Apostila Calculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL II
Professor Dr. Doherty Andrade
Revisora técnica Me. Taís Saito
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; ANDRADE, Doherty. 
 
 Cálculo Diferencial e Integral ll. Doherty Andrade. 
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 
 257 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Cálculo. 2. Diferencial. 3. Integral. 4. EaD. I. Título.
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
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Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção Operacional de Ensino
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Direção de Planejamento de Ensino
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Direção de Operações
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Direção de Polos Próprios
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Direção de Desenvolvimento
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Gerência de Produção de Conteúdo
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Supervisão do Núcleo de Produção de 
Materiais
Nádila de Almeida Toledo
Coordenador de Conteúdo
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Design Educacional
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Iconografia
Amanda Peçanha dos Santos
Ana Carolina Martins Prado
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
André Morais de Freitas
Editoração
Matheus Felipe Davi
Revisão Textual
Yara Martins Dias
Daniela Ferreira dos Santos
Ilustração
Marta Sayuri Kakitani
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou 
seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de 
Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista 
às aulas ao vivo e participe das discussões. Além dis-
so, lembre-se que existe uma equipe de professores 
e tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendiza-
gem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e 
segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
R
Professor Dr. Doherty Andrade
Pós-doutorado pelo Laboratório Nacional de Computação Científica 
(LNCC/1998). Doutorado em Matemática pela Universidade de São Paulo 
(USP/1994). Mestrado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica 
do Rio de Janeiro (PUC-Rio/1984). Licenciatura em Matemática pela 
Universidade Federal do Espírito Santo (UFES/1980). Atualmente é professor 
da Universidade Estadual de Maringá (UEM).
APRESENTAÇÃO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IIAPRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo(a) à segunda disciplina de Cálculo. Neste texto, vamos estender
os conceitos e resultados apresentados na disciplina Cálculo I para funções de
várias variáveis. Essa extensão cria algumas dificuldades que vamos superá-las
com exemplos, interpretações físicas e geométricas. Não é o objetivo deste livro
apresentar as demonstrações de todos os resultados estudados aqui, em muitos
casos, procuraremos dar boas justificativas para eles.
Os exemplos e exercícios propostos estão distribuídos ao longo das unidades e
fazem parte do plano de estudos. Ao final de cada unidade, apresentamos uma
lista de atividades e suas respostas.
Muitos dos resultados abordados aqui podem ser estendidos para o espaço geral
R
n, mas nos limitaremos a enunciá-los e utilizá-los nos espaços R2 e R
3.
Na unidade I, estudaremos um pouco sobre curvas parametrizadas, funções reais
de variáveis reais e os três sistemas de coordenadas: polares, cilíndricas e es-
féricas. Para função de duas e três variáveis, vamos aprender a determinar seu
domínio e a esboçar as curvas de nível e quando possível,o seu gráfico. As curvas
de nível ajudam na tarefa de visualizar o gráfico e o comportamento da função.
Na Unidade II, apresentaremos as noções de limites e continuidade de funções
reais de duas e três variáveis reais. Veremos a definição de limite e apresentamos
as suas principais propriedades. Mostraremos, também, uma breve introdução aos
conceitos topológicos do plano e do espaço, tais como ponto interior, ponto de
i
acumulação e fronteira de um conjunto; conjuntos abertos e conjuntos fechados. 
No estudo das funções contínuas, apresentaremos o conceito e suas principais 
propriedades, bem como o teorema de Weierstrass, que garante a existência de, ao 
menos, um ponto de máximo e de um ponto de mínimo para funções contínuas e 
definidas sobre conjuntos limitados e fechados do R2 ou R3.
A terceira unidade é dedicada à noção de derivada parcial e suas aplicações. Apre-
sentaremos nesta unidade, a definição de derivada parcial, introduziremos as nota-
ções mais usuais, as propriedades da derivaçãoPara 
fun 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa 0, a equação em coordenadas polares r = a representa um
círculo de centro na origem e raio a. De fato, elevando ao quadrado, temos
r2 = a2 e disso segue que x2 + y2 = a2.
2. Dado um real a, a equação em coordenadas polares θ = a representa uma
reta que passa pela origem com inclinação tg (a). De fato, como tg (θ)= y
x ,
segue que y = tg (a)x.
3. Esboçar o gráfico da cardióide r = 2 − 2cos(θ). Para esboçar o gráfico,
devemos atribuir a θ vários valores no intervalo [0,2π) e obter os corres-
pondentes valores de r, depois marcar cada ponto no plano polar. Nesse
exemplo, organizamos uma tabela contendo os valores de θ e de r para fa-
cilitar a marcação dos pontos.
Tabela 1: Dados para a cardióide
θ r θ r
0.0 0.0 . .
0.1 π 0.098 1.1 π 3.902
0.2 π 0.382 1.2 π 3.618
0.3 π 0.824 1.3 π 3.176
0.4 π 1.382 1.4 π 2.618
0.5 π 2.0 1.5 π 2.0
0.6 π 2.618 1.6 π 1.382
0.7 π 3.176 1.7 π 0.824
0.8 π 3.618 1.8 π 0.382
0.9 π 3.902 1.9 π 0.098
1.0 π 4.0 2.0 π 0.0
Fonte: o autor.
Veja o gráfico da cardióide a seguir.
27
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E40
Figura 16: Cardioide r = 2-2cos(0) 
Fonte: o autor. 
4. Transforme a equa( J(-sen(t))2 +r 2 dt
s fo21t J (- sen (t) ) 2 + (1 + cos(t) )2 dt
s fo21t J sen 2(t) + cos2 (t) + 1 + 2cos(t)dt
s fo21t 
J2(1 +cos(t))dt = fo21t 
4cos2 (&)dt
s fo21t 
2 lcos (&) 1 dt = 2 !o
re 
2cos (&) dt
s 8 sen (&) 1: = 8 unidades de comprimento. 
3.3 Coordenadas Cilíndricas 
O sistema de coordenadas cilíndricas é uma generalização do sistema de coorde­
nadas polares. As coordenadas cilíndricas (r, 0,z) de um ponto no espaço são uma 
composição de coordenadas polares ( r, 0) de um ponto no plano .xy e o uso da 
mesma coordenada retangular z.
Esse sistema é mais adequado para descrever superfícies cilíndricas. Por exemplo, 
a equação r = e ( e > O constante) descreve um cilindro de raio e.
30 
= 1 + cos(t), com t E [O, 21t]. SegueLogo, temos a parametrização 0 =te r(t)
que: 
S J: (�)'+ (r�rdt= ( J(-sen(t))2 +r 2 dt
s fo21t J (- sen (t) ) 2 + (1 + cos(t) )2 dt
s fo21t J sen 2(t) + cos2 (t) + 1 + 2cos(t)dt
s fo21t 
J2(1 +cos(t))dt = fo21t 
4cos2 (&)dt
s fo21t 
2 lcos (&) 1 dt = 2 !o
re 
2cos (&) dt
s 8 sen (&) 1: = 8 unidades de comprimento. 
3.3 Coordenadas Cilíndricas 
O sistema de coordenadas cilíndricas é uma generalização do sistema de coorde­
nadas polares. As coordenadas cilíndricas (r, 0,z) de um ponto no espaço são uma 
composição de coordenadas polares ( r, 0) de um ponto no plano .xy e o uso da 
mesma coordenada retangular z.
Esse sistema é mais adequado para descrever superfícies cilíndricas. Por exemplo, 
a equação r = e ( e > O constante) descreve um cilindro de raio e.
30 
Sistemas Especiais de Coordenadas
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
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Có
di
go
 P
en
al
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 L
ei
 9
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10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
43
Figura 17: Sistema de coordenadas cilfndricas 
P (r, (} , z) 
z 
X 
Fonte: o autor. 
Por meio da figura 17, podemos concluir que: 
x = rcos(0), y = rsen (0), z = z,
em que r � 0 e 0 E [O, 21t). 
• Exemplo 10
1. A esfera .x2 + y2 + z2 = a2 tern equa, 0) de um ponto P do 
espa, 0) de um ponto P do 
espa, 0) de um ponto P do 
espa e o angulo entre entre OP e o serni-eixo positivo dos z's. 
Assim, podemos escolher sempre no intervalo [O, 1t]. Finalmente, 8 e o angulo 
familiar das coordenadas cilindricas, isto e, 8 e a coordenada angular do ponto Q
com o eixo dos x's, em que Q e o ponto obtido da proje e 8 
sao medidos em radianos. 
E importante no tar a ordem em que as coordenadas esf ericas de um ponto sao 
apresentadas: (p, , 8). 
Figura 18: Sistema de coordenadas esfericas 
P(p,,.., /J) 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Esse sistema e mais adequado para descrever superficies esfericas. A equa 0 constante), descreve uma esfera de raio c centrada na origem. 
Da figura 18, temos que: 
x = p sen () cos(8),y = p sen () sen (8) e z = pcos(), 
em que p � 0,8 E [0,21t) e E [0,1t]. 
Essas equa e o angulo entre entre OP e o serni-eixo positivo dos z's. 
Assim, podemos escolher sempre no intervalo [O, 1t]. Finalmente, 8 e o angulo 
familiar das coordenadas cilindricas, isto e, 8 e a coordenada angular do ponto Q
com o eixo dos x's, em que Q e o ponto obtido da proje e 8 
sao medidos em radianos. 
E importante no tar a ordem em que as coordenadas esf ericas de um ponto sao 
apresentadas: (p, , 8). 
Figura 18: Sistema de coordenadas esfericas 
P(p,,.., /J) 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Esse sistema e mais adequado para descrever superficies esfericas. A equa 0 constante), descreve uma esfera de raio c centrada na origem. 
Da figura 18, temos que: 
x = p sen () cos(8),y = p sen () sen (8) e z = pcos(), 
em que p � 0,8 E [0,21t) e E [0,1t]. 
Essas equa e o angulo entre entre OP e o serni-eixo positivo dos z's. 
Assim, podemos escolher sempre no intervalo [O, 1t]. Finalmente, 8 e o angulo 
familiar das coordenadas cilindricas, isto e, 8 e a coordenada angular do ponto Q
com o eixo dos x's, em que Q e o ponto obtido da proje e 8 
sao medidos em radianos. 
E importante no tar a ordem em que as coordenadas esf ericas de um ponto sao 
apresentadas: (p, , 8). 
Figura 18: Sistema de coordenadas esfericas 
P(p,,.., /J) 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Esse sistema e mais adequado para descrever superficies esfericas. A equa 0 constante), descreve uma esfera de raio c centrada na origem. 
Da figura 18, temos que: 
x = p sen () cos(8),y = p sen () sen (8) e z = pcos(), 
em que p � 0,8 E [0,21t) e E [0,1t]. 
Essas equa e o angulo entre entre OP e o serni-eixo positivo dos z's. 
Assim, podemos escolher sempre no intervalo [O, 1t]. Finalmente, 8 e o angulo 
familiar das coordenadas cilindricas, isto e, 8 e a coordenada angular do ponto Q
com o eixo dos x's, em que Q e o ponto obtido da proje e 8 
sao medidos em radianos. 
E importante no tar a ordem em que as coordenadas esf ericas de um ponto sao 
apresentadas: (p, , 8). 
Figura 18: Sistema de coordenadas esfericas 
P(p,,.., /J) 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Esse sistema e mais adequado para descrever superficies esfericas. A equa 0 constante), descreve uma esfera de raio c centrada na origem. 
Da figura 18, temos que: 
x = p sen () cos(8),y = p sen () sen (8) e z = pcos(), 
em que p � 0,8 E [0,21t) e E [0,1t]. 
Essas equao 
Có
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 P
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19
98
.
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cooordenada esferica e o angulo entre entre OP e o serni-eixo positivo dos z's. 
Assim, podemos escolher sempre no intervalo [O, 1t]. Finalmente, 8 e o angulo 
familiar das coordenadas cilindricas, isto e, 8 e a coordenada angular do ponto Q
com o eixo dos x's, em que Q e o ponto obtido da proje e 8 
sao medidos em radianos. 
E importante no tar a ordem em que as coordenadas esf ericas de um ponto sao 
apresentadas: (p, , 8). 
Figura 18: Sistema de coordenadas esfericas 
P(p,,.., /J) 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Esse sistema e mais adequado para descrever superficies esfericas. A equa 0 constante), descreve uma esfera de raio c centrada na origem. 
Da figura 18, temos que: 
x = p sen () cos(8),y = p sen () sen (8) e z = pcos(), 
em que p � 0,8 E [0,21t) e E [0,1t]. 
Essas equa O tem equação em coordenadas esféricas
dada por p = a.
2. A equação = e em que O =�descreve o plano xy. Note que p � O e 8 são quaisquer.
4. Esboce o gráfico da equação esférica p = 4cos(). Para facilitar o esboço
podemos passar para coordenadas retangulares. Multiplicando por p, obte­
mos p2 = 4pcos(). De onde segue que:
x2 + y2 + z2 = 4z,
o que pode ser reescrito como x2 + y2 + (z- 2)2 = 4, que é uma esfera com
centro em (0,0,2) e raio r = 2. 
33 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E46
CONSIDERAÇÕES FINAIS
47 
48 
LEITURA COMPLEMENTAR 
Curvas Cônicas 
Uma curva cônica no plano é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação
a base canônica satisfaz a equação geral do segundo grau nas variáveis x, y:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F =0,
em que A ou B ou C é diferente de zero.
Esta expressão envolve uma forma quadrática:
Q(x,y) =Ax2+Bxy+Cy2,
e uma forma linear L(x,y) = Dx+ Ey e uma constante F. Vamos revê-las:
Exemplos: 
( a) Circunferência: x2 + y2 = r2 . 
. x2 y2 
(b) Ehpse: ª2 + b2 = 1.
(c) Hipérbole: � - ;: = 1.
( d) Parábola: y2 - Dx = O.
(1) 
As expressões a), b) e c) são chamadas de formas reduzidas das cônicas. A
equação (1) pode resultar em casos chamados degenerados. Vejamos algumas
destas situações:
x2 y2 b 
1. Um par de retas concorrentes: 2 - b2 = O resulta em y = ±-x, aqui a=/=- O;
a a 
2. Um par de retas paralelas: ax2 - b = O resulta em x =±�,aqui ab > O.
3. Uma reta: x2 = O.
36
4. Um ponto: x2 + y2 = O. 
5. Um conjunto vazio: x2 + y2 = -1.
Superfícies Quádricas 
Uma quádrica no espaço é um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem à 
equação geral do segundo grau nas variáveis x, y, z:
Ax2 + By2 + cz2 + Dxy+ Eyz+ Fxz+ Gx+ Hy+ Iz+J = O, (2) 
em que A ou B ou C ou D ou E ou F é diferente de zero. 
Como no caso das cônicas, essa expressão envolve uma forma quadrática: 
Q(x,y,z) =Ax2 +By2+cz2+Dxy+Eyz+Fxz,
uma forma linear L(x,y,z) = Gx+Hy+Iz e uma constante J.
Exemplos: Quádricas em suas formas reduzidas. 
(a) Esfera: x2+y2+z2 = r2 . 
x2 2 2 
(b) Elipsóide : 2 + Y2 
+ \ = 1. 
a 
b 
e 
x2 y2 z2
( c) Hipérbóide de uma folha: aZ + b2 - c2 = 1. 
x2 y2 z2 
( d) Hipérbolóide de duas folhas: -ª2 + b2 - c2 = 1. 
(e) Parábolóide eliptico: � + �: = cz2 . 
(f) P 'b l'"d h" b'l" x2 y2 2 ara o 01 e 1per o 1co: -ª2 + b2 = cz .
( )e d,. x2 y2 2g one qua ratico: ª2 
+ b2 = z .
37 
49 
4. Um ponto: x2 + y2 = O. 
5. Um conjunto vazio: x2 + y2 = -1.
Superfícies Quádricas 
Uma quádrica no espaço é um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem à 
equação geral do segundo grau nas variáveis x, y, z:
Ax2 + By2 + cz2 + Dxy+ Eyz+ Fxz+ Gx+ Hy+ Iz+J = O, (2) 
em que A ou B ou C ou D ou E ou F é diferente de zero. 
Como no caso das cônicas, essa expressão envolve uma forma quadrática: 
Q(x,y,z) =Ax2 +By2+cz2+Dxy+Eyz+Fxz,
uma forma linear L(x,y,z) = Gx+Hy+Iz e uma constante J.
Exemplos: Quádricas em suas formas reduzidas. 
(a) Esfera: x2+y2+z2 = r2 . 
x2 2 2 
(b) Elipsóide : 2 + Y2 
+ \ = 1. 
a 
b 
e 
x2 y2 z2
( c) Hipérbóide de uma folha: aZ + b2 - c2 = 1. 
x2 y2 z2 
( d) Hipérbolóide de duas folhas: -ª2 + b2 - c2 = 1. 
(e) Parábolóide eliptico: � + �: = cz2 . 
(f) P 'b l'"d h" b'l" x2 y2 2 ara o 01 e 1per o 1co: -ª2 + b2 = cz .
( )e d,. x2 y2 2g one qua ratico: ª2 
+ b2 = z .
37 
50 
(h) Cilindro:
1. . x2 y2
1 +)2 = 
a
e íptlco : 2
2 
hiperbólico : 2 -
y 
2 = 1, 
a b 
parabólico : x = ky2 .
A equação (2) pode representar conjuntos de pontos que são denominados dege­
nerados: 
1. Conjunto vazio: x2 = -1.
2. Um ponto: x2 + y2 + z2 = O.
3. Uma reta: x2 + y2 = O.
4. Um plano: z2 = O.
5. Dois planos paralelos: z2 = 1.
6. Dois planos que se cruzam: xy = O.
Notemos que tanto (1) como (2) podem ser escritas em uma forma matricial: 
A D F X X 2 2 
[ X y z ] D B E y +[e H I ] y +1=02 2 
F E e z z 2 2 
Fonte: o autor. 
Material Complementar #NA WEB# 
O problema isoperimétrico 
38 
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
(h) Cilindro:
1. . x2 y2
1 +)2 = 
a
e íptlco : 2
2 
hiperbólico : 2 -
y 
2 = 1, 
a b 
parabólico : x = ky2 .
A equação (2) pode representar conjuntos de pontos que são denominados dege­
nerados: 
1. Conjunto vazio: x2 = -1.
2. Um ponto: x2 + y2 + z2 = O.
3. Uma reta: x2 + y2 = O.
4. Um plano: z2 = O.
5. Dois planos paralelos: z2 = 1.
6. Dois planos que se cruzam: xy = O.
Notemos que tanto (1) como (2) podem ser escritas em uma forma matricial: 
A D F X X 2 2 
[ X y z ] D B E y +[e H I ] y +1=02 2 
F E e z z 2 2 
Fonte: o autor. 
Material Complementar #NA WEB# 
O problema isoperimétrico 
38 
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
52
Referências Bibliográficas 
[1] ANTON, H.; BI VENS, 1. ; DAVIS, S. Cálculo. V. 1 e 2. 8. ed. Porto 
Alegre: Ed. Bookaman, 2007.
[2] EDWARDS, G. H.; PENNEY, D. E. Calculus with a Analytic Geome­
try. NJ: Prentice Hall, 1998.
[3] LARSON, R. E, HOSTELER, R. P., EDWARDS, D. E. Cálculo com Ge­
ometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
[4] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 3. ed. São 
Paulo: Ed. Harbra, 1994.
[5] MARSDEN. J. G., TROMBA, A. J .. Vector Calculus. New York: W. H. 
Freeman and Company, 1981.
[6] PROTTER, M. H.; MORREY, C. B. A fisrt course in Real Analysis. 
New York: Springer, 1991.
[7] SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1. São Paulo: 
Ed. MacGraw-Hill, 1987.
[8] STEWART, James. Cálculo. V. 1 e 2. 7. ed. São Paulo: Ed. Cengage 
Learning, 2013. 
40 
ATIVIDADES DE ESTUDOS- GABARITO 
1. 0 dominio de f(x,y) = � e dado pelos pontos (x,y) do plano em
que y 2: x2 . Logo, Dom(!)= { (x,y) E �2 ;y 2: x2 }.
2. 0 domfnio de f(x,y) = xy e dado pelos pontos (x,y) E �2 em 
y'9-x2-y2
que 9-x2-y2 > 0. Ou seja, pelos pontos (x,y) E �2 tais que x2 + y2 0, obtemos a elipse 4x2 + 9y2 = k. Segue que as curvas de 
nível sao elipses concentricas e a origem.
4. Para esbo 0. Ou seja,pelos pontos (x,y) E �2 tais que x2 + y2 0, obtemos a elipse 4x2 + 9y2 = k. Segue que as curvas de 
nível sao elipses concentricas e a origem.
4. Para esbo 0. Ou seja, pelos pontos (x,y) E �2 tais que x2 + y2 0, obtemos a elipse 4x2 + 9y2 = k. Segue que as curvas de 
nível sao elipses concentricas e a origem.
4. Para esbo 0. Ou seja, pelos pontos (x,y) E �2 tais que x2 + y2 0, obtemos a elipse 4x2 + 9y2 = k. Segue que as curvas de 
nível sao elipses concentricas e a origem.
4. Para esbo 0. Ou seja, pelos pontos (x,y) E �2 tais que x2 + y2 0, obtemos a elipse 4x2 + 9y2 = k. Segue que as curvas de 
nível sao elipses concentricas e a origem.
4. Para esbo 0, obtemos circunferencias x2 + y2 = k2
. 
Segue que as curvas de nível sao circunferencias concentricas. 
5. 0 grafico da curva parametrizada dada por x(t) = ,J3t2 e y(t) = 3t- jt3 ,
onde t E [-3, 3] e o la 0, obtemos circunferencias x2 + y2 = k2
. 
Segue que as curvas de nível sao circunferencias concentricas. 
5. 0 grafico da curva parametrizada dada por x(t) = ,J3t2 e y(t) = 3t- jt3 ,
onde t E [-3, 3] e o la 0, obtemos circunferencias x2 + y2 = k2
. 
Segue que as curvas de nível sao circunferencias concentricas. 
5. 0 grafico da curva parametrizada dada por x(t) = ,J3t2 e y(t) = 3t- jt3 ,
onde t E [-3, 3] e o la). 
(a) Para cada y fixo, tem-se uma parabola no plano xz. Formando, assim,
um cilindro.
43 
-4
-4 -2 0
x
2 4
-2
0y
2
4
-4
-4 -2 0
x
2 4
-2
0y
2
4
GABARITO
(b) Para a superficie z = x2 - y2 dada em coordenadas cartesianas, dese­
nhamos as curvas de nivel para auxiliar no seu trac;ado. 
(c)
r 
Para a superffcie z = r2 dada em coordenadas cilindricas, substitufmos 
e obternos que z = x2 + y2 que e claramente urn parabo1oide.
(d) Para a superffcie z = 9- r2 dada em coordenadas cilfndricas, substituf­
mos r e obtemos q ue z = 9 - x2 - y2 q ue e claramente um paraboloide.
(e) Para a superficie p = 2cos(coordenadas cilindricas, substitufmos 
e obternos que z = x2 + y2 que e claramente urn parabo1oide.
(d) Para a superffcie z = 9- r2 dada em coordenadas cilfndricas, substituf­
mos r e obtemos q ue z = 9 - x2 - y2 q ue e claramente um paraboloide.
(e) Para a superficie p = 2cos( 0, e o conjunto, 
denotado por B(Po, r), dado por: 
Note que podemos expressar a bola aberta usando norma de vetores: 
B(Po, r) = { (x,y) E IR2 ; IIPo - (x,y) II 0, e o conjunto, denotado por B(Po, r), dado 
por: 
B(Po, r) = { (x,y, z) E JR3 ; (x-xo)2 
+ (y-yo) 2 
+ (z-zo) 2 0, denotada 
por B[Po, r], e definida por: 
B[Po,r] = {(x,y,z) E JR3 ; IIPo = (x,y,z)II � r}. 
48 
CONCEITOS BÁSICOS
Conceitos Básicos
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LIMITES E CONTINUIDADE
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E64
quando toda bola aberta de centro (x0,y0,z0) contém algum ponto de D, diferente
de (x0,y0,z0). Ou seja,
∀ε > 0, ∃(x,y,z) ∈ D; 0 0, :l(x,y,z) ED; 0id
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65
2 LIMITES E CONTINUIDADE
Estamos interessados em estudar funções com seguinte comportamento: f (x,y) se
aproxima de um número L quando (x,y) do domínio de f se aproxima de (x0,y0).
Vamos estender a noção de limite já estudado para funções de uma variável.
Em termos matemáticos, definimos:
Definição 1 Seja f : D ⊂ R
2 → R e (x0,y0) ∈ D um ponto de acumulação de D.
Dizemos que
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x,y) = L
se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 0, existe δ > 0 tal que
0 0, existe δ > 0 tal que se 0 0 queremos determinar
δ > 0 tal que se �(x,y)− (1,2)� 0 existe 0 0. Como r =
√
x2 + y2 segue que r → 0 quando x e y se aproximam
de zero. Assim, temos que
lim
(x,y)→(0,0)
xy
√
x2 + y2
= lim
r→0
r cos(θ) sen (θ) = 0.
3. Seja f (x,y) =
xy
x2 + y2 , (x,y) �= 0. Notemos que f não está definida em
(0,0). Afirmamos que limite lim(x,y)→(0,0) f (x,y) não existe. Se esse li-
mite existe, seu valor não pode depender do modo como as variáveis x e y
se aproximam de zero. Então, vamos fazer (x,y) se aproximar de (0,0) por
meio de dois caminhos diferentes:
(a) Quando y = x.
(b) Quando y = 2x.
Em (a), y= x, se x �= 0 obtemos que f (x,x)= 1
2 e, portanto, lim
(x,x)→(0,0)
f (x,y)=
1
2
.
Em (b), y = 2x, se x �= 0 obtemos que f (x,2x) = 2
3 e, portanto,
lim
(x,2x)→(0,0)
f (x,y) =
2
3
.
Como os limites em (a) e em (b) são diferentes, podemos afirmar que o
limite não existe. Voltaremos em breve a esse método.
Teorema 4 (Confronto ou Sanduíche) . Sejam f ,g,h : D ⊂ R
2 → R e (x0,y0)
ponto de acumulação de D. Suponha que f (x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y),∀(x,y) ∈ D.
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x,y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x,y) = L, então, lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y) = L.
Demonstração: como lim(x,y)→(x0,y0) f (x,y) = lim(x,y)→(x0,y0) h(x,y) = L dado
ε > 0 existe δ > 0 tal que se 0de­
cidir se existe o limite: 
1. x2-y2
im 2 2·(x,y)--+(0,0) X + y 
Tomemos x = y e fazemos x ----+ 0, obtemos que o numerador da expressao se anula 
e, portanto, o limite nesse caso e nulo: 
x2-y2
lim 
(x,x)--+(0,0) x2 + y2 lim 
0
2 = 0. 
(x,x)--+(0,0) 2x 
Tomemos agora x = 2y e fazemos y ----+ 0, obtemos que o numerador da expressao 
fica igual a 3y2 e, portanto, o limite nesse caso e:
. 4y2-y2 
hm 
(2y,y)--+(0,0) 4y2 + y2 1. 3y2 
3 
(2y,i�O,O) 5y2 5·
Assim, ao realizarmos o limite utilizando dois caminhos diferentes, obtemos dois 
resultados tambem diferentes. Isso mostra que o limite nao existe. 
56 
(a) Se T : R2 →R é dada por T (x,y) = ax+by+c, então, é contínua em todos os
pontos do domínio. De fato, T está definida em todo ponto (x0,y0) do plano
R
2. Além disso,
lim
(x,y)→(x0,y0)
T (x,y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
(ax+by+ c) = ax0 +by0 + c = T (x0,y0).
Segue da definição que T é contínua em todos os pontos (x0,y0) do plano R
2.
(b) Dizemos que f : D ⊆ R
2 →R é Lipschitziana se existe K ≥ 0 tal que
| f (x,y)− f (z,w)| ≤ K�(x,y)− (z,w)�,
para todo par (x,y),(z,w) ∈ D. Toda função Lipschitziana é contínua.
De fato, se K = 0, a função é constante e, portanto, contínua em todo ponto. Se
K > 0, dado ε > 0, tomemos 0 0, ∃δ > 0;�(x,y)− (x0,y0)� 0, ∃δ > 0;�(x,y,z)− (x0,y0,z0)� 0, :lo> O; II (x,y) - (xo,Yo) II 0, :lo> O; II (x,y,z)-(xo,Yo,zo) II 0, dado ε > 0, tomemos 0 0, ∃δ > 0;�(x,y)− (x0,y0)� 0, ∃δ > 0;�(x,y,z)− (x0,y0,z0)� 0, dado E > 0, tomemos O(go f) e continua em (xo, Yo) E X. 
58 
Limites e Continuidade
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N ovamente, o resultado se man tern para func;oes reais com domfnio con ti dos em 
�3 .
Sej a X � �2 . Dizemos que ( xo, yo) e um ponto aderente a X se existe uma sequen­
cia (xn,Yn) de pontos de X que converge para (xo,Yo). Dizemos que o conjunto X 
e fechado se contem todos os seus pontos de aderencia. 
Note que todo x EX e ponto aderente ao conjunto X pois a sequencia constante 
(x,x,x,x, ... ,) converge para x. 
Dessa definic;ao, conclufmos que, se X e fechado e (xo,Yo) EX, entao, existe uma 
sequencia (xn,Yn) de elementos deX tal que (xn,Yn)-+ (xo,Yo). 
Ao conjunto de todos os pontos de aderencia de X, chamamos de o fecho de X e 
denotamos por X. Note que todo ponto de acumulac;ao de X e tambem um ponto 
de aderencia de X. 
Um conjunto K � �2 , K � �3 ou K c �n e dito compacto, se for limitado e 
fechado. As bolas fechadas B, B � �2 ou B � �3 sao exemplos de conjuntos 
compactos. 
Lembramos que um conjunto X � �2 (ou X � �3 ) e dito limitado se existe uma 
bola de raio r > 0 contendo esse conjunto. Em outras palavras, X e limitado, se 
II (x,y) II :S r para todo (x,y) EX. 
Sao exemplos de conjuntos compactos: as bolas fechadas, B � �2 , B � �3 .
Os conjuntos compactos tern propriedades importantes no Calculo. 0 seguinte 
teorema justifica isso. 0 resultado e geral para conjuntos compactos, mas o enun­
ciamos apenas para �2 e �3 . Esse teorema e tambem conhecido como princf pio 
do Min-Max. 
Teorema 8 (Weierstrass). Seja K � �2 ou K � �3 um conjunto compacto e 
f: K-+ � umafunr;ao continua. Entao, existem pontos (xo,Yo) e (x1,Y1) em K e
numeros reais m e M tais que: 
m = f(xo,Yo) :S f(x,y) :S f(x1,Y1) = M, \f(x,y) EK. 
59 
LIMITES E CONTINUIDADE
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E74
Em autras palavras, f assume valares maxima e minima glabais sabre a canjunta 
K. 
N ovamente, esse importante teorema se mantem para furn;oes reais com dominios 
contidos no JR.n . 
• Exemplo 6
Considere a func;ao continua f(x,y) = -x2 -y2 definida sobre a bola fechada K 
= B[(O,O), 1]. Pelo teorema de Weierstrass, f assume o seu ponto de minimo 
global em um ponto (xo,Yo) de Ke assume o seu ponto de maximo global em um 
ponto (x1,Y1) de K. Note que, para pontos de K, temos que -1 � f(x,y) � 0. E 
facil ver que (0,0) e ponto de Kem que f assume o valor maximo. Qualquer 
ponto no bordo de K, isto e, pontos onde x2 + y2 = 1 satisfazem f(x,y) = -1, 
esses pontos do bordo de K sao pontos nos quais f assume o seu valor minimo. 
0 teorema de Weierstrass da condic;oes para a existencia de pontos de maximo e 
minimo, mas nao da um metodo de determina-los. Em muitos problemas praticos e 
importante conhecer esses pontos. Em geral, determinar os pontos de maximo e de 
minimo de uma func;ao continua nao e simples. Veremos na pr6xima unidade 
tecnicas envolvendo derivada que nos ajudam nessa busca. 
CONSIDERA(:'.OES FINAIS 
Nesta segunda unidade, estudamos Limites e Continuidade de func;oes reais de duas 
e tres variaveis. Esses assuntos estendem os conceitos ja estudados no Calculo I. 
Ao estendermos essas noc;oes para func;oes de duas ou mais variaveis, foi necessario 
introduzir algumas noc;oes basicas de topologia, tais como ponto interior, conjun­
tos abertos, ponto de acumulac;ao,conjuntos fechados e conjuntos compactos. 
60 
Considerações Finais
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Em autras palavras, f assume valares maxima e minima glabais sabre a canjunta 
K. 
N ovamente, esse importante teorema se mantem para furn;oes reais com dominios 
contidos no JR.n . 
• Exemplo 6
Considere a func;ao continua f(x,y) = -x2 -y2 definida sobre a bola fechada K 
= B[(O,O), 1]. Pelo teorema de Weierstrass, f assume o seu ponto de minimo 
global em um ponto (xo,Yo) de Ke assume o seu ponto de maximo global em um 
ponto (x1,Y1) de K. Note que, para pontos de K, temos que -1 � f(x,y) � 0. E 
facil ver que (0,0) e ponto de Kem que f assume o valor maximo. Qualquer 
ponto no bordo de K, isto e, pontos onde x2 + y2 = 1 satisfazem f(x,y) = -1, 
esses pontos do bordo de K sao pontos nos quais f assume o seu valor minimo. 
0 teorema de Weierstrass da condic;oes para a existencia de pontos de maximo e 
minimo, mas nao da um metodo de determina-los. Em muitos problemas praticos e 
importante conhecer esses pontos. Em geral, determinar os pontos de maximo e de 
minimo de uma func;ao continua nao e simples. Veremos na pr6xima unidade 
tecnicas envolvendo derivada que nos ajudam nessa busca. 
CONSIDERA(:'.OES FINAIS 
Nesta segunda unidade, estudamos Limites e Continuidade de func;oes reais de duas 
e tres variaveis. Esses assuntos estendem os conceitos ja estudados no Calculo I. 
Ao estendermos essas noc;oes para func;oes de duas ou mais variaveis, foi necessario 
introduzir algumas noc;oes basicas de topologia, tais como ponto interior, conjun­
tos abertos, ponto de acumulac;ao,conjuntos fechados e conjuntos compactos. 
60 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
76 
7. Seja f(x,y,z) = x-2y+ 3z+4. Verifique utilizando a defini
que lim f(x,y,z) = 10.
(x,y,z)--+(1,2,3) 
{ 
x2-y2
, se (x,y) # (0,0) 
8. Verifique que a fun
que lim f(x,y,z) = 10.
(x,y,z)--+(1,2,3) 
{ 
x2-y2
, se (x,y) # (0,0) 
8. Verifique que a fununicidade de soluc;oes para equac;oes diferenciais e o metodo de Newton-Raphson 
para soluc;ao numericia de equac;oes. 
Fonte: Drager e Foote (1986). 
Material Complementar #LIVRO# 
Figura 2: Calculo II - Stewart. 
63 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Cálculo - Volume 2
James Stewart
Editora: Cengage Learning, 2014.
Sinopse: O livro trata do conteúdo padrão disciplina de Cálculo ll. 
O autor usa uma linguagem é simples e clara, apresenta inúmeros 
exemplos e ilustrações.
REFERÊNCIAS
79
Ref erencias Bibliograficas 
[1] ANTON, H.; BI VENS, I. ; DAVIS, S. Calculo. V. 1 e 2. 8. ed. Porto
Alegre: Ed. Bookaman, 2007.
[2] EDWARDS, G. H.; PENNEY, D. E. Calculus with a Analytic
Geome­try. NJ: Prentice Hall, 1998.
[3] DRAGER, L. D.; FOOTE, R. L. The contraction mapping lemma and
the inverse function theorem in Advanced Calculus. The Teaching of
Mathematics, 1986.
[4] LARSON, R. E, HOSTELER, R. P., EDWARDS, D. E. Calculo com
Ge­ometria Analitica. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
[5] LEITHOLD, L. 0 Calculo com Geometria Analitica. V. 1 e 2. 3. ed. Sao
Paulo: Ed. Harbra, 1994.
[6] MARSDEN. J. G., TROMBA, A. J .. Vector Calculus. New York: W. H.
Freeman and Company, 1981.
[7] PROTTER, M. H.; MORREY, C. B. A fisrt course in Real Analysis.
New York: Springer, 1991.
[8] SIMMONS, G. F. Calculo com Geometria Analitica. V. 1. Sao Paulo:
Ed. MacGraw-Hill, 1987.
65 [9] STEWART, James. Calculo. V. 1 e 2. 7. ed. Sao Paulo: Ed. Cengage
Leaming, 2013.
ATIVIDADES DE ESTUDOS - GABARITO 
1. 
2. 
3. 
Para veriflcar que lim 2 xy 2 nao existe, tome os dois caminhos y = 
(x,y)--+(0,0) X + y 
x e y = -x. Sohre o primeiro, o limite e i e sobre o segundo o limte e 21 .
x2 2 r2 ( cos2 ( 8) - sen 2 ( 8)) 
U sando coordenadas polares, .#+;z flea #' = r( cos2 ( 8) -
xZ +yz r2 
sen 2(8)). Quando (x,y)----+ (0,0), temos que r----+ 0, assim, limr(cos2(8)­
r--+O
sen 2(8)) = 0. 
x4 +y4 
U sando coordenadas polares, flea 
Jx2 +y2
r2 ( cos2 ( 8) - sen 2 ( 8)) 
_ ( 4 (8) 4 (8)) 
W, 
- r cos + sen .
Quando (x,y)----+ (0, 0), temos que r----+ 0, assim, limr( cos5(8) + sen 4(8)) = 
r--+0
0. 
4. Vamos usar coordenadas esfericas para mostrar lim 2 �
z 
2 -(x,y,z)--+(0,0,0) X + Y + Z 
0. Passando para coordenadas esfericas, temos que
2 �
z 
2 = p cos ( 8) sen 2 ( ) sen ( 8) cos ( ) . 
X +y +z 
Quando (x,y,z)----+ (0,0), temos que p----+ 0, assim, 
limpcos(8) sen 2() sen (8)cos() =0. 
p--+0 
5 P 1. . 1· X + y + z - . b . ara mostrar que o 1m1te 1m 2 2 2 nao ex1ste, astar tomar 
(x,y,z)--+(0,0,0) X + y + Z 
um caminho onde o limite nao existe. Tome z qualquer tendo a zero e 
x = y = 0, obtemos que o limite nao existe. 
66 
GABARITOGABARITO
[9] STEWART, James. Calculo. V. 1 e 2. 7. ed. Sao Paulo: Ed. Cengage
Leaming, 2013.
ATIVIDADES DE ESTUDOS - GABARITO 
1. 
2. 
3. 
Para veriflcar que lim 2 xy 2 nao existe, tome os dois caminhos y = 
(x,y)--+(0,0) X + y 
x e y = -x. Sohre o primeiro, o limite e i e sobre o segundo o limte e 21 .
x2 2 r2 ( cos2 ( 8) - sen 2 ( 8)) 
U sando coordenadas polares, .#+;z flea #' = r( cos2 ( 8) -
xZ +yz r2 
sen 2(8)). Quando (x,y)----+ (0,0), temos que r----+ 0, assim, limr(cos2(8)­
r--+O
sen 2(8)) = 0. 
x4 +y4 
U sando coordenadas polares, flea 
Jx2 +y2
r2 ( cos2 ( 8) - sen 2 ( 8)) 
_ ( 4 (8) 4 (8)) 
W, 
- r cos + sen .
Quando (x,y)----+ (0, 0), temos que r----+ 0, assim, limr( cos5(8) + sen 4(8)) = 
r--+0
0. 
4. Vamos usar coordenadas esfericas para mostrar lim 2 �
z 
2 -(x,y,z)--+(0,0,0) X + Y + Z 
0. Passando para coordenadas esfericas, temos que
2 �
z 
2 = p cos ( 8) sen 2 ( ) sen ( 8) cos ( ) . 
X +y +z 
Quando (x,y,z)----+ (0,0), temos que p----+ 0, assim, 
limpcos(8) sen 2() sen (8)cos() =0. 
p--+0 
5 P 1. . 1· X + y + z - . b . ara mostrar que o 1m1te 1m 2 2 2 nao ex1ste, astar tomar 
(x,y,z)--+(0,0,0) X + y + Z 
um caminho onde o limite nao existe. Tome z qualquer tendo a zero e 
x = y = 0, obtemos que o limite nao existe. 
66 6. Tomemos a reta passando pela origem y = ax, a > 0. Entao, f(x, ax) = 
2ax3 2ax x4 2 2 = --2 que tende a zero quando x -+ 0. Fazendo y = x2 , 
+a x x+a 
f(x,x2 ) = x42
:� = 1, constante. Logo, o limite nao existe.
7. Seja f(x,y,z) = x-2y+ 3z+4. Verifique utilizando a defini 0 queremos determinar O > 0 tal que se ll(x,y,z)-(1,2,3)11 0 existe O 0. Entao, f(x, ax) = 
2ax3 2ax x4 2 2 = --2 que tende a zero quando x -+ 0. Fazendo y = x2 , 
+a x x+a 
f(x,x2 ) = x42
:� = 1, constante. Logo, o limite nao existe.
7. Seja f(x,y,z) = x-2y+ 3z+4. Verifique utilizando a defini 0 queremos determinar O > 0 tal que se ll(x,y,z)-(1,2,3)11 0 existe O 0. Entao, f(x, ax) = 
2ax3 2ax x4 2 2 = --2 que tende a zero quando x -+ 0. Fazendo y = x2 , 
+a x x+a 
f(x,x2 ) = x42
:� = 1, constante. Logo, o limite nao existe.
7. Seja f(x,y,z) = x-2y+ 3z+4. Verifique utilizando a defini 0 queremos determinar O > 0 tal que se ll(x,y,z)-(1,2,3)11 0 existe Oei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
85
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Nesta unidade, vamos iniciar o estudo das derivadas de funções com mais de uma
variável. Como já vimos, uma função real de duas variáveis reais (x,y) é uma
função com domínio D ⊂ R
2 e com valores em R. Do mesmo modo, uma função
real de três variáveis reais (x,y,z) é uma função com domínio D ⊂ R
3 e com
valores em R. Assim, é possível definir derivada com relação a cada uma das
variáveis x, y e z são as derivadas parciais.
Em geral, especificamos uma função apresentando uma expressão para o valor
f (x,y) no caso de duas variáveis (x,y) ou f (x,y,z) no caso de três variáveis
(x,y,z), como já vimos. Essa expressão é o objeto de estudo dessa unidade no
que diz respeito a sua diferenciabilidade e quanto a existência de pontos críti-
cos para posterior classificação em pontos de máximos ou de mínimos. Vamos
apresentar o teste da derivada segunda para essa classificação e, então, seremos
capazes de classificar os pontos críticos.
Vamos aprender a derivar uma função na direção de um determinado vetor e intro-
duziremos o vetor gradiente de uma função. Aprenderemos que o vetor gradiente
de uma função aponta sempre para a direção de maior crescimento dela. Também
vamos apresentar o método dos multiplicadores de Lagrange, importante ferra-
menta, para otimizar uma função sujeita a restrições.
Vamos aprender a determinar o plano tangente ao gráfico de uma superfície e a
usá-lo como uma aproximação linear para função.
1 DERIVADAS PARCIAIS
Vimos derivadas para funções reais de uma variável real y = f (x) e definimos que
y′(x) = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
,
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DERIVADAS PARCIAIS
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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U samos as seguintes notaque são as mesmas, basicamente, 
do Cálculo I. Conheceremnos a regra da cadeia, que nos mostra como derivar 
funções compostas, a noção de derivada direcional e o vetor gradiente. Estudare-
mos a determinação de planos tangentes ao gráfico de superfícies e de máximos e 
mínimos para funções reais de duas ou três variáveis. Também estudaremos a 
técnica dos multiplicadores de Lagrange que trata da determinação de máximos e 
mínimos de funções com restrições impostas aos pontos do domínio.
Na unidade IV, trataremos do cálculo das integrais múltiplas. Por causa do te-
orema de Fubini, veremos que tudo se resume ao cálculo de integrais simples. 
Iniciaremos com a integral dupla, apresentaremos suas principais propriedades e 
alguns exemplos. Nesta unidade, aprenderemos a fazer mudança de variáveis em 
integrais duplas. Como aplicação, vamos aprender utilizar a integral dupla para 
calcular áreas e volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Em se-
guida, estudaremos as integrais triplas: mudança de variáveis em integrais triplas, 
aplicações ao cálculo de volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Na 
unidade V, estudaremos um pouco de cálculo vetorial. Veremos um pouco de 
campos vetoriais e apresentaremos três importantes teoremas: o Teorema de 
Green, o Teorema da divergência de Gauss e o Teorema de Stokes. Aprenderemos 
a integrar ao longo de uma curva e a integrar sobre uma superfície. Esses teoemas 
são generalizações do teorema fundamental do Cálculo. Considero que essa é a
ii
acumulação e fronteira de um conjunto; conjuntos abertos e conjuntos fechados. 
No estudo das funções contínuas, apresentaremos o conceito e suas principais 
propriedades, bem como o teorema de Weierstrass, que garante a existência de, ao 
menos, um ponto de máximo e de um ponto de mínimo para funções contínuas e 
definidas sobre conjuntos limitados e fechados do R2 ou R3.
A terceira unidade é dedicada à noção de derivada parcial e suas aplicações. Apre-
sentaremos nesta unidade, a definição de derivada parcial, introduziremos as nota-
ções mais usuais, as propriedades da derivação que são as mesmas, basicamente, 
do Cálculo I. Conheceremnos a regra da cadeia, que nos mostra como derivar 
funções compostas, a noção de derivada direcional e o vetor gradiente. Estudare-
mos a determinação de planos tangentes ao gráfico de superfícies e de máximos e 
mínimos para funções reais de duas ou três variáveis. Também estudaremos a 
técnica dos multiplicadores de Lagrange que trata da determinação de máximos e 
mínimos de funções com restrições impostas aos pontos do domínio.
Na unidade IV, trataremos do cálculo das integrais múltiplas. Por causa do te-
orema de Fubini, veremos que tudo se resume ao cálculo de integrais simples. 
Iniciaremos com a integral dupla, apresentaremos suas principais propriedades e 
alguns exemplos. Nesta unidade, aprenderemos a fazer mudança de variáveis em 
integrais duplas. Como aplicação, vamos aprender utilizar a integral dupla para 
calcular áreas e volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Em se-
guida, estudaremos as integrais triplas: mudança de variáveis em integrais triplas, 
aplicações ao cálculo de volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Na 
unidade V, estudaremos um pouco de cálculo vetorial. Veremos um pouco de 
campos vetoriais e apresentaremos três importantes teoremas: o Teorema de 
Green, o Teorema da divergência de Gauss e o Teorema de Stokes. Aprenderemos 
a integrar ao longo de uma curva e a integrar sobre uma superfície. Esses teoemas 
são generalizações do teorema fundamental do Cálculo. Considero que essa é a
ii
parte mais elegante do Cálculo.
Sugerimos fortemente que adote um sistema de computação algébrica para exer-
citar o que foi apresentado nesta disciplina e aproveitar o máximo do que a tecno-
logia pode oferecer e contribuir no seu aprendizado.
Tivemos a preocupação constante de tornar este texto bem compreensível e espe-
ramos facilitar e contribuir para a sua aprendizagem. Bons estudos!
1
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
15 Introdução
16 Vetores e Curvas Parametrizadas 
19 Curvas Parametrizadas 
29 Funções Reais de Variáveis Reais 
37 Sistemas Especiais de Coordenadas 
46 Considerações Finais 
52 Referências 
53 Gabarito 
UNIDADE II
LIMITES E CONTINUIDADE
61 Introdução
62 Conceitos Básicos 
65 Limites e Continuidade 
75 Considerações Finais 
79 Referências 
80 Gabarito 
SUMÁRIO
10
UNIDADE III
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
85 Introdução
85 Derivadas Parciais 
96 Regra da Cadeia 
102 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 
111 Derivadas Direcionais 
119 Multiplicadores de Lagrange 
123 Considerações Finais 
127 Referências 
128 Gabarito 
UNIDADE IV
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
135 Introdução
136 Integrais Duplas 
178 Integrais Triplas 
199 Considerações Finais 
206 Referências 
207 Gabarito 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
CÁLCULO VETORIAL
211 Introdução 
212 Campos Vetoriais 
217 Integrais de Linha 
231 Teorema de Green 
234 Integrais de Superfícies 
241 Teorema de Stokes 
245 Teorema da Divergência de Gauss 
250 Considerações Finais 
254 Referências 
255 Gabarito 
 
256 CONCLUSÃO
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E I
Professor Dr. Doherty Andrade
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Introduzir o conceito de curvas parameterizadas, funções reais de 
várias variáveis reais, domínio, gráfico e curvas de nível.
 ■ Introduzir os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Vetores e Curvas Parametrizadas
 ■ Funções Reais de Variáveis Reais
 ■ Sistemas Especiais de Coordenadas
INTRODUÇÃO 
Esta unidade é, principalmente, dedicada ao estudo dos elementos básicos para 
as funções reais, funções vetoriais de várias variáveis reais e questões de con­
tinuidade, diferenciabilidade e integrabilidade dessas funções que são assuntos 
típicos do Cálculo Diferencial e Integral. 
Como vamos trabalhar no plano e no espaço, precisaremos de vetores e operações 
com vetores, tais como produto interno, produto vetorial, produto misto, norma de 
vetores, distância entre pontos, retas e planos. Faremos, aqui, uma breve revisão 
desses assuntos, mas você terá a oportunidade de pôr em prática o que estudou na 
disciplina de Geometria Analítica. 
Muitas curvas e superfícies que encontraremos nesta unidade já são conhecidas 
de cursos de Geometria Analítica e de Cálculo, tais como circunferência, elipse, 
parábola, esfera, cilindro, elipsoide e paraboloide. Uma revisão desse conteúdo o 
ajudará no reconhecimento e na visualização de regiões com as quais trabalhare­
mos. Há uma pequena revisão sobre cônicas e superfícies quádricas na Leitura 
Complementar. 
Vamos aprender a parametrizar curvas e a determinar o seu comprimento e sua cur­
vatura. Apresentaremos o sistema de coordenadas polares, cilíndricas e o sistema 
de coordenadas esféricas que são formas alternativas de representação de pontos 
do plano e do espaço. 
Como o nome diz, coordenadas polares são recomendadas para representar curvas 
circulares, coordenadas cilíndricas que são mais indicadas para representar 
objetos cilíndricos e as coordenadas esféricas, para representar objetos esféricos. 
Essas coordenadas serão muito úteis na resolução de integrais múltiplas. 
Vamos, então, dar início ao nosso plano de estudo. 
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INTRODUÇÃO 
Esta unidade é, principalmente, dedicada ao estudo dos elementos básicos para 
as funções reais, funções vetoriais de várias variáveis reais e questões de con­
tinuidade, diferenciabilidade e integrabilidade dessas funções que são assuntos 
típicos do Cálculochamamos de plano tangente a superfice z = f(x,y) no ponto P(a,b,f(a,b)). 
Esse plano contem as retas tangentes as curvas: 
z 
z 
f(x,b), 
f(a,y), 
y = b fixo 
x = a fixo . 
Da Geometria Analf tica, sabemos que um plano nao vertical que passa pelo ponto 
(a,b,c) tern a forma: 
A(x-a)+B(y-b)+C(z-c) =0,
em que C =/=- 0. 
Dividindo por C, obtemos: 
(z - c) = p(x - a) + q(y - b), 
em que p = -� e q = - �. 0 plano sera tangente a superficie desde que contenha 
as retas tangentes as curvas definidas em x = a e em y = b. 
Fazendo y = b, obtemos a reta (z - c) = p(x-a) e assim * ( a, b) = p. E, fazendo 
x = a, obtemos a outra reta (z-c) = q(y-b) e, assim, �(a,b) = q. 
75 
Como: 
Zy 
= ay 
sen (nxy) = nxcos(nxy),
substituindo x = 1 e y = 2, temos: 
Zy(l,2) = l1tcos(21t) = 1t. 
1.1 Plano Tangente 
Se z = f(x,y) tern derivadas parciais fx e fy contfnuas em uma vizinham;a con­
tendo o ponto ( a, b) do dominio def, as duas retas tangentes ilustradas na figura 1 
determinam um unico plano que passa pelo pontoP= (a,b,f(a,b)). A esse plano, 
chamamos de plano tangente a superfice z = f(x,y) no ponto P(a,b,f(a,b)). 
Esse plano contem as retas tangentes as curvas: 
z 
z 
f(x,b), 
f(a,y), 
y = b fixo 
x = a fixo . 
Da Geometria Analf tica, sabemos que um plano nao vertical que passa pelo ponto 
(a,b,c) tern a forma: 
A(x-a)+B(y-b)+C(z-c) =0,
em que C =/=- 0. 
Dividindo por C, obtemos: 
(z - c) = p(x - a) + q(y - b), 
em que p = -� e q = - �. 0 plano sera tangente a superficie desde que contenha 
as retas tangentes as curvas definidas em x = a e em y = b. 
Fazendo y = b, obtemos a reta (z - c) = p(x-a) e assim * ( a, b) = p. E, fazendo 
x = a, obtemos a outra reta (z-c) = q(y-b) e, assim, �(a,b) = q. 
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DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E90
Segue que a equae a derivada de segunda ordem de f com
relac;ao x primeiro e, entao, com relac;ao a y. Ja a derivada fyx e a derivada de
segunda ordem de f com relac;ao y primeiro e, entao, com relac;ao ax. Uma per­
gunta que surge naturalmente e se essas derivadas fxy e fyx, chamadas de derivadas
mistas, sao iguais. A resposta e nao. Vejamos um exemplo.
Tomemos a seguinte func;ao como exemplo que esta no livro 2 de Leithold (1994,
p. 959):
Vamos mostrar que:
{ x2 -y2 
xy 2 2, se (x, y)#O
f(x, y) = X + y 
0, se (x, y) = 0.
79 
:
:
:
:
1.2 Derivadas de ordem superior 
As derivadas parciais de primeira ordem fx e Jy sao, tambem, furn;oes de x e y e,
assim, podemos pensar em deriva-las.
A derivada parcial de fx(x, y) com relac;ao ax, se existe, e representada por
(Jx)x = fxx = i: = 
:X (!;) = !:i· 
A derivada parcial de fx(x, y) com relac;ao a y, se existe, e representada por
fx = f = 
aJx = i (aJ
) = 
a2 f 
( )y xy ay ay ax ayax
.
A derivada parcial de Jy (x, y) com relac;ao ax, se existe, e representada por
A derivada parcial de Jy (x, y) com relac;ao a y, se existe, e representada por
E importante observar que a derivada f xy e a derivada de segunda ordem de f com
relac;ao x primeiro e, entao, com relac;ao a y. Ja a derivada fyx e a derivada de
segunda ordem de f com relac;ao y primeiro e, entao, com relac;ao ax. Uma per­
gunta que surge naturalmente e se essas derivadas fxy e fyx, chamadas de derivadas
mistas, sao iguais. A resposta e nao. Vejamos um exemplo.
Tomemos a seguinte func;ao como exemplo que esta no livro 2 de Leithold (1994,
p. 959):
Vamos mostrar que:
{ x2 -y2 
xy 2 2, se (x, y)#O
f(x, y) = X + y 
0, se (x, y) = 0.
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DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E94
Por definic;ao, 
aJ 
(O,y) = lim f(O +h,y) - f(O,y) = lim h y(h 2 - y2) = -y.
ax h---+0 h h---+0 h ( h 2 + y2) 
De onde se obtem que: 
Em particular, 
Analogamente, 
De onde se obtem:
Em particular, 
a21 
ayax (
O,y) = -1.
a21 
ayax 
(O, O) = -1.
aJ . xk(x 2 -k2 )-a (x,O) = hm 
( 2 2 ) =X. 
y k---+0 k X + k 
De onde conclufmos que as derivadas mistas de ordem 2 sao diferentes no ponto 
(0,0): 
0 Teorema de Clairaut-Schwartz a seguir da condic;oes para que as derivadas mis­
tas sejam iguais. Esse resultado vale tambem para func;oes com mais de duas 
variaveis. 
Teorema 2 (Clairaut-Schwartz). Seja U c JR2 um conjunto aberto e f : U c
JR2 ----+ JR com fx,!y,fxy e fy x tambem definidas em U. Se as derivadas mistas de 
segunda ordem Jxy e fy x sfio contfnuas em todo ponto (x,y) EU, entfio, 
em todos os pontos de (x,y) EU.
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REGRA DA CADEIA
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No calculo I, a regra da cadeia surgia da composi4b3-4a b3-a·
A discussao realizada ate aqui com duas variaveis x e y pode ser ampliada para 
tres ou mais variaveis. No caso de tres variaveis, suponha que F(x,y,z) = 0 define
z como func;ao f de variaveis x e y. Como obter fx e fy ? 
Vamos proceder de modo inteiramente analogo ao caso de duas variaveis. Supondo 
que F(x,y,z) = 0 define z como func;ao f de x e de ye que as derivadas parciais
Fx , Fy e Fz existem, temos pela regra da cadeia que:
aF dx + aF dy + aF az = O.
ax dx ay dx az ax 
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Como 
dx 
= 1 e 
dy 
= 0, a expressao acima fica reduzida a: 
dx dx 
Ou seja, 
desde que Fz(x,y,z) =/=- 0. 
Fx 
F' z 
Enunciaremos, a seguir, o teorema da func;ao implfcita no caso em que F(x,y,z) =
0. 
Teorema 5 (Teorema da fun�ao implicita). Consideremos a equar;iio F(x,y,z) =
0. Suponha que F esteja definida em um aberto D C ffi.3 e que ( a, b, c) E D e tal que
F ( a, b, c) = 0. Se as derivadas parciais Fx , Fy e Fz contfnuas em D e Fz ( a, b, c) =/=- 0,
entiio, F(x,y,z) = 0 define z coma funr;iio de x e de y em algum aberto contendo 
(a,b,c). 
Nesse caso, a derivada :: ( a, b) e dada por:
aF 
az ax (
a,b,c) 
ax(a,b) = - aF 
az (
a,b,c) 
Do mesmo modo, a derivada :; ( a, b) e dada por:
• Exemplo 10
aF 
az ay (
a,b,c) 
ay (
a,b) = - aF 
az (
a,b,c) 
Fx(a,b,c) 
Fz(a,b,c) ·
Fy(a,b,c)
Fz(a,b,c) ·
Queremos determinar * se x4 + y4 + z4 = 4.xyz usando derivac;ao implftica.
Podemos escrever x4 + y4 + z4 = 4.xyz como x4 + y4 + z4 - 4.xyz = 0 e, assim, temos
F(x,y,z) = 0, em que F(x,y,z) = x4 + y4 + z4 - 4.xyz. Notemos que Fx(x,y,z) =
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DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E102
4x3 -4yz, Fy(x,y,z) = 4y3 -4xz e Fz(x,y,z) = 4z3 -4.xy sao contfnuas em todos 
os pontos de JR3
. Mas Fz(x,y,z) = 4z3 -4.xy =I= 0 apenas quando z3 =I= xy. 
Assim, pelo teorema da func;ao implfcita, F(x,y,z) = 0 define z como func;ao de x 
e de y em todo ponto (x,y,z) com z3 =I= xy. Desse modo, para c3 =I= ab, temos 
que: 
az 
( a b c) = _ Fx ( a, b, c) = _ 4a3 - 4bc = _ a3 - be
ax '' Fz(a,b,c) 4c3 -4ab c3 -ab·
MA.XIMOS E MINIMOS DE FUN(:'.OES REAIS 
No Calculo I, estudamos a determinac;ao de pontos de maximo e mfnimos de 
func;oes reais de uma variavel real. Nesta sec;ao, vamos estender aqueles resul­
tados. Inicialmente, vamos considerar apenas func;oes de duas variaveis reais. 
Consideremos, entao, uma regiao R e f : R --+ JR uma func;ao real de variaveis reais 
x e y. Dizemos que f assume o seu valor maximo absoluto ou o seu valor maximo 
global M sobre R, se existe um ponto (x1, Yl) E R tal que: 
f(x,y) :::; f(x1,Y1) = M, \l(x,y) ER. 
Do mesmo modo, dizemos que f assume o seu valor minimo absoluto ou o seu 
valor minimo global m sobre R, se existe um ponto (xo,Yo) ER tal que: 
m = f(xo,Yo) :::; f(x,y), \l(x,y) ER. 
Em outras palavras, o valor maximo global e o valor mfnimo global, respectiva­
mente, sao atingidos por f em pontos de R. 
0 Teorema de Weierstrass afirma que esses pontos sempre existem quando a 
func;ao e continua definida sobre um compacto R. 
Dizemos que f(a,b) e um valor maximo local def se existe uma bola aberta B 
com centro em ( a, b) inteiramente contida em R tal que: 
f(x,y):::; f(a,b),\l(x,y) EB. 
88 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES REAIS DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
4x3 -4yz, Fy(x,y,z) = 4y3 -4xz e Fz(x,y,z) = 4z3 -4.xy sao contfnuas em todos 
os pontos de JR3
. Mas Fz(x,y,z) = 4z3 -4.xy =I= 0 apenas quando z3 =I= xy. 
Assim, pelo teorema da func;ao implfcita, F(x,y,z) = 0 define z como func;ao de x 
e de y em todo ponto (x,y,z) com z3 =I= xy. Desse modo, para c3 =I= ab, temos 
que: 
az 
( a b c) = _ Fx ( a, b, c) = _ 4a3 - 4bc = _ a3 - be
ax '' Fz(a,b,c) 4c3 -4ab c3 -ab·
MA.XIMOS E MINIMOS DE FUN(:'.OES REAIS 
No Calculo I, estudamos a determinac;ao de pontos de maximo e mfnimos de 
func;oes reais de uma variavel real. Nesta sec;ao, vamos estender aqueles resul­
tados. Inicialmente, vamos considerar apenas func;oes de duas variaveis reais. 
Consideremos, entao, uma regiao R e f : R --+ JR uma func;ao real de variaveis reais 
x e y. Dizemos que f assume o seu valor maximo absoluto ou o seu valor maximo 
global M sobre R, se existe um ponto (x1, Yl) E R tal que: 
f(x,y) :::; f(x1,Y1) = M, \l(x,y) ER. 
Do mesmo modo, dizemos que f assume o seu valor minimo absoluto ou o seu 
valor minimo global m sobre R, se existe um ponto (xo,Yo) ER tal que: 
m = f(xo,Yo) :::; f(x,y), \l(x,y) ER. 
Em outras palavras, o valor maximo global e o valor mfnimo global, respectiva­
mente, sao atingidos por f em pontos de R. 
0 Teorema de Weierstrass afirma que esses pontos sempre existem quando a 
func;ao e continua definida sobre um compacto R. 
Dizemos que f(a,b) e um valor maximo local def se existe uma bola aberta B 
com centro em ( a, b) inteiramente contida em R tal que: 
f(x,y):::; f(a,b),\l(x,y) EB. 
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Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais
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103
E que f( c, d) e um valor minimo local def se existe uma bola aberta B com centro 
em ( c, d) inteiramente contida em R tal que: 
Os valores maximos e mfnimos locais tambem sao chamados de maximos e mfni-
mos relativos. 
Note que, pelas definic;oes, os valores de maximo e de mfnimo locais sao valores 
globais considerando apenas a bola aberta e nao todo o domfnio de f.
• Exemplo 11
(a) A func;ao definida por f(x,y) = x2 + y2 , para (x,y) E IR2 assume o seu valor
mfnimo global no ponto (O;O). De fato, 0 = f(O,O) � f(x,y),\f(x,y) E IR2 .
Essa func;ao nao tern valor maxi mo global.
Agora, vamos restringir a func;ao ao domfnio D dado pela bola fechada de
centro na origem e raio igual 2:
A origem (0, 0) e o ponto em que f assume o seu valor mfnimo global. 
Nos pontos (x;y) ED tais que x2 +y2 = 4, pontos da fronteira de D, f assume 
o valor 4. E claro que, no interior de D, a func;ao f tern valor menor do que
4. Assim, em qualquer ponto sobre a fronteira de D, a func;ao f assume o seu
valor maximo global. 
(b) A furn;ao definida por f(x, y) = 4-x2 -y2 , para (x,y) E IR2 assume o seu valor
maximo global no ponto (0,0). De fato, 4 = f(O,O) 2: f(x.y),\f(x,y) E IR2 .
(c) A func;ao definida por f(x,y) = x2 -y2 , para (x,y) E IR2 , nao tern nem valor
maxi mo global e nem mfnimo global em IR2 .
89 
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E104
Figura 3: z = x2 + y2
z=4-x2 -y2 z=x2 -y2
Fonte: o autor. 
Para investigar a utiliza), 
h(y) J(a,y). 
Como J(a,b ) e um valor de maximo local, entao g(a) e h(b ) sao tambem valores 
de maximo locais. Do Calculo I, sabemos que a derivada em pontos de maximo 
ou mfnimo locais se anula, entao, temos que: 
g'(a) = 0 e h'(b ) = 0. 
Ou seja, 
a1 
ax
(a,b )
a1 
ay(a,b )
0 
0. 
0 mesmo argumento se aplica no caso de mfnimo local. 0 seguinte teorema 
resume a discussao acima. 
90 
Figura 3: z = x2 + y2
z=4-x2 -y2 z=x2 -y2
Fonte: o autor. 
Para investigar a utiliza 0 e fxx(a,b) > 0 ou Jyy (a,b) > 0. 
93 
,
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E108
(b) f tem um valor de maxima local em (a,b) se:
fxx(a,b)Jyy(a,b) - [Jxy(a,b)] 2 > 0 e fxx(a,b)fx -2x
Jy 2y+ 3y2-2y3 . 
Segue que fx(x,y) = -2x= Oimplica quex= 0 e Jy(x,y) = 2y+3y2-2y3 = 0
implica que y(2 + 3y-2y2) = 0. Ou seja y = O,y = -!,Y = 2. Segue que os
pontos crfticos sao P(O, 0), Q(O, -!) e S(O, 2).
94 
Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais
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109
A matriz Hessiana em um ponto generico (x,y) e: 
cujo determinante e -4-12y+ 12y2 . 
A seguir, organizamos os dados em uma tabela para facilitar a classifica 0 max local 
Fonte: o autor. 
Figura 4: f(x,y) = -x2 +y2 +y3 - !y4
Fonte: o autor. 
0 teorema acima pode ser estendido para fun 0 max local 
Fonte: o autor. 
Figura 4: f(x,y) = -x2 +y2 +y3 - !y4
Fonte: o autor. 
0 teorema acima pode ser estendido para fun 0 max local 
Fonte: o autor. 
Figura 4: f(x,y) = -x2 +y2 +y3 - !y4
Fonte: o autor. 
0 teorema acima pode ser estendido para fun fx(l,2)=14
fy = 6.xy =* fy(l,2) = 12.
v2 Duf(l,2) = Vf(l,2).u = (14, 12) · 2 (1, 1) = 13v2.
(b) Considere f(x,y,z) = xyz. Determine a derivada direcional def no ponto
P( 1, 1, 1) e na direde aumento? 
100 
Derivadas Direcionais
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115
A taxa maxima ocorre na direc;ao do gradiente de V: 
-160VV(x,y,z) = (l 2 2 2)2 (x,y,z).
+x +y +z 
No ponto P( 1, 1, 1), o vetor gradiente e:
VV(l, 1, 1) = -10(1, 1, 1).
De acordo com o teorema anterior, a velocidade aumenta mais rapidamente na 
direc;ao do vetor gradiente VV(l, 1, 1) = -10(1, 1, 1). 
A taxa maxima e dada pela norma do vetor gradiente: 
IIVV(l, 1, 1)11 = 11- 10(1, 1, 1)11 = 10v3, 
isto e, 10y3 metros por segundo. 
Plano Tangente a superficie de nivel: seja S a superficie de nfvel dada por 
F(x,y,z) = k, em que Fe uma func;ao diferenciavel. Seja C uma curva dada por 
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) sobre a superficie S e que passa pelo ponto P(xo,Yo,zo) =
r(to). Como a curva esta sobre S, segue que F(x(t),y(t),z(t)) = k. Usando a regra 
da cadeia, temos que: 
dF dx + dF dy + dF dz = O. dx dt dy dt dz dt (10) 
Como VF= (Fx,Fy,Fz) e r'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)), podemos escrever (10) do 
seguinte modo: 
VF-r'=O. 
Quando t = to, temos: 
VF(P) · r' (to)= 0. 
Assim, mostramos que o vetor gradiente VF(P) e ortogonal ao vetor r'(to), para 
qualquer curva C que passe pelo ponto Pe esta sobre a superficie de nfvel F (x, y, z) = 
k. 
101 
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E116
Se VF(P) #- 0, definimos o plano tangente a superficie de nfvel F(x,y,z) = k no 
ponto P(xo,Yo,zo) como sendo o plano que passa por P(xo,Yo,zo) e tern vetor 
normal VF(P). Da Geometria Analftica, sabemos que, com um ponto do plano e 
com um vetor normal a esse plano, podemos determinar a equade f.
Figura 6: 0 vetor gradiente e normal a curva de nfvel de f(x,y) = .x2 + y2 
Fonte: o autor. 
5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
Nesta sec;ao, estamos interessados em determinar os extremos da func;ao J(x,y)
quando os pontos (x,y) estao sobre a curva de nfvel g(x,y) = k. Nesse caso, 
104 
0
0
1
-1
1
2 3 4-4
-2
-3
-4
2
3
-1-2-3
c=1
c=4
c=9
ƒ(-x1, y1)Δ
ƒ(-x2, -y2)Δ
ƒ(x3, -y3)Δ
ƒ(x1, y1)Δ
:x2 2 2 
da furn;ao F(x,y,z) = 4 + Y9 + �5 . Entao, vamos determinar o gradiente de F:
X 
Fx(2, 3, 5) = 1 Fx(x,y,z) = 2 =} 
2y 2 
Fy(x,y,z) = 9 =} Fy(2, 3, 5) = 3 
2z 2 
Fz(x,y,z) =
25 =} Fz(2,3,5) = 5. 
Segue que VF(2,3,5) = (1,�,�). Portanto, a equaão
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121
• Exemplo 20
Determinar as dimens6es de uma caixa sem tampa para que tenha volume maxi­
mo, sendo que se pode usar apenas 12m2 de papelao. 
0 volume da caixa de dimens6es x, ye z e dado por f(x,y,z) = xyz, func;ao que 
deve ser maximada. A area de papelao empregada na confecc;ao da caixa e dada 
por g(x; y; z) = 2xz + 2yz + xy = 12, sem tampa, ea restric;ao. 
Segue que V f = Ag . E, assim, 
>)7 �-
xz 
xy 
A(x,y,z) 
A.(2 z + y) 
A.(2z+x) 
A.(2x+2y) 
2xz + 2yz+xy = 12. 
Multiplicando a primeira equac;ao por x, a segunda por ye a terceira por z, obtemos: 
xyz A.(2xz+xy ) 
xyz A.(2yz+xy) 
xyz A.(2xz+2yz). 
Note que, se A= 0, entao, o volume seria nulo e portanto, a area g seria nula, o 
que nao queremos. Logo, A# 0. Do mesmo modo, x # 0, y # 0 e z # 0. Como as 
tres equa)7 �-
xz 
xy 
A(x,y,z) 
A.(2 z + y) 
A.(2z+x) 
A.(2x+2y) 
2xz + 2yz+xy = 12. 
Multiplicando a primeira equac;ao por x, a segunda por ye a terceira por z, obtemos: 
xyz A.(2xz+xy ) 
xyz A.(2yz+xy) 
xyz A.(2xz+2yz). 
Note que, se A= 0, entao, o volume seria nulo e portanto, a area g seria nula, o 
que nao queremos. Logo, A# 0. Do mesmo modo, x # 0, y # 0 e z # 0. Como as 
tres equa3. ed. Sao
Paulo: Ed. Harbra, 1994.
[6] MARSDEN. J. G., TROMBA, A. J .. Vector Calculus. New York: W. H.
Freeman and Company, 1981.
[7] PROTTER, M. H.; MORREY, C. B. A fisrt course in Real Analysis.
New York: Springer, 1991.
[8] SIMMONS, G. F. Calculo com Geometria Analitica. V. 1. Sao Paulo:
Ed. MacGraw-Hill, 1987.
113 
[9] STEWART, James. Calculo. V. 1 e 2. 7. ed. Sao Paulo: Ed. Cengage
Leaming, 2013.
ATIVIDADES DE ESTUDOS 
1. Pela regra da cadeia, temos:
dw 
dt 
dwdx dwdy dwdz --+--+-­
dx dt dy dt dz dt 
(2x+zcos(xz))l + (2y+zeY)2t+ (eY +xcos(xz))3t2
2t + 3t3 cos(t4 ) + et2 
(3t3 + 4t3 ). 
2. Os pontos crftico de f(x,y) = 3x2 -6.xy+y3 -9y sao: A(-1, -1) e B(3, 3).
3. 
Pelo teste da derivada segunda A e ponto de sela e B e um de ponto de
minimo local.
x2- y2
Os pontos crfticos de f(x,y) =.xye_2_2 saoA(O,O),B(l,1), C(l,-1),
D( -1, 1) e E ( -1, -1). Pelo teste da derivada segunda, A e ponto de sela,
B e E sao pontos de maximo locais, C e D sao pontos de mfnimo locais E
sao pontos de minimo.
4. Pela tecnica de multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o seguinte
sistema de equac;oes nao lineares:
Vf(x,y) = )..Vg(x,y), 
em que g(x,y) = x2 + y2 - 1 e a restric;ao. Isto e, 
fx = 6.xy 
fy = 3x2
x2+y2 
114 
GABARITO
[9] STEWART, James. Calculo. V. 1 e 2. 7. ed. Sao Paulo: Ed. Cengage
Leaming, 2013.
ATIVIDADES DE ESTUDOS 
1. Pela regra da cadeia, temos:
dw 
dt 
dwdx dwdy dwdz --+--+-­
dx dt dy dt dz dt 
(2x+zcos(xz))l + (2y+zeY)2t+ (eY +xcos(xz))3t2
2t + 3t3 cos(t4 ) + et2 
(3t3 + 4t3 ). 
2. Os pontos crftico de f(x,y) = 3x2 -6.xy+y3 -9y sao: A(-1, -1) e B(3, 3).
3. 
Pelo teste da derivada segunda A e ponto de sela e B e um de ponto de
minimo local.
x2- y2
Os pontos crfticos de f(x,y) =.xye_2_2 saoA(O,O),B(l,1), C(l,-1),
D( -1, 1) e E ( -1, -1). Pelo teste da derivada segunda, A e ponto de sela,
B e E sao pontos de maximo locais, C e D sao pontos de mfnimo locais E
sao pontos de minimo.
4. Pela tecnica de multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o seguinte
sistema de equac;oes nao lineares:
Vf(x,y) = )..Vg(x,y), 
em que g(x,y) = x2 + y2 - 1 e a restric;ao. Isto e, 
fx = 6.xy 
fy = 3x2
x2+y2 
114 
GABARITO
129
GABARITO
Daqui, vemos que A tern que ser diferente de zero, caso contrario, o volume 
. 1 . 2'Ax2 211.y2 211.z2 . 1·sena nu o. Ass1m, -2- = -2- = -2- i mp 1ca que:
a b C 
Substituindo na restri' y = F> e z = F>. egue que o vo ume max1mo e V = F>. 
v3 v3 v3 3v3 
6. Basta calcular DuT(P) = VT(P) · u, onde u = ll�II
' obtemos DuT(P) = 1
graus Celsius por quilometro. 
A varia' y = F> e z = F>. egue que o vo ume max1mo e V = F>. 
v3 v3 v3 3v3 
6. Basta calcular DuT(P) = VT(P) · u, onde u = ll�II
' obtemos DuT(P) = 1
graus Celsius por quilometro. 
A variadi
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137
Figura 1: Sólido de base R e altura z = f (x,y).
Fonte: o autor.
Primeiramente, vamos subdividir os lados horizontais do retângulo R em m subin-
tervalos iguais, de comprimentos ∆x =
b−a
m
. Do mesmo modo, subdividimos os
lados verticais de R em n subintervalos iguais, de comprimentos ∆y =
d − c
n
. As
subdivisões são dadas pelos pontos
a = x0 0 dado, existe 
m,n, 2: Ne qualquer escolha de (xij,Yij) em Rij, tem-se:
Dizemos que a fun 0 dado, existe 
m,n, 2: Ne qualquer escolha de (xij,Yij) em Rij, tem-se:
Dizemos que a funDiferencial e Integral. 
Como vamos trabalhar no plano e no espaço, precisaremos de vetores e operações 
com vetores, tais como produto interno, produto vetorial, produto misto, norma de 
vetores, distância entre pontos, retas e planos. Faremos, aqui, uma breve revisão 
desses assuntos, mas você terá a oportunidade de pôr em prática o que estudou na 
disciplina de Geometria Analítica. 
Muitas curvas e superfícies que encontraremos nesta unidade já são conhecidas 
de cursos de Geometria Analítica e de Cálculo, tais como circunferência, elipse, 
parábola, esfera, cilindro, elipsoide e paraboloide. Uma revisão desse conteúdo o 
ajudará no reconhecimento e na visualização de regiões com as quais trabalhare­
mos. Há uma pequena revisão sobre cônicas e superfícies quádricas na Leitura 
Complementar. 
Vamos aprender a parametrizar curvas e a determinar o seu comprimento e sua cur­
vatura. Apresentaremos o sistema de coordenadas polares, cilíndricas e o sistema 
de coordenadas esféricas que são formas alternativas de representação de pontos 
do plano e do espaço. 
Como o nome diz, coordenadas polares são recomendadas para representar curvas 
circulares, coordenadas cilíndricas que são mais indicadas para representar 
objetos cilíndricos e as coordenadas esféricas, para representar objetos esféricos. 
Essas coordenadas serão muito úteis na resolução de integrais múltiplas. 
Vamos, então, dar início ao nosso plano de estudo. 
3 
INTRODUÇÃO
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E16
Teorema 2 (Desig. triangular). Se u1 v E IR.2
, ou IR.3 ou IR.n , então, vale a 
seguinte desigualdade: 
llu+vll S llull + llvll-
Você deve se lembrar que o produto interno entre dois vetores u = (x1 ,)'1 1 z1) e 
v = (x2 1 y2,z2) é também dado por: 
U • V = [ [ U [ [ [ [ V [ [ COS ( 8)' 
em que e é o ângulo entre os vetores u e v, medido em radianos, com O::; e ::; n. 
Dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se u · v = O. Note que os vetores da 
base canônica do IR.3 , i = (1,0,0),j = (O, 1,0) e k = (0,0, 1) são ortogonais entre 
si e todos de norma igual a 1. Além disso, o vetor nulo é ortogonal a todos os 
vetores. 
O produto vetorial entre u = (x1 SI ,Zl) e v = (x2,Y2, z2) é dado pelo determinante 
abaixo, observando as coordenadas i, j, k,
.l k
UXV= XI Yl Zl 
x2 Y2 z2 
Lembramos que o vetor resultante deu x v é um vetor ortogonal simultaneamente 
a u e v. 
Além disso, o produto vetorial entre u = (x1,Y1 ,z1) e v = (x2,Y2, z2) tem seu 
comprimento dado por: 
l[u x v[I = l[u[l l[v[I sen (8), 
em que 0 é o ângulo entre os vetores u e v é medido em radianos, com O ::; 0 ::; n. 
Se u e v são vetores não nulos e não paralelos, [lu x v[[ é a área de qualquer 
paralelogramo determinado por esses vetores. 
5 
1 V ETORES E CURVAS PARAMETRIZADAS 
A noção de vetor é uma ferramenta útil no estudo do cálculo diferencial e integral 
de funções de várias variáveis. Um vetor é um elemento de um espaço vetorial, 
aqui, os espaços vetoriais mais usados serão JR.2 e JR.3 .
Os vetores do JR.2 são representados por v = (x,y) e os vetores do JR.3 são repre­
sentados por v = (x,y,z). O produto interno ou produto escalar entre os vetores 
u = (x1,Y1,z1) e v = (x2,Y2,z2) é definido por: 
u · v = x1x2 + Y1Y2 + z1z2. 
O comprimento ou norma de um vetor v = (x,y,z) é definido por: 
Definição análoga para vetores do plano JR.2 , o comprimento ou norma de um vetor 
v = (x,y) é definido por: 
Teorema 1 (Cauchy-Schwartz). Se x, y E JR.2 , JR.3 são vetores, então: 
lx·yl � llxll · IIYII-
A demonstração é bem instrutiva e vamos apresentá-la. Seja t E JR., então: 
Logo, a equação quadrática tem no máximo uma raiz real e, portanto, 
de onde obtemos a desigualdade desejada. 
A seguinte desigualdade, conhecida como desigualdade triangular, será utilizada 
muitas vezes nesse texto. 
4 
VETORES E CURVAS PARAMETRIZADAS
Vetores e Curvas Parametrizadas
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17
Teorema 2 (Desig. triangular). Se u1 v E IR.2
, ou IR.3 ou IR.n , então, vale a 
seguinte desigualdade: 
llu+vll S llull + llvll-
Você deve se lembrar que o produto interno entre dois vetores u = (x1 ,)'1 1 z1) e 
v = (x2 1 y2,z2) é também dado por: 
U • V = [ [ U [ [ [ [ V [ [ COS ( 8)' 
em que e é o ângulo entre os vetores u e v, medido em radianos, com O::; e ::; n. 
Dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se u · v = O. Note que os vetores da 
base canônica do IR.3 , i = (1,0,0),j = (O, 1,0) e k = (0,0, 1) são ortogonais entre 
si e todos de norma igual a 1. Além disso, o vetor nulo é ortogonal a todos os 
vetores. 
O produto vetorial entre u = (x1 SI ,Zl) e v = (x2,Y2, z2) é dado pelo determinante 
abaixo, observando as coordenadas i, j, k,
.l k
UXV= XI Yl Zl 
x2 Y2 z2 
Lembramos que o vetor resultante deu x v é um vetor ortogonal simultaneamente 
a u e v. 
Além disso, o produto vetorial entre u = (x1,Y1 ,z1) e v = (x2,Y2, z2) tem seu 
comprimento dado por: 
l[u x v[I = l[u[l l[v[I sen (8), 
em que 0 é o ângulo entre os vetores u e v é medido em radianos, com O ::; 0 ::; n. 
Se u e v são vetores não nulos e não paralelos, [lu x v[[ é a área de qualquer 
paralelogramo determinado por esses vetores. 
5 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E18
1.1 CURVAS PARAMETRIZADAS 
Suponha que urna partícula, representada por urn ponto, movimenta-se no espaço. 
Suas coordenadas x, y e z variam corn o tempo t. Os matemáticos pensam no 
movimento como uma função r que a cada instante t de um intervalo I e lR associa 
uma terna (x(t), y(t); z(t)) E JR.3.
Note que a função r(t) é também pensada como um vetor, e podemos representá-la 
por: 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
ou simplesmente por: 
r(t) = (x(t),y(t);z(t)). 
As funções do tipo r são chamadas de funções vetoriais de variável real. As 
funções x(t), y( t) e z(t) são chamadas de funções componentes. 
A extensão da noção de funções vetoriais de variável real para o espaço JR.n é 
imediata. 
Definimos o limite da função r quando t tende a to, t -+ to, tomando simplesmente 
o limite das funções componentes:
limr(t) = lirnx(t)i+ limy(t)J+ limz(t)k. 
t----J,to t----J,to t----J,to t----J,to 
Ou equivalentemente: 
limr(t) = (limx(t). limy(t). limz(t)). 
/�to f----J,lo f�to f----J,to 
Isso nos permite definir continuidade de r em to. Dizemos que r é contínua em 
to se existe r(to) e se: 
lim r(t) = r(to). 
f----J,to 
É claro que dizer que r é contínua em to equivale dizer que as funções compo­
nentes são contínuas ern to. 
7 
uxv
h
u
v
0
Figura 1: Area do paralelogramo determinado por esses vetores 
.... .,,..,.
/ 
_,,..-.,,,.-·-
/ 
Fonte: o autor. 
Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w, nao nulos e nao paralelos a um 
mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w e dado por: 
V=lw·(uxv)I. 
Figura 2: volume do paralelepf pedo 
\:·-
..... ... .. ,� 
� .�\�· 
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V 
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Fonte: o autor. 
6 
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Figura 1: Area do paralelogramo determinado por esses vetores 
.... .,,..,.
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Fonte: o autor. 
Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w, nao nulos e nao paralelos a um 
mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w e dado por: 
V=lw·(uxv)I. 
Figura 2: volume do paralelepf pedo 
\:·-
..... ... .. ,� 
� .�\�· 
/' 
V 
-·\
Fonte: o autor. 
6 
. . 
uxv
h
w
v
u
0
Figura 1: Area do paralelogramo determinado por esses vetores 
.... .,,..,.
/ 
_,,..-.,,,.-·-
/R e seja c E JR. Entiio, valem as seguinte propriedades: 
(a) fl[J(x,y)+g(x,y)]dA= fl!(x,y)dA+ flg(x,y)dA.
(b ) fl cf(x,y)cdA= c fl J(x,y) dA.
( c) S e J(x,y) � g(x,y), entiio, fl J(x,y)cdA � fl g(x,y) dA.
A defini 0 dado, existe 
m,n, 2: Ne qualquer escolha de (xij,Yij) em Rij, tem-se:
Dizemos que a fun 0 dado, existe 
m,n, 2: Ne qualquer escolha de (xij,Yij) em Rij, tem-se:
Dizemos que a fun(7) 
• Exemplo 1:
126 (a) Calcule a integral dupla
R = 
fl ( 3 y -2x2 ) dy dx em que:
{(x,y); -1 '.S x '.S 2; 1 '.Sy '.S 3}.
Vamos usar o Teorema de Fubini para passar de integral dupla para integral 
iterada: 
fl (3y-2x2 ) dydx = 1_: /3 
(3y-2x2 ) dydx 
= J_� [3 l y dy-2x' l dyl dx= t [ �y2-2x2 {] dx
12 
[
27 3 
] 
12 
= ----(2x2 -3-2x2) dx= [12-4x2]dx.
-1 2 2 -1 
Agora, continuamos como sabemos do Calculo I: 
f{(3y-2x2 )dydx=1
2 
[12-4x2] dx= l2x-�x3
1
2 
=24.
jjR -1 3 -1 
(b) Calcular fl sen (x) cos(y)dA, onde R = [O, n/2] x [O, n/2].
fl sen (x)cos(y)dA = t [t sen (x)cos(y)dx] dy
= la� cos(y) (-cos(x)) I! dy = la� cos(y) ( -cos (i) + cos O) dy 
rr rr 
= fo 2 
cos(y) · 1 dy = sen (y) I� = 1 .
1.3 Integrais Duplas sobre regioes gerais 
Considere, agora, que queiramos integrar f sobre a regiao geral D, porem limitada
e fechada. 
127 
(a) Calcule a integral dupla
R = 
fl ( 3 y -2x2 ) dy dx em que:
{(x,y); -1 '.S x '.S 2; 1 '.Sy '.S 3}.
Vamos usar o Teorema de Fubini para passar de integral dupla para integral 
iterada: 
fl (3y-2x2 ) dydx = 1_: /3 
(3y-2x2 ) dydx 
= J_� [3 l y dy-2x' l dyl dx= t [ �y2-2x2 {] dx
12 
[
27 3 
] 
12 
= ----(2x2 -3-2x2) dx= [12-4x2]dx.
-1 2 2 -1 
Agora, continuamos como sabemos do Calculo I: 
f{(3y-2x2 )dydx=1
2 
[12-4x2] dx= l2x-�x3
1
2 
=24.
jjR -1 3 -1 
(b) Calcular fl sen (x) cos(y)dA, onde R = [O, n/2] x [O, n/2].
fl sen (x)cos(y)dA = t [t sen (x)cos(y)dx] dy
= la� cos(y) (-cos(x)) I! dy = la� cos(y) ( -cos (i) + cos O) dy 
rr rr 
= fo 2 
cos(y) · 1 dy = sen (y) I� = 1 .
1.3 Integrais Duplas sobre regioes gerais 
Considere, agora, que queiramos integrar f sobre a regiao geral D, porem limitada
e fechada. 
127 
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143
1b 
A(x) dx = 1b 1d 
f(x,y) dydx. Veja que o volume do s6lido e dado por: 
Analogamente, a integral iterada: 
t t f(x,y)dxdy = t [t f(x,y)dx] dy
significa que, primeiro, integramos em rela130 
a b
g1(x)
g2(x)
y
D
x
0
D
c
d
h1(y) h2(y)
y
x
0
D
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147
Figura 9: Exemplo de regiao do tipo I 
y. 
I 
' 
:y1(.x)' 
I X 
0 a b 
Fonte: o autor. 
Note que regi5es de tipo I estao inscritas em faixas verticais. 
Regiao do tipo II: dizemos que uma regiao De do tipo II se for a regiao pode 
ser expressa da seguinte forma: D = {(x.y): c::; y::; d;h 1 (y)::; x::; h2(y)}, com 
furn;oes h 1 1 h2 : [c, d] --+ IR contfnuas. 
Figura 10: Regiiio do tipo II 
y 
:h"f3(y: 
--+--- - -----, 
Fonte: o autor. 
Note que regi5es de tipo II estiio inscritas em faixas horizontais. 
No que se segue, D representara um regiao do IR2 que e uniao de um mimero finito 
de regioes, cada uma delas, do tipo I ou do tipo TI e que, alem disso, quaisquer 
duas regioes distintas, quando se intercectam, o fazem apenas em suas fronteiras. 
Essa restric;:ao evitara situac;:oes de regi5es patol6gicas. 
A integral dupla tern as mesmas propriedades da integral simples. 
130 
Proposi�ao 2. Suponha que f e g sejam integraveis sabre a regiiio D ( uniiio finita 
de regioes do tipo I ou do tipo II) e c E R Valem as seguintes propriedades: 
(a) 1l c f(x,y)dA = c 1lf(x,y)dA. 
(b) 1l[f(x,y)±g(x,y)]dA= 1lf(x,y)dA± 1lg(x,y)dA.
( c) Se D = D1 U D2, em que D1 e D2 niio se sobrepi5em exceto, talvez, em suas 
fronteiras, entiio, 
Figura 11: Exemplo de regiao D = D1 U D2 
Fonte: o autor. 
(d) Se m � f(x,y) � M, para todo (x,y) ED, entiio,
m · A(D) � 1l f(x,y) dA � M · A(D),
em que A(D) ea area da regiiio D. 
0 teorema de Fubini e ainda valido para regi5es gerais D. A integral dupla de uma
func;ao f definida e continua sobre a regiao D do tipo I e dada por:
rr f(x,y) dxdy = 1
b [1g2 (x) 
f(x,y) dyl dx. }} D a g1(x) 
(10) 
Analogamente, a integral dupla de uma func;ao f definida e continua sobre a regiao
D do tipo II e dada por:
{{ f(x,y) dA = i
d 
{
h2(y) 
f(x,y) dxdy . 
}JD c lh1 (Y) 
Resumimos essas informac;oes no seguinte teorema de Fubini. 
131 
(11)
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IVU N I D A D E148
Teorema 3 (Fubini). Seja f definida e continua sabre a regiiio D do tipo I: 
D = { (x,y) : a :S x :S b;g1 (x) :Sy :S g2(x)}. 
Entiio, vale a igualdade: 
{{ f(x,y)dxdy=l
b [1g2 (x) 
f(x,y)dyl dx.}} D a g1 (x)
Seja f definida e continua sabre a regiiio D do tipo II: 
Entiio, vale a igualdade: 
{{ J(x,y) dA = 1d 1h2
(y) f(x,y) dxdy.
}JD c h1(Y) 
Notemos que a integral Jl 1 dA, quando tomamos f(x,y) 1, o volume deter-
minado tern o mesmo valor numerico que a area de D, isto e,
A(D) = fl 1 dA.
Para facilitar a determinac;ao dos limites de integrac;ao e usual inserir dentro da 
regiao D um retangulo modelo. Se o retangulo estiver em posic;ao vertical, a
regiao e do tipo I. Se o retangulo estiver em posic;ao horizontal, a regiao e do tipo 
II. Por isso, regiao do tipo I e tambem chamada de regiao simples vertical; regiao
do tipo II e chamada de regiao simples horizontal. 
Figura 12: Regiao simples: vertical e horizontal 
y 
Fonte: o autor. 
132 
Proposi�ao 2. Suponha que f e g sejam integraveis sabre a regiiio D ( uniiio finita 
de regioes do tipo I ou do tipo II) e c E R Valem as seguintes propriedades: 
(a) 1l c f(x,y)dA = c 1lf(x,y)dA. 
(b) 1l[f(x,y)±g(x,y)]dA= 1lf(x,y)dA± 1lg(x,y)dA.
( c) Se D = D1 U D2, em que D1 e D2 niio se sobrepi5em exceto, talvez, em suas 
fronteiras, entiio, 
Figura 11: Exemplo de regiao D = D1 U D2 
Fonte: o autor. 
(d) Se m � f(x,y) � M, para todo (x,y) ED, entiio,
m · A(D) � 1l f(x,y) dA � M · A(D),
em que A(D) ea area da regiiio D. 
0 teorema de Fubini e ainda valido para regi5es gerais D. A integral dupla de uma
func;ao f definida e continua sobre a regiao D do tipo I e dada por:
rr f(x,y) dxdy = 1
b [1g2 (x) 
f(x,y) dyl dx. }} D a g1(x) 
(10) 
Analogamente, a integral dupla de uma func;ao f definida e continua sobre a regiao
D do tipo II e dada por:
{{ f(x,y) dA = i
d 
{
h2(y) 
f(x,y) dxdy . 
}JD c lh1 (Y) 
Resumimos essas informac;oes no seguinte teorema de Fubini. 
131 
(11)
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.
149
• Exemplo 2
(a) Esb0A primeira quando z = 0 em x + y + z = 2
nos fornece a regiao D: 0 � x � 2 e O � y � 2-x. Na segunda, o tetraedro
limitado pelo plano x + y + z = 2 e pelos planos coordenados x = 0, y = 0 e
z = 0. Assim, a altura variavel do tetraedro e z = 2 -x -y, depende de cada
ponto (x,y,O) da regiaoD.
Figura 16: Ilustrafunc;ao. Nesses casos, uma mudanc;a de variaveis pode simplificar a expressao da 
func;ao e da regiao de integrac;ao. 0 objetivo da mudanc;a de variaveis na integral 
dupla e facilitar o calculo da integral ffn f(x,y) dA quando o integrando f ou a
regiao D sao tais que a integral nao e simples. 
No Calculo de uma variavel, voce viu que, usando o metodo da substituic;ao de 
variaveis, podemos simplificar o calculo de integrais: sex= g(u) ex varia de a 
ate b, u cresce (ou decresce) de c ate d, entao, 
1b 
f(x)dx= 1d 
f(g(u))g'(u)du. 
No caso da integral dupla, passamos de uma integral dupla ffn f(x,y) dydx em
que D e uma regiao do piano xy para outra integral dupla ffn. F ( u, v) du dv, em
que D* e uma regiao do piano uv. 
Vejamos como fazemos isso. Sejam x e y func;oes definidas por: 
x=x(u,v) e y=y(u,v), 
em que x eye suas primeiras derivadas parciais sao func;oes contfnuas de u e v. 
Essas equac;oes devem definir uma aplicac;ao bijetora T que associa a cada ponto 
(u, v) ED* do piano uv a um ponto (x,y) ED do piano xy. Isto e, T(D*) = D, com 
inversa continua, como mostra a figura a seguir: 
141 
1.5 Mudam;a de variaveis em integral dupla 
Em muitos casos, assim como no caso da integral simples, o calculo da integral 
dupla pode ser dificil, ou pela complexidade da regiao ou pela complexidade da 
func;ao. Nesses casos, uma mudanc;a de variaveis pode simplificar a expressao da 
func;ao e da regiao de integrac;ao. 0 objetivo da mudanc;a de variaveis na integral 
dupla e facilitar o calculo da integral ffn f(x,y) dA quando o integrando f ou a
regiao D sao tais que a integral nao e simples. 
No Calculo de uma variavel, voce viu que, usando o metodo da substituic;ao de 
variaveis, podemos simplificar o calculo de integrais: sex= g(u) ex varia de a 
ate b, u cresce (ou decresce) de c ate d, entao, 
1b 
f(x)dx= 1d 
f(g(u))g'(u)du. 
No caso da integral dupla, passamos de uma integral dupla ffn f(x,y) dydx em
que D e uma regiao do piano xy para outra integral dupla ffn. F ( u, v) du dv, em
que D* e uma regiao do piano uv. 
Vejamos como fazemos isso. Sejam x e y func;oes definidas por: 
x=x(u,v) e y=y(u,v), 
em que x eye suas primeiras derivadas parciais sao func;oes contfnuas de u e v. 
Essas equac;oes devem definir uma aplicac;ao bijetora T que associa a cada ponto 
(u, v) ED* do piano uv a um ponto (x,y) ED do piano xy. Isto e, T(D*) = D, com 
inversa continua, como mostra a figura a seguir: 
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INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IVU N I D A D E158
Figura 22: T associa cada ponto do plano uv a um ponto (x,y) do plano xy 
V y 
_ ,.. . ------ ·-- ... 
:i:-:i:(u,v) 
y=y(u,v) 
u 
0 
Fonte: o autor. 
Para essa aplicac;ao T, chamada de mudanc;a de variaveis, definimos o J acobiano 
da transformac;ao T como sendo o seguinte determinante: 
ih 
fr(u,v) = : 
ih 
dV 
oy 
= XuYv -XvYu• 
dV 
(12) 
Outra notac;ao bastante usual para o Jacobiano e que usaremos aqui tambem e: 
o(x,y)h(u, v) = o(u, v).
Se o J acobiano, fr ( u, v), e diferente de zero sobre a regiao D* e se F for integravel 
em T(D*) = D, entao, a mudanc;a de variaveis na integral dupla e dada por:
fl F(x,y)dxdy = fl. F(x(u, v),y(u, v)) I:�:::� I dudv.
Aqui, I:�:::� I e o modulo do Jacobiano.
Esse e o teorema de mudanc;a de variaveis. 
Teorema 5 (Mudan�a de variaveis em integral dupla). Sejam D uma regiiio do 
piano xy e F: D--+ � continua. Sejam D* a regiiio do piano uv, T : D* --+ D 
bijetora, tendo componentes x = x( u, v) e y = y( u, v) contfnuas e com derivadas
142 
0
υ
D*
D
T
u
(x, y)x-x(u, υ)
(u, υ) y=y(u, υ)
0
y
x
T-1
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Figura 22: T associa cada ponto do plano uv a um ponto (x,y) do plano xy 
V y 
_ ,.. . ------ ·-- ... 
:i:-:i:(u,v) 
y=y(u,v) 
u 
0 
Fonte: o autor. 
Para essa aplicac;ao T, chamada de mudanc;a de variaveis, definimos o J acobiano 
da transformac;ao T como sendo o seguinte determinante: 
ih 
fr(u,v) = : 
ih 
dV 
oy 
= XuYv -XvYu• 
dV 
(12) 
Outra notac;ao bastante usual para o Jacobiano e que usaremos aqui tambem e: 
o(x,y)h(u, v) = o(u, v).
Se o J acobiano, fr ( u, v), e diferente de zero sobre a regiao D* e se F for integravel 
em T(D*) = D, entao, a mudanc;a de variaveis na integral dupla e dada por:
fl F(x,y)dxdy = fl. F(x(u, v),y(u, v)) I:�:::� I dudv.
Aqui, I:�:::� I e o modulo do Jacobiano.
Esse e o teorema de mudanc;a de variaveis. 
Teorema 5 (Mudan�a de variaveis em integral dupla). Sejam D uma regiiio do 
piano xy e F: D--+ � continua. Sejam D* a regiiio do piano uv, T : D* --+ D 
bijetora, tendo componentes x = x( u, v) e y = y( u, v) contfnuas e com derivadas
142 
de primeira ordem contfnuas em um aberto contendo D*. Se o Jabobiano de T, 
��:'.�j e diferente de zero na regiiio D*, entiio,
fl F(x,y)dxdy = fl. F( x (u, v),y(u, v)) I �i:::� I dudv. (13) 
• Exemplo 4 Calcule fl 1n(.x2 + y2) dxdy em que De a regiiio do primeiro qua­
drante situada entre as circunferencias .x2 + y2 = 1 e .x2 + y2 = 4. 
A furn;;ao integranda e continua em todo ponto (x,y) =/=- (0, 0) do plano, a regiao de 
integra 0. Portanto, substituindo o valor do
modulo do determinante jacobiano em (11), resulta que a integral dupla com a
mudanc;a de variaveis para coordenadas polares e:
n 2 n 2 Jl 1n(x2 + y2 ) dxdy = fo 2 J ln(r2 ) · rdrd8 = 2 fo 2 J ln(r) · rdrd8. 
Para resolver a integral mais interior, j2
1n(r) · rdr, usaremos a integrac;ao por
r2 
partes com u = ln(r) e dv = rdr. Isso nos da que du= f: dr, v = 2. Dessa forma,
obtemos:
f
2 
ln(r) · rdr = 2 ln(2) - �.
11 4 
Retornando para integral dupla, obtemos:
Jl 1n('2 +y')dxdy = 2 lo� J\n r · rdrd0 = 2 lo� [ 2 ln 2- �] d0 
#SAIBA MAIS#
= ( 4 In 2 - D t de = ( 4 In 2 - D e I! 
1t 3 1t 
=- ·4ln2--7t=-(8ln2-3).
2 4 4 
Sempre que houver a expressao x2 + y2 na integral dupla, e grande a possibilidade
de usarmos coordenadas polares com exito.
Fonte: o autor. #SAIBA MAIS#
• Exemplo 5
144
de primeira ordem contfnuas em um aberto contendo D*. Se o Jabobiano de T, 
��:'.�j e diferente de zero na regiiio D*, entiio,
fl F(x,y)dxdy = fl. F( x(u, v),y(u, v)) I �i:::� I dudv. (13) 
• Exemplo 4 Calcule fl 1n(.x2 + y2) dxdy em que De a regiiio do primeiro qua­
drante situada entre as circunferencias .x2 + y2 = 1 e .x2 + y2 = 4. 
A furn;;ao integranda e continua em todo ponto (x,y) =/=- (0, 0) do plano, a regiao de 
integra 0. Portanto, substituindo o valor do
modulo do determinante jacobiano em (11), resulta que a integral dupla com a
mudanc;a de variaveis para coordenadas polares e:
n 2 n 2 Jl 1n(x2 + y2 ) dxdy = fo 2 J ln(r2 ) · rdrd8 = 2 fo 2 J ln(r) · rdrd8. 
Para resolver a integral mais interior, j2
1n(r) · rdr, usaremos a integrac;ao por
r2 
partes com u = ln(r) e dv = rdr. Isso nos da que du= f: dr, v = 2. Dessa forma,
obtemos:
f
2 
ln(r) · rdr = 2 ln(2) - �.
11 4 
Retornando para integral dupla, obtemos:
Jl 1n('2 +y')dxdy = 2 lo� J\n r · rdrd0 = 2 lo� [ 2 ln 2- �] d0 
#SAIBA MAIS#
= ( 4 In 2 - D t de = ( 4 In 2 - D e I! 
1t 3 1t 
=- ·4ln2--7t=-(8ln2-3).
2 4 4 
Sempre que houver a expressao x2 + y2 na integral dupla, e grande a possibilidade
de usarmos coordenadas polares com exito.
Fonte: o autor. #SAIBA MAIS#
• Exemplo 5
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nuas. Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformac;ao:
ox ox cos8 -r sen 8
h(r,8) = cir d0 = 
oy oy sen 8 rcos8dr d0
= r · ( cos2 8 + sen 28) = r =I= 0 . 
Assim, I��;:;� I = lrl = r, uma vez que r > 0. Portanto, substituindo o valor do
modulo do determinante jacobiano em (11), resulta que a integral dupla com a
mudanc;a de variaveis para coordenadas polares e:
n 2 n 2 Jl 1n(x2 + y2 ) dxdy = fo 2 J ln(r2 ) · rdrd8 = 2 fo 2 J ln(r) · rdrd8. 
Para resolver a integral mais interior, j2
1n(r) · rdr, usaremos a integrac;ao por
r2 
partes com u = ln(r) e dv = rdr. Isso nos da que du= f: dr, v = 2. Dessa forma,
obtemos:
f
2 
ln(r) · rdr = 2 ln(2) - �.
11 4 
Retornando para integral dupla, obtemos:
Jl 1n('2 +y')dxdy = 2 lo� J\n r · rdrd0 = 2 lo� [ 2 ln 2- �] d0 
#SAIBA MAIS#
= ( 4 In 2 - D t de = ( 4 In 2 - D e I! 
1t 3 1t 
=- ·4ln2--7t=-(8ln2-3).
2 4 4 
Sempre que houver a expressao x2 + y2 na integral dupla, e grande a possibilidade
de usarmos coordenadas polares com exito.
Fonte: o autor. #SAIBA MAIS#
• Exemplo 5
144
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Reprodução proibida. A
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IVU N I D A D E162
Figura 25: S61ido e regiao D a ser integrada 
Fonte: o autor. 
Fazendo uso de coordenadas polares e lembrando que o Jacobiano da trans­
formac;ao e dado por r: 
Justificativa: no teorema de mudanc;a de variaveis, vimos que o Jacobiano aparece 
na f 6rmula. Vamos ver o porque dele aparecer e como af eta a integral dupla. 
Iniciamos com um retangulo S no piano uv cujo vertice inferior esquerdo e o ponto 
(uo, vo) e dimensoes sao �u e �v. A transformac;ao X(u, v) = (x(u, v),y(u, v)) 
leva esse retangulo em um retangulo R, sendo um dos vertices o ponto (xo,Yo) =
X(uo, vo). 
0 vetoresXu(uo, vo) = (xu(uo, vo),Yu(uo, vo)) eXv(uo, vo) = (xv(uo, vo),Yv(uo, vo)) 
sao tangentes a S no ponto (xo,Yo). 
146 
Figura 25: S61ido e regiao D a ser integrada 
Fonte: o autor. 
Fazendo uso de coordenadas polares e lembrando que o Jacobiano da trans­
formac;ao e dado por r: 
Justificativa: no teorema de mudanc;a de variaveis, vimos que o Jacobiano aparece 
na f 6rmula. Vamos ver o porque dele aparecer e como af eta a integral dupla. 
Iniciamos com um retangulo S no piano uv cujo vertice inferior esquerdo e o ponto 
(uo, vo) e dimensoes sao �u e �v. A transformac;ao X(u, v) = (x(u, v),y(u, v)) 
leva esse retangulo em um retangulo R, sendo um dos vertices o ponto (xo,Yo) =
X(uo, vo). 
0 vetoresXu(uo, vo) = (xu(uo, vo),Yu(uo, vo)) eXv(uo, vo) = (xv(uo, vo),Yv(uo, vo)) 
sao tangentes a S no ponto (xo,Yo). 
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Figura 26: Elemento de area na mudarn;;a de variaveis 
X(u,.v,,Hv)
Av r 
Fonte: o autor. 
Podemos aproximar a area de S por um paralelogramo determimando pelos ve-
tores: 
a= X(uo + Au, vo) - X(uo, vo) � AuTu 
b = X(uo, vo + Av) - X(uo, vo) � AvTv 
Assim, podemos aproximar a area de R por: 
A(R) = Ila X bll = IIXu X Xvii = AuAvllXu X Xvii 
Porem, calculando o produto vetorial Xu x Xv, 
Xu(uo, vo) x Xv(uo, vo) = 
j k 
Xu Yu 0
Xv Yv 0
ax ax a(x,y) dU dv 
ay ay a( u, v) 
dU dv 
Logo, 
la(x,y)I A(R) �AuAvllXu xXvll � 
a(u,v) 
AuAv 
147 
0
υ
Δυ S T
Δu(u0, υ0)
υ=υ0
u=u0
u 0
y
R
X(u, υ0)
X(u0, υ0)
a
b
R
X(u0, υ0+Δυ)
ΔυXv
r(u0+Δu, υ0)
X(u0, υ)
x
(x0, y0)
v
Δu uX
X(u0, υ0)
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IVU N I D A D E164
Assim, na soma dupla de Riemann, quando fazemos a mudarn;a de variaveis, cada 
elemento de area Me transformado em I ��:'.�j I �u�v.
Uma consequencia da regra da cadeia, que facilita o calculo do Jacobiano, e dada 
pelo seguinte teorema que estabelece a relac;ao entre os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j.
Teorema 6. Os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j satisfazem a seguinte rela(;iio:
• Exemplo 6
a(x,y) . a(u, v) = 1. 
a(u, v) a(x,y) 
(a) Determine a area da regiao delimitada pelas curvas .xy = 1, .xy = 3, x2 -y2 = 1 
ex2 -y2 = 4.
Primeiramente, fazemos um esboc;o da regiao:
Figura 27: Regiao D a ser integrada 
xy=3 
. .. 
Fonte: o autor. 
Fac;amos a seguinte mudanc;a de variaveis u = .xy e v = x2 - y2 . Segue que 
1 :s; u :s; 3 e 1 :s; v :s; 4. 0 Jacobiano da transformac;ao, ��:'.�j, nao pode ser
imediatamente calculado, pois x e y devem ser func;oes explfcitas de u e v, a 
148 
Assim, na soma dupla de Riemann, quando fazemos a mudarn;a de variaveis, cada 
elemento de area Me transformado em I ��:'.�j I �u�v.
Uma consequencia da regra da cadeia, que facilita o calculo do Jacobiano, e dada 
pelo seguinte teorema que estabelece a relac;ao entre os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j.
Teorema 6. Os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j satisfazem a seguinte rela(;iio:
• Exemplo 6
a(x,y) . a(u, v) = 1. 
a(u, v) a(x,y) 
(a) Determine a area da regiao delimitada pelas curvas .xy = 1, .xy = 3, x2 -y2 = 1 
ex2 -y2 = 4.
Primeiramente, fazemos um esboc;o da regiao:
Figura 27: Regiao D a ser integrada 
xy=3 
. .. 
Fonte: o autor. 
Fac;amos a seguinte mudanc;a de variaveis u = .xy e v = x2 - y2 . Segue que 
1 :s; u :s; 3 e 1 :s; v :s; 4. 0 Jacobiano da transformac;ao, ��:'.�j, nao pode ser
imediatamente calculado, pois x e y devem ser func;oes explfcitas de u e v, a 
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xy=3
xy=1
15
1
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x2-y2=4x2-y2=1
2
Figura 27: Região D a ser integrada
Assim, na soma dupla de Riemann, quando fazemos a mudarn;a de variaveis, cada 
elemento de area Me transformado em I ��:'.�j I �u�v.
Uma consequencia da regra da cadeia, que facilita o calculo do Jacobiano, e dada 
pelo seguinte teorema que estabelece a relac;ao entre os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j.
Teorema 6. Os Jacobianos ��:'.�j e ���'.�j satisfazem a seguinte rela(;iio:
• Exemplo 6
a(x,y) . a(u, v) = 1. 
a(u, v) a(x,y) 
(a) Determine a area da regiao delimitada pelas curvas .xy = 1, .xy = 3, x2 -y2 = 1ex2 -y2 = 4.
Primeiramente, fazemos um esboc;o da regiao:
Figura 27: Regiao D a ser integrada 
xy=3 
. .. 
Fonte: o autor. 
Fac;amos a seguinte mudanc;a de variaveis u = .xy e v = x2 - y2 . Segue que 
1 :s; u :s; 3 e 1 :s; v :s; 4. 0 Jacobiano da transformac;ao, ��:'.�j, nao pode ser
imediatamente calculado, pois x e y devem ser func;oes explfcitas de u e v, a 
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menos que expressemos x e y dessa forma. No en tan to, 
Segue que: 
Assim, 
d(u,v) 
d(x,y) 
d(x,y) 1 
d(u, v) - o(u,v).
d(x,y) 
y X = 2y = 2v. 
-y 1 X 
X X 
d(x,y) 1 
d(u, v) 2v· 
Nao esquecendo de incluir o modulo do Jacobiano, temos: 
A = ff ldA = {
4 
{
3 
__!__dv du.
jjD 11 11 2v 
0 calculo dessa integral dupla e imediato e vale � ln ( 3). 
(b) Calcule {{ 
x - y 
dA em que R e a regiao compreendida pelas retas x - y = 
j}R x+y 
O,x-y= 1,x+y= 1 ex+y=3.
Pela definiNx(qo) -/- 0. 0 plano tan­
gente a M em um ponto Poe o plano que passa por Poe tern Na(qo) como vetor 
normal. 0 plano tangente de uma superficie S no ponto p E S e denotado por 
• Exemplo 7
. 0 grafico def e uma superficie (a) Seja f: D c JR2----+ JR uma fun 0. 
Vamos resumir: 
Coordenadas Retangulares: podemos olhar o grafico de z = f(x,y), no qual f e 
uma furn;ao C1 definida sobre um domfnio D, como uma superficie parametrizada 
com para.metros x e y. Basta tomar: 
Coordenadas Polares: do mesmo modo, podemos olhar uma superficie dada 
em coordenadas cilindricas como z = g(r1 8), como uma superffcie parametrizada . 
Basta definir: 
x=rcos(8), y=rsen(8)1 z=g(r,8).
Coordenadas Esfericas:Tambem podemos olhar uma superff cie dada em coor­
dendas esfericas p = h( , 8) como uma superffcie parametrizada com parametros 
 e 8. Basta definir: 
x= h(,8) sen ()cos(8), 
y = h(,8) sen () sen (8), 
z = h ( 1 8) cos (). 
153 
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Segue que E = l,F = O,G= 1. 
Parametriza�ao do Cilindro: o cilindro x2 + y2 = 1 e pararnetrizado por: 
X(u; v) = ( cosu, sen u, v ) 
em que (u, v) E [0,21t] x R Segue queXu = (- senu;cosu,O) eXv = (0,0, I) 
e ass1m: 
E = Xu · Xu= II(- sen u1 cosu, 0) 112 = 1, 
G = X1. ·Xv= 11(0;0, 1 )f = 1, 
F =Xu ·Xv= 0. 
Segue que E = l,F = O,G= 1. 
Parametriza�ao da Helicoide: a helic6ide e "urna escada em espiral ", tern a 
seguinte parametriza�ao: 
X(u; v) = (vcosu; v sen u, au) 
em que (u; v) E [O; 21t] x R Segue que: 
Xu= (-vsen u, vcosu, a) e Xv= ( cosu; sen u, 0) e, assim, 
E = Xu ·Xu= II (-vsen u, vcosu,a) 112 = v2 + a2 ,
G = Xv ·Xv= II (cosu; senu,O) 112 = 1,
F =Xu ·Xv= O. 
Segue que E = v2 +a2 ,F = O;G= I. 
(b) Seja f: D --+ JR uma fun�ao de classe C1
. 0 grafico de f e uma superficie M.
Ja vimos que:
X: D --+ JR.3 
(u;v) r-+ (u;v,J(u;v)) 
155 
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IVU N I D A D E172
e uma parametrizac;ao para M. Alem disso, e facil calcular:
Xu = (1,0,Ju) eXv = (0, l,Jv). 
Assim, 
E = Xu · Xu = 1 + //;,
G =Xv · Xv = 1 + /;, 
F = Xu ·Xv = fufv· 
Definic;ao 3 (.Area de uma superficie). Seja R c S uma regiiio limitada de uma 
superf{cie com parametriza�iio dada par X : U C JR.2 ----+ S. Ao numero positivo, 
chamamos de area de R. 
Note que Q e o dom{nio da parametriza�iio X. 
Como vale: 
entao, temos que: 
IIXu XXv ll = VEG-F2 . 
Assim, podemos reescrever: 
=
Teorema 7. A area de uma regiiio limitada R de uma superf{cie S com parametriza�iio 
dada par X: UC JR.2 ----+ S, com X(Q) R, e dada par: 
A(R) = f lllXu xXvlldudv = fl VEG-F2dudv. (17) 
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No caso em que a superficie Se grafico da furn;ao z = f(x,y), temos que X(x,y) = 
(x,y,f(x,y)) e uma parametriza 0.
Seja X a parametriza, 0) = ( (b + acos) cos 0, (b + acos) sen 0, a sen ), 
em que , 0 E [O, 21t]. 
Figura 29: Toro 
Fonte: o autor. 
Vemos que (tomando b = 3 ea= 1), 
X = (- sencos0, - sencos0,cos) 
158 
em que O :::; r :::; 2 e O :::; 0 :::; 21t. 
E facil obter que E = 2, G = -,2 e F = 0. Segue que: 
A(M) = J L �drd0 = 41tV2. 
( c) Calcule a area do plano 2x + y + z = 4 que esta no interior do cilindro .x2 + y2 =
1.
Sejam Do disco .x2 + y2 :::; 1 e X: D-+ JR3 a parametriza, 0) = ( (b + acos) cos 0, (b + acos) sen 0, a sen ), 
em que , 0 E [O, 21t]. 
Figura 29: Toro 
Fonte: o autor. 
Vemos que (tomando b = 3 ea= 1), 
X = (- sencos0, - sencos0,cos) 
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Xe= ( (b + acos) sen 0, (b + acos) cos 0, 0), 
em que temos que: 
. E=l, F=O, G=(3+cos)2
Logo, a area de M e dada por: 
A(M) = fo21t fo21t 
V(3 +cos)2 d0d = 121t2 . 
( e) Determine a area do paraboloide z = x2 + y2 que esta abaixo do plano z = 9.
Se z = 9, entao, a equa) sen 0, (b + acos) cos 0, 0), 
em que temos que: 
. E=l, F=O, G=(3+cos)2
Logo, a area de M e dada por: 
A(M) = fo21t fo21t 
V(3 +cos)2 d0d = 121t2 . 
( e) Determine a area do paraboloide z = x2 + y2 que esta abaixo do plano z = 9.
Se z = 9, entao, a equaReprodução proibida. A
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a ::; x ::; b, em torno do eix o x, entiio, temos: 
Seo grafico da curva y = f(x), a::; x::; be g irado em torno do eix o y, temos: 
Para deduzir (*), devemos dar uma parametriza19
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Assim, se f(x,y,z) 1, obtemos que fJL 1 dV e tambem o volume do s6lido R. 
Propriedades 1. Sejam f e g fun(;8es integraveis sabre uma regiao arbitraria 
R do espa(;o e c E R Entao, valem as seguintes propriedades: 
(a) JJL(f+g) dV= JJLtdV+ JJLgdV.
(b) JJL cf dV = c JJLtdV.
(c) Se R = R1 UR2 e R = R1 nR2 tem volume zero, entao,
JJL
1 URz 
f dV = JJL
1 
f dV + JJL
2 
f dV. 
(d) Se m � f(x,y,z) � M, para todo (x,y) ER, entao,
m · V(D) � fl f(x,y) dA � M · V(D),
em que V(D) ea volume da regiao R. 
2.1 Calculo de integrais iteradas: Teorema de Fubini 
0 teorema de Fubini e valido para integrais triplas. Antes de apresenta-lo, va­
mos introduzir alguns tipos especiais de regioes R do espaFonte: o autor. 
Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w, nao nulos e nao paralelos a um 
mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w e dado por: 
V=lw·(uxv)I. 
Figura 2: volume do paralelepf pedo 
\:·-
..... ... .. ,� 
� .�\�· 
/' 
V 
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Fonte: o autor. 
6 
. . 
Figura 1: Area do paralelogramo determinado por esses vetores 
.... .,,..,.
/ 
_,,..-.,,,.-·-
/ 
Fonte: o autor. 
Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w, nao nulos e nao paralelos a um 
mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w e dado por: 
V=lw·(uxv)I. 
Figura 2: volume do paralelepf pedo 
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Fonte: o autor. 
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1.1 CURVAS PARAMETRIZADAS 
Suponha que urna partícula, representada por urn ponto, movimenta-se no espaço. 
Suas coordenadas x, y e z variam corn o tempo t. Os matemáticos pensam no 
movimento como uma função r que a cada instante t de um intervalo I e lR associa 
uma terna (x(t), y(t); z(t)) E JR.3.
Note que a função r(t) é também pensada como um vetor, e podemos representá-la 
por: 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
ou simplesmente por: 
r(t) = (x(t),y(t);z(t)). 
As funções do tipo r são chamadas de funções vetoriais de variável real. As 
funções x(t), y( t) e z(t) são chamadas de funções componentes. 
A extensão da noção de funções vetoriais de variável real para o espaço JR.n é 
imediata. 
Definimos o limite da função r quando t tende a to, t -+ to, tomando simplesmente 
o limite das funções componentes:
limr(t) = lirnx(t)i+ limy(t)J+ limz(t)k. 
t----J,to t----J,to t----J,to t----J,to 
Ou equivalentemente: 
limr(t) = (limx(t). limy(t). limz(t)). 
/�to f----J,lo f�to f----J,to 
Isso nos permite definir continuidade de r em to. Dizemos que r é contínua em 
to se existe r(to) e se: 
lim r(t) = r(to). 
f----J,to 
É claro que dizer que r é contínua em to equivale dizer que as funções compo­
nentes são contínuas ern to. 
7 
CURVAS PARAMETRIZADAS
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
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IU N I D A D E20
Também podemos definir a derivada der em to. Dizemos quer é derivável em to
se o seguinte limite existe:
Ou equivalentemente:
'( ) 1. 
r(to+h)-r(to) r to = 1m .
h--+0 h 
'( ) 1. 
r(to+h)-r(to)r to = 1m 
h h--+0 
_ (i· x(to+h)-x(to) 1. y(to+h)-x(to) 1. z(to+h)-z(to))- 1m , 1m , 1m ------
h--+0 h h--+0 h h--+0 h 
= (x' (to) ,y' (to), z' (to)).
Podemos usar as seguintes notações r'(to) ou :/(to) para denotar a derivada de
uma curva no ponto to.
Se r está definida em um intervalo aberto I = ( a, b) e sua derivada r' é uma função
contínua em I, dizemos quer é uma função de classe C1 . Quando o domínio der
não é aberto, dizer que ela é de classe C1 significa dizer ela admite uma extensão
definida em um intervalo aberto que é de classe C1 . 
Finalmente, podemos definir curva parametrizada.
Definição 1. Uma curva parametrizada é uma função r: I-+ ]Rn de classe c1 , em
que n = 2,3, ....
As curvas são úteis para descrever o movimento de uma partícula no espaço. O
traço da curva parametrizada r : I -+ ]Rn é a imagem da curva parametrizada, isto
é, é o conjunto r(I). O traço é também chamado de curva.
• Exemplo 1
(a) Parametrização de uma reta: uma reta fica completamente determinada
quando se conhece um de seus pontos e seu vetor diretor. Assim, se
A = (xo,Yo,zo) é um ponto e v = (a,b,c) é um vetor diretor da reta r, todo
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21
ponto P = (x,y,z) da reta deve satisfazer P -A= tv, para algum real t. Ou 
 (x,y,z)- (xo,Yo:zo) = t(a,b,c), 
para algum escalar real t. Segue q ue: 
(x-xo i Y-Yo,z-zo) = t(a,b,c).
Ou equivalentemente: 
x= xo +ta 
y = Yo+tb 
z = zo + ct, t E R 
Essas sao as conhecidas equa96es parametricas da reta. Logo, 
e uma parametriza9ao da reta. 
(b) Parametriza O e t E� tem como traço a circunferência com centro na origem e raio r.
Para ver isso, basta verificar que x(t) = rcos(t) e y(t) = r sen (t) satisfazem 
.x2 + y2 = -r2. Observamos que essa circunferência se enrola sobre si mesma 
infinitas vezes no sentido horário, o intervalo [O, 21t] é suficiente para uma 
volta completa. 
Note que a(t) = (xo + rcos(t),yo + rsen (t)), com r > O e t E� tem como 
(d)
traço a circunferência com centro no ponto (xo,Yo) e raio r.
A equação paramétrica da elipse. A curva c(0) = (acos(0),bsen (0)), 
0 E [O, 21t] e a, b > O é uma elipse. Para identificar a curva, observamos que 
como x = acos(0) e y = b sen (0), temos que: 
X - = cos(0), 
a r = sen (0). 
Elevando cada uma das expressões ao quadrado e somando, obtemos: 
que é uma elipse. Agora, fica mais fácil esboçar essa curva. 
(e) A equação paramétrica da hélice circular de raio a > O é dada por:
r(t) = (acos(t),a sen (t),mt),t E �,m > O. 
Seu traço é apresentado a seguir é a curva que se enrola no cilindro de 
raio a> O.
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23
Figura 4: Parte do traz 
Fonte: o autor. 
y 
Assim, o s6lido de integracoordena-
das retangulares e cilíndricas estão relacionadas da seguinte forma:
x = r cosθ, y = r sen θ, z = z, (24)
em que r ≥ 0, θ ∈ [0,2π] e z ∈ R.
O Jacobiano da aplicação é
∂(x,y,z)
∂(r,θ,z)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cosθ −r sen θ 0
sen θ r cosθ 0
0 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= r · (cos2 θ+ sen 2θ) = r > 0.
173
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IVU N I D A D E190
Logo, pelo teorema de mudarn;a de variaveis, temos: 
JJl. f(x,y,z) dxdydz = JJl f(r cos 8, r sen 8,z) rdrd8dz. (25) 
Mudarn;a de coordenadas esfericas: como vimos anteriormente, as coordenadas 
retangulares estao relacionadas com as coordenadas esfericas por: 
x = p sen � 1t e O � 8 � 21t. 
0 Jacobiano da aplicarbastantes utilizados. 
Como aplica.
188
sao: 
Centro de massa 
Myz = JJl xf(x,y,z)dV 
Mxz = fJlyf(x,y,z)dV 
Mxy = fJl zf(x,y,z)dV. 
Myz _ Mxz _ Mxy i = 
M 
,y = 
M 
, z= 
M
. 
Como exemplo, vamos determinar o centro de massa do s61ido de densidade 
constante limitado pelo disco x2 + y2 :::; 4 ao piano z = 0 e pelo paraboloide 
z= 4- x2 -y2. 
A figura, a seguir, ilustra o s61ido S e a regiao R do piano. 
S61ido S e a regiao D 
y 
X 
Fonte: o autor. 
Por causa da simetria do s61ido R e da densidade f = c constante em rela.
188
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
206
Ref erencias Bibliograficas 
[1] ANTON, H.; BI VENS, I. ; DAVIS, S. Calculo. V. 1 e 2. 8. ed. Porto
Alegre: Ed. Bookaman, 2007.
[2] EDWARDS, G. H.; PENNEY, D. E. Calculus with a Analytic Geome­
try. NJ: PrenticeHall, 1998.
[3] LARSON, R. E, HOSTELER, R. P., EDWARDS, D. E. Calculo com Ge­
ometria Analitica. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
[4] LEITHOLD, L. 0 Calculo com Geometria Analitica. V. 1 e 2. 3. ed. Sao
Paulo: Ed. Harbra, 1994.
[5] MARSDEN. J. G., TROMBA, A. J .. Vector Calculus. New York: W. H.
Freeman and Company, 1981.
[6] PROTTER, M. H.; MORREY, C. B. A fisrt course in Real Analysis.
New York: Springer, 1991.
[7] SIMMONS, G. F. Calculo com Geometria Analitica. V. 1. Sao Paulo:
Ed. MacGraw-Hill, 1987.
[8] STEWART, James. Calculo. V. 1 e 2. 7. ed. Sao Paulo: Ed. Cengage
Learning, 2013.
189 
REFERÊNCIAS
207
GABARITO
U
N
ID
A
D
E V
Professor Dr. Doherty Andrade
CÁLCULO VETORIAL
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Introduzir o conceito de campo vetorial.
 ■ Apresentar condições para um campo vetorial ser conservativo.
 ■ Introduzir as integrais de linha e integrais de superfície.
 ■ Apresentar os Teoremas de Green, Gauss e Stokes.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Campos Vetoriais
 ■ Integrais de Linha
 ■ Teorema de Green
 ■ Integrais de Superfícies
 ■ Teoremas de Stokes
 ■ Teoremas de Divergência de Gauss
Introdução 
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211
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
Nesta unidade, vamos nos dedicar ao estudo de três importantes teoremas: o teo-
rema de Green, o teorema da divergência de Gauss e o teorema de Stokes. Esses
teoremas são generalizações do teorema fundamental do cálculo.
São inúmeras as aplicações desses teoremas no campo das engenharias, física e
na própria matemática. Vamos ter a oportunidade de apresentar algumas dessas
aplicações.
O teorema de Green que substitui o cálculo de uma integral de linha sobre uma
curva fechada, encerrando uma região D por uma integral dupla sobre D.
O teorema de stokes é um importante teorema que estabelece uma igualdade entre
a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície S com uma
integral de linha sobre a curva C que é fronteira de S.
Nesta unidade, estudaremos o Teorema da divergência de Gauss. Esse importante
resultado estabelece uma igualdade entre uma integral de superfície do campo F
e uma integal tripla do divF sobre sólido E que tem S como bordo.
A fronteira de um sólido é uma superfície fechada. O teorema mostra que o
fluxo através de tais superfícies pode ser expresso em termos do divergente do
um campo vetorial.
Nesta unidade, vamos utilizar os conceitos e operações com vetores, curvas e
superfícies parametrizadas já vistos anteriormente.
1 CAMPOS VETORIAIS
Um campo vetorial, ou campo de vetores, é basicamente uma função que associa a
cada ponto do espaço um vetor desse espaço. Como exemplo de campo, podemos
citar o campo de velocidade do ar, o campo magnético, campo elétrico, campo de
velocidade de escoamento de um fluido, campo de forças e o campo gravitacional
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CÁLCULO VETORIAL
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VU N I D A D E212
da Terra. 
Mais precisamente: 
Defini�ao 1. Seja D um conj unto em R3 . Um campo veto rial sob re IB.3 e uma
aplica�ao: 
(x1 y1 z) H F(x,y,z). 
Mesma definirao para campo vetorial do R2 :
Campos vetoriais podem ser definidos em qualquer espa�o IB.n , mas, nesse texto, 
vamos nos concentrar em IB.2 e IB.3 .
Figura 1: Campo de vetores normais a uma supetffcie e campo de vetores tan­
gentes a uma cunra 
• Exemplo 1
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Fonte: o autor. 
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CAMPOS VETORIAIS
da Terra. 
Mais precisamente: 
Defini�ao 1. Seja D um conj unto em R3 . Um campo veto rial sob re IB.3 e uma
aplica�ao: 
(x1 y1 z) H F(x,y,z). 
Mesma definirao para campo vetorial do R2 :
Campos vetoriais podem ser definidos em qualquer espa�o IB.n , mas, nesse texto, 
vamos nos concentrar em IB.2 e IB.3 .
Figura 1: Campo de vetores normais a uma supetffcie e campo de vetores tan­
gentes a uma cunra 
• Exemplo 1
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Fonte: o autor. 
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da Terra. 
Mais precisamente: 
Defini�ao 1. Seja D um conj unto em R3 . Um campo veto rial sob re IB.3 e uma
aplica�ao: 
(x1 y1 z) H F(x,y,z). 
Mesma definirao para campo vetorial do R2 :
Campos vetoriais podem ser definidos em qualquer espa�o IB.n , mas, nesse texto, 
vamos nos concentrar em IB.2 e IB.3 .
Figura 1: Campo de vetores normais a uma supetffcie e campo de vetores tan­
gentes a uma cunra 
• Exemplo 1
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Fonte: o autor. 
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Campos Vetoriais
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da Terra. 
Mais precisamente: 
Defini�ao 1. Seja D um conj unto em R3 . Um campo veto rial sob re IB.3 e uma
aplica�ao: 
(x1 y1 z) H F(x,y,z). 
Mesma definirao para campo vetorial do R2 :
Campos vetoriais podem ser definidos em qualquer espa�o IB.n , mas, nesse texto, 
vamos nos concentrar em IB.2 e IB.3 .
Figura 1: Campo de vetores normais a uma supetffcie e campo de vetores tan­
gentes a uma cunra 
• Exemplo 1
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Fonte: o autor. 
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(a) F(x,y) = (−y,x) é um campo vetorial.
(b) F(x,y,z) =
−c
r3 (x,y,z), em que r =
√
x2 + y2 + z2 e c é uma constante, é um
campo vetorial muito semelhante ao campo gravitacional da terra.
(c) Seja f uma função real de duas ou três variáveis e diferenciável. Já definimos
o vetor gradiente de f : ∇ f (x,y,z). O campo vetorial F(x,y,z) = ∇ f (x,y,z)
é chamado de campo gradiente de f . Decidir se um dado campo vetorial é
um campo gradiente é uma questão importante que será abordada ainda nesta
unidade.
Já provamos que, se temos uma superfície de nível S dada por f (x,y,z) =
c com f diferenciável com derivadas parciais de primeira ordem contínuas,
então, o vetor gradiente ∇ f (P) é ortogonal a S no ponto P.
Vamos ver, agora, como representar graficamente um campo de vetores. Para fa-
cilitar, tomemos um campo vetorial definido no plano R2: F(x,y). Desenhamos o
vetor F(x,y) junto ao ponto (x,y). Por exemplo, para o campo dado por F(x,y) =
(−y,x), desenhamos alguns de seus vetores.
Figura 2: Campo vetorial F(x,y) = (−y,x)
Fonte: os autor (2016).
195
Fonte: os autor (2016).
(a) F(x,y) = (-y,x) e um campo vetorial.
(b) F(x,y,z) = -� (x,y,z), em que r = Jx2 +y2 +z2 e c e uma constante, e um
r 
campo vetorial muito semelhante ao campo gravitacional da terra. 
(c) Seja f uma furn;ao real de duas ou tres variaveis e diferenciavel. Ja definimos
o vetor gradiente def: V f(x,y,z). 0 campo vetorial F(x,y,z) = V f(x,y,z)
e chamado de campo gradiente de f. Decidir se um dado campo vetorial e
um campo gradiente e uma questao importante que sera abordada ainda nesta 
unidade. 
Ja provamos que, se temos uma superficie de nfvel S dada por f(x,y,z) = 
c com f diferenciavel com derivadas parciais de primeira ordem contfnuas,
entao, o vetor gradiente V f(P) e ortogonal a S no ponto P. 
Vamos ver, agora, como representar graficamente um campo de vetores. Para 
facilitar, tomemos um campo vetorial definido no piano JR2 : F(x,y). Desen­
hamos o vetor F(x,y) junto ao ponto (x,y). Por exemplo, para o campo dado
por F(x,y) = (-y,x), desenhamos alguns de seus vetores.
Figura 2: Campo vetorial F(x,y) = (-y,x) 
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Fonte: os autor (2016). 
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VU N I D A D E214
Por exemplo, F(l,O) = (0, 1), logo, desenhamos o vetor (0, 1) com origem no 
ponto ( 1, 0). Do mesmo modo, desenhamos F ( 0, 1) = ( -1, 0) com origem no
ponto (0, 1). E assim sucessivamente. Com ajuda do software Maple, plotamos 
alguns vetores desse campo. 
• Exemplo 2
0 campo vetorial F(x,y) = (2xy,x2-2y) e um campo gradiente, pois V f(x,y) =
F(x,y), emquef(x,y) =x2y-y2 . 
Defini�ao 2. Um campo vetorial F e dito um campo vetorial conservativo se 
existe uma funr;ao f tal que F = V f . Nesse caso, dizemos que f e uma funr;ao 
potencial de F. 
• Exemplo 3
Considere o campo gravitacional entre dois corpos de massa m e M: 
em que (x,y,z) e a posi with(plots):
> fieldplot([-y,x],x=-1..1,y=-1..1,thickness=3);
> fieldplot3d([x,y,z],x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, thickness=3);
Fonte: o autor. #SAIBA MAIS#
Divergência de um campo vetorial:
seja F(x,y,z) = (v1(x,y,z),v2(x,y,z),v3(x,y,z)) um campo vetorial com funções
componentes v,v2 e v3 tendo derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Cha-
mamos de o divergente de F à seguinte função
divF =
∂v1
∂x
+
∂v2
∂y
+
∂v3
∂z
.
• Exemplo 4
O campo vetorial F(x,y,z) = (xy,yz,zx) tem divergente igual a divF(x,y,z) =
∂v1
∂x + ∂v2
∂y + ∂v3
∂z = y+ z+ x.
Uma forma elegante de representar o divergente de um campo é por meio do
gradiente com o produto interno entre o vetor ∇ = (
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
) e o campo F . Isto
é, se F(x,y,z) = (v1(x,y,z),v2(x,y,z),v3(x,y,z)), então,
divF = ∇ ·F = (
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
) · (v1,v2,v3) =
∂v1
∂x
+
∂v2
∂y
+
∂v3
∂z
.
Observamos que se F = ∇ f , então, div(F) = div(∇ f ) = ∆ f , onde ∆ f = fxx +
fyy + fzz é chamado de o Laplaciano de f .
Interpretação física para o divergente: se F(x,y,z) é um campo de velocidades
de um fluido, então, divF(x,y,z) mede a taxa de variação total, com relação ao
tempo, da massa de fluido escoando do ponto (x,y,z) por unidade de volume.
197
0 software Maple pode plotar campos vetoriais em duas ou tres dimensoes. Veja 
os comandos para dois campos: 
> with(plots):
> fieldplot([-y,x],x=-1 .. 1,y=-1 .. 1,thickness=3);
> fieldplot3d([x,y,z],x=-1 .. 1,y=-1 .. 1,z=-1 .. 1, thickness=3);
Fonte: o autor. #SAIBA MAIS#
Divergencia de um campo vetorial: 
seja F(x,y,z) = (v1(x,y,z),v2(x,y,z),v3(x,y,z)) um campo vetorial com func;oes 
componentes v, v2 e v3 tendo derivadas parciais de primeira ordem contfnuas. 
Chamamos de o divergente de F a seguinte func;ao:
• Exemplo 4
d. F _ av1 av2 av3
IV - ax + ay + az .
0 campo vetorial F(x,y,z) = (xy,yz,zx) tern divergente igual a divF(x,y,z) =
av1 + av2 + av3 = y+ +x.d.X dy dZ z 
Uma forma elegante de representar o divergente de um campo e por meio do 
gradiente com o produto interno entre o vetor V = ( :x, :
y
, :z) e o campo F. Isto
e, se F(x,y,z) = (v1 (x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z) ), entao, 
. a a a av1 av2 av3 d1vF = V ·F = (ax' ay' az) · (v1, v2, v3) = ax + ay + az ·
Observamos que se F = V f, entao, div(F) = div(V f) = ,�.f, onde /if = f xx+
fyy + fzz e chamado de o Laplaciano def.
lnterpreta�ao fisica para o divergente: se F(x,y,z) e um campo de velocidades 
de um fluido, entao, divF(x,y,z) mede a taxa de variac;ao total, com relac;ao ao 
tempo, da massa de fluido escoando do ponto (x,y,z) por unidade de volume. 
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Se divF = 0, dizemos que o fluido e incompressfvel. Os lfquidos, sao, geralmente,
incompressfveis. Ja os gases, compressfveis.
Rotacional de um campo vetorial: 
seja F(x,y,z) = (v1 (x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) um campo vetorial com func;oes
componentes v1, v2 e v3 tendo derivadas parciais de primeira ordem contfnuas.
0 rotacional de F e definido como sendo o produto vetorial entre o vetor V e o
campo F. Isto e,
rotF = y' X F = ( a V3 _ a v2 ' a v1 _ a V3 ' a v2 _ a v1 )
ay az az ax ax ay 
lnterpreta�ao fisica para o rotacional: 
se F(x,y,z) e um campo de velocidades de um fluido, partfculas pr6ximas de
(x,y,z) no fluido tendem a girar em torno de um eixo que aponta na direc;ao de
rotF(x,y,z). 0 comprimento desse vetor e a medida de quao rapido as partfculas
do fluido giram em torno desse eixo.
Se rotF = 0, dizemos que o campo e irrotacional.
• Exemplo 5
Vamos determinar rotF, em que F(x,y,z) = (xz,.xyz, -y2 ). Temos que:
rotF 
• Exemplo 6
VxF= 
-!t -----: ----:+k 
l 1 
a a a 
ax ay az 
xz xyz -y2
(-2y- xy,x,yz) = (-y(2+x),x,yz) . 
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Se divF = 0, dizemos que o fluido e incompressfvel. Os lfquidos, sao, geralmente,
incompressfveis. Ja os gases, compressfveis.
Rotacional de um campo vetorial: 
seja F(x,y,z) = (v1 (x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) um campo vetorial com func;oes
componentes v1, v2 e v3 tendo derivadas parciais de primeira ordem contfnuas.
0 rotacional de F e definido como sendo o produto vetorial entre o vetor V e o
campo F. Isto e,
rotF = y' X F = ( a V3 _ a v2 ' a v1 _ a V3 ' a v2 _ a v1 )
ay az az ax ax ay 
lnterpreta�ao fisica para o rotacional: 
se F(x,y,z) e um campo de velocidades de um fluido, partfculas pr6ximas de
(x,y,z) no fluido tendem a girar em torno de um eixo que aponta na direc;ao de
rotF(x,y,z). 0 comprimento desse vetor e a medida de quao rapido as partfculas
do fluido giram em torno desse eixo.
Se rotF = 0, dizemos que o campo e irrotacional.
• Exemplo 5
Vamos determinar rotF, em que F(x,y,z) = (xz,.xyz, -y2 ). Temos que:
rotF 
• Exemplo 6
VxF= 
-!t -----: ----:+k 
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ax ay az 
xz xyz -y2
(-2y- xy,x,yz) = (-y(2+x),x,yz) . 
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Defini�ao 3. Se jam C uma curva em JR.3 parametrizada par r(t) = (x(t), y(t), z(t)), 
t E [a,b] e de classe C1 e F(x,y,z) = (F1(x,y,z),F2(x,y,z),F3(x,y,z)) um campo 
vetorial continua definido em uma regiiio contendo a curva C. 
Definimos a integral de linha ao longo de C par: 
LF-dr= 1b 
F(r(t))·r'(t) dt . (1) 
Aten�ao para a nota�ao: L F · dr representara uma integral de linha do campo 
F sobre a curva C, como definido anteriormente. 
A curva C e tambem chamada de caminho de integrac;ao: r( a) e o ponto inicial da 
curva e r( b) e o ponto final. Assim, C e, agora, uma curva orientada. A medida 
que o parametro t varia de a ate b, o ponto r(t) da curva varia de r(a) ate r(b). 
Essa e chamada de a orientac;ao positiva da curva. 
Se a curva C e fechada, isto e, r( a) = r( b), a integral de linha e denotada por 
iF·dr. 
A integral de linha definida acima pode ser representada como: 
0 teorema a seguir afirma que o resultado obtido da integral de linha nao depende 
da parametrizac;ao escolhida paraa curva. Em outras palavras, quaisquer duas 
representac;oes de C que mantem a mesma orientac;ao positiva de C, tern o mesmo 
valor para a integral de linha. 
Teorema 2. A integral de linha L F · dr niio depende da particular parametriza­
(;iio escolhida para a curva C. 
• Exemplo 7
(a) Seja F(x,y,z) = (x,y,z) um campo vetorial e C a curva parametrizada dada 
por r(t) = (sent,cos t,t), t E [0,21t]. Calcule L F · dr. 
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Como r'(t) =(cost, -sent, 1) e F(r(t)) = F(sent,cos t,t) = (sent,cos t,t).
Usando a formula (1), temos:
[ F · dr = fo21t 
F(r(t)) . r' (t) dt
= fo2rc
(sent,cost,t) · (cost,-sent,l)dt
= fo21t 
(sentcost- sentcost+t) dt
= fo2
1C tdt = 2n2 . 
(b) Seja F(x,y,z) = (z,x,y) um campo ve tori al e r(t) = (cos(t), sen (t),3t),t E
[O, 2n], a curva Ce parte de helice . Avali e [ F · dr.
Pela definio autor.
Motivação para a integral de linha: sabemos da física que o trabalho realizado
por uma força F constante no deslocamento de uma partícula ao longo de um
segmento de reta de comprimento d é igual a F · d. Esse conceito de trabalho
sugere definir o trabalho T realizado por uma força variável F no deslocamento
de uma partícula ao longo de uma curva C. É o que faremos a seguir.
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CÁLCULO VETORIAL
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(b) Calcule o trabalho T realizado pelo campo de fon;as F(x,y,z) = (x,y,z) em
deslocar uma partfcula so bre a curva parametrizada C dada po r: 
r(t) = (sent,cost,t),tE [0,21t]. 
co mo r'(t) =(cost, -sent, 1) e F(r(t)) = F(sent,cos t,t) = (sent,cos t,t). 
Usando a formula (1), temos: 
L F · dr= fo2rc 
F(r(t)). r'(t)dt 
= fo2rc
(sent,cost,t) · (cost,-sent,l)dt 
= fo2rc 
(sent cost - sent cost+ t) dt = fo2rc 
t dt = 2n2.
(c) Calcule o trabalho realizado po r F(x,y,z) = (x,y,z) ao deslocar uma partfcula
so bre a curva r(t) = (t2 , t3 ,t4 ), t E [O, l].
Ago ra, temos que r' ( t) = ( 2 t, 3 t2 , 4 t3 ) e usando a defini1t 1t 1t 
= fo
2 
sentcostdt- fo
2 
tsentdt+ fo
2 
costdt. 
As integrais nao oferecem diculdades na solm;ao, logo: 
1t 
E = fo
2 
F(r(t)) · r'(t)dt 
sen t 2 2 2 2 
2 1t ( 1t ! ) 1t 
= -2-1 0 
- -tcostl
0 
-la (-cost)dt +sentl
0 
1 1 
=--(0+1)+1=-.
2 2 
(3) 
(b) Encontre a circulaque fazem parte da fronteira da regiao, vamos calcular 
a integral dupla sobre a regiao R. Observando que M = y2 e N = -xy, e, 
assim, 
dN -=-y edx 
214 
dM 
dy = 2y, 
Se C for uma curva simples, fechada, suave por partes, contida inteiramente em
U e se D for a regiiio delimitada por C, entiio,
iM(x,y)dx+N(x,y)dy =fl(�: - �;) dA. (12) 
Atem;ao para a nota�ao: iM(x,y) dx+ N(x,y) dy representara uma integral de 
linha como definido acima em (12), calculada no sentido anti-horario. 
• Exemplo 12
1. Determine i y2 dx - xy dy, em que C e a fronteira da regiao R dada por
R= {(x,y) E ffi.2;1:::; x:::; 2; 1:::; y:::; l+x2 }.
Figura 10: Regiao R
5 --------
a, 
0 1 2 
Fonte: o autor. 
Esse exemplo ja foi apresentado anteriormente e as contas foram muitas. 
Mas, agora, vamos usar o teorema de Green, em vez de calcular a integral de 
linha sobre as curvas que fazem parte da fronteira da regiao, vamos calcular 
a integral dupla sobre a regiao R. Observando que M = y2 e N = -xy, e, 
assim, 
dN -=-y edx 
214 
dM 
dy = 2y, 
Teorema de Green
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Resulta que: 
j y2 dx-xydy = {{ (aN - aM) dA
Jc }JR ax ay 
r
2 
r
1 +x2 
= 11 11 (-y-2y)dydx 
r r
2 1 +x2 
163 = -3 11 11 ydydx = -10 ·
2. Calcule Pc/x2 -y) dx+ (y2 +x) dy em que Ceo cfrculo x2 + y2 = 4.
Observamos que o campo F tern componentes M = x2 -y e N = y2 + x e
que a regiao encerrada pela curva e o disco D: x2 + y2 :::; 4. Aplicando o 
teorema de Green, temos que: 
Pc/x2 -y) dx+ (y2 +x) dy = fl (1 + l)dA = 2A(D) = 2n22 = 81t.
Aqui, A(D) ea area do disco D. 
Se, no teorema de Green, tivermos um campo F(x,y) = (M(x,y),N(x,y)) tal que
aN aM 
ax - ay = 1, entao, vale O segumte resultado:
iM(x,y)dx+N(x,y)dy =fl(�: - a
a�) dA = fl 1dA = Area(D).
Alguns exemplos de tais campos: F(x,y) = (O,x), F(x,y) = (-y,O) ou F(x,y) = 
(-!y, !x). 
Corolario 1. Aplicando o teorema de Green aos campos acima temos: 
Area(D) = ! J xdy-ydx = J xdy = - J ydx. 2Jc Jc Jc 
#SAIBA MAIS# 
Teorema de Green vale para regioes mais gerais 
215 
CÁLCULO VETORIAL
Reprodução proibida. A
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VU N I D A D E234
Resulta que: 
j y2 dx-xydy = {{ (aN - aM) dA
Jc }JR ax ay 
r
2 
r
1 +x2 
= 11 11 (-y-2y)dydx 
r r
2 1 +x2 
163 = -3 11 11 ydydx = -10 ·
2. Calcule Pc/x2 -y) dx+ (y2 +x) dy em que Ceo cfrculo x2 + y2 = 4.
Observamos que o campo F tern componentes M = x2 -y e N = y2 + x e
que a regiao encerrada pela curva e o disco D: x2 + y2 :::; 4. Aplicando o 
teorema de Green, temos que: 
Pc/x2 -y) dx+ (y2 +x) dy = fl (1 + l)dA = 2A(D) = 2n22 = 81t.
Aqui, A(D) ea area do disco D. 
Se, no teorema de Green, tivermos um campo F(x,y) = (M(x,y),N(x,y)) tal que
aN aM 
ax - ay = 1, entao, vale O segumte resultado:
iM(x,y)dx+N(x,y)dy =fl(�: - a
a�) dA = fl 1dA = Area(D).
Alguns exemplos de tais campos: F(x,y) = (O,x), F(x,y) = (-y,O) ou F(x,y) = 
(-!y, !x). 
Corolario 1. Aplicando o teorema de Green aos campos acima temos: 
Area(D) = ! J xdy-ydx = J xdy = - J ydx. 2Jc Jc Jc 
#SAIBA MAIS# 
Teorema de Green vale para regioes mais gerais 
215 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES
Δ
Δu
u
υ
υ
0
Rij
Pij
Sij
*
0
y
x
z
Aqui, A(D) é a área do disco D.
Se, no teorema de Green, tivermos um campo F(x,y) = (M(x,y),N(x,y)) tal que
∂N
∂x
− ∂M
∂y
= 1, então, vale o seguinte resultado:
‰
C
M(x,y)dx+N(x,y)dy =
¨
D
(
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)
dA =
¨
D
1dA = Área(D).
Alguns exemplos de tais campos: F(x,y) = (0,x), F(x,y) = (−y,0) ou F(x,y) =
(−1
2y, 1
2x).
Corolário 1. Aplicando o teorema de Green aos campos acima temos:
Área(D) =
1
2
‰
C
xdy− ydx =
‰
C
xdy =−
‰
C
ydx.
#SAIBA MAIS#
Teorema de Green vale para regiões mais gerais
O teorema de Green que apresentamos aqui não permitia que a região D tivesse
buracos. Mas o teorema de Green pode ser estendido para essas regiões e a justi-
ficativa para isso é que a região com buracos pode ser dividida em partes em que
o teorema vale em cada parte.
Região com buracos
Fonte: o autor.
#SAIBA MAIS#
216
Integrais de Superfícies
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Integrais de Superfícies
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• Exemplo 14
Calcule 1fs (x + y + z)dS, em que Se a superficie dada por r(u, v) = (u + v, u -
v, 1 + 2u + v), com O :::; u :::; 2 e O :::; v :::; 1.
U sando o teorema 8, precisamos de 11 ru x r v 11- Como ru = ( 1, 1, 2) e rv = ( 1, -1, 1) 
temos que ru x rv = (3, 1, -2) e, assim llru x rv ll = J'I4. 
Segue que:
fl J(r(u, v)) llru x rv lldA 
fl (u+v+u- v+ 1 +2u+v)J'I4dA
v14 fl (1 +4u+v)dA
v14 fo
2
fo\1+4u+v)ddudv= llv14.
chamamos uma superficie S de superficie orientavel seSuperficie orientavel: 
existe um campo de vetores unitarios normais ,t sobre S que varia continuamente
com a posis.
Em outras palavras, o fluxo de F atraves de S e dado por:
(18)
Atem;ao para a nota�ao: lfs F · dS representara a integral de superficie do
campo vetorial F sobre a superficie S definida em (18).
Se Se uma superficie parametrizada por r( u, v), onde ( u, v) ED, entao, um campo
de vetores normais sobre S e dado por:
r{ = ru X rv 
llru X rvll" 
Segue que a integral em (18) pode ser expressa como:
s = lfs (F · rf) dS = lfs (F · 
II
::: :: II ) dS
fl F(r(u, v)) · 
II
::: :: II 
llru x rvlldA
fl F(r(u, v)) · (ru x rv)dA.
221
CÁLCULO VETORIAL
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VU N I D A D E240
Logo, 
s = fl F(r(u, v)) · (ru x rv)dA. (19) 
Quando a superficie Se graflco de furn;ao, por exemplo, z = g(x.y), (x,y) ED, 
entao, a equa(to) = �(to) · a' (to)+ a(to) · W (to).
d 
( c) dt 
(ax�) (to) = a' (to) x �(to)+ a(to) x W (to).
11 
Figura 4: Parte do tra O.
Usando a fórmula do comprimento de arco, temos: 
s= 1b 
lx'(t)l2 +ly'(t)l2 +lz'(t)l2dt= fo2
1t Ja2 sen 2(t)+a2cos2(t)+m2dt 
= fo2
1t Ja2+m2dt = Ja2+m2 fo2
n ldt = 2nJa2+m2 . 
Seja s(t) o comprimento de arco de uma curva parametrizada r do ponto inicial
r(a) até a um ponto arbitrário r(t). Logo, temos que: 
s(t) = 1t 
v('t)d't.
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que: 
ds(t) 
_ ) - V t .
dt (
Em outras palavras, a velocidade escalar do movimento de uma partícula é a taxa 
de variação no tempo do seu comprimento de arco. 
Se v(t) > O para todo t, então, a função s(t) é estritamente crescente como função 
de t e, portanto, admite uma inversa t(s). Substituindo t por t(s) na 
equação paramétrica da curva, obtemos o que chamamos de parametrização 
pelo comprimento de arco: 
x = x(s), y = y(s), z = z(s). 
• Exemplo 4
Como exemplo, consideremos a hélice circular com parametrização dada por 
r(t) = ( 4cos(t),4 sen (t), 3t). Assim, a velocidade escalar v é dada por:
v = J42 sen 2(t) +42 cos2(t) +32 = J42 +32 = J25 = 5.
14 
Já a velocidade escalar é: v = llv(l)II = v'lÕ, enquanto a aceleração escalar é 
a= lla(l)II = v36 = 6. 
1.2 Integração de curvas 
A integral de uma função real com valores vetoriais é definida por analogia ao 
caso de função real de uma variável real, isto é, se r(t) = (x(t),y(t),z(t)) é uma 
curva parametrizada, então, 
t r(t)dt � (t x(t)dt, t y(t)dt, t z(t)dt).
As condições para a integrabilidade dessas funções recaem sobre a integrabilidade 
de cada função componente.-y2))dA
1111 
713 
(2.x2y+2y2(4-.x2-y2) +x(4-x2 -y2))dxdy = -.
o o 180 
222 
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Teorema de Stokes
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5 TEOREMA DE STOKES 
Nesta se9ao, trataremos do teorema de Stokes. Esse importante teorema esta­
belece uma igualdade entre a integral de superficie de um campo vetorial sobre 
uma superffcie S com uma integral de linha sobre a curva C que e fronteira de S. 
Nesse sentido, esse resultado e uma generaliza9ao do Teorema de Green para tres 
dimensoes. 
Muitas aplica96es importantes desse teorema estao no estudo de campos vetoriais, 
em particular, na analise do movimento de rota9ao dos fluidos. 
Para esta se9ao, vamos necessitar do rotacional de um campo F. Voce pode rever 
a defini9ao de rotacional em (1 ). 
Vamos considerar que a supetffcie S seja orientada positivamente e que tenha um 
campo de vetores normais a S. A orienta9ao positiva de S induz uma orienta9ao 
positiva na curva C fronteira de S: ao andar na orienta9ao positiva da curva com a 
cabe9a na dire9ao e sentido de N, a superffcie deve estar sempre a sua esquerda. 
Figura 14: Superffcie S com fronteira orientada 
Fonte: o autor. 
Teorema 9 (Stokes). Seja S uma superf{cie orientada, suave por partes, cuja 
fronteira eformada pela curva Cfechacla, simples, suave por partes. Seja F um 
campo vetorial cujas componenetes tem derivadas parciais de primeira ore/em 
cont[nuas em uma regiiio aberta do JR3 que contem S. Entiio, vale a seguinte 
223 
TEOREMA DE STOKES
5 TEOREMA DE STOKES 
Nesta se9ao, trataremos do teorema de Stokes. Esse importante teorema esta­
belece uma igualdade entre a integral de superficie de um campo vetorial sobre 
uma superffcie S com uma integral de linha sobre a curva C que e fronteira de S. 
Nesse sentido, esse resultado e uma generaliza9ao do Teorema de Green para tres 
dimensoes. 
Muitas aplica96es importantes desse teorema estao no estudo de campos vetoriais, 
em particular, na analise do movimento de rota9ao dos fluidos. 
Para esta se9ao, vamos necessitar do rotacional de um campo F. Voce pode rever 
a defini9ao de rotacional em (1 ). 
Vamos considerar que a supetffcie S seja orientada positivamente e que tenha um 
campo de vetores normais a S. A orienta9ao positiva de S induz uma orienta9ao 
positiva na curva C fronteira de S: ao andar na orienta9ao positiva da curva com a 
cabe9a na dire9ao e sentido de N, a superffcie deve estar sempre a sua esquerda. 
Figura 14: Superffcie S com fronteira orientada 
Fonte: o autor. 
Teorema 9 (Stokes). Seja S uma superf{cie orientada, suave por partes, cuja 
fronteira eformada pela curva Cfechacla, simples, suave por partes. Seja F um 
campo vetorial cujas componenetes tem derivadas parciais de primeira ore/em 
cont[nuas em uma regiiio aberta do JR3 que contem S. Entiio, vale a seguinte 
223 
5 TEOREMA DE STOKES 
Nesta se9ao, trataremos do teorema de Stokes. Esse importante teorema esta­
belece uma igualdade entre a integral de superficie de um campo vetorial sobre 
uma superffcie S com uma integral de linha sobre a curva C que e fronteira de S. 
Nesse sentido, esse resultado e uma generaliza9ao do Teorema de Green para tres 
dimensoes. 
Muitas aplica96es importantes desse teorema estao no estudo de campos vetoriais, 
em particular, na analise do movimento de rota9ao dos fluidos. 
Para esta se9ao, vamos necessitar do rotacional de um campo F. Voce pode rever 
a defini9ao de rotacional em (1 ). 
Vamos considerar que a supetffcie S seja orientada positivamente e que tenha um 
campo de vetores normais a S. A orienta9ao positiva de S induz uma orienta9ao 
positiva na curva C fronteira de S: ao andar na orienta9ao positiva da curva com a 
cabe9a na dire9ao e sentido de N, a superffcie deve estar sempre a sua esquerda. 
Figura 14: Superffcie S com fronteira orientada 
Fonte: o autor. 
Teorema 9 (Stokes). Seja S uma superf{cie orientada, suave por partes, cuja 
fronteira eformada pela curva Cfechacla, simples, suave por partes. Seja F um 
campo vetorial cujas componenetes tem derivadas parciais de primeira ore/em 
cont[nuas em uma regiiio aberta do JR3 que contem S. Entiio, vale a seguinte 
223 
5 TEOREMA DE STOKES 
Nesta se9ao, trataremos do teorema de Stokes. Esse importante teorema esta­
belece uma igualdade entre a integral de superficie de um campo vetorial sobre 
uma superffcie S com uma integral de linha sobre a curva C que e fronteira de S. 
Nesse sentido, esse resultado e uma generaliza9ao do Teorema de Green para tres 
dimensoes. 
Muitas aplica96es importantes desse teorema estao no estudo de campos vetoriais, 
em particular, na analise do movimento de rota9ao dos fluidos. 
Para esta se9ao, vamos necessitar do rotacional de um campo F. Voce pode rever 
a defini9ao de rotacional em (1 ). 
Vamos considerar que a supetffcie S seja orientada positivamente e que tenha um 
campo de vetores normais a S. A orienta9ao positiva de S induz uma orienta9ao 
positiva na curva C fronteira de S: ao andar na orienta9ao positiva da curva com a 
cabe9a na dire9ao e sentido de N, a superffcie deve estar sempre a sua esquerda. 
Figura 14: Superffcie S com fronteira orientada 
Fonte: o autor. 
Teorema 9 (Stokes). Seja S uma superf{cie orientada, suave por partes, cuja 
fronteira eformada pela curva Cfechacla, simples, suave por partes. Seja F um 
campo vetorial cujas componenetes tem derivadas parciais de primeira ore/em 
cont[nuas em uma regiiio aberta do JR3 que contem S. Entiio, vale a seguinte 
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CÁLCULO VETORIAL
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VU N I D A D E242
relariio:
*F · dr = lfs rotF · dS. (21) 
Note que, se S1 e S2 sao duas superficies com mesmo bordo C, o valor das integrais 
e o mesmo: lfs
1 
rotF · dS = lfs
2 
rotF · dS.
Fisicamente, se F for o campo de velocidades de um fluido, Pc F · dr mede a
circulac;ao de F em torno da curva fechada C e essa circulac;ao depende da curva 
fechada e nao da superficie que a possui como bordo. 
• Exemplo 16
Considere o campo de velocidades dado por F(x,y,z) = (-4y,2z,3x) e suponha
que S sej a a parte do paraboloide z = 10 -x2 - y2 acima do plano z = 1. 
Vamos usar o teorema de Stokes para calcular a circulac;ao i:F · dr. Note que
a fronteira da superficie e a curva intersecc;ao entre o parabo1oide com o plano 
dado, isto e, a curva x2 + y2 = 9 no plano z = 1. Veja, a seguir, o esboc;o de S e a 
fronteira C: 
Figura 15: S61ido S e a curva C 
Fonte: o autor. 
Como F(x,y,z) = (-4y, 2z, 3x), temos que rotF = (-2, -3,4). A superficie Se
grafico de z = f(x,y) = 10-x2 -y2, resulta que N = (-fx, -Jy, 1) = (2x, 2y, 1)
e um campo de vetores ortogonais a S. 
224 
Teorema de Stokes
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Pelo Teorema de Stokes, temos que: 
i F · dr = f!s rotF · dS
= f!s (-2, -3,4) · (2x,2y, 1) dS 
= f!s (-4x-6y+4)dS . 
Para calcular a integral de superficie, observamos que a regiao de integraMais adiante, vamos retomar as curvas integrando uma função ao longo de uma 
curva. 
1.3 Comprimento de Arco 
Dada uma curva parametrizada r(t) = (x(t),y(t),z(t)), o comprimento de arco 
entre os pontos r( a) e r( b) é por definição dado por: 
s = 1b 
lx'(t) 1 2 + ly'(t) 1 2 + lz'(t) 1 2dt. 
Como a velocidade escalar v(t) é dada por llvll, isto é, 
segue que: 
• Exemplo 3
v(t) = llv(t)II = lx'(t)l2 + ly'(t)l2 + lz'(t)l2
s = 1b 
v(t)dt. 
13 
Curvas Parametrizadas
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De onde segue que: 
ds = 5. 
dt 
s 
Integrando, supondo que s = O quando t = O, obtemos que s = 5t e, portanto, t = 5. 
Quando substituímos t por t(s) na expressão da curva, temos: 
x(s) = 4cos (í), y(s) = 4 sen (í), 3s 
z(s) = 5, 
a parametrização da curva pelo comprimento de arco. 
Seja C uma curva parametrizada por r(t), dizemos que a parametrização é suave
no intervalo I se r' for contínua e r' ( t) #- O no intervalo I. 
A curva C é dita suave se admite uma parametrização suave. Como o nome diz, 
as curvas suaves não têm bicos e seu traço é suave. 
Se C é uma curva suave com parametrização dada por r(t), definimos o vetor 
tangente unitário T(t) dado por: 
r'(t) 
T(t) = .
llr'(t)II
Esse vetor é tangente ao traço da curva em cada ponto e indica a direção dela. 
Define-se a curvatura de uma curva em um ponto como sendo a medida de quão 
rapidamente a curva muda de direção nesse ponto. Essa medida é dada por: 
IIT'(t)II K(t) = 
llr'(t) li 
.
= 1, então, T(t) · T(t) = IIT(t)ll2 = 1 e de-Observamos agora que, como IIT(t)II 
rivando, obtemos que: 
2T(t) · T'(t) = O. 
Segue que o vetor T'(t) é ortogonal ao vetor T(t). Esse vetor T'(t) sugere definir 
o vetor normal unitário principal N(t), como:
T'(t) 
N(t) = 
IIT'(t) 11 
·
15 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
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IU N I D A D E28
Tendo o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário principal N(t),
definimos o vetor binormal B(t) dado por:
B(t) = T(t) x N(t),
esse vetor é ortogonal a ambos T ( t) a N ( t).
O conjunto dos três vetores T(t),N(t) e B(t) é chamado de triedo de Frenet.
Conhecendo-se o triedro de Frenet determinamos completametne a curva que os 
possm.
• Exemplo 5
(a) Vamos calcular a curvatura do círculo r(t) = (acos(t),a sen (t)).
Como a curvatura é dada por K(t) = li'1�g]i'i', vamos determinar T'(t) e r'(t):
r'(t)
llr' (t) li
T(t) 
(-a sen (t),acos(t))
J a2 sen 2(t) + a2cos2(t) = a
r'(t) 
llr'(t)II 
= (- sen(t), cos(t)).
Logo, T'(t) = (- cos(t), - sen (t)). Assim,
IIT'(t)II 1 K(t) = llr'(t) li = �-
Observe que a curvatura é constante em cada ponto e, quanto menor o raio da
circuferência, maior é a curvatura e quanto maior o raio, menor é a curvatura.
(b) Determine a curvatura da hélice circular dada por r(t) = ( a cos(t), a sen (t), mt),
onde m >O.Novamente, como a curvatura é dada por K(t) = l
i'
1
::gJi'i', vamos 
determinar T' (t) e r' (t):
r'(t)
llr' (t) li
T(t) 
(-a sen (t), acos(t),m)
J a2 sen 2(t) +a2cos2(t) + m2 = J a2 + m2
r'(t) -a a m 
11 r' ( t) 11 
= ( v' a2 + m2 
sen ( t)' v' a2 + m2 
cos ( t)' v' a2 + m2 
) .
16
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) 
,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos2(t) + 2 2 sen 2(t) a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) - IIT'(t)II - U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) 
,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos2(t) + 2 2 sen 2(t) a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) - IIT'(t)II - U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Funções Reais de Variáveis Reais
Re
pr
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84
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19
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29
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) 
,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos2(t) + 2 2 sen 2(t) a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) - IIT'(t)II - U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) 
,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos2(t) + 2 2 sen 2(t) a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) - IIT'(t)II - U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elementoreal z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) 
,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos2(t) + 2 2 sen 2(t) a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) - IIT'(t)II - U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E30
Representamos por f : D e JR.2 ----+ lR. para significar que f é uma função de duas 
variáveis reais com domínio D e com valores reais. Representação semelhante 
para funções de três variáveis. 
O trabalho com funções reais de várias variáveis reais fica mais fácil quando se 
conhece explicitamente uma expressão da função. Por exemplo, z = x2 -y2 ou 
z= �. 
Quando não mencionamos explicitamente o domínio de uma função, o seu domínio 
fica subentendido como sendo o maior conjunto possível. No exemplo, z = �, 
o domínio é o conjunto de pares (x, y) tais y- x � O ou y � x. Geometricamente, o
domínio é conjunto do plano JR.2 que inclui a reta bissetriz y = x e os pontos acima
dela. Ou seja,
D= {(x,y) E JR.2 ;y � x}.
O gráfico de uma função real f : D e JR.2 ----+ lR. de duas variáveis reais x e y é o 
conjunto dado por: 
Graf(f) = {(x,y,f(x,y)) E JR.3 ; (x,y) E D}. 
Observe que essa definição é uma extensão da definição de gráfico de função real 
de uma variável real visto na Cálculo 1. 
Embora possamos estender esse conceito para funções com mais de duas variáveis 
reais, a sua utilidade é restrita porque não conseguimos enxergar além da terceira 
dimensão: o gráfico de uma função real f : D e JR.3 ----+ lR. de três variáveis reais 
x, y e z é o conjunto dado por: 
Graf(f) = { (x,y,z,J(x,y,z)) E JR.4 ; (x,y,z) E D}. 
• Exemplo 6
(a) A função dada por z = y' a2 - x2 - y2 onde a > O tem como domínio o con-
junto
18 
0 seu grafico e a parte superior da esfera com centro na origem e raio a > 0, 
o hemisferio superior.
(b) A furn;ao z = xy e chamada de sela de cavalo. 0 seu grafico e apresentado a
segmr.
Figura 7: Parte do grafico de z = xy
Fonte: o autor. 
( c) A furn;;ao z = .x2 + y2 tern como domfnio todo o plano �2 . Para tra 0, 
o hemisferio superior.
(b) A furn;ao z = xy e chamada de sela de cavalo. 0 seu grafico e apresentado a
segmr.
Figura 7: Parte do grafico de z = xy
Fonte: o autor. 
( c) A furn;;ao z = .x2 + y2 tern como domfnio todo o plano �2 . Para trade nfvel cfrculos
concentricos. 
Figura 10: Paraboloide circular. 
Fonte: o autor. 
• Exemplo 7
21 
Figura 11: Curvas de nf vel. 
Para 
constr!Jir 
a superfide, 
cadacUJVB 
f{x,yJ=ke 
colocadana 
altura k, 
Fonte: o autor. 
Figura 9: Ilustraa func;ao y = x2 - 4x + 12 pode ser escrita como y = (x - 2)2 + 8 que e 
igual a y - 8 = (x - 2)2 sendo claramente uma parabola voltada para cima com 
vertice V(2, 8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima. 
Do mesmo modo, a func;ao z = x2 + y2 -4x - 6y + 12 pode ser escrita como 
z = (x-2)2 + (y- 3) 2 + 1 que e claramente um paraboloide de vertice C (2, 3, -1 ), 
um parabo1oide padrao transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a 
direita em ye uma unidade para baixo em z.
Outro ponto importante e observar a simetria: uma func;ao y = f(x) e dita par se 
f(-x) = f(x), Vx E JR; isso significa que e seu grafico e simetrico com relac;ao ao 
e1xo y.
Uma func;ao y = f(x) e dita fmpar se f(-x) = -f(x),Vx E JR; isso significa que
23 
y
x
Figura 13: Ilustrac;ao das curvas de nfvel e do paraboloide 
Fonte: o autor. 
Esboc;ar o grafico de func;ao pode nao ser tarefa simples. Por isso, devemos 
conhecer os graficos das func;oes mais comumente utilizadas em calculo. 
Alem disso, observar as translac;oes do grafico ajuda no seu trac;ado. Por 
exemplo, quando o grafico da func;ao y = f(x) e transladado h unidades para 
a direita e k unidades para cima, o grafico resultante e obtido substituindo x por x 
- h e y por y-k.
Assim, a func;ao y = x2 - 4x + 12 pode ser escrita como y = (x - 2)2 + 8 que e 
igual a y - 8 = (x - 2)2 sendo claramente uma parabola voltada para cima com 
vertice V(2, 8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima. 
Do mesmo modo, a func;ao z = x2 + y2 -4x - 6y + 12 pode ser escrita como 
z = (x-2)2 + (y- 3) 2 + 1 que e claramente um paraboloide de vertice C (2, 3, -1 ), 
um parabo1oide padrao transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a 
direita em ye uma unidade para baixo em z.
Outro ponto importante e observar a simetria: uma func;ao y = f(x) e dita par se 
f(-x) = f(x), Vx E JR; isso significa que e seu grafico e simetrico com relac;ao ao 
e1xo y.
Uma func;ao y = f(x) e dita fmpar se f(-x) = -f(x),Vx E JR; isso significa que
23 
y
x
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E36
seu grafico e simetrico com rela 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: . 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS
#SAIBA MAIS# 
Aqui estão alguns comandos do software Maple para plotar o gráfico de funções. 
> with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: . 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
#SAIBA MAIS# 
Aqui estão alguns comandos do software Maple para plotar o gráfico de funções. 
> with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: . 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
seu grafico e simetrico com rela