Geoestatística_Aula 04

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Geoestatística: Fundamentos e 
Aplicações
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 04
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
As duas funções utilizadas com maior intensidade na geoestatística
para a determinação da dependência espacial ou temporal de
variáveis são a função autocorrelação (que gera o
Autocorrelograma) e a função semivariância (que gera o
Semivariograma).
Faremos a seguir um descrição da função autocorrelação e da
função semivariância e semivariograma como instrumento de
análise espacial de dados.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Ao trabalhar com variáveis bidimensionais, temos que a covariância
é uma medida de associação entre estas variáveis. Entretanto esta
função tem a desvantagem de possuir as unidades das variáveis
que a geram e, também, não ter um padrão de comparação, por
exemplo, se calculamos a covariância entre X e Y e encontramos o
valor de 0,75 não podemos dizer se as variáveis estão com forte
associação positiva ou não.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Variável Aleatória: Variável aleatória (v.a.) é uma função que
associa a cada elemento de um espaço amostral um número real,
ou aquela, cujo valor é o resultado numérico de um experimento
aleatório. Considerando que cada medida resulta em um único
valor, o conjunto destas medidas constitui uma v.a. Dependendo dos
valores numéricos, a variável aleatória classifica-se:
Discreta: quando assume valores em pontos isolados ao longo de
uma escala (número finito ou infinito enumerável de valores).
Exemplo: os valores possíveis de se obter quando se joga um dado
ou uma moeda.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Variável Aleatória:
Contínua: quando assume qualquer valor ao longo de um intervalo
(número infinito não enumerável de valores). Exemplo: conjunto de
medidas de um mesmo ângulo dentro de uma série.
Se o conjunto que constitui a v.a. é de mesma natureza, diz-se que
ele é uma variável aleatória unidimensional. Entretanto, quando no
conjunto têm-se grandezas de natureza diversa, diz-se que é uma
v.a. multidimensional. Por exemplo, o conjunto constituído por uma
série de medidas angulares é uma v.a. unidimensional, e o conjunto
constituído por azimute e distância, é multidimensional.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Matriz variância-covariância (M.V.C.):
A estimativa de precisão de uma v.a. é fornecida pelo desvio padrão
dessa variável (𝜎𝑖). Quando se tem uma v.a. multidimensional, a
precisão é representada pela matriz variância covariância (Σ) que é
formada pelas variâncias (𝜎𝑖
2) dos i indivíduos ou elementos que
compõe a v.a., e pelas covariâncias ( 𝜎𝑖𝑗 ) desses mesmos
elementos. A raiz quadrada das variâncias fornece a precisão e a
covariância indica o grau de dependência ou relação entre dois
elementos dessa v.a.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Matriz variância-covariância (M.V.C.):
As variâncias (𝜎𝑖
2 ) e covariâncias (𝜎𝑖𝑗 ) de um conjunto de n
observações (𝐿𝑏 ) de uma variável X, podem ser dispostas de
maneira a formar uma matriz quadrada (𝑛𝑥𝑛), representada por Σ𝑋,
ou seja:
No caso das observações serem independentes entre si, as
covariância serão nulas e Σ𝑋 se degenera numa matriz diagonal.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Matriz de Correlação:
Na matriz variância-covariância, a variância (σi
2) fornece, através da
extração da raiz quadrada, a precisão de cada v.a. e a covariância
(σij) indica que existe dependência entre elas.
A matriz dos coeficientes de correlação, derivada da matriz
variância-covariância, fornece o grau de dependência entre as
diversas v.a.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Matriz de Correlação:
Visando avaliar quão forte é a correlação entre duas observações, o
coeficiente de correlação (𝜌𝑖𝑗) poderá ser examinado. Este pode ser
obtido por:
𝜌𝑖𝑗 =
𝜎𝑖𝑗
𝜎𝑖×𝜎𝑗
, onde: −12021 Técnico em Geoprocessamento
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Neste caso quanto mais próximo de 1 ou de -1, maior a relação
entre as variáveis e quanto mais próximo de 0, menor a relação
linear entre X e Y.
4. Análise da Dependência Espacial
𝑟 𝑥, 𝑦 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋 − ത𝑋 ∗ 𝑌 − ത𝑌
𝑛 − 1
𝑆𝑥𝑆𝑦
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
A função autocorrelação é definida como sendo a razão entre a
covariância dos valores assumidos pela variável 𝑍, nas posições 𝑡 e
𝑡 + ℎ e a variância dessa variável 𝑍, em função da distância h, no
caso de variável estacionária de segunda ordem. Desta forma tem-
se:
Com dados amostrais, 𝜌 ℎ poderá ser estimado por:
4. Análise da Dependência Espacial
𝑟 ℎ =
σ𝑖=1
𝑛(ℎ)
𝑍 𝑡𝑖 − ҧ𝑍 ∗ 𝑍 𝑡𝑖 + ℎ − ҧ𝑍
𝑛(ℎ) − 1
𝑆2
𝜌 ℎ =
𝑐𝑜𝑣 𝑍 𝑡 , 𝑍 𝑡 + ℎ
𝑉𝑎𝑟 𝑍 𝑡
=
𝑐𝑜𝑣 𝑍 𝑡 , 𝑍 𝑡 + ℎ
𝜎2
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
Onde:
𝜌 ℎ é a autocorrelação entre os valores da variável 𝑍, separados pela
distância ℎ (autocorrelação populacional);
𝑐𝑜𝑣 𝑍 𝑡 , 𝑍 𝑡 + ℎ é a covariância entre a variável 𝑍(𝑡) e a variável 𝑍(𝑡 + ℎ);
𝑉𝑎𝑟[𝑍(𝑡)] = 𝜎2 é a variância populacional, ou seja, a covariância entre
𝑍(𝑡) e 𝑍(𝑡 + ℎ) quando ℎ = 0;
𝑟(ℎ) é a autocorrelação amostral para a distância h;
𝑛(ℎ) é o número de pontos amostrais separados pela distância h;
ҧ𝑍 é o valor médio (média amostral) da variável 𝑍(𝑡);
𝑆2 é a variância amostral de 𝑍(𝑡).
4. Análise da Dependência Espacial
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
A Figura abaixo mostra um exemplo de comportamento da função
autocorrelação.
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4.1 Autocorrelação e Autocorrelograma
O uso dessa função no estudo da dependência espacial ou temporal
só é válida se a hipótese de estacionaridade de segunda ordem for
atendida.
Teoricamente, para ℎ = 0 a autocorrelação é máxima, ou seja,
𝑟 0 = 1 e este valor decresce até o zero, ou seja, até uma distância
ou tempo que não exista relação entre as observações. Esta
distância define a amplitude de dependência espacial ou temporal,
sendo que acima dessa distância os dados são considerados
independentes entre si.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.2 Variograma
O variograma é uma ferramenta básica
de suporte às técnicas de Krigagem, que
permite representar quantitativamente a
variação de um fenômeno regionalizado
no espaço. Considere duas variáveis
regionalizadas, 𝑋 e 𝑌, onde 𝑋 = 𝑍(𝑥) e
𝑌 = 𝑍(𝑥 + ℎ). Neste caso, referem-se ao
mesmo atributo (por exemplo, o teor de
zinco no solo) medido em duas posições
diferentes, conforme ilustra a Figura:
4. Análise da Dependência Espacial
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4.2 Variograma
Na figura, 𝑥 denota uma posição em duas dimensões, com
componentes (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), e ℎ um vetor distância (módulo e direção) que
separa os pontos.
O nível de dependência entre essas duas variáveis regionalizadas,
𝑋 e 𝑌, é representado pelo variograma, 2𝛾(ℎ), o qual é definido
como a esperança matemática do quadrado da diferença entre os
valores de pontos no espaço, separados pelo vetor distância ℎ, isto
é:
2𝛾 ℎ = 𝐸 𝑍 𝑥 − 𝑍 𝑥 + ℎ 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍 𝑥 − 𝑍 𝑥 + ℎ
4. Análise da Dependência Espacial
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4.2 Variograma
Através de uma amostra 𝑧(𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 , o variograma pode ser
estimado por:
onde:
· 2ො𝛾 ℎ - é o variograma estimado;
· 𝑁(ℎ) - é o número de pares de valores medidos, 𝑍 𝑥𝑖 e 𝑍 𝑥𝑖 + ℎ ,
separados por um vetor distância ℎ;
· 𝑍 𝑥𝑖 e 𝑍 𝑥𝑖 + ℎ , - são valores da i-ésima observação da variável
regionalizada, coletados nos pontos 𝑥𝑖 e 𝑥𝑖 + ℎ (𝑖 = 1,… , 𝑛), separados
pelo vetor h.
4. Análise da Dependência Espacial
2ො𝛾 ℎ =
1
𝑁(ℎ)
෍
𝑖=1
𝑁(ℎ)
𝑍 𝑥𝑖 − 𝑍 𝑥𝑖 + ℎ 2
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4.2 Variograma
Parâmetros do Semivariograma:
A Figura abaixo ilustra um semivariograma experimental com características
muito próximas do ideal.
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4.2 Variograma
Parâmetros do Semivariograma:
O seu padrão representa o que, intuitivamente, se espera de dados de
campo, isto é, que as diferenças 𝑍 𝑥𝑖 − 𝑍 𝑥𝑖 + ℎ decresçam à medida que
ℎ, a distância que os separa, decresce.
É esperado que observações mais próximas geograficamente tenham um
comportamento mais semelhante entre si do que aquelas separadas por
maiores distâncias. Desta maneira, é esperado que 𝛾 ℎ aumente com a
distância ℎ.
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4.2 Variograma
Parâmetros do Semivariograma:
Observando a figura temos os seguintes parâmetros do semivariograma:
Alcance (a): distância dentro da qual as amostras apresentam-se
correlacionadas espacialmente. Na Figura, o alcance ocorre próximo de
25m.
Patamar (C): é o valor do semivariograma correspondente a seu alcance
(a). Deste ponto em diante, considera-se que não existe mais dependência
espacial entre as amostras, porque a variância da diferença entre pares de
amostras 𝑉𝑎𝑟 𝑍 𝑥 − 𝑍 𝑥 + ℎ torna-se invariante com a distância.
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4.2 Variograma
Parâmetros do Semivariograma:
Efeito Pepita (C0): idealmente, 𝛾 0 = 0. Entretanto, na prática, à medida
que h tende para 0 (zero), 𝛾 ℎ se aproxima de um valor positivo chamado
Efeito Pepita (C0), que revela a descontinuidade do semivariograma para
distâncias menores do que a menor distância entre as amostras. Parte
desta descontinuidade pode ser também devida a erros de medição, mas é
impossível quantificar se a maior contribuição provém dos erros de medição
ou da variabilidade de pequena escala não captada pela amostragem.
Contribuição (C1): é a diferença entre o patamar (C) e o Efeito Pepita (Co).
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4.2 Variograma
Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente
espaçadas:
Considere o conjunto de amostras regularmente espaçadas, em duas
dimensões, conforme apresentado na Figura:
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4.2 Variograma
Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente
espaçadas:
Para determinar o semivariograma experimental, por exemplo, na direção
de 90º o cálculo de ො𝛾 ℎ é repetido para todos os intervalos de ℎ. Suponha
a distância entre dois pontos consecutivos igual a 100 metros (d=100m).
Então, qualquer par de observações, na direção 90º, cuja distância é igual a
100m será incluído no cálculo de ො𝛾 90°, 100𝑚 . Isto feito, os cálculos são
repetidos para a próxima distância, por exemplo, 200m. Isto inclui todos os
pares de observações cuja distância é igual a 200m. O processo é repetido
até que algum ponto de parada desejado seja alcançado.
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4.2 Variograma
Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente
espaçadas:
Este procedimento pode ser melhor compreendido com o auxílio da Figura
abaixo e também deve ser realizado para outras direções (0º, 45º e 135º).
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4.2 Variograma
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente
espaçadas:
4. Análise da Dependência Espacial
Considere o conjunto de
amostras regularmente
espaçadas, em duas
dimensões, conforme
apresentado na Figura.
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4.2 Variograma
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente
espaçadas:
Neste caso, para determinar o semivariograma experimental, é necessário
introduzir limites de tolerância para direção e distância. Tome como referência o
Lag2 da figura (Lag refere-se a uma distância pré-definida, a qual é utilizada no
cálculo do semivariograma). Suponha um incremento de Lag igual a 100 metros
com tolerância de 50 metros. Considere ainda a direção de medida 45º com
tolerância angular 22,5º. Então, qualquer par de observações cuja distância está
compreendida entre 150m e 250m e 22,5º e 67,5º será incluído no cálculo do
semivariograma de Lag2. Este processo se repete para todos os Lag’s.
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4.2 Variograma
Modelos Teóricos:
O gráfico do semivariograma experimental ො𝛾 ℎ , é formado por uma série
de valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma função. É importante que
o modelo ajustado represente a tendência de ො𝛾 ℎ em relação a ℎ. Deste
modo, as estimativas obtidas a partir da krigagem serão mais exatas e,
portanto mais confiáveis.
Os modelos estão divididos em dois tipos: modelos com patamar e modelos
sem patamar. Modelos do primeiro tipo são referenciados na geoestatística
como modelos transitivos.
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4.2 Variograma
Modelos Teóricos:
Alguns dos modelos transitivos atingem o patamar (C) assintoticamente.
Para tais modelos, o alcance (a) é arbitrariamente definido como a distância
correspondente a 95% do patamar. Modelos do segundo tipo não atingem o
patamar, e continuam aumentando enquanto a distância aumenta.
Os modelos transitivos mais utilizados são: modelo esférico (Sph), modelo
exponencial (Exp) e modelo gaussiano (Gau), conforme ilustra a Figura a
seguir:
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4.2 Variograma
Modelos Teóricos:
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4.2 Variograma
Anisotropia:
A anisotropia pode ser facilmente constatada através da observação dos
semivariogramas obtidos para diferentes direções. As convenções
direcionais usadas na geoestatística são:
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4.2 Variograma
Anisotropia:
Considere os semivariogramas obtidos para as direções 0º, 45º, 90º e 135º,
ilustrados na Figura a seguir.
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4.2 Variograma
Anisotropia:
Verifica-se uma similaridade bastante grande entre eles. Esta é a
representação de um caso simples e menos frequente, em que a
distribuição espacial do fenômeno é denominada isotrópica. Neste caso, um
único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do
fenômeno em estudo.
Por outro lado, se os semivariogramas não são iguais em todas as
direções, a distribuição é denominada anisotrópica. Se a anisotropia é
observada e é refletida pelo mesmo Patamar (C) com diferentes Alcances
(a) do mesmo modelo, então ela é denominada Geométrica.
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4.2 Variograma
Anisotropia:
Considere o semivariograma ilustrado na Figura abaixo. Os pontos
interligados com linhas tracejadas são os semivariogramas experimentais
em duas direções ortogonais.
4. Análise da Dependência Espacial
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4.2 Variograma
Anisotropia:
O semivariograma que atinge primeiro o patamar (azul) se refere à direção
de 120º e o semivariograma com maior alcance (vermelho) se refere à
direção de 30º. As linhas sólidas em ambas direções são os modelos
teóricos de ajuste dos semivariogramas experimentais.
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Referências Bibliográficas
CAMARGO, E. C. G.. Geoestatística: Fundamentos e Aplicações. In:
Geoprocessamento para Projetos Ambientais. INPE, 1998. Disponível em:
.
GOOVAERTS, P. 1997. Geostatistics for natural resources evaluation. New York,
Oxford University Press. 483p
GRANZOTTO, J. G. Resumo Estatística Básica. 2002. 33p.
GUIMARÃES, E. C. Geoestatística básica e aplicada. UFU/FAMAT, 2004. 78 p.
KOCH, G.S.; LINK, R.F. 1970. Statistical analysis of geological data. New York,
Dover Publications Inc. Vol. I. 375 p.; Vol. II. 438p.
PIRES, J. F. Cálculo das Probabilidades e Estatística I. Departamento de
Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB.
YAMAMOTO, J.K. 2020. Estatística, análise e interpolação de dados
geoespaciais. São Paulo, Gráfica Paulo’s. 308p.