Blücher/Edusp, 1974.
Abordando desde a origem e o conceito dos números até 
as descobertas matemáticas do século XX, a obra objetiva 
mostrar a evolução da Matemática com o passar do tempo, 
sendo há muitas décadas uma referência em História da 
Matemática. São apresentados, ainda, muitos matemáticos 
e as contribuições ao longo da construção do conhecimento 
científico. Esse livro serviu de referência para a citação dos 
fatos históricos e dos matemáticos nesta coleção.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum 
Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_
versaofinal_site.pdf. Acesso em: 21 abr. 2022.
O texto da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) nor-
teou a elaboração dos volumes desta coleção, tanto dos 
textos destinados aos professores quanto dos propostos 
aos estudantes, assim como as propostas didáticas de 
distribuição dos conteúdos nos volumes.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação 
Básica. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, 
Diversidade e Inclusão. Conselho Nacional de Educação. 
Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, 
DF: MEC, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/
julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/. 
Acesso em: 21 abr. 2022.
As Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica 
(DCNs) são um conjunto de definições de princípios, fun-
damentos e procedimentos da Educação Básica elaborado 
com o objetivo de orientar e assistir escolas e redes no de-
senvolvimento dos projetos pedagógicos. Essas diretrizes 
também fornecem subsídios para a elaboração de materiais 
didáticos e, por isso, foram consultadas e consideradas na 
elaboração desta coleção.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos 
Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos 
pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/
contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 
20 abr. 2022.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos 
Transversais na BNCC : proposta de práticas de 
implementação. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/
guia_pratico_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 
20 abr. 2022.
De acordo com a BNCC, os Temas Contemporâneos 
Transversais (TCTs) buscam uma contextualização do que 
é ensinado por meio de temas que são do interesse dos 
estudantes e que têm relevância para o desenvolvimento 
deles como cidadãos. Por isso, devem ser incorporados 
aos currículos e às propostas pedagógicas escolares, de 
preferência de maneira transversal e integradora. Após a 
homologação da BNCC, visando esclarecer a inserção des-
ses temas, esses dois documentos foram elaborados pelo 
Ministério da Educação, passando a servir de referencial 
para as diversas propostas didáticas desta coleção.
COLL, C.; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática. São Paulo: 
Ática, 2000. 
Obra concebida e validada por pesquisas, foi desenvolvida 
por dois especialistas em didática e psicologia da aprendi-
zagem e do ensino, com a colaboração de uma equipe de 
educadores de diferentes países. Traz informações de dife-
rentes Unidades temáticas, em particular, sobre Números, 
presente em cada um dos volumes desta coleção. 
COSTA, A. C. G. da. Protagonismo juvenil: adolescência, educação 
e participação democrática. Salvador: Fundação Odebrecht, 
2000.
Nesse livro, a educação é abordada considerando o jovem 
como núcleo central do processo educativo, o que condiz 
com as concepções pedagógicas adotadas em todos os 
volumes desta coleção. Para ilustrar essa realidade, o 
livro apresenta a descrição de projetos desenvolvidos na 
prática e que envolvem experiências de protagonismo 
juvenil, além de incluir o relato dos jovens que participam 
desses projetos.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a 
modernidade. 6. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. (Coleção 
Tendências em Educação Matemática, 1).
A leitura dessa obra favorece o exame crítico da função 
social que a Matemática exerce em cada cultura e forneceu 
subsídios para construir as concepções e propostas rela-
cionadas à Etnomatemática desta coleção.
DISKIN, L.; NOLETO, M. J. Cultura de paz: da reflexão à ação; 
balanço da Década Internacional da Promoção da Cultura 
de Paz e Não Violência em Benefício das Crianças do Mundo. 
Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 
Referências bibliográficas comentadas
303
Petr M
alyshev/Shutterstock
Estojo 
escolar.
 1 Classifique os números a seguir em racionais ou irracionais, justificando sua classificação.
 a) 7,101001000100001»
b) 24, 662
 c ) 6,517269524
 d) 100 0005
e) 2 1286
 2 Quando se compra algo em uma loja ou em um supermercado, parte do valor pago corresponde aos 
impostos que incidem sobre aquele produto. Muitas vezes, esses impostos chegam a mais de 40% do 
preço final de determinado produto.
Analise na tabela a seguir alguns produtos que compõem a lista de material escolar e os respectivos 
percentuais pagos em impostos, em média, em agosto de 2018.
Produto Impostos embutidos no preço (em %)
Agenda escolar 43,19
Apontador 39,29
Borracha 39,29
Caderno universitário 34,99
Calculadora 44,75
Caneta 49,95
Cola 42,71
Estojo para lápis 40,33
Lápis 34,99
Material escolar e percentual de impostos
Fonte dos dados: ATÉ 50% do preço do material escolar vão para imposto, mostra pesquisa. Extra, 30 jan. 2018. Disponível em: 
https://extra.globo.com/economia-e-financas/ate-50-do-preco-do-material-escolar-vao-para-impostos-mos
tra-pesquisa-22343843.html. Acesso em: 11 abr. 2022.
 a) Qual produto tem maior porcentagem do preço paga em impostos? 
 b) Se um caderno universitário custar R$ 11,90, então qual quantia 
é paga em impostos? R$ 4,16 (34,99% de 11,90 é 4,16)
 c ) Se uma caneta custar R$ 0,50, então quanto desse preço cor-
responde a impostos? R$ 0,25 (49,95% de R$ 0,50 é 0,25)
 d) Considere a seguinte tabela de preços em uma papelaria.
Produto Preço
Caderno universitário R$ 9,90 
Caneta R$ 0,80
Lápis R$ 0,60
Apontador R$ 3,20
Borracha R$ 2,60
Preço dos produtos da papelaria
Tabela elaborada para fins didáticos.
 Vilma foi a essa papelaria com a seguinte lista de material escolar: 5 cadernos universitários, 3 cane-
tas, 2 lápis, 1 apontador e 1 borracha. Qual quantia do valor total da compra foi paga em impostos?
 e) A qual porcentagem do valor total da compra corresponde esse valor, aproximadamente?Caneta. (49,95%)
R$ 21,22 (34,99% de
5 3 9,90 5 17,32; 
49,95% de 3 3 0,80 5 1,20; 
34,99% de 2 3 0,60 5 0,42; 
39,29% de 3,20 5 1,26; 
39,29% de 2,60 5 1,02; 
17,32 1 1,20 1 0,42 1 1,26 1 1,02 5 21,22)
Aproximadamente 36,02%. 




3 1 3 1 3 1 1 5 5 ~ 55 9, 90 3 0, 8 2 0, 6 3, 20 2, 60 58, 90;
21, 22
58, 90 100
36, 02
x
x
Cadernos.
A
nd
re
sr
/S
hu
tt
er
st
oc
k
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
AS IMAGENS NÃO ESTÃO 
REPRESENTADAS EM PROPORÇÃO.
P o n t o d e c h e g a d a
1. a) É um número irracional, pois é infinito e não periódico.
b) É um número racional, pois é infinito e periódico.
c) É um número racional, pois é finito.
d) É um número racional, pois é uma raiz exata. ( )5 5100 000 10 105 55
e) É um número irracional, pois a raiz de 2 não é exata. ( )2 52 52128 2 2 2
6 76 6
288
P o n t o d e p a r t i d a
 1. a) 
63
100
 b) 0,63
 c) 63%
 d) Ponto C.
 2. 5 5 5 5 54
20
8
40
1
5
12
60
24
120
5 20
100
 3. a) a: vinte e cinco centésimos; b: um 
quinto; c: um inteiro, quinhentos 
e trinta e quatro milésimos; d: 
um inteiro e seis décimos; e: um 
quarto.
 b) d; b.
 c) Não.
 d) Maior.
 e) a 5 0,2 1 0,05
 4. a) Arroz: R$ 37,86; macarrão: 
R$ 13,05; tomate: R$ 11,90; pei­
xe: R$ 40,53.
 b) Sim.
 c) Sim. R$ 12,16.
 d) R$ 6,08
 e) 18,2 kg; 18 200 g.
 5. a) 132, 495, 143.
 b) 400 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 5; 
210 5 2 ? 3 ? 5 ? 7; 132 5 
5 2 ? 2 ? 3 ? 11.
 c) d(288): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 
24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288.
 6. a) No prato da esquerda.
 b) Resposta pessoal.
 c) 5 kg
 7. a) Polígono A: retângulo; tem 2 
pares de lados paralelos e a 
medida da abertura de todos 
os ângulos internos é igual a 
90°. Polígono B: trapézio; tem 
apenas um par de lados parale­
los. Polígono C: paralelogramo; 
tem 2 pares de lados paralelos. 
Polígono D: losango; tem 2 pares 
de lados paralelos e todos os 
lados possuem a mesma medida 
de comprimento.
 b) 14 m
 c) A: 10 m2; B: 7 m2; C: 10 m2.
 d) 60 000 cm2
 8. a) 2 h 07 min ou 127 minutos.
 b) 31 °C; 4 °C.
 9. a) I, V, VII, VIII e X.
 b) I – pentágono; V – quadrado; 
VII – triângulo equilátero; VIII 
– heptágono; X – hexágono.
 c) Octógono. 135° e 195°.
 d) II – triângulo retângulo e isós­
celes; VII – triângulo acutângulo 
e equilátero; IX – triângulo ob­
tusângulo e escaleno.
 10. a) (1): prisma de base quadrada; (2): 
cilindro; (3): cone; (4): pirâmide 
de base quadrada.
 b) (1): poliedro; (2): corpo redondo; 
(3): corpo redondo; (4): poliedro.
 c) Prisma: 8 vértices, 6 faces, 12 
arestas; pirâmide: 5 vértices, 5 
faces, 8 arestas.
 d) Sim.
 11. b) O triângulo A8B8C8 é uma am­
pliação do triângulo ABC, cujos 
lados têm o dobro da medida 
de comprimento.
 c) Resposta pessoal.
 12. a) Pacientes internados; 80 pessoas.
 b) No hospital.
 c) Resposta pessoal. 
 e) 
1
4
; 0,25; 25%.
 13. a) Medida de área desmatada em 
cada estado da Amazônia Legal 
em 2019 e 2020, respectivamente.
 b) Sim. Amapá e Roraima.
 c) 28 km2
 d) 2004
 e) Taxas anuais de desmatamento 
do Prodes (em km2) desde 2001 
na Amazônia Legal Brasileira. 
Gráfico de barras verticais ou 
gráfico de colunas.
 f) Resposta pessoal.
 14. a) 8 possibilidades: (Ca, Ca, Ca); 
(Ca, Ca, Co); (Ca, Co, Ca); (Ca, 
Co, Co); (Co, Ca, Ca); (Co, Ca, 
Co); (Co, Co, Ca); (Co, Co, Co).
 b) 16 possibilidades.
 c) 1 024 possibilidades.
 15. a) 1 000 L c) 53 m3
 b) 53 caixas. d) 26 500 000 cm3
1
Atividades
 1. a) 127 °C
 b) 24 °C
 c) 29 °C
 d) 11 °C
 2. a) 23 °C b) 110 °C
 3. 25 °C 4. 16 °C
 5. A: 13 °C; B: 22 °C; C: 11 °C; D: 23,5 °C.
 6. Alternativas a e d.
 7. a) 3 °C; dia 18/01.
 b) 22 °C; dias 20/01 e 21/01.
 c) Dias 17/01 e 23/01.
 d) 1 °C
 8. a) 160 m d) 1R$ 100,00
 b) 0 m e) 2R$ 80,00
 c) 245 m f) 2R$ 20,00
 9. Respostas pessoais.
 10. a) 0; 12 h.
 b) 12; 9 h.
 c) 26; 10 h.
 11. a) Ano 140 ou 40 d.C.
 b) 76 anos.
 c) Ano 290 ou 90 a.C.
 12. a) 21 d) 14 g) 251
 b) 24 e) 269 h) 1101
 c) 23 f) 194 i) 24
 13. a) Resposta pessoal.
 b) Não existe.
 14. b) 215
 16. a) A: 14
 b) A: 230
 c) A: 2500
 d) A: 17
 e) A: 25
 17. a) A 5 {22, 21, 0, 11, 12, »}
 b) B 5 {21, 0, 11, 12, 13, 14, 15}
 c) C 5 {0, 11, 12, 13, 14}
 d) D 5 {», 23, 22, 21, 0, 11}
 e) E 5 {27, 26, 25, 24, 23, 22}
 f) F 5 {210, 29, 28, 27, 26, 25}
 g) G 5 {18, 19, 110, 111}
 h) H 5 {22, 21, 0, 11, 12}
 i) I 5 {1100, 1101, 1102, 1103, 
1104,1105, 1106, 1107, 1108}
 j) J 5 {214, 213, 212, 211, 210, 29}
 k) K 5 {1199, 1200, 1201, 1202, 
1203, 1204, 1205}
 l) L 5 {23, 22, 21, 0, 11}
 18. a) A: 26; B: 14; C: 22.
 b) A: 25; B: 110; C: 115.
 c) A: 26; B: 16; C: 13.
 19. a) 7
 b) 6
 c) 1
 d) 7
 e) 8
 f) 10
 20. a) 2
 b) 100
 c) 100
 d) 9
 e) 5
 f) 11
 21. a) 9 b) 4 c) 12 d) 100
 22. 212
 23. 89
 24. a) 4 e) 6
 b) 8 f) 10
 c) 27 e 7. g) Nenhum.
 d) Só o 0 (zero).
 25. a) 2(156) 5 256
 b) 2(219) 5 119 ou 19
 c) 2(211) 5 111 ou 11
 d) 2(120) 5 220
 e) 2(1150) 5 2150
 f) 2(2203) 5 1203 ou 203
 g) 2(259) 5 159 ou 59
 h) 2(130) 5 230
 i) 2(244) 5 144 ou 44
 26. a) Perder 5 pontos em um jogo (25).
 b) Um crédito de R$ 20,00 (120).
 c) Um prejuízo de R$ 50,00 (250).
 d) Dois andares acima do térreo 
(12).
 e) 150 m abaixo do nível do mar 
(2150).
 f) Uma medida de temperatura de 
3 graus Celsius acima de zero 
(13).
 27. João ñ 2350; Marta ñ 1200; 
Lúcia ñ 1150; Marcelo ñ 2180; 
André ñ 0.
 28. a) 2350 1150 
 c) 0 > 2180
 d) 1150 > 0
 e) 2180 > 2350
 f) 1150 > 2180
 29. 9, 17, 15, 0, 22, 26, 210.
 30. a) 11 
 b) Não existe.
 c) Não existe.
 d) 21
 31. a) A equipe Y. b) 12 > 27.
 32. a) (25) 1 (14) 5 21
 b) (22) 1 (23) 5 25
 c) (12) 1 (24) 5 22
 d) (23) 1 (14) 5 11
 33. a) 23
 b) 17
 c) 25
 d) 24
 e) 0
 f) 12
 g) 13
 h) 11
300
Respostas
Reprodução da página 288, 
no Volume 9 do Livro do 
Estudante.
Reprodução da página 300, no 
Volume 7 do Livro do Estudante.
Reprodução da 
página 303, no 
Volume 9 do Livro 
do Estudante.
Referências complementares para aprofundamento
Esperamos que, ao longo da leitura desta Parte geral do Ma-
nual, você tenha encontrado teorias, sugestões e referências que 
possam favorecer sua prática pedagógica. A formação continu-
ada do professor é muito mais do que um nome, é uma necessi-
dade para que nos mantenhamos sempre atualizados, refletindo, 
repensando, criando, experimentando possibilidades diferentes 
que auxiliem os estudantes no processo de desenvolvimento.
Oferecemos, a seguir, algumas sugestões de vídeos, sites, livros 
e podcasts que podem ser boas fontes de pesquisa para você.
Sites
 ⓿ CANAL Futura. Disponível em: https://www.futura.org.br/.
O Canal Futura, em conjunto com iniciativas privadas, disponibi-
liza um portal com vários artigos e vídeos (inclusive videoaulas).
 ⓿ INSTITUTO Ayrton Senna. Disponível em: https://institutoayr 
tonsenna.org.br/pt-br/espaco-educador.html.
O Instituto Ayrton Senna disponibiliza vários cursos gratuitos 
para a formação continuada do professor.
 ⓿ MATH Playground. Disponível em: https://www.mathplaygrou 
nd.com/math-games.html.
O site, em inglês, contém uma série de jogos matemáticos que 
abarcam diferentes disciplinas. Os jogos são simples e trabalham 
com conhecimentos específicos.
 ⓿ MOVIMENTO pela Base. Disponível em: https://movimentope 
labase.org.br/.
O portal, mantido por um grupo de apoiadores da BNCC e da 
educação, disponibiliza uma série de artigos, vídeos e cursos 
sobre educação.
 ⓿ OLÍMPIADA Brasileira de Matemática. Disponível em: https://
www.obm.org.br/.
Nesse site você pode obter informações, provas e gabaritos da 
OBM, que é dirigida a estudantes de todo o país, a partir do 6o ano.
 ⓿ PORTAL do Inep, com destaque para o Saeb e a Prova Brasil. 
Disponível em: www.inep.gov.br.
Neste site é possível encontrar informações sobre os exames de 
larga escala e os indicadores da educação no Brasil.Todos os sites foram consultados em maio de 2022.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 45III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 45 13/07/22 11:3913/07/22 11:39
https://www.mathplayground.com/math-games.html
https://www.mathplayground.com/math-games.html
https://institutoayrtonsenna.org.br/pt-br/espaco-educador.html
https://movimentopelabase.org.br/
XLVI
A Revista do Professor de Matemática (RPM), da Sociedade 
Brasileira de Matemática (SBM), publica diversos artigos da área.
Livros
História da Matemática
 ⓿ BERLINGHOFF, W. P. A Matemática através dos tempos: um 
guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: 
Edgar Blucher, 2008.
Nesse livro, o autor apresenta um panorama de pessoas e eventos 
importantes na história e na construção da Matemática atual.
 ⓿ BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard 
Blucher: Edusp, 1974.
Uma grande referência em História da Matemática, esse livro 
apresenta cronologicamente a evolução da Matemática desde 
a origem do conceito dos números até as descobertas mate-
máticas do século XX. 
 ⓿ CARVALHO, D. L. de et al. História da Matemática em ativida-
des didáticas. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
Nesse livro, dedicado a contribuir para o trabalho do professor 
de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, o 
ensino da Matemática é abordado por meio de atividades nas 
quais a História da Matemática exerce um papel central.
 ⓿ EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução de 
Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004. 
Um grande referencial da História da Matemática, esse livro 
apresenta narrativas históricas desde a Antiguidade, contex-
tualizadas em panoramas culturais da época abordada.
 ⓿ ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazen-
do mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
Primeiro livro brasileiro que aborda genuinamente a História da 
Matemática. Apresenta cronologicamente o desenvolvimento 
dessa área do conhecimento e uma releitura crítica de diversos 
mitos e lendas que a envolvem.
Educação Matemática
 ⓿ BORBA, M. de C. Tendências internacionais em formação de pro-
fessores de Matemática. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.
O livro apresenta a experiência de alguns trabalhos de Educação 
Matemática desenvolvidos internacionalmente, relacionando-os 
com a realidade do ensino brasileiro. Também é debatido um 
trabalho de investigação sobre a formação de professores de 
Matemática no Brasil.
 ⓿ D’AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação 
e Matemática. São Paulo/Campinas: Summus/Unicamp, 1986.
Nesse livro, o autor apresenta um enfoque crítico do que se faz 
na Educação Matemática em diferentes sistemas educacionais, 
refletindo sobre o relacionamento entre Matemática e o bem-
-estar social.
 ⓿ NACARATO, A. M.; PAIVA, M. A. V. (org.). A formação do pro-
fessor que ensina Matemática: perspectivas e pesquisas. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2008.
Nesse livro, os autores demonstram a preocupação com a for-
mação do professor de Matemática, apresentando perspectivas 
sobre o tema e resultados de pesquisas de formação docente no 
campo da Educação Matemática. Outros debates também são 
propostos, como a formação inicial e continuada de professores 
de Matemática e a relação dos docentes com o saber e com a 
prática pedagógica.
 ⓿ PONTE, J. P; BROCARDO, J; OLIVEIRA, H. Investigações mate-
máticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. (Cole-
ção Tendências em Educação Matemática).
Apresentando práticas de investigação que podem ser levadas 
para as aulas de Matemática, como a criação de conjecturas, 
a reflexão e a formalização do conhecimento, esse livro traz 
resultados de pesquisas sobre as vantagens e as dificuldades 
de se trabalhar com tal perspectiva em Educação Matemática.
 ⓿ POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemáti-
co: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006.
O livro exemplifica e disserta sobre como diferentes tipos de 
tarefas escritas podem auxiliar os estudantes no aprendizado 
 ⓿ PORTAL IBGE Educa. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/.
Nesse portal oficial do IBGE, são disponibilizados vários dados 
de pesquisas estatísticas sobre a população brasileira.
 ⓿ PORTAL do professor. Disponível em: http://portaldoprofessor.
mec.gov.br/index.html.
Espaço para acessar sugestões de planos de aula, mídias de 
apoio, notícias sobre educação e iniciativas do MEC. Nele você 
também pode compartilhar planos de aula, participar de deba-
tes ou fazer cursos.
 ⓿ PROJECTO Pólya. Disponível em: https://cmup.fc.up.pt/cmup/
polya/polya_home.html.
Site do Centro de Matemática da Universidade do Porto (Portugal) 
especializado na resolução de problemas matemáticos.
Podcasts e vídeos
 ⓿ LÓGICA, Matemática e linguagem cotidiana – Parte 1. Dispo-
nível em: https://www.youtube.com/watch?v=AQ5ueFO9SmA.
Esse vídeo, apresentado pelo professor titular da Faculdade de 
Educação da Universidade de São Paulo (FE-USP), Nílson José 
Machado, mostra algumas explicações a respeito dos conceitos 
de lógica.
 ⓿ MATEMÁTICA Humanista. Disponível em: https://www.mate 
maticahumanista.com.br/podcast.
Podcast mantido pelo educador e matemático brasileiro Carlos 
Eduardo Mathias Motta (1968-), até o ano de 2022, com debates 
principalmente sobre o ensino de Matemática e temas como 
Etnomatemática, dimensões éticas das práticas matemáticas, 
avaliação, uso pedagógico da calculadora, entre outros.
 ⓿ MINUTO IBGE. Agência IBGE – Notícias. Disponível em: https://
agenciadenoticias.ibge.gov.br/minuto-ibge.html.
Podcasts curtos, em torno de 1 minuto cada, trazendo dados e 
curiosidades obtidos por meio de informações produzidas pelo 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Novos 
áudios são lançados semanalmente e disponibilizados gratui-
tamente para todas as emissoras de rádio brasileiras.
 ⓿ NADA sei. Instituto Ayrton Senna. Disponível em: https:// 
institutoayrtonsenna.org.br/pt-br/conteudos/podcast.html.
Podcasts que tratam de aspectos distintos da educação no 
Brasil e mantidos pelo Instituto Ayrton Senna.
 ⓿ PORTAL Domínio Público. Disponível em: http://www.dominio 
publico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm.jsp.
Nesse site, são disponibilizados vídeos e textos que auxiliam o 
professor no trabalho em sala de aula.
 ⓿ TV Escola. Disponível em: https://www.youtube.com/user/tvescola.
O canal do TV Escola disponibiliza vídeos com variadas aplica-
ções de conteúdos em situações simples do dia a dia.
Revistas e boletins de Educação Matemática
 ⓿ BOLEMA. Disponível em: http://www.periodicos.rc.biblioteca.
unesp.br/index.php/bolema.
Boletim de Educação Matemática (Bolema) publicado pelo De-
partamento de Matemática do Instituto de Geociências e Ciên-
cias Exatas (IGCE) da Universidade Estadual Paulista “Júlio de 
Mesquita Filho” (Unesp), campus de Rio Claro (SP).
 ⓿ PERIÓDICOS da Sbem. Disponível em: http://sbem.iuri0094.
hospedagemdesites.ws/revista/.
Publicações de periódicos da Sociedade Brasileira de Educação 
Matemática (Sbem) sobre Educação Matemática.
 ⓿ Revista EMP. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/index.
php/emp/announcement/view/503.
A Revista Educação Matemática Pesquisa (EMP), do Programa de 
Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da PUC-SP, 
faz quadrimestralmente divulgações científicas da área, em 
âmbito internacional.
 ⓿ RBHM – Revista Brasileira de História da Matemática. Disponí-
vel em: http://www.rbhm.org.br/.
Site com as publicações da Revista Brasileira de História da 
Matemática, da Sociedade Brasileira de História da Matemática.
 ⓿ RPM – Revista do Professor de Matemática. Disponível em: 
http://www.rpm.org.br/.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 46III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 46 13/07/22 11:3913/07/22 11:39
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html
https://cmup.fc.up.pt/cmup/polya/polya_home.html
https://www.matematicahumanista.com.br/podcast
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm.jsp
https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolemaBase Nacional Comum Curricular – BNCC
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/
BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.*
*Acesso em: 26 maio 2022.
Contudo, há que se considerar que o Brasil é um país rico em 
diversidades natural e cultural e, ao mesmo tempo, desigual em 
oportunidades; dessa maneira, além das necessidades e possibili-
dades individuais, temos o desafio de zelar e cuidar dos coletivos, 
sejam eles oriundos de pequenos ou de grandes grupos, sejam 
eles regionais ou nacionais. As necessidades e as possibilidades 
de cada indivíduo e das comunidades se tornam únicas e não po-
dem ser desconsideradas.
Nesse contexto, ampliamos tal reflexão para a disciplina de Ma-
temática, que traz em sua tradição um caráter formal, incontestá-
vel e, de certa maneira, exclusivo, em que se difunde a ideia de que 
Matemática é “para poucos”, além de ser considerada, mesmo que 
inconscientemente, ferramenta de poder. Como podemos notar, 
essas representações sociais e visões acerca da Matemática esco-
lar não cabem mais nos ideais que temos e almejamos.
Atualmente, na Matemática, o próprio rigor científico é de ou-
tra natureza: “[...] os meios de observação, de coleção de dados 
e de processamento desses dados, que são essenciais na criação 
da Matemática, mudaram profundamente” (D’AMBROSIO, 1996, 
p. 58). Considera-se também que a Matemática, como ciência e 
linguagem, é integrante da diversidade cultural.
Não podemos nos esquecer da importância de garantir a todos as 
aprendizagens consideradas essenciais, independentemente da região 
onde se mora e da realidade local.
De modo coerente com essa visão, a BNCC apresenta, na intro-
dução da área de Matemática, o que se espera para a aprendiza-
gem matemática.
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Edu-
cação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, 
seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de 
suas responsabilidades sociais. (BRASIL, 2018, p. 265)
Machado (2011) afirma que a Matemática é um sistema sim-
bólico de compreensão da realidade e de expressão, propiciando 
a atuação social, e que é preciso “pensar e sentir, compreender e 
fruir os temas matemáticos como elementos da cultura” (p. 131).
Com isso, os conhecimentos matemáticos – e das demais áreas 
do conhecimento – devem servir de meio para o desenvolvimen-
to de competências e habilidades que permitam ao estudante o 
exercício da cidadania, contribuindo para a construção de uma 
sociedade mais justa, democrática, solidária e sustentável.
Nesse sentido, ao longo da Educação Básica, as propostas 
pedagógicas da área de Matemática devem ter como objetivo 
o letramento matemático, descrito no Programa Internacional 
de Avaliação de Estudantes (Pisa, 2012) e adotado pela BNCC 
como:
a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a Matemática 
em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente 
e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para 
descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reco-
nhecer o papel que a Matemática exerce no mundo e para que cidadãos 
construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem funda-
mentados e tomar as decisões necessárias. (BRASIL, 2018, p. 266)
É o letramento matemático que fornece aos estudantes as fer-
ramentas necessárias, ou seja, os conhecimentos matemáticos 
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III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 6III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 6 13/07/22 11:3813/07/22 11:38
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm
https://pne.mec.gov.br/18-planos-subnacionais-de-educacao/543-plano-nacional-de-educacao-lei-n-13-005-2014
https://pne.mec.gov.br/18-planos-subnacionais-de-educacao/543-plano-nacional-de-educacao-lei-n-13-005-2014
https://pne.mec.gov.br/18-planos-subnacionais-de-educacao/543-plano-nacional-de-educacao-lei-n-13-005-2014
http://portal.mec.gov.br/conaes-comissao-nacional-de-avaliacao-da-educacao-superior/323-secretarias-112877938/orgaos-vinculados-82187207/12992-diretrizes-para-a-educacao-basica
http://portal.mec.gov.br/conaes-comissao-nacional-de-avaliacao-da-educacao-superior/323-secretarias-112877938/orgaos-vinculados-82187207/12992-diretrizes-para-a-educacao-basica
http://portal.mec.gov.br/conaes-comissao-nacional-de-avaliacao-da-educacao-superior/323-secretarias-112877938/orgaos-vinculados-82187207/12992-diretrizes-para-a-educacao-basica
http://portal.mec.gov.br/conaes-comissao-nacional-de-avaliacao-da-educacao-superior/323-secretarias-112877938/orgaos-vinculados-82187207/12992-diretrizes-para-a-educacao-basica
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf
VII
para compreender e atuar no mundo, à medida que visa estabe-
lecer relações entre as percepções do mundo real e as represen-
tações, associando-as a processos matemáticos, desenvolvendo 
habilidades de investigação e de raciocínio lógico e crítico por 
meio de induções e conjecturas, promovendo também práticas 
orais e escritas de argumentação e inferência, além de oportunizar 
a aquisição de competências gerais e competências específicas 
relacionadas à Matemática.
Essa concepção acompanha as propostas da área de Mate-
mática desde a Educação Infantil, passando pelos Anos Iniciais 
do Ensino Fundamental e culminando nos Anos Finais. Espera-se, 
então, que nesse momento da Educação Básica os estudantes 
ampliem e aprofundem o repertório intelectual, estabelecendo 
conexões entre os conhecimentos, entre os objetos e o cotidiano, 
bem como entre os diferentes temas matemáticos e os demais 
componentes curriculares.
Cabe também aos Anos Finais, na área de Matemática, o de-
senvolvimento de capacidades leitoras, de pesquisa e argumenta-
ção, de noções de pensamento computacional e de análise crítica 
como preparação para o Ensino Médio. Destaca-se a comuni-
cação em linguagem matemática e a capacidade de abstrair e 
transpor conhecimentos e conceitos.
D’AMBROSIO, Ubiratan; MACHADO, Nilson; ARANTES, Valéria 
Amorim (org.). Educação Matemática: pontos e contrapontos. 
São Paulo: Summus, 2014.
Essa obra apresenta uma análise da Educação Matemática, tra-
zendo uma perspectiva cidadã que envolve também questões 
sociais e políticas. Sugerimos a leitura da obra como meio de 
ampliar seu arcabouço teórico e didático como professor de Ma-
temática.
Sugestão de leitura 
A BNCC
A BNCC é atualmente um dos principais documentos nortea-
dores para a organização dos currículos escolares. Ela determina 
as aprendizagens essenciais que devem ser garantidas a todos 
os estudantes na busca de uma equidade (igualdade) na edu-
cação, preservando-se as particularidades, como as identidades 
linguísticas, étnicas e culturais, além das necessidades locais. 
Portanto, estabelece as diretrizes básicas e confere aos distritos, 
estados, municípios, secretarias e unidades escolares a respon-
sabilidade de elaborar os próprios currículos, garantindo as im-
plementações necessárias para contemplar, acolher e valorizar 
as diversidades.
Na BNCC, essas aprendizagens essenciais estão organizadas 
em competências gerais, competências específicas, Unidades 
temáticas, objetos do conhecimento e habilidades.
Educação por competências: integração entre 
conhecimentos, habilidades, atitudes e valores
A educação por competências preconiza a visão integrada do 
conhecimento, em que se combinam conhecimentos, habilidades, 
atitudes e valores para o desenvolvimento integral do estudante 
no processo de ensino e aprendizagem: o conhecimento (“saber”) 
precisa estar vinculado às habilidades (“saber fazer”), às atitudes 
e aos valores (“saber ser”).
A BNCC define competências como:
a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades 
(práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes ehttp://sbem.iuri0094.hospedagemdesites.ws/revista/
https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/announcement/view/503
XLVII
matemático e no ensino e desenvolvimento profissional, tanto 
em sala de aula como em aulas a distância. Os autores também 
ressaltam a utilização de diferentes tipos de atividade escrita 
com o propósito de os estudantes refletirem sobre as próprias 
experiências matemáticas.
 ⓿ POZO, J. I. A solução de problemas: aprender a resolver, resol-
ver para aprender. Tradução de Beatriz Affonso Neves. Porto 
Alegre: Artmed, 1998.
De acordo com o que o autor propõe, ensinar a resolver pro-
blemas em cada área do conhecimento significa enfatizar o 
ensino dos procedimentos e o papel fundamental do professor 
no incentivo da criação de estratégias por parte dos estudantes.
Metodologia do ensino de Matemática
 ⓿ BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem mate-
mática. São Paulo: Contexto, 2006.
Partindo da conceituação informal da modelagem matemática 
até chegar à aplicação em problemas complexos e sofisticados, 
o autor demonstra como a modelagem pode ser aplicada às 
mais diversas situações, com distintos graus de dificuldade e 
precisão.
 ⓿ BUCK Institute for Education. Aprendizagem baseada em pro-
jetos: guia para professores de Ensino Fundamental e Médio. 
2. ed. Porto Alegre: Artmed, 2008.
Livro concebido com o propósito de auxiliar os professores 
brasileiros a introduzir nas escolas a aprendizagem baseada 
em projetos. Para isso, descreve um conjunto de princípios que 
ajudam os professores a planejar projetos efetivos, além de 
apresentar exemplos de projetos, ferramentas e recursos de 
auxílio na implementação deles.
 ⓿ PAIS, L. C. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2006.
O livro propõe uma reflexão sobre os aspectos metodológicos 
do ensino da Matemática, atento à subjetividade do processo 
cognitivo e à relação entre o saber matemático e os desafios ine-
rentes às ações integradas ao ensino e à aprendizagem escolar. 
Questiona, ainda, a linearidade do livro didático e os conceitos 
de ordem, clareza e formalidade.
Educação
 ⓿ ALMEIDA, Maria Elizabeth B.; MORAN, José Manuel (org.). 
Tecnologia, currículo e projetos. In: ALMEIDA, Maria Elizabe-
th B.; MORAN, José Manuel (org.). Integração das tecnolo-
gias na educação. Brasília, DF: MEC: Secretaria de Educação 
a Distância. Tecnologia, currículo e projetos. Disponível em: 
http://portal.mec.gov.br/seed/arquivos/pdf/1sf.pdf. Acesso 
em: 10 jun. 2022.
No capítulo referenciado, o autor apresenta uma coleção de arti-
gos relativos às novas maneiras de ensinar, aprender e desenvol-
ver o currículo ao integrar diferentes tecnologias digitais à prática 
pedagógica, que está voltada à aprendizagem significativa dos 
estudantes que aprendem ao fazer, levantar e testar ideias, e ao 
experimentar, aplicar conhecimentos e representar o pensamento.
 ⓿ COLL, César et al. Psicologia da educação virtual: aprender e 
ensinar com as tecnologias da informação e da comunicação. 
São Paulo: Penso, 2010.
O livro apresenta uma profunda reflexão a respeito do impacto 
das tecnologias da informação e da comunicação nos processos 
de ensino e aprendizagem.
 ⓿ FREIRE, P.; SHOR, I. Medo e ousadia: o cotidiano do professor. 
São Paulo: Paz e Terra, 2014.
De acordo com Paulo Freire: “Se os professores ou os alunos exer-
cessem o poder de produzir conhecimento em classe, estariam 
então reafirmando seu poder de refazer a sociedade”. Nesse 
livro, os autores destacam a necessidade da visão colaborativa 
na construção do conhecimento.
 ⓿ MORIN, E. A cabeça bem-feita: repensar a reforma, reformar o 
pensamento. Lisboa (Portugal): Bertrand, 2009.
Nesse livro, o autor defende as razões pelas quais o ensino trans-
disciplinar é essencial para a formação de cidadãos capazes de 
lidar com o mundo atual.
 ⓿ PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto 
Alegre: Artmed, 1999.
Esse livro apresenta perspectivas e limitações na prática em 
sala de aula para a construção de competências e a transpo-
sição didática.
 ⓿ SARMENTO, Maristella et al. O futuro alcançou a escola? O alu-
no digital, a BNCC e o uso de metodologias ativas de aprendi-
zagem. São Paulo: Editora do Brasil, 2019.
Nesse livro, vários artigos abordam os novos rumos da educação 
no Brasil em um sentido de aproximação com as dinâmicas de 
sala de aula.
 ⓿ ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: 
Artmed, 1998.
O autor propõe pautas e orientações sobre a ação educativa 
de uma perspectiva de análise e reflexão. Também enfatiza 
que as decisões devem ser tomadas levando-se em conta 
a função social do ensino e a concepção dos processos de 
aprendizagem.
Referências bibliográficas comentadas
BACICH, Lilian; MORAN, José Manuel (org.). Metodologias ativas 
para uma educação inovadora: uma abordagem teórico-prática. 
Porto Alegre: Penso, 2018.
Nesse livro, reflete-se sobre as metodologias ativas no processo 
de aprendizagem, bem como sobre a apresentação de algumas 
estratégias que foram sugeridas ao longo deste Manual.
BRASIL. Ministério da Educação. Lei de Diretrizes e Bases da 
Educação Nacional. Lei n. 9 394, de 20 de dezembro de 1996. 
Brasília, DF, 1996.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional é uma referên-
cia oficial para a prática docente, estabelecendo as diretrizes 
para a educação brasileira as quais nortearam as concepções 
desta coleção.
BRASIL. Ministério da Educação. Plano Nacional de Educação (PNE). 
Lei Federal n. 13 005, de 25 de junho de 2014. Brasília, DF: MEC, 2014.
O Plano Nacional de Educação é um documento que estabelece 
20 tópicos para garantir o acesso à educação de qualidade no 
Brasil até 2024 e foi referencial para a elaboração desta coleção.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. 
Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC: SEB, 2018.
Referência legal principal para a organização dos currículos es-
colares, a Base Nacional Comum Curricular apresenta os princí-
pios mais atuais para a educação no Brasil e foi um dos principais 
documentos norteadores na seleção e elaboração dos conteú-
dos desta coleção.
BRASIL. Ministério da Educação. Projeto de vida: ser ou existir. Caderno 
de práticas. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
implementacao/praticas/caderno-de-praticas/aprofundamentos/
200-projeto-de-vida-ser-ou-existir. Acesso em: 29 jun. 2022.
Nesse caderno de práticas são apresentadas algumas reflexões 
a respeito do papel da escola no projeto de vida dos estudantes 
que referenciaram este Manual.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais 
na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: 
Ministério da Educação, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.
mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_
contemporaneos.pdf. Acesso em: 29 jun. 2022.
III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 47III-XLVIII_9TELARISMat_g24At_MPG.indd 47 13/07/22 11:3913/07/22 11:39
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/aprofundamentos/200-projeto-de-vida-ser-ou-existir
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf
XLVIII
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos 
Transversais na BNCC: proposta de práticas de implementação. 
Brasília, DF: Ministério da Educação, 2019. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/guia_
pratico_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 29 jun. 2022.
Nessas publicações oficiais, que serviram de referencial para 
as diversas sugestões didáticas desta coleção, é apresentado 
o histórico e algumas propostas de implementação dos Temas 
Contemporâneos Transversais, bem como aqueles que são rele-
vantes à sociedade atual.
BRASIL. Secretaria de Direitos Humanos da Presidência da 
República. Caderno de Educação em Direitos Humanos. Educação 
em Direitos Humanos: Diretrizes Nacionais.Brasília: Coordenação 
Geral de Educação em SDH/PR, Direitos Humanos, Secretaria 
Nacional de Promoção e Defesa dos Direitos Humanos, 2013. 
Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_
docman&view=download&alias=32131-educacao-dh-diretrizesna 
cionais-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 29 jun. 2022.
Nessa publicação oficial são apresentadas reflexões acerca da 
educação pautada em direitos humanos que serviram de refe-
rencial para este Manual.
CARRAHER, Terezinha Nunes (org.). Aprender pensando: contribuição 
da psicologia cognitiva para a educação. 19. ed. Petrópolis: Vozes, 
2008.
A autora apresenta algumas ideias sobre as contribuições dos es-
tudos da psicologia cognitiva para a educação que foram referên-
cia na elaboração de textos e concepções presentes neste Manual.
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da 
Matemática. São Paulo: Cortez, 2011.
Esse livro contribui para a reflexão sobre estratégias que favore-
cem o ensino e a aprendizagem de Matemática de modo a refe-
renciar a elaboração deste Manual.
CHAUI, Marilena. Iniciação à Filosofia. Ensino Médio. 3. ed. São 
Paulo: Ática, 2016. 
Neste livro didático a autora apresenta conceitos e reflexões da 
filosofia, incluindo os tipos de raciocínio (indução, dedução e ab-
dução), que são presentes em diversas atividades ao longo dos 
Volumes desta coleção.
COLL, Cesar. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista 
Educação Especial, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/
educacaoespecial/article/view/5001. Acesso em: 29 jun. 2022.
Neste artigo, o autor compartilha reflexões, presentes neste 
Manual, acerca das implicações do olhar inclusivo, que considera 
a diversidade como inerente à condição humana, no processo de 
ensino e aprendizagem.
COLL, Cesar. Psicologia e currículo. São Paulo: Ática, 2003.
O autor discute sobre os objetivos da educação, das aprendi-
zagens e do desenvolvimento dos estudantes com foco no pla-
nejamento do ensino e na finalidade do currículo. Ideias estas 
aplicadas no planejamento desta coleção.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 
Campinas: Papirus, 1996.
O autor conduz reflexões sobre a aprendizagem de Matemática 
e a relevância da Etnomatemática na aprendizagem que inspira-
ram elaborações de textos e propostas desta coleção.
DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. UNB. 2001. p. 1-12. Disponível 
em: http://funab.se.df.gov.br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-
2001.-Professor-Conhecimento.pdf. Acesso em: 29 jun. 2022.
Nesse artigo, o autor apresenta reflexões a respeito das carac-
terísticas necessárias ao professor no mundo contemporâneo e 
que foram também explanadas neste Manual.
DUVAL, Raymond. Registros de representações semióticas e 
funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: 
MACHADO, S. D. A. (org.). Aprendizagem em Matemática. 2. ed. 
Campinas: Papirus, 2003. c. 1, p. 11-33.
Nesse artigo, Raimond Duval compartilha parte dos resultados 
das pesquisas sobre diferentes registros de representações se-
mióticas na aprendizagem de Matemática que consultamos du-
rante a elaboração desta coleção.
FAZENDA, Ivani. O que é interdisciplinaridade. São Paulo: Cortez, 2008.
Ivani Fazenda apresenta nesse livro as origens do termo e da 
concepção da interdisciplinaridade escolar que aplicamos nesta 
coleção.
LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem na escola: 
reelaborando conceitos e criando a prática. 2. ed. Salvador: 
Malabares Comunicações e eventos, 2005.
O autor, pesquisador na área de avaliação, conduz reflexões so-
bre o tema Avaliação da aprendizagem na escola que se torna-
ram referência para a elaboração de concepções desta coleção.
MACHADO, Nílson José. Livro de bolso da FORMAÇÃO DO 
PROFESSOR: Microensaios Tetraédricos. 1. ed. São Paulo: Livraria 
da Física, 2016.
O autor articula diferentes perspectivas sobre a ação docentes 
que referenciam as propostas deste Manual.
MACHADO, Nílson José. Matemática e língua materna: análise de 
uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez, 1990.
Nesse livro, o autor apresenta a relação de interdependência 
entre a língua materna e a Matemática, que foi aplicada na con-
cepção desta obra.
PAVANELLO, Regina Maria; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius. 
Avaliação em Matemática: algumas considerações. Estudos em 
avaliação educacional, v. 17, n. 33, jan./abr. 2006. Disponível em: http://
www.fcc.org.br/pesquisa/publicacoes/eae/arquivos/1275/1275.pdf. 
Acesso em: 29 jun. 2022.
Esse artigo apresenta considerações sobre avaliação, especifi-
camente em Matemática, que foram referência na elaboração de 
concepções avaliativas desta coleção.
PERRENOUD, Philippe. A avaliação: entre duas lógicas. Porto Alegre: 
Artmed, 2001.
O autor compartilha reflexões a respeito da avaliação, contra-
pondo duas lógicas sobre essa prática que referenciam as pro-
postas avaliativas desta coleção.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1995.
Nesse livro, referência para a proposta teórico-metodológica 
da coleção, Polya apresenta os passos para resolver problemas, 
além de outras reflexões sobre esse tema.
SILVA, Janssen Felipe da. Avaliação na perspectiva formativa-
-reguladora: pressupostos teóricos e práticos. Porto Alegre: 
Mediação, 2004.
O autor apresenta os pressupostos teóricos e práticos para uma 
avaliação formativa, que foram considerados na elaboração das 
seções de avaliação desta coleção.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Ler, escrever e 
resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. 
Porto Alegre: Artmed, 2000.
Nesse livro, as autoras compartilham pesquisas, reflexões e su-
gestões relacionando a leitura, a escrita e a resolução de proble-
mas que consultamos durante a elaboração desta coleção.
UNESCO. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF, [s. d.]. Disponível em: 
https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-peace. 
Acesso em: 29 jun. 2022.
Essa publicação traz informações e orientações para a promo-
ção da educação para a paz nas escolas brasileiras que referen-
ciam alguns textos deste Manual.
WING, Jeannette Marie. Computational thinking. Communications 
of the ACM, v. 49, n. 3, p. 33- 35, 2006.
Esse é o artigo em que Jeannette Wing mencionou, pela primei-
ra vez, a expressão “pensamento computacional”, bem como as 
habilidades relacionadas a ela. O percurso de ideias de Wing, re-
lacionadas aos estudos do pensamento computacional, foi refe-
rência para a elaboração de atividades desta coleção.
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http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=32131-educacao-dh-diretrizesnacionais-pdf&Itemid=30192
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=32131-educacao-dh-diretrizesnacionais-pdf&Itemid=30192
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=32131-educacao-dh-diretrizesnacionais-pdf&Itemid=30192
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/guia_pratico_temas_contemporaneos.pdf
https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/article/view/5001
XLIX
P a r t e e s p e c í f i c a
S o b r e e s t e Vo l u m e
As Unidades temáticas e os capítulos 
deste Volume
Conforme descrevemos na Parte geral deste Manual, na con-
cepção desta coleção estão intrínsecas as 8 competências espe-
cíficas da Matemática indicadas pela BNCC para o Ensino Funda-
mental, bem como as competências gerais da Educação Básica. 
Isso é percebido em cada capítulo de todos os Volumes, tanto no 
Livro do Estudante quanto nas orientações apresentadas nesta 
Parte específica do Manual.
O Livro do Estudante do 9o ano está organizado em 9 capítu-
los, nos quais abordamos as 5 Unidades temáticas da Matemáti-
ca: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Proba-
bilidade e estatística. As habilidades da BNCC apresentadas em 
cada Unidade temática estão distribuídasnos capítulos e articu-
ladas ao longo deste Volume, retomando, ampliando e aprofun-
dando conceitos, procedimentos e atitudes trabalhados nos anos 
anteriores do Ensino Fundamental.
Números
Nesta Unidade temática, no 9o ano, retomamos os conjuntos 
numéricos já estudados nos anos anteriores e apresentamos o 
conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números reais. 
Os estudantes compreendem que o conjunto dos números reais 
é formado pelo conjunto dos números racionais e pelo conjunto 
dos números irracionais.
Na operação de potenciação, são apresentados os cálculos 
com expoentes reais, inclusive fracionários. Ao trabalharmos com 
raiz quadrada não exata, são abordados os números irracionais 
e as operações com números irracionais. Ampliamos o estudo da 
radiciação com outros índices, além de raízes quadradas.
Por fim, fazemos ainda o trabalho com os juros simples e com-
postos no contexto da Educação financeira.
Álgebra
No 9o ano, o trabalho com Álgebra é focado nas equações do 
2o grau, nos sistemas de equações do 2o grau e na exploração ini-
cial do importante estudo de funções, de modo contextualizado e 
por meio da resolução de problemas.
No estudo das equações do 2o grau, trabalhamos com a forma 
incompleta e a forma completa da equação. Como exemplos de 
métodos de resolução, apresentamos a fórmula de Bhaskara e a 
fatoração. Antes desse trabalho, há ainda a exploração dos prin-
cipais produtos notáveis.
As relações de proporcionalidade entre grandezas são retoma-
das e utilizadas para resolver problemas envolvendo razões entre 
grandezas diferentes, como ocorre com a velocidade ou com a den-
sidade demográfica. Também abordamos outras situações, como 
escala e taxa de variação.
Geometria
Neste Volume, trabalhamos a ideia de proporcionalidade aplica-
da à Geometria e desenvolvemos o conceito de semelhança de po-
lígonos, um conceito fundamental em Matemática. No capítulo 4, 
estudamos figuras semelhantes – em particular, triângulos seme-
lhantes –, vistas ortogonais e perspectiva. 
De posse do conceito de semelhança de triângulos, estudamos 
as relações métricas em um triângulo retângulo, chegando à de-
monstração do teorema de Pitágoras.
Exploramos os sólidos geométricos e algumas maneiras de re-
presentá-los no plano, tendo um primeiro contato com desenhos 
em perspectiva, com o objetivo de desenvolver nos estudantes a 
habilidade de percepção espacial e de codificação e decodifica-
ção de desenhos.
Também neste Volume, retomamos e aprofundamos o estudo 
da circunferência e do círculo, chegando às relações métricas na 
circunferência.
Grandezas e medidas
As grandezas e as respectivas medidas são trabalhadas em 
vários capítulos, fazendo conexões com outros conteúdos. Além 
disso, novamente dedicamos um capítulo para recordar, ampliar e 
aprofundar esses estudos.
Neste Volume, o foco está nas medidas de informática, como o 
byte e o hertz, e nas medidas muito grandes ou muito pequenas. 
Apresentamos exemplos variados de unidades de medidas e os 
usos delas que se enquadram nessas definições.
Retomamos e aprofundamos também o conteúdo sobre volu-
mes, com o cálculo da medida de volume de um prisma e de um 
cilindro, bem como exploramos experimentalmente o cálculo da 
medida de volume de uma pirâmide.
Probabilidade e estatística
A Estatística, atualmente, é uma das principais ferramentas que 
possibilitam ler e interpretar o mundo. A coleta de dados, a elabo-
ração e a interpretação de tabelas e gráficos, as inferências e as 
predições praticamente se inserem em qualquer atividade humana.
Neste Volume, trabalhamos a análise dos tipos de gráfico 
para determinar quais dados são melhor representados por quais 
gráficos. Depois, incentivamos os estudantes a analisar gráficos 
veiculados pela mídia que possam ter eventuais erros. O objetivo 
é que eles desenvolvam uma leitura crítica das informações que 
chegam a eles no cotidiano, reconhecendo quando um erro pode 
sugerir uma interpretação errada da situação em questão.
A Probabilidade é uma parte desafiadora da Matemática, esti-
mula o raciocínio dos estudantes e é propícia à contextualização. 
Por apresentar situações bastante variadas e conter poucos pa-
drões, entendemos que deva ser desenvolvida com a maior quan-
tidade possível de problemas.
Neste Volume, dedicamos um capítulo especial para retomar, 
ampliar e aprofundar conhecimentos de Estatística e de Probabi-
lidade, apresentando, ainda, uma introdução informal à Combina-
tória, que explora métodos de contagem, e incentivando o estudo 
de eventos dependentes e de eventos independentes, bem como 
da probabilidade relacionada a eles.
Conteúdos e sugestões de cronogramas 
para este Volume
Nas propostas de organização de cronograma apresentadas 
a seguir, consideramos um calendário escolar anual com previsão 
de 40 semanas letivas.
Essas semanas podem ser organizadas em bimestres, trimes-
tres ou semestres, de acordo com a quantidade de aulas sema-
nais e com as propostas curriculares do estado ou do município 
em que a escola está localizada. Essa distribuição foi pensada 
considerando os conteúdos e as atividades presentes em cada 
capítulo. Ressaltamos, contudo, a importância de considerar a 
realidade dos estudantes e de fazer alterações no tempo previsto 
para cada tópico, sempre que necessário, bem como de ponderar 
a possibilidade de replanejamentos ao longo do ano letivo ou de 
inversão de capítulos e conteúdos – além daquelas citadas pon-
tualmente nas orientações de cada capítulo deste Manual.
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L
Sugestões de organização No Livro do Estudante
1o semestre
1o trimestre
1o bimestre
Semana 1 Ponto de partida
Semana 2
Capítulo 1 – Números reaisSemana 3
Semana 4
Semana 5
Capítulo 2 – Produtos notáveis, fatoração e equações do 2o grau
Semana 6
Semana 7
Semana 8
Semana 9
Capítulo 3 – Proporcionalidade e juros
Semana 10
2o bimestre
Semana 11
Semana 12
Semana 13
Semana 14
2o trimestre
Semana 15
Capítulo 4 – Geometria: semelhança, perspectiva e vistas ortogonais
Semana 16
Semana 17
Semana 18
Semana 19
Capítulo 5 – Estatística, combinatória e probabilidade
Semana 20
2o semestre
3o bimestre
Semana 21
Semana 22
Semana 23
Capítulo 6 – Relações métricas nos triângulos retângulosSemana 24
Semana 25
Semana 26
Capítulo 7 – Explorando a ideia de função
Semana 27
3o trimestre
Semana 28
Semana 29
Semana 30
4o bimestre
Semana 31
Capítulo 8 – Grandezas e medidas
Semana 32
Semana 33
Semana 34
Semana 35
Semana 36
Capítulo 9 – Circunferência e círculos
Semana 37
Semana 38
Semana 39
Semana 40 Ponto de chegada
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LI
P o n t o d e p a r t i d a
Nesta seção
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.
 ⓿ Comparar números racionais e associá-los a pontos na reta nu-
mérica (com dízima periódica por aproximação).
 ⓿ Resolver problemas de potenciação e de radiciação com núme-
ros racionais positivos.
 ⓿ Resolver problemas que envolvem porcentagens.
 ⓿ Resolver problemas que podem ser representados por expres-
sões algébricas.
 ⓿ Resolver problemas que podem ser representados por equa-
ções do 1o ou do 2o grau (do 2o grau apenas da forma ax2 5 b).
 ⓿ Resolver problemas que envolvem equações do 1o grau, utili-
zando o plano cartesiano como recurso.
 ⓿ Resolver problemas que envolvem grandezas diretamente pro-
porcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
 ⓿ Identificar a regularidade de sequências numéricas e escrever a lei 
de formação (fórmula do termo geral ou fórmula de recorrência).
 ⓿ Identificar congruência de triângulos.
 ⓿ Representar polígonos regulares utilizando régua e compasso.
 ⓿ Resolver problemas que envolvem o cálculo da medida de vo-
lumede blocos retangulares e de sólidos geométricos que po-
dem ser decompostos em blocos retangulares.
 ⓿ Resolver problemas que envolvem o cálculo da medida de área 
de regiões planas delimitadas por triângulos, quadriláteros (e 
de figuras decompostas nessas regiões; com uso de expres-
sões) ou circunferências.
 ⓿ Calcular a probabilidade de ocorrência de eventos em experi-
mentos aleatórios usando o princípio multiplicativo.
 ⓿ Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráfico na represen-
tação dos dados de uma pesquisa.
 ⓿ Analisar o planejamento das principais etapas de uma pes-
quisa, avaliando a necessidade de a pesquisa ser censitária ou 
amostral e identificando os tipos de amostra e os tipos das 
variáveis.
 ⓿ Calcular e interpretar as medidas de tendência central de um 
conjunto de dados.
Justificativas
O Ponto de partida, no início do 9o ano, tem o objetivo de le-
vantar os conhecimentos prévios dos estudantes, construídos ao 
longo do 8o ano, que são essenciais para que eles possam prosse-
guir nos estudos, além de fornecer pistas sobre em quais objeti-
vos pedagógicos é necessário maior investimento antes de iniciar 
o estudo dos conteúdos previstos para o ano letivo, direcionando 
o planejamento de ensino e todo o trabalho pedagógico ao longo 
do ano. 
Em Números, os estudantes devem reconhecer e utilizar proce-
dimentos para obtenção de uma fração geratriz para uma dízima 
periódica, bem como reconhecer a relação entre a potenciação e 
radiciação para representar uma raiz como potência de expoente 
fracionário e resolver problemas envolvendo cálculo de porcenta-
gens, incluindo tecnologias digitais, para que possam compreen-
der o conjunto dos números reais, trabalhar com potências com 
expoentes inteiros e resolver problemas envolvendo cálculos de 
percentuais sucessivos, alguns dos objetos de estudo previstos 
para esse tema ao longo do 9o ano.
Devem utilizar expressões algébricas para resolver problemas e 
para expressar a relação entre grandezas (diretamente proporcio-
nais, inversamente proporcionais ou não proporcionais), além de 
resolver problemas que podem ser representados por equações 
do 1o ou do 2o grau (do 2o grau apenas da forma ax2 5 b), para 
que possam compreender a fatoração e os produtos notáveis de 
expressões algébricas, aprofundar o estudo das resoluções de 
equações do 2o grau e compreender o estudo introdutório das 
funções polinomiais do 1o e 2o graus durante o 9o ano.
Em Geometria, os estudantes devem reconhecer a congruên-
cia de triângulos e usá-la para demonstrar algumas propriedades 
dos quadriláteros, além de reconhecer a mediatriz e a bissetriz 
como lugares geométricos na resolução de problemas. Tais habi-
lidades devem apoiá-los no estudo de semelhança de triângulos 
e nas demonstrações das relações entre as medidas de abertura 
dos ângulos formados por um feixe de retas intersectadas por 
uma transversal.
A resolução de problemas envolvendo o cálculo das medidas 
de área de figuras geométricas planas como quadriláteros, triân-
gulos e círculos e o cálculo da medida de volume de blocos retan-
gulares servirão de recursos para aprofundar o estudo do volume 
de prismas e pirâmides.
Em Probabilidade e estatística, os estudantes devem ter auto-
nomia para aplicar o princípio multiplicativo da contagem para 
determinar os elementos do espaço amostral, reconhecendo que 
a soma das probabilidades de todos os eventos do espaço amos-
tral é 1. Em Estatística, os estudantes devem saber calcular as me-
didas de tendência central para um conjunto de dados, bem como 
avaliar a adequação de diferentes tipos de gráfico, para que pos-
sam aprofundar os estudos de probabilidade identificando even-
tos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de 
ocorrência nesses casos e analisar gráficos divulgados pela mídia 
durante o 9o ano.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF08MA02 EF08MA04 EF08MA05 EF08MA06
EF08MA07 EF08MA09 EF08MA11 EF08MA13
EF08MA14 EF08MA15 EF08MA19 EF08MA21
EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA26
Sobre esta seção
Sugerimos que esta seção seja trabalhada no início do ano leti-
vo, de maneira que as atividades possam ser utilizadas para ava-
liar os conhecimentos prévios dos estudantes, bem como verificar 
pontos de dúvida e aspectos que precisam de retomada.
Na atividade 1, sugira aos estudantes que representem o nú-
mero 0,2 usando uma fração decimal e encontrem a fração equi-
valente a ela, ou seja, 0,2 5 
2
10
 5 
1
5
, para que percebam que não 
há relação entre os algarismos que compõem a fração e os que 
compõem a representação decimal.
Explique a eles que a representação decimal sem as reticências 
indica que o número não tem outros dígitos, enquanto, na repre-
sentação decimal em que aparece um traço sobre um algarismo 
ou grupo de algarismos, esse algarismo ou grupo de algarismos 
se repete indefinidamente no número.
Incentive-os a aplicar os procedimentos estudados para obter 
a fração geratriz da dízima periódica 0,6.
Na atividade 2, caso os estudantes apresentem dificuldades 
em escrever os números na forma decimal, oriente-os a dividir 
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LII
o numerador da fração pelo denominador e adicionar ao resul-
tado a parte inteira do número. Oriente-os a comparar os nú-
meros utilizando a reta numérica como recurso e o fato de que 
os números nessa representação estão organizados em ordem 
crescente no sentido indicado pela seta. Assim, para comparar 
2 números usando a reta numérica, o maior será o localizado 
mais à direita.
Na atividade 3, é possível que alguns estudantes encontrem 
dificuldade no cálculo das raízes. Nesse caso, retome o procedi-
mento de obter a raiz de um número usando a decomposição em 
fatores primos como recurso.
Verifique se os estudantes determinaram os respectivos valo-
res das potências e realizaram os cálculos sem aplicar as proprie-
dades da potência. Caso isso tenha acontecido, retome e escla-
reça as propriedades da potência com a turma evidenciando que 
elas facilitam os cálculos.
No item a da atividade 4, o percentual da taxa de consumo 
é dado pela razão entre o valor da taxa e o valor da conta. Se 
necessário, relembre os estudantes de que o fator de acréscimo 
de 10% pode ser representado por 1,10. Assim, no item b, os es-
tudantes podem pensar que 1,10x corresponde a 100 reais, em 
que x representa o valor do consumo. Resolvendo a equação 
1,10x 5 100, obtém-se o valor do consumo. O valor da taxa é 
obtido subtraindo-se o valor do consumo do valor pago pela 
conta.
No cálculo do item c da atividade 5, é muito comum os estu-
dantes considerarem apenas o sinal negativo no primeiro termo do 
monômio, fazendo 6x 1 22 2 (4x 1 6) 5 6x 1 22 2 4x 1 6. Caso isso 
ocorra, reforce que o sinal negativo multiplica todos os termos que 
estão dentro dos parênteses e realize o cálculo na lousa, esclare-
cendo as dúvidas: 6x 1 22 2 (4x 1 6) 5 6x 1 22 2 4x 2 6 5 2x 1 16.
Caso apresentem dificuldade na resolução da equação da ati-
vidade 6, retome o procedimento de isolar o x2 em um dos mem-
bros da equação para, em seguida, calcular a raiz quadrada do 
número do segundo membro. Enfatize que, por se tratar de uma 
medida, x deve ser positivo.
N ú m e r o s r e a i s1
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Escrever números racionais na forma de fração irredutível, na 
forma decimal e na forma de dízima periódica.
 ⓿ Reconhecer e indicar números racionais, números irracionais e 
números reais.
 ⓿ Calcular o valor aproximado de raízes não exatas e indicar a 
localização na reta numérica.
 ⓿ Resolver expressões numéricas utilizando as propriedades ope-
ratórias da adição, subtração, multiplicação e divisão de raízes.
 ⓿ Calcular potências com número real na base e expoente inteiro.
Justificativas
Neste capítulo é ampliado o estudo dos números por meio do 
trabalho com o conjunto dosnúmeros irracionais (I) e o conjunto 
dos números reais (R).
A apresentação dos conjuntos numéricos é uma preparação pré-
via para a introdução dos números reais em situações que exijam a 
utilização de funções e de expressões algébricas mais complexas, 
como as funções do 2o grau, polinômios com 2 incógnitas, etc. A com-
preensão dos vários tipos de número e as respectivas características 
é conhecimento prévio obrigatório para que o estudante consiga re-
alizar aplicações adequadas nos mais variados tipos de cálculo, con-
textualizações matemáticas e solução de problemas relacionados ao 
cotidiano, principalmente aqueles que envolvem dados reais.
Nos anos anteriores, os estudantes aprenderam conceitos 
como operações com frações, propriedades de potenciação, pro-
priedades de radiciação, de maneira que podem agora compreen-
der termos como racionalidade de um número ou irracionalidade 
de um número, podendo também representar esse número em 
uma reta numérica.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 4, 6, 7 e 9.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Ciência e Tecnologia
 ⓿ Saúde
 ⓿ Trabalho
Sobre este capítulo
No início do capítulo, retomamos os números racionais, dando 
exemplos de usos desses números, como em transações monetá-
rias. A partir disso, introduzimos o conjunto dos números irracio-
nais, aqueles cuja representação decimal é infinita e não periódica.
É importante ressaltar que, diferentemente dos outros con-
juntos estudados até agora, que sempre “incluíam” os conjuntos 
anteriormente estudados, o conjunto dos números racionais não 
contém o conjunto dos números irracionais, e vice-versa. Isso sig-
nifica que um número é racional ou irracional.
Depois apresentamos as raízes de números naturais que têm 
resultados não naturais. Esses números são irracionais, pois não 
se encaixam na definição de números racionais. Além do uso da 
calculadora, incentivamos que os estudantes tentem descobrir 
aproximações racionais do valor dessas raízes pelo método de apro-
ximações sucessivas.
A partir disso, os estudantes têm condições de compreender 
o conjunto dos números reais, que é formado pela união do con-
junto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. 
Usamos a reta numérica para auxiliar os estudantes na compreen-
são desse conjunto. Desenvolvemos algumas atividades para que 
eles percebam que todo número real é racional ou irracional e que 
um número racional ou irracional é real.
A apresentação dos números reais deve ser feita primeiramen-
te de maneira geral, apresentando os conceitos e mostrando ao 
estudante que todos os outros conjuntos numéricos estão con-
tidos nesse conjunto mais geral; somente depois, é interessante 
destacar as especificidades de cada conjunto, apresentando cada 
um deles de modo aplicado e contextualizado.
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LIII
O tópico seguinte deste capítulo aborda as operações com 
raízes; nele temos a preocupação de fazer os estudantes enten-
derem as regras operatórias em cada operação. Primeiro apre-
sentamos a multiplicação, pois ela é necessária no aprendizado 
de simplificação de raízes, conteúdo essencial nas operações de 
adição e de subtração.
Se julgar necessário, retome a decomposição dos números na-
turais em fatores primos antes de apresentar a simplificação de 
raízes e a “introdução” de um fator no radical.
Ao apresentar as operações de adição e de subtração de raí-
zes, é importante averiguar quais regras operatórias os estudan-
tes julgam que funcionam e mostrar contraexemplos para as re-
gras erradas, auxiliando a aprendizagem.
No último tópico deste capítulo são retomadas as regras de 
potenciação estudadas em anos anteriores, destacando que, para 
a potenciação de um número cuja base é um número real, as re-
gras são as mesmas de quando a base é um número racional. A 
partir disso, é retomado o conceito de notação científica já estu-
dado no 8o ano.
No decorrer do capítulo há orientações no tocante a metodo-
logias ativas que auxiliam no processo de aprendizagem dos con-
teúdos apresentados nesse capítulo, como a metodologia ativa 
aprendizagem em equipe. A aplicação dessa metodologia pode 
promover a autonomia do estudante, assim como a habilidade de 
cooperar e trabalhar em equipe.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
Caso os estudantes mostrem dificuldade em reconhecer e 
indicar números racionais, irracionais e reais, é possível pedir a 
eles que caracterizem os números a partir de exemplos que não 
foram apresentados. Por exemplo, caso a dificuldade esteja em 
identificar um número menor do que zero, eles devem indicar o 
que caracteriza os números menores do que o zero, de modo que 
possam perceber as simbologias adotadas a partir de uma série 
de exemplos.
Se os estudantes tiverem dificuldade em reconhecer e indicar 
números racionais, irracionais e reais na reta numérica, peça a eles 
que identifiquem os números a partir da representação decimal, 
facilitando o posicionamento e a comparação.
É possível que os estudantes tenham dificuldade em represen-
tar expoentes fracionários em forma de raiz. Retome essas pro-
priedades se necessário. Caso a dificuldade esteja em entender 
uma raiz de um número negativo, cujo valor não é um número real, 
explique que as raízes de números negativos só resultam em nú-
meros reais quando o índice da raiz é um número par.
Caso os estudantes tenham dificuldade em perceber como a 
medida de volume se relaciona com as raízes e as potências, reto-
me com a turma como se calcula a medida de volume de um cubo 
ou mesmo de outras figuras geométricas espaciais. Caso a difi-
culdade apareça com o cálculo aproximado das raízes, represente 
uma reta numérica na lousa para que os estudantes posicionem 
as raízes de vários números naturais.
Ao final das atividades, aproveite a oportunidade para promo-
ver uma conversa com a turma, ressaltando a importância de um 
bom convívio entre eles, de modo que todos sintam-se à vontade 
e acolhidos para tirar dúvidas, com a garantia de que não serão 
julgados pelos colegas. Pergunte se eles sentem que isso já acon-
tece durante as aulas e, caso necessário, o que pode ser feito para 
melhorar a convivência de todos.
P r o d u t o s n o t á v e i s, f a t o r a ç ã o
e e q u a ç õ e s d o 2º g r a u
2
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Utilizar produtos notáveis em expressões numéricas (quadrado 
da diferença entre 2 termos, quadrado da soma de 2 termos, 
soma pela diferença dos mesmos 2 termos).
 ⓿ Fatorar polinômios (fator comum em evidência, agrupamento, 
diferença entre 2 quadrados, trinômio do quadrado perfeito).
 ⓿ Resolver problemas que envolvem a resolução de equações do 
2o grau com 1 incógnita.
Justificativas
Retomamos neste capítulo o estudo da Unidade temática 
Álgebra, introduzido nos Volumes anteriores desta coleção, am-
pliando-o, aprofundando-o e chegando aos produtos notáveis e 
às equações do 2o grau.
É importante os estudantes reconhecerem padrões em expres-
sões algébricas para aplicarem os casos de fatoração e de produ-
tos notáveis, assim como entenderem como chegamos à fórmula 
de resolução de uma equação do 2o grau (aspecto conceitual) 
para não a decorar sem atribuir significado. Por meio de conexões 
com a Geometria e com situações do cotidiano, apresentamos 
várias aplicações da equação do 2o grau, inclusive abordando a 
história desse conceito.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 4, 5, 6, 7 e 9.
Competências específicas de Matemática da BNCC
2, 3, 5 e 6.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA03 EF09MA09
Sobre este capítulo
Iniciamos o capítulo apresentando os principais produtos no-
táveis nas formas algébrica e geométrica, demodo que os estu-
dantes tenham à disposição diferentes representações do mesmo 
problema. Depois, iniciamos o trabalho com os casos de fatora-
ção, apresentando os principais casos, novamente de modo algé-
brico e geométrico.
Se julgar conveniente, deixe que os estudantes utilizem o mate-
rial dourado para simular algumas explorações apresentadas no 
livro, como o 4o caso de fatoração.
No estudo de equações do 2o grau, retomamos o que é grau 
de uma equação; depois, definimos o que é uma equação do 
2o grau com 1 incógnita e os elementos dela (coeficientes e raízes 
ou soluções).
Em seguida, apresentamos os métodos de resolução de equa-
ções incompletas do 2o grau com 1 incógnita e problemas en-
volvendo tais equações. Apresentamos também a resolução de 
equações do 2o grau completas usando fatoração e pelo método 
de completar quadrados.
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LIV
Somente depois de os estudantes resolverem as equações por 
fatoração é que deduzimos a fórmula de resolução de uma equa-
ção do 2o grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara. No 
Você sabia?, chamamos a atenção dos estudantes para o nome 
adotado no Brasil para essa fórmula, apresentando quem foi o 
matemático indiano Bhaskara e explicando que, apesar do nome, 
na descoberta dessa fórmula há a contribuição de muitas outras 
pessoas.
Trabalhamos as importantes relações existentes entre os coe-
ficientes e as raízes de uma equação do 2o grau visando à com-
preensão dos estudantes, para que eles possam aplicá-las na 
solução de diversas atividades e problemas. Uma aplicação é a 
determinação de uma equação do 2o grau conhecidas as raízes, 
que apresentamos na sequência. Por fim, introduzimos um novo 
caso de fatoração: o trinômio do 2o grau.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
No desenvolvimento de produtos de polinômios, incluindo os 
produtos notáveis, é importante que os estudantes percebam 
que os produtos notáveis não são apenas regras, mas, sim, conse-
quências da propriedade que podem facilitar no desenvolvimento 
de algumas expressões – ao reconhecer os padrões nesses produ-
tos, é possível economizar tempo para resolver problemas e ati-
vidades que envolvam essas expressões. Para que os estudantes 
percebam os diferentes produtos notáveis, pode ser interessante 
também sugerir a eles que escrevam quais são os produtos em 
cada caso (quadrado da soma, quadrado da diferença, etc.).
Caso os estudantes demonstrem dificuldades em descobrir 
como fatorar os polinômios, sugira que analisem as possibilida-
des na lista de produtos notáveis discutidos. Essas análises de-
vem ser úteis para que percebam mais facilmente quais produtos 
notáveis podem ser aplicados em cada caso, sem ter que testar 
cada um deles em todos os itens. Isso também deve ajudar na 
memorização dos padrões que, de fato, fazem esses produtos se-
rem notáveis.
Se os estudantes tiverem dúvidas sobre como escrever a equa-
ção do 2o grau a partir das raízes dela, é possível que eles não 
estejam percebendo a relação entre os produtos notáveis e as 
raízes de uma equação do 2o grau.
Na resolução da equação do 2o grau com 1 incógnita, caso os 
estudantes tenham dificuldade, pode ser interessante sugerir que 
resolvam uma equação similar. Nesse caso, apenas a fatoração já 
será suficiente para que se determine as raízes. Depois desta pri-
meira investigação, retome a equação original, destacando como 
a fatoração ainda pode ser útil para este caso – a única diferença 
é a necessidade de se manter uma raiz quadrada nas manipula-
ções algébricas.
Se surgirem dificuldades ao resolver uma equação do 2o grau 
incompleta, pode ser interessante destacar que ser incompleta 
não interfere na resolução pelos diferentes métodos aprendidos. 
Isso pode ser ressaltado para os estudantes destacando como 
x2 2 4x 5 0 é equivalente à equação x2 2 4x 1 0 5 0, e que, neste 
caso, temos apenas que o coeficiente c é igual a zero.
Nas atividades de resolução de equação do 2o grau com 1 in-
cógnita, é possível destacar questões sobre a quantidade de 
raízes de uma equação, bem como o grau dessas equações. De 
início, os estudantes não precisam determinar as raízes dessas 
equações, apenas desenvolvendo o que for necessário para se 
responder a determinada pergunta.
Caso os estudantes demonstrem dificuldade em reconhecer 
que algumas equações do segundo grau têm menos do que 2 raí-
zes reais, apresente alguns exemplos e sugira que determinem es-
sas raízes, de modo que possam perceber essa característica de 
algumas equações. Caso a dificuldade apareça nos demais itens, 
incentive-os a calcular as raízes do modo que for mais convenien-
te, eventualmente retomando alguns métodos.
Equações com radicais
Outro dia procurou-me um professor, querendo entender o 
modo correto de resolver a seguinte equação: x2 5 16. Perguntou-
-me então se estaria correto proceder assim: x2 5 16 ~ 6x 5 64, 
com quatro possibilidades de escolha de sinais: 1x 5 64 e 2x 5 64, 
resultando nas duas soluções x 5 64.
Com um balançar de cabeça, eu dei a entender que não apro-
vava. Ele insistiu: mas, professor, não é verdade que x
2 5 6x e 
16 5 64?
Aí eu fui bem explícito e disse: Não! Não é bem assim. De fato, 
às vezes escrevemos coisas como 16 5 64, mas isso não está 
certo. Trata-se de um “abuso de notação”. Não existem coisas que 
os linguistas chamam de “abuso de linguagem”, “licença poética” 
e “licença literária”? Pois os matemáticos também incorrem em 
“abusos de notação” e de “linguagem”. Não tem muita importância, 
pode até ser uma conveniência, mas é preciso ter consciência do 
que se está fazendo. Por exemplo, ao lidarmos com a função que 
leva x em x , dizemos e escrevemos corretamente assim: “seja a 
função x ñ x , x . 0”. É um abuso de notação dizer “seja a função 
y 5 x ”, pois, a rigor, essa última expressão é apenas um valor par-
ticular da função, aquele que ela assume no valor “x” da variável in-
dependente; além disso, nesse último modo de falar nem estamos 
especificando o domínio da função, deixando-o subentendido.
Voltando ao caso da raiz quadrada, escrever 16 5 64, é um abu-
so de notação porque o radical tem um significado único: sendo a 
um número positivo, a significa sempre a raiz quadrada positiva, 
nunca a negativa (é claro que se poderia ter convencionado o con-
trário, isto é, a significando a raiz negativa, não a positiva). [...]
Como então resolver a equação proposta? Pelo que dissemos, 
x
2 é o número positivo |x|, isto é, x
2 5 |x| (e nunca x
2 5 x, pois 
x pode ser negativo).
Analogamente, 16 5 4, de sorte que x2 5 16 ^ |x| 5 4 ^ x 5 64 
e pronto, é isso aí! Na prática, costumamos suprimir a parte do 
meio e simplesmente escrever: x2 5 16 ^ x 5 64.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. 
Seleção e organização de Ana Catarina P. Hellmeister et al.; 
organização geral de Suely Druck. Artigos. v. 1. Brasília, DF: 2004. 
p. 252-253. (Coleção Explorando o ensino da Matemática).
Sugestão de leitura
P r o p o r c i o n a l i d a d e e j u r o s3
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Resolver problemas que envolvem proporcionalidade direta e 
proporcionalidade inversa entre 2 ou mais grandezas.
 ⓿ Resolver problemas utilizando o teorema de Tales.
 ⓿ Resolver problemas que envolvem juros simples e juros compostos.
Justificativas
Neste capítulo, os estudantes devem recordar os conceitos de 
razão e de proporção estudados anteriormente para aprofundar 
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LV
os conhecimentos em proporcionalidade, relacionando esses con-
ceitos à área de Álgebra, de Geometria e de Matemática finan-
ceira. Essas relaçõessão importantes para que os estudantes te-
nham ferramentas para compreender e interligar conhecimentos 
em diferentes situações usuais e cotidianas, como compras a pra-
zo, com pagamento de juros simples ou compostos, reconhecen-
do os diferentes recursos do dia a dia relacionados a transações 
monetárias sem o uso de cédulas e moedas físicas, como cartão 
de crédito, limites e empréstimos.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 4, 5, 6, 9 e 10.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8.
Habilidades de Matemática
EF09MA03 EF09MA05 EF09MA07 EF09MA08
EF09MA10 EF09MA14
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Ciência e Tecnologia
 ⓿ Diversidade Cultural
 ⓿ Educação Ambiental
 ⓿ Educação Financeira
 ⓿ Educação Fiscal
 ⓿ Educação para o Consumo
 ⓿ Educação para o Trânsito
 ⓿ Vida Familiar e Social
Sobre este cap’tulo
Neste capítulo, exploramos o conceito de proporcionalidade e, 
para isso, as ideias de razão e de proporção são retomadas, res-
saltando as razões que envolvem 2 grandezas diferentes, como 
a velocidade média e a densidade. É importante analisar esses 
exemplos não só na forma algébrica, mas também por meio de 
gráficos.
Na retomada dos conceitos de proporção, evidenciamos a re-
lação dela com a razão, utilizando o conceito de escala. Apresen-
tamos diversas atividades para aplicar esses conceitos, como em 
plantas baixas e mapas. Outra aplicação da proporcionalidade 
é a razão entre a medida de comprimento da circunferência e a 
medida de comprimento do diâmetro dela. Essas razões sempre 
resultam no número irracional p.
Apresentamos a razão entre segmentos de reta para, depois, 
introduzir o teorema de Tales. Contextualizamos essa razão com 
atividades sobre a razão áurea e a sequência de Fibonacci.
Fazemos ainda explorações envolvendo o teorema de Tales e 
as aplicações relacionadas a ele. Apresentamos algumas impor-
tantes aplicações do teorema na Geometria, como a divisão de 
um segmento de reta em partes iguais e o teorema da bissetriz 
de um ângulo interno em um triângulo. Os procedimentos dedu-
tivos aqui são muito específicos e, por esse motivo, é interessante 
ler todos os passos com os estudantes e sanar possíveis dúvidas.
Para finalizar as explorações envolvendo proporcionalidade, 
os estudantes são incentivados a pensar em diferentes situações 
geométricas nas quais há a utilização da proporcionalidade.
Neste capítulo, na parte de juros, retomamos os conceitos de 
porcentagem antes que sejam apresentados para os estudantes 
os conceitos de juros simples e juros compostos. Esses conceitos 
são contextualizados na seção Conexões e leitura, sobre inflação, 
e sobre cartão de crédito. Essa é uma excelente oportunidade 
para elaborar um projeto de Educação financeira.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
Ao propor a atividade 1, caso os estudantes não estejam iden-
tificando as razões nos itens a e b, pode ser interessante comen-
tar que as frações dadas são equivalentes às razões obtidas, ou 
seja, no enunciado as frações foram apresentadas em sua forma 
irredutível.
Se os estudantes mostrarem dificuldade em diferenciar as ra-
zões 
a
b
 e 
b
a
, é importante frisar que a ordem em que os números 
são posicionados é importante e segue a ordem das medidas 
de comprimento indicadas no enunciado – com isso, no item c, 
por exemplo, a razão 
4
3
 se diferencia da razão 
3
4
, já que uma re-
presenta 
AB
CD
 e a outra 
CD
AB
.
No caso da atividade 2, se os estudantes demonstrarem difi-
culdade no item a, pode ser interessante retomar a fórmula utili-
zada para determinar a medida de comprimento de uma circun-
ferência, eventualmente até apresentando algumas medidas de 
comprimento de raio variadas para que exercitem esse cálculo. Se 
a dificuldade surgir no item b ou c, retome o significado do núme-
ro de ouro, destacando inclusive o que é um retângulo de ouro e 
como as medidas de comprimento se relacionam a esse conceito. 
No item c, uma maneira de contornar possíveis dificuldades pode 
ser retomar o significado da medida de perímetro para polígonos, 
o que inclui o triângulo que é destacado neste item.
Na atividade 3, caso os estudantes demonstrem dificuldade, 
relembre a turma de que escala é a razão entre a medida de com-
primento em um desenho e a medida de comprimento real de 
um objeto, lugar ou distância. Outro detalhe importante de ser 
lembrado é que, para determinar a escala, as medidas de com-
primento devem estar na mesma unidade de medida e que, com 
isso, é necessário que todo o cálculo seja feito em centímetros, 
metros, quilômetros, etc. A apresentação de mapas também pode 
ser uma oportunidade de reavaliar questões sobre escala, além de 
desenvolver trabalhos interdisciplinares.
Em atividades como a 4, é comum encontrarmos segmentos de 
reta intersectando retas paralelas, então é importante que os estu-
dantes percebam como o teorema de Tales é uma estratégia eficien-
te a ser considerada em problemas que envolvem essa configuração.
Caso os estudantes tenham dificuldade para determinar esse 
valor, pode ser interessante retomar o teorema de Tales e as pos-
síveis aplicações que ele tem.
Na atividade 5, caso os estudantes tenham dificuldade nesta 
atividade, sugira que leiam novamente o Você sabia? sobre Tales e 
a altura de uma pirâmide, o que pode ser um jeito curioso de relem-
brar como o teorema de Tales pode ser útil na determinação de me-
didas de altura a partir das medidas de comprimento de sombras.
Ao propor a atividade 6, se os estudantes mostrarem dificul-
dade em calcular a proporção, sugira a eles que pensem em pro-
moções do tipo “Leve 2, pague 1”, o que pode representar uma 
proporção mais simples de ser analisada. Caso faça sentido, 
oriente-os a procurar promoções na internet ou em panfletos que 
envolvam esse tipo de situação, calculando os valores pagos, a 
quantidade de produtos adquiridos e o desconto para cada caso.
Na atividade 7, verifique se os estudantes apresentam dificul-
dade em perceber que não basta adicionar as porcentagens nesses 
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LVI
itens e utilize valores maiores de porcentagem para que per-
cebam mais significativamente a importância de realizar esses 
acréscimos e decréscimos parte a parte. Por exemplo, um acrés-
cimo de 50% seguido de um acréscimo de 50% levaria R$ 200,00 
a R$ 450,00, enquanto um acréscimo de 100% levaria R$ 200,00 
a R$ 400,00. Discutir como isso é algo a ser considerado em com-
pras a prazo é extremamente relevante para a formação de cada 
estudante – ajude-os a perceber que calcular os valores que se-
rão pagos em determinada quantidade de parcelas é importan-
te para que não tenham surpresas ao comprar algum produto.
Na atividade 8, se os estudantes mostrarem dificuldade no 
cálculo de juros simples, é possível que estejam com dificuldade 
na interpretação das porcentagens, o que pode ser retomado a 
partir das porcentagens representadas como frações; 10%, por 
exemplo, representando como 
10
100
. Se a dificuldade aparecer para 
o cálculo de juros compostos, é possível que os estudantes não 
estejam percebendo como o cálculo deve ser feito sempre levan-
do em consideração o valor obtido anteriormente. Reforce essa 
ideia por meio de um exemplo de uma multa de 10% sendo aplica-
da a um montante de R$ 1.000,00 por alguns meses. Calcule com 
a turma o que acontece nos 3 primeiros meses, pedindo a alguns 
estudantes que se dirijam à lousa para continuar o cálculo para 
os meses seguintes.
No item c, verifique se os estudantes se recordam de como cal-
cular grandezas inversamente proporcionais. Ressalte que é pre-
ciso considerar o inverso das partes indicadas.
G e o m e t r i a : s e m e l h a n ç a,
p er s p e c t i v a e v i s t a s o r t o g o n a i s
4
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Identificar e representar figuras planas semelhantes e figuras 
planas congruentes.
 ⓿ Identificar e representar triângulos semelhantes, reconhecendo 
as condições necessárias.
 ⓿ Resolver problemas utilizando os casos de semelhança de 
triângulos.
 ⓿ Reconhecer e representar as vistas ortogonais de um sólido 
geométrico.
Justificativas
Este capítulo aborda conteúdos da Unidade temática Geome-
tria. Os conteúdos trabalhados neste capítulo são de grande im-
portância para várias áreas que criam e utilizam desenhos, tais 
como engenharia, artes, computação gráfica, etc.
São retomados os conhecimentos sobre semelhança de figuras 
para discutir a redução e a ampliação de figuras, aprofundando e in-
tegrando esses conhecimentos com proporcionalidade ao calcular a 
razão de semelhança, estudar os casos de semelhança de triângulos 
e iniciar os estudos sobre congruência de figuras. Os estudantes vão 
conhecer algumas técnicas de desenho ao identificar vistas ortogo-
nais e perspectiva, relacionando e fruindo algumas obras de arte, 
bem como verificando importantes aplicações dessas técnicas.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 3, 6, 7 e 9.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 3, 5 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA08 EF09MA12 EF09MA14 EF09MA17
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Ciência e Tecnologia
 ⓿ Diversidade Cultural
 ⓿ Trabalho
Sobre este capítulo
Iniciamos o capítulo com os processos usados para ampliar 
e reduzir figuras. Chame a atenção dos estudantes para o fato 
de que atualmente é fácil, por meio de softwares, ampliar e re-
duzir figuras, mas que antigamente eram necessários instrumen-
tos específicos, como o pantógrafo. Se possível, apresente um 
pantógrafo aos estudantes e mostre como ele funciona.
Trabalhamos a noção de figuras semelhantes e de figuras con-
gruentes e particularizamos para o caso de semelhança de po-
lígonos, com o objetivo de introduzir o conteúdo de semelhança 
de triângulos. Abordamos a razão entre as medidas de perímetro 
de polígonos semelhantes e entre as medidas de área de regiões 
planas semelhantes. Se julgar conveniente, retome os conceitos 
de razão e de proporção.
Particularizando um pouco mais, chegamos à importante no-
ção de triângulos semelhantes. A propriedade fundamental da 
semelhança de triângulos e os casos de semelhança de triângulos 
são trabalhados visando às aplicações no cálculo de medida de 
distâncias inacessíveis e em outras situações.
Neste capítulo, há ainda explorações envolvendo represen-
tações de sólidos geométricos no plano. Primeiro apresentamos 
representações nas malhas pontilhada, quadriculada e triangu-
lada. Depois, trabalhamos com as vistas geométricas de objetos 
tridimensionais e sólidos geométricos. É interessante deixar que 
os estudantes usem o material dourado sobre uma folha de papel, 
para que eles possam montar os sólidos e girar essas construções 
usando a folha. A partir daí, estudamos as vistas ortogonais de 
sólidos geométricos.
Por fim, apresentamos outra técnica para representar figuras 
tridimensionais no plano: a perspectiva cônica. Apresentamos vá-
rias imagens para que os estudantes possam analisar as situa-
ções. Depois, por meio de explorações, eles devem ter a oportuni-
dade de fazer os próprios desenhos usando essa técnica. Analise 
se compreenderam o método.
Em vários momentos do capítulo incentivamos o desenvolvi-
mento de trabalhos interdisciplinares com o professor do compo-
nente curricular Arte e a aplicação de metodologias ativas como 
aprendizagem em equipe e sala de aula invertida.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
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LVII
Na identificação de figuras planas semelhantes, sugira aos es-
tudantes que escrevam razões considerando todos os lados cor-
respondentes das figuras, pois assim poderão verificar que, sendo 
diferentes as razões, as figuras não são semelhantes.
Verifique se os estudantes percebem que o coeficiente de pro-
porcionalidade entre figuras congruentes é sempre igual a 1, uma 
vez que não há redução nem ampliação da figura.
Ao analisarem a semelhança entre 2 triângulos, incentive os es-
tudantes a pensar nos casos de semelhança de triângulos e a con-
cluir que 2 triângulos equiláteros são sempre semelhantes, já que em 
qualquer triângulo equilátero as medidas de abertura dos ângulos 
internos são iguais a 60¡ e que AA é um caso de semelhança.
Desafie-os a indicar exemplos de triângulos isósceles e escale-
nos que são semelhantes. Mostre aos estudantes que isso é impos-
sível, pois em um triângulo isósceles sempre teremos 2 lados com 
medidas de comprimento iguais, enquanto nos triângulos escale-
nos os 3 lados têm medidas de comprimento diferentes.
Já ao analisar a semelhança entre 2 retângulos é possível indi-
car exemplos de retângulos que são e que não são semelhantes. 
Comente com os estudantes que, apesar de AA ser um caso de se-
melhança entre triângulos, o mesmo não pode ser estendido para 
retângulos.
Em caso de dificuldade ao representar as vistas ortogonais 
de um paralelepípedo, pode ser interessante retomar quais são 
as propriedades que definem essa figura geométrica, que é um 
prisma de base retangular. Reconhecer quais são os planos pa-
ralelos e como essas representações podem ser feitas no plano 
pode auxiliá-los a perceber quais segmentos devem ser repre-
sentados para que essa figura fique completa. Se for interessan-
te, sugira a eles que representem alguns paralelepípedos com 
medidas de comprimento variadas para perceber quais são os 
padrões na representação.
Se os estudantes apresentarem dificuldade para identificar as vis-
tas ortogonais de um cilindro, apresente algum objeto com formato 
cilíndrico, como uma lata, e deixe que analisem esse objeto de dife-
rentes perspectivas, identificando quando é possível visualizar ape-
nas um retângulo, apenas um círculo ou até outras figuras, se a vista 
envolver ângulos diferentes. A utilização de um objeto físico deve aju-
dá-los a entender o que é a representação plana do cilindro e como 
ela pode ser interpretada na relação com os planos indicados.
Ao final das atividades, aproveite a oportunidade para promo-
ver uma conversa com a turma, ressaltando a importância de um 
bom convívio entre eles, de modo que todos sintam-se à vontade 
e acolhidos para tirar dúvidas, com a garantia de que não serão 
julgados pelos colegas.
E s t a t í s t i c a, c o m b i n a t ó r i a
e p r o b a b i l i d a d e
5
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Identificar eventos independentes e eventos dependentes em 
experimentos aleatórios e calcular a probabilidade de ocorrência. 
 ⓿ Resolver problemas utilizando o princípio fundamental da 
contagem.
 ⓿ Analisar criticamente gráficos divulgados pela mídia, identifi-
cando erros que possam conduzir a conclusões equivocadas.
 ⓿ Resolver problemas envolvendo a análise de gráficos de seg-
mentos, de barras, de colunas, de setores, histogramas ou pic-
togramas.
 ⓿ Planejar uma pesquisa amostral e analisar e interpretar os da-
dos, utilizando as medidas de tendência central, para comuni-
car conclusões.
Justificativas
Neste capítulo, os estudantes têm a oportunidade de ampliar 
os conceitos relacionados à Unidade temática Estatística, que é 
fundamental para o pleno exercício da cidadania, uma vez que a 
habilidade de ler e interpretar dados de maneira crítica é essencial 
no cotidiano de todo cidadão.
A partir desse tema, os estudantes retomarão algumas no-
ções relacionadas à pesquisa estatística, como variável, frequ-
ência e gráficos, com o objetivo de desenvolver o pensamento 
críticosobre resultados divulgados pela mídia, sabendo identifi-
car erros que podem levar a interpretações enviesadas. Também 
terão contato com noções de probabilidade para a resolução de 
problemas.
Competências gerais da BNCC
2, 3, 5, 6, 9 e 10.
Competências específicas de Matemática da BNCC
2, 4, 5, 7 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA03 EF09MA08 EF09MA20 EF09MA21
EF09MA22 EF09MA23
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Ciência e Tecnologia
 ⓿ Direitos da Criança e do Adolescente
 ⓿ Educação Ambiental
 ⓿ Educação para o Consumo
 ⓿ Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso
 ⓿ Saúde
 ⓿ Trabalho
 ⓿ Vida Familiar e Social
Sobre este capítulo
Neste capítulo, retomamos os termos relacionados à pesqui-
sa estatística, com enfoque na variável e nos valores da variável. 
Ampliamos a classificação dos tipos de variável para qualitativa 
ordinal, qualitativa nominal, quantitativa discreta e quantitativa 
contínua. Retomamos também a ideia de frequência, trabalhando 
com a interpretação e a construção de tabelas de frequências por 
intervalos. Depois, retomamos as medidas de tendência central, 
que serão utilizadas para analisar os dados estatísticos de diver-
sas situações.
Em seguida, apresentamos os vários tipos de gráfico – gráfi-
co de segmentos ou de linha, gráfico de barras (verticais ou ho-
rizontais), gráfico de setores, histograma e pictograma ou gráfico 
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LVIII
pictórico – com foco na diferenciação entre eles e nos processos 
de escolha de qual gráfico é mais adequado para representar cada 
situação. Cada um dos gráficos apresenta dados contextualizados, 
cujo assunto pode ser ampliado em outras áreas do conhecimento.
Outro foco deste capítulo é analisar gráficos apresentados 
pela mídia que podem induzir a erros. É importante que os estu-
dantes dessa faixa etária saibam ler um gráfico de maneira críti-
ca, ou seja, eles devem saber analisar um gráfico, compreender os 
dados ali apresentados e perceber se há algum erro que induza o 
leitor a uma conclusão errada sobre eles.
Apresentamos uma introdução informal à Análise combinató-
ria, tendo como base o princípio multiplicativo ou princípio fun-
damental da contagem, que auxilia a resolver situações de conta-
gem mais trabalhosas. Retomamos o diagrama conhecido como 
árvore de possibilidades e exploramos diversos problemas con-
textualizados envolvendo raciocínio combinatório.
No campo da Probabilidade, retomamos, por meio de exem-
plos, o que foi estudado nos Volumes anteriores, e ampliamos o 
estudo de dependência de 2 eventos de um experimento, apre-
sentando também uma gama de problemas contextualizados.
Em seguida, integramos os campos de Estatística e Probabili-
dade com mais problemas e abordamos a estimativa de probabi-
lidades a partir de dados estatísticos.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
Na atividade 1, caso os estudantes demonstrem dificuldade, 
sugira que façam uma investigação profunda dos conceitos apre-
sentados nesse problema. Peça a eles que criem quantidades 
para os demais valores de modo que a frequência absoluta atinja 
40, a frequência relativa 100% e a soma dos ângulos dos setores 
360¡, por exemplo.
Ao propor a atividade 3, pode ser interessante explicar aos estu-
dantes que as fichas que contêm um número par são aquelas que 
terminam em 2, 4, 6 ou 8, tendo, então, 4 opções para os números 
e 5 para as letras. Explique ainda que as fichas que têm a letra E 
correspondem a 
1
5
 do total de fichas, pois esta é uma letra entre as 
5 vogais usadas. A partir dessas ideias, é esperado que eles consi-
gam avançar na análise de possibilidades e casos, o que permite 
que se investigue as probabilidades. Se a dificuldade surgir com o 
cálculo da probabilidade, pode ser interessante retomar que essa 
medida é representada por uma fração e relembrar o que define os 
valores do numerador e do denominador dessa fração.
Nas atividades de análise de gráficos e tabelas, caso os estudan-
tes mostrem dificuldade em construir a tabela de frequências ou o 
histograma, pode ser importante apresentá-los a outras tabelas e 
histogramas desse tipo, dentro de outros contextos – o que pode 
ser produto de alguma pesquisa, ou de algum trabalho de pesquisa 
feito em sala de aula, com um tema que interessa os estudantes.
Aproveite para destacar que, para cada medida de tendência 
central, é necessário adotar um procedimento diferente. Sugira 
aos estudantes que representem o conjunto de dados explanan-
do todas as ocorrências de todos os valores em ordem crescente. 
Dessa maneira, ficará mais claro como devem ser obtidas cada 
uma das medidas solicitadas.
Na atividade 9, como a probabilidade é dada pela razão en-
tre o número de casos favoráveis e possíveis, os estudantes de-
vem analisar os nomes de todos os meses do ano para selecionar 
aqueles que se encaixam na condição dada.
Na atividade 10, além de aleatórios, os eventos são indepen-
dentes. Converse com os estudantes sobre a independência dos 
eventos, dizendo que a ocorrência de um dos eventos não inter-
fere na ocorrência de outro, e isso é relevante para o cálculo da 
probabilidade.
Durante esta atividade, se julgar necessário, faça alguns expe-
rimentos com auxílio de um dado ou de um baralho, demonstran-
do, assim, o que se pensa nesses experimentos – mesmo que o 
resultado amostral não determine a probabilidade que estamos 
calculando, eles podem auxiliá-los a entender como alguns even-
tos são mais ou menos prováveis, incentivando o desenvolvimen-
to da capacidade de levantar hipóteses em desafios que envol-
vem chance, o que auxilia inclusive a dar sentido às frações que 
representam essas situações.
Na atividade 11, caso perceba que os estudantes têm dificul-
dade em reconhecer as particularidades do gráfico apresentado, 
pode ser interessante propor uma dinâmica de construções de 
gráficos, todos representando os mesmos dados desta ativida-
de. Organize os estudantes em grupos e sugira que cada grupo 
faça um tipo de gráfico distinto para representar a informação 
dada. Ao final, proponha uma roda de conversa para que socia-
lizem as vantagens e as desvantagens de cada representação, 
incentivando-os, inclusive, a pensar nas melhores representa-
ções para destacar determinadas informações, para apresentar 
os dados para diferentes grupos, etc. Essa discussão deve ser 
relevante para que entendam os gráficos de modo mais plural 
e preciso.
R e l a ç õ e s m é t r i c a s n o s t r i â n g u l o s
r e t â n g u l o s
6
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Resolver problemas utilizando o teorema de Pitágoras.
 ⓿ Calcular a medida de comprimento de segmentos de reta utili-
zando o teorema de Pitágoras.
 ⓿ Resolver problemas utilizando as relações métricas do triângu-
lo retângulo. 
Justificativas
Este capítulo apresenta importante aplicação dos estudos so-
bre semelhança de triângulos, as relações métricas no triângulo 
retângulo, em especial o teorema de Pitágoras.
O estudo dessas relações métricas é muito importante para a 
resolução de problemas de situações concretas em que é neces-
sário descobrir a medida de distâncias inacessíveis.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 3, 7 e 9.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 5 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA11 EF09MA13 EF09MA14
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LIX
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Diversidade Cultural
 ⓿ Trabalho
Sobre este capítulo
Antes da introdução das relações métricas, fazemos o estudo 
do teorema de Pitágoras, demonstrando-o de diversas manei-
ras e aplicando-o em problemas variados. Entre as aplicações do 
teorema de Pitágoras, destacamos o cálculo da medidade com-
primento da diagonal de um quadrado e da medida de altura de 
um triângulo equilátero. Ressaltamos ainda a busca por ternos 
pitagóricos e a classificação dos triângulos quanto aos ângulos 
conhecendo as medidas de comprimento dos 3 lados.
Ainda neste capítulo, apresentamos um texto sobre os “esti-
radores de corda”. A leitura desse texto é uma boa oportunidade 
para mostrar a importância da História da Matemática. Incentive 
os estudantes a pesquisar elementos da vida de Pitágoras e os 
discípulos dele, os chamados pitagóricos.
Depois, apresentamos as relações métricas de um triângulo re-
tângulo. As demonstrações são realizadas a partir da semelhança 
de triângulos.
Na seção Conexões e leitura, os estudantes têm a oportunidade 
de entender o problema dos segmentos de reta comensuráveis e 
dos segmentos de reta incomensuráveis, aplicando-os em futuros 
problemas.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
Caso os estudantes apresentem dificuldade em utilizar o teo-
rema de Pitágoras para descobrir a medida de comprimento da 
hipotenusa de um triângulo retângulo, lembre-os de dar atenção 
ao posicionamento correto da medida de comprimento dos cate-
tos e da hipotenusa na equação formada.
Se a dificuldade estiver em aplicar o teorema de Pitágoras para 
determinar a medida de comprimento da diagonal de um qua-
drado, lembre-os de que os lados do quadrado têm uma mesma 
medida de comprimento e que formam, com a diagonal, um triân-
gulo retângulo e isósceles. Neste caso, a diagonal do quadrado é 
também a hipotenusa do triângulo retângulo.
Caso os estudantes tenham dificuldade em reconhecer o que são 
os catetos e as hipotenusas, mostre a importância desse reconheci-
mento identificando como a equação não é correta se não for utili-
zada da maneira indicada – por exemplo, substituindo um dos cate-
tos por uma das hipotenusas, teríamos uma inequação contrariando 
o teorema de Pitágoras, o que mostra a importância de se utilizar as 
medidas de comprimento corretas nas posições adequadas.
Na resolução de problemas utilizando o teorema de Pitágoras, 
caso os estudantes tenham dificuldade em determinar os valores 
desconhecidos, incentive que listem todas as relações métricas 
estudadas e escolham a mais adequada, fazendo testes para des-
cobrir qual foi a medida de comprimento descoberta. Esses testes 
podem levá-los a medidas que não serão utilizadas, o que não é 
um problema – perceber quais relações funcionam em cada caso, 
eventualmente com erros e ineficiências, é o que vai deixá-los 
mais fluentes em atividades desse tipo. É possível que eles não 
descubram a maneira mais eficiente de chegar a esses resulta-
dos; então compare ao final todas as soluções, destacando quais 
foram as relações métricas utilizadas e deixando que os estudan-
tes discutam quais são os caminhos que envolvem menos passos, 
quais são mais simples, etc.
No caso de utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a 
medida de comprimento do diâmetro (e, consequentemente, do 
raio) da circunferência, primeiramente, é preciso considerar que 
o ângulo inscrito na circunferência ACB é reto – o que viabiliza 
o uso do teorema de Pitágoras. Depois disso, é possível calcular 
a medida de comprimento do diâmetro da circunferência, que é 
também a hipotenusa do triângulo ABC, o que pode ser desco-
berto a partir da aplicação do teorema de Pitágoras. Dividindo 
a medida de comprimento encontrada por 2, tem-se a medida 
de comprimento do raio, que será usada no cálculo da medida de 
comprimento e de área da circunferência.
Caso os estudantes apresentem dificuldade nesta atividade, 
converse com eles inicialmente sobre o ângulo reto presente no 
triângulo, o que é uma característica comum a todos os triângu-
los inscritos em uma circunferência que têm um dos lados sendo o 
diâmetro. Isso pode ser suficiente para que percebam como o te-
orema de Pitágoras pode ser utilizado nesse caso. Se a dificuldade 
surgir com o cálculo das medidas de área e de comprimento, pode 
ser interessante retomar as fórmulas utilizadas para a determina-
ção dessas medidas, apresentando inclusive algumas justificativas, 
o que pode passar por uma revisão do que representa o número p.
E x p l o r a n d o a i d e i a d e f u n ç ã o7
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Resolver problemas que envolvem o conceito de função.
 ⓿ Identificar e representar função afim, função linear e função 
quadrática.
Justificativas
Neste capítulo, trabalhamos outro conteúdo da Unidade te-
mática Álgebra: o estudo das funções. O objetivo deste capítulo é 
apresentar as noções iniciais sobre funções e propiciar que os es-
tudantes as relacionem e apliquem-nas em situações do dia a dia.
O conceito de funções é um dos mais importantes da Mate-
mática, pois é essencial para o aprendizado de conteúdos que se-
rão abordados no Ensino Médio tanto para a área de Matemática 
como para Ciências da Natureza.
Competências gerais da BNCC
1, 2, 7, 8, 9 e 10.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 3, 5, 6 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA05 EF09MA06 EF09MA07 EF09MA08
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Ciência e Tecnologia
 ⓿ Educação Alimentar e Nutricional
 ⓿ Educação Ambiental
 ⓿ Educação para o Consumo
 ⓿ Saúde
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LX
Sobre este cap’tulo
Neste capítulo, a letra é interpretada como variável, pois uma 
grandeza varia em função de outra. Por exemplo, quando coloca-
mos gasolina em um veículo, o preço a pagar é dado em função 
da quantidade de litros de gasolina, ou seja, o preço a pagar de-
pende da quantidade de litros. Por isso, nesse caso, dizemos que 
o preço P a pagar é uma variável dependente, e a quantidade de 
litros x comprados é uma variável independente.
Não pretendemos fazer neste capítulo um estudo completo de 
funções, pois este é um conteúdo específico do Ensino Médio. O 
objetivo neste Volume é explorar intuitivamente a noção de fun-
ção, já que é uma das principais ideias da Matemática, bem como 
representar alguns gráficos de funções e interpretá-los.
Uma estratégia utilizada é considerar uma função numérica 
como uma “máquina”, em que entra um número x e sai um núme-
ro y, que depende de x.
Essa é a noção dinâmica de função: a noção de que “a função 
faz” ou “a função transforma”. Por exemplo, a função F leva x (ou 
transforma x) em 2x.
F: x ñ 2x
Explicamos como funciona a representação gráfica de uma 
função e exploramos a ideia de zero de uma função. Os estu-
dantes são incentivados a analisar a função e construir o gráfico 
correspondente. Depois, são incentivados a reconhecer se deter-
minado gráfico é ou não gráfico de uma função, representando 
uma reta vertical paralela ao eixo y e verificando se ela sempre 
intersecta ou não o gráfico em apenas 1 ponto. Uma grande varie-
dade de problemas interdisciplinares é apresentada para auxiliar 
os estudantes a compreender essa importante ideia de função e 
a representação do gráfico dela.
Em seguida, trabalhamos as características fundamentais da 
função afim e do caso particular dela, a função linear. Fazemos 
uma conexão com a importante ideia de proporcionalidade, le-
vando os estudantes a descobrir, com exemplos, que o modelo 
matemático para as situações de proporcionalidade direta é a 
função linear, que leva x em y 5 ax, com a = 0. O gráfico é uma 
reta que passa pela origem do sistema de eixos cartesianos.
Aplicando o estudo das funções afins, apresentamos o estu-
do dos gráficos de um sistema de 2 equações do 1o grau. Ressal-
tamos que a solução do sistema é o ponto de intersecção das 
retas. Depois, apresentamos o estudo das funções quadráticas 
seguindo propostas semelhantes ao das funções afins. Para as 
funções quadráticas, exploramos também o vérticevalores para resolver de-
mandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do 
mundo do trabalho. (BRASIL, 2018, p. 8)
Portanto, o desenvolvimento de uma competência possibilita 
ao estudante mobilizar múltiplos recursos pessoais (conhecimen-
tos, habilidades, atitudes e valores, emoções, entre outros) para 
obter respostas satisfatórias a diferentes problemas.
E qual é a diferença entre competências e habilidades?
De maneira simples, consideramos que a Educação Básica 
deve assegurar o desenvolvimento de competências gerais, 
que transpassam as áreas do conhecimento e confluem para a 
formação cidadã. Para que isso aconteça, cada área do conhe-
cimento contribui com competências específicas, relacionadas 
à aplicação de cada área na resolução de problemas da vida 
cotidiana e na compreensão e atuação no mundo. Essas com-
petências específicas podem ser desenvolvidas por meio do 
trabalho com as habilidades (sempre iniciadas com um verbo, 
indicando a ação do estudante na aprendizagem) que estão 
diretamente relacionadas aos objetos do conhecimento consi-
derados essenciais.
Dessa maneira, as competências específicas e as habilidades, 
de maneira integrada entre as áreas do conhecimento e com os 
Temas Contemporâneos Transversais, contribuem para o desen-
volvimento das competências gerais, que visam à formação inte-
gral dos estudantes.
UNESCO. Educação: um tesouro a descobrir. Relatório para a 
Unesco da Comissão Internacional sobre Educação para o sé-
culo XXI. Disponível em: http://dhnet.org.br/dados/relatorios/ 
a_pdf/r_unesco_educ_tesouro_descobrir.pdf. Acesso em: 24 
maio 2022.
O relatório é o resultado das reflexões realizadas a partir da 
Conferência Geral da Unesco, em novembro de 1991, em que 
foi criada uma comissão internacional para elaborar recomen-
dações para a educação, considerando o início do século XXI.
Sugerimos a leitura com o objetivo de compreender a concepção de 
uma educação pautada nos ideais de paz, liberdade e justiça social.
Sugestão de leitura 
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http://dhnet.org.br/dados/relatorios/a_pdf/r_unesco_educ_tesouro_descobrir.pdf
http://dhnet.org.br/dados/relatorios/a_pdf/r_unesco_educ_tesouro_descobrir.pdf
VIII
Competências gerais da BNCC
Após definir o conceito de competências, a BNCC mostra-se também alinhada à Agenda 2030 da Organização das Nações Unidas, 
destacando que a:
educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, tam-
bém, voltada para a preservação da natureza. (BRASIL, 2013, p. 50)
Para cumprir com esse compromisso de formação integral para a transformação social por meio da construção de conhecimentos, 
desenvolvimento de habilidades e formação de atitudes e valores, são listadas 10 competências gerais, que se inter-relacionam e se 
desdobram nas 3 etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio). A seguir, você encontrará o texto 
de cada competência (BRASIL, 2018, p. 9) e algumas informações sobre cada uma delas.
Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultu-
ral e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade 
justa, democrática e inclusiva.
A competência geral 1 refere-se ao conhecimento. Trata-se de reconhecer o quanto ele é precioso e importante 
para a própria formação humana, por meio do qual se torna possível viver em sociedade, compreender 
estruturas naturais, sociais e econômicas, além de garantir-se como sujeito de direitos. É fundamental que 
os estudantes aprendam a pesquisar e selecionar informações, identificando, questionando e refutando as 
fake news.
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Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a 
investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hi-
póteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das 
diferentes áreas.
A competência geral 2 trata do pensamento científico, crítico e criativo. Espera-se que os estudantes, 
diante de desafios e problemas, possam buscar soluções criativas, mobilizando a investigação, reflexão, 
análise, imaginação e criatividade. Essa competência preenche a distância entre a identificação do 
problema e a ação por meio da capacidade de inovar.
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Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também 
participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
A competência geral 3 fala do repertório cultural. Valoriza a busca pelo conhecimento artístico e cultural 
construído pelos diversos grupos culturais. É por meio dessa competência que se reconhece a diversidade 
cultural e a pluralidade de saberes, a multiculturalidade e a identidade cultural. Destaca-se o respeito às 
culturas juvenis, bem como a possibilidade de fruir manifestações de matrizes diversas, de modo que os 
estudantes possam reconhecer-se também como produtores de arte e de cultura.
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Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corpo-
ral, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se 
expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos 
que levem ao entendimento mútuo.
A competência geral 4 trata da comunicação, que pode ser manifestada em diferentes linguagens 
(verbal, Libras, artística, corporal, digital), como modo de expressão e participação social, partilhando 
vivências, experiências e opiniões. Abrange ainda o local de diálogo e escuta, visando ao entendimento 
mútuo com interlocutores diferentes, em variados contextos, considerando multiletramentos.
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Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, 
significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar 
informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
A competência geral 5 abarca a cultura digital e a relevância social como produtora de sentidos no mundo 
contemporâneo. Trata de utilizar e criar tecnologias em diversos contextos, de maneira fluente, crítica, reflexiva e 
ética com vistas à comunicação, ao acesso e à disseminação de informações, bem como à construção de conhecimento 
e resolução de problemas. Os estudantes já utilizam recursos tecnológicos nas práticas cotidianas, mas é preciso que 
compreendam a importância do acesso, do uso e da produção de conteúdo de modo crítico e reflexivo.
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IX
Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiên-
cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da 
cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
A competência geral 6 compreende as dimensões do trabalho e projeto de vida. A formação integral passa 
pela possibilidade de planejar a vida e se permitir sonhar, traçando planos, projetos e caminhos relativos às 
diversas dimensões da vida humana, incluindo oda parábo-
la, as coordenadas do vértice, o eixo de simetria da parábola e o 
comportamento da concavidade e da abertura da parábola. No 
livro, apresentamos as coordenadas dos vértices da parábola, 
sem demonstração. Se julgar oportuno, apresente também como 
obter essas coordenadas.
As atividades do Ponto de checagem permitem realizar avalia-
ções formativas e processuais, tanto de caráter individual quanto 
do grupo, dos objetivos deste capítulo.
Na resolução de problemas que envolvem o conceito de fun-
ção, bem como a identificação da função como afim, peça aos 
estudantes que leiam a situação e que simulem um cálculo para 
um valor hipotético de um produto qualquer, para depois escre-
ver a lei da função usando uma variável. Pergunte ainda qual tipo 
de função representa essa situação (função afim). É importante 
ressaltar com os estudantes que muitas dessas funções estão de-
terminadas em um domínio limitado, isso significa que não podem 
ser considerados casos, por exemplo, em que valores custem me-
nos do que 0 reais.
Nas atividades em que os estudantes devem determinar os 
pares ordenados dos pontos que intersectam os eixos em uma 
função, pergunte a eles qual valor deve ser anulado para determi-
nar o ponto que intersecta o eixo x (y 5 0) e qual deve ser anulado 
para determinar o ponto que intersecta o eixo y (x 5 0). Depois 
dessa discussão, os valores devem ser substituídos para a resolu-
ção das equações correspondentes.
Além de determinar os pares ordenados solicitados, é possível 
pedir aos estudantes que construam um esboço do gráfico da 
função relacionada à equação do 2o grau, lembrando-os de que se 
trata de uma parábola. Comente que o gráfico tem uma simetria 
em relação ao eixo y e que isso ocorre em todas as equações do 
2o grau incompletas, que não têm o termo que acompanha x.
Nas atividades de resolução de problemas que envolvem o 
conceito de função e a medida de área de um polígono, oriente-os 
a escrever as expressões que representam o cálculo da medida 
de área de cada uma das regiões, para igualar a adição dessas 
medidas de área a y, considerando que y indica a medida de área 
total da região plana.
Caso os estudantes apresentem dificuldade para identificar 
funções afins, lineares e quadráticas, pergunte a eles o que ca-
racteriza uma função linear. Apesar da similaridade entre a re-
presentação gráfica das funções afim e linear, existe uma defini-
ção que diferencia uma da outra – uma função linear é da forma 
F(x) 5 ax, enquanto a função afim é da forma F(x) 5 ax 1 b. 
Comente ainda com eles sobre o fato de que o gráfico de toda 
função linear passa pela origem, ou seja, o par ordenado (0, 0) 
sempre pertence ao gráfico desse tipo de função.
Uma dificuldade que pode surgir para calcular o valor F(a) 5 b é 
os estudantes não terem certeza de quais substituições devem ser 
feitas, o que pode ser discutido lembrando-os de que, na notação, 
F(x) 5 y e, com isso, é possível identificar qual é o valor de x e qual 
é o valor de y.
Nesta atividade, os estudantes devem escrever as leis das fun-
ções utilizando a linguagem matemática a partir da leitura das 
instruções em linguagem usual. Em cada item, questione-os sobre 
o tipo da função (afim, linear ou quadrática) e peça a eles que, a 
partir das leis, comentem os gráficos de cada função, identifican-
do os pontos que intersectam os eixos e a concavidade quando a 
função for do 2o grau. Caso demonstrem dificuldade nesta ativi-
dade, pode ser interessante retomar o significado das equações 
associadas às funções.
Nesta atividade, os estudantes devem escrever as leis das fun-
ções utilizando a linguagem matemática a partir da leitura das 
instruções em linguagem usual. Em cada item, questione-os so-
bre o tipo da função (afim, linear ou quadrática) e peça a eles 
que, a partir das leis, comentem sobre os gráficos de cada função, 
identificando os pontos que intersectam os eixos e a concavidade 
quando a função for do 2o grau).
Caso os estudantes demonstrem dificuldade para identificar 
qual gráfico representa a situação apresentada, é possível propor 
a análise de um gráfico e a escrita da lei da função corresponden-
te. Para decidir qual dos gráficos representa a relação entre x e y, 
é possível considerar diferentes fatores. Considerando a informa-
ção de que os valores são diretamente proporcionais, é possível 
perceber que no gráfico II a razão entre x e y não é constante. 
Podemos, ainda, apontar que não há como o custo de zero azule-
jos ser igual a 100 reais. 
Ao final das atividades, aproveite a oportunidade para promo-
ver uma conversa com a turma, ressaltando a importância de um 
bom convívio social entre eles, de modo que todos sintam-se à 
vontade e acolhidos para tirar dúvidas.
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LXI
G r a n d e z a s e m e d i d a s8
Neste capítulo
Objetivos pedagógicos
 ⓿ Calcular a medida de distância entre 2 pontos no plano cartesiano.
 ⓿ Calcular a medida de volume de um sólido geométrico (bloco 
retangular, cilindro, pirâmide).
 ⓿ Resolver problemas envolvendo unidades de medida muito 
grandes ou muito pequenas.
Justificativas
Neste capítulo, retoma-se a representação de elementos no pla-
no cartesiano, apresentando o cálculo da medida de distância entre 
2 pontos, por meio do teorema de Pitágoras, como ponto de partida 
para a determinação das medidas de perímetro e de área de polígo-
nos representados no plano, bem como das coordenadas do ponto 
médio de um segmento de reta e do baricentro de um triângulo.
Além disso, são retomadas e sistematizadas as medidas de vo-
lume de sólidos geométricos, como prismas e pirâmides, por meio 
da fórmula. O capítulo é finalizado com o estudo das grandezas 
e medidas discutindo unidades de medida muito grandes e muito 
pequenas.
Competências gerais da BNCC
1, 5, 7 e 9.
Competências específicas de Matemática da BNCC
1, 2, 6 e 8.
Habilidades de Matemática da BNCC
EF09MA03 EF09MA14 EF09MA16 EF09MA18
EF09MA19
Temas Contemporâneos Transversais
 ⓿ Diversidade Cultural
 ⓿ Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes 
históricas e culturais Brasileiras
 ⓿ Saúde
 ⓿ Trabalho
Sobre este capítulo
Iniciamos o estudo deste capítulo apresentando uma imagem 
que ilustra a aplicação de unidades de medida “muito grandes”: 
as unidades astronômicas. Posteriormente, os estudantes conhe-
cerão também as unidades de medida “muito pequenas”, relacio-
nadas a situações microscópicas.
Em seguida, são propostas explorações envolvendo plano car-
tesiano, pares ordenados e o cálculo da medida de distância entre 
2 pontos distintos no plano e o cálculo das medidas de perímetro 
e de área de figuras geométricas planas.
O cálculo da medida de distância entre 2 pontos é trabalhado 
quando o segmento de reta que os une é paralelo aos eixos coor-
denados para, em seguida, demonstrar, por meio do teorema de 
Pitágoras, a fórmula para obter a medida de distância quando o 
segmento de reta que tem extremidades nos pontos não é para-
lelo aos eixos coordenados. 
Depois, é estudado o cálculo das coordenadas do ponto médio 
de um segmento de reta, também representado no plano carte-
siano. Esse conceito é utilizado para encontrar o baricentro de um 
triângulo a partir das coordenadas dos vértices.
Retomamos a ideia de volume, abordada em anos anteriores, 
e propomos o cálculo da medida de volume do prisma e do ci-
lindro. Trabalhamos também com o cálculo da medida de volu-
me de uma pirâmide. É importante realizar as explorações que 
propomos no livro para que os estudantes notem significado no 
conteúdo estudado.
Por fim, apresentamos as unidades de medida muito grandes ou 
muito pequenas. Neste capítulo, destacamos as medidas relacio-
nadas à informática, como o byte e o hertz. Além delas, destaca-
mos a unidade astronômica (UA) e o ano-luz. Para as unidades de 
medida muitomundo do trabalho. Trata-se de fazer escolhas e seguir 
aspirações.
Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversi-
dade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
A competência geral 8 trata do autoconhecimento e autocuidado, incluindo a consciência socioemocional e 
a autogestão, preconizando o cuidado de si e o bem-estar. Trata do cuidado com a saúde física e mental, 
compreendendo as mudanças no corpo e na mente, tão características da fase de desenvolvimento da 
juventude. A observância dessa competência é o reconhecimento da relevância do bem-estar individual, da 
conexão com o eu.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e deter-
minação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
A competência geral 10 diz respeito à responsabilidade e cidadania, refere-se ao bem-estar social, ao cuidado 
com o que é de todos, importante para a coletividade. Trata-se da construção da responsabilidade social e 
com o meio ambiente, da flexibilidade e da resiliência, sempre cuidando para que haja uma atuação pautada 
por princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e 
defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em rela-
ção ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
A competência geral 7 é a da argumentação, compreendida como a capacidade de expor de maneira 
clara argumentos que se fundamentam em fatos, dados e informações confiáveis, pautados em princípios 
éticos, justos, democráticos e sustentáveis. A atuação social responsável passa por essa competência, 
favorecendo a construção de consensos para a tomada coletiva de decisões.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar 
e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de in-
divíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer 
natureza.
A competência geral 9 refere-se às relações interpessoais, abrangendo valores como empatia e 
cooperação, tão fundamentais à convivência. O olhar para o outro e a escuta ativa desprovida de 
prejulgamentos devem ser considerados como maneiras de demonstrar essa capacidade, inclusive na 
observância do uso da linguagem verbal e corporal, demonstrando conexão e compreensão. Torna-se 
fundamental para o processo de ressocialização pós-pandemia a construção e o desenvolvimento da chamada 
empatia e a cooperação com colegas, professores, comunidade e sociedade. O olhar para o outro também 
considera a diversidade humana, contemplando a neurodiversidade e as deficiências.
A organização Movimento pela base, formada por um grupo não governamental e apartidário de pessoas, organizações e entidades que 
se empenham à implementação da BNCC, disponibiliza cursos gratuitos e on-line para a formação continuada. Entre eles, há um breve 
curso específico sobre cada competência geral da BNCC. Disponível em: https://movimentopelabase.org.br/. Acesso em: 24 maio 2022.
Sugestão de curso 
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X
A competência específica 1 de Matemática trata do reconhecimento 
da Matemática como ciência humana, resultado dos esforços de 
diversas sociedades e culturas para resolver problemas de variadas 
ordens. Espera-se que os estudantes possam compreender que 
não se trata de conhecimentos restritos a poucas pessoas e, 
também, que a Matemática é uma ciência viva, dinâmica e “bela”, 
essencial para a vida em sociedade.
Competência específica 1 de Matemática: Reconhecer que a Ma-
temática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocu-
pações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é 
uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive 
com impactos no mundo do trabalho.
A competência específica 2 de Matemática refere-se à mobilização 
dos conhecimentos matemáticos para a compreensão e atuação 
no mundo por meio do raciocínio lógico, da investigação e da 
elaboração de argumentos sólidos e pautados na análise crítica.
Competência específica 2 de Matemática: Desenvolver o raciocí-
nio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argu-
mentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo.
A competência específica 3 de Matemática, por sua vez, é a que 
destaca a importância de saber transitar entre os diferentes 
campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística 
e Probabilidade) e entre outras áreas, mobilizando conhecimentos 
de várias ordens para a resolução de problemas e busca por 
soluções a problemas reais.
Competência específica 3 de Matemática: Compreender as re-
lações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da 
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabili-
dade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto 
à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemá-
ticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções.
A competência específica 4 de Matemática trata da construção 
de procedimentos próprios à Matemática como estratégia para 
percepção, tratamento e análise crítica de aspectos quantitativos 
e qualitativos de natureza sociocultural, culminando na elaboração 
de argumentos sólidos, éticos e convincentes.
Competência específica 4 de Matemática: Fazer observações siste-
máticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práti-
cas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e co-
municar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica 
e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
Competências específicas de Matemática no Ensino Fundamental
Em articulação com as competências gerais, a área de Matemática assume para si a responsabilidade de contribuir para que os estu-
dantes desenvolvam o letramento matemático, ou seja, desenvolvam a capacidade de utilizar ferramentas, conceitos, procedimentos e 
fatos matemáticos para raciocinar, representar, comunicar e argumentar, favorecendo a resolução de problemas em diversos contextos.
A BNCC determina que a prática pedagógica nessa área considere a articulação entre os diversos campos, a fim de que os estudan-
tes possam relacionar a análise de eventos (sociais, culturais, naturais, econômicos) do mundo real às representações (tabelas, figuras e 
esquemas), associando-as a objetos matemáticos (conceitos e propriedades), fazendo induções e conjecturas e, dessa maneira, possam 
utilizar o conhecimento matemático para investigar, identificar, modelar e resolver problemas.
Para isso, a BNCC estabelece 8 competências específicas de Matemática para a etapa do Ensino Fundamental. A seguir, são apresenta-
dos os textos dessas competências específicas (BRASIL, 2018, p. 267) e alguns comentários a respeito de cada uma delas.
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XI
A competência específica 6 de Matemática trata dos procedimen-
tos para a resolução de problemas demúltiplos contextos, incluin-
do aqueles mais distantes da realidade dos estudantes, pela 
mobilização de diferentes registros de representação semiótica. 
Inclui-se, nesta competência, a possibilidade de utilizar gráficos, 
tabelas, esquemas, fluxogramas, textos em língua materna e outras 
linguagens para expressar soluções.
Competência específica 6 de Matemática: Enfrentar situações-
-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imagi-
nadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, 
expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes re-
gistros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito 
na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, 
como fluxogramas, e dados).
A competência específica 7 de Matemática é a que relaciona a 
Matemática ao desenvolvimento de projetos voltados ao bem- 
-estar social e aos cuidados com a natureza, de maneira ética, 
democrática, sustentável e solidária, considerando a diversidade 
cultural.
Competência específica 7 de Matemática: Desenvolver e/ou dis-
cutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, 
com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, 
valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos so-
ciais, sem preconceitos de qualquer natureza.
A competência específica 8 de Matemática refere-se à construção 
de respeito, empatia e alteridade na busca por soluções. Também 
à aprendizagem matemática – e à convivência humana – pode 
ser muito relevante proposições que permitam diferentes agru-
pamentos e, desse modo, favoreçam a socialização de diferentes 
estratégias e maneiras de pensar na resolução de problemas, 
reconhecendo que nem sempre existe um só caminho, mas varia-
das possibilidades.
Competência específica 8 de Matemática: Interagir com seus 
pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no pla-
nejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a ques-
tionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identi-
ficar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada 
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo 
com eles.
A competência específica 5 de Matemática refere-se à mobilização 
de processos e ferramentas matemáticos para modelar e resolver 
problemas de variadas ordens, em variados contextos. Considera-
-se também a relevância do uso de tecnologias digitais para esse 
percurso. A resolução de problemas é um dos objetivos centrais 
para a aprendizagem de Matemática e conversaremos mais sobre 
ela neste Manual.
Competência específica 5 de Matemática: Utilizar processos e fer-
ramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para 
modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de co-
nhecimento, validando estratégias e resultados.
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XII
Unidades temáticas e habilidades de Matemática
Para o desenvolvimento das competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, é preciso que os estudantes 
construam conhecimentos próprios da área e, para facilitar a compreensão dos conjuntos de habilidades e as relações entre elas, tais 
conhecimentos são organizados em Unidades temáticas, permeadas por um conjunto de ideias fundamentais, como ordem, propor-
cionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação, que promovem a articulação de conteúdos entre as Unidades 
temáticas. A BNCC destaca que:
na elaboração dos currículos e das propostas pedagógicas, devem ser enfatizadas as articulações das habilidades com as de outras áreas do conhecimento, 
entre as Unidades temáticas e no interior de cada uma delas. (BRASIL, 2018, p. 275)
Nesse sentido, a área de Matemática tem 5 Unidades temáticas e, a seguir, destacamos as principais ideias propostas para cada uma 
delas, especialmente no direcionamento para os Anos Finais do Ensino Fundamental.
Na Unidade temática Probabilidade e estatística, o foco é o desenvolvimento das noções de aleatoriedade e 
amostragem e o desenvolvimento de habilidades imprescindíveis à leitura de mundo, à compreensão da rea - 
lidade e à tomada de decisões adequadas, como coletar, organizar, apresentar e interpretar dados. A reali-
zação de pesquisas estatísticas pode ser proposta como modo de atuação social para que os estudantes 
possam experienciar as funções e interpretações dessas pesquisas. As ideias matemáticas fundamentais 
nessa temática são a representação e a variação.
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Na Unidade temática Números, espera-se que os estudantes desenvolvam, por meio de diversas experi-
mentações, o pensamento numérico, bem como as noções de aproximação, proporcionalidade, equi-
valência e ordem, ideias fundamentais da Matemática. Nos Anos Finais, as explorações e operações 
passam a abranger gradativamente os conjuntos numéricos, culminando no conjunto dos números 
reais, considerando-se os significados e as aplicações de tais números na resolução de problemas refe-
rentes às demais Unidades temáticas e áreas do conhecimento. A Unidade temática Números também 
propicia o aprofundamento em diferentes estratégias de cálculo (escrito, mental, com uso de tecnolo-
gias e algoritmos). Outro aspecto considerado nessa Unidade temática são os Temas Contemporâneos 
Transversais Educação Financeira e Educação Fiscal, no que concerne, por exemplo, as taxas de juros, as 
aplicações financeiras, a rentabilidade e a liquidez, além dos impostos. Esse tema é propício para o trabalho 
interdisciplinar e para promover reflexões sobre o projeto de vida.
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Na Unidade temática Álgebra, busca-se o desenvolvimento do pensamento algébrico que envolve: o 
desenvolvimento de uma linguagem, diferenciando entre variáveis e incógnitas; o estabelecimento de 
generalizações; a análise da interdependência de grandezas; e a resolução de problemas por meio de 
equações e sistemas, empregando o plano cartesiano e outras formas de representação. As ideias 
fundamentais da Matemática que permeiam essa temática são equivalência, variação, interdepen-
dência e proporcionalidade. O pensamento algébrico pode contribuir para o desenvolvimento do pen-
samento computacional, no que concerne ao reconhecimento de padrões, bem como para o desenvol-
vimento e para a aplicação de algoritmos e fluxogramas.
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A Unidade temática Geometria visa ao desenvolvimento do pensamento geométrico, fundamental para a aná-
lise de propriedades e para a elaboração de conjecturas. As ideias matemáticas fundamentais nesta Unida-
de temática, para os Anos Finais do Ensino Fundamental, são a representação e a interdependência, que 
permeiam o estudo das figuras geométricas e as propriedades delas, dos lugares geométricos, das cons-
truções, das representações, das vistas e das transformações. O trabalho com triângulos congruentes e 
com triângulos semelhantes possibilita a realização de demonstrações simples, que contribuem para o 
desenvolvimento do pensamento hipotético-dedutivo. Destaca-se também a relação entre a Geometria 
e a Álgebra, principalmente no que se refere ao estudo do plano cartesiano e, ainda, apresentam-se ricas 
possibilidades para a exploração da Etnomatemática.
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O estudo das relações métricas aparece na Unidade temática Grandezas e medidas, cujas principais ideias 
matemáticas associadas são a proporcionalidade, a aproximação, a variação e a equivalência. Os conteú-
dos desenvolvidos nessa Unidade temática contribuem para o desenvolvimento integrado dos pensa-
mentos numérico, geométrico, métrico e algébrico. Ampliam-se os estudos realizados nos Anos Iniciais 
do Ensino Fundamental pormeio da exploração de grandezas derivadas (como densidade, velocidade, 
energia, potência). Além disso, destaca-se a relação com o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e 
Tecnologia, por exemplo, na identificação e compreensão das unidades de medida de capacidade e arma-
zenamento de computadores.
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XIII
Cada Unidade temática abarca, como exposto, uma série de objetos de conhecimento, que podem ser entendidos como conteúdos, 
conceitos e processos. Para a exploração de cada um deles, são listadas habilidades descritas sempre com destaque ao “saber fazer”, ou 
seja, ao que se espera que os estudantes sejam capazes de fazer em relação ao respectivo objeto de conhecimento.
Por exemplo, no 6o ano, a BNCC prevê na Unidade temática Geometria o trabalho com o objeto de conhecimento “Construção de retas 
paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares”. Para isso, espera-se que sejam desenvolvidas habilidades de 
utilização de instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para as representações de retas paralelas e retas perpendiculares e 
para a construção de quadriláteros, bem como para a construção de algoritmo para resolver situações passo a passo (como a construção 
de dobraduras ou a indicação de deslocamento de um objeto no plano, segundo pontos de referência e distâncias fornecidas). Note que 
esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência geral 2, uma vez que oportuniza o pensamento crítico e criativo na compreen-
são e no desenvolvimento de processos de construção; além disso, favorece também o trabalho das competências específicas 2, 3 e 5 de 
Matemática da BNCC, com o uso do raciocínio lógico para o desenvolvimento de argumentos e processos, relacionados com as Unidades 
temáticas Álgebra, Geometria e Grandezas e medidas, para a utilização de instrumentos e softwares de Geometria dinâmica nas constru-
ções geométricas.
As ideias fundamentais estão presentes na coleção como objetos de conhecimento e articulam diferentes Unidades temáticas. Por 
exemplo, a equivalência está presente no estudo das frações, em Números; das expressões algébricas, em Álgebra; das medidas de área 
de figuras planas, em Grandezas e medidas; entre outros.
Contextualização, interdisciplinaridade, temas contemporâneos transversais e Etnomatemática
Contextualização
De acordo com todas as concepções e reflexões trazidas 
pela BNCC para a Educação Básica, aliadas ao objetivo de 
promover a educação integral dos estudantes (para a com-
preensão e atuação no mundo) e, ainda, a percepção de que 
o mundo, os problemas e as pessoas não são unos, mas com-
plexos, nos parece coerente que o trabalho escolar considere 
essa complexidade e não despreze o fato de que um assunto 
contextualizado não pode ser resolvido com aporte de apenas 
uma área de conhecimento, mas na confluência de várias de-
las (ou todas elas).
Estudos em cognição numérica, subdisciplina das ciências cog-
nitivas (que estuda como as pessoas aprendem números, conta-
gem e outros conceitos matemáticos), sugerem que a aprendiza-
gem matemática é influenciada por fatores biológicos, cognitivos, 
educacionais e culturais, ou seja, a própria aprendizagem mate-
mática pode não fazer sentido sozinha.
Dessa maneira, é preciso que a escola proponha desafios e pro-
blemas contextualizados, para que a aprendizagem tenha sentido. 
Contudo, a contextualização não precisa sempre ser pautada na 
realidade imediata dos estudantes, mas pode estar centrada na re-
alidade de outros estudantes, em situações hipotéticas, pautadas 
em situações reais ou na própria Matemática – na história, na Etno-
matemática ou em outros objetos de conhecimento matemático.
Interdisciplinaridade
A interdisciplinaridade é apontada como uma maneira privile-
giada para o desenvolvimento de competências para a compre-
ensão e atuação no mundo.
Na interdisciplinaridade escolar, as noções, finalidades, habilidades e téc-
nicas visam favorecer sobretudo o processo de aprendizagem, respeitando 
os saberes dos alunos e sua integração. (FAZENDA, 2008, p. 21)
A realidade não é disciplinar: é complexa, relacional, múltipla, 
rica, bem como são os saberes e desafios que os estudantes 
enfrentam e enfrentarão, dentro e fora da escola. 
Quanto mais conexões 
forem estabelecidas entre 
os diferentes temas da 
Matemática, entre ela 
e as demais áreas do 
conhecimento, e entre a 
Matemática e a realidade, 
maiores são as são as 
chances de os estudantes 
construírem significados 
amplos e conhecimentos 
complexos.
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XIV
Nesta coleção, você vai encontrar propostas com indicações de trabalho interdisciplinar. Para isso, pode ser interessante convidar os 
professores de outras áreas para trabalhar de modo integrado – planejando previamente esse trabalho conjunto – para enriquecer as 
discussões e favorecer o estabelecimento de relações por parte dos estudantes. Ademais, diante das possibilidades que você perceber, 
dos questionamentos das turmas e das interações com os colegas especialistas em outras áreas, é possível encontrar outras relações 
e possibilidades de trabalho interdisciplinar, que podem favorecer ainda mais o processo de aprendizagem e o desenvolvimento do 
pensamento relacional e complexo.
Temas Contemporâneos Transversais
Uma maneira interessante e que pode favorecer o estabelecimento de relações entre diferentes áreas do conhecimento é a utilização 
dos Temas Contemporâneos Transversais (TCTs). A BNCC ampliou e tornou normativa a obrigatoriedade do trabalho com essas temá-
ticas, que foram atualizadas, em relação aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), para atender às demandas do mundo atual. De 
acordo com o documento Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos:
a inclusão do termo ‘contemporâneo’ para complementar o ‘transversal’ evidencia o caráter de atualidade desses temas e sua relevância para a Educação Bá-
sica, por meio de uma abordagem que integra e agrega permanecendo na condição de não serem exclusivos de uma área do conhecimento, mas de serem 
abordados por todas elas de forma integrada e complementar. (BRASIL, 2019, p. 12)
Ao todo, são 15 Temas Contemporâneos Transversais, organizados em 6 macroáreas, conforme indicadas a seguir.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: Ministério da 
Educação, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. 
Acesso em: 26 maio 2022.
A exploração transversal e integrada dessas temáticas, de modo interdisciplinar ou transdisciplinar, abrangendo todos os anos da 
Educação Básica, pode favorecer a aprendizagem não como um fim em si mesma, mas como promotora da formação cidadã para atu-
ação na sociedade, pautada em princípios éticos, sustentáveis e solidários.
Muitos trabalhos interdisciplinares e projetos que envolvem os Temas Contemporâneos Transversais podem surgir da leitura de tex-
tos apresentados nos volumes do Livro do Estudante desta coleção, de artigos de jornais e revistas levados por você ou pelos próprios 
estudantes e de textos da internet. A pesquisa e a elaboração de projetos que contemplem os Temas Contemporâneos Transversais e as 
diferentes áreas do conhecimento, bem como o desenvolvimento de inúmeras habilidades, devem ser incentivadas.
A seguir, apresentamos os variados temas descritos na BNCC e mobilizados nesta coleção, bem como possíveis explorações. Além 
desses exemplos de exploração e temas, outros são sugeridos na Parte específica deste Manual e você pode enriquecerainda mais as 
atividades propostas.
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Temas
Contemporâneos
Transversais na BNCC
SAÚDE
Saúde
Educação Alimentar e
Nutricional
ECONOMIA
Trabalho 
Educação Financeira 
Educação Fiscal
CIDADANIA E CIVISMO
Vida Familiar e Social 
Educação para o Trânsito 
Educação em Direitos Humanos 
Direitos da Criança e do Adolescente 
Processo de envelhecimento, 
respeito e valorização do Idoso
MULTICULTURALISMO
Diversidade Cultural
Educação para valorização do
multiculturalismo nas
matrizes históricas e culturais
Brasileiras
CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Ciência e Tecnologia
MEIO AMBIENTE
Educação Ambiental
Educação para o Consumo
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XV
Ciência e Tecnologia
A Matemática sempre esteve presente nas atividades humanas. 
Em constante evolução, a ciência das regularidades e dos padrões 
se manifesta em muitas áreas do conhecimento, afetando-as e 
sendo afetada por elas. O ensino da Matemática deve contemplar 
não apenas o conhecimento matemático, mas também o conhe-
cimento tecnológico e, principalmente, o conhecimento reflexivo. 
É importante, portanto, que a Matemática seja reconhecida como 
um dos vários caminhos possíveis para o estudo dos fenômenos 
reais e da resolução de problemas.
Não basta aos estudantes apenas dominar as técnicas e as 
aplicações; são necessários o entendimento, a análise e a busca 
pela construção de novos modelos que permitam compreender 
a realidade e transformá-la. O trabalho com essa temática con-
tribui, por exemplo, para o desenvolvimento das competências 
gerais 1 e 2 e das competências específicas 1 e 2 de Matemática 
da BNCC.
O Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia é o único que 
compõe a macroárea Ciência e Tecnologia.
Direitos da Criança e do Adolescente
O ambiente construído nas aulas de Matemática pode favo-
recer ou inibir o crescimento individual e o crescimento coletivo 
dos estudantes. A maneira como o erro é tratado, a validação e 
o incentivo às estratégias individuais ou a apresentação e a valo-
rização dos caminhos a serem percorridos nos fornecem indícios 
das competências e das habilidades que consideramos essenciais 
no ensino e na aprendizagem da Matemática.
Todos os estudantes têm direito à educação, mas a simples 
inserção deles no ambiente escolar não garante o cumprimento 
desse direito. Para que possam aprender a resolver problemas – 
um dos principais objetivos almejados nas aulas de Matemática –, 
eles precisam desenvolver um vasto conjunto de habilidades ma-
temáticas e, com elas, desenvolver as habilidades atitudinais e 
socioemocionais. Acreditar na capacidade de criação, conhecer 
os potenciais e as fragilidades, agir com flexibilidade e resiliência, 
com todas as habilidades matemáticas, favorece a compreensão 
e a busca dos direitos e deveres individuais, como cidadãos re-
flexivos e atuantes, preocupando-se com os direitos e os deveres 
dos demais membros da sociedade, o que contribui para o desen-
volvimento das competências gerais 8, 9 e 10 e da competência 
específica 8 de Matemática da BNCC.
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Diversidade Cultural
A Matemática é construída por todos os grupos sociais (e não 
apenas por matemáticos) que desenvolvem habilidades para 
contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar em 
virtude das necessidades e dos interesses. Valorizar esse saber 
matemático-cultural e aproximá-lo do saber escolar em que os 
estudantes estão inseridos são procedimentos de fundamental 
importância para o processo de ensino e de aprendizagem.
A Etnomatemática, as moedas sociais e as unidades de medi-
da locais, por exemplo, dão grande contribuição a esse tipo de 
trabalho. No estudo comparativo dos sistemas de numeração, 
por exemplo, os estudantes podem constatar a supremacia do 
sistema indo-arábico e concluir que o emprego tardio desse sis-
tema pelos europeus deveu-se, entre outras razões, ao precon-
ceito da época contra os povos de pele mais escura e não cris-
tãos. Outros exemplos podem ser encontrados ao pesquisarmos 
a produção de conhecimento matemático em culturas como a 
chinesa, a maia e a romana. Nesse momento entram os recur-
sos da História da Matemática e da Etnomatemática. O trabalho 
com essa temática contribui, também, para o desenvolvimento 
da competência geral 3 e da competência específica 4 de Mate-
mática da BNCC.
O Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural compõe 
a macroárea Multiculturalismo, junto com o Tema Contemporâneo 
Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes 
históricas e culturais Brasileiras.
Educação Alimentar e Nutricional
No âmbito da nutrição, a Matemática está presente em inú-
meras situações cotidianas, desde a quantidade de quilocalorias 
ingeridas diariamente até os índices calculados com fórmulas 
matemáticas e os dados representados em gráficos. As explora-
ções propiciadas nas aulas de Matemática relativas à educação 
alimentar e nutricional promovem reflexões de extrema relevância 
para os estudantes.
A utilização dos conceitos matemáticos em prol do reconheci-
mento dos principais problemas nacionais e mundiais envolvendo 
a nutrição e a desnutrição, a fome e a obesidade, entre outros, 
pode permitir, além da identificação da Matemática no cotidiano, 
a relevância dela para a formação de cada indivíduo e de cada 
sociedade, contribuindo para o desenvolvimento da competência 
geral 7 e da competência específica 8 de Matemática da BNCC.
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XVI
Educação Ambiental
Este tema pode e deve ser trabalhado em vários momentos na 
aula de Matemática, buscando a conscientização dos estudantes 
para os problemas do meio ambiente e a busca por melhorias e 
soluções. Por exemplo: a coleta, organização e interpretação de 
dados estatísticos, a formulação de hipóteses e a prática da ar-
gumentação são procedimentos que auxiliam na tomada de deci-
sões sobre a preservação do meio ambiente; a quantificação per-
mite tomar decisões e fazer intervenções necessárias, como em 
questões relacionadas à reciclagem e ao aproveitamento de ma-
terial; os conceitos de área, volume e porcentagem são utilizados 
para abordar questões como poluição, desmatamento, camada 
de ozônio, entre outras. O trabalho com essa temática contribui, 
por exemplo, para o desenvolvimento da competência geral 7 e da 
competência específica 7 de Matemática da BNCC.
A macroárea Meio Ambiente abarca os Temas Contemporâneos 
Transversais Educação Ambiental e Educação para o Consumo.
Educação em Direitos Humanos
A sala de aula é um espaço de convivência e as ações nela de-
senvolvidas trazem indicativos não apenas dos conteúdos disci-
plinares, mas também de princípios e de valores desejados pelo 
indivíduo que faz parte dela. Na maioria das vezes, esses prin-
cípios e valores são permeados de maneira sutil, indireta e não 
intencional. Cada um de nós é dotado de crenças, valores e re-
presentações sociais sobre o ambiente da sala de aula e sobre as 
ações nele propostas, inclusive durante as aulas de Matemática.
Especificamente nos princípios propostos nas aulas de Mate-
mática, os direitos humanos também se relacionam diretamente 
com a Etnomatemática. Essencialmente, ela busca a harmonia 
entre os diferentes, de acordo com o respeito mútuo, a solida-
riedade e a cooperação. É um campo que conecta a Educação 
Matemática à justiça social e busca por eliminar a desigualdade 
discriminatória.
Outras inúmeras possibilidades de reflexão a serem exploradas 
nas aulas de Matemática se relacionam, por exemplo, à análise e 
à compreensão de questões sociais da própria comunidade. Nes-
se sentido,