Exercícios de Álgebra Linear

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
1a Lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
A´lgebra Matricial e Sistemas Lineares
2o semestre de 2005 27/09/2005
E´ importante saber escrever suas respostas de forma clara e concisa.
1. Mostre que o conjunto de todas as matrizes n×n triangulares superiores e´ fechado com respeito
a` adic¸a˜o e a` multiplicac¸a˜o de matrizes, ou seja, se T1 e T2 sa˜o triangulares superiores, enta˜o
T1 + T2 e T1 · T2 sa˜o triangulares superiores.
2. Se A e´ qualquer matriz real m×n, enta˜o ATA e´ chamada a matriz de Gram de A. Mostre que a
matriz de Gram de A e´ sempre sime´trica e os elementos da diagonal principal sa˜o na˜o-negativos.
3. Prove que toda matriz n × n real pode ser expressa unicamente como soma de uma matriz
sime´trica e uma anti-sime´trica.
4. Encontre as matrizes linha-reduzida a` forma escada para:
A =

0 1 2
−1 3 0
1 −2 1
5 2 −1
 B =
 3 −1 2 1 0 02 1 1 0 1 0
1 −3 0 0 0 1
 C =
 0 0 11 0 2
2 1 0

5. Resolva os sistemas abaixo por reduc¸a˜o da matriz aumentada associada a` forma escada. Se o
sistema na˜o for homogeˆneo, expresse a soluc¸a˜o na forma Xh+Xp, onde Xh e´ a soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo e Xp e´ uma soluc¸a˜o particular.
(a)

3x1 + 2x2 + 16x3 + 5x4 = 0,
2x2 + 10x3 + 8x4 = 0,
x1 + x2 + 7x3 + 3x4 = 0.
(b)

3x− y + 2z = 2,
2x+ y + z = −1,
x+ 3y = 2,
(c)

2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5,
x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 8,
2x1 + 2x2 − 2x3 − 3x4 = 2.
(d)

3x1 − x2 + 2x3 = −4,
2x1 + x2 + x3 = −1,
x1 + 3x2 = 2.
(e)

x1 − x3 = 2,
x2 + 3x3 = 1,
x1 + 2x2 = 7.
(f)

x1 − x2 − 5x3 − x4 = 5,
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = −2,
3x1 + x2 + 2x4 = 1,
2x1 + 2x3 + 3x4 = 3.
(g)

3x1 + 2x2 + 16x3 + 5x4 = 0,
2x2 + 10x3 + 8x4 = 6,
x1 + x2 + 7x3 + 3x4 = 0.
(h)

7x1 + 8x2 + 8x3 = −x1,
9x1 − 16x2 − 18x3 = −x2,
−5x1 + 11x2 + 13x3 = −x3.
6. Mostre que A L∼ B implica que os sistemas AX = 0 e BX = 0 sa˜o equivalentes, mas o contra´rio
e´ falso.
1
7. Resolva simultaneamente os treˆs sistemas a seguir por linha-reduc¸a˜o da matriz [A
... K1
... K2
... K3]
a) AX = K1 =
 11
1
 b) AX = K2 =
 1−3
2
 c) AX = K3 =
 12
−2
,
onde
A =
 1 2 32 4 5
3 5 6

8. Seja
A =
 1 3 31 3 4
1 4 3
 .
Resolva os treˆs sistemas: a) AX =
 10
0
 b) AY =
 01
0
 c) AZ =
 00
1
,
usando a mesma te´cnica do exerc´ıcio anterior. Seja B = [X Y Z]. Compute AB e BA
9. Seja
A =
 2 1 11 1 1
3 1 1
 .
Mostre que o sistema AX = b tem soluc¸a˜o se, e somente se b3−2b1+b2 = 0, onde b = [b1 b2 b3]T .
10. Na equac¸a˜o  1 −1 i1 + i −1 + i 1− i
2 + i −2 + i λ
 x1x2
x3
 =
 1i
1 + i
 ,
determine o valor de λ de maneira que o sistema tenha soluc¸a˜o.
11. Seja
AX =
[
1 2
3 λ
] [
x1
x2
]
(a) Para quais valores de λ o sistema AX = 0 tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma soluc¸a˜o?
(b) Se b = [1 3]T para quais valores de λ AX = b tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma
soluc¸a˜o, (iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
(c) Se h = [1 1]T para quais valores de λ AX = h tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma
soluc¸a˜o, (iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
12. Seja
AX =
 −1 2 13 −1 2
0 1 λ
 x1x2
x3

(a) Para quais valores de λ o sistema AX = 0 tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma soluc¸a˜o?
(b) Se b = [1 1 1]T para quais valores de λ AX = b tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma
soluc¸a˜o, (iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
(c) Se h = [1 1 0]T para quais valores de λ AX = h tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma
soluc¸a˜o, (iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
2
13. Seja E uma matriz na forma escada m× n com r < m linhas na˜o-nulas. Mostre que:
a1Linha1(E)+a2Linha2(E)+· · ·+arLinhar(E) = 0 se, e somente se, a1 = a2 = · · · = ar = 0.
14. Encontre as inversas das seguintes matrizes
A =
 1 3 31 3 4
1 4 3
 B =

1 1 −1 2
1 3 2 −3
−1 2 1 −1
2 −3 −1 4
 C =

2 4 3 2
3 6 5 2
2 5 2 −3
4 5 14 14

15. Resolva o sistema
x + 2y + 3z = k1
2x + 4y + 5z = k2
3x + 5y + 6z = k3
onde
(a) k1 = k2 = k3 = 1.
(b) k1 = 1, k2 = −3, k3 = 5.
(c) k1 = 0, k2 = 2, k3 = −2.
16. Encontre uma matriz P na˜o-singular tal que PA = B, onde
A =
 2 3 44 3 1
1 2 4
 B =
 1 2 −1−1 1 2
2 −1 1

17. Afirmac¸a˜o: Se [A
... B] L∼ [I... C], enta˜o C = A−1B (tente demonstrar este fato). Esta e´ uma
maneira eficiente de computar A−1B. Use a afirmac¸a˜o para computar:
(a)
 1 0 13 1 0
1 0 0
−1  4 1 40 1 0
2 0 3
 (a)

1 0 1 1
2 1 −1 0
4 4 1 0
8 12 −1 0

−1 
3 0 0 0
1 3 0 0
0 1 4 0
0 0 1 3

18. Considere a seguinte matriz:
A =

α β 1 2
β α 3 4
−1 0 3 2
0 1 −1 0

(a) Encontre, se poss´ıvel, valores de α e β para que (i) o posto de A seja 4; (ii) o posto de A
seja 3.
(b) Considere o sistema AX = 0, onde X = (x1, x2, x3, x4)T e 0 = (0, 0, 0, 0)T . Determine
valores de α e β tais que o sistema tenha (i) soluc¸a˜o u´nica; (ii) infinitas soluc¸o˜es.
(c) Qual e´ o posto de A se α = β = 0? Encontre a soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo para este
caso.
19. Avalie os determinantes das matrizes:
A =
[
5 −7
2 3
]
, B =
 3 −1 20 5 3
0 0 1
 ,
3
C =

1 2 3 4
−1 1 2 3
1 −1 1 2
−1 1 −1 1
 D =

3 −2 1 6 0
5 −4 2 11 1
−2 2 −1 −5 3
1 −6 3 10 4
−7 7 −3 −16 2

20. Mostre que se T = (tij) e´ triangular, enta˜o det(T ) = t11t22 · · · tnn.
21. Afirmac¸a˜o: Uma matriz A quadrada e´ invert´ıvel se, e somente se, det(A) 6= 0.
Use a afirmac¸a˜o acima para:
(a) Encontrar o(s) valor(es) de k que satisfaz(em) A na˜o-invert´ıvel.
(i) A =
[
k − 3 −2
−2 k − 2
]
, (ii) A =
 1 2 43 1 6
k 3 2
 .
(b) Mostrar que a matriz  sen2 α sen2 β sen2 γcos2 α cos2 β cos2 γ
1 1 1

e´ na˜o-invert´ıvel, independente dos valores de α, β e γ.
22. Como visto em sala, se A e´ uma matriz tal que a maior submatriz de A com determinante na˜o
nulo e´ r × r, enta˜o r = posto(A). Use este fato para encontrar o posto das seguintes matrizes:
A =

1 −1 1 1
1 2 −1 −1
2 −2 1 −1
0 −3 −1 −1
 N =

0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

23. Fac¸a os exerc´ıcios do Boldrini, cap´ıtulos 1, 2 e 3.
24. Fac¸a mais exerc´ıcios!!!
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