Geometria horizontal curvas circulares simples e de transição

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Geometria horizontal: curvas 
circulares simples e de transição 
Apresentação
Uma das funções das rodovias é manter o fluxo de veículos com conforto, segurança e a uma 
velocidade adequada. Para tanto, o seu projeto e a sua construção devem contemplar mudanças de 
direção compatíveis com a velocidade estabelecida pela classificação técnica. Dessa forma, a 
concordância entre duas tangentes deve ser feita por meio de um trecho em curva devidamente 
calculado. Em rodovias, nos projetos de concordância horizontal, os trechos retos com direções 
diferentes são suavizados por curvas por meio de duas técnicas distintas: curvas horizontais simples 
e curvas com transição em espiral.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai ver como o projeto de estrada é formado por uma 
sucessão de trechos retos e trechos curvos. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os elementos e as diferenças entre curvas horizontais circulares simples e curvas 
horizontais com transição.
•
Projetar curvas horizontais circulares simples.•
Calcular (e projetar) curvas horizontais com transição em espiral.•
Infográfico
Você sabia que, ao trafegar em tangente, deslocamo-nos em trecho de raio infinito?
Esta passagem origina o surgimento brusco de uma força desestabilizadora da trajetória do veículo, 
que é a força centrífuga. Este fenômeno, inversamente proporcional ao raio da curva, não traz 
apenas insegurança, mas muito desconforto, ou seja, exatamente o contrário do que se busca ao 
projetar. A técnica da curva de transição faz uma variação gradativa do raio de valor infinito até o 
raio finito, e é obrigatória para combinações específicas entre raio de curva mínimo e velocidade 
diretriz, conforme determinação do Departamento Nacional de Infraestrutura de Transporte 
(DNIT).
Confira no Infográfico a seguir!
Conteúdo do livro
No trecho da obra em questão, o autor aborda a caracterização dos elementos das curvas 
circulares, simples e com transição, escolha do raio, concordância, marcação das estacas, locação, 
etc. Atenção especial é dada às curvas de pequeno raio, pois necessitam de um incremento de 
inclinação na pista, o que formaria um degrau. Assim, para corrigir essa deficiência, manter a 
segurança e a fluidez do trânsito, são introduzidos ramos em espiral para transição da tangente para 
curva. Leia os tópicos do capítulo "Geometria horizontal - Curvas circulares simples e de transição". 
Inicie seus estudos no tópico "Geometria horizontal - Curvas circulares simples e de transição" 
seguindo até "Passo a passo para projeto".
Boa leitura.
Conteúdo:
ESTRADAS
André Luís Abitante
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
A148e Abitante, André Luís.
Estradas / André Luís Abitante. – Porto Alegre : 
SAGAH, 2017.
245 p. : il. ; 22,5 cm. 
ISBN 978-85-9502-094-8
1. Rodovias. 2. Vias urbanas. 3. Traçado de rodovias. I. 
Título.
CDU 625.7
Revisão Técnica:
Shanna Trichês Lucchesi
Mestre em Engenharia de Produção (UFRGS).
Professora do curso de Engenharia Civil (FSG).
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Geometria horizontal 
– curvas circulares
simples e de transição
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Identi� car os elementos e as diferenças entre curvas horizontais cir-
culares simples e curvas horizontais com transição.
 Projetar curvas horizontais circulares simples.
 Calcular (e projetar) curvas horizontais com transição em espiral.
Introdução
Uma das funções das rodovias é manter o fluxo de veículos com con-
forto, segurança com velocidade adequada. Para tanto, o seu projeto e 
construção deve contemplar mudanças de direção compatíveis com a 
velocidade estabelecida pela classificação técnica. Dessa forma, a con-
cordância entre duas tangentes deve ser feita por meio de um trecho 
em curva devidamente calculado.
Em rodovias, nos projetos de concordância horizontal, os trechos 
retos com direções diferentes são suavizados por curvas através de duas 
técnicas distintas: curvas horizontais simples e curvas com transição em 
espiral. Resumidamente, todo projeto de estrada é formado por uma 
sucessão de trechos retos e trechos curvos.
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Curvas horizontais circulares simples e curvas 
horizontais com transição
Como você já sabe, o eixo de uma rodovia (em projeção horizontal) é consti-
tuído por uma poligonal aberta, cujos alinhamentos são concordados em seus 
vértices por meio de curvas horizontais. Analisando-se em planta um projeto 
rodoviário, segundo Lee (2002), podemos observar:
  O projeto sempre compreenderá trechos retos e curvos que (tecnica-
mente) são denominados, respectivamente, por tangentes (não se chama 
de “retas”) e curvas;
  O eixo da rodovia possui um ponto de origem e um sentido de percurso 
definidos, ou seja, as curvas horizontais podem ser curvas à direita ou 
à esquerda, conforme o sentido do seu desenvolvimento;
  No projeto dos elementos planimétricos, a exemplo dos procedimentos 
topográficos, as distâncias são sempre tomadas horizontalmente, sendo 
expressas em metros, com a precisão padronizada de 0,01 m.
Estaqueamento
Conforme Lee (2002), para caracterizar em projeto a geometria dos elementos 
que constituem a rodovia (tangentes e curvas), deve-se marcar pontos sucessivos 
ao longo do eixo, que servirão, inclusive, para fi ns de posterior materialização 
da rodovia em campo. 
Esses pontos são denominados de estacas, marcados a cada 20,0 m ou 50,0 
m de distância, dependendo do nível de precisão que se desejar, a partir da 
origem do projeto, e numerados sequencialmente, processo conhecido como 
estaqueamento do eixo. Segundo Lee (2002), o ponto de origem constitui a 
estaca 0 (zero), geralmente representada por estaca zero = Ponto de Partida 
(0 = PP); os demais pontos, equidistantes de 20,00 m (ou 50,0 m), constituem 
as estacas inteiras, sendo denominadas por “estaca 1”, “estaca 2”, “estaca 3” 
assim sucessivamente. Qualquer ponto ao longo do eixo pode ser referenciado 
a esse estaqueamento, sendo nomeado pela estaca inteira imediatamente 
anterior à sua posição, acrescida da distância (em metros – precisão de 0,01 
m) entre a estaca inteira e o ponto considerado.
Ao longo das tangentes (trechos retos) a marcação e nomeação das estacas 
não apresenta dificuldade alguma. Nas curvaturas ocorre uma pequena perda 
de precisão, já que as distâncias são tomadas ao longo de segmentos retos (de 
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uma estaca à outra) através de recursos comuns da topografia, mas na realidade 
tais comprimentos correspondem a arcos de curvas.
Para referenciamento dos trechos curvos do eixo, o DNER (BRASIL, 1999) 
pede que se marque, além dos pontos correspondentes às estacas inteiras, 
pontos para estacas intermediárias, melhorando a precisão da caracteriza-
ção. Conforme Lee (2002), o uso de estacas intermediárias é recomendado 
também nos casos de trechos retos em regiões muito acidentadas, onde haja 
necessidade de maior precisão, principalmente em função dos volumes de 
terraplenagem envolvidos.
O projeto e a locação de curvas por estacas inteiras correspondem à mate-
rialização de pontos por meio de cordas com 20,0 m. Para evitar erros signifi-
cativos entre os comprimentos dessas cordas e seus arcos, o DNER (BRASIL, 
1999) recomenda a caracterização (com cordas de 20,0 m) somente para curvas 
com raios superiores a 600,0 m. Trechos curvos com raios entre 100,0 m e 
600,0 m, devem ser marcados com pontos distantes 10,0 m entre si. Nesses 
casos, são marcados (nos trechos curvos) os pontos correspondentes às estacas 
inteiras mais os pontos correspondentes às estacas fracionárias múltiplas de 
10,0 m. Com raios de curva inferiores a 100,0 m, os comprimentos máximos 
de corda devem ser de 5,0 m, sendo caracterizados os pontos correspondentes 
às estacas inteiras e às estacas fracionáriasmúltiplas de 5,0 m.
Segundo Lee (2002), outra forma de notação para referenciamento de pontos 
ao longo do eixo é a denominada notação quilométrica, cuja posição de um 
ponto é indicada pela sua distância à origem, número inteiro de quilômetros, 
acrescido da fração, em metros, com a precisão convencional de 0,01 m. 
Por exemplo, considerando que uma cabeceira de viaduto estivesse pro-
jetada a 7.362,70 m de distância da origem. Pelo método convencional de 
estaqueamento, no projeto e locação da rodovia, a cabeceira localizar-se-ia na 
estaca “368 + 2,7 m”. Utilizando a notação quilométrica, a cabeceira estaria 
localizada no “km7 + 362,70 m”.
Curvas circulares simples (horizontais)
Segundo Pereira et al. (2001) chama-se comumente de curva circular, todas 
as curvas simples (segmento de circunferência) de um projeto geométrico 
(em planta) de rodovias e vias urbanas, tecnicamente denominadas de curva 
circular de concordância horizontal.
As tangentes devem ser concordadas através de curvas, suavizando os 
traçados. Inicialmente, a escolha do raio mais adequado pode ser feita empiri-
camente, com análise visual (tentativa e erro), por meio de programas computa-
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cionais ou com uso de gabaritos sobrepostos ao levantamento planialtimétrico, 
de tal forma que as curvas tangenciem os alinhamentos a concordar. Ao final, 
fazem-se as modificações de valores que os cálculos (fórmulas matemáticas 
e geométricas) determinarem, ou seja, o ajuste fino do raio, com base nas 
verificações técnicas segundo os requisitos de segurança e conforto. 
Elementos de uma curva circular
O traçado de uma curva circular é feito no sentido crescente do estaqueamento, 
sendo os pontos e elementos defi nidos e codifi cados, conforme Pereira et al. 
(2001), ilustrados nas Figuras 1 e 2:
Figura 1. Elementos de curva horizontal circular. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
  PC = Ponto de Curva: é o ponto de contato entre o fim da tangente e 
o começo da curva circular. Ponto inicial da curva.
  PCD = Ponto de Curva à Direita: é o ponto de curva identificando 
que o desenvolvimento se dá à direita da tangente.
  PCE = Ponto de Curva à Esquerda: é o ponto de curva identificando 
que o desenvolvimento se dá à esquerda da tangente.
  PT = Ponto de Tangente: é o ponto de contato entre o fim da curva 
circular e o começo da tangente seguinte. Ponto final da curva.
  PCC = Ponto de Curva Composta: é o ponto de contato de duas curvas 
circulares de mesmo sentido, quando o fim de uma curva coincide com 
o início da curva seguinte (curvas em sequência).
  PCR = Ponto de Curva Reversa: é o ponto de contato de duas curvas 
circulares de sentidos opostos, quando o fim de uma curva coincide 
com o início da curva seguinte (curvas em sequência).
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  PI = Ponto de Interseção: é o ponto onde se interceptam as tangentes 
que serão concordadas pela curva.
  Ø = Deflexão: é o ângulo formado pelo prolongamento de um alinha-
mento e o alinhamento seguinte, com orientação do sentido direito ou 
esquerdo de medida.
  T = Tangentes Externas: são os segmentos retos das tangentes originais, 
compreendidos entre o PC e o PI ou também entre o PT e o PI.
  C = Corda: é a distância reta entre o PC e o PT.
  cb = corda base: é uma corda de comprimento pré-estabelecido, po-
dendo ter 50 m, 20 m, 10 m ou 5 m dependendo do raio da curva, que 
corresponde a subdivisões iguais da curva, aproximando-se do arco. 
Na prática confundem-se corda base e arco correspondente.
  D = Desenvolvimento: é o comprimento do arco da curva de concor-
dância, do ponto PC ao ponto PT, medido em função da corda base 
adotada e suas frações.
  E = Afastamento: é a distância entre o PI e a curva, medida sobre a 
reta que une o PI ao centro da curva.
  f = flecha: é a distância entre o ponto médio do arco de curva e a sua 
corda, medida sobre a reta que une o PI ao centro da curva; é a maior 
distância radial entre arco e corda.
  R = Raio da Curva: é a distância do centro da curva ao ponto PC ou PT.
  AC = Ângulo Central: é o ângulo formado pelos raios que passam 
pelos extremos do arco da curva, ou seja, pelos pontos PC e PT.
  ØC = deflexão da Corda: é o ângulo formado pelo primeiro alinha-
mento reto e a corda da curva circular.
  Øcb = deflexão da corda base: é a deflexão da corda base adotada em 
relação à primeira tangente ou a qualquer tangente à curva, no ponto 
de início da corda; pode-se ter deflexão para corda base de 50 m, 20 
m, 10 m ou 5 m conforme o caso.
  Øm = deflexão por metro: é a deflexão de uma corda de 1,00 m em 
relação à primeira ou qualquer outra tangente a curva, no ponto de 
início da corda.
  G = Grau da Curva: é o ângulo central formado pelos raios que passam 
pelos extremos da corda base adotada.
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Figura 2. Elementos de curva horizontal circular. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
Determinação dos elementos para projeto de 
curvas circulares
Segundo Pereira et al. (2001) devemos usar as determinações a seguir.
Deflexão e ângulo central
Quando duas tangentes do eixo projetado coincidem com duas tangentes 
da exploração, não será preciso recalcular a defl exão, pois o ângulo já foi 
determinado e permanece o mesmo. Caso contrário, será necessário precisar 
o ângulo de defl exão, calculados pelos seguintes processos: 
  Processo de coordenadas dos vértices: utiliza-se o processo descrito 
anteriormente, porém aplicado no sentido inverso, ou seja, no estudo 
do traçado tínhamos o ângulo (medido em campo na exploração) e 
queríamos desenhá-lo e agora temos o desenho e precisamos determinar 
o ângulo.
  Processo do seno: tendo-se duas tangentes, conforme apresentado na 
Figura 3, centrado em PI e raio qualquer, marca-se a interseção de um 
arco de circunferência com o prolongamento da primeira tangente e o 
segundo alinhamento, obtendo-se os pontos P e Q; mede-se a distância 
PQ (d) e a medida (a) de PI ao ponto P ou Q. O calculo é feito pela 
seguinte fórmula:
Ø = 2 × arc.sen [(d / 2) / a]
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Definida a deflexão temos o ângulo central, pois AC = Ø, ou seja, tendo-
-se duas retas convergentes e traçando-se duas normais a elas, os ângulos
formados pelas duas retas e por suas normais são iguais.
Grau e raio da curva
 Grau da curva (em graus):
G = 2 × arc × sen [(cb/2) / R]
 Raio (em metros):
R = (cb/2) / [(sen (G/2)]
Deflexões
 Deflexão da corda (em graus):
ØC = AC/2
 Deflexão da corda base (em metros):
ØCb = G/2
 Deflexão por metro (em graus):
Øm = G/(2 × cb)
Outros elementos
 Tangentes externas (em metros):
T = R × tg (AC/2)
 Afastamento (em metros):
E = R × {[1/cos(AC/2)]–1}
Figura 3. Processo do seno. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
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 Flecha (em metros):
f = R × [1 − cos (AC/2)]
 Desenvolvimento (em metros):
D = (π × R × AC)/180
Passo a passo para projeto
Sequência para projeto de curvas circulares simples, proposto por Pereira et 
al. (2001):
a) Determinação do raio – como citado anteriormente, utilizando-se
de gabaritos ou, atualmente de programas de Desenho Auxiliado por
Computador (CAD, Computer Aided Design), procura-se o raio de
curva mais conveniente para concordar às tangentes consideradas,
sempre tendo em vista a configuração do terreno, a visibilidade e o
raio mínimo fixado pela classificação técnica da via. O manual do
DNER (BRASIL, 1999) estabelece raios mínimos em função da classe 
da rodovia, do tipo de terreno e da superelevação máxima, que você
verá em outro momento.
b) Determinação do ângulo central – geometricamente, o ângulo central 
é igual a deflexão entre as tangentes da diretriz. (AC = Ø),calculada
através do processo das Coordenadas dos Vértices ou processo do Seno.
c) Cálculo dos demais elementos – a partir do grau da curva, do raio
escolhido e do ângulo central, aplica-se as expressões correspondentes 
para determinação das deflexões (da corda, corda base e por metro),
tangentes externas, desenvolvimento, afastamento e flecha.
Estaqueamento da curva simples
Conhecidos os principais elementos de todas as curvas do projeto, passa-se 
a defi nição das estacas dos PC e PT, fundamental tanto para fase de projeto 
quanto para a locação. Estas estacas são permanente referencial de localização 
dos pontos de trabalho.
Como qualquer ponto de interesse na diretriz da rodovia, os pontos PC 
e PT podem ser calculados através da divisão da distância contínua relativa 
ao ponto de origem, de 50 m ou 20 m, conforme estaqueamento adotado e 
exemplo apresentado anteriormente. 
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Os elementos básicos para o estaqueamento, segundo Pereira et al. (2001):
 distância entre O = PP e PI1, e entre PI consecutivos, obtidas da planta
projetada;
 comprimento das tangentes externas;
 comprimento dos desenvolvimentos das curvas.
Na prática geralmente faz-se a redução de todas as distâncias e compri-
mentos em estacas correspondentes, facilitando os cálculos e a verificação 
de possíveis erros cometidos.
Desenho
Conhecemos a priori a posição do ponto PI, a partir do qual se marca, em 
escala conveniente, o comprimento da tangente externa, obtendo-se a posição 
dos pontos PC e PT, conforme apresentado na Figura 4. Pelos pontos PC e PT 
traçam-se perpendiculares às tangentes, sendo no encontro dessas o centro 
da curva. Com o centro (e raio), desenha-se o arco da curva de concordância, 
limitado pelos pontos PC e PT. 
Desenhadas todas as curvas, passa-se a marcação do estaqueamento. 
As estacas dos PC e dos PT calculadas servem de base para verificação da 
exatidão do estaqueamento.
Figura 4. Desenho de curva circular simples. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
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Conforme Pereira et al. (2001), marcadas todas as estacas inclusive dentro 
das curvas, passa-se a identificar a numeração correspondente, por convenção, 
O=PP a inicial, apenas o número 5 nas estacas múltiplas de 5 e, o número das 
estacas múltiplas de 10. Além dessas estacas, os PC e PT devem ser identi-
ficados com estacas contendo a parte fracionária. Geralmente, a diretriz e a 
marcação do estaqueamento é desenha na cor vermelha, já os PI são marcados 
com cor preta. Finaliza-se apagando as tangentes externas e demais elementos 
auxiliares. 
A fase seguinte seria a de locação do traçado projetado, ou seja, a colocação 
de piquetes e sua implantação no campo. 
Curvas horizontais de transição
Segundo Pereira et al. (2001) curva de transição é comumente a denominação 
das curvas compostas, formadas por um segmento de circunferência que 
intercala dois segmentos de outra curva pré-escolhida. Em um projeto geo-
métrico de rodovias são tecnicamente denominadas de curva de transição 
de concordância horizontal.
Um veículo ao entrar numa curva, fica sob efeito da força centrífuga (F), 
cuja intensidade é diretamente proporcional à massa do veículo (m) e ao 
quadrado da velocidade (v), e inversamente proporcional ao raio da curva (R):
F = (m × v2) / R
Tal força tende a desviar o veículo da trajetória que pretendia percorrer, 
jogando-o para fora da curva que, aliada à geometria da seção da pista de 
rolamento, por questões de drenagem, inclinada do centro para os bordos (entre 
1 a 3%), pode originar duas situações extremamente perigosas: deslizamento 
(derrapagem) e tombamento (capotamento). 
Para atenuar ou eliminar este inconveniente, estabeleceu-se a formação de 
uma inclinação no bordo externo da pista, concordado com o bordo interno, 
que provoca uma força centrípeta de sentido contrário, equilibrando as forças; 
essa inclinação é denominada de superelevação e você verá em detalhes na 
sequência desta unidade.
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Figura 5. Forças atuantes sobre um veículo em trajetória curvilínea. 
Fonte: Manual do DNER (BRASIL, 1999).
Observando a Figura 5, segundo Pereira et al. (2001), com a aplicação 
da superelevação (incremento da inclinação da pista) nas curvas circulares, 
teríamos a formação de um degrau na passagem da tangente para a curva (no 
PC), o que inviabilizaria a via. Uma elevação gradual e suave na inclinação 
dentro da curva circular também não seria possível, pois a força centrífuga 
passa a agir logo após o PC, com intensidade máxima e igual a exercida em 
todo o restante da curva.
Para corrigir esse problema, Pereira et al. (2001) cita a introdução na En-
genharia de Rodovias das curvas de transição, representadas pela criação de 
curvas intermediárias para concordar tangente e curva circular, em que a força 
centrífuga se desenvolve gradualmente, de seu valor nulo em tangente até 
atingir seu valor máximo no início da curva circular, acomodando a variação 
da superelevação em equilíbrio geométrico, dando fluência ótica e estabilidade 
à trajetória. As curvas de transição são arcos de raio variável, valor infinito 
na tangente até valor igual ao raio da própria curva circular; este ponto, onde 
os raios da curva de transição e circular são iguais, denominam-se ponto 
osculador. A aplicabilidade da curva de concordância de transição, segundo 
o DNIT, é limitada à adoção de raios pequenos, ou melhor, a combinações
entre raios pequenos e velocidade diretriz da rodovia (veja Tabela 1).
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 Fonte: DNER (BRASIL, 1999). 
V (Km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
R (m) 170 300 500 700 950 1200 1550 1900 2300 2800
Tabela 1. Valores dos raios acima dos quais é dispensadaque dispensam a curva de tran-
sição.
Muitas curvas matemáticas e de semelhante efeito prático podem adaptar-se 
ao conceito de curvas de transição. A radioide aos arcos, clotoide ou espiral de 
Cornu, de forma espiralada (diferentes das espirais de Arquimedes, logarítmica, 
hiperbólica, etc.), também conhecida como espiral de Van Leber (primeiro 
engenheiro holandês a usá-la em ferrovias) é a mais utilizada no Brasil e 
nos Estados Unidos. A radioide às cordas ou leminiscata de Bernouille, tem 
aplicação na Inglaterra e Itália, mesmo sendo de difícil locação. A parábola 
cúbica até tem seu uso previsto nas normas federais de ferrovias, mas por ser 
locada por coordenadas e não ter desenvolvimento suficiente para distribuir 
toda a superelevação, é pouco empregada.
Formas de implantação da transição
Para concordar um ramo de espiral entre a tangente e a curva circular, uma 
acomodação deve ocorrer para atender a nova confi guração, segundo Pereira 
et al. (2001), uma destas três maneiras, apresentadas na Figura 6: 
a) Raio conservado;
b) Centro conservado;
c) Raio e Centro conservados.
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No 1º caso (a) mantém-se a curva circular base, ou seja, o Raio é mantido 
constante recuando-se o centro da curva de forma a permitir a intercalação 
dos ramos da transição.
No 2º caso (b) o Centro é mantido e o raio devidamente alterado, atingindo-
-se o mesmo objetivo.
O 3º caso (c) deve ser adotado somente em situações excepcionais (deflexões 
maiores que 130º, pêras e reversões), e consiste no deslocamento das tangentes 
paralelamente às posições originais, mantendo o Centro e o Raio. Aplica-se
somente na existência de um ponto obrigatório de passagem situado sobre a
curva original.
Detalhamento da curva de transição (espiral de cornu)
Baseado nas orientações de Pereira et al. (2001).
Elementos da curva de transição
Com seus elementos identifi cados no sentido crescente do estaqueamento,
pode-se observar na Figura 7 que os dois ramos da espiral sãoexatamente iguais 
e simétricos, o que garante as mesmas condições de tráfego nos dois sentidos.
 PI = Ponto de interseção. É o ponto definido pelo cruzamento dos
alinhamentos base (tangentes).
 I = Deflexão total da curva. É o ângulo formado pelo prolongamento
de um alinhamento e o seguinte.
 TS = Ponto de curva (tangent/spiral). É o ponto onde termina a tangente, 
e tem início o primeiro ramo da espiral.
Figura 6. Acomodação para introdução de espiral. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
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  SC = Ponto osculador (spiral/circle). É o ponto onde termina o primeiro 
ramo da espiral e inicia o tramo circular.
  CS = Ponto osculador (circle/spiral). É o ponto onde termina o tramo 
circular e começa o segundo ramo da espiral.
Figura 7. Elementos da Curva de Transição. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
  ST = Ponto de tangente (spiral/tangent). É o ponto onde termina o 
segundo ramo da espiral e tem continuidade o alinhamento seguinte.
  ρ = Raio da espiral. Corresponde ao raio variável em qualquer ponto 
da espiral, tendo valor máximo igual a infinito no TS ou ST e mínimo 
igual ao raio da curva circular no Sc ou CS.
  R = Raio da circular. Corresponde ao raio constante do tramo circular 
da curva.
  lc = Comprimento total da espiral. Corresponde ao comprimento 
de cada ramo da espiral, igual no início e final da curva de transição; 
distância em curva entre os pontos TS e SC e também entre CS e ST.
  l = Comprimento na espiral. Corresponde à distância medida na 
espiral, do ponto TS ou ST até um ponto qualquer interno a espiral.
  Sc = Ângulo central total da espiral. Corresponde ao ângulo central 
da espiral entre TS ou ST ao ponto osculador CS ou SC.
  S = Ângulo central da espiral. Corresponde ao ângulo central de um 
ponto qualquer da espiral.
  AC = Ângulo central da circular. É o ângulo central total do tramo 
circular.
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  C = Corda total. Corresponde à distância medida no alinhamento 
retilíneo entre os pontos TS e SC.
Comprimento da transição
No ramo espiral da transição (lc) desenvolve-se toda a superelevação necessária 
à curva, logo, a defi nição do seu comprimento é função direta da grandeza do 
raio (da curva), da velocidade diretriz e da taxa de superelevação. Pereira et al. 
(2001), conceitua o comprimento da transição como o comprimento necessário 
para se percorrer a espiral em um tempo compatível com a assimilação da 
trajetória pelo veículo e pelo usuário.
  Comprimento mínimo – Baseado em experimentos do engenheiro 
Joseph Barnett, (Public Road Administration/USA), e em conformi-
dade com as normas técnicas do DNIT, adota-se a chamada fórmula 
de Barnett.
lcmin = (0,036 × V3) / R
Onde: 
 ■ lcmin = comprimento mínimo da espiral (metros);
 ■ V= Velocidade diretriz (Km/h);
 ■ R= Raio da curva circular projetada (metros).
  Comprimento normal – Analogamente, temos:
lc = 6 × √R
Onde: 
 ■ lc = comprimento da espiral;
 ■ R= Raio da curva circular projetada (metros).
  Critério do DNIT – o Manual do DNER faz a verificação do compri-
mento de transição mínimo em função da velocidade diretriz (V em 
km/h), do raio da curva circular (R, em metros) e da taxa de varação 
da aceleração radial (C, em m/s3).
lcmin = (0,0214 × V3) / (R × C)
Sendo:
C = (- 0,009 × V) + 1,5
95Geometria horizontal – curvas circulares simples e de transição
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Ângulo central da espiral
Conforme apresentado na Figura 6, é possível uma variação de um ponto sobre 
o ramo da espiral da curva. Com a ajuda da matemática, podemos deduzir o
valor do ângulo central correspondente, identifi cando duas situações, sendo
uma para um ponto qualquer e outra, para o ponto osculador.
Ângulo central da espiral
Conforme apresentado na Figura 7, é possível uma variação de um ponto sobre 
o ramo da espiral da curva. Matematicamente falando, podemos deduzir o
valor do ângulo central correspondente, identifi cando duas situações, sendo
uma para um ponto qualquer e outra, para o ponto osculador.
 Ponto qualquer – O ângulo central (S) é definido pela aplicação da
fórmula:
S = l2 / (2 × R × lc) (radianos)
Onde: 
■ S = ângulo central da espiral, correspondente a um ponto qualquer
da curva de transição, expresso em radianos.
■ l = comprimento entre o ponto TS e o ponto qualquer da transição
(metros).
■ lc = comprimento total da transição, entre o ponto TS e o ponto SC
(metros).
■ R = raio da curva circular projetada (metros).
 Ponto osculador – Em particular no ponto osculador o comprimento
“l” será o comprimento total da transição “lc”, resultando a seguinte
fórmula:
Sc = lc / (2 × R) (radianos)
Para transformação dos ângulos obtidos em radianos em minutos e, por 
consequência, em graus: 
ângulo (minutos) = ângulo (radianos) × 3.437,75
Sendo que 1° = x/180 rad
 Estradas 96
U3_C06_Estradas.indd 96 06/06/2017 11:27:43
A relação entre os ângulos centrais dos ramos espirais e ramo circular com 
a deflexão total da curva é definida pela expressão:
I = (2 × Sc) + AC
Coordenadas cartesianas de um ponto da espiral
Conforme apresentado na Figura 7, comumente adota-se como referência o 
eixo “Y” coincidindo com o prolongamento da tangente e, a origem do sistema, 
coincidindo com o ponto TS ou ST. Dessa forma o eixo “X” coincide com o 
raio da espiral nos pontos TS ou ST.
 Ponto qualquer – As coordenadas de um ponto qualquer da transição
serão definidas pelas seguintes expressões, com “S” em radianos:
x = 
l . S
3 1 – S2
14
S4
440+ y = l 1 –
S2
10
S4
216+
 Ponto osculador – No caso do ponto osculador, valem todos os con-
ceitos vistos até então, resultando as seguintes expressões, com “Sc”
em radianos:
xc = 
lc . Sc
3 1 – Sc2
14
Sc4
440+ yc = lc 1 – Sc2
10
Sc4
216+
Deflexões do ramo da espiral em relação à origem
A defl exão de um ponto qualquer na espiral é o ângulo formado entre o prolon-
gamento da tangente da diretriz e uma reta partindo do ponto referencial (TS 
ou ST) em direção a este ponto da espiral, conforme apresentado na Figura 8. 
97Geometria horizontal – curvas circulares simples e de transição
U3_C06_Estradas.indd 97 06/06/2017 11:27:44
Figura 8. Deflexões em relação à origem (TS ou ST). 
Fonte: Pereira et al. (2001).
 Ponto qualquer – A deflexão de um ponto qualquer sobre o ramo da
espiral é definida pela seguinte expressão:
i = (Sc/3) × (l/lc)2
 Ponto osculador – Baseado na definição dada a um ponto qualquer
e, considerando que no ponto osculador os valores de l e lc são iguais,
temos:
ic = (Sc/3) ou tg ic = (xc/yc)
Cálculo de uma curva de transição
Com base na Figura 9, que representa esquematicamente uma curva de tran-
sição, podemos defi nir os elementos de cálculo.
Figura 9. Elementos de calculo da curva de transição. 
Fonte: Pereira et al. (2001).
 Estradas 98
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 Coordenadas cartesianas do PC e PT deslocado – Para possibilitar a 
inserção da curva de transição deve-se conhecer previamente o PC e PT 
deslocados da curva circular, por exemplo, na Figura 9, as posições que 
ocupariam se a curva circular fosse simplesmente recuada, mantendo
as mesmas dimensões. Na Figura 9 o PC deslocado está representado
pelo ponto G e é identificado através de suas coordenadas.
q = yc – R × sem × Sc p = xc − R × (1 – cos × Sc)
 Coordenadas cartesianas do PC e PT originais – Corresponde às
posições de PC e PT da curva circular simples que origina a curva de
transição. Neste caso a abscissa é igual a zero, por estar no próprio eixo 
y, e a ordenada é dada pela fórmula:
d = q + p × tg (I/2)
 Tangente externa total – Corresponde à distância entre o ponto PI e
o ponto TS (ou ST); definida pela expressão:
Ts = q + (R + p) × tg (I/2)
 Recuo da curva circular – É a distância medida no eixo de simetria
da curva, entre a curva circular primitiva e deslocada, definida por:
t= p / [cos (I/2)]
 Corda total da espiral – Corresponde a distância retilínea entre os
pontos TS e SC ou também entre CS e ST.
C = yc / cos ic
 Ordenada da espiral em frente ao PC/PT deslocado – O valor da
abscissa xp da espiral em frente (no alinhamento) do PC ou PT deslocados 
é dado pela expressão:
xp = p / 2
Tem como função o auxílio na definição gráfica da curva, constituindo 
um terceiro ponto a orientar o traçado da espiral com auxílio de uma curva 
francesa (instrumento de desenho técnico).
Raio compatível com a deflexão
Determinadas combinações entre defl exões pequenas, menores que 55º, e raios 
adotados para a curva, podem fazer o arco circular desaparecer entre os dois 
ramos da espiral, ou formar um “cotovelo” ou um cruzamento destes ramos, 
em vez de gerar a almejada concordância (PEREIRA et al., 2001). Para evitar 
sucessivas tentativas de correção, deve-se conferir se a defl exão medida (real) 
é maior que a defl exão calculada, através da expressão:
99Geometria horizontal – curvas circulares simples e de transição
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Caso a Imed seja maior que a Icalc haverá compatibilidade entre raio e deflexão; 
do contrário (Imed menor que Icalc), deve ser alterado (aumentado) o valor do 
raio, pois a deflexão medida é inalterável.
Passo a passo para projeto
Pereira et al. (2001) sugere o estabelecimento da sequência adiante para defi -
nição dos elementos de curvas circulares de transição:
1. Traçam-se as duas tangentes, representando sua interseção, devendo 
ser calculado o valor da deflexão através dos métodos indicados.
2. Escolhe-se um raio de curva circular mais conveniente.
3. Verifica-se a compatibilidade entre a deflexão (I) e o raio (R) adotado; 
faz-se o ajuste do raio aumentado seu valor quando necessário (cálculo 
do raio mínimo).
4. Determinado o raio (R) e o comprimento total da espiral (lc), deve-se 
calcular os demais elementos com o objetivo de conhecer o comprimento 
da tangente externa total (Ts).
5. Graficamente, com origem no ponto de interseção (PI) e raio igual a 
Ts, marcam-se os pontos extremos da espiral TS e ST.
6. Traça-se a bissetriz do ângulo entre os alinhamentos.
7. Marcam-se os pontos osculadores através das ordenadas xc e yc já 
calculadas.
8. Centrado nos pontos SC e CS, com círculo de mesmo raio, marca-se 
sobre a bissetriz traçada o centro deslocado da curva circular.
9. Com o mesmo raio e origem no centro marcada, traçamos a “nova” 
curva circular.
10. Com as coordenadas cartesianas “q” e “p/2”, marcam-se os pontos dos 
ramos da espiral localizados a frente do PC e PT deslocados.
11. Com o auxílio de “curvas francesas” (ou programas CAD), busca-se 
uma curva que mais suavemente concorde a tangente com a circular, 
passando pelos pontos demarcados, ou seja, pontos TS ou ST, pontos a 
frente do PC ou PT deslocados e pontos osculadores SC e CS.
12. Complementação do desenho com cuidados de acabamento e nomen-
clatura adequados.
 Estradas 100
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13. Em caso de curvas sucessivas, garantir para que não haja sobreposi-
cionamento entre elas, podendo coincidir o ponto final de uma curva 
e o ponto inicial da seguinte, o que denomina-se corriqueiramente de 
curvas coladas; conforme DNER (BRASIL, 1999) é desejável, quando 
possível, a existência de tangentes maiores que 300 m, entre curvas 
consecutivas, aceitando-se tangentes menores até o limite de 40 m. 
Tangentes menores que 40 m obrigatoriamente devem ser suprimidas 
e as curvas recalculadas, para que resulte em curvas coladas.
14. Faz-se o estaqueamento das curvas de transição, que segue exatamente 
a mesma orientação das curvas circulares simples, diferenciando-se 
apenas pelos pontos referenciáveis a serem adotados: TS, SC, CS e ST; 
cujas distâncias intermediárias serão: lc (comprimento total da espiral), 
D (desenvolvimento da curva circular) e novamente lc, respectivamente.
101Geometria horizontal – curvas circulares simples e de transição
U3_C06_Estradas.indd 101 06/06/2017 11:27:45
1. Em um projeto de estrada, para 
concordar duas tangentes, foi 
escolhida uma curva horizontal 
com transição. A estaca que 
define o ponto de passagem do 
trecho em curva circular para o 
trecho de transição, caracterizado 
por uma espiral, denomina-se:
a) CS.
b) ST.
c) TS.
d) SC.
e) AC.
2. Uma curva rodoviária circular simples 
possui raio equivalente a 260 m e 
ângulo central de 30º. Determine 
as suas tangentes externas.
a) 69,70 m.
b) 100,00 m.
c) 85,25 m.
d) 64,01 m
e) 91,85 m.
3. O grau (G) de desenvolvimento 
de uma curva horizontal circular 
simples refere-se a (ao):
a) O próprio comprimento 
de raio da curva.
b) É a distância do centro da 
curva ao ponto PC ou PT.
c) Um ângulo formado pelos 
raios que passam pelos 
extremos do arco da curva, ou 
seja, pelos pontos PC e PT.
d) Um ângulo central formado pelos 
raios que passam nos extremos 
de uma corda predefinida.
e) Um ângulo formado pelo 
primeiro alinhamento reto e 
a corda da curva circular.
4. Em determinado projeto, 
cuja velocidade diretriz é 70 
km/h, optou-se por uma curva 
horizontal circular simples, com 
raio de 725 m. Sabendo que a 
deflexão entre as tangentes da 
diretriz é 35º , pode-se afirmar:
a) A tangente externa é de 260 m.
b) O desenvolvimento da 
curva é de 480 m.
c) A flecha é de 45 m.
d) O ângulo central da 
curva é 12º 30’.
e) O ângulo central da curva é 35°.
5. O recuo da curva horizontal 
circular refere-se a (ao): 
a) À distância retilínea entre 
os pontos TS e SC ou 
também entre CS e ST.
b) À distância entre o ponto 
PI e o ponto TS (ou ST).
c) Ponto onde termina o 
segundo ramo da espiral 
e tem continuidade o 
alinhamento seguinte.
d) À distância medida no eixo de 
simetria da curva, entre a curva 
circular primitiva e a deslocada.
e) Ângulo central da espiral 
entre TS ou ST ao ponto 
osculador CS ou SC..
 Estradas 102
U3_C06_Estradas.indd 102 06/06/2017 11:27:46
BRASIL. Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de projeto geomé-
trico de rodovias rurais. Rio de Janeiro: DNER, 1999. Disponível em: . Acesso em: 20 mar. 2017.
PEREIRA, D. M. et al. Projeto geométrico de rodovias: planta. Curitiba: Diretório Acadêmico 
de Engenharia Civil, Universidade Federal do Paraná, 2001.
LEE, H. S. Introdução ao projeto geométrico de rodovias. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2002.
Leituras recomendadas
AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFFICIALS. A 
policy on geometric design of highways and streets. Washington, DC: AASHTD, 2001.
FONSECA, R. S. Elementos de desenho topográfico. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1973.
KUSTER FILHO, W. Projeto geométrico. Curitiba: Diretório Acadêmico de Engenharia 
Civil, Universidade Federal do Paraná, 1993.
PONTES FILHO, G. Estradas de rodagem: projeto geométrico. São Carlos, SP: Univer-
sidade de São Paulo, 1998.
103Geometria horizontal – curvas circulares simples e de transição
U3_C06_Estradas.indd 103 06/06/2017 11:27:46
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Conteúdo:
 
Dica do professor
Você sabia que, quando o alinhamento muda instantaneamente da tangente para uma curva 
circular, o motorista não consegue manter o veículo no centro da faixa, no início da curva?
Para conseguir isso, seria necessário que ele mudasse imediatamente também a posição das rodas 
no exato momento da passagem pelo ponto de curva. Para um bom projeto, é fundamental que o 
profissional conheça a fundo as características dos tipos de curvas rodoviárias, desde a escolha do 
raio até a marcação dos pontos notáveis no formato de estacas, garantindo, assim, uma perfeita 
execução.
Na Dica do professor, você vai ver o detalhamento completo das curvas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/0a83b86b2322687c6656b2ef2e887a2bExercícios
1) Em um projeto de estrada, para concordar duas tangentes, foi escolhida uma curva 
horizontal com transição. Como se chama a estaca que define o ponto de passagem do 
trecho em curva circular para o trecho de transição, caracterizado por uma espiral? 
A) CS.
B) ST.
C) TS.
D) SC.
E) AC.
2) Uma curva rodoviária circular simples possui raio equivalente a 260 metros e ângulo central 
de 30º. Determine as suas tangentes externas. 
A) 69,70 m.
B) 100,00 m.
C) 85,25 m.
D) 64,01 m.
E) 91,85 m.
3) A que o grau (G) de desenvolvimento de uma curva horizontal circular simples se refere? 
A) Ao próprio comprimento de raio da curva.
B) É a distância do centro da curva ao ponto PC ou PT.
C) A um ângulo formado pelos raios que passam pelos extremos do arco da curva, ou seja, pelos 
pontos PC e PT.
D) A um ângulo central formado pelos raios que passam nos extremos de uma corda predefinida.
E) A um ângulo formado pelo primeiro alinhamento reto e a corda da curva circular.
4) Em determinado projeto, cuja velocidade diretriz é 70 km/h, optou-se por uma curva 
horizontal circular simples, com raio de 725 m. Sabendo que a deflexão entre as tangentes 
da diretriz é 35º, assinale a alternativa correta. 
A) A tangente externa é de 260 m.
B) O desenvolvimento da curva é de 480 m.
C) A flecha é de 45 m.
D) O ângulo central da curva é 12º 30'.
E) O ângulo central da curva é 35º.
5) A que se refere o recuo da curva horizontal circular? 
A) À distância retilínea entre os pontos TS e SC ou também entre CS e ST.
B) À distância entre o ponto PI e o ponto TS (ou ST).
C) Ponto onde termina o segundo ramo da espiral e tem continuidade o alinhamento seguinte.
D) À distância medida no eixo de simetria da curva, entre a curva circular primitiva e a deslocada.
E) Ao ângulo central da espiral entre TS ou ST ao ponto osculador CS ou SC.
Na prática
Os trechos da SC-390 e SC-480, rodovias que cortam a perigosa e mundialmente famosa Serra do 
Rio do Rastro, além de paisagens de tirar o fôlego, no trajeto entre Bom Jardim da Serra/SC e Lauro 
Müller/SC, por exemplo, em pouco mais de 8 km, possuem mais de 250 curvas e, muitas delas, com 
180º e bastante fechadas. Não é à toa que o local ganhou tão espetacular fama.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Projetos rodoviários: curva horizontal simples
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Análise de curvas horizontais de rodovias, para melhoramento 
de projeto e operação, utilizando redes neurais artificiais
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
AutoCAD - Curvas horizontais de concordância
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.guiadaengenharia.com/curva-horizontal/
https://www.researchgate.net/profile/Eduardo_Ribeiro4/publication/266606223_ANALISE_DE_CURVAS_HORIZONTAIS_DE_RODOVIAS_PARA_MELHORAMENTO_DE_PROJETO_E_OPERACAO_UTILIZANDO_REDES_NEURAIS_ARTIFICIAIS/links/543d19680cf2c432f7424a71.pdf
https://www.youtube.com/embed/tDDx3M448lE