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onde η0ks são as coeficientes dependentes no tempo,
ηm = ηm(t), (139)
pois a base Eq.(137) é constante no tempo. A componente do vetor q, qk (t), fica
qk (t) =
nX
m=1
ηm (t)
1√
Zm
sin (χmk) =
r
2
n+ 1
nX
m=1
ηm (t) sin
µ
πmk
n+ 1
¶
. (140)
A Eq.(138) pode ser vista como a mudança de variáveis de {ζk} para {ηm}. Se q(t)
satisfaz a equa’c~ao de movimento, Eq.(115), podemos mostrar que os coeficientes ηm (t)
tem que satisfazer a equação,
d2ηm (t)
dt2
= −ω2mηm (t) . (141)
Exercício: Prove a Eq.(141), usando Eqs.(115) e (140), com as propriedades da basen
ζm,m = 1, .., n
o
Assim, temos a solução para ηm por
ηm = Am sinωmt+Bm cosωmt,
com
ωm = 2ω0 sin
µ
π
2
m
n+ 1
¶
. (142)
Desta forma, vemos que o sistema de n massas ligadas pelas molas iguais, com a condição de
contorno, Eq.(??) tem os modos normais de vibrações com frequências dadas pela Eq.(142).
Em geral, a solução da equação de movimento fica escrita pela combinação linear das soluções
correspondente a modos mormais,
nX
m=1
[Am sin (ωmt) +Bm cos (ωmt)] ζm, (143)
onde as coeficientes Am e Bm são determinadas pela condição inicial do sistema.
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a. Limite de n→∞ do sistema de Massas ligadas por Molas A Eq.(116) serve como o
ponto de partida para formular, por exemplo, o fenômeno de propagação de onda num meio
contínuo. Para ver isto, vamos indexar as variáveis ζi’s pelo i, consideramos como função
da posição de equilíbrio, digamos, xi,
qi(t) = φ(xi, t). (144)
onde
xc = xc−1 +∆, c = 1, ..., n (145)
com ∆ = L/(n+ 1) é a distância entre as molas nas posições de equílibrio.
Agora, vamos considerar o sistema composto de, por exemplo, o doblo de número de
massas e molas, mas mantendo constantes a massa total do sistema e a constante de mola
do sistema como todo. Neste caso, como sabemos, a constante de mola da cada uma das
molas deve ser reduzida a metade. Se dividir 3 vezes, a constante de mola fica 3 vezes e
a massa reduz a 1/3. Em geral, se consideramos o sistema contínuo como o limite de n
infinito, devemos tomar o limite tal que
n→∞,
∆× (n+ 1) = L = xf − x0 = Const,
k/n = Ktot = Const.,
Mn = Mtot = Const.,
onde ktot e Mtot são, respectivamente a constantes de mola do sistema como todo, e a massa
total do sistema. Neste limite a constante ω20 na Eq.(116) varia com n,
ω20 =
k
M
=
Ktot
Mtot
n2.
Mas podemos escrever ainda como
ω20 =
Ktot
Mtot
n2 =
KtotL2
Mtot
µ
n
n+ 1
¶2
1
∆2
= eω20L2µ nn+ 1
¶2
1
∆2
onde definimos eω0 como r
Ktot
Mtot
= eω0
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que é constante que tem dimensão de [1/Tempo].
Com isto, a equação de movimento, Eq.(116) na variável φ fica
∂2
∂t2
φ(xc, t) = eω20L2 lim
∆→0
µ
n
n+ 1
¶2 φ(xc +∆, t)− 2φ(xc, t) + φ(xc −∆, t)
∆2
= eω20L2 lim∆→0 1∆
∙
φ(xc +∆, t)− φ(xc, t)
∆
− φ(xc, t)− φ(xc −∆, t)
∆
¸
= eω20L2 ∂2∂z2φ(x, t)
¯¯¯¯
x=xc
,
Como a equação acima vale para qualquer xc, c = 1, ..., n, no limite de n → ∞, podemos
pensar que xc contínuo. A equação de movimento para a função φ (t, x) é dada pela a
equação,
1
c2
∂2
∂t2
φ(z, t)− ∂
2
∂z2
φ(z, t) = 0, (146)
onde
c = eω0L.
é uma constante que tem dimensão de velocidade [distãncia/tempo].
A equção (146) é uma equação que relaciona as derivadas parciais no tempo e no espaço
para uma função incognita de duas variáveis e é chamada equação diferencial parcial. A
variável dinâmica contínuamente distribuida no espaço é chamado de campo.
É interessante investigar o significado dos modos normais, Eq.(132) no limite contínuo.
Neste limite, o autovetor,
ζm ∝
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
sin (γm)
sin (2γm)
...
sin (kγm)
...
sin (nγm)
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
. (147)
se torna um vetor com a coluna infinita. Denotamos o c−esimo elemento
³
ζm
´
c
por fc,
temos
fc ∝ sin (cγm) = sin
µ
πmc
n+ 1
¶
.
Vamos utlizar de volta a variável xc em vez de c. Como na Eq.(145), estes são relacionadas
por
xc − x0 = c∆ = c
xf − x0
n+ 1
.
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onde ∆ é o intervalo entre dois x0cs consecutivos. Assim, xc é o valor da coordenada x da
c−esima massa. Com isto,
fc → f(xc) ∝ sin
mπ
xf − x0
(x− x0) ,
No limite n → ∞, ∆ → 0,portanto, xc tende como se fosse uma variável contínua
(xc − xc−1 = ∆x→ 0). Assim, no limite contínuo, o autovetor é equivalente a uma função
contínua,
ζm → fm(x) ∝ sin
µ
πm
xf − x0
(x− x0)
¶
= sin km (x− x0) , (148)
onde definimos
km =
πm
xf − x0
. (149)
Note que todas as funções, {fm (x) , m = 1, ..., n =∞}satisfazem a condição de contorno,
fm (x)|x=x0 = 0,
fm (x)|x=xf = 0. (150)
A frequência correspondente é dada por
ωm = 2ω0 sin
µ
π
2
m
n+ 1
¶
= 2eω0L nn+ 1 1∆ sin
µ
π
2
∆
(xf − x0)
m
¶
→
n→∞
c km.
onde como antes,
c = eω0L.
As soluções correspondentes aos modos normais (Eq.(143)) ficam então,
{sin (ωmt) sin (kmx) , cos (ωmt) sin (kmx)} ,
sendo,
ωm = ckm
Assim, a solução geral da equação de onda, satisfazendo a condição de contorno Eq.(150)
pode ser escrita como uma combinação linear da forma,
φ(x, t) =
∞X
m=1
{Am sin (ωmt) sin (kmx) +Bm cos (ωmt) sin (kmx)} .
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Podemos verificar diretamente que a expressão acima satifaz a equação de onda, Eq.(146),
inclusive a condição de contorno, Eq.(150).
A condição de contorno para o campo não necessariamente sempre é dada por Eq.(150).
Para ter outra base que satisfaz a condição de contorno diferente, podemos voltar a Eq.(122)
com a condição de contorno diferente da Eq.(123). Escrevemos a equação como
bξk−1 + aξk + bξk+1 = λξk, k = 1, ..., n (151)
onde utilizamos a variáveis ξ0s no lugar de ζ 0s para distinguir a diferença em condição de
contorno. Podemos considerar ansatz,
ξc = cos (γc) , c = 0, ..., n+ 1
Já que
cos (γc+ γ) + cos (γc− γ) = 2 cos γc cos γ
se escolhemos
2 cos γ =
λ− a
b
,
podemos satisfazer a Eq.(151) para c = 1, ..., n.Escolhendo γ igual como antes,
γm =
π
n+ 1
m,
podemos construir um conjunto de vetores
ξm =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1
cos (γm)
cos (2γm)
...
cos (kγm)
...
cos (nγm)
−1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, m = 0, .., n+ 1
Mas esses vetores não necessariamente ortogonais. Para ter ortogonalidade, temos que ex-
pandir o espaço (ver a questão da lista).
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