Derivadas e Taxas de Variação

Prévia do material em texto

SUMÁRIO SUMÁRIO
Ministério da Educação
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de
Pernambuco: Campus Belo Jardim
ALUNO(A):
CURSO Curso: ENGENHARIA DE SOFTWARE Turma: 2◦ P / /2024
Disciplina CÁLCULO I
Professor Sidmar Bezerra. Email: sidmar.prazeres@belojardim.ifpe.edu.br
APOSTILA 2 - DERIVADAS
Sumário
1 DERIVADAS 3
1.1 Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Taxa Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Derivada como Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 9
2.1 Derivada da Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Derivada da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Derivada da Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Derivada da Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Regra do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Derivada de ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 17
3.1 Derivada da senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Derivada da cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Derivada da tgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Derivada da secx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Derivada da cossecx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Derivada da cotgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 REGRA DA CADEIA 22
4.1 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 25
5.1 Diferenciação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 26
6.1 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 27
7.1 Derivadas de Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Diferenciação Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L'HÔPITAL 29
8.1 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Página 1 / 37
SUMÁRIO SUMÁRIO
9 PROBLEMAS 31
9.1 Taxas de Variação, Tangentes e Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2 Regras de Derivação: Soma e Diferença, Derivada da Função Exponencial, Regra
do Produto e do Quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3 Derivada das Funções Trigonométricas e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . 34
9.4 Derivação Implícita, Derivadas de Ordem Superior e Diferenciação Logarítmica . 35
9.5 Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.6 L'Hospital, Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Página 2 / 37
1 DERIVADAS
1 DERIVADAS
1.1 Taxas de Variação
Considere o grá�co a seguir:
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, obviamente,
escrevemos y em função de x. Se x variar de x1 para x2, então y varia de f(x1) para f(x2). Essa
variação também é chamada de incremento de x . Segue-se então que:
1. ∆x = x2 − x1;
2. ∆y = f(x2)− f(x1).
De�nição 1. O quociente entre essas diferenças é chamado de taxa média de variação de y
em relação a x no intervalo [x1, x2] e pode ser interpretado como o coe�ciente angular ou
inclinação da reta, (m), secante
−−→
PQ. Assim, teremos:
m =
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
(1)
Exemplo 1. Observe o grá�co abaixo, no qual relaciona a distância pelo tempo:
No caso, a relação
∆s(t)
∆t
representa a velocidade do móvel.
Exemplo 2. Um reservatório cheio d'água com um orifício, onde o volume de água diminui
com o tempo, a relação
∆V (t)
∆t
representa a vazão de água em unidade de medida de tempo.
1.2 Taxa Instantânea
De�nição 2. Chamamos de taxa instantânea de y em relação a x (∆x = x2 − x1), quando
x2 tende a x1. Nesse caso, interpretamos como a reta tangente no ponto P (x1, f(x1)). Assim:
TAXA INS = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
x2→x1
(
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
)
(2)
Página 3 / 37
1.3 Tangentes 1 DERIVADAS
1.3 Tangentes
Dada uma curva y = f(x) e uma reta r, relacionamos a posição relativa entre r e a curva,
de duas formas:
1. Secante: Quando a reta intercepta a curva em dois pontos distintos ou mais;
2. Tangente: Quando a reta intercepta a curva em único ponto P .
De�nição 3. Se mPQ tender a um numero m, então de�nimos a tangente como uma reta que
passa por P e tem inclinação m. Isso nos implica dizer que a reta tangente é a posição limite
da reta secante PQ quando Q tende a P .
De�nição 4. A reta tangente a curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta por P que tem
inclinação:
m = limx→a
f(x)− f(a)
x− a
(3)
desde que esse limite exista.
Na Geometria Analítica, a equação de uma reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem incli-
nação m é dada pela equação:
y − y0 = m(x− x0) (4)
Exemplo 3. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P (1, 1).
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
2
3
0
A
Solução 1. Encontrando a inclinação da reta no ponto P (1, 1):
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
⇒ m = lim
x→1
x2 − 1
x− 1
m = lim
x→1
(x− 1)(x+ 1)
x− 1
⇒ m = lim
x→1
x+ 1
m = 2
Da geometria analítica, a equação da reta é dada pela expressão y − y0 = m(x− x0), onde
m é inclinação da reta e P (x0, y0) é ponto da reta. Logo:
y − y0 = m(x− x0) ⇒ y − 1 = 2(x− 1) ⇒ y = 2x− 1
Página 4 / 37
1.3 Tangentes 1 DERIVADAS
Existe outra expressão da reta tangente. Tomando h = x− a isto é, (x = a+ h), tem-se:
mPQ =
f(x)− f(a)
x− a
mPQ =
f(a+ h)− f(a)
h
f(a+ h)− f(a)
h
Tomando h → 0, teremos:
m = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(5)
Exemplo 4. Encontre as inclinações das retas tangentes ao grá�co da função f(x) =
√
x nos
pontos (1, 1), (4, 2) e (9, 3).
Solução 2. Seja f(x) =
√
x. Calculemos a inclinação da reta em um ponto genérico Q(k,
√
k).
Segue-se que:
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
⇒ m = lim
h→0
√
k + h−
√
k
h
m = lim
h→0
√
k + h−
√
k
h
.
√
k + h+
√
k
√
k + h+
√
k
m = lim
h→0
k + h− k
h(
√
k + h+
√
k)
= lim
h→0
h
h(
√
k + h+
√
k)
m = lim
h→0
1
(
√
k + h+
√
k)
=
1
2
√
k
Portanto, as inclinações da reta nos pontos A(1, 1), B(4, 2) e C(9, 3) são:
1. A(1, 1) : m =
1
2
√
k
=
1
2
√
1
=
1
4
;
2. B(4, 2) : m =
1
2
√
k
=
1
2
√
4
=
1
2
;
3. A(9, 3) : m =
1
2
√
k
=
1
2
√
9
=
1
6
;
Exemplo 5. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 + 2x nos pontos A(−3, 3) e
B(−1,−1).
Solução 3. Seja a função y = x2+2x. Encontrando a inclinação da reta em um ponto genérico
P (k, f(k)). Segue-se que:
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
m = lim
h→0
(k + h)2 + 2(k + h)− k2 − 2k
h
m = lim
h→0
k2 + 2kh+ h2 + 2k + 2h− k2 − 2k
h
m = lim
h→0
h2 + 2kh+ 2h
h
= lim
h→0
h(h+ 2k + 2)
h
m = lim
h→0
(h+ 2k + 2) = 2k + 2
Com relação ao ponto A(−3, 3), teremos m = 2(−3) + 2 = −4. Logo, a equação da reta será:
y − y0 = m(x− x0) ⇒ y − 3 = −4(x− (−3)) ⇒ y = −4x+ 15
Página 5 / 37
1.4 Derivadas 1 DERIVADAS
Com relação ao ponto B(−1,−1), teremos m = 2(−1) + 2 = 0. Logo, a equação da reta será:
y − y0 = m(x− x0) ⇒ y − (−1) = 0(x− (−1)) ⇒ y = 1
Ao calcular a inclinação da reta tangente (m) em uma curva y = f(x), podemos encontrartrês possíveis valores para m:
(1) (m > 0): A reta tem sentido crescente. Repare que nos pontos P e Q a curva é crescente,
podendo a curva possuir concavidade para cima ou para baixo.
(2) (m < 0): A reta tem sentido decrescente. Repare que nos pontos P e Q a curva é
decrescente, podendo a curva possuir concavidade para cima ou para baixo.
(3) (m = 0): A reta é paralela ao eixo das abscissas. Repare que nos pontos P e Q a curva
deixa de ser crescente para ser decrescente e vice-versa.
1.4 Derivadas
O limite da forma
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
sempre aparece quando calculamos a taxa de variação em uma das ciências ou engenharia. Ele
recebe o nome e uma notação especial.
De�nição 5. Seja f uma função de�nida em um intervalo aberto I = (a, b). A derivada de f
em um número a, denotada por f ′(a), é:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
(6)
se o limite existe.
Conclui-se que a derivada em número a é a inclinação da reta tangente no ponto
P (a, f(a)). Assim, podemos escrever a equação da reta tangente a uma curva y = f(x) no
ponto P (a, f(a)), a equação y − y0 = f ′(a)(x− x0).
Exemplo 6. Encontre a derivada da função f(x) = x2 − 8x + 9, no número a e a equação da
reta tangente no ponto P (a, f(a)).
Página 6 / 37
1.5 Derivada como Função 1 DERIVADAS
Solução 4. (a) Inclinação da reta tangente:
Dada a função f(x) = x2 − 8x+ 9, segue-se que:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
f ′(a) = lim
h→0
(a+ h)2 − 8(a+ h) + 9− a2 + 8a− 9
h
f ′(a) = lim
h→0
a2 + 2ah+ h2 − 8a− 8h+ 9− a2 + 8a− 9
h
f ′(a) = lim
h→0
2ah+ h2 − 8h
h
⇒ f ′(a) = lim
h→0
h(2a+ h− 8)
h
f ′(a) = lim
h→0
2a+ h− 8 ⇒ f ′(a) = 2a− 8
(b) Equação da reta tangente:
Sabendo que a derivada no ponto P (a, f(a)) vale f ′(a) = 2a− 8 e f(x) = x2 − 8x+ 9:
y − y0 = f ′(a)(x− x0)
y − f(a) = (2a− 8)(x− a)
y − a2 + 8a− 9 = (2a− 8)x− 2a2 + 8a
y = (2a− 8)x− a2 + 9
Exemplo 7. A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f(t) =
1
1 + t
,
onde t é medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade da partícula após 2s.
Solução 5. Temos a função s = f(t) =
1
1 + t
, no qual representa a posição de uma partícula em
determinado tempo t. A velocidade, corresponde à taxa de variação entre a posição e o tempo.
Portanto a derivada no ponto t = 2s Assim, segue-se que:
v(t) = f ′(t) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
v(t) = lim
h→0
1
1 + t+ h
− 1
1 + t
h
v(t) = lim
h→0
1 + t− 1− t− h
(1 + t+ h)(1 + t)
h
v(t) = lim
h→0
−h
h(1 + t+ h)(1 + t)
v(t) = lim
h→0
−1
(1 + t+ h)(1 + t)
v(t) =
−1
(1 + t)2
⇒ v(2) =
−1
(1 + 2)2
= −1
9
m/s
1.5 Derivada como Função
De�nição 6. Seja f uma função de�nida em um intervalo I = (a, b). Para todo x ∈ I, a
derivada f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
existe. Sendo a = x, temos a derivada da função f e será
uma nova função dada por:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
(7)
Página 7 / 37
1.5 Derivada como Função 1 DERIVADAS
Exemplo 8. Sejam as funções a seguir. Encontre f ′(x) estabelecendo o seu domínio.
(a) f(x) = x3 − x.
(b) f(x) =
√
x− 1.
(c) f(x) =
1− x
2 + x
.
Solução 6. (a) f(x) = x3 − x.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
(x+ h)3 − (x+ h)− x3 + x
h
f ′(x) = lim
h→0
x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x− h− x3 + x
h
f ′(x) = lim
h→0
3x2h+ 3xh2 + h3 − h
h
f ′(x) = lim
h→0
h(3x2 + 3xh+ h2 − 1)
h
f ′(x) = lim
h→0
(3x2 + 3xh+ h2 − 1) ⇒ f ′(x) = 3x2 − 1
(b) f(x) =
√
x− 1.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
√
x+ h− 1−
√
x− 1
h
f ′(x) = lim
h→0
√
x+ h− 1−
√
x− 1
h
.
√
x+ h− 1 +
√
x− 1√
x+ h− 1 +
√
x− 1
f ′(x) = lim
h→0
x+ h− 1− (x− 1)
h(
√
x+ h− 1 +
√
x− 1)
f ′(x) = lim
h→0
h
h(
√
x+ h− 1 +
√
x− 1)
f ′(x) = lim
h→0
1
(
√
x+ h− 1 +
√
x− 1)
f ′(x) = lim
h→0
1
(
√
x+ h− 1 +
√
x− 1)
⇒ f ′(x) =
1
2
√
x
Página 8 / 37
2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
(c) f(x) =
1− x
2 + x
.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
1− (x+ h)
2 + x+ h
− 1− x
2 + x
h
f ′(x) = lim
h→0
(2 + x)(1− x− h)− (1− x)(2 + x+ h)
h(2 + x+ h)(2 + x)
⇒
lim
h→0
2− 2x− 2h+ x− x2 − xh− 2− x− h+ 2x+ x2 + xh
h(2 + x+ h)(2 + x)
f ′(x) = lim
h→0
−3h
h(2 + x+ h)(2 + x)
f ′(x) = lim
h→0
−3
(2 + x+ h)(2 + x)
f ′(x) =
−3
(2 + x)2
Exemplo 9. Mostre que:
(i) A derivada de uma função polinomial do 1◦ grau f(x) = mx+ n é a constante m.
(ii) A derivada de uma função polinomial do 2◦ grau f(x) = ax2 + bx + c é a função f ′(x) =
2ax+ b.
Solução 7. (1) Seja f(x) = mx+ n. Tem-se que:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
m(x+ h) + n− (mx+ n)
h
f ′(x) = lim
h→0
mx+mh+ n−mx− n
h
f ′(x) = lim
h→0
mh
h
= lim
h→0
m
f ′(x) = m
(1) Seja f(x) = ax2 + bx+ c. Tem-se que:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
a(x+ h)2 + b(x+ h) + c− (ax2 + bx+ c)
h
f ′(x) = lim
h→0
ax2 + 2axh+ ah2 + bx+ bh+ c− ax2 − bx− c
h
f ′(x) = lim
h→0
2axh+ ah2 + bh
h
= lim
h→0
h(2ax+ ah+ b)
h
f ′(x) = lim
h→0
2ax+ ah+ b
f ′(x) = 2ax+ b
2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
2.1 Derivada da Função Constante
Teorema 1. Seja a função constante f(x) = c. A derivada de f é dada por:
f ′(x) = 0 (8)
Página 9 / 37
2.2 Derivada da Função Potência 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Demonstração 1.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0 ⇒ f ′(x) = 0
2.2 Derivada da Função Potência
Teorema 2. Considere a função f(x) = xn, onde n ∈ N. A derivada da função f(x) é dada
por:
f ′(x) = nxn−1 (9)
Demonstração 2.
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)n − xn
h
(10)
Usando o Teorema Binomial para o desenvolvimento de (x+ h)n, teremos:
xn +
(
n
1
)
xn−1.h+
(
n
2
)
xn−2.h2 + . . .+
(
n
n− 1
)
x1.hn−1 + hn (11)
Substituindo (11) em (10), vamos obter:
f ′(x) = n.xn−1
No caso da função potência (f ′(x) = n.xn−1), ela vale para qualquer expoente racional.
Assim, teremos:
De�nição 7. Se n for número real qualquer, então
f ′(x) = n.xn−1
2.3 Derivada da Função Polinomial
Seja a função polinomial:
f(x) = an.x
n + an−1.x
n−1 + . . .+ a2x
2 + a1x+ a0.
Para derivar f(x), precisamos de duas proposições:
1. Regra do Múltiplo Constante;
2. Regra da Adição e da Diferença.
Proposição 1 (Regra do Múltiplo Constante). Seja c ∈ R uma constante e f uma função
diferenciável. Então:
d
dx
[cf(x)] = c.
d
dx
[f(x)] (12)
Demonstração 3. Seja a função g(x) = c.f(x) A derivada de g(x) é dada por:
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= lim
h→0
c.f(x+ h)− cf(x)
h
g′(x) = lim
h→0
c[f(x+ h)− f(x)]
h
= c.
[
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
]
g′(x) = c.[f ′(x)]
Exemplo 10. Encontre f ′(x), sendo:
(a) f(x) = x5
(b) f(x) = 6x3
(c) f(x) = −5x7
3
Página 10 / 37
2.3 Derivada da Função Polinomial 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Solução 8. (a) f(x) = x5⇒ f ′(x) = 5x4
(b) f(x) = 6x3 ⇒ f ′(x) = 6.3x2 = 18x2
(c) f(x) = −5x7
3
⇒ f ′(x) = −5
3
.7x6 = −35x6
3
Proposição 2 (Regra da Soma e Diferença). Se f e g são ambas diferenciáveis, então:
d
dx
[f(x)± g(x)] =
d
dx
[f(x)± g(x)] (13)
Demonstração 4. Sejam f(x), g(x) funções diferenciáveis. Queremos calcular a derivada da
função h(x) = f(x) + g(x). A demonstração para a derivada da função h(x) = f(x) − g(x) é
análoga. Pela de�nição da derivada, tem-se que:
h′(x) = lim
h→0
h(x+ h)− h(x)
h
h′(x) = lim
h→0
f(x+ h) + g(x+ h)− (f(x) + g(x))
h
h′(x) = lim
h→0
[f(x+ h)− f(x)] + [g(x+ h)− g(x)]
h
h′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
+
g(x+ h)− g(x)
h
h′(x) = f ′(x) + g′(x)
Exemplo 11. Encontre a derivada da função f(x) = x8 − 12x5 + 6x3 + 2x2 − 2.
Solução 9.
f ′(x) = 8x7 − 12.5x4 + 6.3x2 + 2.2x− 0
f ′(x) = 8x7 − 60x4 + 18x2 + 4x
Exemplo 12. Encontre pontos da curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a tangente é horizontal.
Solução 10. Observe que, quando a tangente é horizontal, tem-se que f ′(x) = 0. Sendo y =
x4 − 6x2 + 4, calculemos sua derivada.
y′ = 4x3 − 12x
Pondo y′ = 0, teremos:
4x3 − 12x = 0 ⇒ 4x(x2 − 3) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 =
√
3, x3 = −
√
3
Logo, quando x1 = 0, x2 =
√
3, x3 = −
√
3, temos y1 = 4, y2 = −5, y3 = −5. Assim, a tangente é
horizontal nos pontos A(0, 4), B(
√
3,−5) e C(−
√
3,−5).
Exemplo 13. Encontre a derivada da função f(x) = 53
√
x2 − 7x−3 + 9x2 − 1.
Solução 11. Reescrevendo a função, teremos: f(x) = 5x2/3 − 7x−3 + 9x2 − 1.
f ′(x) = 5.2/3x(2/3−1) − 7.(−3)x(−3−1) + 9.2x− 0
f ′(x) =
10x−1/3
3
+ 21x−4 + 18x
Página 11 / 37
2.4 Derivada da Função Exponencial 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
2.4 Derivada da Função Exponencial
Proposição 3. Seja a função exponencial f(x) = ax, com 1 ̸= a ∈ R∗
+. A derivada de f(x) é
dada por:
f ′(x) = ax. ln a (14)
Demonstração 5. Usando a de�nição da derivada, vamos obter:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
f ′(x) = lim
h→0
ax.ah − ax
h
= lim
h→0
ax.(ah − 1)
h
f ′(x) = ax. lim
h→0
(ah − 1)
h
Repare que lim
h→0
(ah − 1)
h
= ln a (visto em limites). Logo, segue-se que:
f ′(x) = ax. ln a
Corolário 1. Seja a função exponencial f(x) = ex. A derivada de f(x) é dada por:
f ′(x) = ex (15)
Demonstração 6. Sabemos que a derivada da função f(x) = ax é f ′(x) = ax ln a. Pondo a = e,
segue-se que:
f ′(x) = ex. ln e ⇒ f ′(x) = ex.1 ⇒ f ′(x) = ex
Exemplo 14. Seja a função f(x) = 2ex − 3x2 + 3x. Calcular f ′(x).
Solução 12.
f ′(x) = 2ex − 6x+ 3x. ln 3
Exemplo 15. Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
(a) y = x4 + 2ex, A(0, 2)
(b) y = (1 + 2x)2, B(1, 9).
Solução 13. (a) y = x4 + 2ex, A(0, 2)
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da derivada de y no ponto A(0, 2). Segue-
se que:
f ′(x) = 4x3 + 2ex ⇒ f ′(0) = 4.03 + 2e0 = 0 + 2 = 2
Assim a equação da reta tangente é dada por:
y − y0 = f ′(a)(x− x0)
y − 2 = 2(x− 0)
y = 2x+ 2
(b) y = (1 + 2x)2, B(1, 9)
Desenvolvendo o produto notável, tem-se y = (1+2x)2 = 1+4x+4x2. Para encontrar a equação
da reta tangente, precisamos da derivada de y no ponto B(1, 9). Segue-se que:
f ′(x) = 8x+ 4 ⇒ f ′(1) = 8.1 + 4 = 12
Assim a equação da reta tangente é dada por:
y − y0 = f ′(a)(x− x0)
y − 9 = 12(x− 1)
y = 12x− 3
Página 12 / 37
2.5 Regra do Produto 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
2.5 Regra do Produto
Vimos que a derivada da soma (diferença) é soma (diferença) das derivadas. Será que, dadas
as funções f, g, tem-se que (fg)′ = f ′.g′? Considere as funções f(x) = x e g(x) = x2. Observe:
f(x) = x ⇒ f ′(x) = 1
g(x) = x2 ⇒ g′(x) = 2x
f ′(x).g′(x) = 2x.
f(x).g(x) = x3 ⇒ [f(x).g(x)]′ = 3x2.
Logo, tem-se que:
f ′g′ ̸= (fg)′
Teorema 3. Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da produto das funções f e g
é dado por:
(f(x).g(x))′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)
Demonstração 7. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis. Tomemos u = f(x) e v = g(x). Geo-
metricamente, considere um retângulo de comprimento u e largura v. Suponha que as dimensões
tenham um aumento linear de ∆u e ∆v. Observe a �gura:
Demonstração 8. Note que:
1. ∆u = f(x+∆x)− f(x);
2. ∆v = g(x+∆x)− g(x);
A nova área do triângulo é dada por:
(u+∆u).(v +∆v) = uv + u∆v + v∆u+∆u∆v
A variação da área foi de ∆(uv) = u∆v + v∆u + ∆u∆v. Dividindo-se essa variação por ∆x,
vamos obter:
∆(uv)
∆x
=
u∆v
∆x
+
v∆u
∆x
+
∆u∆v
∆x
Demonstração 9. Pela de�nição da derivada, fazendo ∆x → 0, vamos obter:
lim
∆x→0
∆(uv)
∆x
= lim
∆x→0
(
u∆v
∆x
+
v∆u
∆x
+
∆u∆v
∆x
)
(uv)′ = uv′ + u′v + 0
f.g = f ′g + fg′
Exemplo 16. Calcular f ′(x), sendo:
(a) h(x) = x2.ex.
(b) h(x) =
√
x.(x2 − 1).
(c) h(x) = (x3 − 2x).(ex − 1)
(d) h(t) = (t+ et).(3−
√
t).
Página 13 / 37
2.6 Regra do Quociente 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Solução 14. (a) h(x) = x2.ex.
Tomando f(x) = x2 e g(x) = ex, tem-se que:
(fg)′ = f ′g + fg′
h′(x) = 2x.ex + x2.ex
h′(x) = x.ex(2 + x)
(b) h(x) =
√
x.(x2 − 1)
Tomando f(x) =
√
x e g(x) = (x2 − 1), tem-se que:
(fg)′ = f ′g + fg′
h′(x) =
1
2
√
x
.(x2 − 1) +
√
x.2x
h′(x) =
x−1/2
2
.(x2 − 1) + x1/2.2x
h′(x) =
x3/2
2
− x−1/2
2
+ 2x3/2
h′(x) =
5
√
x3
2
− 1
2
√
x
(c) h(x) = (x3 − 2x).(ex − 1)
Tomando f(x) = (x3 − 2x) e g(x) = (ex − 1), tem-se que:
(fg)′ = f ′g + fg′
h′(x) = (3x2 − 2).(ex − 1) + (x3 − 2x).(ex)
h′(x) = 3x2.ex − 3x2 − 2ex + 2
h′(x) = ex(3x2 − 2)− 3x2 + 2
(d) h(t) = (t+ et).(3−
√
t)
Tomando f(t) = (t+ et) e g(t) = (3−
√
t), tem-se que:
(fg)′ = f ′g + fg′
h′(t) = et.(3−
√
t) + (t+ et)(− 1
2
√
t
)
h′(t) = 3et − et
√
t− t
2
√
t
− et
2
√
t
h′(t) = et
(
3−
√
t− 1
2
√
t
)
− t
2
√
t
2.6 Regra do Quociente
Teorema 4. Se f e g são funções diferenciáveis, então do quociente de f por g é dado por:(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)
[g(x)2]
(16)
Demonstração 10. Sejam f e g funções deriváveis e h(x) =
f(x)
g(x)
. Queremos encontrar h′(x).
Página 14 / 37
2.6 Regra do Quociente 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Segue-se então que f(x) = h(x).g(x). Portanto:
f ′(x) = h′(x).g(x) + h(x).g′(x) ⇒ h′(x) =
f ′(x)− h(x).g′(x)
g(x)
h′(x) =
f ′(x)− f(x)
g(x)
.g′(x)
g(x)
h′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x).g′(x)
g(x)
.
1
g(x)
h′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x).g′(x)
[g(x)]2
Exemplo 17. Calcular f ′(x), sendo:
(a) f(x) =
x2 − x+ 2
x3 + 6
.
(b) f(x) =
ex
1 + x2
.
(c) f(x) =
ax+ b
cx+ d
.
Solução 15. (a) f(x) =
x2 − x+ 2
x3 + 6
.
Tomando h(x) = x2 − x+ 2 e g(x) = x3 + 6, tem-se que:
(h/g)′ =
h′g − hg′
g2
f ′(x) =
(2x− 1).(x3 + 6)− (x2 − x+ 2)(3x2)
(x3 + 6)2
f ′(x) =
2x4 + 12x− x3 − 6− 3x4 + 3x3 − 6x2
(x3 + 6)2
f ′(x) =
−x4 + 2x3 − 6x2 + 12x− 6
(x3 + 6)2
(b) f(x) =
ex
1 + x2
Tomando h(x) = ex e g(x) = (1 + x2), tem-se que:
(h/g)′ =
h′g − hg′
g2
f ′(x) =
ex(1 + 2x2)− ex.2x
(1 + x2)2
f ′(x) =
ex + 2x2ex − 2xex
(1 + x2)2
f ′(x) =
ex(2x2 − 2x+ 1)
(1 + x2)2
(c) f(x) =
ax+ b
cx+ d
.
Tomando f(x) = (ax+ b) e g(x) = (cx+ d), tem-se que:
(h/g)′ =
h′g − hg′
g2
f ′(x) =
a(cx+ d)− (ax+ b).c
(cx+ d)2
f ′(x) =
acx+ ad− acx− bc
(cx+ d)2
f ′(x) =
ad− bc
(cx+ d)2
Página 15 / 37
2.7 Derivada de ln x 2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
Exemplo 18. A curva y =
1
1 + x2
é chamada bruxa de Maria de Agnesi. Encontre uma
equação da reta tangente para essa curva no ponto P (−1, 1/2).
−3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
0
f(x) =
1
1+ x2
f
P
r
Solução 16. Seja a função f(x) =
1
1 + x2
. A inclinação da reta no ponto P (−1, 1/2) é dada
por f ′(−1).
(f/g)′ =
f ′g − fg′
g2
⇒ f ′(x) =
0.(1 + x2)− 1.2x
(1 + x2)2
f ′(x) =
−2x
(1 + x2)2
⇒ f ′(−1) =
2
9
.
Portanto a equação da reta tangente:
y − y0 = f ′(a)(x− x0) ⇒ y − 1
2
=
4
9
(x− (−1))
18y − 9 = 4x+ 2 ⇒ y =
2
9
x+
11
18
2.7 Derivada de ln x
Proposição 4. Seja a função f(x) = lnx, onde x ∈ R∗
+. A derivada de f(x) é dada por
f ′(x) =
1
x
(17)
−1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
0
f(x) = lnx
Demonstração 11. Seja a função f(x) = lnx, onde x ∈ R∗
+. Queremos encontrar sua derivada.
Pela de�nição da derivada, teremos:
f ′(x) = lim
h→0
[
ln(x+ h)− ln(x)
h
]
f ′(x) = lim
h→0
[
1
h
. ln
(
x+ h
x
)]
= lim
h→0
[
1
h
. ln
(
1 +
h
x
)]
Tomemos u =
h
x
. Segue-se então que:
Página 16 / 37
3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. h → 0 ⇒ u → 0;
2. u =
h
x
⇒ h = u.x
Substituindo, teremos:
f ′(x) = lim
h→0
[
1
ux
. ln (1 + u)
]
f ′(x) = lim
h→0
ln (1 + u)
1
ux

f ′(x) = lim
h→0
ln (1 + u)
1
u
1/x
f ′(x) = ln
 lim
h→0
(1 + u)
1
u
1/x
Como lim
h→0
(1 + u)
1
u = e, tem-se que:
f ′(x) = ln
 lim
h→0
(1 + u)
1
u
1/x
f ′(x) = ln e1/x
f ′(x) =
1
x
ln e
f ′(x) =
1
x
Exemplo 19. Dada a função f(x) =
x+ 1
x lnx
, encontre f ′(x).
Solução 17. Observe que temos uma função quociente. Portanto utilizamos a regra do quociente.
Note que o denominador, temos um produto de duas funções. Nesse caso, a regra do produto.
(fg)′ =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
1.x lnx− (x+ 1).(1. lnx+ x.(1/x))
(x lnx)2
f ′(x) =
x lnx− (x+ 1).(lnx+ 1)
(x lnx)2
f ′(x) =
x lnx− x lnx− x− lnx− 1
(x lnx)2
f ′(x) =
−x− lnx− 1
(x lnx)2
3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3.1 Derivada da senx
Proposição 5. Considere a função trigonométrica f(x) = senx, cujo grá�co é uma senóide.
A derivada de f(x) é dada por:
f ′(x) = cosx (18)
Página 17 / 37
3.2 Derivada da cosx 3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Demonstração 12. Para encontrar a derivada de f(x) = senx, utilizaremos a de�nição da
derivada:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
f ′(x) = lim
h→0senx. cosh+ senh. cosx− senx
h
f ′(x) = lim
h→0
senh. cosx
h
+ lim
h→0
senx. cosh− senx
h
f ′(x) = lim
h→0
senh. cosx
h
+ lim
h→0
senx.(cosh− 1)
h
f ′(x) = lim
h→0
cosx.
(
senh
h
)
+ lim
h→0
senx.
(
cosh− 1
h
)
Como lim
h→0
(
senh
h
)
= 1 e lim
h→0
(
cosh− 1
h
)
= 0, então segue-se que:
f ′(x) = lim
h→0
cosx.
(
senh
h
)
+ lim
h→0
senx.
(
cosh− 1
h
)
f ′(x) = cosx.1 + senx.0
d
dx
(senx) = cosx
3.2 Derivada da cosx
Proposição 6. Considere a função trigonométrica f(x) = cosx, cujo grá�co é uma cossenóide.
A derivada de f(x) é dada por:
f ′(x) = −senx (19)
Demonstração 13. Para encontrar a derivada de f(x) = cosx, utilizaremos a de�nição da
derivada:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
f ′(x) = lim
h→0
cosx. cosh− senh.senx− cosx
h
f ′(x) = lim
h→0
cosx. cosh− cosx
h
− lim
h→0
senh.senx
h
f ′(x) = lim
h→0
cosx.
(
cosh− 1
h
)
− lim
h→0
senx.
(
senh
h
)
Como lim
h→0
(
senh
h
)
= 1 e lim
h→0
(
cosh− 1
h
)
= 0, então segue-se que:
f ′(x) = lim
h→0
cosx.
(
cosh− 1
h
)
− lim
h→0
senx.
(
senh
h
)
f ′(x) = cosx.0− senx.1
d
dx
(cosx) = −senx
Página 18 / 37
3.3 Derivada da tgx 3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3.3 Derivada da tgx
Proposição 7. Considere a função trigonométrica f(x) = tgx. A derivada de f(x) é dada por:
f ′(x) = sec2 x (20)
Demonstração 14. Sabemos que a tangente de um ângulo x é de�nida por tgx =
senx
cosx
. Pela
regra do quociente, segue-se que:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
cosx. cosx− senx.(−senx)
cos2 x
f ′(x) =
cos2 x+ sen2x
cos2 x
f ′(x) =
1
cos2 x
d
dx
(tgx) = sec2 x
3.4 Derivada da secx
Proposição 8. Considere a função trigonométrica f(x) = secx. A derivada de f(x) é dada por:
f ′(x) = tgx. secx (21)
Demonstração 15. Sabemos que a secante de um ângulo x é de�nida por secx =
1
cosx
. Pela
regra do quociente, segue-se que:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
0. cosx− 1.(−senx)
cos2 x
f ′(x) =
senx
cos2 x
f ′(x) =
senx
cosx
.
1
cosx
d
dx
(secx) = tgx. secx
3.5 Derivada da cossecx
Proposição 9. Considere a função trigonométrica f(x) = cossecx. A derivada de f(x) é dada
por:
f ′(x) = −cotgx.cossecx (22)
Demonstração 16. Sabemos que a cossecante de um ângulo x é de�nida por cossecx =
1
senx
.
Página 19 / 37
3.6 Derivada da cotgx 3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pela regra do quociente, segue-se que:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
0.senx− 1.(cosx)
sen2x
f ′(x) =
− cosx
sen2x
f ′(x) =
− cosx
senx
.
1
senx
d
dx
(cossecx) = −cotgx.cossecx
3.6 Derivada da cotgx
Proposição 10. Considere a função trigonométrica f(x) = cotgx. A derivada de f(x) é dada
por:
f ′(x) = −cossec2x (23)
Demonstração 17. Sabemos que a cotangente de um ângulo x é de�nida por cotgx =
cosx
senx
.
Pela regra do quociente, segue-se que:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
−senx.senx− cosx.(cosx)
sen2x
f ′(x) =
−sen2x− cos2 x
sen2x
f ′(x) =
−1
sen2x
d
dx
(cotgx) = −cotg2x
Exemplo 20. Diferencie:
(a) y = x2.senx.
(b) y = x− 3senx
(c) f(x) =
1 + senx
x+ cosx
.
Solução 18. (a) y = x2.senx.
Pela regra do produto:
f ′(x) = f ′g + fg′
f ′(x) = 2xsenx+ x2. cosx
(b) y = x− 3senx.
f ′(x) = 1− 3 cosx
(c) f(x) =
1 + senx
x+ cosx
.
Página 20 / 37
3.6 Derivada da cotgx 3 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pela regra do quociente:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
cosx.(x+ cosx)− (1 + senx).(1− senx)
(x+ cosx)2
f ′(x) =
x cosx+ cos2 x− 1 + sen2x
(x+ cosx)2
f ′(x) =
x cosx
(x+ cosx)2
Exemplo 21. Diferencie a função y =
secx
1 + tgx
. Para quais valores de x o grá�co de f tem uma
reta tangente horizontal?
Solução 19. A reta tangente é horizontal quando f ′(a) = 0. Encontrando a derivada de y =
secx
1 + tgx
. Vamos simplicar a função y, sabendo que secx =
1
cosx
e tgx =
senx
cosx
.
y =
secx
1 + tgx
=
1
cosx
1 +
senx
cosx
=
1
cosx
cosx+ senx
cosx
=
1
cosx+ senx
Sendo y =
secx
1 + tgx
=
1
cosx+ senx
, pela regra do quociente:
y′ =
f ′g − fg′
g2
y′ =
0.(cosx+ senx)− 1(−senx+ cosx)
(cosx+ senx)2
y′ =
senx− cosx
cos2 x+ 2senx. cosx+ sen2x
y′ =
senx− cosx
1 + sen(2x)
A reta tangente é horizontal quando y′ = 0. Portanto, quando:
senx− cosx
1 + sen(2x)
= 0 ⇒ senx = cosx ⇒ x =
π
4
+ kπ
Exemplo 22. Encontre a derivada da função f(x) =
ex. cosx
senx
.
Solução 20. Sendo a função f(x) =
ex. cosx
senx
, pela regra do quociente:
f ′(x) =
f ′g − fg′
g2
f ′(x) =
(ex. cosx+ ex(−senx)).(senx)− (ex. cosx).(cosx)
(senx)2
f ′(x) =
exsenx. cosx− exsen2x− ex cos2 x
(senx)2
f ′(x) =
exsenx. cosx− ex(sen2x+ cos2 x)
(senx)2
f ′(x) =
exsenx. cosx− ex
(senx)2
⇒ f ′(x) =
ex(senx cosx− 1)
(senx)2
Página 21 / 37
4 REGRA DA CADEIA
4 REGRA DA CADEIA
4.1 Regra da Cadeia
Considere a função F (x) =
√
x2 + 1. Queremos encontrar F ′(x). Observe que F representa
uma função composta, no qual não podemos utilizar as regras anteriores. Então na função
F , podemos encontrar duas funções f, g tais que F = f ◦ g = f(g(x)) no qual f(x) =
√
x e
g(x) = x2 + 1. Sabemos diferenciar f e g. Então como diferenciar f ◦ g? Então, diante das
funções compostas, esse tipo de diferenciação é chamado de REGRA DA CADEIA.
Teorema 5. Se f e g são funções diferenciáveis e F = f ◦ g for a função composta de�nida por
F (x) = f(g(x)), então F é diferenciável e sua derivada é dada pelo produto:
F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x) (24)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u(g(x)) forem funções diferenciáveis, então
dy
du
=
dy
du
.
du
dx
(25)
Demonstração 18. Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis, tal que F (x) = f(g(x)). Tomemos
g(x) = u e y = F (x) = f(u). Tem-se que:
1. ∆u = g(x+∆x)− g(x);
2. ∆y = f(u+∆u)− f(u);
Assim, segue-se que:
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
.
∆u
∆u
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆u
.
∆u
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆u
. lim
∆x→0
∆u
∆x
dy
dx
=
dy
du
du
dx
⇒ F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
Exemplo 23. Seja a função F (x) =
√
x2 + 1. Encontre F ′(x).
Solução 21. Sendo F (x) =
√
x2 + 1, aplicando a regra da cadeia:
F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
F ′(x) =
1
2
√
x2 + 1
.2x
F ′(x) =
x√
x2 + 1
Exemplo 24. Diferencie as funções:
a) y = (x3 − 1)100. b) y = sen2x. c) y = (2x+ 1)5.(x3 − x)4.
d) g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
. e) h(x) =
1
3
√
x2 + x+ 1
. f) y = esenx
Solução 22. a) y = (x3 − 1)100.
y = (x3 − 1)100
y′ = 100(x3 − 1)99.3x2
y′ = 300x2(x3 − 1)99
Página 22 / 37
4.1 Regra da Cadeia 4 REGRA DA CADEIA
b) y = sen2x.
y = sen2x
y′ = 2senx. cosx
y′ = sen(2x)
c) y = (2x+ 1)5.(x3 − x)4.
Note que, além da regra da cadeia, utilizaremos a regra do produto (y'=f'g+fg').
y = (2x+ 1)5.(x3 − x)4
y′ = 5(2x+ 1)4.2x(x3 − x)4 + (2x+ 1)5.4.(x3 − x)3.(3x2 − 1)
y′ = 10x(2x+ 1)4(x3 − x)4 + 4(2x+ 1)5(x3 − x)3(3x2 − 1)
y′ = (2x+ 1)4(x3 − x)3[10x(x3 − x) + 4(2x+ 1)(3x2 − 1)]
y′ = (2x+ 1)4(x3 − x)3[10x4 − 10x2 + 24x3 − 8x+ 12x2 − 4]
y′ = (2x+ 1)4(x3 − x)3[10x4 + 24x3 + 2x2 − 8x− 4]
d) g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
.
Note que, além da regra da cadeia, utilizaremos a regra quociente (y′ =
f ′g − fg′
g2
).
g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
g′(t) = 9.
(
t− 2
2t+ 1
)8
.
1(2t+ 1)− (t− 2).2
(2t+ 1)2
g′(t) = 9.
(
t− 2
2t+ 1
)8
.
2t+ 1− 2t+ 4
(2t+ 1)2
g′(t) = 9.
(
t− 2
2t+ 1
)8
.
5
(2t+ 1)2
= g′(t) = 45.
(t− 2)8
(2t+ 1)10
e) h(x) =
1
3
√
x2 + x+ 1
.
h(x) =
1
3
√
x2 + x+ 1
= (x2 + x+ 1)−1/3
h′(x) = −1
3
(x2 + x+ 1)−1/3−1.(2x+ 1)
h′(x) = −1
3
(x2 + x+ 1)−4/3.(2x+ 1)
h′(x) = − 2x+ 1
3.(x2 + x+ 1)4/3
h′(x) = − 2x+ 1
3 3
√
(x2 + x+ 1)4
f) y = esenx.
y = esenx
y′ = esenx. cosx
Lema 1. Dados, a, k ∈ R∗
+, com a ̸= 1, mostre que aloga k = k.
Página 23 / 37
4.1 Regra da Cadeia 4 REGRA DA CADEIA
Demonstração 19. Seja aloga k = m,m ∈ R. Queremos mostrar que m = k.
aloga k = m
loga(a
loga k) = loga(m)
loga(k. loga a) = logam
loga(k.1) = logam
loga k = logam
k = m
Teorema 6. Usando a regra da cadeia, mostre que dada a função f(x) = ax, então f ′(x) =
ax. ln a.
Demonstração 20. Seja f(x) = ax, queremos mostrar que f ′(x) = ax. ln a. Pelo Lema anterior,
tomemos a = eln a. Assim, segue-se que:f(x) = ax = (eln a)x
f(x) = ex ln a
f ′(x) = ex ln a. ln a
f ′(x) = eln ax . ln a
f ′(x) = ax. ln a
Exemplo 25. Diferencie as funções:
a) y = 2x; b) y = (2x − 1)4.3x; c) y = sen(x2 − 2x); d) y = (1 + cos2 x)6. e)
t(x) = 3x.(x2 − 1). f) y =
4x
(3x− 1)
.
Solução 23. (a) y = 2x
y = 2x
y′ = 2x. ln 2
(b) y = (2x− 1)4.3x
y = (2x− 1)4.3x
y′ = 4(2x− 1)3.3x + (2x− 1)4.3x. ln 3
y′ = 3x(2x− 1)3[4 + (2x− 1). ln 3]
(c) y = sen(x2 − 2x)
y = sen(x2 − 2x)
y′ = cos(x2 − 2x).(2x− 1)
(d) y = (1 + cos2 x)6
y = (1 + cos2 x)6
y′ = 6(1 + cos2 x)5.2 cosx.(−senx)
y′ = −6(1 + cos2 x)5.sen(2x)
(e) t(x) = 3x.(x2 − 1)
t(x) = 3x.(x2 − 1)
t′(x) = (3x ln 3).(x2 − 1) + 3x.2x
t′(x) = 3x[(x2 − 1) ln 3 + 2x]
Página 24 / 37
5 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
(f) y =
4x
(3x− 1)
y =
4x
(3x− 1)
y′ =
(4x ln 4).(3x− 1)− 4x.3
(3x− 1)2
y′ =
4x[(3x− 1) ln 4− 3]
(3x− 1)2
5 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
5.1 Diferenciação Implícita
Até o momento, trabalhamos com funções expressando uma variável explicitamente em
função da outra:
y =
√
x−1, y = (5x− 1)3, f(x) = x3 − x2 + 7x+ 15
E quando temos uma função em que as variáveis não sejam expressas explicitamente em
função da outra? Veja algumas:
x2 + y2 = 1; x3 + y3 = 6xy
Queremos encontrar a derivada da funções acima. No caso, temos uma derivação implícita.
Para derivar uma função implícita, derivamos em função de x ambos os lados da função e depois
resolvemos a equação resultante para y′.
Exemplo 26. Se x2 + y2 = 25, encontre y′.
Solução 24.
x2 + y2 = 25
d
dx
(x2 + y2) =
d
dx
(25)
d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) =
d
dx
(25)
Nesta parte vermelha, usamos a regra da cadeia. No caso teremos:
d
dx
(y2) = 2y.
d
dx
y = 2y.y′
d
dx
(x2) +
d
dx
(y2) =
d
dx
(25)
2x+ 2y.y′ = 0
2yy′ = −2x
y′ =
−x
y
Exemplo 27. Dada a função x3 + y3 = 6xy, encontre
dy
dx
.
Solução 25.
x3 + y3 = 6xy
d
dx
(x3 + y3) =
d
dx
(6xy)
3x2 + 3y2.y′ = 6.(y + xy′)
3x2 + 3y2.y′ = 6y + 6xy′
3y2y′ − 6xy′ = 6y − 3x2
y′(3y2 − 6x) = 6y − 3x2
y′ =
6y − 3x2
3y2 − 6x
⇒ y′ =
2y − x2
y2 − 2x
Página 25 / 37
6 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
6 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
6.1 Derivadas de Ordem Superior
De�nição 8. Se f for uma função diferenciável, então f ′′ também é uma função. Logo, também
poderá ter a sua derivada, no qual é denotada por f ′. Chamamos de derivada segunda de f .
Entende-se como a taxa de variação da taxa de variação. O exemplo mais conhecido é a
aceleração. Pela notação de Leibniz, a segunda derivada é escrita como:
d
dx
(
dy
dx
)
=
d2y
dx2
(26)
Exemplo 28. Se f(x) = x. cosx, encontre f ′′(x).
Solução 26.
f(x) = x. cosx
f ′(x) = 1 cosx+ x.(−senx)
f ′(x) = cosx− x.senx
f ′′(x) = −senx− (1.senx+ x. cosx)
f ′′(x) = −senx− senx− x cosx
f ′′(x) = −2senx− x cosx
Exemplo 29. Se f(x) = x3 − 6x2 − 5x+ 3, encontre f ′′′(x).
Solução 27.
f(x) = x3 − 6x2 − 5x+ 3
f ′(x) = 3x2 − 12x− 5
f ′′(x) = 6x− 12
f ′′′(x) = 6
Exemplo 30. Se f(x) =
1
x
, encontre f (n)(x).
Solução 28.
f(x) =
1
x
= x−1
f ′(x) = −1.x−2
f ′′(x) = (−2).(−1)x−3 = 2x−3
f ′′′(x) = (−3).2x−3 = −6x−4
f (4) = (−4)(−6)x−4 = 24x−5
f (5) = (−5)(24)x−5 = −120x−6
...
f (n) = (−n)(n− 1)!x−4 = (−1)n.n!x−n−1
f (n) =
(−1)n.n!
xn+1
Exemplo 31. Se x4 + y4 = 16, encontre y′′.
Página 26 / 37
7 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Solução 29.
x4 + y4 = 16 ⇒ 4x3 + 4y3y′ = 0 ⇒ y′ = −x3
y3
y′′ = −3x2.y3 − x3.3y2.y′
y6
⇒ y′′ =
−3x2.y3 + x3.3y2.(−x3
y3
)
y6
y′′ =
−3x2.y3 + (
3x6
y
)
y6
⇒ y′′ =
−3x2y4 + 3x6
y
.
1
y6
y′′ =
−3x2y4 + 3x6
y7
=
num
den
7 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
7.1 Derivadas de Funções Logarítmicas
Seja uma função dada por f(x) = loga x, com a ̸= 1, a, x > 0. Queremos encontrar a
derivada de f(x).
Teorema 7. Sendo f(x) = loga x, a sua derivada é dada por:
f ′(x) =
1
x. ln a
(27)
Demonstração 21. Sabemos que, dado g(x) = lnx, tem-se g′(x) =
1
x
. Lembrando a propriedade
de mudança de base dos logaritmos:
loga b =
logc a
logc b
Segue-se que:
f(x) = loga x =
lnx
ln a
f ′(x) =
1
ln a
.
1
x
f ′(x) =
1
x ln a
Exemplo 32. Diferencie:
(a) y = ln(x3 + 1). (b) y = ln
(
x+ 1√
x− 2
)
. (c) f(x) = log(2 + senx).
Solução 30. (a) y = ln(x3 + 1)
y = ln(x3 + 1)
y′ =
1
x3 + 1
.3x2
y′ =
3x2
x3 + 1
Página 27 / 37
7.2 Diferenciação Logarítmica 7 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
(b) y = ln
(
x+ 1√
x− 2
)
.
y = ln
(
x+ 1√
x− 2
)
y′ =
1
x+ 1√
x− 2
.
(
1.
√
x− 2− (x+ 1).[1/2.(x− 2)−1/2]
(
√
x− 2)2
)
y′ =
√
x− 2
x+ 1
.

√
x− 2− x+ 1
2
√
(x− 2)
(x− 2)

y′ =
(x− 2)− (x+ 1)(
√
x− 2)
2
√
(x− 2)
(x+ 1)(x− 2)
y′ =
(x− 2)− (x+ 1)
2
(x+ 1)(x− 2)
⇒ y′ =
2x− 4− x− 1
2
(x+ 1)(x− 2)
y′ =
x− 5
2(x+ 1)(x− 2)
(c) f(x) = log(2 + senx)
f(x) = log(2 + senx)
f ′(x) =
1
(2 + senx). ln 10
. cosx
f ′(x) =
cosx
(2 + senx). ln 10
7.2 Diferenciação Logarítmica
Seja a função y =
x3/4.
√
x2 + 1
(3x+ 2)5
. Queremos encontrar a derivada da função y. Note que, no
caso temos uma função onde para derivar usaremos:
1. Regra da Potência;
2. Regra do Produto;
3. Regra do Quociente;
4. Regra de Cadeia.
Percebe-se que se torna um cálculo trabalhoso. Para derivar este tipo de função, usaremos
o método da DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA.
Neste processo, simpli�camos nosso cálculo tomando-se os logaritmos. No processo de diferen-
ciação logarítmica, seguimos os seguintes passos:
1. Tome o logaritmo natural (lnx) em ambos os lados de uma equação y = f(x) e use as
leis dos Logaritmos para simpli�car a expressão;
2. Diferencie implicitamente em relação a x;
3. Resolva a equação resultante para y′.
Caso, f(x) < 0, é fácil ver que ln f(x) não está de�nida. Para tanto, utilizamos o fato de
|y| = |f(x)| e usamos o fato de que:
d
dx
ln |x| = 1
x
(28)
Página 28 / 37
8 FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L'HÔPITAL
Exemplo 33. Diferencie, usando a diferenciação logarítmica, as funções:
a) y = (2x+ 1)5.(x4 − 3)6. b) y =
x3/4.
√
x2 + 1
(3x+ 2)5
.
8 FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L'HÔPITAL
8.1 Formas Indeterminadas
Exemplo 34. Suponha que tenhamos que encontrar os seguintes limites do tipo lim
x→a
f(x)
g(x)
:
1. lim
x→1
lnx
x− 1
=
0
0
;
2. lim
x→1
x2 − x
x2 − 1
=
0
0
;
3. lim
x→0
senx
x
=
0
0
;
4. lim
x→∞
x2 − 1
2x2 + 1
=
∞
∞
;
Esses limites apresentam uma forma indeterminada. Em alguns, não é possível utilizar as
leis do limite e nem a forma geométrica.
As formas indeterminadas são do tipo:
1. Quociente :
0
0
e ±∞
∞
;
2. Produto: 0.(±∞).
3. Diferença : ∞−∞;
4. Potência : 00,∞0, 1∞;
Desenvolvemos técnicas para resolver limites indeterminados (fatoração, racionalização,. . . ).
Outro método para resolver esses limites é a Regra de L'Hôpital.
8.2 L'Hôpital
De�nição 9 (QUOCIENTE). Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g′(x) ̸= 0 próximo ao
ponto x = a (exceto possivelmente em a). Suponha, também que:
lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0
ou que
lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = ±∞
Então:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
(29)
Se o limite do lado direito existir.
OBSERVAÇÕES:
1. A REGRA DE L'HÔPITAL diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos
quocientes de suas derivadas, desde que suas condições dadas sejam satisfeitas;
2. A REGRA DE L'HÔPITAL é válida também para os limites laterais e para os limites no
(±) in�nito, isto é, quando x → a pode ser x → a−, x → a+, x → ∞, x → −∞;
Página 29 / 37
8.2 L'Hôpital 8 FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L'HÔPITAL
3. No caso especial no qual f(a) = g(a) = 0, f ′ e g′ são contínuas e g′(a) ̸= 0, é fácil ver que
a regra de L'HÔPITAL é verdadeira. De fato, usando a de�nição de derivada em f e g,
tem-se:
lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
g(x)− g(a)
x− a
= lim
x→a
f(x)− f(a)
g(x)− g(a)
= lim
x→a
f(x)
g(x)
Exemplo 35. Usando a regra de L'HÔPITAL, encontre os limites:
a) lim
x→1
lnx
x− 1
. b) lim
x→∞
ex
x2
. c) lim
x→∞
lnx
x− 1
.
d) lim
x→∞
lnx
3
√
x
. e) lim
x→1
tgx− x
x3
.
Solução 31. a) lim
x→1
lnx
x− 1
Note que lim
x→1
lnx = 0 e lim
x→1
x− 1 = 0, portanto uma indeterminação.
lim
x→1
(lnx)′(x− 1)′
= lim
x→1
1/x
1
=
lim
x→1
1
x
=
1
1
= 1
b) lim
x→∞
ex
x2
Note que lim
x→∞
ex = ∞ e lim
x→∞
x2 = ∞, portanto uma indeterminação.
lim
x→∞
(ex)′
(x2)′
= lim
x→∞
ex
2x
= lim
x→∞
(ex)′
(2x)′
=
lim
x→∞
ex
2
=
∞
2
= ∞
c) lim
x→∞
lnx
x− 1
Note que lim
x→∞
lnx = ∞ e lim
x→∞
x− 1 = ∞, portanto uma indeterminação.
lim
x→∞
(lnx)′
(x− 1)′
= lim
x→∞
1/x
1
=
lim
x→∞
1
x
=
1
∞
= 0
d) lim
x→∞
lnx
3
√
x
Note que lim
x→∞
lnx = ∞ e lim
x→∞
3
√
x = ∞, portanto uma indeterminação.
lim
x→∞
(lnx)′
(x1/3)′
= lim
x→∞
1/x
(1/3)x−2/3
=
lim
x→∞
1
x
.3.x2/3 = lim
x→∞
3.x−1/3 =
lim
x→∞
3
x1/3
= 0
De�nição 10 (PRODUTO). Se lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = ±∞, qual será o valor de lim
x→a
f(x).g(x),
se houver? Tem-se um limite do tipo 0.∞. Escrevendo o produto f.g na forma quociente e usa-
mos a regra de L'HÔPITAL na forma do quociente:
fg =
f
1/g
ou fg =
g
1/f
(30)
Página 30 / 37
9 PROBLEMAS
Exemplo 36. Calcule lim
x→0+
x. lnx.
De�nição 11 (DIFERENÇA). Se lim
x→a
f(x) = ∞ e lim
x→a
g(x) = ∞, então o limite lim
x→a
[f(x)−g(x)]
é do tipo ∞−∞. Usando algumas operações (racionalização, denominador comum, pondo em
evidência), tentamos converter a uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Exemplo 37. Calcule lim
x→(π/2)−
secx− tgx.
De�nição 12 (POTÊNCIA). Seja o limite lim
x→a
[f(x)]g(x). Podemos encontrar os seguintes limi-
tes:
1. lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0 tipo 00;
2. lim
x→a
f(x) = ∞ e lim
x→a
g(x) = 0 tipo ∞0;
3. lim
x→a
f(x) = 1 e lim
x→a
g(x) = ±∞ tipo 1∞;
Em cada um dos casos, fazemos o logaritmo natural. Sendo y = [f(x)]g(x), teremos:
ln y = g(x). ln f(x) ⇒ [f(x)]g(x) = eg(x). ln f(x)
Exemplo 38. Calcule lim
x→0+
(x)x.
9 PROBLEMAS
9.1 Taxas de Variação, Tangentes e Derivadas
1. Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de obervação da torre, 450 m acima do solo.
A altura do bola no instante t é dada pela função S(t) = 4, 9t2.
a) Qual a velocidade da bola após 5 s?
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?
2. A variação populacional de uma cidade é dada pela função P (t) = −5t2 + 12t + 150, onde é
uma medida em anos após o ano 2000.
a) Qual a taxa média de 2002 a 2004?
b) Qual a taxa instantânea em 2004?
3. Foram registradas as leituras de temperatura T (em graus Celsius) a cada hora, começando
à meia-noite, em um dia de abril na cidade de White�sh, em Montana, nos Estados Unidos. O
tempo x foi medido em horas a partir da meia noite. Os dados estão na tabela.
x(h) T (◦C) x(h) T (◦C)
0 6, 5 13 16, 0
1 6, 1 14 17, 3
2 5, 6 15 18, 2
3 4, 9 16 18, 8
4 4, 2 17 17, 6
5 4, 0 18 16, 0
6 4, 0 19 14, 1
7 4, 8 20 11, 5
8 6, 1 21 10, 2
9 8, 3 22 9, 0
10 10, 0 23 7, 9
11 12, 1 24 7, 0
12 14, 3
Página 31 / 37
9.1 Taxas de Variação, Tangentes e Derivadas 9 PROBLEMAS
a) Encontre a taxa média de variação de temperatura em relação ao tempo:
(i) do meio dia até às 15h.
(ii) do meio dia até às 14h.
(iii) do meio dia até às 13h.
4. Se um tanque cilíndrico comporta 100.000 galões de água, que podem ser escoados a par-
tir da base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que
restou no tanque após t minutos como:
V (t) = 100.000
(
1− t
60
)2
, com 0 ≤ t ≤ 60
a) Encontre a taxa segundo a qual a água está �uindo para fora do tanque (a taxa instantânea
da variação de V em relação a t.
b) Quais são suas unidades?
c) Para os instantes t = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 minutos, encontre a taxa de �uxo e a quantidade
de água restante no tanque.
a) Em que instante está a taxa do �uxo máximo? E o mínimo?
5. O custo em dólares de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C(x) = 5000 +
10x+ 0, 05x2.
a) Encontre a taxa média de variação de C em relação a x quando os níveis de produção estive-
rem variando de:
(i) 100 a 105 (ii) 100 a 101
b) Encontre a taxa instantânea de variação de C em relação a x quando x = 100. Isso é chamado
de custo marginal.
6. O grá�co ilustra a função posição de um carro. Use a forma do grá�co para explicar sua
resposta para as seguintes questões:
a) Qual a velocidade inicial do carro?
b) O carro está mais rápido em B ou em C?
c) O carro está aumentado ou diminuindo a velocidade a rapidez em A,B e C?
d) O que aconteceu entre D e E?
7. Para a função f cujo grá�co está ilustrado abaixo, disponha os números 0, g′(−2), g′(0), g′(2)
e g′(4) em ordem crescente e explique o seu raciocínio.
8. (Software Grá�co) Encontre a inclinação da reta tangente á parábola y = x2 + 2x no ponto
(−3, 3), usando a de�nição da derivada. Faça os grá�cos da parábola e da reta tangente. Como
veri�cação, dê um zoom em direção ao ponto (−3, 3) até que a parábola e a reta tangente �quem
indistinguíveis.
Página 32 / 37
9.2 Regras de Derivação: Soma e Diferença, Derivada da Função Exponencial, Regra do
Produto e do Quociente. 9 PROBLEMAS
9. (a) Encontre a inclinação da reta à curva y = x3 − 4x+ 1 no ponto x = a.
(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,−2) e (2, 1).
(c) (Software Grá�co) Esboce o grá�co da curva e das tangentes em uma mesma tela grá�ca.
10. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta é dada pela
equação do movimento s(t) = 4t3 +6t+2, onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade
da partícula no instante t = a, t = 1, t = 2 e t = 3.
11. Se f(x) = 3x2 − 5x, encontre f ′(2) e use-o para achar uma equação da reta tangente à
parábola y = 3x2 − 5x no ponto (2, 2).
9.2 Regras de Derivação: Soma e Diferença, Derivada da Função Exponen-
cial, Regra do Produto e do Quociente.
12. Utilizando a de�nição, encontre f ′(a) nas funções:
a) f(x) = 3− 2x+ 4x2 b) f(t) =
2t+ 1
t+ 3
c) f(x) =
x2 + 1
x− 2
d) f(x) =
x
1 + 2x
.
e) f(x) =
1√
x+ 2
f) f(x) =
√
3x− 1.
13. Seja f : R → R uma parábola de equação f(x) = ax2 + bx+ c, com a, b, c ∈ R e a ̸= 1.
a) Calcule a derivada de f(x).
b) Quais os valores de x, tal que f ′(x) = 0?
c) O que signi�ca, nesse caso, f ′(x) = 0?
14. Determine a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) =
1
x
no ponto de abscissa 2.
Esboce o grá�co de f e da reta tangente.
15. Ache sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 pontos em que a tangente é horizontal.
16. Quais os valores de x que fazem que o grá�co da função f(x) = x3 + 3x2 + x + 3 te-
nha tangentes horizontais?
17. Mostre que a função f(x) =| x | não é diferenciável em x = 0.
18. Usando as regras de diferenciação, encontre a derivada das funções:
a) f(x) = 6x5 b) f(x) = x2 − 7x+ 10 c) f(x) = 1/4(x4 − 8) d) V (r) =
4
3
πr3
e) f(x) =
√
2
x5
f) g(x) = 8x−5 − 6x−3 + 5x−2 + x− 8
19. Seja g(x) = loga x, em que a, x > 0 e a ̸= 1 é constante. Mostre que g′(x) =
1
x ln a
.
20. Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = x3 + lnx b) f(x) =
2x+ 3
x2 + 1
c) f(x) =
x
x2 + 1
d) f(x) =
x2 − 1
x+ 1
e) f(x) = 3x+ 5 lnx f) f(x) =
1 + ex
1− ex
g) f(x) =
lnx
x
h) f(x) =
ex
x2 + 1
i) f(x) =
x+ 1
x lnx
j) f(x) = 4 + 5x2 lnx k) f(x) = x2 lnx+ 2ex l) f(x) = (3x2 + 1).ex
m) f(x) =
1
x4 + x2 + 1
n) y =
u3 − 2u
√
u
u
o) f(t) =
t2
3t2 − 2t+ 1
p) y =
√
x
x+ 1
q) g(x) =
√
x.ex + x3.ex.2x r) t(x) =
ex + 1
2x3
21. Encontre uma equação da reta tangente à curva y =
ex
1 + x2
no ponto (1, e/2).
Página 33 / 37
9.3 Derivada das Funções Trigonométricas e Regra da Cadeia 9 PROBLEMAS
22. A curva y =
1
1 + x2
é chamada de Bruxa de Maria de Agnesi . Encontre uma equação
da reta tangente para essa curva no ponto (−1, 1/2).
23. A curva y =
x
1 + x2
é chamada de Serpentina . Encontre uma equação da reta tangente
para essa curva no ponto (3, 3/10).
24. (a) Se g for diferenciável, a Regra da Recíproca a�rma que
d
dx
[
1
g(x)
]
= − g′(x)
[g(x)]2
.
Prove a Regra da Recíproca .
(b) Use a Regra da Recíproca para provar que a Regra da Potência é válida para os inteiros
negativos, isto é,
d
dx
(x−n) = −nx−n−1.
25. Seja f(x) = ex.g(x), onde g(0) = 2 e g′(0) = 5. Encontre f ′(0).
26. (a) Use a Regra do Produto para provar que se f, g, h são funções diferenciáveis, então
(fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′.
(b) Fazendo f = g = h no item(a), mostre que
d
dx
[f(x)]3 = 3[f(x)]2f ′(x).
(c) Use o item (b) para diferenciar y = e3x.
27. Suponha que uma população de bactérias inicialmente com 500 bactérias triplique a cada
hora.
(a) Qual a população depois de 3 horas? Depois de 4 horas? Depois de t horas?
(b) Estime a taxa de crescimento da população após 6 horas.
28. Use o exercício 26 para mostrar que
f ′(x)
f(x)
=
1
x− a
+
1
x− b
+
1
x− c
, sabendo que f(x) =
(x− a).(x− b).(x− c).
29. Encontre a equação da reta tangente à curva y = (2 + x).ex no ponto P (0, 2).
9.3 Derivada das Funções Trigonométricas e Regra da Cadeia
30. Diferencie y = x2senx.
31. Diferencie f(x) =
secx
1 + tgx
.
32. Encontre a derivada das funções:
a) f(x) = x− 3senx b) f(x) = senx+ 10tgx c) g(x) = x3. cosx
d) f(x) =
x
cosx
e) f(x) = secx.tgx f) y = ex(cosx+ cx)
g) f(x) =
1 + senx
x+ cosx
h) y =
tgx− 1
secx
i) f(x) = x.senx. cosx
33. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = ex. cosx no ponto (0, 1).
34. (Software Grá�co) Uma faixa elástica é pendurada em um gancho e uma massa está presa
na extremidade inferior da faixa. Quando a massa é puxada para baixo e então solta, ela vibra
verticalmente. A equação do movimento é s = 2 cos t + 3sent, t ≥ 0, onde s é medida em centí-
metros e t, em segundos. Considere o sentido positivo como sendo para baixo. Responda:
a) Encontre a velocidade no instante t.
b) Faça os grá�cos das funções velocidade e posição.
c) Quando a massa passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez?
d) A que distância da posição de equilíbrio a massa chega?
e) Quando a velocidade é máxima?
Página 34 / 37
9.4 Derivação Implícita, Derivadas de Ordem Superior e Diferenciação Logarítmica9 PROBLEMAS
35. Encontre os pontos sobre a curva y =
cosx
2 + senx
na qual a tangente é horizontal.
36. Se f(x) =
√
xsenx, encontre f ′(x).
37. Utilizando a regra da Cadeia, encontre a derivada das funções:
a) y = sen(4x) b) y = (1− x2)10 c) y =
√
4 + 3x d) y = ex.sen(x2)
e) f(x) = tg(senx) f) f(x) = 4
√
1 + 2x+ x2 g) g(t) =
1
(t4 + 1)3
h) y = cos(a3 + x3)
i) f(x) = (1 + x4)2/3 j) y = (x2 − x+ e2x)3 k) f(x) = (1 + 4x)5(3 + x− x2)8
l) y = x.e−x2
m) y = (1 + cos2 x)6 n) y =
√
x+
√
x o) y =
e2u
eu + e−u
p) y =
sen2x
cosx
q) g(y) =
(y − 1)4
(y2 + 2y)5
38. Encontre a equação da reta tangente à curva y = senx+ sen2x no ponto (0, 0).
39. Encontre todos os pontos sobre o grá�co da função f(x) = 2senx + sen2x nos quais a
reta tangente é horizontal.
40. O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação s(t) =
10 +
1
4
sen(10πt), onde s é medido em centímetros e t em segundos. Encontre a velocidade da
partícula após t segundos.
41. Sob certas circunstâncias um boato se espalha de acordo com a equação p(t) =
1
1 + ae−kt
,
onde p(t) é a proporção da população que ouviu o boato no instante t, e a e k são constantes
positivas.
a) Encontre lim
t→∞
p(t).
b) Encontre a taxa de espalhamento do boato.
c) Suponha a = 10 e k = 0, 5. Com t medindo em horas, estime quanto tempo será necessário
para que o boato atinja 80% da população.
9.4 Derivação Implícita, Derivadas de Ordem Superior e Diferenciação Lo-
garítmica
42. Encontre
dy
dx
derivando implicitamente:
a) x2 + y2 = 1 b) x3 + x2y + 4y2 = 1 c) x2y + xy2 = 3x d) x2 − 2xy + y3 = c
e) x2y2 + xseny = 4 f) 4 cosxseny = 1 g) 1 + x = sen(xy2) h)
√
x+ y = 1 + x2y2
43. Ache a equação da reta tangente à curva 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2) no ponto P (3, 1).
Essa curva é chamada de lemniscata (símbolo do in�nito). Use um software grá�co para
observar o grá�co desta curva.
44. Encontre a segunda derivada das funções:
a) f(x) = x5 + 6x2 − 7x b) y = t8 − 7t6 + 2t4 c) y = cos(2x) d) g(x) =
2x+ 1
x+ 1
e) H(u) =
1− 4u
1 + 3u
f) f(t) = (1− 7t)6 g) (g(s) = s2 cos s h) y = (x3 + 1)2/3
i) g(t) = t3e5t j) y =
4x√
x+ 1
k) H(t) = tg(3t)
45. Encontre y′′′, sabendo que (i) y =
√
2x+ 3 e (ii) y =
x
2x− 1
46. Encontre uma fórmula para f (n)(x), para as funções:
a) f(x) = xn b) f(x) = e2x c) f(x) =
1
5x− 1
Página 35 / 37
9.5 Aplicações da Derivada 9 PROBLEMAS
47. Encontre y′′, derivando implicitamente a equação 9x2 + y2 = 1.
48. Encontre as derivadas:
a) y = ln(x2 + 10) b) f(x) = log2(1− 3x) c) f(x) = cos(lnx)
d) f(x) = log
(
x
x− 1
)
e) f(t) =
1 + ln t
1− ln t
f) h(x) = ln(x+
√
x2 − 1)
g) f(y) = y ln(1 + ey) h) y = ln(e−x + xe[−x])
49. (a) Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f(x) = x2ex. (b) Você
vê alguma regra nessas expressões? (c) Proponha uma fórmula para f (n)(x) e prove-a usando o
princípio da indução matemática.
50. Use a diferenciação logarítmica para encontrar a derivada das funções:
a) y =
√
x.ex
2
.(x2 + 1)10 b) y =
sen2x.tg4x
(x2 + 1)2
c) y =
4
√
x2 + 1
x2 − 1
.
9.5 Aplicações da Derivada
51. Se a equação de movimento de uma partícula for dada por s(t) = A. cos(ωt + δ), dizemos
que a partícula está um movimento harmônico simples (MHS).
a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.
b) Quando a velocidade é zero?
52. A Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constela-
ção é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias.
O brilho médio dessa estrela é de 4,0, com uma variação de ±0, 35. Em vista desses dados,
o brilho de Delta Cefeu no instante t, onde t é medido em dias, foi modelado pela função
B(t) = 4, 0 + 0, 35sen(2πt/5, 4).
a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias.
b) Encontre, correta até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.
53. (Software Grá�co) O movimento de uma mola sujeita a força de atrito ou a uma força
de amortecimento (tal como o amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo pro-
duto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação do
movimento de um ponto dessa mola seja s(t) = 2e−1,5tsen(2πt), onde s é medida em centímetros
e t em segundos. Encontre a velocidade após t segundos e faça o grá�co das funções posição e
velocidade para 0 ≤ t ≤ 2.
54. Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento s(t) = t3 − 12t2 + 36t, t ≥ 0,
onde t está medido em segundos e s em metros.
a) Encontre a aceleração no instante t e depois de 3s.
b) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando está diminuindo?
55. Está sendo bombardeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma
taxa de 100cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
56. Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em um parede vertical. Se a base
desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escor-
regando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
57. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e
altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min,
encontre a taxa na qual o nível de água estará elevado quando a água estiver a 3 m de profun-
didade.
Página 36 / 37
9.6 L'Hospital, Antiderivadas 9 PROBLEMAS
58. Ao meio dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B. O navio A está navegando
para o leste a 35 km/h, e o navio B está navegando para o norte a 25km/h. Quão rápido está
variando a distância entre os navios às 4 horas da tarde?
59. Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 pés/s. Um holo-
fote localizado no chão a 20 pés do caminho focaliza o homem. A que taxa o holofote está
girando quando o homem está a 15 pés do ponto do caminho mais próximo da luz?
60. Uma partícula está se movimentando ao longo da curva y =
√
x. Quando a partícula passa
pelo ponto (4, 2), sua coordenada x cresce a uma taxa de 3cm/s. Quão rápido está variando a
distância da partícula à origem nesse instante?
9.6 L'Hospital, Antiderivadas
61. Sejam os limites a seguir. Use a Regra de L'Hôspital apropriado. Se existir método mais
elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique o porquê.
a) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
b) lim
x→1
x9 −1
x5 − 1
c) lim
x→−2
x+ 2
x2 + 3x+ 2
d) lim
x→1
xa − 1
xb − 1
e) lim
x→(π/2)+
cosx
1− senx
f) lim
x→0
et − 1
t3
g) lim
x→0
tgpx
tgqx
h) lim
x→∞
lnx
x
i) lim
t→0
5t − 3t
t
j) lim
x→0
ex − 1− x
x2
k) lim
x→∞
ex
x3
l) lim
x→0
1− cosx
x2
m) lim
x→0
x+ senx
x+ cosx
n) lim
x→∞
x
ln(1 + 2ex)
o) lim
x→1
xa − ax+ a− 1
(x− 1)2
p) lim
x→0+
√
x lnx
q) lim
x→∞
√
x2 − x− x r) lim
x→∞
(x− lnx) s) lim
x→∞
√
x2 + 2√
2x2 + 2
t) lim
x→∞
(
2x− 3
2x+ 5
)2x+1
62. Compute o lim
x→1
(
1
lnx
− 1
x− 1
)
.
63. Prove que lim
x→∞
ex
xn
= ∞, para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao in�nito que qualquer potência de x.
64. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de juros i composta n
vezes ao ano, o valor do investimento após t anos será A = A0
(
1 +
i
n
)nt
. Se �zermos n → ∞,
chamamos isso de juros compostos continuamente. Use a Regra de L'Hôspital para mostrar que
juros forem compostos continuamente, então o montante após n anos será A = A0e
it.
65. Encontre a antiderivada mais geral das funções:
a) f(x) = 6x2 − 8x+ 3 b) f(x) = 1− x3 + 5x5 − 3x7 c) f(x) = 5x1/4 − 7x3/4
d) f(x) = 6
√
x− 6
√
x e) f(u) =
u2 + 3
√
u
u2
f) g(x) = cosx− 5senx
g) f(x) = 2x+ 5(1− x2)−1/2 h) g(x) =
5− 4x3 + 2x6
x6
i) f(x) = 3ex + 7 sec2 x j) t(x) =
senx
cos2 x
66. Encontre a antiderivada F de f que satisfaça a condição dada:
a) f(x) = 5x4 − 2x5, F (0) = 4
b) f(x) = 8x3 + 12x+ 3, F (1) = 6
c) f(t) = 2 cos t+ sec2 t,−π/2 < t < π/2, F (π/3) = 4
67. Sendo f ′′(x) = 24x2 + 2x+ 10, calcule a função f , sabendo que f(1) = 5 e f ′(1) = 3.
Página 37 / 37