Limites de Funções 2

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LIMITES DE FUNÇÕES
Aula 1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS LIMITES
Introdução ao estudo dos limites
Olá, estudante!
Na videoaula de hoje vamos explorar os conceitos fundamentais relacionados aos limites de
funções. Vamos abordar a definição formal dos limites, entender a caracterização dos limites laterais
e discutir algumas propriedades essenciais.
Esse conteúdo é crucial para o desenvolvimento da sua prática profissional, pois oferece
ferramentas valiosas para lidar com modelos matemáticos. Essas ferramentas se tornam
especialmente relevantes quando precisamos analisar o comportamento das funções, visando obter
informações pertinentes aos fenômenos associados.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
Ponto de Partida
Desejamos a você boas-vindas! Nesta aula, iniciaremos nossa jornada explorando o conceito
fundamental de limite de função, o qual desempenha um papel fundamental na análise das
propriedades das funções, além de servir como base para as definições subsequentes no contexto
de cálculo diferencial e integral.
Ao definirmos uma função, que pode estar vinculada a um modelo matemático para resolver um
problema do mundo real, por exemplo, é possível investigar suas propriedades por meio das raízes,
dos pontos de interseção com os eixos coordenados e das imagens específicas. No entanto, para
uma análise mais profunda sobre das características de uma função, o conceito de limite se mostra
mais apropriado, pois permite examinar até mesmo o seu comportamento próximo a valores que não
pertencem ao seu domínio.
Em nossos estudos, vamos explorar a definição de limite, bem como a avaliação dos limites laterais
e algumas de suas propriedades. Para contribuir com a compreensão desse tema, vamos investigar
as propriedades da função definida por . Construa uma tabela de
valores para análise do comportamento de em torno de , elaborando hipóteses a respeito da
existência do limite da função quando tende a 1, tendo em vista também os conceitos de limites
laterais.
Dê sequência em seus estudos e confira os conceitos essenciais para a resolução do desafio
proposto. 
Vamos Começar!
O conceito de limite é um dos pilares fundamentais do campo da Matemática chamado cálculo
diferencial e integral. Ele é essencialmente utilizado quando buscamos compreender o
comportamento de uma função em valores do seu domínio ou em pontos próximos desses valores.
Para iniciar o estudo dos limites de funções, tendo em vista a definição de função, vamos analisar o
comportamento da função definida por , cujo gráfico é ilustrado na
Figura 1.
Figura 1 | Gráfico da função .
f : R − {1} → R f(x) = 1
x−1
f x = 1
f x
f : R* → R f(x) = sen  (x)
x
f(x) = sen  (x)
x
A função apresentada não está definida no ponto , porém podemos estudar o comportamento
da função em pontos próximos dele, conforme os dados presentes na Tabela 1.
Tabela 1 | Comportamento da função em torno de zero.
Com base no gráfico da Figura 1 e na Tabela 1, podemos observar que para valores de cada vez
mais próximos de zero obtemos imagens que estão cada vez mais próximas de 1, o que nos
leva, intuitivamente, a afirmar que se aproxima-se de zero, então aproxima-se
suficientemente de 1. Porém, como essa análise apenas pode nos conduzir a conclusões errôneas
em algumas situações, vejamos o conceito que embasa teoricamente esse estudo, conhecido como
limite de função, destacado a seguir.
Siga em Frente...
Limites de funções
Considere uma função real . Dizemos que um número real é o limite da função quando 
 tende a um valor , sempre que for suficientemente próximo de para suficientemente
próximo de , mas com . Quando isso ocorre, podemos utilizar a notação , ou
ainda, “ com ”. Dessa forma, dizemos que o limite de uma função existe, no
ponto considerado, quando a função se aproxima cada vez mais de um único número real 
 quando aproxima-se do ponto fixado .
Por exemplo, seja a função definida por e . Quando se
aproxima de , então se aproxima de 15 e se aproxima de 14. Sendo assim, 
. Nesse caso, faz parte do domínio de , mas também podemos fazer
estudos semelhantes em pontos que não pertencem ao domínio da função.
Outra forma de definir o limite de uma função é a seguinte: se, e somente se, para
qualquer número , for possível identificar suficientemente pequeno de tal forma que se 
, então . Essa é a chamada definição formal de limite. Por
exemplo, para a função real definida por e o ponto , temos que para cada 
, tomando , segue que se , então 
. Sendo assim, .
x = 0
x f(x) x f(x)
-1,0 0,8414709 1,0 0,8414709
-0,1 0,9983341 0,1 0,9983341
-0,01 0,9999833 0,01 0,9999833
-0,001 0,9999998 0,001 0,9999998
f(x) = sen  (x)
x
x
f(x)
x f(x)
f L f x
a f(x) L x
a x ≠ a lim
x→a
 f(x) = L
f(x) → L x → a
L
x a
f : R → R f(x) = 3x − 1 a = 5 x
5 3x 3x − 1
lim
x→5
 (3x − 1) = 14 x = 5  f
f lim
x→a
 f(x) = L
ε > 0 δ > 0
0 0 δ = ε
4 > 0 0 3 lim
x→3+
 f(x) = −1
f
f
x = 3
lim
x→a
 f(x) = L
lim
x→a−
 f(x) = L = lim
x→a+
 f(x)
f(x) = |x|
x
x = 0
Analisando o gráfico dessa função, conforme ilustrado na Figura 4, podemos identificar que os
limites laterais de em torno de zero são:
Como os limites laterais existem, porém são diferentes, podemos concluir que o limite de em 
 não existe.
Figura 4 | Gráfico da função .
Uma propriedade essencial dos limites, quando eles estão presentes, é a unicidade. Isso significa
que se uma função possui um limite quando se aproxima de um valor específico, então esse limite
é único. Essa unicidade é fundamental porque garante consistência e precisão nas análises
matemáticas.
Além disso, quando afirmamos que um limite existe, isso implica que o valor ao qual a função se
aproxima à medida que se aproxima de determinado ponto é igual a um número real. Em outras
palavras, o comportamento da função em torno desse ponto é definido e previsível. Isso proporciona
uma compreensão clara do comportamento da função em relaçãoaos seus arredores.
Essa análise é válida tanto para limites bilaterais, em que investigamos a tendência da função tanto
à esquerda quanto à direita de um ponto, quanto para limites laterais, nos quais consideramos
apenas uma direção de abordagem. Essa abrangência nos permite uma compreensão completa e
detalhada do comportamento das funções em diferentes contextos e situações.
Observe, a seguir, algumas propriedades válidas no cálculo de limites.
Propriedades dos limites
Dada uma função real , e supondo que os limites envolvidos existam, são válidas as propriedades
indicadas no que segue.
1. Se então .
2. .
3. .
4. , desde que .
5. , para inteiro positivo.
f(x) = {     ⇒    f(x) = {
−x
x
,  se x 0
−1,  se x 0
f
lim
x→0−
 f(x) = −1 ≠ 1 = lim
x→0+
 f(x)
f
x = 0
f(x) = |x|
x
x
x
f
b ∈ R lim
x→a
 (bf(x)) = b(lim
x→a
 f(x))
lim
x→a
 (f(x) ± g(x)) = lim
x→a
 f(x) ± lim
x→a
 g(x)
lim
x→a
 (f(x)g(x)) = (lim
x→a
 f(x))(lim
x→a
 g(x))
lim
x→a
 ( f(x)
g(x) ) =
lim
x→a
 f(x)
lim
x→a
 g(x) lim
x→a
 g(x) ≠ 0
lim
x→a
 (f(x))n = (lim
x→a
 f(x))
n
n
6. , para inteiro positivo, e com se for par.
7. Para , .
8. .
Essas características podem ser utilizadas desde que as funções em questão possuam limites que
existam, ou seja, que resultem em números reais. Sob tais condições, elas podem ser empregadas
para estabelecer relações entre os limites conhecidos de funções, proporcionando informações
sobre outras funções. Ademais, as propriedades mencionadas, embora estejam relacionadas aos
limites bilaterais, podem também ser adaptadas para o estudo dos limites laterais das funções,
contanto que esses limites estejam presentes.
Observe alguns exemplos de aplicação das propriedades apresentadas.
(a) Sejam funções reais e com e . Pelas propriedades
1 e 2 temos:
(b) Vamos calcular empregando as propriedades 1, 2, 4, 7 e 8:
Observando o exemplo (b) anterior, o cálculo do limite de , quando tende a 3, consiste
basicamente em calcular o valor da razão para . Isso ocorre porque temos uma razão entre
polinômios, cujo denominador não tende a zero. Dessa forma, para uma função polinomial 
 qualquer, e para uma constante real qualquer, temos que . A partir desse
resultado, podemos investigar os limites associados, por exemplo, à soma, diferença, produto e
quociente de funções polinomiais.
Para uma análise precisa dos limites, é fundamental estabelecer com precisão a função,
identificando seu domínio e contradomínio correspondentes. Devem-se utilizar as definições e
propriedades pertinentes para investigar o comportamento da função ao longo de seu domínio ou em
pontos externos a ele. 
Vamos Exercitar?
Vamos analisar o comportamento da função definida por em torno
do ponto . Sabemos que nesse ponto a função não está definida, então esse estudo é
possível por meio da investigação baseada no conceito de limite.
Por meio da Tabela 2 vamos fazer um estudo sobre o comportamento de à esquerda e à direita de 
.
lim
x→a
  n√f(x) = n√lim
x→a
 f(x) n lim
x→a
 f(x) > 0 n
lim
x→3
  x2−3x+1
2x+1
k ∈ R lim
x→a
 k = k
lim
x→a
 x = a
f g lim
x→−1
 f(x) = 2 lim
x→−1
 g(x) = −4
lim
x→−1
 (f(x) − 2g(x)) = lim
x→−1
 f(x) − 2 lim
x→−1
 g(x) = 2 − 2(−4) = 2 + 8 = 10
lim
x→3
  x2−3x+1
2x+1 =
lim
x→3
 (x2−3x+1)
lim
x→3
 (2x+1) =
lim
x→3
 x2+lim
x→3
 (−3x)+lim
x→3
 1
lim
x→3
 2x+lim
x→3
 1
=
(lim
x→3
 x)
2
+(−3) lim
x→3
 x+lim
x→3
 1
2(lim
x→3
 x)+lim
x→3
 1
= 32+(−3)⋅3+1
2⋅3+1 = 9−9+1
6+1 = 1
7
x2−3x+1
2x+1 x
x = 3
P(x)
a lim
x→a
 P(x) = P(a)
f : R − {1} → R f(x) = 1
x−1
x = 1
f
x = 1
 
Tabela 2 | Comportamento da função em torno de .
Analisando a Tabela 2, podemos construir as hipóteses de que os limites laterais de não existem,
visto que avaliando o limite à esquerda, quanto mais próximos de 1 são os valores de , menores
serão os valores de , enquanto à direita, quanto mais próximos de 1 são os valores de ,
maiores serão os valores de . Observe que essa análise está de acordo com o gráfico de ,
retratado na Figura 5.
Figura 5 | Gráfico para a função .
No entanto, é primordial enfatizar que a análise realizada apenas possibilita a formulação de
conjecturas, as quais devem ser confirmadas exclusivamente por meio de estudos teóricos
fundamentados na definição de limite. 
Saiba Mais
Uma recomendação para explorar os limites de funções e suas propriedades é o livro Cálculo,
volume 1, de Howard Anton, Irl C. Bivens e Stephen L. Davis. Para uma compreensão abrangente,
sugerimos estudar o trecho dedicado aos Limites até a seção "A relação entre limites laterais e
limites bilaterais", localizada entre as páginas 70 e 74.
Como material de referência para a compreensão dos limites de funções, outra sugestão é o livro
Cálculo, volume 1, de Jon Rogawski e Colin Adams. Nesse livro, recomenda-se estudar a seção 2.2
x f(x) x f(x)
0,9 -10 1,1 10
0,99 -100 1,01 100
0,999 -1 000 1,001 1 000
0,9999 -10 000 1,0001 10 000
0,99999 -100 000 1,00001 100 000
0,999999 -1 000 000 1,000001 1 000 000
f(x) = 1
x−1 x = 1
f
x
f(x) x
f(x) f
f(x) = 1
x−1
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/
"Limites: abordagem numérica e gráfica", até o tópico "Limites laterais", presente no trecho entre as
páginas 64 e 68.
Outra alternativa recomendada é o livro Cálculo, volume 1, de James Stewart, Daniel Clegg e
Saleem Watsom. Essa obra oferece uma oportunidade para aprofundar o estudo das propriedades
dos limites utilizadas em cálculos. Sugere-se explorar a seção 2.3 "Cálculos usando propriedades
dos limites", localizada entre as páginas 84 e 91.
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 1 abr. 2024.
ÁVILA, G. S. de S.; ARAÚJO, L. C. L. de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de
Janeiro: LTC, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. E-
book. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em:
1 abr. 2024.
STEWART, J.; C., D.; WATSON, S. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 1 abr.
2024.
Aula 2
LIMITES INFINITOS E NO INFINITO
Limites infinitos e no infinito
Olá, estudante!
Nesta videoaula você terá a oportunidade de explorar os conceitos fundamentais relacionados ao
estudo de limites, especialmente aqueles que envolvem a noção de infinito.
Esse conteúdo é de extrema importância para sua prática profissional, pois, ao construirmos
modelos matemáticos para representar fenômenos reais e lidarmos com questões que abrangem o
futuro, como o cálculo de limites no infinito e limites infinitos, podemos obter conclusões significativas
sobre os problemas reais correspondentes.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582604601/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/
Ponto de Partida
Desejamos a você boas-vindas! Nesta aula, continuaremos nossa jornada explorando os limites de
funções, concentrando-nos agora nos limites infinitos e no infinito, além de discutir algumas
estratégias para calcular limites vinculados a esses conceitos.
Ao estudarmos os limites de funções, analisamos situações em que a função assume valores
crescentes ou decrescentes à medida que nos aproximamos de um valor fixo em seu domínio. Por
exemplo, na função tangente próxima de . Também investigamos o comportamento das
funçõespara valores muito grandes ou pequenos, como na análise da corrente elétrica em um
circuito ao longo do tempo. Ambos os casos requerem compreensão do conceito de infinito, que
desempenha um papel crucial tanto em estudos teóricos quanto na interpretação de problemas reais
modelados matematicamente.
Para estender ainda mais a exploração do tópico em questão, considere as seguintes funções reais
como exemplos adicionais para análise e estudo:
 quando tende a valores muito grandes.
 quando tende a valores muito pequenos.
Quais conclusões podem ser obtidas com base no exame das funções fornecidas, nos intervalos
indicados, em relação ao conceito de limite?
Continue seus estudos e confira os conceitos fundamentais necessários para resolver o problema
em questão. 
Vamos Começar!
No estudo do conceito de limite temos por objetivo, dentre outras possibilidades, estudar o
comportamento de uma função em torno de um ponto, especialmente quando ele não pertence ao
domínio da função. Assim, se é o limite de uma função , quando tende a um valor , então
podemos dizer que aproxima-se suficientemente de sempre que aproximar-se de , com 
. Nesse caso, usamos a notação . Além de empregar esse estudo ao limite
bilateral, também podemos ajustar a definição de modo a aplicá-la aos limites laterais.
x = π
2
f(x) = 3x4−5
2x+3 x
g(x) = 12x+25
√4x2+2x−50
x
L f x a
f(x) L x a
x ≠ a lim
x→a
 f(x) = L
Quando determinamos os limites laterais de uma função em um ponto e esses limites existem e
são idênticos, podemos afirmar que possui um limite em . No entanto, se os limites laterais são
diferentes ou não existem, concluímos que não tem um limite no ponto . A inexistência de um
limite pode estar relacionada, por exemplo, a comportamentos de crescimento ou decrescimento
indefinidos em torno do ponto, o que está ligado aos limites infinitos, os quais serão discutidos a
seguir.
Limites infinitos
Observe as características da função definida por , presentes na Figura 1.
Figura 1 | Gráfico da função .
Ao tomar valores de cada vez mais próximos de zero, tanto à esquerda quanto à direita, os valores
correspondentes de serão cada vez maiores. Podemos observar esse fato com mais
detalhes com base na Tabela 1, quando observamos valores de .
Tabela 1 | Possíveis valores obtidos a partir da função .
Tanto por meio dos dados apresentados na Tabela 1 quanto da representação gráfica na Figura 1,
podemos deduzir que, à medida que o valor de diminui (com ), a imagem de aumenta.
Nesse cenário, aparentemente, os valores de podem crescer indefinidamente quando se
aproxima de zero, tanto pela esquerda quanto pela direita. Logo, quando , a função não
tende a um número específico, mas cresce indefinidamente, o que podemos representar como 
, porque a função assume valores cada vez maiores, tendendo ao infinito. A
a
f a
f a
f : R* → R f(x) = 1
x2
f(x) = 1
x2
x
f(x) = 1
x2
x > 0
x f(x)
1 1
0,5 4
0,1 100
0,01 10000
0,001 1000000
f(x) = 1
x2
x x > 0 f(x)
f x
x → 0 f
lim
x→0+
 f(x) = ∞
notação apresentada significa dizer que não existe o limite da função quando tende a zero.
Podemos fazer um estudo análogo para e mostrar que e, sendo assim, 
.
As notações e não representam números, mas noções que indicam que estamos
trabalhando com valores muito grandes e pequenos, respectivamente. Nesse sentido, a notação 
 ou indica que o limite da função quando tende ao valor não
existe, mas que os valores de tornam-se cada vez maiores quando aproxima-se de . Por outro
lado, a notação indica que o limite da função quando tende ao valor não existe, e que os valores
de tornam-se cada vez menores quando aproxima-se de a. Entenda por “menores” os números
negativos com maiores valores absolutos.
Nesse contexto, por definição, para uma função definida em ambos os lados de um valor , exceto
possivelmente no ponto , dizemos que se for possível tornar os valores de tão
grandes quanto quisermos tomando suficientemente próximo de , mas diferente dele, enquanto 
 indica que podemos tornar os valores de tão pequenos quanto quisermos
tomando suficientemente próximo de , e diferente dele. Em ambos os casos, estamos lidando
com os chamados limites infinitos.
Apesar da definição anterior ser apresentada a partir de limites bilaterais, podemos ajustá-la de
modo a envolver os limites laterais, conforme uma das seguintes situações: , 
, ou .
Considere agora a função definida por , cujo gráfico é indicado na Figura 2.
Figura 2 | Gráfico da função .
Analisando o comportamento de em torno de , podemos observar que 
 e . Assim, em torno de zero a função tende a infinito. Considerando valores de 
, note que ao tomar valores de tendendo a zero, conforme o gráfico da Figura 2, a função
está cada vez mais próxima da reta (eixo y), apesar de nunca a interceptar. O mesmo ocorre
para valores . Por essa propriedade, temos que a reta pode ser caracterizada como
uma assíntota vertical do gráfico da .
Dizemos que a reta é denominada assíntota vertical da curva se uma das
condições a seguir for verificada: , , , 
, ou . Quando uma função apresenta limite
infinito para tendendo a algum valor real , então a reta configura-se como assíntota
vertical para .
f x
x 0 x
x = 0
xpode ser avaliado. Por isso, para calcular o limite dessa função quando tende ao infinito
empregaremos as propriedades dos limites e manipulações algébricas da seguinte forma: para
calcular , vamos iniciar dividindo todos os termos do numerador e
denominador pelo monômio de mais alto grau dentre os termos dos dois polinômios, no caso o do
denominador , obtendo assim:
f(x) = 1
xn
1
x
1
x2
R* = R − {0}
lim
x→0−
 f(x) = {
+∞,    se n é par     
−∞,    se n é ímpar
lim
x→0+
 f(x) = +∞
1
x
= 1
x1 n = 1  lim
x→0−
  1
x
= −∞ lim
x→0+
  1
x
= +∞
x
f(x) = 1
x2 x
f(x) x
f (a,   +∞)
lim
x→+∞
 f(x) = L f(x) L
x f (−∞, a)
lim
x→−∞
 f(x) = L f(x) L
x x → +∞ x
x → −∞ x
f(x) = 1
xn n
lim
x→−∞
 f(x) = lim
x→+∞
 f(x) = 0
f(x) = 11x−2
2x3−1
∞
∞
x
lim
x→∞
 f(x) = lim
x→∞
  11x−2
2x3−1
(x3)
Da propriedade envolvendo limite do produto de função por constante, bem como utilizando a
informação de que temos:
Sendo assim, . Logo, quando trabalhamos com funções racionais em que o grau do
polinômio presente no denominador é maior ou igual ao grau do polinômio presente no numerador,
podemos utilizar uma estratégia análoga em conjunto com informações a respeito das funções na
forma , com inteiro positivo.
Retornando ao caso de temos que . Nesse caso,
devido a esse valor do limite, podemos dizer que (eixo ) consiste na assíntota horizontal da
função .
Logo, a reta é caracterizada como uma assíntota horizontal da curva quando 
 ou .
Por exemplo, para o caso da função , como , podemos afirmar que 
 consiste na assíntota horizontal da curva , conforme destacado na Figura 3.
Figura 3 | Gráfico da função .
Ao compreendermos os limites, adquirimos uma ferramenta essencial para extrair informações
primordiais sobre uma variedade de funções, seja por meio de estudos teóricos ou aplicados. Essa
compreensão facilita significativamente a resolução de uma ampla gama de problemas, abrangendo
tanto questões matemáticas quanto fenômenos do mundo real. A habilidade de analisar os limites
permite-nos modelar e interpretar fenômenos complexos, proporcionando insights valiosos e
soluções eficazes.
Vamos Exercitar?
Analisando as funções apresentadas, obtemos as seguintes informações.
 quando tende a valores muito grandes, ou seja, quando :
O objetivo é calcular . Por se tratar de uma função racional, em que
ambas as funções que compõem numerador e denominador de tendem ao infinito quando 
 assume valores muito grandes, a avaliação direta de resultaria em uma indeterminação do tipo 
lim
x→∞
 f(x) = lim
x→∞
  11x−2
2x3−1 = lim
x→∞
 
11x
x3
− 2
x3
2x3
x3
− 1
x3
= lim
x→∞
 
11
x2
− 2
x3
2− 1
x3
lim
x→+∞
 x2 = lim
x→+∞
 x3 = 0
lim
x→∞
 f(x) = lim
x→∞
 
11
x2
− 2
x3
2− 1
x3
=
11⋅ lim
x→∞
  1
x2
−2 lim
x→∞
  1
x3
lim
x→∞
 2− lim
x→∞
  1
x3
= 11⋅0−2⋅0
2−0 = 0
2 = 0
lim
x→∞
 f(x) = 0
f(x) = 1
xn n
f(x) = 1
x2 lim
x→−∞
 f(x) = lim
x→+∞
 f(x) = 0
y = 0 x
f
y = L  y = f(x)
lim
x→+∞
 f(x) = L lim
x→−∞
 f(x) = L
f(x) = 11x−2
2x3−1 lim
x→∞
 f(x) = 0
y = 0 y = f(x)
f(x) = 11x−2
2x3−1
f(x) = 3x4−5
2x+3 x x → ∞
lim
x→∞
 f(x) = lim
x→∞
  3x4−5
2x+3
f x
f ∞
∞
. Por isso, vamos empregar uma estratégia adequada para estudar o limite dessa função. Assim,
vamos, inicialmente, analisar os graus dos polinômios presentes em seu numerador e seu
denominador. Note que o polinômio no numerador tem grau 4 e no denominador, grau 1. Logo, o
grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio no denominador. Devido a esse
fato, serão os termos dominantes de cada polinômio os responsáveis por indicar o comportamento
da função racional para valores muito grandes de , isto é, os termos dos polinômios nos quais
estão presentes as potências de maior grau de . Desse modo, note que:
Assim, nos casos em que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do
denominador, temos funções racionais cujos limites no infinito são infinitos.
 quando tende a valores muito pequenos, ou seja, no caso em que 
:
No caso dessa função, o objetivo é avaliar . As funções que
ocupam o numerador e o denominador da função racional ambas tendem “ao infinito” para valores
muito pequenos de , o que ocasionaria uma indeterminação da forma . Devido a esse fato,
precisamos empregar uma estratégia adequada no estudo desse limite. Assim, vamos iniciar pela
divisão de numerador e denominador por , porém com uma consideração de que se , então 
. Desse modo:
Como então:
Portanto, , o que conclui o estudo das funções apresentadas. 
Saiba Mais
Uma excelente sugestão de material complementar para aprofundar o estudo das estratégias de
cálculo de limites é o livro Cálculo, volume 1, escrito por Howard Anton, Irl C. Bivens e Stephen L.
Davis. Recomenda-se estudar as seções 1.2, intitulada "Calculando limites", abrangendo as páginas
80 a 86, e a seção 1.3 "Limites no infinito: comportamento final de uma função", que vai das páginas
89 a 96. Essas seções fornecerão uma base sólida para explorar e compreender os conceitos
relacionados aos limites de funções.
Uma alternativa adicional para o estudo dos limites de funções é o livro Cálculo: ilustrado, prático e
descomplicado, de Geraldo S. de S. Ávila e Luís C. L. de Araújo. Para explorar os limites infinitos e
no infinito, recomenda-se estudar o tópico correspondente, presente entre as páginas 98 e 101. Além
disso, para abordar as estratégias de cálculo de limites envolvendo polinômios, sugere-se estudar as
páginas 102 a 104. Essas seções fornecerão uma compreensão abrangente e prática dos conceitos
essenciais relacionados aos limites de funções.
Para enriquecer sua compreensão dos limites de funções, recomenda-se a consulta ao livro Um
curso de cálculo – volume 1, de Hamilton L. Guidorizzi. Para abordar os limites no infinito e os limites
infinitos, é aconselhável estudar as seções 4.1 e 4.2, que estão situadas entre as páginas 99 e 110.
x
x
lim
x→∞
 f(x) = lim
x→∞
  3x4−5
2x+3 = lim
x→∞
  3x4
2x
= lim
x→∞
 ( 3
2 x3) = ∞
g(x) = 12x+25
√4x2+2x−50
x
x → −∞
lim
x→−∞
 g(x) = lim
x→−∞
  12x+25
√4x2+2x−50
x ∞
∞
x xdas estratégias de cálculo dos limites.
Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois sabendo da importância dos limites
no estudo das funções, o conhecimento das diferentes estratégias para o cálculo dos limites é uma
ferramenta essencial nesse contexto. Assim, é importante que você conheça e pratique esses
conhecimentos para que possa aplicá-los em diferentes situações.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
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Ponto de Partida
Desejamos boas-vindas a você, estudante!
Vamos aprofundar nossos estudos dos limites de funções, direcionando nossas investigações
especialmente às diferentes estratégias para o cálculo de limites.
Quando investigamos um limite, desejamos estudar o comportamento de uma função em torno de
um ponto, pertencente ou não ao seu domínio, ou então para valores muito pequenos ou muito
grandes de seu domínio, o que está relacionado ao estudo dos limites no infinito.
Nas diferentes situações, e de acordo com o tipo de função em estudo, precisamos empregar
estratégias específicas para o cálculo desses limites, tendo em vista identificar os resultados
corretamente, contornando possíveis problemas que podem surgir em situações de substituição
direta, o que pode conduzir a indeterminações.
Assim, para contribuir com o estudo da temática apresentada, considere as funções definidas a
seguir:
 quando tende a valores muito grandes.
 quando tende a zero.
O que podemos dizer a respeito do comportamento dessas funções nos pontos ou intervalos
destacados? Quais os conhecimentos necessários para esse desafio?
Dê continuidade aos seus estudos e confira os conceitos essenciais para a resolução da
problemática em questão. 
Vamos Começar!
Calcular um limite é uma tarefa essencial quando desejamos analisar o comportamento de uma
função em um ponto, ou para valores muito pequenos ou muito grandes de seu domínio. Em
algumas situações, o cálculo de um limite se resume em uma substituição direta, como é o caso do
exemplo a seguir:
f(x) = 3 sen  (x + π
2 ) x
g(x) = tg(x)
x
x
No entanto, em alguns casos, a substituição direta pode conduzir a uma forma indeterminada, como
é o caso de , , , entre outras possibilidades, além das divisões por zero. Essas
indeterminações correspondem a situações que não podem ser investigadas, por isso, quando
observamos a possibilidade de ocorrência de uma delas, precisamos reconhecer outra estratégia
para efetuar o cálculo do limite.
Por exemplo, se fizermos uma substituição direta no limite teremos como resultado
uma divisão por zero, por isso tal procedimento não pode ser aplicado nesse problema. Para
solucioná-lo, precisamos aplicar o processo de fatoração de polinômios da seguinte forma:
Note que, no caso anterior, foi feita uma substituição direta após a simplificação feita no quociente de
polinômios. Esse tipo de recurso pode ser associado às propriedades iniciais dos limites, as quais
envolvem especialmente as funções polinomiais. Observe, a seguir, outras estratégias para o cálculo
de limites, envolvendo também as demais categorias de funções.
Siga em Frente...
Calculando limites
Vamos analisar como podemos trabalhar com as demais categorias de funções diante do conceito
de limite.
Assim, seja a função exponencial . Tomando valores de suficientemente grandes, temos
que tende ao infinito, sendo esse fato denotado por , isto é, temos um limite no
infinito que é infinito, possibilitando afirmar que tende ao infinito quando tende ao infinito. Por
outro lado, quando analisamos tendendo a valores muito pequenos, observamos que os valores
de aproximam-se de zero, o que indica que . Podemos analisar essas
informações também com base no gráfico presente na Figura 1(a).
Figura 1 | Gráficos de funções exponenciais e logarítmicas.
 
lim
x→2
  (x2 + 3x) = 22 + 3 ⋅ 2 = 4 + 6 = 10
∞
∞ 0 ⋅ ∞ ∞−∞
lim
x→3
  x2−2x+3
x−3
lim
x→3
  x2−2x+3
x−3 = lim
x→3
  (x−3)(x+1)
x−3 = lim
x→3
  (x + 1) = 3 + 1 = 4
f(x) = ex x
f(x) lim
x→+∞
 ex = ∞
f(x) x
x
f(x) lim
x→−∞
 ex = 0
(a) Gráfico de f(x) = ex (b) Gráfico de 
g(x) = ln  (x)
Agora, analisemos a função logarítmica , presente na Figura 1(b). Tomando valores
de suficientemente grandes, percebemos que tende ao infinito, ou seja, .
Como a função logarítmica é avaliada somente para valores de positivos, podemos avaliar apenas
o limite à direita de zero, o qual é dado por .
Outro limite importante e que tem relação com o número de Euler, e, consiste em 
. Esse fato pode ser observado a partir do gráfico de 
, ilustrado na Figura 2, em que notamos a reta como assíntota horizontal do gráfico
dessa função. Com isso, podemos obter aproximações para o valor e, o qual é essencial para a
constituição das funções exponencial e logarítmica naturais.
Figura 2 | Gráfico da função .
Quanto às funções trigonométricas, como o seno e o cosseno, seus valores oscilam entre 1 e -1.
Quando tende a valores extremamente grandes ou pequenos, é impossível determinar um limite.
Portanto, não existem os limites , , e 
. A respeito da função tangente, temos a possibilidade, por exemplo, de avaliar os
limites laterais em torno dos números reais nos quais ela não está definida, os quais também são
dados por limites infinitos.
No caso das funções seno e cosseno, o limite também não existe, assim como ocorre com a função
exponencial , por exemplo. Porém, como o comportamento dessas funções
trigonométricas para valores muito grandes de , é oscilante, não podemos indicar na notação que o
limite é “igual a infinito”.
Dentre os principais limites envolvendo funções trigonométricas, temos o limite fundamental, o qual é
dado por . Para justificar esse limite, precisamos empregar o teorema a seguir.
Teorema do confronto: Se para suficientemente próximo de (exceto
possivelmente no ponto ) e , então .
Vamos empregar o teorema anterior para avaliar o limite de quando .
Sabemos que , devido à imagem da função seno. Como para todo 
 real, então . Como , podemos concluir, pelo
teorema do confronto, que .
Retornando agora ao caso do limite de quando . Podemos empregar o teorema do
confronto considerando a limitação para e . Sendo
assim, como e , podemos concluir que .
g(x) = ln  (x)
x g(x) lim
x→+∞
  ln  (x) = ∞
x
lim
x→0+
  ln  (x) = −∞
lim
x→+∞
 (1 + 1
x
)
x
= lim
x→−∞
 (1 + 1
x
)
x
= e
(1 + 1
x
)
x
y = e
(1 + 1
x
)x
x
lim
x→−∞
  sen  (x) lim
x→+∞
  sen  (x) lim
x→−∞
  cos  (x)
lim
x→+∞
  cos  (x)
f(x) = ex
x
lim
x→0
  sen(x)
x
= 1
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x a
a lim
x→a
 f(x) = lim
x→a
 h(x) = L lim
x→a
 g(x) = L
f(x) = x2 sen  ( 1
x
) x = 0
−1 ≤ sen  (x) ≤ 1 x2 ≥ 0 x
−x2 ≤ x2 sen  ( 1
x
) ≤ x2 lim
x→0
  (−x2) = lim
x→0
 x2 = 0
lim
x→0
 (x2 sen  ( 1
x
)) = 0
sen(x)
x
x → 0
cos  (x) ≤ sen  (x)
x
≤ 1 − π
2 ≤ x ≤ π
2 x ≠ 0
lim
x→0
  cos  (x) = 1 lim
x→0
 1 = 1 lim
x→0
  sen(x)
x
= 1
Com base nesse limite fundamental, podemos estudar o comportamento de outras funções. Por
exemplo, a partir do limite fundamental, podemos afirmar que , o que pode ser
estudado a partir da mudança de variável .
É importante ressaltar que, apesar de utilizarmos as notações ou quando afirmamos que o
limite de uma função, em um ponto dado ou quando , tende a valores muito pequenos ou grandes,
é igual a “infinito” ou a “menos infinito”, estamos dizendo que o limite não existe, porque o limite só
existe quando for igual a um número real. Assim, a igualdade envolvendo limite e infinito apenas
indica um comportamento da função cujo limite não existe.
Com base nas propriedades estudadas, vejamos outros exemplos envolvendo o cálculo de limites.
Perceba que em todos os momentos nos quais aplicamos a chamada substituição direta,
basicamente estamos empregando as primeiras propriedadesestudadas, envolvendo o limite de
constante, limite de , limite da soma de funções etc. Assim, chamaremos de substituição direta
esse processo durante a resolução dos exemplos a seguir, mas lembre-se de que se trata de um
processo de aplicação de propriedades dos limites.
(a) Vamos calcular 
Para esse caso, vamos colocar 2 em evidência no numerador e, em seguida, vamos multiplicar o
numerador e o denominador por . Com isso, obtemos:
Sabemos que . Além disso, observe que:
Sendo assim,
Portanto,
(b) Se , para , vamos explorar :
Note que e . Portanto, pelo teorema
do confronto, podemos afirmar que .
(c) Estudemos o limite da função quando .
Note que a substituição direta do limite conduz à indeterminação . Por isso, inicialmente vamos
expandir o numerador da função :
Agora, calculando o limite por substituição direta obtemos:
lim
x→0
  sen(3x)
x
= 3
θ = 3x
∞ −∞
x
x
lim
x→0
  2−2 cos  (x)
sen  (x)
1
x
lim
x→0
  2−2 cos  (x)
sen  (x) = lim
x→0
  2(cos  (x))sen  (x) = lim
x→0
 
2(1−cos  (x))
x
sen  (x)
x
lim
x→0
  sen(x)
x
= 1
1−cos  (x)
x
= ( 1−cos  (x)
x
)( 1+cos  (x)
1+cos  (x) ) = 1−cos2  (x)
x(1+cos  (x)) = sen2  (x)
x(1+cos  (x)) = sen  (x)
x
⋅ sen  (x)
1+cos  (x)
lim
x→0
  1−cos  (x)
x
= lim
x→0
 ( sen  (x)
x
⋅ sen  (x)
1+cos  (x) ) = lim
x→0
 ( sen  (x)
x
) ⋅ lim
x→0
 ( sen  (x)
1+cos  (x) ) = 1 ⋅ 0
2 = 0
lim
x→0
  2−2 cos  (x)
sen  (x) = lim
x→0
 
2(1−cos  (x))
x
sen  (x)
x
=
2⋅lim
x→0
  1−cos  (x)
x
lim
x→0
  sen  (x)
x
= 2⋅0
1 = 0
x2 + 4 ≤ f(x) ≤ 4 + sen  (x) −2 ≤ x ≤ 5 lim
x→0
 f(x)
lim
x→0
 (x2 + 4) = 02 + 4 = 4 lim
x→0
 (4 + sen  (x)) = 4 + 0 = 4
lim
x→0
 f(x) = 4
g(x) = (2+x)3−8
x
x → 0
0
0
g
g(x) = (2+x)3−8
x
=
(2+x)(4+4x+x2)−8
x
= 8+8x+2x2+4x+4x2+x3−8
x
= x3+6x2+12x
x
=
x(x2+6x+12)
x
= x2 + 6x + 1
lim
x→0
  (2+x)3−8
x
= lim
x→0
  (x2 + 6x + 12) = 02 + 6 ⋅ 0 + 12 = 12
(d) Calculemos o .
Faremos a avaliação desse limite a partir dos limites laterais correspondentes, sabendo que 
 e . Antes, perceba que:
Iniciemos pelo limite à esquerda em . Nesse caso,
De forma análoga, para o limite à direita em :
Portanto, podemos concluir que não existe.
(e) Vamos avaliar 
Multiplicando o numerador e o denominador da função por obtemos:
Como queremos avaliar então . Nesse caso, empregando a substituição 
 teremos:
Agora, calculando o limite:
(f) Estudemos o limite da função quando .
Dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de do denominador, que, no caso, é 
, obtemos:
Agora, calculando o limite, sabendo que quando e que 
 quando , obtemos:
Note que precisamos empregar estratégias específicas no cálculo dos limites, conforme a função e o
tipo de limite a serem estudados (limite no ponto ou no infinito). Por isso a prática do cálculo de
limites é imprescindível para que você possa reconhecer qual é a estratégia mais eficiente em cada
situação. 
Vamos Exercitar?
lim
x→2
  x+2
x2−4
lim
x→0−
  1
x
= −∞ lim
x→0+
  1
x
= +∞
x+2
x2−4 = x+2
(x−2)(x+2) = 1
x−2
x = 2
lim
x→2−
  x+2
x2−4 = lim
x→2−
  1
x−2 = lim
x→0−
  1
x
= −∞
x = 2
lim
x→2+
  x+2
x2−4 = lim
x→2+
  1
x−2 = lim
x→0+
  1
x
= +∞
lim
x→2
  x+2
x2−4
lim
x→−∞
  x
√x2+1
1
x
x
√x2+1
=
x
x
1
x
√x2+1
= 1
1
x
√x2+1
x → −∞ xjornada de conhecimento!
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/
Ponto de Partida
Caro estudante, desejamos a você boas-vindas! Nesta aula investigaremos a propriedade da
continuidade de funções, com base no conceito de limite.
O estudo dos limites das funções possui uma ampla gama de aplicações, dentre elas a avaliação da
continuidade. A continuidade é uma característica intuitiva que indica a ausência de interrupções nos
gráficos das funções. Quando uma função é considerada contínua em seu domínio, podemos
calcular derivadas e integrais em todos os pontos, além de utilizar estratégias para identificar raízes.
Por outro lado, quando as funções são descontínuas, podemos realizar estudos específicos para
compreender essa descontinuidade. Assim, o conceito de continuidade das funções é essencial para
resolver problemas ao analisar as propriedades dos modelos matemáticos relacionados.
Para contribuir com o estudo dessa temática, vamos analisar as funções definidas da seguinte
forma:
Função com lei de formação: ;
Função definida a partir de seu gráfico, ilustrado na Figura 1.
Figura 1 | Representação gráfica para a função .
Como você avaliaria cada função com base no conceito de continuidade? E no caso de serem
descontínuas, qual tipo de descontinuidade poderá ser encontrada?
Prossiga em seus estudos e confira os conceitos necessários para cumprir essa tarefa. 
Vamos Começar!
O estudo do limite de uma função pode ser conduzido em relação a um ponto específico,
independentemente de este pertencer ou não ao domínio da função em análise. No entanto, ao
avaliar a continuidade de uma função, é fundamental considerar que o ponto em questão pertença
ao domínio da função. Isso nos possibilita comparar os valores obtidos por meio do cálculo de limites
com as imagens dos pontos determinados pela função. A seguir, vamos investigar os critérios
fundamentais para a construção de funções contínuas.
Funções contínuas
De forma intuitiva, a continuidade de uma função está associada à ideia de não haver lacunas, saltos
ou interrupções em seu gráfico. Com base nessa observação, podemos inferir que a função
retratada na Figura 2(a) seria considerada contínua, ao passo que a função mostrada na Figura 2(b)
f f(x) = {
x2−x−2
x−2 ,  se x ≠ 2
3,  se x = 2
g
g
seria classificada como descontínua. No entanto, é importante entender como podemos justificar
essa distinção de maneira teórica.
Figura 2 | Funções contínuas e descontínuas.
Para a definição de função contínua, considere uma função real e um valor de seu domínio.
Dizemos que a função é contínua em quando . Note que a definição de
continuidade de uma função envolve a ocorrência de três condições: está definida em , ou 
 está definida; existe; e .
Considere o exemplo da função . Ela está definida em e é tal que:
Além disso, o limite bilateral de existe em de modo que:
Portanto, a função é contínua em , pois . Além do ponto indicado, a
função é contínua em todos os pontos do seu domínio, ou seja, é contínua em todo o conjunto dos
números reais. Sendo assim, podemos afirmar que é contínua em .
Dessa forma, dizemos que é uma função contínua em um intervalo do tipo , com ,
se for contínua em todos os números do intervalo. No caso do exemplo anterior, tomamos o
intervalo como sendo o conjunto de números reais.
Entre as funções contínuas, podemos citar exemplos como as funções afim, quadráticas,
exponenciais, logarítmicas, seno e cosseno. Além disso, utilizando operações de adição,
multiplicação e composição, podemos criar outras funções contínuas a partir de funções já
existentes com essa propriedade. No caso das funções racionais, a continuidade ocorre nos
intervalos nos quais os denominadores não se anulam, como demonstrado no exemplo a seguir.
Considere a função real cuja lei de formação é . Note que a função está definida
para todos os números reais diferentes de -2, ou seja, seu domínio é descrito por 
. Logo, a função será contínua em todo o seu domínio, ou seja, para
todos os reais diferentes de -2. Por exemplo, tomando o número temos que:
(a) Função contínua. (b) Função descontínua.
f a
f x = a lim
x→a
 f(x) = f(a)
f a f(a)
lim
x→a
 f(x) lim
x→a
 f(x) = f(a)
f(x) = 3x − 2 x = 1
f(1) = 3 ⋅ 1 − 2 = 3 − 2 = 1
f x = 1
lim
x→1
 f(x) = lim
x→1
 (3x − 2) = 3 ⋅ 1 − 2 = 3 − 2 = 1 = f(1)
f x = 1 lim
x→1
 f(x) = f(1)
f
f R
f (a, b) a, b ∈ R
f
f(x) = x2−4
x+2 f
D(f) = {x ∈ R;x ≠ −2} f
x = 3 ∈ D(f)
f(3) = 32−4
3+4 = 9−4
3+4 = 5
7
lim
x→3
 f(x) = lim
x→3
 ( x2−4
x+2 ) = 32−4
3+4 = 9−4
3+4 = 5
7
Logo, como , podemos concluir que é contínua em . Um argumento
análogo pode ser empregado para provar que será contínua em cada um dos pontos de seu
domínio .
A continuidade também pode ser avaliada à esquerda ou à direita em um ponto , de modo análogo
às relações existentes entre limites bilaterais e limites laterais. Nesse caso, é contínua à direta em
um valor quando , sendo contínua à esquerda de no caso em que 
.
Seja agora a função , definida por partes, a qual é apresentada a seguir e ilustrada no gráfico da
Figura 3.
Figura 3 | Gráfico da função definida por partes.
Note que a função da Figura 3 foi construída a partir das funções afim e , que
são contínuas em seus domínios. Por isso, a função é contínua em seu domínio, exceto
possivelmente nos pontos e , onde ocorrem as mudanças na lei de formação. Por isso,
vamos analisar o que ocorre nesses dois pontos.
Calculando os limites laterais em podemos observar que e 
. Como os limites de em torno de existem, mas são diferentes,
então o limite de em não existe, logo, não é contínua nesse ponto. Porém, como 
 e , podemos dizer que é contínua à direita em .
Agora, para segue que e . Sendo 
, então o limite de existe em e, como , podemos
concluir que é contínua em . Portanto, é contínua em todo seu domínio, com exceção de 
.
Com a caracterização das continuidades à direita e à esquerda, podemos afirmar que uma função f
será contínua em um intervalo fechado do tipo , com , quando for contínua no
intervalo , contínua à direita em e contínua à esquerda em .
Seja a função cujo domínio é descrito pelo intervalo fechado . O
gráfico dessa função é apresentado na Figura 4. Para analisar a continuidade de em seu domínio,
devemos analisar a continuidade de no intervalo aberto , além das continuidades nos dois
extremos.
lim
x→3
 f(x) = f(3) f  x = 3
f
D(f)
a
f
a lim
x→a+
 f(x) = f(a) a
lim
x→a−
 f(x) = f(a)
f
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩x,  se x 2        
f g(x) = x h(x) = 2
f
x = 1 x = 2
x = 1 lim
x→1−
 f(x) = lim
x→1−
 x = 1
lim
x→1+
 f(x) = lim
x→1+
 2 = 2 f x = 1
f x = 1 f
f(1) = 2 lim
x→1+
 f(x) = 2 f x = 1
x = 2 lim
x→2−
 f(x) = lim
x→2−
 2 = 2 lim
x→2+
 f(x) = lim
x→2+
 x = 2
lim
x→2−
 f(x) = lim
x→2+
 f(x) = 2 f x = 2 f(2) = 2
f x = 2 f
x = 1
[a, b] a, b ∈ R f
(a, b) a b
f(x) = √9 − x2 D(f) = [−3,3]
f
f (−3,3)
Figura 4 | Gráfico da função .
Em relação ao intervalo , note que se tomarmos qualquer número real então:
Logo, é contínua em todos os pontos do intervalo aberto . Além disso, a continuidade nas
extremidades 3 e -3 também é verificada, pois:
Portanto, é contínua no intervalo fechado, o que implica ser contínua em todo o seu domínio.
Quando estamos analisando a continuidade das funções, é essencial determinar os pontos ou
conjuntos nos quais esse comportamento será examinado. Normalmente, direcionamos nossa
análise para os domínios das funções mais comuns, como polinomiais, racionais, radicais,
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e inversas. No entanto, é crucial reconhecer que nem
todas as funções são contínuas em todos os valores reais. Desse modo, compreender o conceito de
função descontínua e os diferentes tipos de descontinuidades é fundamental, como abordaremos a
seguir.
Siga em Frente...
Funções descontínuas e tipos de descontinuidadesDada uma função real e um ponto fixado , pertencente ou não ao domínio de . Dizemos que é
descontínua em , ou tem descontinuidade em , quando não for contínua em . Dentre as
possíveis descontinuidades que podem ocorrer, temos as removíveis, as de salto e as infinitas.
f(x) = √9 − x2
(−3,3) c ∈ (−3, 3) 
lim
x→c
 f(x) = lim
x→c
 √9 − x2 = √lim
x→c
 (9 − x2) = √9 − c2 = f(c)
f (−3,3)
lim
x→−3+
 f(x) = lim
x→−3+
 √9 − x2 = √ lim
x→−3+
 (9 − x2) = √9 − (−3)2 = 0 = f(−3)
lim
x→3−
 f(x) = lim
x→3−
 √9 − x2 = √ lim
x→3−
 (9 − x2) = √9 − 32 = 0 = f(3)
f f
f a f f
a a f a
Observe alguns exemplos de funções e suas descontinuidades, tomando como referência os
gráficos presentes na Figura 5.
Figura 5 | Funções descontínuas.
Seja a função tangente , ilustrada na Figura 5(a). Note, por exemplo, que não
pertence ao domínio de , pois a tangente não está definida para esse valor. Logo, a função
tangente não é contínua em . Assim, a função tangente apresenta uma descontinuidade em 
, a qual é caracterizada como uma descontinuidade infinita, porque ao calcular os limites
laterais nesse ponto temos e , ou seja, limites infinitos.
Considere agora a função , com gráfico presente na Figura 5(b). Note que é
descontínua em porque não está definida. No entanto, avaliando o limite de em ,
e sabendo que obtemos:
Assim, apesar de não estar definida em , o limite de em torno desse ponto existe.
Construindo uma nova função , então será contínua. Desse modo,
ao estender a função , podemos construir uma nova função, que será contínua em todo o , por
meio do preenchimento do “buraco” presente no gráfico de . Esse é um exemplo de uma
descontinuidade removível. Observe que nesse tipo de descontinuidade temos um ponto, no qual a
função não está definida, mas em torno do qual o limite bilateral da função existe, de modo que ao
completar a definição da função adequadamente podemos torná-la em uma função contínua.
A terceira situação possível corresponde à descontinuidade do tipo salto. Nesse caso, podemos
destacar, por exemplo, a função , com , com gráfico presente na Figura 5(c).
Temos que é descontínua em , porque não está definida nesse ponto, porém podemos
estudar os limites laterais em torno dele: e 
. Assim, para , os limites laterais em torno de existem, mas são
diferentes. Nesse caso, a função não possui uma descontinuidade removível, pois não é possível
ajustar a definição de para torná-la contínua, devido aos limites laterais serem diferentes. Portanto,
uma descontinuidade do tipo salto ocorre quando a função apresenta limites laterais distintos em um
ponto específico, o que impede a sua transformação em uma função contínua.
(a) Função 
f(x) = tg(x)
(b) Função 
g(x) = x2−4
x−2
(c) Função h(x) = |x|
x
f(x) = tg(x) x = π
2
f
x = π
2
x = π
2
lim
x→ π
2
−
  tg(x) = +∞ lim
x→ π
2
+
  tg(x) = −∞
g(x) = x2−4
x−2 g
x = 2 g(2) g x = 2
x2 − 4 = (x + 2)(x − 2)
lim
x→2
 g(x) = lim
x→2
 ( x2−4
x−2 ) = lim
x→2
 [ (x+2)(x−2)
x−2 ] = lim
x→2
 (x + 2) = 2 + 2 = 4
g x = 2 g
p(x) = {
g(x),  se x ≠ 2
4,  se x = 2      
p(x)
g R
g
h(x) = |x|
x
x ≠ 0
h x = 0
lim
x→0−
 h(x) = lim
x→0−
  −x
x
= −1
lim
x→0+
 h(x) = lim
x→0+
  x
x
= 1 h x = 0
h
Relacionado ao estudo das funções contínuas, um dos principais resultados associados a essa
temática é o teorema do valor intermediário, cujo enunciado é apresentado a seguir.
Teorema do valor intermediário: Se é uma função contínua em um intervalo fechado , com 
, e é um número real qualquer entre e , então existe, no mínimo, um número 
 tal que .
Na Figura 6, é apresentado um gráfico que ilustra uma situação na qual o teorema do valor
intermediário é verificado, sendo necessariamente a função contínua.
Figura 6 | Ilustração para o teorema do valor intermediário.
A continuidade é um conceito fundamental no estudo das funções, fornecendo informações valiosas
da função em todo o seu domínio. Isso possibilita, por exemplo, a representação de fenômenos por
meio de funções que se ajustam às suas características e podem ser analisadas com uma variedade
de ferramentas matemáticas. Dessa forma, a continuidade contribui significativamente para a
resolução de problemas reais. 
Vamos Exercitar?
Vamos analisar as funções apresentadas com base no conceito de continuidade e nas classificações
dos pontos de descontinuidade.
Função com lei de formação: :
No estudo da função quanto à continuidade, analisemos inicialmente a sua definição para 
 e . Note que a razão é tal que seu denominador não se anula para valores reais 
, logo, a função é contínua para os intervalos e , por se tratar de uma
função racional.
Analisemos agora o caso . Por um lado, pela definição, temos que . Por outro lado,
calculando os limites laterais em torno desse ponto, e sabendo que ,
obtemos:
Como os limites laterais existem e são iguais entre si, além de coincidirem com a imagem de em 
, podemos concluir que a é contínua nesse ponto. Dessa forma, podemos inferir que a
função é contínua em todo o seu domínio .
Função definida a partir de seu gráfico, ilustrado na Figura 1:
Conforme verificado no gráfico da função , presente na Figura 1, a função é descontínua,
considerando seu domínio descrito por . Pontos de descontinuidades podem ser observados para 
f [a, b]
a, b ∈ R k f(a) f(b)
c ∈ [a, b] f(c) = k
f
f f(x) = {
x2−x−2
x−2 ,  se x ≠ 2
3,  se x = 2
f x ∈ R
x ≠ 2 x2−x−2
x−2
x ≠ 2 f (−∞, 2) (2,+∞)
x = 2 f(2) = 3
x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
lim
x→2−
 f(x) = lim
x→2−
  x2−x−2
x−2 = lim
x→2−
  (x+1)(x−2)
x−2 = lim
x→2−
 (x + 1) = 3
lim
x→2+
 f(x) = lim
x→2+
  x2−x−2
x−2 = lim
x→2+
  (x+1)(x−2)
x−2 = lim
x→2+
 (x + 1) = 3
f
x = 2 f
f D(f) = R
g
g g
R
, e . Observe, a seguir, as características apresentadas por em torno de cada
um desses pontos.
Em , os limites laterais de existem e são iguais, sendo ,
no entanto, não está definida em -1. Assim, temos uma descontinuidade removível, visto que a
função admite limites laterais em torno desses pontos iguais, apesar de não estar definida no ponto.
Para se tornar contínua em basta complementar a definição com .
No caso de temos uma descontinuidade infinita, pois . No entanto, como 
 e , temos continuidade à esquerda de .
Por fim, em temos outra descontinuidade removível, porque os limites laterais de nesse
ponto existem e são iguais, sendo , mas 
Portanto, a função é contínua nos intervalos , , e , o que conclui
esse estudo. 
Saiba Mais
Para explorar o estudo da continuidade de funções, recomendamos consultar o livro Cálculo, volume
1, de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson. Na seção 2.5, intitulada "Continuidade", que
abrange as páginas 103 a 111, você encontrará as principais definições e diversos exemplos sobre
funções contínuas e descontínuas. O livro destaca especialmente as funções mais comuns, como
polinomiais, racionais, exponenciais, entre outras.
Além disso, outra sugestão para aprofundar o estudo da continuidade de funções é explorar a seção
2.4 "Limites e continuidade" do livro Cálculo, volume 1, de Rogawski e Colin Adams. Nessa seção,
páginas 75 a 81, você encontrará exemplos importantes que ampliarão sua compreensão sobre a
continuidade de funções.
Outra valiosa fonte para aprofundar seus estudos da continuidade de funções é o livro Cálculo,
volume 1, de Howard Anton, Irl C. Bivens e Stephen L. Davis. Recomendamos explorar a seção 1.5
"Continuidade", páginas 110 a 117. Nessa seção, você encontrará uma discussão abrangente sobre
o tema, incluindo aplicações do teorema do valor intermediário e propriedades das funções
contínuas. Essas informações adicionais oferecerão uma perspectiva mais ampla e aprofundada do
conceito de continuidade de funções, fortalecendo ainda mais seu conhecimento nessa área.
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 1 abr. 2024.
ÁVILA, G. S. deS.; ARAÚJO, L. C. L. de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de
Janeiro: LTC, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
ROGAWSKI, Jon; ADAMS, Colin; DOERING, Claus I. Cálculo. V.1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman,
2018. E-book. ISBN 9788582604601. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 01 abr. 2024.
x = −1 x = 3 x = 5
x = −1 g lim
x→−1−
 g(x) = lim
x→−1+
 g(x) = 1
g
x = −1 g(−1) = 1
x = 3, lim
x→3+
 g(x) = −∞
lim
x→3−
 g(x) = 3 g(3) = 3 x = 3
x = 5 g
lim
x→5−
 g(x) = lim
x→5+
 g(x) = 4 g(5) = 2.
g (−∞,−1) (−1,3] (3,5) (5,+∞)
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582604601/
STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2021. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 01 abr. 2024.
Encerramento da Unidade
LIMITES DE FUNÇÕES
Videoaula de Encerramento
Olá, estudante!
Nesta videoaula você revisitará os conceitos fundamentais relacionados aos limites de funções.
Esse conteúdo é essencial para sua prática profissional, pois permite uma análise mais detalhada
das funções. Isso inclui a capacidade de examinar seu comportamento mesmo em pontos fora do
domínio, para valores extremamente grandes ou pequenos. Tal estudo é aplicável na investigação
de modelos matemáticos associados a uma ampla gama de fenômenos, provenientes das mais
variadas áreas do conhecimento.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender o conceito de limite e empregá-
lo na resolução de problemas, utilizando-se de cálculos e ferramentas matemáticas específicas, você
deverá, primeiramente, conhecer os conceitos fundamentais, especialmente o conceito de limite de
função, com suas propriedades e abordagens possíveis.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/
Os limites de funções constituem um dos pilares fundamentais do cálculo e desempenham um papel
essencial em diversas áreas da Matemática e Ciências. Eles oferecem uma descrição precisa do
comportamento de uma função à medida que a variável independente se aproxima de determinado
valor, bem como quando consideramos valores extremamente grandes ou pequenos, direcionando
nossos estudos para os limites no infinito e limites infinitos. Essa noção é de suma importância para
compreender a continuidade das funções, identificar assíntotas e explorar outros aspectos cruciais
do comportamento das funções.
Além disso, os limites desempenham um papel essencial na definição de conceitos fundamentais no
campo do cálculo diferencial e integral, como as derivadas, por exemplo, que possuem aplicações
cruciais em diversas áreas da ciência e engenharias. Portanto, o estudo dos limites é indispensável
para a construção de uma base sólida no entendimento e aplicação do cálculo e suas aplicações em
diferentes contextos.
É Hora de Praticar!
Na modelagem e solução de problemas do mundo real, frequentemente nos deparamos com
funções que se diferenciam das convencionais, embora sejam construídas com base nelas. Um
exemplo notável é a função de Heaviside, também conhecida como função degrau unitário, cuja
definição é expressa por:
em que representa um número real, ajustado conforme o contexto. Essa função desempenha um
papel significativo no campo das ciências exatas e engenharias, pois auxilia na descrição de
diversos fenômenos. Um exemplo comum é sua utilização na modelagem de passagens de
correntes elétricas em circuitos sujeitos a chaves que são ligadas e desligadas em condições
específicas.
Considere que, ao deparar-se com essa função durante o estudo de um problema, você precisa
obter conclusões a respeito do seu comportamento. Para isso, é útil construir o gráfico da função de
Heaviside e aplicar os conhecimentos de limites e continuidade para determinar onde a função é
contínua.
Para resolver esse desafio, o primeiro passo é plotar o gráfico da função de Heaviside. Com base
nessa construção e no estudo da função de Heaviside, diante dos conceitos envolvendo limites e
continuidade, faça um estudo a respeito da continuidade da função de Heaviside, justificando sua
resposta. Como você resolveria esse desafio? 
Reflita
Quais estratégias podem ser empregadas no cálculo do limite de uma função?
Como podemos diferenciar funções contínuas e descontínuas?
Quais propriedades podem ser aplicadas no cálculo dos limites de funções? 
Resolução do estudo de caso
A função de Heaviside possui domínio descrito pelo conjunto e lei de formação no formato:
Hc(x) = {
0,  se x