Derivadas e Aplicações no Cálculo

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2ª Fase
2 Derivada
Definimos a derivada como o limite de uma expressão que envolve uma função f. Isso permite aplicar o conceito de derivada a qualquer quantidade, ou grandeza, que possa ser representada por uma função. Como grandezas desse tipo ocorrem em quase todos os ramos do conhecimento, as aplicações de derivadas são numerosas e variadas – mas em cada caso está sempre em jogo uma taxa de variação.
Veremos inicialmente, que a derivada representa a inclinação de uma curva no ponto. Dessa forma precisamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado.
As ideias que usaremos, foram introduzidas no séc. XVIII, por Newton e Leibnitz.
Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a,b).Y = f(x)
α
y
x
P
M
t
s
Q
Y2
x
y
b
a
X1 X2 
Y1
Seja y=f(x) uma função derivável em P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos de uma curva y = f(x).
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o Triângulo retângulo PMQ, na figura anterior, temos que a inclinação da reta s(ou coeficiente angular de s) é:
 tg= =
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disso, a inclinação da reta secante variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da reta secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite.
Nesse processo que x2 se aproxima de de x1, x2 x1, o segmento x diminui, tende a zero(x 0). Esse valor limite, é denominado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.
Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por
M(x1) = , onde mx1 é o coeficiente da reta tangente.
Fazendo x2 = x1 + podemos reescrever o limite na forma m(x1) = .
E a equação da reta tangente que passa pelo ponto P(x1, y1) é dada por y – y1= m (x – x1).
Exemplos:
1) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² no ponto P(x1, y1).
a) Encontre o equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² no ponto P(1, 1).
b) Faça o gráfico.
2.1 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f’(x), (lê-se f linha de x), tal que, seu valor em qualquer é dado por
, se este limite existir.
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de y’ = f’(x):
(i) 
 (lê-se derivada de f(x) em relação a x).
(ii) 
 (lê-se derivada de y em relação a x).
(iii) 
 (lê-se a derivada de y em relação a x).
2.2. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
Existe um formulário de derivadas que nos permite calcular a derivada de uma função sem o uso da definição de limites. A seguir demonstraremos algumas fórmulas, mas o nosso objetivo principal neste item será ensinar o uso do formulário de derivadas.
F1)	Se y = c (uma constante), então y’ = 0
Demonstração:
		como y = f(x) = c, temos 
Assim
	(consideremos neste momento um número muito próximo de zero, mas diferente de zero.)
Exemplos:
Se
	
	
F2) Se 
Demonstração:
		como y = f(x) = x, temos 
Assim:
(novamente é um valor bem próximo de zero, mas diferente de zero.)
logo 
Exemplos:
	Dadas as funções abaixo, determine y’, f’(2) e explique o significado geométrico de cada resultado.
a) 
b) 
Exercícios
Determine:
1)f(x) = 3x² +12, a f ’(x) e a f ’(3);
2) f(x) = 3x² - 12x +8 , a f ’(x) e a f ’(4);
2.2.1. FORMULÁRIO DE DERIVADAS E INTEGRAIS
	 DERIVADA			
	INTEGRAL
	01) (c)’= 0 
	
	
02) 
	
 (m - 1)
	
03) 
	
 (m - 1)
	
04) 
	
	
05) 
	
	
06) 	
	
	
07) 
	
	
08) 
	
	
09) 
	
	
10) 
	
	
11) 
	
	
12) 
	
	
13) 
	
	
14) 
	
	
15) 
	
	
16) 
	
	
17) 
	
	
18) 
	
	
(u . v)’ = u . v’ + v . u’ 
OBSERVAÇÕES:
(a b)2 = a2 2ab+ b2				(a + b).(a - b) = a2 - b2
= 								
 = cte . 					 = cte . 
 = 								
Exercícios
Derive a função dada aplicando os teoremas:
1. f(x) = 7x – 5
2. f(x) = 8 - 3x
3. f(x) = 1 -2x – x²
4. f(x) = 4x² +x +1
5. f(x) = x³ - 3x² + 5x -2
6. f(x) = 3x4 - 5x² + 1
7. 
f(x) = 
8. 
f(x) = x+ 5x³ - x
9. 
f(x) = 
10. 
f(x) = 
11. 
f(x) = x² + 3x +
12. 
f(x) = 4x
13. 
f(x) = x+ 4x
14. 
f(x) = 
15. 
f(x) = (
16. 
f(x) = (
17. 
f(x) = 
18. 
f(x) = f(x) = 
2.3. DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f’ é também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função f’.
2.3.1. DEFINIÇÃO
Seja f uma função derivável. Se f’ também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f’’(x) (lê-se f-duas linhas de x) ou (lê-se derivada segunda de f em relação a x).
Exemplos
a) 
Se , então
b) 
Se , então
	Se f’’ é uma função derivável, sua derivada, representada por f’’’(x), é chamada derivada terceira de f(x).
	A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por , é obtida derivando-se a derivada de ordem n – 1 de f.
Exemplos:
a) 
Se 
b) 
Se 
5
Prof. Me Roberto Nicolodi Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Curso: NCE
oleObject3.bin
image44.wmf
(sen
)'
'
.
cos
u
u
u
=
oleObject51.bin
image45.wmf
cos
sen
udu
u
c
=
+
ò
oleObject52.bin
image46.wmf
(
)'
'
.
sec
tgu
u
u
=
2
oleObject53.bin
image47.wmf
sec
2
udu
tgu
c
=
+
ò
oleObject54.bin
image48.wmf
(cot
)'
'
cos
sec
gu
u
u
=
-
2
oleObject55.bin
oleObject4.bin
image49.wmf
cos
sec
cot
2
udu
gu
c
=
-
+
ò
oleObject56.bin
image50.wmf
(sec
)'
'
.
sec
.
u
u
u
tgu
=
oleObject57.bin
image51.wmf
sec
.
sec
u
tgudu
u
c
=
+
ò
oleObject58.bin
image52.wmf
(cos
sec
)'
'
.
cos
sec
.
cot
u
u
u
gu
=
-
oleObject59.bin
image53.wmf
cos
sec
.
cot
cos
sec
u
gudu
u
c
=
-
+
ò
oleObject60.bin
image2.wmf
a
image54.wmf
(ln
sec
)'
'
.
u
u
tgu
=
oleObject61.bin
image55.wmf
tgudu
u
c
=
+
ò
ln
sec
oleObject62.bin
image56.wmf
(ln
sen
)'
'
.
cot
u
u
gu
=
oleObject63.bin
image57.wmf
cot
ln
sen
gudu
u
c
=
+
ò
oleObject64.bin
image58.wmf
(ln
sec
)'
'
.
sec
u
tg
u
u
u
+
=
oleObject65.bin
oleObject5.bin
image59.wmf
ò
+
+
=
c
u
tg
u
udu
sec
ln
sec
oleObject66.bin
image60.wmf
(ln
cos
sec
cot
)'
'
.
cos
sec
u
gu
u
u
-
=
oleObject67.bin
image61.wmf
cos
sec
ln
cos
sec
cot
udu
u
gu
c
=
+
+
ò
oleObject68.bin
image62.wmf
(arcsen
)'
'
u
u
u
=
-
1
2
oleObject69.bin
image63.wmf
ò
+
=
-
c
u
u
du
arcsen
1
2
oleObject70.bin
image3.wmf
=
-
-
1
2
1
2
x
x
y
y
image64.wmf
(
)'
'
arctgu
u
u
=
+
1
2
oleObject71.bin
image65.wmf
du
u
arctgu
c
1
2
+
=
+
ò
oleObject72.bin
image66.wmf
²
'
.
'
.
'
v
v
u
u
v
v
u
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
oleObject73.bin
image67.wmf
x
n
m
oleObject74.bin
image68.wmf
x
n
m
oleObject75.bin
oleObject6.bin
image69.wmf
x
x
x
m
n
m
n
.
=
+
oleObject76.bin
image70.wmf
cte
x
n
m
oleObject77.bin
image71.wmf
x
n
m
-
oleObject78.bin
image72.wmf
cte
x
m
oleObject79.bin
image73.wmf
x
m
-
oleObject80.bin
image4.wmf
x
y
D
D
image74.wmf
x
x
m
n
oleObject81.bin
image75.wmf
x
m
n
-
oleObject82.bin
image76.wmf
(
)
x
x
m
n
mxn
=
oleObject83.bin
image77.wmf
4
8
8
1
x
x
-
oleObject84.bin
image78.wmf
5
7
2
x
-
oleObject85.bin
oleObject7.bin
image79.wmf
2
4
2
1
4
1
x
x
-
oleObject86.bin
image80.wmf
2
3
1
3
+
-
x
x
oleObject87.bin
image81.wmf
²
1
x
oleObject88.bin
image82.wmf
4
4
4
1
-
-
x
oleObject89.bin
image83.wmf
2
4
5
-
+
-
x
oleObject90.bin
image5.wmf
1
2
1
2
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
-
-
image84.wmf
4
-
oleObject91.bin
image85.wmf
4
5
²
3
x
x
+
oleObject92.bin
image86.wmf
)
6
³
5
)(
1
2
4
x
x
x
+
-
oleObject93.binimage87.wmf
)
1
4
)(
5
2
2
-
+
x
x
oleObject94.bin
image88.wmf
1
-
x
x
oleObject95.bin
oleObject8.bin
image89.wmf
3
2
+
x
x
oleObject96.bin
image90.wmf
1
-
x
x
oleObject97.bin
image91.wmf
2
2
dx
f
d
oleObject98.bin
image92.wmf
(
)
1
8
3
2
+
+
=
x
x
x
f
oleObject99.bin
image93.wmf
(
)
1
2
+
=
x
x
f
oleObject100.bin
oleObject9.bin
image94.wmf
(
)
(
)
(
)
e
x
x
x
x
x
f
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
'
-
-
+
=
×
+
=
oleObject101.bin
image95.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
2
2
1
2
2
3
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
'
'
+
-
+
=
×
+
+
×
+
-
×
=
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
f
oleObject102.bin
image96.wmf
(
)
(
)
x
f
n
oleObject103.bin
image97.wmf
(
)
2
5
8
3
x
x
x
f
+
=
oleObject104.bin
image98.wmf
(
)
2
x
e
x
f
=
oleObject105.bin
oleObject10.bin
image6.wmf
1
2
1
2
)
(
)
(
lim
lim
1
2
x
x
x
f
x
f
x
y
x
x
P
Q
-
-
=
D
D
®
®
oleObject11.bin
image7.wmf
x
D
oleObject12.bin
image8.wmf
x
x
f
x
x
f
x
D
-
D
+
®
D
)
(
)
(
lim
1
1
0
oleObject13.bin
image9.wmf
(
)
f
D
x
Î
oleObject14.bin
image10.wmf
(
)
(
)
(
)
x
x
f
x
x
f
x
f
x
D
-
D
+
=
®
D
0
lim
'
oleObject15.bin
image11.wmf
(
)
x
f
D
x
oleObject16.bin
image12.wmf
y
D
x
oleObject17.bin
image13.wmf
dx
dy
oleObject18.bin
image14.wmf
(
)
(
)
x
x
f
x
x
f
y
x
D
-
D
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®
D
0
lim
'
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image15.wmf
(
)
c
x
x
f
=
D
+
oleObject20.bin
image16.wmf
x
c
c
y
x
D
-
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®
D
0
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'
oleObject21.bin
image17.wmf
x
y
x
D
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D
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lim
'
0
oleObject22.bin
image18.wmf
x
D
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image19.wmf
0
lim
'
0
®
D
=
x
y
oleObject24.bin
image20.wmf
0
'
=
y
oleObject25.bin
image21.wmf
0
'
100
=
®
=
y
y
oleObject26.bin
image22.wmf
0
'
3
=
®
=
y
y
oleObject27.bin
image23.wmf
0
'
2
1
=
®
-
=
y
y
oleObject28.bin
image24.wmf
1
'
=
®
=
y
x
y
oleObject29.bin
oleObject30.bin
image25.wmf
(
)
x
x
x
x
f
D
+
=
D
+
oleObject31.bin
image26.wmf
x
D
oleObject32.bin
oleObject33.bin
image27.wmf
1
lim
'
lim
'
lim
'
0
0
0
®
D
®
D
®
D
=
D
D
=
D
/
-
D
+
/
=
x
x
x
y
x
x
y
x
x
x
x
y
oleObject34.bin
image28.wmf
1
'
=
y
oleObject35.bin
image1.wmf
D
image29.wmf
(
)
1
6
5
2
-
+
=
x
x
x
f
oleObject36.bin
image30.wmf
1
2
)
(
-
=
x
x
f
oleObject37.bin
image31.wmf
ò
ò
+
=
=
c
x
dx
dx
1
oleObject38.bin
image32.wmf
(
)'
.
x
m
x
m
m
=
-
1
oleObject39.bin
image33.wmf
x
dx
x
m
c
m
m
=
+
+
+
ò
1
1
oleObject40.bin
oleObject1.bin
image34.wmf
'
.
.
)'
(
1
u
u
m
u
m
m
-
=
oleObject41.bin
image35.wmf
u
du
u
m
c
m
m
=
+
+
+
ò
1
1
oleObject42.bin
image36.wmf
(ln
)
'
'
'
u
u
u
=
oleObject43.bin
image37.wmf
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u
u
c
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ln
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(
)'
'
.
e
u
e
u
u
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e
c
u
u
=
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(
)'
'
.
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ln
a
u
a
a
u
u
=
oleObject47.bin
image41.wmf
 
ln
ò
+
=
c
a
a
du
a
u
u
oleObject48.bin
image42.wmf
(cos
)'
'
sen
u
u
u
=
-
oleObject49.bin
image43.wmf
sen
cos
udu
u
c
=
-
+
ò
oleObject50.bin
image99.emf