AULA 2

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NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 14 
Professor: Maycon Sulyvan da Silva Jacinto – Unecmaycon@gmail.com 
GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
1. Regra do Produto 
Foi realizado o estudo da regra da potência, onde teríamos apenas uma variável, 
Exemplo: 
 
Este método é simplesmente quando temos uma variável (x), sendo elevado por uma 
potência por exemplo 2 ficando: 
 
X2 
 
Pegaremos esta potência e vamos subtrai-la por -1 ficando: 
 
X2-1 
 
E a potência que estava acima que era 2 passamos para frente da variável ficando: 
 
2x1 
 
Observamos que o número 2 fica multiplicando o x que é a variável e ela está sendo 
elevado a 1 pois foi o valor que sobrou após a subtração que levou da regra da potên-
cia, ou seja, sabemos que quando a potência é elevada ao número 1 normalmente 
não se escreve na formula final, ficando a derivada de x2, pela regra da potência 2x. 
 
Ou seja, agora temos em uma multiplicação, 2 variáveis na mesma multiplicação, ha-
vendo necessidade de aplicar a regra do produto, e como foi explicado no material 2, 
vamos utilizar a regra do Produto que é uma regra básica que devemos seguir, sendo 
a derivada da primeira, sendo multiplicada pela segunda, e somando a primeira mais 
a multiplicação da segunda, podendo ser escrita de tal forma: 
 
Y’ = u’ . v + u . v’ 
 
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Ou seja, se temos uma variável na função aplicamos a regra da potência, mas se 
temos mais de uma, e ela está sendo multiplicada por outra função, então devemos 
aplicar está regra, como por exemplo: 
 
Y = (x2+3) . (3x-2) 
 
Acima temos a função e antes de tudo devemos escolher que vai ser o (U) e quem 
vai ser o (V), porque tem momentos que o mesmo está sendo derivado e tem outro 
que não se seguirmos a regra corretamente. 
 
1.1 Aplicação do Produto 
Sabemos que a função que está sendo multiplicada é a Y = (x2+3) . (3x-2), então 
através de analises entendemos que é uma variável x, sendo multiplicada por outra 
variável x, e eu quero que derive em x, então ela é a variável, sabendo vamos aplicar 
a regra do produto. 
 
Escolhendo o primeiro como U, sendo (x2+3) 
Escolhendo o segundo como V, sendo (3x-2) 
 
Agora que sabemos quem é U e quem é V, vamos aplicar a regra 
Y’ = u’.v + u.v’ 
 
Primeiramente vamos organizar a derivada de produto: 
Y’ = (x2-1). (3x-2) + (x2+3). (3x1-1-0) 
 
Como pode observar acima, derivamos o u do lado esquerda da soma da regra da 
derivada de produto, e do lado direito da soma derivamos o v, ficando: 
Y’ = (2.x1). (3x-2) + (x2+3). (1.3x0) 
 
E realizando a multiplicação das potências que desceram fica: 
Y’ = (2x). (3x-2) + (x2+3). (3) 
 
 
 
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Realizamos a derivada do u’ e do v’ e anotamos o u e o v na integra, cada um em 
seu respectivo lugar na função e na regra do produto da derivada. Então o próximo 
passo é simplesmente aplicar a matemática básica que conhecemos que é o produto 
ou também conhecido como o vocabulário popular, o famoso chuveirinho ficando 
conforme demostrado abaixo: 
 
Vamos começar pelo (2x) que está multiplicando o (3x-2), então o 2x vai multiplicar 
o 2x. 3x, e depois o 2x vai multiplicar o -2, então temos que ter muito cuidado, devido 
o 2x ser positivo e o -2 ser negativo, então tudo fica: 
 
Y’ = (2x). (3x-2) + (x2+3). (3) 
Y’ = (6x2-4x) + (3x2+9) 
 
Se temos a resposta deste produto (6x2-4x) + (3x2+9), então temos que entender 
uma regra básica, que em uma multiplicação de variável, mantivemos a sua base 
que foi o próprio x e somamos as suas potências, que cada um era de grau 1, ou 
seja, 1+1 = grau 2. 
 
Mas temos que observar que ainda temos como simplificar a resposta, e para isso 
vamos para o segundo passo, e ele é simplesmente retirar os parênteses e ficando: 
Y’ = 6x2-4x + 3x2+9 
 
E vamos realizar as somas das variáveis e constantes possíveis, e a primeira que 
está em evidencia é o grau 2 que é 6x2 + 3x2 = 9x2, ou seja, mantivemos o x2, intacto 
e somamos apenas as constantes, vale também esta regra para subtração, e agora 
temos apenas 1 valor de grau 1 e uma constante que é o -4x e o 9, ou seja, não 
podemos soma-los, vamos ter que deixar como está, ficando: 
Y’ = 9x2-4x+9 
 
Agora estamos mais preparados para ver mais exercícios de produtos. 
 
 
 
 
 
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2. Exercícios de produtos 
Neste próximo passo, realizaremos mais 2 exercícios de produtos e explica-lo para 
ter uma base melhor, sendo o primeiro Y = xsen(x) e o segundo F(x)= (x+3).(x2+3x) 
 
2.1 Y= xsen(x) 
Primeiramente temos uma função tabelada, e algumas delas é o seno, coseno, tan-
gente, ln, exponencial, como mostrado na tabela 1 abaixo: 
 
Eng.Mecânico Diego Rodrigues Vaz: Tabela 1 – Derivadas Tabeladas. 
 
 
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O processo para derivadas tabeladas como sen(x), vamos ter que realizar uma 
pesquisa na tabela, e nela temos que a derivada de senx é cosx. 
 
Mas em casos de sen,cos,-cos,-sem, temos um pequeno como pode se dizer ma-
cete. Para seguir este macete é apenas desenhar um gráfico de eixo x e y, um 
plano cartesiano, e dele desenhar o sen no eixo y positivo, o cos no eixo x positivo 
e -sen no eixo y negativo e -cos no eixo x negativo, como mostrado abaixo, se-
guindo o sentido horário, como mostrado na seta, figura 1: 
 
Autoria própria: Figura 1 – segunda opção para consulta. 
 
 
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Agora que temos duas opções de consulta, siga a que preferir, e vamos continuar os 
exercícios, ou seja, a função é: 
 
Y = xsen(x) 
 
Derivando através da tabela ou do gráfico de consulta, mas lembre-se que é pela regra 
do produto devido ser variável multiplicando uma variável, ficando: 
 
Y’ = (x1-1).(senx)+(x).(cosx) 
 
Então observamos que escolhemos o x como sendo o u’ e o senx para ser o v’ e o u 
para ser o x e o v para ser o senx, consequentemente e ficando o produto: 
 
Y’ = (1.x0).(senx)+(x).(cosx) 
 
Ficando: 
Y’ = (1.1).(senx)+(x).(cosx) 
 
E Ficando: 
 
Y’ = (1).(senx)+(x).(cosx) 
 
E agora aplicaremos o produto, multiplicando o 1 com o senx e depois da soma mul-
tiplicando o x com o cosx, ficando: 
 
Y’ = (senx)+(xcosx) 
 
Agora podemos extrair os parênteses e ficando: 
 
Y’ = sem(x)+xcos(x) 
 
 
 
 
 
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Ou seja, a derivada da função Y = xsen(x), pela regra do produto é 
Y’ = sem(x)+xcos(x) 
 
3. Referencias 
Cálculo B, Funções de Várias Variáveis Integrais Duplas e Triplas, Mírian Buss Golçalves e Diva Marília 
Flemming. 
Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1, Paulo Boulos. 
Um Curso de Cálculo vol 4, Hamilton Luiz Guidorizzi 5a Edição. 
Tabela1, Eng.Mecânico Diego Rodrigues.