CalcII-lista02

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CEFET/RJ - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis - Engenharia de Produc¸a˜o
Professor: Roberto Carlos Antunes Thome´
e-mail: rthome@cefet-rj.br
homepage: www.rcthome.pro.br
LISTA DE EXERCI´CIOS 02
1) Resolva as integrais duplas:
(a)
∫ 1
0
∫ 3
2
xy2 dy dx
(b)
∫ pi
2
0
∫ pi
2
0
sen(x)cos(y) dy dx
(c)
∫ 1
0
∫ 1
0
(4− x+ y2) dy dx
(d)
∫ 1
0
∫ x2
0
(x+ 2y) dy dx
(e)
∫
D
∫
(x2 + y2)dA, onde D = {(x, y) ∈ <2 | x2 + y2 ≤ 1}
(f)
∫
D
∫
2√
x2 + y2 + 1
dA, onde D = {(x, y) ∈ <2 | x2 + y2 ≤ 9}
2) Resolva a integral dupla abaixo, onde D e´ regia˜o delimitada pelo triaˆngulo formado pelos
pontos A = (−1, 0), B = (1, 0) e C = (0, 1):
∫
D
∫
(x+ y) dx dy
3) Inverta a ordem de integrac¸a˜o e resolva as integrais:
(a)
∫ 1
0
∫ 1
y
ex
2
dx dy
(b)
∫ 1
0
∫ 1
x
sen(y)
y
dy dx
4) Resolva a integral dupla abaixo, onde D e´ a parte do conjunto {(x, y) ∈ <2 | x2 + y2 ≤ 4}
que esta´ no primeiro quadrante: ∫
D
∫
x dx dy
5) Resolva a integral dupla abaixo, onde D e´ a regia˜o formada pelas duas circunfereˆncias
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 16 ∫
D
∫
e−(x
2+y2) dx dy
6) Resolva a integral dupla abaixo, onde D e´ a regia˜o do primeiro quadrante formada pelas duas
circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4∫
D
∫ √
x2 + y2 dy dx
7) Resolva as integrais triplas:
a)
∫ 1
0
∫ 3
2
∫ 2
−1
xy2z dz dy dx
b)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ y
0
ze−y
2
dx dy dz
c)
∫ 1
−1
∫ 2
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2) dx dy dz
d)
∫ pi
4
0
∫ 1
0
∫ x2
0
xcos(y) dz dx dy
8) Calcule a integral tripla abaixo, onde W e´ o cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0
e z = 2:∫ ∫
W
∫
(x+ y2 − z) dW
9) Use uma integral tripla para calcular o volume do so´lido contido no cilindro x2 + y2 = 9 e
limitado pelos planos z = 1 e y + z = 5.
10) Use uma integral tripla para calcular o volume do so´lido compreendido entre os parabolo´ides
z = 5x2 + 5y2 e z = 6− x2 − y2.
11) Calcule a integral tripla abaixo, onde W e´ o tetraedro so´lido delimitado pelos quatro planos
x = 0, y = 0, z = 0 e 6x+ 2y + z = 6.∫ ∫
W
∫
z
(3− 3x− y)2 dW