Lista_de_Exercicio_01_Metodo_de_Euler

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 ( ) Prática de Laboratório 
 ( ) Exame Final/Exame de Certificação 
 ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos 
	Nota:
	Disciplina: Modelagem Numérica para Engenharia 
	Turma: EGQ 181/381
	Professor: Janaina Karine Andreazza
	Data: 22/03/16	
	
Aluno (a):
Lista de Exercício 01 – Método de Euler
01. Dado o conjunto de equações abaixo, monte as equações para a solução matemática pelo método de Euler e elabore as linhas principais do programa computacional correspondente.
	;
	;
	V(0) = Vo e (0) =
02. Um vaso esférico usado como um reator para produzir fármacos tem uma parede de aço inoxidável (k = 17W/(mK)) com 5 mm de espessura e diâmetro interno de 1,0 m. Durante a produção, o vaso contém reagentes para os quais ρ=1100 kg/m3 e c = 2400 J/(kg.K), enquanto reações exotérmicas liberam energia a uma taxa volumétrica constante de 104 W/m3. Como uma primeira aproximação, os reagentes podem ser considerados misturados idealmente.
a) Considere a superfície externa do vaso está exposta ao ar ambiente (T∞ = 25ºC), no qual se pode admitir um coeficiente transferência de calor h = 6 W/m2K. Sendo a temperatura inicial dos reagentes igual a 25ºC, proponha o modelo matemático que determine a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento? 
b) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Euler; 
c) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
d) Faça um gráfico qualitativo dos efeitos do coeficiente do h nas condições térmicas transientes no interior do reator.
03. Uma lâmina de aço com espessura de 12 mm, é temperada pela sua passagem através de um grande forno cujas paredes são mantidas a uma temperatura Tp, que corresponde à dos gases de combustão que escoam através do forno (Tp = T∞). A lâmina, cuja ρ = 7900 kg/m3, c = 640 J/(kgK), k = 30 W/(mK) e ɛ = 0,7, deve se aquecida de300ºC a 600ºC.
a) Para um h = 100 W/m2K e uma temperatura Tp = T∞ = 700ºC, proponha o modelo matemático que determine o tempo necessário para aquecer a lâmina. Se a lâmina se move a uma velocidade de 0,5 m/s; qual deve ser o comprimento do forno?
b) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Euler; 
c) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
d) O processo de têmpera pode se acelerado (a velocidade da lâmina aumentada) pelo aumento da temperatura ambiente. Para o comprimento do forno determinado na parte (a), determine a velocidade da lâmina para Tp = T∞ = 850ºC e para Tp = T∞ = 1000ºC. Para cada valor de temperatura ambiente (700, 850 e 1000), represente graficamente a temperatura da lâmina em função do tempo na faixa 25ºC≤T≤600 ºC. Ao longo dessa faixa, represente também o coeficiente de transferência de calor por radiação, hr, como uma função do tempo.
04. Em um processo de fabricação cilindros de aço inoxidável (AISI 304) inicialmente a 600 K são resfriados pela submersão em banho de óleo mantido a 300 K com h = 500 W/m2.K. Cada cilindro possui comprimento 2L = 60 mm e diâmetro D = 80 mm. Dados: para o aço inoxidável (AISI 304, 450K): = 7900 kg/m3, Cp = 526 J/kg.K, k = 17,4 W/m.
e) Considere um tempo de 3 min no processo de resfriamento proponha o modelo matemático que determine as temperaturas no centro do cilindro, no centro de uma face circular e na meia-altura do lado. 
f) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Diferenças Finitas; 
g) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
05. Uma companhia de seguros contratou você para melhorar a sua compreensão a respeito de queimaduras. Eles estão interessados em queimaduras causadas pelo contato de parte do corpo do trabalhador com máquinas que se encontram a temperaturas elevadas, na faixa de 50 a 100ºC. O consultor médico da companhia informa que ferimentos térmicos irreversíveis (morte das células) ocorrem em qualquer tecido vivo mantido a T≥48ºC, por um intervalo de tempo ≥10 s. Eles desejam informações no que diz respeito ao grau de extensão dos danos irreversíveis ao tecido celular (medido pela distância da superfície da pele) em função da temperatura da máquina e do tempo de contato entre a pele e a máquina. Considere que as células vivas estejam a normal de 37ºC, sejam isotrópicas e possuam propriedades constantes equivalentes às da água líquida. 
a) Para avaliar a seriedade do problema, proponha o modelo matemático que determine às posições no tecido celular onde a temperatura atingirá 48ºC após 10 s de contato com a máquina a 50º e a 100ºC. 
b) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Diferenças Finitas; 
c) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
06. Durante a operação transiente, o ejetor de um motor de foguete, não deve exceder uma temperatura máxima de operação de 1500K quando exposto a gases de combustão caraterizados por uma temperatura de 2300 K e um coeficiente de transferência de calor por convecção de 5000 W/m2K. Para estender o período de duração da operação do motor, propõe-se a aplicação de um revestimento protetor térmico cerâmico (k = 10W/(mK), α = 6.10-6 m2/s) sobre a superfície interna do ejetor.
a) Para um revestimento cerâmico com 10 mm de espessura e inicialmente a uma temperatura de 300K, proponha o modelo matemático que obtenha uma estimativa conservativa para a máxima duração de operação do motor permitida. O raio do ejetor é muito maior do que o somatório das espessuras da parede e do revestimento. 
b) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Diferenças Finitas; 
c) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
07. A extremidade de uma barra de aço inoxidável (AISI 316), com diâmetro 10 mm e comprimento 0,16 m é inserida em uma peça mantida a 200 ºC. A barra, revestida com uma luva isolante, atinge uma temperatura uniforme ao longo de seu comprimento. Quando a luva é removida, a barra é submetida ao ar ambiente a 25ºC tal que será coeficiente de convecção é de 30 W/m2K. 
a) Proponha o modelo matemático que obtenha o tempo necessário para a temperatura na metade do comprimento do bastão atingir 100ºC. 
b) Prepare estas equações para serem solucionadas pelo Método de Diferenças Finitas; 
c) Escreva as linhas principais do programa computacional para resolver numericamente o problema.
d) Calcule T(t,x) para 0 ≤ t ≤ t1, onde t1 é otempo necessário para o ponto na metade do comprimento do bastão atingir 50ºC. Represente graficamente as distribuições de temperatura para t = 0, 200 s, 400 s e t1.
08. Em um processo de fabricação de bolas de vidro ( k = 1,4 W/mK, ρ = 2200 kg/m3, Cp = 800 J/kgK) de 3 mm de diâmetro, as bolas são suspensas em uma corrente de ar dirigida diretamente, as bolas são suspensas em uma corrente de ar dirigida diretamente para cima que se encontra a T∞=15ºC e mantém um coeficiente de convecção h = 400 W/m2K.
a) Se as bolas estão a uma temperatura inicial de Ti = 477ºC, quanto tempo elas devem ficar suspensas a fim de alcançarem a temperatura do centro de 80ºC? Qual é a temperatura correspondente da superfície?
b) calcule e represente graficamente as temperaturas do centro e da superfície em função do tempo para 0 ≤ t ≤ 20 s e h = 100, 400 e 1000 W/m2K.
09. Um grupo de pesquisadores estudou uma coluna de leito fixo com partículas esféricas, na qual está ocorrendo aquecimento na fase líquida. O calor migra por condução do banho para as partículas. Este processo resulta no modelo matemático apresentado a seguir:
	Para o Banho:
	
	
	
	Para z=0Para z=L 
	
	Para a partícula:
	
	
	
	Para r = 0
	Simetria
	
	Para r = Rp
	
Onde T(z,t), Tp(z,r,t) e TF são, respectivamente, as temperaturas do banho, na partícula e de alimentação; Rp é o raio das partícula. Realize a discretização destas equações por Diferenças Finitas e escreva as linhas principais do programa computacional associado.
10. Assinale as alternativas corretas sobre o método de diferenças finitas.
1. ( ) para a discretização do termo convectivo de um modelo matemático utiliza-se a fórmula de diferença finita regressiva. 
2. ( ) para a discretização do termo difusivo de um modelo matemático utiliza-se a fórmula de diferença finita progressiva, regressiva ou central, dando preferencia para a central.
3. ( ) para a discretização do termo convectivo de um modelo matemático utiliza-se tanto a fórmula de diferença finita progressiva como a regressiva, uma vez que este termo é influenciado pelo que vem a frente e o que vem atrás.
4. ( ) para a condição inicial T = To, onde To é uma constante, a forma correta de se discretizar este termo é T(n,i) = To(n,i), onde n e i são os elementos discretos do t e x.
5. ( ) considerando um problema onde T = T(t,r), uma condição de contorno possível em r = R, onde R é o último ponto na direção radial, é isolamento. Este termo pode ser representado na forma discreta como T(n, i-1) = T(n, i). 
6. ( ) considerando um problema onde T = T(t,r), uma condição de contorno possível em r = 0, é simetria. Este termo pode ser representado na forma discreta como T(n, i-1) = T(n, i).
7. ( ) considerando que o intervalo do tempo discretizado é n[0,Nt], o loop do tempo começa em 0 e termina em Nt-1. ( n = 0, Nt -1).
8. ( ) considerando um problema onde T = T(t,z), uma condição de contorno possível em z = L, onde L é a posição final de z, é continuidade. Este termo pode ser representado na forma discreta como T(n, i+1) = T(n, i-1).
9. ( ) considerando que o intervalo do espaço discretizado é i[0,Nz], para um problema onde a condição de contorno em i=0 é temperatura de alimentação conhecida e constante, o loop do espaço começa em 1 e termina em Nz. ( i = 1, Nz)
.
10. 
( ) o critério de convergência é ((2+1+1) ≤ 0, para a equação discretizada do modelo matemático: T(n+1,i) = (1).T(n,i+1) + (2).T(n,i-1) + (2+1+1).T(n,i).
11. ( ) Soluções numéricas podem dar respostas somente em pontos discretos do domínio.
12. ( ) Representações das derivadas em diferenças finitas são baseadas na expansão em série de Taylor.
13. ( ) Na formulação do método de diferenças finitas visto em sala de aula, para se resolver o ponto futuro, ou seja n+1, não é necessário conhecer os valores do tempo n.
Responda as próximas sete afirmações baseada no seguinte modelo matemático. Um grupo de pesquisadores estudou uma coluna de leito fixo com partículas esféricas, na qual está ocorrendo aquecimento na fase líquida. O calor migra por condução do banho para as partículas. Este processo resulta no modelo matemático apresentado a seguir:
	Para o Banho:
	Para a partícula:
	
	
Onde T é a temperatura de uma coluna; Tp a temperatura da partícula; t é o tempo; r direção radial, Rp, , Cp e kt são o raio, a densidade, o calor específico a pressão constante e o coeficiente de condução na partícula respectivamente, todos constantes. Considerando que n e i são os elementos discretos do tempo e da direção r, é correto afirmar:
14. ( ) o termo da temperatura da coluna discretizado fica T(n,i).
15. ( ) o termo da temperatura da partícula discretizado fica Tp(n,i).
16. ( ) a equação do banho discretizada fica T(n+1,i) = (Tp(n,Nr) +T(n,i), onde é uma constante e Nr é a representação discreta do raio da partícula.
17. ( ) a equação do banho discretizada fica T(n+1) = (Tp(n+1,Nr) +T(n), onde é uma constante e Nr é a representação discreta do raio da partícula.
18. ( ) a equação do banho discretizada fica T(n+1,i) = (Tp(n,Nr) +T(n), onde é uma constante e Nr é a representação discreta do raio da partícula.
19. ( ) a equação discretizada da partícula fica: 
Tp(n+1,i) = [(1/i) +1] (Tp(n,i+1)+[(1/i) -1] (Tp(n,i-1) + [1-21] Tp(n)
onde 1 é uma constante. 
20. ( ) a equação discretizada da partícula fica: 
Tp(n+1,i) = [(1/(i)2) +1] (Tp(n,i+1)+[(1/(i)2) -1] (Tp(n,i-1) + [1-21] Tp(n,i)
onde 1 é uma constante. 
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