LIVRO_CÁLCULO_DIFERENCIAL_INTEGRAL

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Cálculo Diferencial 
e Integral
Alessandra Negrini Dalla Barba
© 2020 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Barba, Alessandra Negrini Dalla.
B228c Cálculo diferencial e integral / Alessandra Negrini Dalla Barba. – 
 Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2020.
 218 p.
 
 ISBN versão digital 978-65-5903-021-7
 
 1. Limites e continuidade. 2. Derivadas. 3. Aplicações das 
 derivadas. I. Título.
CDD 620
Raquel Torres CRB-6/2786
Sumário
Unidade 1
Funções ........................................................................................................... 7
Seção 1
 Introdução às funções e funções polinomiais ................................ 9
Seção 2
Tipos especiais de funções e propriedades ....................................27
Seção 3
Funções trigonométricas .................................................................45
Unidade 2
Limites ..........................................................................................................66
Seção 1
Introdução ao estudo dos limites ...................................................68
Seção 2
Limites infinitos e no infinito ..........................................................85
Seção 3
Continuidade de funções ..............................................................102
Unidade 3
Derivadas e regras de derivação .............................................................122
Seção 1
Introdução às derivadas ................................................................124
Seção 2
Outras regras de derivação ...........................................................139
Seção 3
Regra da cadeia e derivação implícita .........................................154
Unidade 4
Aplicações das derivadas .........................................................................170
Seção 1
Taxas relacionadas e pontos críticos ...........................................172
Seção 2
Máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão ..........187
Seção 3
Regra de L’Hospital e otimização.................................................203
Palavras do autor
Prezado aluno, quando buscamos relacionar variáveis entre si, podemos empregar o conceito de função, desde que determinadas condições sejam verificadas. Porém, para resolver um problema que pode ser 
modelado por uma função, não basta conhecer a definição correspondente, 
é necessário investigar o comportamento da função, se temos a presença de 
valores máximos ou mínimos, entre outras características, as quais podem 
ser avaliadas a partir, por exemplo, do emprego dos conceitos de limite e 
de derivada.
Assim, em Cálculo Diferencial e Integral visamos investigar o compor-
tamento de funções desde a sua definição, englobando domínio, imagem, 
lei de formação, considerando também as representações gráficas correspon-
dentes, as propriedades verificadas em relação a crescimento, decrescimento, 
concavidade, entre outras. Você descobrirá ferramentas indispensáveis para 
o estudo de situações-problema provenientes de diferentes contextos, e que 
podem ser modeladas por funções, como é o caso de problemas relativos a 
receitas e lucros acumulados por empresas, organização do tráfego em vias 
de uma cidade, comportamento de espécies ao longo do tempo em determi-
nada região, decaimento radioativo de substâncias no decorrer do tempo, 
entre outros exemplos. 
Sendo assim, neste livro, iniciaremos nossos estudos na Unidade 1, inves-
tigando os conceitos básicos envolvendo funções bem como suas proprie-
dades. Vamos identificar as principais definições associadas, as diferentes 
representações que podem ser adotadas para as funções, com enfoque nas 
representações algébricas e gráficas correspondentes, a composição de 
funções, o conceito de função inversa, além de avaliar categorias importantes 
de funções.
Na Unidade 2 o foco de estudos são os limites de funções, possibili-
tando identificar o comportamento em torno de pontos específicos, ou ainda 
quando avaliamos regiões do domínio tendendo ao infinito, permitindo 
também estudar a continuidade das funções reais.
O estudo das derivadas tem início na Unidade 3, a partir de uma 
associação com o problema das retas tangentes, taxas de variação, sendo 
seguido do estudo e aplicação das regras de derivação na resolução de 
problemas matemáticos ou provenientes de outros contextos.
Por fim, na Unidade 4, o objetivo é estudar algumas aplicações das 
derivadas, dentre as quais podemos destacar as taxas relacionadas, os testes 
para estudo de máximos e mínimos de funções, pontos de inflexão, concavi-
dade, problemas de otimização e a regra de L’Hospital.
Nesse sentido, para cumprir os desafios propostos em cada unidade, é 
importante que você se dedique aos estudos, considerando a complexi-
dade dos conceitos abordados na disciplina e as relações de dependência 
existentes entre eles. Então, procure desenvolver uma rotina de estudos que 
envolva desde os conceitos teóricos até à resolução de exercícios e problemas, 
procurando refletir sobre a importância de cada conceito para a resolução de 
problemas e, principalmente, para o contexto profissional relacionado à sua 
área de formação.
Bons estudos!
Unidade 1
Alessandra Negrini Dalla Barba
Funções
Convite ao estudo
Caro aluno, no Cálculo Diferencial e Integral temos por objetivo estudar 
o comportamento de funções e suas aplicações por meio do emprego da 
definição de função, suas propriedades, bem como o estudo de limites e 
derivadas associadas. Assim, é essencial aprofundarmos os estudos em 
relação aos conceitos fundamentais associados às funções.
As funções podem ser construídas a partir de relações entre variáveis, 
desde que satisfaçam a certos critérios. Diante dessa possibilidade, o conceito 
de função pode ser empregado quando desejamos, por exemplo, analisar a 
relação existente entre as variações do preço de um produto em função de 
certas variáveis, como a inflação, por exemplo, ou quando relacionamos uma 
área de plantio com a produção e lucro que podem ser gerados a partir dela, 
entre outras situações. Vamos direcionar nossos estudos para as funções de 
uma variável, isto é, aquelas funções nas quais relacionamos apenas duas 
variáveis entre si, uma independente e a outra dependente. Dessa forma, 
podemos descrever fenômenos como a variação da distância percorrida em 
função da velocidade adotada pelo veículo, o tempo necessário para escoarcerta quantidade de água a partir de um encanamento, entre outras situações.
Como temos a possibilidade de descrever diferentes fenômenos a partir 
das funções, além de conhecer as definições e propriedades associadas, é 
importante conhecermos as diferentes categorias de funções, observando os 
comportamentos que podem ser modelados a partir delas.
Nesse sentido, ao longo desta unidade estudaremos os conceitos básicos 
associados às funções, bem como os principais tipos de funções que podem 
ser estudadas, dentre as quais podemos destacar as funções polinomiais, 
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, visando ao desenvolvimento 
de competências e habilidades que permitam compreender as funções e sua 
aplicação em diferentes contextos.
Dessa forma, iniciaremos nossos estudos, na primeira seção, observando como 
podemos definir uma função, considerando a importância de avaliarmos domínio, 
contradomínio, imagem e lei de formação associados, bem como identificarmos 
as estratégias empregadas na representação de funções, com destaque para 
as representações algébricas e gráficas. Além disso, estudaremos as propriedades 
das funções polinomiais, analisando as especificidades das funções afim e 
quadráticas. Em seguida, estudaremos as funções exponenciais e logarítmicas, 
na segunda seção, observando os comportamentos de cada função e relacionan-
do-as entre si a partir do conceito de função inversa, o qual está relacionado com a 
composição de funções. Por fim, na terceira seção nossos estudos serão direcio-
nados às funções trigonométricas e suas propriedades, analisando com mais 
detalhes as funções seno, cosseno e tangente, relacionando-as com o ciclo 
trigonométrico e com as unidades de medidas adotadas para ângulos.
Assim, vamos iniciar os estudos a respeito das funções, observando suas 
principais propriedades e refletindo a respeito de sua aplicação na resolução de 
problemas. Bons estudos! 
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Seção 1
 Introdução às funções e funções polinomiais
Diálogo aberto
Vamos iniciar os estudos a partir de um conceito fundamental para o 
Cálculo Diferencial e Integral: o de função. Ele está presente em diversas 
situações, especificamente quando podemos interpretá-las como um tipo 
especial de relação entre duas variáveis, independentemente dos contextos 
nos quais elas estão inseridas. Ao longo da seção estudaremos a definição 
de função, algumas de suas propriedades, como a caracterização de funções 
crescentes e decrescentes, pares e ímpares, além de observar as características 
específicas das funções que integram o conjunto das funções polinomiais. 
Para esse estudo, considere que você esteja atuando em um escritório 
que presta consultoria para micro e pequenas empresas, principalmente em 
relação a questões financeiras. Um grupo de empresários pretende lançar 
no mercado um novo aplicativo para transportes e, com isso, uma nova 
empresa, com a proposta de que os motoristas associados utilizem apenas 
carros alugados em vez de carros particulares, visto que essa empresa será 
lançada a partir de uma sociedade estabelecida com duas locadoras de 
veículos: L e A. O grupo de empresários pretende organizar os planos para 
associação de novos motoristas considerando as tarifas cobradas por cada 
locadora associada, conforme as seguintes descrições:
• A tarifa semanal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela 
locadora L corresponde a um valor fixo de R$ 320,00 acrescido de R$ 
0,30 por quilômetro rodado.
• A tarifa semanal cobrada para o aluguel de um automóvel padrão pela 
locadora A corresponde a um valor fixo de R$ 140,00 acrescido de R$ 
0,45 por quilômetro rodado.
Como você organizaria os dois planos para a associação de novos 
motoristas? Que condições poderiam ser estabelecidas para a escolha 
do melhor plano de acordo com o perfil de cada motorista, em relação a 
distância média a ser percorrida por ele semanalmente?
Além disso, esse grupo de empresários deseja orientações em relação 
a como gerenciar a empresa visando maximizar o lucro semanal, avaliado 
a partir de informações disponíveis a respeito do número de motoristas 
associados, considerando que todos percorram ao menos 500 quilômetros 
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por semana e considerando que a empresa está iniciando suas atividades. 
Nesse estudo, você deve partir das seguintes informações:
• O custo total para a manutenção da empresa é dado como o produto 
entre o número de motoristas associados ( )x e a expressão 
46 25 5300, x+ , considerando os investimentos necessários para 
manter a sociedade com as duas locadoras.
• A receita total pode ser calculada pela expressão 7612 5 10406 25, ,x- , 
considerando os investimentos que também são realizados pelas 
locadoras na manutenção dos veículos.
Que orientações você daria a esse grupo de empresários em relação à 
maximização do lucro semanal, sob as condições apresentadas por eles?
Assim, para a resolução da situação apresentada, prossiga em seus 
estudos, conferindo a definição e algumas propriedades das funções, bem 
como as características das funções polinomiais, mais especificamente das 
funções afim e quadráticas, para posteriormente empregá-las na interpre-
tação e resolução do desafio proposto.
Não poode faltar
Em diferentes contextos podemos identificar situações nas quais preci-
samos relacionar variáveis entre si, como quando comparamos as quanti-
dades de combustível consumidas por um automóvel com as distâncias 
percorridas. Para contribuir com a descrição de fenômenos nos quais preci-
samos relacionar duas variáveis entre si, podemos empregar o conceito de 
função, desde que essa relação apresente algumas características específicas. 
Vejamos na sequência como podemos definir uma função e quais são as 
possíveis representações associadas.
Introdução ao estudo das funções
Por definição, uma função f corresponde a uma regra que associa cada 
elemento x, pertencente a um conjunto D, a um único elemento f(x), perten-
cente a um conjunto E. Nesse caso, podemos empregar a representação 
f D E: ® . Para que seja definida uma função, note que cada elemento do 
conjunto D deve estar relacionado somente a um elemento de E. Uma 
representação possível para uma função é o diagrama de flechas, conforme 
Figura 1.1.
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Sublinhado Rabiscado
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Sublinhado Rabiscado
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Figura 1.1 | Diagrama de flechas para uma função f
x
D
a
( )f x
( )f a
E
Fonte: elaborada pela autora.
No diagrama de flechas, como o da Figura 1.1, podemos apresentar os 
dois conjuntos, D e E, empregados na construção da função, sendo as relações 
existentes entre seus elementos evidenciadas por meio de flechas. 
No estudo de uma função f D E: ® , o conjunto D é chamado de domínio 
de função, no qual são indicados os possíveis valores assumidos pela variável 
independente, a qual pode ser representada por x. O conjunto E, por sua vez, 
consiste no contradomínio da função, no qual é estudada a variável depen-
dente. Além disso, os possíveis valores de f x( ) , obtidos ao variar x por todo 
o domínio, pertencem a um subconjunto de E chamado de imagem de f.
Atenção
Usualmente, os conjuntos empregados na representação de domínios e 
contradomínios é o conjunto dos números reais ( ) , no entanto, 
podemos utilizar subconjuntos de  conforme o tipo de problema em 
estudo.
As funções, conforme a definição apresentada, podem ser chamadas 
também de funções de uma variável, visto que temos a presença de uma 
única variável independente. 
Além do diagrama de flechas, podemos representar as funções a partir de 
gráficos, os quais permitem analisar o comportamentoda função e como se 
relacionam as variáveis entre si.
O gráfico de uma função f D E: ® corresponde a um conjunto de pares 
ordenados x y,( ) em que y f x= ( ) , com x pertencente ao domínio D da 
função. Esse conjunto pode ser descrito como G x f x x D= ( ) ∈{ }, ( ) . Desse 
modo, partindo do plano cartesiano, a construção de um gráfico envolve a 
identificação dos pares ordenados envolvendo os valores do domínio com 
suas imagens correspondentes. Na Figura 1.2 podemos observar um exemplo 
de gráfico, associado a uma função f, o qual destaca o domínio e a 
imagem correspondentes.
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Figura 1.2 | Gráfico da função f D E: ®
Imagem
Domínio
0
 x
y = f(x)
Fonte: elaborada pela autora.
Nas representações gráficas, como é o caso da Figura 1.2, os pares 
ordenados sempre são identificados de modo que os elementos do domínio 
sejam representados a partir do eixo das abscissas (horizontal), denominado 
eixo x, e a imagem seja descrita a partir do eixo das ordenadas (vertical), 
descrito como eixo y.
Também temos a possibilidade de estudar funções definidas a partir de 
uma tabela de valores, ou ainda a partir de uma expressão matemática que 
a caracteriza, a qual corresponde ao principal tipo de representação adotado 
no Cálculo Diferencial e Integral.
Exemplificando
Um exemplo de função representada algebricamente consiste em:
f : ®
x f x x ( )= +1
Para cada x Î (domínio), sua imagem é tal que f x x( )= +1 . A 
expressão f x x( )= +1 consiste na regra ou lei de formação da função, 
a qual deve ser apresentada em conjunto com domínio e contradomínio 
adequados.
A representação gráfica para essa função é apresentada na Figura 1.3.
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Figura 1.3 | Representação gráfica para f, com f x x( )= +1
Fonte: elaborada pela autora.
Além disso, podemos construir uma tabela de valores associados a f, 
conforme a Tabela 1.1, de modo a estudar a função em certos valores 
de seu domínio.
Tabela 1.1 | Tabela de valores correspondente à função f, com f x x( )= +1
x f x( )
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
Fonte: elaborada pela autora.
Além das diferentes representações, podemos analisar as propriedades 
que são apresentadas por uma função, principalmente em relação ao seu 
comportamento. Vejamos a seguir algumas das propriedades que podem ser 
apresentadas por uma função.
Propriedades das funções
Seja uma função f D E: ® e considere I DÌ um subintervalo de seu 
domínio. Dizemos que a função f é crescente no intervalo I quando, dados 
x x I1 2, Î , se x x1 2< então f x f x1 2( )< ( ) , conforme exemplo apresentado na 
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Figura 1.4(a). Por outro lado, a função f é classificada como decrescente no 
intervalo I quando, dados x x I1 2, Î , se x x1 2< então f x f x1 2( )> ( ) , cujo 
exemplo é destacado na Figura 1.4(b).
Figura 1.4 | Comportamento de uma função em relação a crescimento e decrescimento
y y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1 x2 x1 x2x
x
(a) Função crescente (b) Função decrescente
Fonte: elaborada pela autora
Também podemos estudar o comportamento de uma função em relação 
à simetria, possibilitando a classificação como pares ou ímpares de acordo 
com as propriedades que apresentam. 
Uma função f é classificada como par quando é válida a igualdade 
f x f x( ) ( )− = para todo x em seu domínio. Uma função f é ímpar no caso em 
que f x f x( ) ( )− =− para todo x em seu domínio.
Assimile
Quando uma função é classificada como par, seu gráfico é simétrico em 
relação ao eixo y, conforme exemplo ilustrado na Figura 1.5(a). Por 
outro lado, se uma função f é ímpar, então seu gráfico é simétrico em 
relação à origem, isto é, se rotacionarmos a parte do gráfico correspon-
dente a x ³0 180° em torno da origem, podemos obter a parte corres-
pondente a x £0 , sendo um exemplo apresentado na Figura 1.5(b).
Figura 1.5 | Comportamento gráfico de funções pares e ímpares
y y
x x
(a) Função par (b) Função ímpar
Fonte: elaborada pela autora. 
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As classificações em relação a funções crescentes ou decrescentes, ou 
em relação a funções pares e ímpares, podem ser empregadas no estudo de 
funções com diferentes características.
Reflita
Toda função f : ® não crescente será, necessariamente, decres-
cente em seu domínio? Toda função f : ® que não seja par será, 
por consequência, ímpar? De que forma os gráficos poderiam ser utili-
zados para ilustrar as respostas para essas questões?
Além dessas propriedades, de acordo com a lei de formação de uma 
função podemos construir categorias específicas de funções, dentre as quais 
podemos destacar as polinomiais, exponenciais, logarítmicas, entre outras. 
Vejamos a seguir as características das funções polinomiais.
Funções polinomiais
Uma função polinomial consiste em uma função f : ® cuja lei de 
formação é dada por:
f x a x a x a x a x a x an
n
n
n
n
n( ) ...= + + + + + +−
−
−
−
1
1
2
2
2
2
1 0
sendo n um número inteiro não negativo e os números a a a an0 1 2, , ,..., são 
constantes denominadas coeficientes do polinômio. Desde que o coefi-
ciente dominante an seja diferente de zero, então o grau do polinômio é 
igual a n.
Exemplificando
Seja a função polinomial f : ® definida por f x x x x( )= + − +3 2 54 2 . 
Note que f corresponde a uma função polinomial de grau 4, com coefi-
ciente dominante a4 3= .
No conjunto das funções polinomiais podemos destacar duas subcate-
gorias importantes: o conjunto das funções polinomiais de grau 1, chamadas 
de funções afim, e as funções polinomiais de grau 2, denominadas funções 
quadráticas, as quais são apresentadas a seguir.
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Funções afim
Uma função f : ® cuja lei de formação é f x ax b( )= + , com a e b 
números reais, é denominada função polinomial de grau 1, função polino-
mial de 1º grau ou função afim. A constante real a é denominada coeficiente 
angular e b é chamada de coeficiente linear. O gráfico que descreve uma 
função dessa classe é representado por uma reta no plano cartesiano, o que 
permite o emprego desse tipo de função na representação de fenômenos com 
característica linear, como é o caso do valor pago por uma quantidade especí-
fica de unidades de um mesmo produto, por exemplo, considerando a 
ausência de descontos e outras variáveis.
Por exemplo, a função f : ® com f x x( )= −2 1 é afim, cujo gráfico é 
ilustrado na Figura 1.6.
Figura 1.6 | Gráfico da função real f com lei de formação f x x( )= −2 1
Fonte: elaborada pela autora.
A raiz de uma função afim f x ax b( )= + consiste em um valor x perten-
cente ao seu domínio tal que f x( )= 0 . Por exemplo, a raiz da função 
f x x( )= −2 2 é x =1 , pois f ( )1 2 2 0= − = .
No conjunto das funções afim, podemos ainda destacar o caso particular 
da função linear, a qual apresenta lei de formação f x ax( )= , com a um 
número real. O gráfico de uma função linear pode ser identificado como uma 
reta que passa pela origem, isto é, que contém o par ordenado ( , )0 0 .
O estudo do crescimento e decrescimento de funções afim pode ser reali-
zado com base no coeficiente angular associado, de modo que:
• Função afim crescente: o coeficiente angular é positivo a>( )0 .
• Função afim decrescente: o coeficiente angular é negativo a<( )0 .
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Além disso, independentemente do crescimento ou decrescimento da 
função, um valor x Î , no domínio de uma função afim, é chamado de raiz 
da função quando f x( )= 0 , o qual é caracterizado, graficamente, como a 
interseção do gráfico da função com o eixo x.
Temos ainda o caso em que o coeficiente angular a é nulo na lei de 
formação f x ax b( )= + , o que implica na existência da função constante, cuja 
lei de formação é f x b( )= , com b um número real, sendo seu gráfico descrito 
por uma reta paralela ao eixo x.
Além das funções afim, uma outra classe importante de funções polino-
miais corresponde nas funções polinomiais de grau 2 ou funções quadráticas.
Funções quadráticas
Uma função f : ® cuja lei de formação é f x ax bx c( )= + +2 , com a, 
b e c números reais e a¹0 , é denominada função polinomial de grau 2, 
função polinomial de 2º grau ou função quadrática. O gráfico que descreve 
uma função dessa classe é representado por uma parábola no plano carte-
siano. Por exemplo, a função f : ® com f x x x( )= + −2 12 é uma função 
quadrática, cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.7.
Figura 1.7 | Gráfico da função real f com lei de formação f x x x( )= + −2 12
Fonte: elaborada pela autora. 
O coeficiente a, do termo de grau 2, é responsável por indicar o compor-
tamento da parábola em relação à sua concavidade. Quando a>0 , a 
parábola que representa graficamente a função quadrática tem concavidade 
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voltada para cima, enquanto a<0 indica que a parábola terá concavidade 
voltada para baixo.
Também podemos estudar as raízes associadas a funções quadráticas 
considerando, de modo análogo às funções afim, que x Î no domínio da 
função f é uma raiz quando f x( )= 0 . Sendo assim, x é uma raiz quando for 
solução da equação de 2º grau na forma ax bx c2 0+ + = . Para estudar os tipos 
de raízes que uma função quadrática pode apresentar podemos estudar o 
discriminante ∆( ) , calculado como segue: ∆= −b ac2 4 . A partir do discri-
minante podemos inferir que a função quadrática apresentará:
• Duas raízes reais distintas quando o discriminante for positivo ∆>( )0 .
• Duas raízes reais e iguais, ou uma raiz de multiplicidade 2, quando o 
discriminante for nulo ∆=( )0 .
• Duas raízes complexas conjugadas quando o discriminante for 
negativo ∆<( )0 .
As raízes podem ser obtidas a partir do estudo da equação de 2º grau 
associada, possibilitando o emprego da fórmula resolutiva para equações do 
2º grau na forma: x b
a
=
− ± ∆
2
.
Combinando as análises em relação às raízes e concavidade, podemos 
identificar uma das seis possibilidades para o gráfico da função quadrática, 
conforme situações ilustradas na Figura 1.8.
Figura 1.8 | Estudo do sinal e das raízes de uma função quadrática
y y y
y y y
(d) 0a < e 0∆ > (e) 0a < e 0∆ = 0a < e 0∆ <
(a) 0a > 0∆ >e 0a > 0∆ =e (b) (c) 0a > e 0∆ <
Fonte: elaborada pela autora.
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Além das propriedades já estudadas, outro elemento que se faz presente 
no gráfico de uma função quadrática é o vértice, o qual consiste no ponto em 
que o gráfico altera entre os comportamentos de crescimento e decresci-
mento. O vértice corresponde a um ponto de coordenadas x yV V,( ) em que: 
x b
aV
=−
2
 e y
aV
=−
∆
4
. Note que o vértice pode corresponder a um valor 
mínimo, quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ou 
máximo, se a concavidade é voltada para baixo, dependendo da lei de 
formação e do domínio da função.
Assimile
A partir de uma função quadrática com lei de formação 
f x ax bx c( )= + +2 as principais expressões algébricas que podemos 
identificar são:
• Discriminante: ∆= −b ac2 4
• Raízes: x b
a
=
− ± ∆
2
;
• Vértice: x yV V,( ) com x
b
aV
=−
2
 e y
aV
=−
∆
4
. 
As funções quadráticas podem ser empregadas na descrição de fenômenos 
relacionados com a Física, como o movimento de lançamento de objetos sob 
determinadas condições.
O conhecimento do conceito de função e suas propriedades é essencial 
quando desejamos interpretar fenômenos por meio dos recursos matemá-
ticos, principalmente quando podemos identificar relações entre variáveis, 
sejam essas situações provenientes de contextos matemáticos ou de outras 
áreas do conhecimento.
Sem medo de errar
Na situação-problema em estudo, você deve prestar consultoria a um 
grupo de empresários para que possam iniciar sua nova empresa, baseada 
em um aplicativo para transportes em associação com empresas de locação 
de veículos. Para isso, você precisará realizar estudos em relação aos planos 
que serão oferecidos para a associação de novos motoristas, visto que a 
condição é que o motorista trabalhe com um veículo alugado a partir de uma 
das empresas associadas, além de estudar a respeito das receitas, custos e 
lucros que podem ser obtidos, apresentando orientações para os empresários 
quanto à abertura da empresa.
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20
Nesse sentido, vamos iniciar pela avaliação de planos para os motoristas 
associados. Como condição, cada motorista associado deve alugar um 
veículo em uma das empresas: locadora L ou locadora A. Se representarmos 
o número de quilômetros rodados por q e a tarifa semanal por T, podemos 
construir uma função em que T seja a variável dependente relacionada à 
variável independente q. Denotemos por TL a tarifa cobrada na locadora L e 
TA a tarifa cobrada pela locadora A. Podemos construir funções que 
descrevem as duas tarifas com domínios dados pelo conjunto 
 + = ∈ ≥{ }x x| 0 em ambos os casos, porque o número de quilômetros 
rodados é sempre um número positivo ou igual a zero, sendo o contrado-
mínio dado por  . Desse modo, podemos representar as tarifas cobradas 
em cada locadora a partir das seguintes funções afim:
TL : + →
 
q T q qL ( ) ,= +320 0 30
e
TA : + →
 q T q qA ( ) ,= +140 0 45 
Considerando as duas possibilidades de planos, referentes a cada uma das 
locadoras, podemos avaliar as condições para a indicação do melhor plano 
para cada perfil de motorista com base na quilometragem média percorrida 
por cada motorista semanalmente. Para isso, podemos construir a represen-
tação gráfica para as duas funções em um mesmo plano, conforme a Figura 
1.9.
Figura 1.9 | Comparações entre os planos para locação de veículos
y
x
TL
TA
900
800
700
1000
600
500
400
300
200
100
0 500 1500 2000
Fonte: elaborada pela autora. 
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Podemos observar na Figura 1.9 que, ao comparar os gráficos das 
funções em estudo, existe um ponto em comum a ambos os gráficos, ou 
seja, existe um valor de quilometragem q para o qual as tarifas cobradas 
pelas duas locadoras são iguais. Desse modo, comparando as leis de 
formação das funções e igualando-as podemos verificar que:
320 0 30 140 0 45 320 140 0 45 0 30+ = + ⇒ − = − ⇒, , ,,q q q q 
⇒ = ⇒ = =180 0 15 180
0 15
1200,
,
q q 
Assim, para 1200 quilômetros rodados semanalmente, as tarifas cobradas 
pelas duas locadoras são iguais. Logo, com base nessa informação e anali-
sando a Figura 1.9 pode-se afirmar que:
• O plano com locação de veículos pela locadora L é mais indicado aos 
motoristas que planejam percorrer semanalmente, em média, uma 
distância superior a 1200 quilômetros.
• O plano com locação de veículos pela locadora A é mais indicado 
para motoristas que pretendem percorrer semanalmente, em média, 
uma distância inferior a 1200 quilômetros.
Além desse estudo, você deve apresentar orientações em relação ao lucro 
obtido e número de motoristas associados, considerando que a empresa está 
em fase inicial de implantação. Nesse sentido, com base nas informações 
apresentadas e denotando por x o número de motoristas associados, temos 
que o custo total é dado por:
C x x x x x( ) , ,= +( )= +46 25 5300 46 25 53002
enquanto a receita total é dada por R x x( ) , ,= −7612 5 10406 25 . Como o lucro 
corresponde à diferença entre receita e custo, temos que o lucro pode ser 
calculado como segue:
L x R x C x x x x( ) ( ) ( ) , , ,= − = −( )− +( )=7612 5 10406 25 46 25 53002
 
 =− + −46 25 2312 5 10406 252, , ,x x
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Construindo a representação gráfica para a função lucro, temos a Figura 1.10.
Figura 1.10 | Função lucro correspondente à empresa de transportes por aplicativo
2000
1000
 0
10 20 30 40 50
y
x
Fonte: elaborada pela autora.
Devido às características da função lucro, a qual pode ser representada como
L : + →
 
,
x L x x x ( ) , , ,=− + −46 25 2312 5 10406 252
que corresponde a uma função quadrática, e tendo o coeficiente do termo 
de segundo grau negativo, então a função assume um valor máximo, corres-
pondente ao seu vértice. Determinando as coordenadas do vértice da 
função, obtemos:
xV =− ⋅ −( )
= =
2312 5
2 46 25
2312 5
92 5
25,
,
,
,
yV =−
− ⋅ −( )⋅ −( )
⋅ −( )
= =
( , ) , ,
,
2312 5 4 46 25 10406 25
4 46 25
3422500
185
2
118500 
Logo, para que a empresa atinja lucro máximo, no valor de R$ 18500,00, 
é necessário que existam 25 motoristas associados, percorrendo pelo menos 
500 quilômetros semanais em média.
Para finalizar o atendimento ao grupo de empresários, elabore uma síntese 
das informações obtidas durante os estudos, apresentando um relatório 
organizado que atenda a todos os questionamentos e exigências do cliente.
23
Avançando na prática
Gerenciando a produção de placas de alumínio
Uma empresa produz placas de alumínio de diferentes tamanhos, 
realizando cortes conforme a necessidade dos clientes. Em uma dessas 
encomendas, após realizar a produção das placas solicitadas pelo cliente, 
restaram placas no formado de triângulos retângulos isósceles cuja 
hipotenusa tem comprimento igual a 2 metros. Para reduzir os desperdí-
cios, a empresa pretende cortar, a partir das placas triangulares, placas de 
formato retangular, considerando o esboço, no plano cartesiano, apresen-
tado na Figura 1.11.
Figura 1.11 | Placas retangulares e triangulares para corte 
y
P(a,b)
x
B
A C
-1 0 a, 1
 1
Fonte: elaborada pela autora
Para auxiliar a empresa na identificação de como devem ser realizados 
os cortes, você deve identificar uma expressão matemática que relacione a 
área das placas retangulares com a constante a relativa ao comprimento da 
placa. Como você expressaria a área da placa retangular em função do valor 
a associado ao seu comprimento?
Resolução da situação-problema
As coordenadas dos vértices do triângulo, no plano cartesiano, são dadas 
por A( , )-1 0 , B( , )0 1 e C( , )1 0 . Sabemos que a área de um retângulo é dada 
pelo produto entre as medidas do comprimento e da largura da figura. 
Determinemos, inicialmente, a relação existente entre as coordenadas a e b 
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24
do ponto P para empregá-las no cálculo da área da placa retangular. Como 
temos P pertencente à reta que passa por B e C, então podemos determinar a 
lei de formação da função f x mx n( )= + cujo gráfico é a reta que passa por B 
e C. Sabendo que f ( )0 1= (ponto B) e f ( )1 0= (ponto C) então 
f x x( )=− +1 . Sendo assim, como P a b( , ) é um ponto do gráfico de f então 
b f a a= =− +( ) 1 . Como a área da região retangular corresponde ao produto 
entre 2a e b, então podemos concluir que a área da região é dada em função 
de a pela expressão A a a a a a( )= ⋅ − +( )=− +2 1 2 22 .
Com seu auxílio, o projeto pode ser concluído com êxito.
Faça valer a pena
1. A seguir é apresentado o gráfico completo de uma função f de uma 
variável real:
y
x
3
2
 1
0
 1
2
4 3 2 1 1 2 3 4 5
Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações, classifican-
do-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) O domínio de f consiste no conjunto −[ ]4 4, .
( ) A imagem da função f corresponde ao conjunto −[ ]2 2, .
( ) É válido que f ( )0 3=− .
( ) A função f é crescente no intervalo −[ ]2 2, .
( ) A função f é par no intervalo −[ ]2 2, .
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Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem 
na qual as afirmações foram apresentadas:
a. V – V – F – V – V.
b. V – F – V – F – F.
c. F – V – F – V – F.
d. V – F – F – V – V.
e. F – V – V – F – F.
2. O gráfico a seguir apresenta variações nas temperaturas registradas ao 
longo de um dia em uma cidade do Rio Grande do Sul durante o inverno:
y
x
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Nessa situação, as temperaturas foram medidas entre as 4 e as 13 horas de 
um mesmo dia.
A respeito dessas informações, analise as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas:
I. A temperatura y, em função do horário x, descrita no gráfico pode 
ser classificada como uma função crescente.
PORQUE
II. II. No intervalo de 4 a 7 horas, a função que descreve a relação entre 
temperatura e horário pode ser dada por y x x( )= −2 10 .
Com relação às asserções apresentadas, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justifica-
tiva correta para a I.
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b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta para a I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção II é uma proposição verdadeira e a I é uma proposição falsa.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
3. Uma cooperativa atua no ramo da produção de óleo de girassol para 
consumo residencial, a partir da comercialização realizada a partir de 
mercados e supermercados credenciados. 
Diariamente, essa cooperativa tem uma produtividade que varia de 2 a 
6 quilolitros (kL) de óleo, de acordo com a demanda e disponibilidade de 
matéria-prima, de modo que o custo de produção diário, dado em reais e 
descrito em função da quantidade de óleo, em quilolitros, produzidos 
diariamente, possa ser modelado pela função:
c x x x( )= − +40 400 26002
Com base nesse contexto, analise as seguintes afirmações:
I. O custo de produção, por quilolitro, em um dia no qual houve uma 
produção de 4 quilolitros de óleo é de R$ 1640,00.
II. O custo diário mínimo, por quilolitro, corresponde a R$ 1500,00, o 
qual ocorre com a produção diária de 3 quilolitros de óleo.
III. O custo diário máximo, por quilolitro, é de R$ 1600,00, correspon-
dente a uma produção de 5 quilolitros de óleo.
IV. Se a produção diária for inferior a 3 quilolitros, o custo diário de 
produção será superior a R$ 1800,00.
V. O custo diário máximo, por quilolitro, será de R$ 1960,00, indepen-
dentemente da produção diária nessa cooperativa.
Está correto o que se afirma apenas em:
a. I e III.
b.I e V.
c. II e IV.
d. III e IV.
e. I, II e V.
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Seção 2
Tipos especiais de funções e propriedades
Diálogo aberto
Nesta seção vamos direcionar nossos estudos às categorias das funções 
exponenciais e logarítmicas, bem como das funções inversas, considerando 
a importância central do conceito de função para os estudos e o desenvol-
vimento do Cálculo Diferencial e Integral. Esse assunto é de grande impor-
tância para o desenvolvimento da Matemática e uma ferramenta indispen-
sável para a resolução de problemas envolvendo diferentes áreas do conhe-
cimento, como é o caso do estudo do decaimento radioativo de substâncias 
químicas, ou mesmo as variações populacionais de espécies em ambientes 
específicos, por exemplo.
Estão relacionadas às funções exponenciais e funções logarítmicas o 
cálculo de juros compostos, o estudo das variações da pressão atmosférica, 
as curvas de aprendizagem, a escala Richter para avaliação dos impactos 
de terremotos e a lei do resfriamento de Newton, que são apenas alguns 
exemplos de emprego de tais funções. Para estudar essas funções, devemos 
empregar definições e propriedades de potências e logaritmos, estudados 
desde a Educação Básica, bem como o conceito de função e suas proprie-
dades. Outra importância no estudo dessas duas categorias de funções 
consiste na possibilidade de compará-las entre si, esclarecendo a relação de 
uma função com sua inversa, quando essa existe, evidenciando os diferentes 
estudos que podem ser realizados a partir da definição de função inversa e da 
composição de funções.
Assim, para esses estudos, suponha que um empresário solicitou atendi-
mento, no escritório de consultoria no qual você atua, para realizar um 
estudo a respeito da produtividade de sua empresa e a relação que pode ser 
estabelecida com os investimentos realizados e estimativas futuras. 
Para isso, você deve construir um modelo que descreva a produtividade 
em função dos investimentos, sabendo que essa relação pode ser modelada, 
na situação em questão, a partir de uma função do tipo exponencial dada por 
p i Ceki( )= , em que p representa a produtividade, i os investimentos, enquanto 
C e k são constantes que podem ser determinadas a partir das informações 
disponíveis: a produtividade da empresa, sem investimentos, é constante e 
igual a 20000 unidades ao mês e, além disso, ocorre um aumento de 100% na 
produtividade quando comparamos a ausência de investimentos com um 
investimento de 50 mil reais ao mês.
28
Além disso, para incrementar os estudos, você deverá analisar também o 
comportamento da função inversa, a qual descreve os investimentos a partir 
da produtividade, relacionando-as entre si. Nesse sentido, qual o investi-
mento necessário para que a produtividade atinja um patamar de 100 mil 
unidades produzidas mensalmente?
Como você responderia a essas questões? Qual modelo e conclusões você 
apresentaria ao empresário? Prossiga em seus estudos e confira os conceitos 
necessários para o cumprimento desse desafio!
Não pode faltar
As funções correspondem a relações especiais entre conjuntos, a partir 
das quais associamos variáveis dependentes e independentes entre si. Assim, 
quando definimos funções, indicamos dois conjuntos – domínio e contrado-
mínio – e uma regra que associa os conjuntos entre si – lei de formação –, a 
qual pode assumir diferentes formatos. Dependendo da expressão matemá-
tica considerada podemos construir diferentes classes de funções, como a das 
funções algébricas.
Funções algébricas
Uma função cuja lei de formação é obtida a partir da aplicação de um 
número finito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e extração 
de raízes) sobre um polinômio é denominada função algébrica. Como 
exemplos, temos as funções f x x x( )= +2 e g x x( )= −3 2 .
Assimile
Podemos incluir as funções polinomiais no conjunto das funções 
algébricas, o qual é mais geral em comparação com o conjunto das 
funções polinomiais, visto que os polinômios podem ser construídos a 
partir, por exemplo, da soma e da diferença de monômios.
Cada função algébrica possui uma representação gráfica distinta, não 
sendo possível padronizá-las. Por isso, é necessário avaliar cada caso de forma 
independente, observando as propriedades da função algébrica em estudo.
Observe que para determinar a lei de formação da função algébrica 
h x x x( )= −2 aplicamos a operação de diferença entre os monômios x2 e x 
para, na sequência, extrair raiz quadrada. Outra interpretação que podemos 
empregar para construir a lei de formação de h, e que também pode envolver 
29
funções que não sejam algébricas, é a composição de funções, a qual permite 
relacionar diferentes funções para construir as chamadas funções compostas.
Composição de funções
Sejam as funções y f u u= =( ) e u g x x x= = −( ) 2 . Note que y é uma 
função de u que, por sua vez, é uma função de x, logo y é uma função de x. 
Nesse caso, podemos empregar substituição de modo a obter:
y f u f g x f x x x x= = = − = −( ) ( ( )) ( )2 2
Com esse procedimento, denominado composição, obtemos a função 
composta de f e g.
Nesse sentido, dadas duas funções g A B: ® e f C D: ® em que 
Im g C( )⊂ , ou seja, a imagem da função g seja um subconjunto do domínio 
de f, a função composta f g , também chamada composição de f e g, é uma 
função f g A D : ® tal que f g x f g x( ) =( ) ( ( )) para x AÎ .
Observe que se estamos trabalhando com a função composta f g 
primeiro aplicamos a função g em algum elemento x do domínio para, na 
sequência, aplicar f sobre g x( ) . Além disso, o domínio da função composta 
f g é igual ao domínio de g. 
Por exemplo: se considerarmos as funções f x x( )= 2 2 e g x x( )= +3 1 , as 
quais são polinomiais e possuem domínio e contradomínio caracterizado 
pelo conjunto dos números reais, podemos construir as seguintes 
funções compostas:
f g x f g x f x x x x( ) = ( )= +( )= +( ) = + +( ) ( ) 3 3 2 6 31 2 1 2 4 2
g f x g f x g x x x( ) = ( )= ( )=( ) + = +( ) ( ) 2 2 1 8 12 2 3 6
ambas com domínio e contradomínio caracterizados por  . Observe que 
as diferentes ordens em que tomamos f e g influenciam na função composta 
obtida. Além disso, é importante observar também se existe a relação de 
inclusão entre os conjuntos imagem e domínio das funções envolvidas, 
conforme a definição de função composta.
Reflita
Considerando as propriedades das funções polinomiais, o que 
podemos afirmar a respeito da composição de funções polinomiais? 
A composta será sempre uma função polinomial? Se sim, é possível 
afirmar qual será o grau da função composta com base nos graus das 
funções polinomiais iniciais?
30
A partir do exemplo anterior, podemos observar que nem sempre as duas 
composições que podem ser construídas a partir de duas funções geram um 
mesmo resultado, isto é, uma mesma função. No entanto, existem alguns 
pares de funções em particular que, ao serem compostas entre si, geram, 
como resultado, em ambas as ordens, a função identidade, cuja lei de 
formação é i x x( )= para todo x no domínio de i. Esses pares envolvem uma 
função e a sua inversa, a qual existe desde que algumas propriedades sejam 
verificadas. Para que estejamos aptos a avaliar a existência desse tipo de 
função, iniciemos pelo estudo da bijetividade de funções.
Funções bijetivas e inversas
Uma função bijetiva pode ser caracterizada como uma função simul-
taneamente injetiva e sobrejetiva. Assim, para que possamos compreender 
o conceito de bijetividade, vamos definir a injetividade e a sobrejetividade.
Uma função f D E: ® pode ser classificada como função injetiva (ou 
injetora) se dados x x D1 2, Î com x x1 2¹ então f x f x( ) ( )1 2¹ . Ou de forma 
equivalente, para x x D1 2, Î tivermos f x f x( ) ( )12= implicando x x1 2= . 
Como exemplo de função injetiva temos a função f : ® com f x x( )= , 
cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.12(a). Se tomarmos dois números reais 
x x1 2¹ distintos em seu domínio, as imagens serão diferentes entre si, pois 
f x x x f x( ) ( )1 1 2 2= ≠ = . Por outro lado, a função g : ® em que g x x( )= 2 , 
cujo gráfico é ilustrado na Figura 1.12(b), consiste em um contraexemplo 
para a definição de função injetiva porque, por exemplo, -1 e 1 são elementos 
distintos no domínio de g, porém, g g( ) ( )− = −( ) = = =1 1 1 1 12 2 , logo, nem 
sempre valores distintos do domínio têm imagens distintas.
Figura 1.12 | Funções injetivas e não injetivas
Fonte: elaborada pela autora.
Em relação à sobrejetividade, dizemos que uma função f D E: ® é classi-
ficada como função sobrejetiva (ou sobrejetora) se dado qualquer y EÎ for 
31
possível identificar x DÎ tal que y f x= ( ) , ou ainda, se o conjunto imagem 
de f coincidir com o contradomínio de f, que corresponde ao conjunto E. 
Assim, uma função é sobrejetiva quando todos os elementos do contrado-
mínio são imagens de elementos do domínio pela função em estudo. Como 
exemplo temos a função f : ® em que f x x( )= , cujo gráfico é ilustrado 
na Figura 1.13(a). Tomando qualquer número real y Î no contradomínio 
de f, ao escolher x y= no domínio, sempre teremos f x y( )= , ou seja, 
Im( )f = . Por outro lado, a função g : ® com g x x( )= 2 , cujo gráfico é 
ilustrado na Figura 1.13(b), consiste em um contraexemplo para a definição 
de função sobrejetiva. De fato, podemos observar graficamente que a imagem 
de g é formada apenas pelos números reais maiores ou iguais a zero, ou pelo 
intervalo 0,+∞[ ) , enquanto o contradomínio é dado por  , ou ainda, ao 
tomarmos qualquer número real negativo no contradomínio, o -1 por 
exemplo, não é possível identificar nenhum x Î no domínio tal que 
f x x( )= =−2 1 .
Figura 1.13 | Funções sobrejetivas e não sobrejetivas
Fonte: elaborada pela autora.
Porém, se desejamos construir uma função sobrejetiva, podemos 
restringir o contradomínio à sua imagem de modo que essa propriedade seja 
verificada. Assim, se queremos que uma função f D E: ® seja classificada 
como sobrejetiva, podemos considerar sua restrição f D f: Im( )® .
De posse das definições de injetividade e sobrejetividade, podemos carac-
terizar uma função bijetiva (ou bijetora) como uma função simultaneamente 
injetiva e sobrejetiva. Conforme estudado, como a função f : ® dada 
por f x x( )= é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, podemos afirmar que f 
é bijetiva. Por outro lado, como g : ® em que g x x( )= 2 não é injetiva e 
nem sobrejetiva, g não pode ser classificada como bijetiva. 
A partir do conceito de bijetividade, podemos estudar as funções inversas. 
A partir de uma função bijetiva f D E: ® , se f a b( )= , com a DÎ e b EÎ , a 
32
função inversa a f existe e corresponde a uma função f E D− →1 : de tal forma 
que f b a− =1( ) . Note que o domínio de f é igual à imagem da inversa f -1 , 
enquanto o domínio de f -1 é igual à imagem de f.
Exemplificando
Considere a função f : ® definida por f x x( )= −3 1 . Temos que 
essa função é bijetiva, porque:
• f é injetiva: dados x x1 2, Î com x x1 2¹ teremos que 3 31 2x x¹ e, 
consequentemente, f x x x f x( ) ( )1 1 2 23 1 3 1= − ≠ − = , comprovando a 
injetividade de f.
• f é sobrejetiva: seja y Î no contradomínio de f, se x y= + ∈
3
1
3
 então 
f x y y y( )= +





− = + − =3 3
1
3
1 1 1 , isto é, existe x no domínio tal que 
f x y( )= , provando a sobrejetividade de f.
Sendo assim, a função f é bijetiva e, consequentemente, admite inversa. 
Note que a função f é tal que y f x x= = −( ) 3 1 . Expressando x em 
função de y podemos obter:
y x y x y x= − ⇔ + = ⇔ + =3 1 1 3
3
1
3
 
Dessa forma, teremos que a função inversa f − →1 :  pode ser 
definida como f x
x− = +1
3
1
3
( ) . Note que ao construirmos as funções 
compostas de f com a sua inversa nas duas ordens possíveis teremos:
f f x f x x x x− −= − = − + = − + =1 1 3 1 3 1
3
1
3
1
3
1
3
( ( )) ( ) ( )
f f x f x x x x( ( ))− = +





= +





− = + − =
1
3
1
3
3
3
1
3
1 1 1
ou seja, ao compormos uma função com sua inversa, caso ela exista, 
sempre iremos obter a função identidade i x x( )= como resultado.
33
Para a categoria de funções afim, desde que não sejam constantes, é 
possível identificar as funções inversas correspondentes, as quais são também 
do tipo afim.
Assimile
As funções afim, do tipo não constantes, com domínio e contradomínio 
reais, são funções que podem ser classificadas como bijetivas, sendo 
simultaneamente injetivas e sobrejetivas. Além da comprovação via 
definição, é possível observar graficamente a presença da injetividade e 
sobrejetividade para essa categoria de funções.
No estudo das funções inversas, existem duas categorias de funções 
em particular que podemos destacar: as funções exponenciais e as funções 
logarítmicas, devido às relações que podem ser estabelecidas entre elas.
Função exponencial
Chamamos de função exponencial de base b uma função cuja lei de 
formação assume a forma f x bx( )= , em que b>0 . Como exemplos temos as 
funções f x x( )= 2 e g x x( )=p . Note que as funções exponenciais são 
construídas a partir de potências em que a base é constante e o expoente 
consiste na variável em estudo.
Na Figura 1.14 podemos observar os comportamentos gráficos das 
funções exponenciais. Note que independentemente do valor assumido por 
b, desde que b>0 , o gráfico da função exponencial sempre contempla o 
ponto 0 1,( ) , pois b0 1= . Na Figura 1.14(a) temos a representação gráfica de 
uma função exponencial cuja base b é tal que b>1 , assim, temos uma função 
crescente na qual, para x tendendo ao infinito, o valor y f x= ( ) tende ao 
infinito, enquanto x tendendo a −∞ implica y f x= ( ) se aproximando de 
zero, o que configura o eixo x como uma assíntota horizontal desse tipo de 
função exponencial, isto é, por menor que seja o valor do domínio, sua 
imagem será um número que se aproxima de zero, porém, nunca será igual a 
zero. Por outro lado, na Figura 1.14(b) temos a representação gráfica de uma 
função exponencial cuja base b é tal que 0 1< <b , correspondendo a uma 
função decrescente que também apresenta o eixo x como uma assíntota 
horizontal, devido ao fato de que se x tende ao infinito, o valor y f x= ( ) 
34
tende a zero, enquanto x tendendo a −∞ implica y f x= ( ) tendendo a 
infinito. Além disso, uma terceira possibilidade, não ilustrada nos gráficos, 
corresponde a b=1 , nesse caso, teremos a função constante, pois bx será 
constante igual a 1 para todo x real.
Figura 1.14 | Comportamento gráfico da função exponencial
y
x
1 1
y
x
(a) Base b > 1 (a) Base 0 < b < 1
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos ainda construir as chamadas funções do tipo exponencial, em 
que a lei de formação é obtida a partir da lei usual acrescida de constantes, 
assumindo a forma geral f x a b ckx( )= ⋅ + , com a, b, c e k constantes reais.
Uma das funções exponenciais mais utilizadas na resolução de problemas 
é aquela em que a base b é tomada igual ao número e, denominado número 
de Euler. O número e corresponde a um número irracional que pode ser 
aproximado, até a quarta casa, como e » 2 7183, . A função exponencial de 
base e, f x ex( )= , é também conhecida como a função exponencial natural, 
podendo ser utilizada também a notação exp( )x em substituição ao termo ex .
Observe que as funções exponenciais são construídas a partir de potên-
cias, adotando o expoente como sendo a variável em estudo. Assim como 
podemos relacionar as potências e os logaritmos entre si, também podemos 
relacionar as funções exponenciais com uma outra categoria de funções, 
derivadas dos logaritmos e denominadas como funções logarítmicas.
Função logarítmica
A função logarítmica de base b apresenta como lei de formação 
f x xb( ) log= . Assim comotemos as condições de existência para o estudo 
dos logaritmos, devemos ter na função logarítmica que a base b seja positiva 
e diferente de 1, além disso, x deve ser sempre positivo. Dessa forma, como 
condições de existência da função logarítmica devemos ter o domínio dado 
pelos números reais positivos (conjunto +∗ ) e a base sendo b>0 e b¹1 .
35
Assimile
Para a definição da função logarítmica devemos ter f : +
∗ → dada 
por f x xb( ) log= , com b>0 e b¹1 .
Podemos estudar o comportamento gráfico da função logarítmica de 
acordo com os valores assumidos pela base b de forma semelhante ao estudo 
da função exponencial. No entanto, como o domínio deve envolver apenas 
os números positivos, observe nos dois casos ilustrados na Figura 1.15 que os 
valores do eixo x são estudados apenas em sua parte positiva.
Figura 1.15 | Comportamento gráfico da função logarítmica
y
x
y
x
1
1
(a) Base b > 1 (b) Base 0 < b < 1 
Fonte: elaborada pela autora.
Como logb 1 0= para todo b>0 e b¹1 , então temos que o gráfico da 
função logarítmica sempre contém o ponto de coordenadas 1 0,( ) , indepen-
dentemente do valor assumido pela base b. No caso da Figura 1.15(a), na 
qual é apresentada a representação gráfica de uma função logarítmica de base 
b>1 , note que a função é crescente, enquanto para 0 1< <b , conforme a 
Figura 1.14(b), temos uma função decrescente.
Se tomarmos, na função logarítmica, a base b como sendo o número de 
Euler e, o qual é positivo e diferente de 1, temos a construção da função 
logarítmica natural f x xe( ) log= . Para essa função utilizamos a notação 
especial f x x( ) ln= , a qual já indica que a base da função logarítmica corres-
ponde ao número de Euler. Além disso, na função logarítmica, também 
podemos adotar a base decimal (10), sendo a notação utilizada f x x( ) log= , 
isto é, a ausência da base na notação indica que se trata da base 10.
Considerando o conceito de função inversa, vamos analisar as funções 
exponencial e logarítmica natural, comparando-as entre si. Note que se 
y x xe= =ln log então, pela definição de logaritmo, devemos ter que e xy = , 
36
ou seja, existe uma relação entre as funções logarítmica e exponencial a partir 
da base tomada em cada função. Dessa relação, podemos interpretar que as 
funções f x x( ) ln= e g x ex( )= são inversas uma da outra. Comparando 
graficamente as funções f e g, conforme ilustração presente na Figura 1.16, 
podemos observar que os gráficos das duas funções são simétricos em relação 
ao gráfico da função identidade i x x( )= , representado pela reta pontilhada 
na Figura 1.16.
Figura 1.16 | Comparação entre as funções exponencial e logarítmica natural
y
x
g(x) = ex
i(x) = x
f(x) = ln (x)
Fonte: elaborada pela autora.
Além disso, podemos observar pelas propriedades de potências e 
logaritmos que f g x e xx( ( )) ln= ( )= e g f x e xx( ( )) ln( )= = . Podemos estender 
essa ideia para outras bases, concluindo que se b é um número real tal que 
b>0 e b¹1 então as funções bx e logb x são inversas uma da outra.
A relação de inversão existente entre as funções exponenciais e logarít-
micas também é essencial para a interpretação e resolução de problemas 
que podem ser modelados por essas funções. E, para esse tipo de estudo, o 
emprego das propriedades de potências e logaritmos é essencial, conforme 
exemplo a seguir.
Exemplificando
Considere a função f : ® dada por f x x( )= ⋅3 4 . Vejamos alguns 
aspectos dessa função que podem ser analisados:
(a) Tomando x = 3 no domínio de f, sua imagem pode ser determinada 
como segue: f ( )3 3 4 3 64 1923= ⋅ = ⋅ = .
37
(b) Para determinar o elemento do domínio cuja imagem é 768, ou x tal 
que f x( )= 768 , podemos empregar a seguinte estratégia:
768 3 4 768
3
4 256 4 4 4 44= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =x x x x x 
Sendo assim, f ( )4 768= .
(c) Como existem situações nas quais não é possível comparar potências 
de mesma base, como no item (b), podemos recorrer aos logaritmos. 
Para isso, considere, por exemplo, que desejamos determinar x para o 
qual f x( )= 96 , assim:
96 3 4 96
3
4 32 4= ⋅ ⇔ = ⇔ =x x x 
 
⇔ = log(32) )
 
log(4x 
⇔ = log(32) ) 
 
x log(4 
⇔ = x log( )
log( )
32
4
 
Para a resolução desse problema foi utilizado como auxílio o recurso da 
calculadora para o cálculo de log( )32 e log( )4 . Veja que a base 10 foi 
utilizada porque o logaritmo decimal pode ser calculado por meio da 
calculadora. Outra possibilidade seria a utilização do logaritmo natural. 
Assim, conhecer as relações existentes entre as diferentes categorias 
de funções, comparando-as a partir, por exemplo, do conceito de função 
inversa, da composição de funções, bem como estudando a injetivi-
dade e sobrejetividade, são conhecimentos essenciais quando desejamos 
aprofundar os estudos e aplicar esses conceitos na resolução de problemas 
oriundos dos mais variados contextos.
Sem medo de errar
Para a resolução do desafio proposto, você precisa analisar as infor-
mações apresentadas pelo empresário em relação à produtividade e inves-
timentos realizados por ele em sua empresa, empregando os conceitos 
relativos a funções exponenciais, logarítmicas e inversas. 
Sabe-se que a relação existente entre investimentos e produtividade, no 
caso estudado, pode ser dada por uma função do tipo exponencial com lei 
de formação p i Ceki( )= , em que p representa a produtividade, i os investi-
38
mentos, sendo C e k constantes. Nesse caso, a função p é tal que p : + → 
porque o domínio deve contemplar os possíveis valores de investimentos, 
os quais devem ser não negativos. Para determinar as constantes da função 
p, devemos considerar que:
• A produtividade da empresa, sem investimentos, é constante e igual a 
20000 unidades ao mês, isto é, p( )0 20000= , considerando os investi-
mentos dados em milhares de reais e a produtividade em unidades.
• Ocorre um aumento de 100% na produtividade quando comparamos 
a ausência de investimentos com um investimento de 50 mil reais ao 
mês, ou seja, a produtividade com um investimento de 50 mil reais 
consiste no dobro da produtividade sem investimentos, o que 
podemos representar por p( )50 40000= .
Da primeira condição obtemos:
20000 0 0= = =⋅p Ce Ck( ) , 
isto é, C = 20000 , o que implica p i eki( )= 20000 . E da segunda condição 
segue que:
40000 50 20000 250 50= = ⇔ =⋅p e ek k( ) 
 
⇔ = = 
 
ln ln2 5050e kk
 
 
 ⇔ ≈ 0 693 50, k 
⇔ ≈ 0 0139, k 
Logo, a função que caracteriza a relação entre produtividade e investi-
mentos pode ser dada por p : + → com p i e i( ) ,= 20000 0 0139 . Na Figura 1.17 
podemos observar o comportamento gráfico da função produtividade, 
considerando o domínio e a lei de formação característicos.
39
Figura 1.17 | Representação gráfica para a função produtividade
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
20 40 100 120 140 160 18060 80 200
p
i
Fonte: elaborada pela autora.
Note que a imagem da função produtividade é tal que 
Im( ) ,p = +∞[ )20000 . Assim, se definirmos p com p : ,+ → +∞[ )20000 
teremos a função produtividade bijetiva, visto que é simultaneamente injetiva 
e sobrejetiva, considerando as propriedades da função exponencial. Nesse 
sentido, podemos identificar sua inversa, a qual relaciona os investimentos 
em função da produtividade, cuja lei de formação pode ser identificada da 
seguinte forma:
p e p ei i= ⇔ =20000
20000
0 0139 0 0139, , 
 
 ln
 
⇔





= =
p e ii
20000
0 01390 0139ln( ) ,,
 
 
 ln⇔





=
1
0 0139 20000,
p i 
 ln⇔ ⋅





=71 942 20000
, p i 
Assim, a lei de formação da função inversa pode ser escrita como 
i p p( ) ,= ⋅





71 942 20000
ln . Para que a função logarítmica possa seravaliada 
40
devemos ter p
20000
0> , isto é, p>0 . Mas, o investimento não pode ser 
negativo, ou seja,
i p p( ) , ln≥ ⇔ ⋅





≥0 71 942 20000
0
⇔





≥ln
p
20000
0
 
⇔ ≥
p
20000
1 
⇔ ≥p 20000 
Sendo assim, encontramos o domínio da função investimento, que 
coincide com a imagem da função produtividade, e temos i : ,20000 +∞[ )→ + 
com i p p( ) ,= ⋅





71 942 20000
ln .
Por fim, é necessário avaliar o investimento necessário para que a produ-
tividade atinja 100 mil unidades produzidas. Para isso, podemos empregar 
qualquer uma das duas funções, por serem uma inversa da outra. Empregando 
a função investimento, para p=100000 unidades temos:
i( ) , ,100000 71 942 100000
20000
71 942 5 115= ⋅





= ⋅ ( )≈ln ln ,,786
Desse modo, o investimento para que a produtividade seja de 100 mil 
unidades deve ser ao menos de 115,786 mil reais.
Para finalizar o atendimento ao empresário, elabore um relatório, contem-
plando as principais informações coletadas durante esses estudos e as conclu-
sões que podem ser obtidas diante do contexto em estudo.
Avançando na prática
Aplicações da composição de funções para 
determinar a receita de uma indústria
O gerente comercial de uma indústria está fazendo um levantamento a 
respeito das informações relativas a gastos, receitas e lucros obtidos com 
produção e venda de alimentos correspondentes a um dos setores recém-im-
plantados na indústria. Você foi contratado para auxiliar a equipe de finanças 
41
a identificar modelos matemáticos a partir das informações coletadas pelo 
gerente e pelos demais funcionários da equipe. Dessas informações, é possível 
inferir que a produtividade (p) do setor é dada em função da disponibilidade 
de matéria-prima (d) de acordo com a função p d e d( )= 3 5 . Além disso, a 
receita obtida (r) é descrita a partir da produtividade de acordo com a função 
r p p( )= −20 12502 . Com base nessas informações, qual é o modelo que 
descreve a receita obtida pelo setor em questão em função da disponibilidade 
de matéria-prima?
Resolução da situação-problema
Para a identificação do modelo solicitado pelo gerente comercial da 
indústria é necessário aplicar o conceito de composição de funções, devido às 
informações previamente conhecidas. Nesse caso, como temos as funções 
p d e d( )= 3 5 e r p p( )= −20 12502 . 
Para expressar a receita em função da disponibilidade de matéria-prima, 
faz-se necessário identificar a lei de formação da função r r d= ( ) . Note que a 
função receita é descrita através da produtividade que, por sua vez, é obtida 
em relação à disponibilidade de matéria-prima. Essa relação caracteriza a 
função composta, a qual pode ser denotada por r d r p d( ) ( )=( ) . Desse modo, 
para identificar a lei de formação da função composta, podemos empregar o 
seguinte procedimento:
r d r p d r p d p d( ) ( ) ( ) ( )=( ) = ( )= ( ) − 20 12502
 
= ( ) −20 3 12505 2e d
 
 
 
 
= ⋅ ⋅( ) −20 9 12505 2e d
 
 
= −180 125010e d 
isto é, r d e d( )= −180 125010 , que corresponde a uma função do tipo exponen-
cial e que representa a receita obtida pelo setor da indústria, calculada a 
partir da disponibilidade de matéria-prima.
Faça valer a pena
1. As funções exponenciais e do tipo exponenciais podem ser empregadas, 
dentre outras situações, para avaliar situações que envolvem crescimentos e 
decrescimentos, como é o caso, por exemplo, do crescimento do número de 
indivíduos em uma colônia de bactérias.
42
Nesse sentido, suponha que uma cultura de bactérias apresente, no instante 
inicial, exatamente 1000 indivíduos. Além disso, sabe-se que o número de 
indivíduos nessa cultura duplica a cada 30 minutos.
Com base nesse contexto, pode-se afirmar que o número de bactérias nessa 
cultura após um período de 80 minutos, contado a partir do instante inicial, 
será de, aproximadamente:
a. 2000 indivíduos.
b. 2514 indivíduos.
c. 2828 indivíduos.
d. 6320 indivíduos.
e. 16000 indivíduos.
2. O conhecimento das propriedades dos logaritmos é uma das condições 
essenciais para o estudo das características das funções logarítmicas, devido 
ao fato da definição dessas funções tomar por base todos os conceitos que 
envolvem os logaritmos.
Diante desse tema, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Considerando a função logarítmica de base decimal f x x( ) log( )= , se 
f x K( )= então temos que x deve ser sempre positivo, enquanto K pode ser 
qualquer número real – positivo, negativo ou nulo.
( ) A função logarítmica natural, cuja lei de formação é da forma g x x( ) ln( )= 
e assumindo como base o número de Euler, pode ser avaliada para qualquer 
número real x.
( ) Pela definição da função logarítmica como h x xb( ) log ( )= , com b>0 e 
b¹1 , é possível afirmar que h( )1 0= para qualquer valor real assumido por 
b, desde que atenda às condições especificadas.
( ) Tomando as funções logarítmicas de base decimal e natural, dadas 
respectivamente por f x x( ) log( )= e g x x( ) ln( )= , é possível afirmar que 
f x g x( ) ( )> para todo número real x tal que x>1 . 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
a. V – V – F – F.
b. V – F – V – F.
c. V – F – F – V.
d. F – F – V – V.
43
e. F – V – V – F.
3. Analise a figura a seguir, a qual ilustra o gráfico de uma função f:
Figura | Gráfico da função f
y
x
-2 4
Fonte: elaborada pela autora.
A partir da representação gráfica anterior, podemos obter algumas informações a 
respeito do comportamento da função ao longo do seu domínio, principalmente 
em relação à injetividade, sobrejetividade e existência de inversa.
Nesse sentido, analise as asserções apresentadas a seguir e a relação proposta entre 
elas:
I. A função f em questão não admite inversa se considerarmos o seu domínio 
descrito pelo conjunto D x x= ∈ − ≤ ≤{ } 2 4 .
PORQUE
II. A função f é injetiva se considerarmos f definida sobre todo o conjunto de 
números reais.
Com base nas asserções apresentadas, assinale a alternativa correta:
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justifi-
cativa correta da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, uma proposição falsa.
44
d. A asserção II é uma proposição verdadeira e a I, uma proposição falsa.
e. As asserções I e II são proposições falsas.
45
Seção 3
Funções trigonométricas
Diálogo aberto
Ao nosso redor existem diversos fenômenos que podem ser caracterizados 
como periódicos, dentre os quais podemos destacar o dia, por exemplo, cuja 
passagem pode ser avaliada em função das variações do tempo e da movimentação 
do Sol, dentre outros fatores. O fenômeno das marés, estudado em regiões litorâ-
neas, também pode ser destacado como periódico, visto que é possível identificar 
um padrão de variação entre marés altas seguidas de marés baixas e assim sucessi-
vamente, de acordo com a região em estudo. Assim, é de suma importância dispor 
de conceitos matemáticos que permitam o estudo desses tipos de fenômenos, sendo 
as funções trigonométricas um dos principais conceitos empregados nesses casos.
Diante desse contexto, suponha que um instituto de meteorologia contatou o 
escritório no qual você atua e solicitou um auxílio para o estudo de um problema 
envolvendo variações de temperatura em determinada região do país, sendo você 
o responsável por esse atendimento. 
Uma equipe de funcionários do instituto realizou coletas de dados na 
região de interesse durante um mês, no verão, observando que um determinado 
padrão poderia ser identificado em relação às temperaturas, as quais foram regis-
tradas diariamente e em horários fixados. Após essa coleta, foram determinadas as 
temperaturas médias mensais observadas em cada horário fixado do dia, conformea coleta, sendo esses dados apresentados na Tabela 1.2.
Tabela 1.2 | Dados que relacionam as temperaturas em horários fixados
Horário Temperatura
00:00 27 °C
03:00 27,5 °C
06:00 31 °C
09:00 35 °C
12:00 38 °C
15:00 37,5 °C
18:00 34 °C
21:00 30,5 °C
Fonte: elaborada pela autora.
46
O instituto solicitou a você a construção de um modelo que aproxime o 
conjunto de dados em questão e que permita identificar estimativas para as 
temperaturas médias atingidas durante outros instantes de tempo em um dia. 
Após um estudo realizado em equipe, foi possível identificar que a função 
que modela esse fenômeno tem como lei de formação T h a b ch d( ) cos( )= + + , em 
que h representa o horário correspondente, medido em horas, e T descreve a 
temperatura média, em graus Celsius. Com base nesses dados, qual o modelo 
que descreve o conjunto de dados presente na Tabela 1.2?
Como você resolveria esse desafio? Quais são os conhecimentos necessá-
rios para solucionar esse problema? Prossiga em seus estudos e identifique os 
conceitos que podem contribuir com a resolução do desafio proposto!
Não pode faltar
No estudo do conceito de função, outra categoria que podemos destacar, 
além das polinomiais, exponenciais e logarítmicas, é a das funções trigo-
nométricas, as quais podem ser empregadas na descrição de determinados 
fenômenos que apresentam periodicidade, ou seja, que têm certo comporta-
mento que se repete em intervalos. Porém, para que possamos compreender 
o perfil dessas funções e como se dá a modelagem de fenômenos, iniciemos 
retomando as medidas de arco e as características do ciclo trigonométrico.
Medidas de arco e radianos
Para estudar as medidas de arco precisamos relacionar circun-
ferências a medidas lineares e angulares. Nesse sentido, vamos consi-
derar inicialmente uma circunferência de raio r e centro O, a partir da 
qual é construído o arco AB cujo ângulo central é a , conforme a 
Figura 1.18.
Figura 1.18 | Arco AB associado ao ângulo central a
Fonte: elaborada pela autora.
47
Podemos realizar os estudos da medida do arco considerando as unidades 
radianos e graus, no entanto, tomaremos as medidas em radianos para, 
posteriormente, associarmos ao estudo das funções trigonométricas, o qual é 
desenvolvido essencialmente a partir dessa unidade de medida.
Atenção
Podemos relacionar as duas unidades de medidas de ângulos entre si 
por meio da seguinte equivalência: um ângulo de medida p radianos 
corresponde a um ângulo de medida 180°.
Sabemos que para uma circunferência de raio r, seu comprimento é dado 
por 2pr , o que equivale ao ângulo central de 2p radianos. Porém, se o 
ângulo central de um arco tem medida a radianos, então o comprimento do 
arco AB correspondente será dado por ar , obtido a partir de uma relação de 
proporcionalidade entre as expressões e medidas conhecidas.
Exemplificando
Seja um arco AB construído a partir de uma circunferência de raio 
r = 2 cm referente a um ângulo central de 45° . Esse ângulo corresponde 
a p 4 radianos, então o comprimento do arco AB será de 
p p4 2 2( )⋅ = cm .
A partir das medidas de arcos, circunferências e ângulos, vamos estudar 
o comportamento das funções trigonométricas e suas relações com as razões 
trigonométricas e o ciclo trigonométrico.
Funções trigonométricas e o ciclo trigonométrico
As funções trigonométricas são estudadas com base nas razões trigono-
métricas que podem ser definidas a partir de um triângulo retângulo, em 
associação com o estudo realizado no ciclo trigonométrico. Nesse contexto, a 
partir de um triângulo retângulo ABC e um ângulo interno agudo q especi-
ficado, conforme Figura 1.19, podemos destacar as seguintes 
razões trigonométricas:
sen AB
AC
q( )= ; cos q( )= BC
AC
; tg
sen AB
BC
q
q
q
( )= ( )
( )
=
cos
.
48
Figura 1.19 | Triângulo retângulo ABC
Fonte: elaborada pela autora.
Para estudar os valores assumidos por seno, cosseno e tangente de 
diferentes ângulos, podemos utilizar o ciclo trigonométrico, conhecido 
também por circunferência trigonométrica. Esse ciclo é construído, no plano 
cartesiano, a partir de uma circunferência centrada na origem O( , )0 0 e de 
raio com medida igual a uma unidade, conforme a Figura 1.20. Com isso, 
temos a divisão do ciclo trigonométrico em quadrantes da seguinte forma: o 
1º quadrante contempla os ângulos variando de 0 a p
2
 radianos, no 2º 
quadrante temos a variação de p
2
 a p radianos, no 3º quadrante de p a 3
2
p 
radianos, e no 4º quadrante de 3
2
p a 2p radianos, como ilustrado na Figura 
1.20(b).
Figura 1.20 | Ciclo trigonométrico
Fonte: elaborada pela autora.
49
Percorremos o ciclo no sentido anti-horário, partindo do eixo x, mais 
especificamente do ponto de coordenadas A 1 0,( ) , de acordo com a Figura 
1.20(a), por meio da construção de arcos centrados na origem. Para um arco 
AOB , como o exemplo ilustrado na Figura 1.20(a), o valor do seno do ângulo 
central associado é dado pela distância entre o centro O da circunferência e a 
projeção do ponto B sobre o eixo y (vertical), enquanto o cosseno é dado pela 
distância entre O e a projeção do ponto B sobre o eixo x (horizontal), isto é, 
os valores de seno são avaliados sobre o eixo y e os de cosseno sobre o eixo x, 
de modo que em ambos os casos os valores variam de -1 a 1, limitados pela 
circunferência cujo raio tem medida uma unidade. A tangente é avaliada em 
uma reta tangente à circunferência, que contém o ponto A 1 0,( ) e é perpendi-
cular ao eixo x. Assim, para o ângulo destacado na Figura 1.20(a), a tangente 
consiste na distância do ponto A até o ponto de interseção entre a reta 
tangente e a reta que contém os pontos O e B.
No estudo do ciclo trigonométrico, podemos destacar alguns ângulos, 
chamados ângulos notáveis: p
6
, p
4
 e p
3
 radianos, além de 0 e p
2
 radianos. 
Podemos ainda identificar os simétricos a eles em relação aos eixos x e y, 
conforme ângulos destacados na Figura 1.20(b), o que permite comparar os 
valores de seno, cosseno e tangente dos simétricos por meio da identificação 
dos sinais associados a cada quadrante.
Com base nas razões apresentadas e na estrutura do ciclo trigonométrico, 
podemos construir as funções seno, cosseno e tangente, cujos detalhes serão 
apresentados no que segue.
Função seno
A função seno consiste em uma função f : ® cuja lei de formação é 
f x sen x( ) ( )= , a qual na literatura de origem inglesa pode assumir a forma 
f x sin x( ) ( )= . O domínio dessa função é descrito por  e, nesse conjunto, se 
associamos os elementos x Î a ângulos, então devemos adotar a medida 
em radianos, para os quais avaliaremos o valor do seno correspondente.
Atenção
Para estudar as funções trigonométricas com o auxílio de calculadoras 
científicas é necessário realizar as medições dos ângulos (elementos do 
domínio) em radianos, ou seja, a calculadora deve ser programada para 
realizar os cálculos em radianos em vez da medida em graus.
50
Na Figura 1.21 temos a ilustração do gráfico da função f x sen x( ) ( )= . 
Observe que o conjunto imagem dessa função é descrito pelo intervalo 
−[ ]1 1, , visto que os valores de seno de um ângulo variam de -1 a 1, conforme 
pode ser observado no ciclo trigonométrico. Além disso, se compararmos o 
gráfico ao ciclo, teremos que no gráfico são apresentadas as correspondências 
entre os infinitos ângulos e os valores de senos associados, inclusive dos 
ângulos que estão em outras voltas do ciclo além da primeira, tanto no 
sentido anti-horário quanto no horário.
Figura 1.21 | Gráfico da função f x sen x( ) ( )=
Fonte: elaborada pela autora.
Note que, a cada intervalo de comprimento 2p , o gráfico repete um 
mesmo tipo de comportamento. Isso significa que a função seno é periódica 
e tem seu período p= 2p .
Assimile
De modo geral, uma função f é periódica quando podemos identificar 
um valor pÎ para o qual f x f x p( ) ( )= + para todo x pertencente 
ao domínio de f. O menor valor positivo de p para o qual a relação 
apresentada é verificada