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Jacob Fernando Jonhas Candie 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas (Regras de Derivação – Funções Reais de Variáveis Reais) 
Licenciatura em Contabildade 
1º Ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Extensão de Tete 
2021 
 
 
Jacob Fernando Jonhas Candie 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas (Regras de Derivação – Funções Reais de Variáveis Reais) 
 
 
 
Trabalho Individual da cadeira de 
Matemática a ser apresentado ao Curso de 
Licenciatura em Contabilidade, como 
requisito parcial de avaliação. 
 
Docente: Mestre Jorge Camisola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Extensão de Tete 
2021
 
 
 
 
 
Índice: 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 2 
1.1. OBJECTIVOS .................................................................................................................................... 3 
1.1.1. Objectivos Gerais ........................................................................................................................... 3 
1.1.2. Objectivos Específicos ................................................................................................................... 3 
1.2. Metodoloigia de Pesquisa .................................................................................................................. 3 
2. Derivada ................................................................................................................................................. 4 
2.1. A reta tangente. .................................................................................................................................. 4 
2.1.1. Equação da reta tangente ................................................................................................................ 6 
2.1.2. Equação da reta normal .................................................................................................................. 7 
2.2. A derivada de uma função num ponto ............................................................................................... 7 
2.2.1. Derivadas laterais ........................................................................................................................... 8 
2.2.2. Regras de derivação ..................................................................................................................... 10 
2.2.3. Derivada da função composta ...................................................................................................... 12 
2.2.4. Derivada da função inversa .......................................................................................................... 14 
Derivada das funções elementares. ............................................................................................................. 14 
2.2.5. Derivada da função exponencial. ................................................................................................. 14 
2.2.6. Derivada da função logarítmica. .................................................................................................. 16 
2.2.7. Derivada das funções trigonométricas. ........................................................................................ 16 
2.2.7.1. Derivada das funções trigonométricas inversas ....................................................................... 19 
2.3. Derivadas sucessivas ........................................................................................................................ 21 
3. CONCLUSÃO ..................................................................................................................................... 23 
4. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS................................................................................................. 24 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Neste presente trabalho, abordar-se-a acerca de Derivadas, concretamente sobre as regras de derivação, 
com vista a facilitar o cálculo dos mesmos. 
De facto, para um estudo minimamente correcto e fundamentado de derivadas, a noção de limite de 
uma função é absolutamente indispensável. 
A partir do momento em que são dadas as regras de derivação, usá-las com à-vontade é rigorosamente 
indispensável para todo o resto da matéria. As regras de derivação são dadas, dentro do capítulo das 
derivadas, a um ritmo em que se assume que o aluno já ouviu falar destas noções. Esse ritmo é 
excessivo para os alunos que referi. 
A noção de derivada aparece sob dois aspectos: um ligado à ideia geométrica de tangente a uma curva e 
o outro relativo ao conceito de “taxa de variação” de uma grandeza, por exemplo, a “velocidade 
instantânea” em Cinemática. Esses dois aspectos têm consequências, tanto na análise de gráficos e na 
variação das funções, como no estudo da evolução de grandezas que possuem regularidades expressas 
por leis matemáticas de grande precisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.OBJECTIVOS 
1.1.1. Objectivos Gerais 
Este trabalho tem como objetivo geral estudar as Regras de derivação. 
1.1.2. Objectivos Específicos 
Apresentamos de seguida os específicos, que são: 
 Identificar e descrever as diversas regras de derivação existentes; 
 Analisar através de exemplos concretos cada regra de derivação; 
 
1.2.Metodoloigia de Pesquisa 
Este, está organizado sob forma canónica: Introdução (que é a parte que está sendo lida); 
Desenvolvimento; Conclusão; e Bibliografia, que se encontra na última página do trabalho. 
Para a produção do mesmo recorreu-se às consultas bibliográficas existentes na bibliografia, seguindo-
se da revisão, compilação e a sua efectivação. 
Não se considera como um trabalho acabado daí que a contribuição da docente da cadeira fará dele 
muito enriquecido. 
 
 
 
 
 
2. Derivada 
2.1.A reta tangente. 
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. 
 
Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no 
ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 
Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 
4. 
Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. 
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas 
curvas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8 Fig. 9. 
 
Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da 
 
 
 
 
y  y  yo 
x  x  xo 
circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas.
 
 
 
 
Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como 
 
tg   
y 
 
y  yo . 
 
x x  xo 
 
 
 
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta 
s se aproximará da reta t. O ângulo  se aproximará do ângulo , e então, a tg se aproximará da 
tg . Usando a notação de limites, é fácil perceber que 
 
 
lim tg   tg . 
Q P 
 
 
Mas quando Q  P temos que x  xo . Desta forma, o limite acima fica 
 
 
lim tg  tg 
QP 
 
lim 
x xo 
 
y  yo 
x  xo 
 
 lim 
x xo 
f x  f xo   tg .
 
x  xo 
 
 
 
Assim 
 
lim 
xxo 
f x  f xo   tg .
 
x  xo 
 
 
 
 
Definição: Seja y  f x uma curva e Pxo , yo  um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente 
angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite 
 
m  lim 
x xo 
f x  f xo  , quando este existir. 
x  xo 
 
m  tg

yo  f xo 






2.1.1. Equação da reta tangente 
Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um 
ponto do seu gráfico Pxo , yo  . A equação da reta tangente t é: 
a) y  yo   mx  xo, se o limite que determina m existir; 
 
b) A reta vertical 
 
x  xo 
 
se lim 
x xo 
f x  f xo 

x  x 
 
for infinito. 
o 
 
Exemplo: Determine a equação tangente a parábola f x  x 2 
 
no ponto de abscissa 
 
xo  1 . 
 
Solução: Temos que determinar dois termos yo e m. 
yo  f xo   yo  f 1  12  1 . 
 
m  lim 
x xo 
 f x  f xo 
x  xo 
 
 lim 
x1 
 f x  f 1 
x  1 
 
 lim 
x1 
x 2  1 
 
 
x  1 
 
 L  2 . 
 
Logo a equação da reta tangente é y  1  2x  1 ou y  2x  1 . 
 
 
 
 
 
 
2.1.2. Equação da reta normal 
 
Definição: Seja y  f x uma curva e Pxo , yo 

um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) 
ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t). 
 
 
 A equação da reta normal é y  yo 
  
 1 
x  x 
m 
o 
, sendo que m  lim 
x xo 
f x  f xo   0 .
 
x  x 
 Se m  0 , então a equação da reta normal é a reta vertical 
o 
x  xo . 
 Se 
 
lim 
x xo 
f x  f xo 

x  xo 
 
for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y  yo . 
 
 
2.2.A derivada de uma função num ponto 
 
O limite 
 
lim 
x xo 
f x  f xo 

x  xo 
 
é muito importante, por isso receberá uma denominação especial. 
Definição: Seja y  f x uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da 
função f no ponto xo e denota-se f ' xo  (lê-se f linha de xo ), o limite 
 
f ' xo   lim 
x xo 
f x  f xo  , quando este existir. 
x  x 
o 
 
Forma alternativa para derivada: 
Se fizermos x  x  xo , obtemos a seguinte forma para f ' xo  : 
 
f ' xo   lim 
x0 
f xo  x  f xo  .
 
x 
 
 
 
 
 
 
 

Outras notações para a derivada da função y  f x num ponto x qualquer: 
 
 y' x
 Dx f 
(lê-se: y linha de x); 
(lê-se: derivada da função f em relação à x); 
 
dy 
(lê-se: derivada de y em relação à x). 
dx 
 
Exemplo: Dada a função f x  x 2  x  1, determine f ' 2. Use as duas formas da definição. 
 
 
 Usando f ' xo  

lim 
x  xo 
f x  f xo  
:
 
x  x 
 
f ' 2 

lim 
x2 
 f x  f 2 


x  2 
 
 
lim 
x2 
o 
 
x 2  x  1  3 


x  2 
 
 
lim 
x2 
 
x2  x  2 


x  2 
 
 
lim 
x2 
x  2x  1 


x  2 
 
lim x 
x2 
 
 1  3 . 
 
 
 Usando f ' xo   lim 
x0 
f xo  x  f xo  :
 
x 
 
f ' 2

 lim 
 f 2  x  f 2 2  x2 
 2  x  1  3 
lim 
 
 
 lim 4  4x  x2  2  x  2 



x0 x 
 
 
3x  x 2 




x0 
 
x3  x 


x 
 
      
x0 x 
lim 
x0 x 
lim 
x0 x 
lim 3 
x0 
x 3 0 3 . 
 
 
 
2.2.1. Derivadas laterais 
 
Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais existem e são 
iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada somente existirá em 
condições análogas. 
 
Definição: Seja y  f x uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em 
xo , denotada por f  ' xo  é definida por:
 
f  ' xo  

lim 
x xo 


f x  f xo  .
 
x  xo 
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. 
 
 
 
 


Definição: Seja y  f x uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de f 
em xo , denotada por f  ' xo  é definida por 
f  ' xo  

lim 
x xo 


f x  f xo  .
 
x  xo 
 
 
Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) 
existem e são iguais neste ponto. 
 
Exemplo: Considere a função f x  x  1 . Mostre que esta função é contínua no ponto 
x  1 mas não é derivável neste ponto. 
 
f é contínua neste ponto pois lim 
x1 
f x  lim 
x1 
x  1   1  1  0  0  f  1. 
 
 
Sabemos que 
 
f x 
x  1, x  1 
x  1  

 x  1, x  1 . Vamos calcular 
0, x  1 
 
f '  1: 
 
f '  1 

lim f x  f  1 



lim x  1  0 



lim x  1 



lim 1  1 . 
 
x1 x  1 x1 x  1 x1 x  1 x1
f  '  1 

lim 
x1
 f x  f  1 


x  1 
 
lim 
x1
 x  1  0 


x  1 
 
lim 
x1
 x  1 


x  1 
 
lim 
x1
 1  1. 
 
Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f '  1. 
 
Veja o gráfico da função f x  x  1 . 
 
 
 
Não existe reta tangente ao gráfico desta função no ponto x0  1. 
 
 
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um 
ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. 
 
No exemplo acima a função f x  x  1 
 
tem um ponto anguloso em x  1 . 
 
 
 
 
 





1. Derivada de uma função constante. 
2.2.2. Regras de derivação 
 
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a 
definição. 
 
 
Se f x  c , c é uma constante real, então f ' x  0 . 
f ' x  lim 
 f x  x  f x 
 lim 
c  c 
 lim 0  0 . 
x0 x x0 x x0 
 
 
 
Se n é um inteiro positivo e f x  xn , então f ' x  nx n1 . 
 
Prova: 
 
f ' x

 lim 
 f x  x  f x x  xn 
 xn 
lim 
 
x0 x x0 x 
Usando o Binômio de Newton para expandir x  xn 
, obtemos 

xn  nx n1x  
nn  1 
xn2 x2 
 ...  nxxn1 
 xn  
 xn 
f ' x 
 2! 
lim 
x0 x 
 
 n1 
 
nn  1 
xn2 x  ...  nxxn2 
 xn1 


 lim 
x0 
x

nx 
2! 
x 


 
 n1 
 
nn  1 
xn2 x  ...  nxxn2 
 xn1  
 nx n1 . 
lim nx 
x0 2! 
 
Exemplos: . Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) f x  x b) f x  x 2 c) f x  x5 
 
a) f x  x1  f ' x  1x11  1 . Logo f ' x  1 . 
b) f x  x 2 
c) f x  x5 
f ' x  2x 21  2x . Logo 
f ' x  5x51  5x4 . Logo 
f ' x  2x . 
f ' x  5x4 . 
 
Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. 
2. Derivada da função potência. 





 
 
 
 
 
 
 
Se f x é uma função derivável e c é uma constante real, então a função gx  cf x tem 
derivada dada por g' x  cf ' x . 
 
 
Prova: g´x  lim gx  x  gx 
 lim 
cf x  x  cf x 
 lim 
c f x  x  f x 


x0 x x0 x x0 x 
 c  lim
 f x  x  f x 
 cf´x. 
x0 x 
 
Exemplo: Se f x  5x3 
 
então f ' x  53x 2   15x 2 . 
 
 
 
 
Se f x e gx são função deriváveis, então a função hx  f x  gx tem derivada dada por 
h' x  f ' x  g' x. 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo: Se f x  4 x3  3x 2  x  5 
 
então f ' x  12x 2  6 x  1 . 
 
 
 
 
Se f x e gx são função deriváveis, então a função hx  f x gx tem derivada dada por 
h' x  f ' x gx  f x g' x. 
 
Exemplo: 
Se f x  x3  x2  x

então f ' x  3x 2  12  x  x3  x0  1  4 x3  6 x 2  2x  2 . 
 
 
 
 
Se f x e gx são função deriváveis, então a função hx  f x
g x 
 
tem derivada dada por 
h' x  f ' x gx  f x g' x 
.
 
gx2 
 
   
5x 2  8 
 
 
   
10 x 2x  5x 2  8 2 




 
5x 2  8 
 
Exemplo 26. Se f x então 
2x 
f ' x 
4 x 2 
... . 
2x 
6. Derivada de um quociente de funções. 
5. Derivada de um produto de funções. 
4. Derivada de uma soma de funções. 
3. Derivada do produto de uma constante por uma função. 
 
 
 
 
2.2.3. Derivada da função composta 
 
Até o momento sabemos derivar a função 
 
gx  x3 
 
 
e também a função 
 
f x  2x  1 . 
Considere agora a função composta gof x  g f x  2x  13 
. Como poderemos obter a derivada da função 
composta gof x sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma 
formade obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. 
 
 Regra da cadeia 
Se y  gu, u  f x e as derivadas 
dy 
e
 
du 
du 
existem, então a função composta 
dx 
y  gof x  g f x tem derivada dada por 
 
ou 
 
ou gof´x  g´ f x f´x . 
 
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. 
Exemplo: Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
 
 
  1  3x 
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares y  gu e 
u  f x (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. 
a) y  2x  13
 
 
 y  u 3 

u  2x  1 
 
Então 
Logo 
y´x  y´u u´x 
ý x  62x  12 
. 
ý x  3u 2  2  32x  12 
 2  62x  12 
. 
y´x  y´u u´x
dy 
 
dy 
 
du 
du dx dx 
 
 
 
 
 
5 
2 5x  3 
3 1  x  x3 




b) y 

 y 

u  5x  3 
 
Então y´x  y´u u´x  y´x   5  . Logo y´x  . 
 
 
c) y  

 x 5 


 1  3x 
 y  u 5 

x 
u  
1  3x 
 
Então y´x  y´u u´x 
y´x  5u 4  
11  3x  x 3 



 x 
4 
11  3x  x 3



5x4 
1  3x2 

 5  1  3x 1  3x2   
1  3x6 
.
 
  
  


5x4 
Logo y´ x  
1  3x6 
.
 
 
Proposição: Se f x é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
 
d 
 f xn 
 n f xn1 
. f´x
dx 
 
Prova: Fazendo y  un , onde u  f x e aplicando a regra da cadeia, temos 
 
y´x  y´u u´x  y´x  nu n1  f´x  ý x  n f xn1 
 f´x . 
 
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. 
 
Exemplo: Calcule a derivada da função y  4  . 
 
 
Podemos escrever y  41  x  x3 1 3
 
 
e calcular a derivada usando a proposição acima: 
 
ý x  4  
1 1  x  x3 2 3 
 1  3x 2  . 
3 
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. 
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais 
complicados... 
 
5x  3 
u 
1 
2 u 
5 
2 5x  3 
 
 
 
 
3 8 
1 1 
 
2.2.4. Derivada da função inversa 
 
Se uma função y  f x

admite uma função inversa x  f 1 y, então a função inversa tem 
derivada dada por 
 
. 
 
 
Sabemos que f 1of x  x . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que f 1 ´ f x f´x  1 , daí 
f  1 ´y 
1 
f´x
, desde que f´x  0 . 
 
 
 
Exemplo: Seja y  f x  5x3 . Calcule a derivada f 1 ´40 invertendo a função e usando a 
regra da derivada da inversa. 
 
 Invertendo a função: 
 
 
  y 1 3 
 
 
 1  y 2 3 1 
y  f x  5x3  x  f 1 y     . Assim f 1 ´y    
Logo  1   

1  40 
2 3 
1 
 5 
 1  2 3 1 1 
 
 
3  5  5 
f ´ 40      8  2 3 
. 3  5  5 15 158 60 
 
 Usando a regra da derivada da inversa: 
 
Se y  40 e y  f x  5x3 , então x    2 . Como f´x  15x 2 , obtemos 
 
f 1 ´y 
f´x 


f 1 ´40 
f´2 



1 
1522
 
 
1 
. 
60 
 
 
 Derivada das funções elementares. 
Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. 
 
 
2.2.5. Derivada da função exponencial. 
 

f 1 ´y 
1 
f´x
, f´x  0 
3 
5 
y 
40 
3 
5 
 
 
 
 
x x 
Proposição: Se f x  a x , a  0 e a  1, então f´x  a x lna. 
 
Prova: 
 
f´x 

lim 
x0 
 
a xx  a x 
x 
 
 lim 
x0 
a x a x  1 


x 
 
lim a x 
x0 
 
lim 
x0 
a x  1 


x 
 
a x lna . 
 
Lembre-se que 
 
lim 
x0 
a x  1 


x 
lna

é uma conseqüência importante do limite fundamental 
exponencial (item ii pág. 14). 
 
Caso particular: Se f x  ex , então f´x  ex lne  ex , onde e é o número neperiano. 
 
Exemplo 30. Determine a deriva da função y  6e x . 
 y  6eu       u 1 3e x 

u 
y´ x  y´ u  u´ x  6e   . 
2 
 
 
x 
 
 
 
 
 
ln x 
1 1 
2.2.6. Derivada da função logarítmica. 
 
 
Proposição: Se f x  loga x, a  0 e a  1 , então f´x 
1 
xlna 
.
 
 
Prova: A função logarítmica y  f x  loga x é a inversa da função exponencial 
x  f 1 y  a y . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar 
f´x. Assim: 
 
f´x 
f 1 ´y 

a y lna 


1 
xlna 
.
 
 
 
Caso particular: Se f x  lnx, então 
f´x  1 
 
1 
.
 
 
 
xlne x 
 
 
Exemplo :Determine a deriva da função 
e4 x1 
y  
lnx 
.
 
 
 f  f´ g  fg´ Usando a regra da derivada do quociente  ´


e a regra da cadeia na função 
 g  g 2 
 
exponencial, obtemos: 
 
e4x1  4lnx e4x1  1 

x 
y´
 
   2
 
 
 e 2 x 
2.2.7. Derivada das funções trigonométricas. 
Proposição: 
a) y  senx  y´ cosx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas. 
b) y  cosx  y´  senx . 
c) y  tgx  y´ sec2 x. 
d) y  cot gx  y´  cosec2 x. 
e) y  secx  y´ secxtgx. 
f) y  cosecx  y´  cosecxcot gx. 
 
 
 
 
 
 
a) y  senx. Aplicando a definição... 
 
y´ lim senx  x  senx 
 lim
 senxcosx  senxcosx  senx 


x0 x x0 x 
 
 lim senxcosx  senxcosx  1 
 lim
 senxcosx 
 lim
 senxcosx  1 


x0 x x0 x x0 x 
 cosx lim 
senx 
 senx lim 
cosx  1 
 cosx 1  senx 0  cosx . 
x0 x 
senx
x0 x 
cosx  1 
Lembre-se que lim 
x  0 x 
 1 é o limite trigonométrico fundamental e lim  0 
x0 x 
foi resolvido no exemplo 13 (c) da pág. 15. 
 
c) y  tgx

Como tgx  
senx
cos x 
 
e já sabemos a derivada função senx, podemos aplicar a derivada do 
quociente: 
 
cosxcosx  senx senx 
 
cos 2 x  sen2 x 

1 





2  
y ́
cos 2 x cos 2 x cos 2 x
sec x . 
 
Lembre-se que cos 2 x  sen2 x  1 é a relação trigonométrica fundamental. 
 
e) y  secx


Como secx 
1 
cosx
e sabendo-se que a derivada da função cosx é  senx, podemos aplicar 
a derivada do quociente: 
y´ 
0cosx  1 senx 
 
1senx 

 1 
 
senx 
 secxtgx. 
cos 2 x cos 2 x cosx cosx

Exemplo: Calcule a derivada das funções compostas abaixo: 
5 x 
 
tgx  1 
a) y  sen3x 2 . b) y  cos3 x. c) y  tg  x e . d) y 
secx 
.
 
 
Soluções: 
a) y  sen3x 2 

Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 y  senu y´x  y´u u´x  cosu 6 x  6 xcos3x 2 . 

u  3x 2 
 
 
 
 
x 
a) y  cos3 x

Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 
 y  u 3         2 
        2   
  y´ x y´ u u ́ x 3u sen x 3 sen x cos x . 
u  cos x 
 
b) y  tg  x  e5x 
 
Usando a regra da derivada do produto  f  g ´ f´ g  fg´ e a regra da cadeia, obtemos: 
 
y´ sec2  x  1 
e5x  tg 

x e5x  5 . 
 
 2 

c) 
y 
 tgx  1 
secx

 f  f´ g  fg´ Usando a regra da derivada do quociente  ´


e a regra da cadeia, obtemos: 
 g  g 2 
 

y´
sec 2 x secx tgx  1 secxtgx
sec2 x 
.
 
 
 
Mostre que esta expressão é igual a 
1  tg 2 x  sec2 x se necessário. 
 
y´ 
tgx  1 
. Simplifique-a utilizando a relação trigonométrica 
secx
 
 
 
 
1  x
2
 
x x
2 
 1 
x
2 
 1 
1  x 2 
1 1 
1 1 1 
2.2.7.1.Derivada das funções trigonométricas inversas 
 
Proposição: 
y´ 
1 
. 
a) y  arcsenx 

b) y  arccosx 

c) y  arctgx 

d) y  arc cot gx 

e) y  arc secx 


y´


y´


y´

y´


 1 
.
 
 
1 
.
 
1  x 
2
 
 1 
.
 
1  x 
2
 
1 
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  1 . 
 
f) y  arccos ecx  y´
 1 
, 
x 
x  1 . 
 
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam 
como exercício. 
a) Seja f :  1,1    2 ,  2 definida por y  f x  arcsenx. Esta função tem como inversa 
a função x  f 1 y  seny. Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para 
determinar f´x. Assim: 
 
f´x 
f 1 y 

cosy 


 
1 
. 
 
Observe que y    2 ,  2. Neste caso o sinal da função cosy é positivo. Usando a relação 
trigonométrica fundamental cos 2 y  sen2 y  1 , obtemos cosy  1  sen 2 y . 
 
c) Seja f :     2 ,  2 definida por y  f x  arctgx . Esta função tem como inversa a 
função x  f 1 y  tgy . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para 
determinar f´x. Assim: 
 
f´x 
f 1 y 

 sec2 y 

1  tg 2 y 


1 
.
 
1  x 2 
 
Lembre-se que sec 2 y  1  tg 2 y. 
1  x
2
 
1 
1  sen 2 y
 
 
 
 
x 2 x  1 
x2 
2 
x 2 x 2  1 x x
2 
 1 
1  u 2 1  2x  12
 
 

e) Seja y  arc secx. Podemos reescrever esta expressão como y  arccos
 1 
, x x  1 . Usando o 
 
item (b) da proposiçãoe a regra da cadeia, obtemos: 
 
 
y´
 1   1  1 
  
x 
2 
  
1 
 
1 


2 
 
1 
. 
  
x 2 x  1 
x 
 
 
Obs.: lembre-se que 
 1 ´  
x 
  
 1 
.
 
2 
  x 
 
Exemplo: Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
 1  x 2 
a) y  arcsen2x  1. b) y  arctg  . 
 
 
 1  x 2 
 

Solução: 
a) y  arcsen2x  1. Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 
 y  arcsenu
u  2x  1 
y´x  y´u u´x 
1 
 2 
2 
. 
 
 1  x 2 
b) y  arctg  . Novamente a regra da cadeia...  1  x 2 
 

 y  arctg u      

 1   2x1  x 2  1  x 2 2x

 1  x 2 y´ x  y´ u  u´ x   2    2  u  
1  x 2 
 1  u   1  x 2  

 
1 
 
  4x   2x 
 
  
 
  simplifique esta expressão e mostre que é igual a .  
 1  x 2 
2 



 1  x 2 2 
 1  x4 
1      1  x 2  
   


Logo y´x 
 2x 
.
 
1  x4 
 
v 2 
 
1  
 1 
2 
 
x 

  x 2 
x2 
x 
x
2 
 1 

 
 
 
 
2 
 
2.3.Derivadas sucessivas 
 
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y  f x for 
derivável, isto é, existe f´x, podemos pensar na derivada de f´x e assim 
 
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função 
abaixo: 
 
y  f x


de acordo com a tabela 
 
Como lê-se: Notação: 
 
1a derivada ou derivada de 1a ordem f ´xou 
dy 
dx 
2a derivada ou derivada de 2a ordem f ́ ´ x ou 
d 2 y 
 
dx 2 
3a derivada ou derivada de 3a ordem f ́ ´´ x ou 
d 3 y 
 
dx3 
4a derivada ou derivada de 4a ordem f 
4  x ou 
d 4 y 
 
dx4 
na derivada ou derivada de na ordem f 
n  x ou 
d n y 
dx n 
 
Justificativa para as notações: 
 f´´ x   f´x´ , f´´´ x   f´´ x ́, a partir da quarta derivada usamos o cardinal. 
 
d 2 y d  dy  d 3 y d  d 2 y 
2   ,  , e assim sucessivamente. 
dx dx  dx  dx dx  dx 

Exemplo: 
 
a) Se f x  x 4  2x  1 , então: 
 
f´x  4 x 3  2 
f´´ x  12x 2 
f´´´ x  24 x 
f 4 x  24 
f 5 x  0 
 
... 
f nx  0 , para todo n  5 . 
 
3 
 
 
 
 
n    
f
 x 


b) Se f x  e2x , então: 
 
f´x  2e2x 
f´´ x  4e2x 
f´´´ x  8e2x 
f 4 x  16e2x 
... 
f n x  2 n e2x . 
 
c) Se f x  senx, então: 
 
f´x  cosx
f´´ x   senx 
f´´´ x   cosx 
f 4 x  senx
... 
cosx, n  1,5,9,... 

 senx, 

 cosx, 
n  2,6 ,10,... 
n  3,7 ,11,... 
senx, n  4,8,12,... 
 
 
 
 
 
 
3. CONCLUSÃO 
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam, por exemplo: a posição e a velocidade de 
um foguete ou satélite, a inflação da moeda, o crescimento do número de bactérias em uma cultura, a 
população de um país, a intensidade de terremotos, a voltagem de um sistema elétrico, e assim por 
diante. 
Dessa forma, observamos que a derivada é uma ferramenta matemática usada para estudar taxas nas 
quais variam as grandezas físicas. Assim é importante estudar a estreita relação que existe entre taxas 
de variação e retas tangentes a gráficos. Muitos problemas importantes de Cálculo envolvem a 
determinação da reta tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. Conhece-se da 
Geometria Plana que a reta tangente em um ponto de uma circunferência é a reta que tem com essa 
circunferência um único ponto comum. Essa definição não se aplica a uma curva em geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 “Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)”.2009. Disponível em . Acesso em: 03/01/2016. “Isaac 
Newton, Sir (1642-1727)”. 2009. Disponivel em: . Acesso em: 03/01/2016. “O nascimento do 
Cálculo”. 2009. Disponível em: . Acesso em: 06/01/2016 
BARDI, Jason Socrates, A Guerra do Cálculo [tradução Aluizio Pestana da Costa] – Rio de Janeiro: 
Record, 2008. 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. L T C. Vols. 1 e 2. 
HOWARD, Anton. Cálculo um novo horizonte. Ed. Bookman. Vols 1 e 2.