Funções 1

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FUNÇÕES
Aula 1
FUNÇÃO AFIM
Função Afim
Olá, estudante!
Nesta videoaula você irá conhecer o conceito de função e as características das
funções polinomiais de 1º grau, chamadas de funções afim.
Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois permite a descrição e
a interpretação de problemas que envolvem a associação entre duas variáveis,
considerando a relação de dependência entre elas, especialmente quando essa relação
tem uma natureza linear.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
Ponto de Partida
Desejamos boas-vindas a você, para esta aula, cujo objetivo é introduzir o conceito de
função e apresentar algumas características das funções afim.
O conceito de função assume um papel central no campo da Matemática,
especialmente no cálculo diferencial e integral, por ser uma ferramenta capaz de
descrever os mais variados fenômenos, de diferentes áreas, mas desde que seja
possível reconhecer uma relação de dependência entre variáveis. No momento, vamos
nos voltar às relações entre duas variáveis apenas, uma sendo independente e a outra,
dependente dela.
Para contribuir com a compreensão do conceito de função e, principalmente, das
funções afim, analise a situação descrita a seguir: Duas empresas estão ofertando um
pacote de locação de veículos, direcionado aos profissionais que atuam como motorista
por aplicativo, referentes a um mesmo modelo de automóvel.
A empresa A faz uma cobrança de R$ 15,00 por dia de aluguel, além de uma taxa de
R$ 0,25 por quilômetro rodado. Por outro lado, a empresa B cobra uma tarifa de R$
20,00 e uma taxa de R$ 0,15 por quilômetro rodado. Ambas oferecem os mesmos tipos
de vantagens, como seguro contra acidentes e roubo de veículo, descontos para
abastecer em postos de combustíveis associados, entre outras vantagens.
Avaliando os planos A e B, em qual situação é mais conveniente contratar cada um
deles? Faça uma análise com base em um dia de trabalho e considerando uma média
de quilometragem percorrida por dia.
Como podemos solucionar essa problemática? Prossiga em seus estudos e conheça
as definições e propriedades vinculadas às funções e funções afim. Bons estudos! 
Vamos Começar!
Relações entre variáveis estão presentes em nossa vida em diferentes circunstâncias,
desde uma simples relação envolvendo a quantidade de produtos adquiridos e o preço
pago até em contextos mais complexos, como problemas envolvendo substâncias
radioativas.
Essas e outras situações podem ser estudadas com base no conceito de função, o qual
permite associar duas variáveis entre si e será discutido a seguir.
Introdução às funções
Uma função é uma regra que associa cada elemento , pertencente a um conjunto 
, a um único elemento , pertencente a um conjunto . Podemos empregar a
representação Para a definição de função, cada elemento do conjunto 
 deve estar relacionado somente a um elemento de . Uma representação possível
para uma função é o diagrama de flechas presente na Figura 1, sendo e os
f x
D f(x) E
f : D → E. D
E
D E
conjuntos utilizados e as flechas estabelecendo as relações entre os elementos desses
conjuntos.
Figura 1 | Diagrama de flechas
para uma função f.
Para uma função , o conjunto é chamado de domínio de função, o qual
descreve os possíveis valores assumidos pela variável independente, que
representaremos por . O conjunto , por sua vez, é o contradomínio da função e
descreve a variável dependente. Quando restringimos o contradomínio apenas aos
valores assumidos por , para todo no domínio, formamos o subconjunto de 
 denominado imagem de .
Podemos também representar uma função por meio de seu gráfico. Nesse caso, o
gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados em que 
, com pertencente ao domínio da função. Esse conjunto pode ser
descrito como
.
Partindo do plano cartesiano, a construção de um gráfico envolve a identificação dos
pares ordenados com os valores do domínio e suas imagens correspondentes. Na
Figura 2, podemos ver um exemplo de gráfico de função, observando o domínio e a
imagem associados.
Figura 2 | Gráfico da função f:D→ E.
Nas representações gráficas, como é o caso da Figura 2, os pares ordenados sempre
são identificados de modo que os elementos do domínio sejam representados a partir
do eixo das abscissas (horizontal), denominado eixo , e a imagem seja descrita a
partir do eixo das ordenadas (vertical), descrito como eixo .
Temos a possibilidade de estudar funções definidas a partir de uma tabela de valores,
ou ainda, a partir de uma expressão matemática que a caracteriza. Um exemplo de
f : D → E D
x E
f(x) x E
f
f : D → E (x, y)
y = f(x) x D
G = {(x, f(x));x ∈ D}
x
y
função representada algebricamente consiste em:
Nesse caso, para cada , número real, sua imagem é tal que . A
expressão é como a regra ou lei de formação da função, a qual deve
ser apresentada em conjunto com domínio e contradomínio adequados.
Além dessas propriedades, de acordo com a lei de formação de uma função, podemos
construir categorias, como as funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, entre
outras.
Uma função polinomial consiste em uma função , cuja lei de formação é
dada por , sendo um
número inteiro não negativo e os números são constantes
denominadas coeficientes do polinômio. Desde que o coeficiente dominante seja
diferente de zero, então o grau do polinômio é igual a . No conjunto das funções
polinomiais, podemos destacar as funções afim ou polinomiais de 1º grau, que serão
apresentadas a seguir.
Siga em Frente...
Função afim
Uma função é classificada como função afim, ou função polinomial de 1º grau,
quando sua lei de formação puder ser escrita na forma , em que e são
números reais. Os números e são chamados de coeficientes da função.
Por exemplo, a função definida por corresponde a uma
função afim. Para essa função temos:
Logo, a imagem de pela função corresponde a Nesse caso, basta
substituir o valor de pelo valor desejado do domínio para que seja possível identificar
sua imagem no contradomínio. Analisando o gráfico para essa função, conforme a
Figura 3, podemos identificar que seu formato é uma reta. Essa é uma propriedade das
funções afim; suas representações gráficas são dadas por retas, quando o domínio é
dado por .
f : R → R
     x ↦ x+ 1
x f(x) = x+ 1
f(x) = x+ 1
f : R → R
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 +…+ an−1x
n−1 + anx
n n
a0, a1, a2,… , an
an
n
f
f(x) = ax+ b
a b
f : R → R f(x) = 2x− 1
f(2) = 2 ⋅ 2 − 1 = 4 − 1 = 3
x = 2  f f(2) = 3.
x
R
Figura 3 | Gráfico da função f(x)=2x-1.
Usualmente, o domínio e o contradomínio de uma função afim são descritos pelo
conjunto de números reais , porém podemos adotar restrições a esses conjuntos
sempre que a situação em estudo indicar alguma especificidade. O conjunto imagem
de uma função afim ainda coincide com seu contradomínio, pelo perfil de seu gráfico,
podendo apresentar diferenças apenas quando há a indicação de alguma restrição.
A lei de formação da função afim é , com e números reais. Podemos
reconhecer alguns casos particulares, como indicado no que segue:
Quando , a lei de formação da função é , podendo ser chamada
de função linear. Por exemplo, é uma função linear. O gráfico de uma
função linear é sempre uma reta que passa pela origem, ou contém o ponto ,
como ilustrado na Figura 4(a).
Se , a lei de formação passa a ser , então teremos a função
constante. Por exemplo, é uma função constante. O gráfico de uma
função constante é sempre paralelo ao eixo , como indicado na Figura 4(b).
Figura 4 | Gráficos para as funções lineares e constante.
Outros aspectos importantes no estudo das funções afim consistem na análise do zero
da função e o estudo de seu sinal, os quais podem apresentar interpretações
interessantes quando empregados na modelagem e resolução de situações reais.
R
f(x) = ax+ b a b
b = 0 f(x) = ax
f(x) = 3x
(0,0)
a = 0 f(x) = b
g(x) = 2
x
(a) Gráfico da função linear f(x) = 3x. (b) Gráfico da função linear g(x) = 2.
Dada uma função com , sendo e números reais,o zero
ou a raiz da função corresponde a um valor do domínio da função em que .
O zero de uma função afim está associado ao ponto em que o seu gráfico intersecta o
eixo das abscissas.
Observemos o exemplo da função afim, cuja lei de formação é . Para
determinar o zero dessa função devemos identificar para o qual , isto é,
Logo, o zero dessa função corresponde a , porque 
. Observe o gráfico dessa função na Figura 5.
Figura 5 | Gráfico da função f(x) = 2x + 6.
Ainda acerca da função afim , ao observar o seu gráfico, por meio da
Figura 5, podemos identificar que para valores de seu domínio, o gráfico está
localizado abaixo do eixo , isto é, nesse intervalo a função é negativa. Por outro lado,
para valores do domínio , o gráfico está localizado acima do eixo , indicando
que a função é positiva nesse intervalo. Dessa forma, podemos fazer um estudo a
respeito do sinal da função, que consiste na avaliação dos valores assumidos pelas
imagens dos elementos do domínio.
Para estudar o sinal de uma função afim, devemos inicialmente identificar o seu zero.
Para isso, suponhamos que o zero de uma função afim seja o valor em que 
. Com isso, podemos dividir o domínio da função em duas regiões: 
 e . Desse modo,
Se for negativa em e positiva em teremos uma função afim
crescente, como é o caso do esquema ilustrado na Figura 6(a).
f : R → R f(x) = ax+ b a b
x f(x) = 0
f(x) = 2x+ 6
x f(x) = 0
2x+ 6 = 0    ⇒    2x = −6    ⇒    x = − 6
2 = −3
x = −3 f(−3) = 2 ⋅ (−3) + 6 = 0
f(x) = 2x+ 6
x −3 x
f x0
f(x0) = 0 x x0
f x x0
Se for positiva em e negativa em , a função afim será
decrescente, como é o caso do esquema da Figura 6(b).
Figura 6 | Estudo do sinal da função afim.
Considerando essa classificação, e retornando novamente ao gráfico da função 
 da Figura 5, podemos identificar que é uma função crescente.
Assim, as funções afim, com suas propriedades, podem ser empregadas na resolução
de problemas reais, especialmente os que apresentam um comportamento linear,
possuindo aplicações em diferentes áreas do conhecimento.
Vamos Exercitar?
Para auxiliar um motorista na escolha do melhor plano de locação de veículos,
comparando as empresas A e B, vamos construir um modelo matemático associado a
cada uma delas, que forneça o valor pago por dia pelo motorista em função da
quilometragem percorrida, a qual denotaremos por .
Na empresa A, a cobrança é composta de uma taxa fixa de R$ 15,00, acrescida de
uma taxa de R$ 0,25 por quilômetro percorrido, assim, para um dia, a cobrança por
essa empresa pode ser calculada por . Por outro lado, no caso
da empresa B, a cobrança é composta por uma taxa fixa de R$ 20,00, acrescida de
uma taxa de R$ 0,15 por quilômetro percorrido, sendo calculado por 
. Note que os dois modelos correspondem a funções afim, cuja
representação gráfica é uma reta. Observemos, na Figura 7, os gráficos de ambas as
funções. Observe, ainda, que essas funções estão definidas com domínio e
contradomínio dados por , porque as variáveis envolvidas, na situação, assumem
apenas valores não negativos.
f x x0
(a) Função afim crescente. (b) Função afim decrescente.
f(x) = 2x+ 6 f
x
CA(x) = 15 + 0,25x
CB(x) = 20 + 0,15x
R+
Figura 7 | Comparação entre os planos de locação
de veículos.
Comparando os gráficos indicados na Figura 7, podemos perceber que existe um ponto
de interseção entre as duas retas. Para determiná-lo, vamos identificar para o qual 
, isto é, , e resolvendo essa equação
obtemos , ou seja, a cobrança de ambos os planos será igual para 50
quilômetros percorridos por dia.
Considerando ambos os gráficos, podemos concluir que o plano A é mais indicado caso
a distância média percorrida por dia seja inferior a 50 quilômetros, enquanto o plano B
é o mais adequado para o caso em que a distância média percorrida por dia seja
superior a 50 quilômetros.
Saiba Mais
A primeira sugestão de material complementar é o livro Pré-cálculo, de Pedro A.
Morettin, Samuel Hazzan e Wilton O. Bussab. No estudo das funções afim,
especialmente de suas aplicações, consulte a seção 2.5.1, Funções custo, receita e
lucro do primeiro grau. O trecho entre as páginas 45 e 49 traz exemplos interessantes
para aprofundamento nos estudos dessa categoria de funções. Nesse mesmo livro, a
seção 2.5.2, Função demanda e oferta do primeiro grau, entre as páginas 51 e 56,
também destaca outras aplicações das funções afim em contextos econômicos. Acesse
no link: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547221843/.
Para saber mais sobre o estudo das propriedades das funções afim, consulte a obra
Pré-cálculo, de Francisco M. Gomes. Estude a seção 3.7, intitulada Funções usuais,
localizada entre as páginas 277 e 279, nas quais você encontrará definições e
propriedades importantes, bem como exemplos que podem auxiliar no estudo dessa
categoria de funções. Acesse no link:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/.
Outra referência interessante para o estudo das funções afim e de suas características
é o livro Pré-cálculo, de Valéria Z. Medeiros, André M. Caldeira e Luiza M. O. da Silva.
No trecho entre as páginas 107 e 111, contemplando as seções 5.7 e 5.8, você
encontrará exemplos contendo estratégias interessantes para a construção dos
gráficos das funções polinomiais de 1º grau e o estudo das imagens. Acesse em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/.
Referências Bibliográficas
GOMES, Francisco M. Pré-cálculo: Operações, equações, funções e trigonometria.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. E-book. ISBN 9788522127900. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 18
mar. 2024.
x
CA(x) = CB(x) 15 + 0,25x = 20 + 0,15x
x = 50
https://alexandria-html-published.platosedu.io/a7c66df4-1376-4252-b125-bcef1f0a070b/v1/A%20primeira%20sugest%C3%A3o%20de%20material%20complementar%20%C3%A9%20o%20livro%20Pr%C3%A9-c%C3%A1lculo,%20de%20Pedro%20A.%20Morettin,%20Samuel%20Hazzan%20e%20Wilton%20O.%20Bussab.%20No%20estudo%20das%20fun%C3%A7%C3%B5es%20afim,%20especialmente%20de%20suas%20aplica%C3%A7%C3%B5es,%20consulte%20a%20se%C3%A7%C3%A3o%202.5.1,%20Fun%C3%A7%C3%B5es%20custo,%20receita%20e%20lucro%20do%20primeiro%20grau.%20O%20trecho%20entre%20as%20p%C3%A1ginas%2045%20e%2049%20traz%20exemplos%20interessantes%20para%20aprofundamento%20nos%20estudos%20dessa%20categoria%20de%20fun%C3%A7%C3%B5es.%20Nesse%20mesmo%20livro,%20a%20se%C3%A7%C3%A3o%202.5.2,%20Fun%C3%A7%C3%A3o%20demanda%20e%20oferta%20do%20primeiro%20grau,%20entre%20as%20p%C3%A1ginas%2051%20e%2056,%20tamb%C3%A9m%20destaca%20outras%20aplica%C3%A7%C3%B5es%20das%20fun%C3%A7%C3%B5es%20afim%20em%20contextos%20econ%C3%B4micos.%20Acesse%20no%20link:%20https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547221843/.%20Para%20saber%20mais%20sobre%20o%20estudo%20das%20propriedades%20das%20fun%C3%A7%C3%B5es%20afim,%20consulte%20a%20obra%20Pr%C3%A9-c%C3%A1lculo,%20de%20Francisco%20M.%20Gomes.%20Estude%20a%20se%C3%A7%C3%A3o%203.7,%20intitulada%20Fun%C3%A7%C3%B5es%20usuais,%20localizada%20entre%20as%20p%C3%A1ginas%20277%20e%20279,%20nas%20quais%20voc%C3%AA%20encontrar%C3%A1%20defini%C3%A7%C3%B5es%20e%20propriedades%20importantes,%20bem%20como%20exemplos%20que%20podem%20auxiliar%20no%20estudo%20dessa%20categoria%20de%20fun%C3%A7%C3%B5es.%20Acesse%20no%20link:%20https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/.%20Outra%20refer%C3%AAncia%20interessante%20para%20o%20estudo%20das%20fun%C3%A7%C3%B5es%20afim%20e%20de%20suas%20caracter%C3%ADsticas%20%C3%A9%20o%20livro%20Pr%C3%A9-c%C3%A1lculo,%20de%20Val%C3%A9ria%20Z.%20Medeiros,%20Andr%C3%A9%20M.%20Caldeira%20e%20Luiza%20M.%20O.%20da%20Silva.%20No%20trecho%20entre%20as%20p%C3%A1ginas%20107%20e%20111,%20contemplando%20as%20se%C3%A7%C3%B5es%205.7%20e%205.8,%20voc%C3%AA%20encontrar%C3%A1%20exemplos%20contendo%20estrat%C3%A9gias%20interessantes%20para%20a%20constru%C3%A7%C3%A3o%20dos%20gr%C3%A1ficos%20das%20fun%C3%A7%C3%B5es%20polinomiais%20de%201%C2%BA%20grau%20e%20o%20estudo%20das%20imagens.%20Acesse%20em:%20https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/.https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
MEDEIROS, Valéria Z.; CALDEIRA, André M.; SILVA, Luiza Maria Oliveira da; et al.
Pré-Cálculo. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013. E-book. ISBN
9788522116515. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/. Acesso em: 18 mar.
2024.
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Introdução ao cálculo
para administração, economia e contabilidade. São Paulo: Editora Saraiva, 2017. E-
book. ISBN 9788547221843. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547221843/. Acesso em: 18 mar.
2024.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: volume I. Tradução da 9ª edição
norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. 
Aula 2
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função quadrática
Olá, estudante!
Nesta videoaula você irá conhecer as principais características das funções
quadráticas, também conhecidas como função polinomial de 2º grau.
Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois, além de
complementar o estudo da categoria das funções polinomiais, fornece ferramentas para
o estudo de alguns problemas, inclusive de otimização, pelas características desse tipo
de função, especialmente pelo fato de seu gráfico ser uma parábola.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547221843/
Ponto de Partida
Prezado estudante, nesta aula vamos nos aprofundar no estudo das funções
polinomiais, por meio do estudo das funções quadráticas, ou funções polinomiais de 2º
grau, refletindo sobre suas características, bem como a possibilidade de aplicabilidade
em problemas de otimização devido ao comportamento de seu gráfico.
Problemas de otimização são caracterizados pela necessidade de gerenciamento de
recursos de modo que possam ser aplicados e gerar a melhor solução possível, sendo
essa associada a um valor máximo ou mínimo da função.
Nesse contexto, suponha que um fazendeiro precisa cercar parte de sua propriedade
para a criação de animais. A parte cercada deve ter formato retangular e ser limitada
por cerca em três de seus lados, visto que o quarto lado é delimitado por um muro
previamente construído. O fazendeiro dispõe de 80 metros de cerca para esse fim.
Sabendo que essa área deve ser máxima, quais devem ser as dimensões
(comprimento e largura) dessa área a ser delimitada?
Como podemos representar e solucionar esse problema? Prossiga em seus estudos e
confira conceitos importantes que podem auxiliá-lo nessa tarefa. 
Vamos Começar!
As funções polinomiais são funções cuja lei de formação é construída a partir de uma
soma, em que as parcelas são formadas pelo produto entre um número e uma potência
da variável em estudo. A seguir vamos estudar as propriedades da função polinomial de
2º grau, também chamada de função quadrática.
Função quadrática
Uma função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, é uma função definida por 
 cuja lei de formação assume o formato , com e 
 números reais e . Os números e são chamados de coeficientes da
função. O gráfico de uma função quadrática é dado por uma parábola.
Por exemplo, definida por consiste em uma função
quadrática. Observe que, nesse caso, , e . Observemos na Figura 1
o gráfico dessa função.
Figura 1 | Gráfico da função quadrática f(x) = 4x2 + 2x +
1.
De acordo com os valores assumidos pelos coeficientes, o gráfico apresentará algumas
características diferentes e deslocamentos no plano cartesiano, porém o formato
padrão de parábola será sempre mantido para essa categoria de funções.
Pelas características da parábola, podemos empregar a função quadrática para
descrever alguns fenômenos específicos, como o lançamento de projéteis,
lançamentos de bolas em esportes como o futebol e o golfe, bem como em problemas
envolvendo receita e lucro de empresas, partindo de função custo e função demanda,
entre outras.
Usualmente, o domínio da função quadrática é o conjunto de números reais, no
entanto, podemos adotar restrições conforme o problema a ser estudado. O
contradomínio é dado usualmente por , porém, diferentemente das funções afim, nas
quais geralmente a imagem corresponde ao próprio contradomínio, nas funções
quadráticas o conjunto imagem corresponde a um subconjunto de . Observemos o
f : R → R  f(x) = ax2 + bx+ c a, b
c a ≠ 0 a, b c
f : R → R f(x) = 4x2 + 2x+ 1
a = 4 b = 2 c = 1
R
R
caso da função quadrática definida por , cujo gráfico é
apresentado na Figura 2(a).
Figura 2 | Gráficos de funções quadráticas.
Com base na Figura 2(a) e em sua definição, a função tem seu domínio
dado pelo conjunto de números reais, visto que varia ao longo de todo o eixo
horizontal. O contradomínio também é definido como . No entanto, o conjunto
imagem da função é composto apenas dos números reais maiores ou iguais a zero,
ou pelo intervalo , porque o gráfico está localizado sobre e acima do eixo .
Logo, .
Comparemos agora a Figura 2(a), referente à função , com a Figura 2(b),
que ilustra o gráfico de Observe as semelhanças e diferenças entre os
dois gráficos. Veja que possui concavidade voltada para cima, enquanto possui
concavidade voltada para baixo. Isso se deve pelo valor assumido pelo coeficiente 
 nas leis de formação de cada função.
Generalizando a diferença presente entre os gráficos de e , podemos afirmar
que para uma função quadrática , em que , se:
 , o gráfico de consiste em uma parábola com concavidade voltada para
cima.
 , o gráfico de é dado por uma parábola com concavidade voltada para
baixo.
Dada uma função com , sendo e ,
o zero ou raiz da função é um valor do domínio tal que , sendo dado
graficamente pelo ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das abscissas.
Dizer que implica afirmar que . Essa expressão
corresponde a uma equação polinomial de 2º grau ou equação quadrática. Dessa
forma, o zero da função quadrática corresponde às raízes da equação quadrática
f : R → R f(x) = x2
(a) f(x) = x2. (b) (a) g(x) = –x2.
f(x) = x2
x
R
f
[0,+∞) x
Im(f) = [0,+∞)
f(x) = x2
g(x) = −x2.
f g
a
x2 −x2
f(x) = ax2 + bx+ c a ≠ 0
a > 0 f
a 0
Δ = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−3) = 4 + 12 = 16
x1 =
−(−2)−√16
2⋅1 = 2−4
2 = −2
2 = −1
x2 =
−(−2)+√16
2⋅1 = 2+4
2 = 6
2 = 3
f x1 = −1 x2 = 3 f
x x = −1 x = 3
interpretações, principalmente,do comportamento do gráfico de uma função quadrática
a partir de seus coeficientes. Vejamos a Tabela 1 com essas informações.
Tabela 1 | Características do gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c.
Assim, em posse da lei de formação da função e da Tabela 1, podemos prever o
comportamento de qualquer função quadrática observando apenas o valor de seus
coeficientes e de seu discriminante, contribuindo para a resolução de problemas
modelados por esse tipo de função.
Além dos zeros da função, que consistem nos pontos de interseção do gráfico com o
eixo das abscissas, existe outro ponto bastante importante no gráfico da função
quadrática, denominado vértice. Esse ponto tem relação com os menores ou maiores
valores da função, de acordo com a concavidade da parábola. Podemos, ainda, definir
um eixo de simetria, que passa pelo vértice e evidencia a simetria presente na
Discriminante a > 0 a 0
parábola. Esses elementos estão destacados na Figura 4, considerando o sinal do
coeficiente .
Figura 4 | Gráficos de parábolas, vértices e eixos de simetria.
O vértice da função quadrática com lei de formação é um ponto
de coordenadas em que:
Dessa forma, para determinar o vértice da função basta conhecermos seus coeficientes
e seu discriminante.
Observe que o vértice corresponde a um ponto de mínimo local da função quando sua
concavidade está voltada para cima, e em um ponto de máximo local da função quando
sua concavidade está voltada para baixo.
Por exemplo, para a função , com , e discriminante 
, teremos as coordenadas de seu vértice como:
Sendo assim, o vértice de coordenadas corresponde ao ponto de mínimo da
função .
Assim, com base nas propriedades das funções quadráticas, podemos avaliar as
características de problemas que podem ser modelados por esse tipo de função, de
modo que os zeros, vértice, entre outros elementos possam trazer informações
importantes para solucionar a situação real em estudo.
a
(a) Concavidade para cima (a > 0).
(b) Concavidade para baixo (a 0 Δ = 16
xV = − b
2a = − −2
2(1) = 1
yv = − Δ
4a = − 16
4(1) = −4
(1,−4)
f
Vamos Exercitar?
Para solucionar o problema de delimitação da área máxima em uma fazenda, vamos
iniciar com a elaboração de um esquema a respeito da região retangular que deve ser
cercada. Observe na Figura 5 a seguir.
Figura 5 | Região que será cercada.
Como estão disponíveis 80 m de cerca, teremos, pela Figura 7, que a cerca medirá 
, o que pode ser dado por , ou . A área da região
cercada é dada por . Substituindo nessa expressão teremos:
Por se tratar de uma função quadrática em que , então seu gráfico é uma
parábola com concavidade voltada para cima e, portanto, seu vértice corresponde ao
ponto de máximo, isto é, ao maior valor assumido pela função. Assim, sendo 
, segue que:
Ainda, como então . Portanto, para que atinja a área
máxima, a região cercada deve ter dimensões 40 metros por 20 metros, porque 
 e , sendo a área dessa região de 800 m², o que conclui a resolução do
problema.
Saiba Mais
A primeira sugestão de material complementar para o estudo das funções quadráticas é
a seção 4.1, intitulada “Funções quadráticas”, do livro Pré-Cálculo, de Francisco M.
Gomes. No trecho entre as páginas 313 e 324 você encontrará, além dos principais
conceitos associados a funções quadráticas, exemplos interessantes de aplicação
desse conteúdo.
Outra sugestão é o capítulo 5 “Função quadrática”, do livro Matemática básica para
cursos superiores, de Sebastião M. da Silva, Elio M. da Silva e Ermes M. da Silva. No
2y+ x = 80 2y = 80 − x y = 80−x
2
A = x ⋅ y y
A(x) = x ⋅ 80−x
2 = 80x−x2
2 = − x2
2 + 40x
aPara o estudo de uma função exponencial, precisamos considerar o conceito de
potência, com suas propriedades correspondentes. Devemos ter em mente, ainda, a
definição de função e seus elementos essenciais (domínio, contradomínio e lei de
formação).
Função exponencial
A função exponencial de base é definida por , sendo , e 
 um número real qualquer. Desse modo, podemos estruturar essa função da seguinte
forma:
Observação: Devemos exigir para garantir que a função esteja definida em
todo , pois lembre-se de que, por exemplo, se então , o qual
não está definido para negativo. Além disso, devemos ter diferente de 1 porque,
caso contrário, teríamos a função constante . O número pode ser tanto
racional quanto irracional, então são válidos todos os procedimentos envolvendo
potências de expoente natural, inteiro, racional, além das aproximações obtidas pela
calculadora científica para os expoentes irracionais.
Por exemplo, seja a função definida por . Podemos calcular as
imagens para os elementos do domínio de por meio de sua lei de formação:
Assim, podemos calcular imagens para qualquer elemento do domínio, sendo ele um
número racional ou irracional.
O gráfico da função é apresentado na Figura 1. Note que à medida que
aumentamos o valor de , as imagens correspondentes serão cada vez maiores. Isso
indica que essa função é crescente.
a f(x) = ax a > 0 a ≠ 1 x
f : R → R
     x ↦ ax,  a > 0 e a ≠ 1
a > 0
x ∈ R x = 1
2 a
1
2 = √a
a a
f(x) = 1x x
f : R → R f(x) = 5x
f
f(5) = 51 = 5;    f(−3) = 5−3 = 1
53 = 1
125 ;     f(1,5) = 51,5 ≈ 11,18
f(x) = 5x
x
Figura 1 | Gráfico de .
Em suma, para o gráfico da função exponencial temos dois casos: a base estando
entre e a base . Dessa forma, contemplamos todos os valores
possíveis para a base . Quando , como é o caso de , ilustrada na
Figura 2(a), note que à medida que o valor de aumenta a sua imagem também
aumenta, o que caracteriza a função como crescente. Nesse caso, dizemos que a
função tem um crescimento exponencial. Por outro lado, no caso , como em 
, presente na Figura 2(b), perceba que quanto maior o valor de menor
será a sua imagem , o que caracteriza essa função como decrescente, então
podemos afirmar que essa função possui decrescimento exponencial.
Figura 2 | Gráfico para a função exponencial.
Vejamos outras propriedades da função exponencial :
O domínio é o conjunto , enquanto o conjunto imagem é dado por 
, basta observar que o gráfico se localiza sempre acima do eixo
das abscissas.
A interseção com o eixo ocorre no ponto , isto é, quando , porém não
há interseções com o eixo .
f(x) = 5x
a
0 1
a a > 1 f(x) = 2x
x f(x)
0 0 a ≠ 1 am = an m = n
2x = 16 16 24
2x = 24 x = 4
e
e
f(x) = ex e > 1 y y = 1
x
f(x) = exp(x)
e
a f : R*
+ → R
f(x) = loga x a > 0 a ≠ 1
R*
+
f : R*
+ → R f(x) = log2 x
f(2) = 1 log2  2 = 1 f(4) = 2
log2  4 = 2 f(128) = 7 log2  128 = 7 27 = 128
x y
loga  1 = 0 f(x) = loga x
x (1,0)
Para analisar os detalhes do gráfico da função logarítmica, principalmente em relação
ao crescimento e decrescimento, sendo , como e ,
podemos fazer um estudo em duas categorias: e . Para o primeiro
caso, em , a função será decrescente, assumindo, portanto, um
decrescimento logarítmico, conforme Figura 4(a). Por outro lado, quando , como
em , a função é crescente e, assim, seu comportamento é de
crescimento logarítmico, exibido na Figura 4(b).
Figura 4 | Gráfico para a função logarítmica.
As funções e , da Figura 4, intersectam o eixo no ponto de coordenadas e
tem seus gráficos definidos apenas para valores positivos de . Essas características
podem ser observadas para qualquer função logarítmica na forma ,
desde que , , e com pela definição do domínio.
Assim como definimos logaritmo decimal (base 10) e natural (base ), também
podemos definir as funções correspondentes. Na Figura 5, você poderá observar os
gráficos das duas funções, sendo a função construída a partir da base
10 e a função , construída a partir da base .
f(x) = loga  (x) a > 0 a ≠ 1
0 1
f(x) = log 1
3
 x
a > 1
g(x) = log3  x
(a) f(x) = log 1
3
 x (b) 
 
 
g(x) = log3  x
f g x (1,0)
x
f(x) = loga x
a > 0 a ≠ 1 x > 0 
e
f(x) = log  x
g(x) = ln  x e
(a) f(x) = log  x (b) g(x) = ln  x
Figura 5 | Gráficos das funções logarítmicas decimal e natural.
Considerando a Figura 5, observe que tanto quanto são
funções crescentes, visto que suas bases são números maiores do que 1.
Em alguns problemas, precisaremos empregar a seguinte propriedade das funções
logarítmicas: se e , então implica . Essa
propriedade pode nos auxiliar, inclusive, na resolução de equações exponenciais.
No tópico a seguir, vamos comparar as funções exponencial e logarítmica, observando
as relações que podemos estabelecer entre elas.
Relações entre função exponencial e logarítmica
As funções exponencial e logarítmica de mesma base podem ser associadas entre si,
assim como percebido entre potências e logaritmos. Para isso, vamos analisar o caso
das funções e , cujos gráficos são indicados na Figura 6.
Figura 6 | Gráficos das funções exponencial e logarítmica .
No gráfico da Figura 6 também foi traçada uma reta, tracejada, que representa a
função . Observe que os gráficos das funções e são simétricos em
relação a essa reta. Esse fato é observado em outras comparações, mas desde que as
duas funções – exponencial e logarítmica – sejam construídas a partir da mesma base 
, com e . Dessa forma, pelas características dessas funções, podemos
afirmar que elas são inversas uma da outra.
Analisando ainda a Figura 6, além da simetria, podemos identificar que a função 
 possui interseção com o eixo , enquanto tem interseção com o eixo , além de que
ambas as funções são crescentes, porque a base é igual a 2, isto é, um número maior
do que 1.
Os comparativos também poderiam ser feitos entre outros pares de funções, como 
 e , por exemplo, mas desde que as bases sejam
iguais. Nesse caso, a única diferença dentre as observações é que ambas as funções
são decrescentes, porque a base é um número entre 0 e 1.
f(x) =log  x g(x) = ln  x
a > 0 a ≠ 1 loga x = loga y x = y
f(x) = 2x g(x) = log2 x,
f g
p(x) = x f g
a a > 0 a ≠ 1
f
y g x
m(x) = ( 1
3 )
x
n(x) = log1/3   (x)
Pelas relações estabelecidas entre as funções exponenciais e logarítmicas, e de posse
de suas propriedades, podemos empregá-las nos mais variados estudos, considerando
sua aplicabilidade em contextos de diferentes áreas do conhecimento.
Vamos Exercitar?
Para solucionar o problema do medicamento, recordemos que o tempo de meia-vida da
substância é de seis horas. Além disso, sua concentração inicial é de 1 g. Observe, na
Tabela 1, uma análise da evolução da quantidade dessa substância no corpo do
paciente após períodos de seis horas, ou seja, após períodos de meia-vida.
Tabela 1 | Evolução da quantidade de medicamento no corpo do paciente.
Podemos expressar a quantidade de substância em função da quantidade de
períodos de meia-vida a partir da função exponencial:
A função tem base , logo corresponde a uma função decrescente.
Queremos determinar para o qual , isto é,
Outra possibilidade de resolução da equação seria considerar a
propriedade de logaritmos, a qual implica e, assim, obter a
expressão .
Assim, após cinco períodos de meia-vida a quantidade dessa substância será 0,03125
g. Como cinco períodos de seis horas correspondem a 30 horas, então, após um dia e
seis horas, a quantidade de medicamento no organismo do paciente será de 0,03125
g. 
Saiba Mais
Para complementar o estudo das funções exponenciais, consulte o livro Fundamentos
de matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C.
Murolo. Na seção 5.1, “Função exponencial”, localizada entre as páginas 108 e 111,
bem como na seção 5.4, “Função exponencial com base e”, entre as páginas 120 e
x x
x 0 1 2 3
Quantidade da
substância (q)
1 1
2
( 1
2 )
2 = 1
4
( 1
4 )
2 = 1
8
(q)
(x) 
q(x) = ( 1
2 )x
q 0o eixo 
 (vertical), enquanto o cosseno é dado pela distância entre e a projeção do ponto 
 sobre o eixo (horizontal), isto é, os valores de seno são avaliados sobre o eixo e os
de cosseno sobre o eixo , de modo que em ambos os casos os valores variam de -1 a
1, limitados pela circunferência cujo raio tem medida uma unidade. A tangente é
avaliada em uma reta tangente à circunferência, que contém o ponto e é
perpendicular ao eixo . Assim, para o ângulo destacado na Figura 1(a), a tangente
consiste na distância do ponto até o ponto de interseção entre a reta tangente e a
reta que contém os pontos e .
No estudo do ciclo trigonométrico, podemos destacar alguns ângulos conhecidos como
notáveis: , e radianos. Além deles, podemos definir os ângulos correspondentes
a , , , e radianos. Podemos ainda identificar os simétricos a eles em relação
aos eixos e , conforme ângulos destacados na Figura 1(b), o que permite comparar
os valores de seno, cosseno e tangente dos simétricos por meio da identificação dos
sinais associados a cada quadrante. Observe, na Tabela 1, os valores de seno,
cosseno e tangente para os ângulos citados.
Tabela 1 | Valores das razões trigonométricas para ângulos notáveis. Fonte: Gomes
(2018, p. 466).
x
A(1,0)
ÂOB
O B y
O B
x y
x
A(1,0)
x
A
O B
π
6
π
4
π
3
0 π
2 π 3π
2 2π
x y
Ângu
los
0°
ou
0
ra
d
30
°
ou
 ra
d
π
6
45
°
ou
 ra
d
π
4
60
°
ou
 ra
d
π
3
90
°
ou
 ra
d
π
2
18
0°
ou
 ra
d
π
270
°
ou
 ra
d
3π
2
36
0°
ou
 ra
d
2π
Seno 0 1
2
√2
2
√3
2
1 0 −1 0
Coss
eno
1 √3
2
√2
2
1
2 0 −1 0 1
Tang
ente
1 √3
3
1 √3 ∃ ̸ 0 ∃ ̸ 0
Os valores e não estão definidos ( ), porque sendo 
 e, nos ângulos citados, o cosseno é nulo, não podemos efetuar a
divisão por zero para cálculo da tangente.
Com base nas razões apresentadas, e na estrutura do ciclo trigonométrico, podemos
construir as funções seno, cosseno e tangente, apresentadas a seguir.
Siga em Frente...
Funções trigonométricas
A função , chamada de função seno, é dada por . Seu
gráfico é descrito por uma curva do tipo senoide e é dada conforme a Figura 2(a). A
função seno é periódica de período . Basta observar que o comportamento de seu
gráfico se repete a cada intervalo de comprimento . Além disso, a função tem sua
imagem limitada e descrita pelo intervalo . Isso se deve ao fato de que
os valores de seno no ciclo trigonométrico variam de -1 a 1. O gráfico pode ser
analisado com base nos dados da Tabela 1.
(a) Função seno.
(b) Função cosseno.
Figura 2 | Gráficos das funções trigonométricas.
Por outro lado, a função cosseno é dada por em que ,
cujo gráfico é dado na Figura 2(b). Essa função é também periódica de período ,
apresentando também limitação em sua imagem com . Observe a
associação entre o gráfico e os dados da Tabela 1.
As funções seno e cosseno são usualmente aplicadas no estudo de problemas que
envolvem periodicidade. No entanto, em muitos casos, precisamos fazer modificações
no gráfico original para atender às propriedades do problema em estudo. Vejamos, a
seguir, de que forma essas modificações influenciam nas características dessas
funções, tomando como referência a função seno, mas sabendo que é possível fazer
um estudo semelhante a partir da função cosseno.
 tg(90°) tg(270°) ∃ ̸
tg(α) = sen (α)
cos  (α)
f : R → R f(x) = sen(x)
2π
2π
Im(f) = [−1,1]
g : R → R g(x) = cos  (x)
2π
Im(g) = [−1,1]
Seja a função original e a função adaptada 
, sendo domínio e contradomínio reais para ambas.
Analisemos o papel de cada um dos parâmetros e as interferências no
gráfico da função quando comparado à função original .
O parâmetro é responsável pelo deslocamento vertical do gráfico da função,
de modo que a movimentação é feita para cima quando e para baixo se 
. Observe o exemplo da Figura 3(a), em que o gráfico azul ilustra 
 e o verde, .
O parâmetro corresponde à alteração na amplitude do gráfico, podendo
“encolher” o gráfico, se ou “esticar” o gráfico se . Ainda, se ,
ocorre uma reflexão do gráfico em relação ao eixo . Observe a Figura 3(b), em
que o gráfico azul ilustra ; o verde representa 
 e o roxo, .
O parâmetro está associado ao período da função. Para , o
período é dado por . Veja na Figura 3(c) o exemplo da função 
, indicado em azul, e o da função , descrito em
verde.
O parâmetro corresponde ao deslocamento horizontal da função. A curva é
deslocada em unidades para a esquerda quando a razão foi positiva, e em 
 unidades para a direita quando a razão for negativa. Observe a Figura 3(d), na
f(x) = sen(x)
g(x) = a+ b ⋅ sen(c ⋅ x+ d)
a, b, c, d ∈ R
g f
a
a > 0
a 1  |a|⇒     x
12 = 2 + 2n    ⇒    x = 24 + 24n
x n = 0
n = 24
P sen  ( π⋅x
12 − π
2 ) = 1
P(x) = 1000 − 700 ⋅ 1 = 1000 − 700 = 300
π⋅x
12 − π
2 = π
2 + 2π ⋅ k    ⇒     x
12 − 1
2 = 1
2 + 2k       ⇒     x
12 = 1 + 2k    ⇒    x = 12 + 24k
x k = 0
Figura 5 | Gráfico para a função .
Com isso, concluímos a resolução desse problema, identificando que a quantidade
máxima de pacientes é 1700 e a mínima 300, sendo a variação no número de
pacientes dada por . 
Saiba Mais
O livro Pré-cálculo, de Francisco M. Gomes, é uma sugestão interessante para o
estudo dos gráficos de seno e cosseno, bem como dos gráficos das demais funções
trigonométricas, apresentando, de forma aprofundada, suas características, em
conjunto com exemplos. Para isso, estude as seções 6.4 “Gráficos do seno e do
cosseno” e 6.5 “Gráficos das demais funções trigonométricas”, entre as páginas 478 e
494.
Outra referência para o estudo das funções trigonométricas é o livro Fundamentos de
matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C.
Murolo. Nas seções 8.5 “Função seno”, 8.6 “Função cosseno” e 8.7 “Outras funções
trigonométricas”, no trecho entre as páginas 189 e 199, você terá acesso a um
panorama geral sobre as funções trigonométricas, acompanhado de exemplos.
Uma terceira sugestão é a obra Matemática com aplicações tecnológicas: matemática
básica, de Yamashiro Senzen e Suzana A. de O. Souza. A partir da seção 10.7 “Ciclo
trigonométrico ou circunferência trigonométrica” até o tópico 10.10.3 “Domínio, conjunto
imagem e período”, entre as páginas 185 e 193, você poderá conferir algumas
discussões acerca do ciclo trigonométrico e das características das funções
trigonométricas.
Referências Bibliográficas
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo com manual de soluções para
o estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
P(x) = 1000 − 700 ⋅ sen  ( π⋅x
12 − π
2 )
1700 − 300 = 1400
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126705/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126705/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207801/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207801/
BONETTO, Giácomo A.; MUROLO, Afrânio C. Fundamentos de matemática para
engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. E-book. ISBN
9788522126705. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126705/. Acesso em: 18 mar.
2024.
GOMES, Francisco M. Pré-cálculo: Operações, equações, funções e trigonometria.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. E-book. ISBN 9788522127900. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 18
mar. 2024.
SEIZEN, Yamashiro; SOUZA, Suzana Abreu de Oliveira. Matemática com aplicações
tecnológicas: matemática básica. Volume 1. São Paulo: Editora Blucher, 2014. E-book.
ISBN 9788521207801. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521207801/. Acesso em: 18 mar.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: volume I. Tradução da 9ª edição
norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021.
Encerramento da Unidade
FUNÇÕES
Videoaula de Encerramento
Olá, estudante!
Nesta videoaula você irá retomar os conceitos envolvendo as funções, observando a
definição formal e suas representações, além de aprofundar os estudos de funções
afim, quadráticas, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois o conceito de função,
em conjunto com suas categoriais específicas, é um conhecimento indispensável para
a modelagem matemática e resolução de problemas reais.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788522126705/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788521207801/
Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender o conceito de
função e solucionar problemas por meio dos diferentes tipos de funções e suas
propriedades operatórias, você deverá, primeiramente, conhecer o conceito de função,
que é a base para o estudo de qualquer categoria de função. É importante destacar
que precisamos de três elementos para a definição de uma função: domínio,
contradomínio e lei de formação.
Ainda é importante que você reconheça as características dos principais tipos de
funções, com o intuito de diferenciá-las e identificar em quais contextos cada uma delas
pode estar presente.
A respeito das funções polinomiais, você deve compreender as características da
função afim, cuja lei de formação assume o formato com e 
 números reais, e da função quadrática, com lei de formação 
 sendo , e números reais com diferente de zero. Para ambas as funções
podemos estudar imagem, zeros; no entanto, enquanto a função afim tem uma
característica linear, a função quadrática é descrita por uma parábola, podendo admitir
um valor máximo ou mínimo.
Outras categorias importantes são as funções exponenciais e logarítmicas, as quais
estão relacionadas, respectivamente, às potências e aos logaritmos. Essas funções
estão relacionadas entre si com base no conceito de função inversa. As funções
exponenciais são relacionadas a fenômenos com crescimento ou decrescimentos
rápidos, em comparação com as funções afim, enquanto na função logarítmica
percebemos certa estabilidade a partir de determinado ponto.
Por fim, a última categoria de funções, as trigonométricas, construídas com base nas
razões trigonométricas, devem ser analisadas tendo em vista características como
f(x) = ax+ b a b
f(x) = ax2 + bx+ c
a b c a
conjunto imagem, periodicidade, entre outras, com enfoque nas funções seno, cosseno
e tangente.
Assim, para desenvolver a competência, é importante que você estude os conceitos
associados a cada categoria de função, refletindo sobre eles e reconhecendo os tipos
de problemas que podem ser estudados com base nessas funções. 
É Hora de Praticar!
Caro estudante, considerando a relevância das funções no entendimento de uma
variedade de problemas do mundo real, torna-se crucial avaliar diversos fenômenos
para determinar a categoria de função mais apropriada para sua representação. Nesse
contexto, é necessário analisar as situações apresentadas a seguir:
a. A variação das marés em uma praia ao longo do dia ocorre periodicamente, de
modo que a maré alta seja de dois metros, sendo observada às 4h e às 10h,
enquanto a maré baixa é de um metro e ocorre às 13h e às 19h. Queremos
determinar os instantes nos quais a maré atinge 1,5 metro.
b. Ao longo de um jogo de futebol, o goleiro dispara uma bola em direção a um
companheiro de equipe posicionado do outro lado do campo, resultando em um
trajeto em forma de parábola. Qual foi a altura máxima alcançada por essa bola
durante esse percurso?
c. Em um experimento envolvendo uma colônia de bactérias, a população de
bactérias duplica a cada hora. A partir de uma quantidade inicial de indivíduos, em
que momento a população bacteriana será quatro vezes maior do que a
quantidade inicial?
d. Uma torneira foi aberta para drenar um reservatório, e a taxa de fluxo de água
através dela é constante. Qual é o período necessário para esvaziar
completamente o reservatório, considerando que a água está sendo retirada
exclusivamente por essa torneira?
Para cada caso, realize uma análise sobre o tipo de função mais apropriado para sua
representação, destacando as características das funções que permitem essa
correspondência, e explique como as propriedades da função selecionada auxiliam na
investigação do fenômeno em questão.
Reflita
Quais são as características das funções afim e funções quadráticas?
Quais são as semelhanças e diferenças entre as funções exponenciais e
logarítmicas?
Quais são as principais propriedades das funções trigonométricas? 
Resolução do estudo de caso
Vamos analisar cada situação apresentada, demodo a reconhecer qual a categoria de
função mais adequada para a descrição de cada problema.
A respeito da situação (a), a variação das marés em uma praia, sendo um fenômeno
periódico, a função mais adequada é a trigonométrica, principalmente as do tipo seno e
cosseno. Assim, para esse tipo de fenômeno, podem ser construídas funções no
formato ou , ajustando os
parâmetros , , e de acordo com as propriedades do fenômeno.
No contexto (b), a respeito da partida de futebol, como o trajeto seguido pela bola tem
perfil parabólico, a função mais adequada é a quadrática, cujo gráfico tem o formato de
uma parábola. Nesse caso, podemos construir uma função que representa a
altura da bola em função do tempo ou da distância em relação ao ponto inicial do
lançamento da bola. O valor máximo pode ser associado ao vértice da função,
admitindo que a função do modelo deve ter seu coeficiente , isto é, com
concavidade voltada para baixo, para que descreva corretamente o movimento em
questão.
Para o contexto da população de bactérias do item (c), como se trata de um fenômeno
em que a quantidade dobra ou se multiplica, a função mais adequada é a exponencial,
visto que problemas populacionais, em geral, têm crescimento exponencial. Desse
modo, uma função na forma pode ser ajustada para a representação e
solução do problema em questão.
Por fim, a respeito da situação presente no item (d), como a vazão é constante,
podemos construir uma função afim que associa o volume de água retirado do
reservatório em função do tempo. Assim, é um fenômeno com característica linear e,
por isso, pode ser associado a uma função polinomial de 1º grau, o que conclui a
resolução do problema proposto.
Dê o play!
f(x) = a+ b sen  (cx+ d) f(x) = a+ b cos  (cx+ d)
a b c d
f(x)
a