4 - Curva Horizontal Simples

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4 – TRAÇADO EM PLANTA 
4.1 – Curvas de Concordância Horizontal 
O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos, denominados tangentes, e por 
trechos curvos, denominados curvas horizontais. 
Uma forma de definir o traçado de uma rodovia é acomodar as retas no terreno em função da 
topografia e demais obstáculos existentes e depois concordá-las por meio de curvas. 
Outra forma é localizar os pontos obrigados e colocar as curvas nesses pontos e depois ligá-los 
com retas tangentes. 
Pode-se dizer que o traçado de uma rodovia é formado por retas concordadas entre si por 
curvas horizontais, ao mesmo tempo em que, existem normas de projeto que definem o 
traçado como sendo uma seqüência de curvas ligadas entre si por trechos retos. 
Os segmentos retos ficam adjacentes a uma curva de concordância, necessária para 
proporcionar gradual modificação de direção dos veículos 
Reduzir o número de curvas não é tão importante quanto ter curvas com raios grandes. 
Pode-se fazer a concordância das tangentes de três formas: 
1 – curva circular simples: constituída de um só arco de círculo 
2 – curva circular composta: neste caso a concordância é feita por dois ou mais arcos 
de círculo sucessivos de raios diferentes. 
3 – curva com transição: emprega-se uma curva de raio variável intercalada entre as 
tangentes e o arco de uma curva circular que passará a ocupar uma posição central na 
concordância. 
 
 
 
 
 
 
4.1.1 – Curvas Horizontais Circulares 
Consiste na união de dois alinhamentos retos, em planta, por meio de um único arco de curva 
circular. É a maneira mais simples de se proceder a concordância de dois alinhamentos retos, 
no que se refere ao cálculo e à locação da curva. 
As normas para os projetos de estradas de rodagem admitem o emprego da curva circular 
simples nos seguintes casos: 
a) Estradas de Classe 0 e I: quando R > 600 m 
b) Estradas de Classe II e III: quando R > 440 m 
 
 
 PI Δ 
 te E 
 PC D PT 
 c 
 
 AC R 
 
 
 O 
PI – ponto de interseção das tangentes 
PC – ponto de curva (início da curva) 
PT – ponto de tangência (fim da curva) 
AC – ângulo central da curva 
Δ - deflexão entre as tangentes = AC, pois se trata de ângulos com os lados respectivamente 
perpendiculares. 
R – raio 
D – desenvolvimento = comprimento do arco 
O – centro da curva 
te – tangente externa 
 
E - afastamento 
c – corda máxima ou grande corda 
G – grau da curva. É o ângulo central correspondente a um arco de 20m 
dpm – deflexão por metro. É a deflexão correspondente à corda ou ao arco de um metro 
 
Podemos classificar os elementos acima em independentes e dependentes 
Elementos independentes: Δ e R. Os elementos independentes são aqueles que definem a 
concordância e são da livre escolha do projetista. Este adota o valor da deflexão Δ e depois 
escolhe o valor do raio R. Entretanto, os valores de Δ e R apresentam uma relação de 
dependência entre si, pois, em geral, quanto menor o valor da deflexão maior deve ser o valor 
do raio escolhido. 
Em uma região plana, por exemplo, tem-se, em geral, a possibilidade de se lançar longos 
alinhamentos retos com pequenos ângulos de deflexão entre eles, os quais serão concordados 
com curvas circulares de grande raio. Por outro lado, em uma região montanhosa, os 
obstáculos oferecidos pelo relevo obrigam o projetista a contornar os espigões, lançando mão 
de alinhamentos retos mais curtos, maiores ângulos de deflexão e menores raios para as 
curvas de concordância. 
Tabela 4.1 – Raios mínimos de curvatura horizontal 
Velocidade 
diretriz 
(km/h) 
Raios mínimos para superelevação máxima (m) 
Coeficiente 
de atrito f 6% 8% 10% 12% 
40 56 51 44 43 0,165 
50 90 83 76 71 0,158 
60 134 122 113 104 0,152 
70 187 171 157 145 0,146 
80 252 229 210 194 0,140 
90 326 295 270 249 0,133 
100 421 380 347 319 0,127 
110 526 474 431 395 0,121 
120 653 582 527 483 0,115 
 
O engenheiro deverá ter em mente que: 
1 – adotar os valores mínimos de raio de curvatura e máximos de rampa proporciona 
facilidade de construção, diminuindo o movimento de terra. Porém, essa solução impõe, 
posteriormente, restrições ao tráfego, além de maiores despesas de conservação. 
2 – adotar valores mais amplos de raios de curvatura e rampas mais suaves provoca maior 
movimento de terra, mas dá à estrada melhores condições técnicas, propiciando mais 
facilidades aos usuários e à conservação. 
 
Para início da pesquisa do raio de uma curva, pode-se lançar mão de diversos valores para o 
raio, sempre procurando o mais amplo cabível para o caso. Para situações que exigem uma 
escolha em uma faixa de valores próxima do raio mínimo, deve-se tentar, pelo menos, 
encaixar um raio de curvatura de 1,5 a 2 vezes esse raio mínimo. 
Só se deve utilizar o raio mínimo, em caso de absoluta necessidade, pois esse raio mínimo 
representa uma solução limite entre infinitas soluções. 
Elementos dependentes: te, D, G e dpm. São aqueles cujos valores ficarão determinados após 
a fixação dos elementos Δ e R. 
 
_G_ = _360_ → G = 360 . 20 → G = _1145,9156_ 
 20 2πR 2πR R 
_te_ = tg _AC_ → te = R x tg _AC_ 
 R 2 2 
E = R ( sec _AC_ -1 ) 
 2 
__D__ = _AC_ → D = (AC)rad x R → D = AC x _π_ x R 
 2πR 360 180 
 
 
Cálculo do estaqueamento: consiste na determinação das estacas dos pontos notáveis da 
diretriz (PC e PT) das diversas curvas ao longo do traçado. 
 
 
FIGURA 4.2 – Pontos notáveis da Curva Circular Simples 
 
T1 = O – PI1 
T2 = PI1 – PI2 
T3 = PI2 – PI3 
 
T4 = PI3 – PI4 
Como o estaqueamento de projeto é de 20 em 20m, podemos calcular: 
Estaca PC1 = _T1 – t1_ 
 20 
Estaca PT1 = Estaca PC1 + _D1_ 
 20 
Estaca PC2 = Estaca PT1 + _T2 – (t1 +t2)_ 
 20 
Estaca PT2 = Estaca PC2 + _D2_ 
 20 
Estaca PC3 = Estaca PT2 + _T3 – (t2 + t3)_ 
 20 
Estaca PT3 = Estaca PC3 + _D3_ 
 20 
Estaca PC4 = Estaca PT3 + _T4 – (t3 + t4)_ 
 20 
 
Locação das curvas horizontais circulares: 
Escolhido o projeto, é a locação que define a posição da estrada no campo. 
Independentemente do processo utilizado, inicialmente são locados os PIs, verificados os 
ângulos de deflexão das tangentes e, posteriormente, locadas as curvas e os demais elementos 
geométricos. 
 
 I α1 
 
 d1 
 A B 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 
_G_ = _α1_ → α1 = _G x L1_ 
 20 L1 20 
 
Sendo AO perpendicular a IA e o triângulo AIB isósceles, temos: 
 
 
d1 = _α1_ → d1 = _G x L1_ 
 2 40 
d2 = _α2_ → d2 = _G x L2_ 
 2 40 
A deflexão é proporcional ao comprimento do arco e a constante G/40 é a deflexão para locar 
um arco de 1 metro de comprimento. Portanto, a deflexão paralocar um arco de 
comprimento L será: 
d = L x _G_ 
 40 
Para locar as demais estacas inteiras basta somar ao valor da deflexão inicial d1 valores de G/2 
sucessivamente. 
Como geralmente os raios são grandes em relação à distância entre as estacas locadas, os 
arcos podem ser confundidos com suas cordas sem a introdução de erro significativo, o que 
permite que a locação seja feita por meio de uma seqüência de cordas de comprimento L. 
 
Tabela 4.2 – Planilha de locação de curva circular 
Estaca Distância Corda Deflexão 
(NPC) + fPC 0 0 0 
(NPC + 1) + 0,00 20 - fPC 20 - fPC d1 
(NPC + 2) + 0,00 40 - fPC 20 d1 + G/2 
(NPT) + fPT D fPT AC/2 
 
Deflexão no ponto PT = AC/2 
NPC – número de estacas inteiras 
fPC – fração da estaca 
 
 
 
da1 = ds1 = (20 – fPC) . 
�
��
 ds2 = 20 . 
�
��
 = 
�
�
 
da2 = ds1 + ds2 = (20 – fPC) . 
�
��
 + 
�
�
 = da1 + 
�
�
 
da3 = da2 + 
�
�
 
dan-1 = dan-2 + 
�
�
 
dan = daPT = dan-1 + fPT . 
�
��	
 = 
��
�
 
 
Considerando-se uma precisão de 0,5 cm, a corda de 20m coincide com o arco para raios 
maiores que 258,20m; cordas de 10m coincidem com o arco para raios maiores que 91,28m e 
cordas de 5m, para raios maiores que 32,26m. 
O manual de implantação básica do antigo DNER recomenda o uso de cordas de 10m para 
raios inferiores a 300m e corda de 5m para raios inferiores a 100m. 
 
Referências Bibliográficas: 
SENÇO, Wlastermiler de. Manual de técnicas de projetos rodoviários: principais técnicas de 
projetos. São Paulo: Editora Pini, 2008. 758 p. ISBN: 9788572661973. 
 
ANTAS, Paulo Mendes et al. Estradas: Projeto Geométrico e de Terraplenagem. Rio de 
Janeiro: Editora Interciência, 2010. 
PIMENTA, Carlos R.T.; OLIVEIRA, Márcio P. Projeto geométrico de rodovias. São Carlos: Rima 
Editora, 2004. 198p. ISBN: 85-86552-91-7 
PONTES FILHO, Glauco Júnior. Estradas de rodagem: projeto geométrico. São Carlos: Bidim, 
1998. 432 p.