Cálculo_II

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59619
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6696-4
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 9 6 4
Cálculo para funções 
de múltiplas variáveis
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2021
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do 
detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. 
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427c
Vargas, Marina
Cálculo para funções de múltiplas variáveis / Marina Vargas - 1. ed. - 
Curitiba [PR] : IESDE, 2021.
174 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6696-4
1. Cálculo. 2. Funções de várias variáveis reais. I. Título.
21-71247 CDD: 515.84
CDU: 517.55
Marina Vargas Pós-doutora em Mecânica Computacional pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Doutora e mestra em Métodos 
Numéricos em Engenharia na área de programação 
matemática também pela UFPR. Especialista em Educação 
Matemática e licenciada em Matemática pela Universidade 
Paranaense (Unipar). Professora no ensino superior nas 
modalidades presencial e a distância, ministrando as 
disciplinas de Cálculo de funções de uma e mais variáveis, 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Métodos Numéricos, 
Teoria dos Números, Pesquisa Operacional, Matemática 
Aplicada, Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos. 
Professora conteudista em diversas instituições e empresas. 
Pesquisadora nas áreas de programação matemática, 
mecânica computacional, educação matemática e educação 
em engenharias.
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SUMÁRIO
1 Funções de múltiplas variáveis 9
1.1 Definição de funções de múltiplas variáveis 9
1.2 Limites de funções de múltiplas variáveis 18
1.3 Continuidade de funções 22
1.4 Funções vetoriais 24
2 Derivadas parciais 31
2.1 Derivadas parciais 31
2.2 Plano tangente e diferenciabilidade 38
2.3 Regra da cadeia 42
2.4 Derivadas direcionais e vetor gradiente 45
2.5 Valores máximo e mínimo 50
3 Funções vetoriais e curvas espaciais 56
3.1 Curvas definidas por equações paramétricas 56
3.2 Cálculos com curvas parametrizadas 62
3.3 Comprimento de arco para curvas parametrizadas 64
3.4 Área de curvas parametrizadas 67
3.5 Coordenadas polares 68
3.6 Comprimento e área em coordenadas polares 77
3.7 Curvas espaciais 81
4 Integrais múltiplas 87
4.1 Integrais duplas 87
4.2 Integrais duplas sobre regiões gerais 96
4.3 Mudanças de variáveis nas integrais duplas 99
4.4 Integrais triplas 105
4.5 Mudanças de variáveis nas integrais triplas 111
5 Cálculo vetorial 116
5.1 Campos vetoriais 116
5.2 Integrais de linha 121
5.3 Teorema de Green no plano 128
5.4 Superfícies e integral de superfície 135
5.5 Teorema da divergência de Gauss 139
6 Introdução a equações diferenciais ordinárias 142
6.1 Conceitos básicos: equações lineares de primeira ordem 142
6.2 Equações de primeira ordem: alguns métodos 152
6.3 Equação exata e fator integrante 159
6.4 Equações lineares de primeira ordem 162
6.5 Aplicações 163
Gabarito 168
 Quadro de símbolos 174
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Nesta obra trazemos os conceitos necessários para trabalharmos com 
funções que representam superfícies e hiperfícies. Além de tratarmos das 
funções compostas de múltiplas variáveis, abordamos as funções vetoriais e, 
com isso, abrimos um importante leque para o estudo de campos escalares 
e vetoriais, tendo como fechamento a introdução ao estudo das equações 
diferenciais, conteúdo que por si só possibilitaria a escrita de diversas obras. 
O estudo de funções com domínio real é indispensável na formação do 
matemático, seja bacharel ou licenciado. Além disso, esse conteúdo está 
presente nos cursos de Engenharia, Física, Química, Ciência da Computação, 
Administração, Economia, Biologia e muitos outros que poderíamos continuar 
listando por se beneficiarem desse conhecimento. 
Pensando nisso, no primeiro capítulo discorremos sobre o conceito das 
funções de múltiplas variáveis, com atenção especial às funções de duas 
variáveis pela possibilidade de sua representação gráfica. Também tratamos 
de limite e continuidade de uma função composta de n variáveis e trazemos o 
conceito de função vetorial, que aprofundamos em outros capítulos.
No segundo capítulo construímos o conceito de derivada parcial, 
considerando como referência as funções de duas variáveis. Aqui a escolha 
também ocorre pela possibilidade de representação gráfica e analogia direta 
com as derivadas de funções de uma variável. Além do conceito de derivadas 
parciais, trabalhamos com as derivadas direcionais e o vetor gradiente, 
ferramenta fundamental para o detalhamento de muitas das teorias presentes 
no quinto capítulo. 
No terceiro capítulo explanamos as funções vetoriais, as curvas espaciais e 
as equações paramétricas. Com isso, é possível compreendermos as funções 
sob uma ótica diferente da trabalhada nos capítulos iniciais. A estrutura desse 
capítulo possibilita a introdução de conceitos como o movimento de partículas 
ao longo do tempo e as mudanças de coordenadas.
No quarto capítulo apresentamos as integrais de funções de múltiplas 
variáveis. A escolha de funções de duas variáveis é importante para a 
percepção da composição geométrica por traz da estrutura algébrica. Além 
de funções de duas variáveis, trabalhamos com as funções de três variáveis e 
o conceito de integrais triplas. Como a integração permite o uso de algumas 
mudanças de variáveis, é nesse capítulo que explicamos as coordenadas 
polares e cilíndricas.
No quinto capítulo debatemos a concepção de cálculo vetorial. Para isso, 
é importante recordarmos todos os conceitos apreendidos nos capítulos 
anteriores para, com base nisso, desenvolvermos o conceito de rotacional e 
divergente e trabalharmos com os teoremas de Green, Gauss e Stokes. Talvez 
APRESENTAÇÃOVídeo
esse seja o capítulo mais denso e que exija maior abstração, pois abordamos os campos 
vetoriais e a influência deles sobre curvas e superfícies. Entretanto, é um dos mais ricos 
em exemplos envolvendo outras áreas do conhecimento.
No sexto e último capítulo realizamos uma introdução ao amplo campo das equações 
diferenciais. Enunciamos a definição e classificação delas e uma breve metodologia para a 
solução das ordinárias de primeira ordem. 
Este é o foco desta obra: a compreensão do comportamento de funções de múltiplas 
variáveis e de funções vetoriais. Desse modo, a proposta é que amadureçamos nosso 
conhecimento matemático para que consigamos manusear as ferramentas matemáticas 
com mais agilidade e domínio, ensinar esses conceitos utilizando ferramentas 
computacionais simples – as quais são apresentadas no decorrer dos capítulos –, e 
aplicar nas mais diversas áreas e situações práticas.
Esperamos que este livro colabore para a formação de um excelente profissional 
na área escolhida.
Bons estudos!
8 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Funções de múltiplas variáveis 9
1
Funções de múltiplas 
variáveis
1.1 Definição de funções demúltiplas variáveis 
Vídeo Muitos são os casos em que uma função de uma variável não é suficiente para 
modelar um problema físico de maneira efetiva, sendo necessário mais variáveis 
para representar o que realmente ocorre fisicamente; por exemplo, se precisamos 
calcular a área aproximada de uma superfície conhecendo o peso e a altura dessa 
estrutura, ou mesmo se vamos calcular o volume de um cilindro conhecendo seu 
raio e sua altura. Dessa forma, o que teremos neste capítulo são funções que po-
dem depender de duas ou mais variáveis.
Um ponto no espaço n-dimensional, 

n, é representado por uma n-upla de nú-
meros reais P = (x1, x2, …, xn).
Alguns casos particulares são fundamentais também na modelagem de situa-
ções físicas aplicadas a problemas da engenharia, da computação, da tecnologia 
em geral, da biologia, dentre outras áreas. Em particular, se:
 • n = 1 ⇒ P = x
 • n = 2 ⇒ P = (x, y)
 • n = 3 ⇒ P = (x, y, z)
 • 
 • n = 6 ⇒ P = (x1, x2, …, x6)
Quando trabalhamos com funções de uma variável, aprendemos técnicas 
de derivação e integração que nos permitem analisar o comportamento de 
uma função que pode ser representada por uma curva no plano cartesiano.
Contudo, a necessidade de expandir a quantidade de variáveis nessas 
funções, de modo que seja possível trabalhar com superfícies, hiperespaços, 
funções vetoriais, dentre outros exemplos, nos obriga também a aumentar as 
técnicas já conhecidas.
Assim, vamos estudar neste capítulo o comportamento de funções de múl-
tiplas variáveis dando um enfoque especial às funções de duas variáveis reais, 
que nos permitam compreender o comportamento de superfícies no espaço 
tridimensional. Além disso, traremos o conceito de limites de funções de n va-
riáveis e trabalharemos com conceitos algébricos e geométricos.
Esperamos que você se sinta motivado pelo tema.
10 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Acompanhe um exemplo de função em que n = 2 ⇒ P = (x, y).
Σxemρlo 1
Seja a função de x e y dada pelos pares ordenados (P, z), tal que
z x y� � �64 2 2 , então o domínio de f é dado por 64 – x2 – y2 ≥ 0, logo:
D(f) = {(x, y) ∈ 2 | x2 + y2 ≤ 64}
Esse conjunto é composto por pontos do plano xy sobre a circunferência x2 + y2 
= 64 e pontos no interior da região limitada pela circunferência. Observe na figura 
a seguir.
Figura 1
Domínio da função z x y� � �64 2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Como z x y� � �� �64 2 2 , então 0 ≤ z ≤ 8, assim a imagem de f é o conjunto de 
todos os números reais no intervalo fechado de [0, 8].
Figura 2
Im(f) da esfera x2 + y² + z² = 64
Fonte: Elaborada pela autora.
Para reforçar o conceito 
de funções de múltiplas 
variáveis, sugerimos o 
artigo O que são funções 
multivariáveis? da platafor-
ma da Khan Academy, que 
traz não só a parte concei-
tual, mas também vários 
exemplos de funções.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/thinking-
-about-multivariable-function/
ways-to-represent-multivariable-
-functions/a/multivariable-functions. 
Acesso em: 11 mar. 2021.
Leitura
Funções de múltiplas variáveis 11
Definição 1
Uma função de n variáveis é um conjunto de pares ordenados (P, w), em que dois pares distintos não 
podem ter os primeiros elementos iguais. P é um ponto no espaço n-dimensional numérico e w é um 
número real. O conjunto de todos os valores possíveis de P é chamado de domínio da função, enquanto 
o conjunto de todos os valores possíveis de w é chamado de imagem da função (STEWART, 2017).
Uma função f de duas variáveis f(x, y) = z tem no seu domínio elementos na for-
ma (x, y) ∈ 2 e na sua imagem elementos da forma z ∈ .
Figura 3
Relação domínio e imagem para f(x, y) = z

x
y
z
(x, y)
(a, b)
f
0 f (x, y)
f (a, b)
Dom ı́nio Imagem
O
 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Para compreender melhor o conceito de domínio de uma função de múltiplas 
variáveis, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 2
A função g de duas variáveis x e y é o conjunto dos pares ordenados da forma 
(P, z) para os quais g x �y z
x � �y � �
,� � � �
� �
1
642 2
.
O domínio de g é o conjunto com x y2 2 64 0� � � , logo D(g) = {(x, y) ∈ 2 | x2 + 
y2 > 64}. Conforme a Figura 4.
Figura 4
Domínio da função g
Fonte: Elaborada pela autora.
12 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A imagem de g será o conjunto aberto 1
8
,���
�
�
�
�
� . O gráfico de g está representado 
na Figura 5.
Figura 5
Gráfico da função g
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que uma função de duas variáveis nos leva a uma imagem tridimensional. 
Portanto, quando a função passa a ter mais do que duas variáveis, não teremos 
uma dimensão, visualmente falando, para a representação geométrica de todas as 
coordenadas ao mesmo tempo.
Acompanhe um exemplo para calcular o valor de uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 3
Considerando uma função definida por f x y x y,� � � � �64 2 2 , calcule:
a. f �1 2,� �
b. f �8 0,� �
c. f ��� �2 3,
d. f u � v, 3� �
Para calcular f x y x y,� � � � �64 2 2 nas coordenadas indicadas, substituímos x 
pelo valor do primeiro elemento da coordenada e y pelo valor do segundo elemen-
to da coordenada. Assim, temos que:
a. f �1 2 64 1 2 64 1 4 592 2,� � � � � � � � � � � � �
b. f �8 0 64 8 0 64 64 0 02, ( ) ²� � � � � � � � � � �
c. f ��� � � � �� � � � � � � � �2 3 64 2 3 64 4 9 512 2, ����
d. f u � v u v u v, ( ) �3 64 3 64 92 2 2 2� � � � � � � � � �
Agora, verifique no exemplo a seguir o cálculo do valor de uma função de três 
variáveis.
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 13
Σxemρlo 4
Considerando a função g x �y �z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 , calcule:
a. g � �1 2 1, , �� �
b. g u � v �w2 4, ,�� �
c. g x ��y � z, , �� �
Para calcular �g x �y �z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 nas coordenadas indicadas, fazemos de 
maneira semelhante ao cálculo com duas variáveis, mas agora é preciso substituir 
o valor de z pelo terceiro elemento da coordenada enunciada, além de substituir os 
valores de x e y. Assim, temos que:
a. g � � ��1 2 1 1 4 2 1 1 2
1
1 8 2 72, , ·�� � � � � � � � �� � �
�
� � � �
b. g u � v �w u v w
u v
w
u vw uv
w
2 4 2 4 4
2 4
4 16 82 2, ,�� � � � � � �� �� � � � � �� � � � �
c. g x �y � z x y z xy
z
� �x yz xy
z
, , �� � � � � � � � �� � �
�
� � �
2 24 4
Vejamos outro exemplo, agora para determinar o domínio de uma dada função.
Σxemρlo 5
Calcule o domínio para a função g x y z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 .
Neste caso, a função é definida para todos os reais exceto quando z = 0. Portan-
to, D(g) = {(x, y, z) ∈ 

3 | z ≠ 0}.
Definição 2
Se f for uma função com uma variável e g uma função de duas variáveis, então a função composta 
f  g será a função de duas variáveis definida por (f  g)(x, y) = f(g(x, y)) e o domínio de f  g será 
o conjunto de todos os pontos (x, y) no domínio de g para os quais g(x, y) está no domínio de f 
(GUIDORRIZZI, 2018).
O símbolo  significa a 
composição das funções 
e lemos “f bola g”. É a 
notação utilizada para a 
função f composta com a 
função g.
Saiba mais
Acompanhe um exemplo da definição de composição de funções de uma variá-
vel com uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 6
Dadas as funções f t
t
� � � 1 e g(x, y) = x + y, ache a função composta h(x, y) = (f  g)
(x, y) e determine o domínio de h.
Como queremos h(x, y) = (f  g)(x, y), então podemos escrever:
(Continua)
14 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
h x y f g x y f x y
x y
, ,� � � � �� � � �� � �
�
1
Assim, o domínio de h será D(f) = {(x, y) ∈ 2x + y ≠ 0}. A figura a seguir mostra 
a representação gráfica dessa composição de funções.
Figura 6
Função h x �y
x� �y
,� � �
�
1
Fonte: Elaborada pela autora.
Definição 3
Uma função polinomial de duas variáveis x e y é uma função f tal que f(x, y) seja a soma de termos 
da forma cxnym, sendo c ∈ � e m, n números inteiros não negativos. O grau da função polinomial é 
determinado pela maior soma m + n dos expoentes de x e y dos termos, em que c ≠ 0.
Vejamos um exemplo da definição de função polinomial de duas variáveis.Σxemρlo 7
O volume V de um cone reto é uma função do raio da base r e de sua altura h. 
Assim, V r h r h,� � � �
2
3
. Determine o grau desse polinômio, o domínio e a imagem 
dessa função.
O grau desse polinômio é igual a 3, pois somamos o grau de r e o grau de h (2 
+ 1 = 3).
Como o raio e a altura de um cone devem ser valores positivos, então D(V) = {(r, 
h) ∈ 2r > 0 e h > 0}.
A imagem de V é dada por z r h� �
2
3
, portanto Im(V) = (0, +∞).
Funções de múltiplas variáveis 15
Dessa forma, passamos a compreender o conceito de função de múltiplas va-
riáveis e a definição de domínio e imagem para essas funções. Também é possí-
vel perceber que agora temos mais possibilidades para modelarmos o mundo ao 
nosso redor.
1.1.1 Interpretação gráfica e curvas de nível 
Nesta subseção vamos trabalhar com um conceito muito útil em áreas da enge-
nharia e da cartografia chamado curva de nível de uma função. Para isso, definire-
mos o conceito de gráfico de uma função e na sequência trabalharemos com um 
tipo específico de gráfico, que nos mostra as curvas de nível de uma função f(x, y).
Definição 4
Suponha f uma função de duas variáveis reais. Essa função escrita na forma f:  2 → , terá como 
gráfico o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em ℝ3, sendo que (x, y) ∈2 é um ponto do domínio 
de f e z = f(x, y) ∈ é a imagem dessa função.
Dessa forma, o gráfico de f: R R�2 → é uma superfície que representa o conjun-
to de todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional.
Σxemρlo 8 
Seja a função de um paraboloide elíptico com a = b = 1, podemos escrever essa 
função na forma f(x, y) = x2 + y2, com f(x, y) ∈ ℝ.
Figura 7
Paraboloide f(x, y) = x² + y²
Fonte: Elaborada pela autora.
Como o domínio de f é um conjunto de pontos no plano xy e cada par ordena-
do (x, y) no domínio de f corresponde a um único valor de z, então nenhuma reta 
perpendicular ao plano xy pode interceptar o gráfico de f em mais de um ponto.
Atrelado a esse conceito, surge a definição de curva de nível. Uma curva de nível 
é obtida com a interseção de um plano paralelo ao plano xy em determinado valor 
de z. Assim, cada curva de nível pode ser expressa por f(x, y) = c, em que c ∈ ℝ. 
16 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Entendemos que, com esse processo, estamos identificando valores do conjunto 
imagem da função f.
Observe o gráfico a seguir com algumas curvas de nível do paraboloide do 
exemplo anterior.
Figura 8
Curvas de nível de ƒ
Fonte: Elaborada pela autora.
Acompanhe mais um exemplo sobre a representação gráfica de uma função de 
duas variáveis e suas curvas de nível.
Σxemρlo 9
A função g x y
(sen(x seny))
(xy)
,� � � � possui domínio D(g) = {(x, y) ∈ ℝ2 | xy ≠ 0}. O gráfico 
para essa função e as curvas de nível serão dados conforme as figuras a seguir.
Figura 9
Gráfico da função �g x y
(sen(x seny))
(xy)
,� � � �
Fonte: Elaborada pela autora.
Curvas de nível para
 • z = –0,2;
 • z = –0,1;
 • z = 0,1;
 • z = 0,2.
Quando temos uma função 
de três variáveis reais a va-
lores reais, f :  3 → , tal 
que f x, y,z = w� � teremos o 
que chamamos de superfície 
de nível. Para entender 
mais sobre esse conceito, 
sugerimos o material do 
Projeto Newton da Univer-
sidade Federal do Pará, que 
trata desse tema, dentre 
os assuntos relacionados 
aos gráficos de funções de 
múltiplas variáveis.
Disponível em: https://aedmoodle.
ufpa.br/pluginfile.php/326997/
mod_resource/content/0/Aula%20
09%20-%20Gr%C3%A1fico%20
de%20fun%C3%A7%C3%B5es%20
de%20duas%20vari%C3%A1veis.pdf. 
Acesso em: 11 mar. 2021.
Leitura
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 17
Figura 10
Curvas de nível, vista superior
Figura 11
Curvas de nível, vista inferior
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que podemos entender as curvas de nível como a projeção do gráfico da 
função sobre o plano xy. Vamos, na sequência, trazer aplicações com o uso das 
curvas de nível para funções na forma f(x, y).
1.1.2 Algumas aplicações
Vamos trazer algumas aplicações de funções de múltiplas variáveis usando o 
conceito gráfico e as curvas de nível.
Essas funções podem ser usadas para indicar a temperatura em uma placa. 
Seja z = T(x, y) uma função que representa a temperatura em cada ponto de uma 
região plana. Nesse caso, as curvas de nível dessa função representam pontos de 
igual temperatura.
É comum que essas regiões sejam representadas por uma paleta de cores (le-
genda) de acordo com a temperatura. Assim, curvas de mesma cor são chamadas 
de isotermas (mesma temperatura).
No artigo Escoamento de ar através de embalagens de polpa de frutas em caixas comerciais: efei-
tos sobre os perfis de velocidade em túneis de congelamento, dos autores Jaime Vilela de Resende, 
Lincoln de Camargo Neves Filho e Vivaldo Silveira Jr., publicado em 2002 na Revista Ciência e 
Tecnologia de Alimentos, você pode observar algumas imagens de curvas isotermas.
Acesso em: 11 mar. 2021. 
https://www.scielo.br/pdf/cta/v22n2/a14v22n2.pdf
Artigo
Também podemos encontrar as curvas de nível na cartografia. A ideia é ma-
pear as alturas de cada terreno e representá-las por meio de curvas no plano xy, 
como mostra a Figura 12.
18 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 12
Representação de curvas no plano xy
Ro
m
ar
y/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
O artigo Uso de césio-137 para avaliar as taxas de erosão em cultura de soja, café e pastagem, 
de Andrello, Appoloni e Guimarães, publicado na Revista Brasileira de Ciência do Solo em 
2003, traz uma imagem bem interessante do uso das curvas de nível na área topográfica para 
análise de solo.
Acesso em: 11 mar. 2021. 
https://www.scielo.br/pdf/rbcs/v27n2/16223.pdf
Artigo
Ainda, podemos encontrar curvas de nível sendo aplicadas a funções de ruptura 
de concreto e de potencial elétrico. Muitos outros exemplos poderiam ser dados 
nesta seção, mas vamos tratar agora de outras ferramentas importantes para a 
análise de funções de múltiplas variáveis.
1.2 Limites de funções de múltiplas variáveis 
Vídeo Assim como estudamos o limite de uma função de uma variável e entendemos 
que esse tipo de estudo é essencial para que possamos entender o comportamen-
to de uma função, principalmente em pontos que não pertencem ao domínio dela, 
nesta seção traremos a definição e alguns exemplos sobre o limite de uma função 
de duas variáveis.
Lembre-se de que estamos dando um enfoque maior nas funções de duas va-
riáveis pela possibilidade de representação geométrica, mas os conceitos desenvol-
vidos podem ser extrapolados para funções de múltiplas variáveis.
Definição 5
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). 
Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) → (a, b) é L e escrevemos
lim
x y a b
f x y L
, ,
,
� � �� �
� ��
Se para todo ε > 0� existe um número correspondente δ > 0 tal que se (x, y) ∈ D e 
0
2 2
 x a y b � �� � � �� � � � , então |f(x, y) – L| < ε (GUIDORIZZI, 2018, p. 170).
Funções de múltiplas variáveis 19
Figura 13
Representação gráfica para a definição de limite
L – ε L L + ε
Fonte: Elaborada pela autora.
Quando trabalhamos com funções de uma variável e x → a, só existem duas 
direções possíveis de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Sabemos que:
se lim lim lim
x� �a x� �a x� �a
f x f x � f x �
� � � � �
� � � � � � � �
Já para as funções de duas variáveis existem infinitas maneiras de (x, y) se apro-
ximar de (a, b). Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de aproximação ao 
longo dos quais f(x, y) tenha limites diferentes, então � f x y
x y � � a b
lim ,
, ,� ��� �
� � . A seguir, 
exemplificaremos como calcular o limite de uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 10
Calcule o limite da função f x y x � �y
x � �y
,� � � �
�
2 2
2 2
 quando (x, y) tende a (0, 0).
Solução
Temos que calcular lim ,
, , , ,x y a b x y
f x y lim x � �y
x � �y
�
� ��� � � ��� �
� � � �
�0 0
2 2
2 2
.
Para isso, vamos usar a ideia de caminhos diferentes que possam nos levar a re-
sultadosdiferentes. Se isso se confirmar, saberemos que o limite não existe. Caso 
contrário, precisaremos usar outro tipo de ferramenta de verificação ou escolher 
outro caminho.
Para auxiliar na escolha desses caminhos, vamos analisar rapidamente o gráfico 
da função.
Figura 14
Gráfico de f x y x � �y
x � �y
,� � � �
�
2 2
2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
(Continua)
20 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Pelo gráfico, notamos que a função não está bem definida no ponto (0, 0), jus-
tamente o ponto em que desejamos calcular o limite. Desse modo, não é possível 
determinar o limite por uma substituição direta, e adotaremos dois caminhos dife-
rentes na tentativa de concluirmos que o limite não existe na origem do sistema.
Uma das maneiras de escolher esses caminhos é justamente optar por regiões 
que apresentem “problema” no domínio, por exemplo em x = 0 e y = 0, pois x2 + 
y2 ≠ 0.
Assim, fazemos:
 • y = 0
lim , � lim
, , , ,x � � x � � x� �
f x �y lim x
x0 0 0 0 0 0
2
2 0
0
0� ��� � � ��� � �
� � � �
�
� ��x
x
�
2
2
1�
 • x = 0
lim , lim
, , , ,0 0 0 0 0 0
2
2 0
0
0y � � y � � y� �
f x �y lim y
y� ��� � � ��� � �
� � � �
�
�
�yy
y
�
2
2
1� �
Portanto, dois caminhos diferentes nos levam a limites diferentes. Dessa manei-
ra, o limite da função f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0) não existe.
Acompanhe mais um exemplo do cálculo de limite de uma função de duas 
variáveis.
Σxemρlo 11
Calcule o limite de g x y x y
x � � y
,� � �
�
3
7 7
2
2 4
, para (x, y) → (0, 0).
Observe que nessa função precisamos tomar cuidado com o valor para (x, y) de 
maneira que o denominador seja diferente de zero, ou seja, 7x2 + 7y4 ≠ 0.
Figura 15
Gráfico da função g x y x y
x � � y
,� � �
�
3
7 7
2
2 4
Fonte: Elaborada pela autora.
Escolher os caminhos x = 0 e y = 0 pode ser uma opção simples. Contudo, ao 
adotarmos esses dois caminhos, recairemos em dois limites com o mesmo resul-
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 21
tado lim � � lim
y x� y
 e 
x �� �
� �
�
�
��
�
�
��0 4 0 2
0
7
0 0
7
0 . Percebemos esse padrão observando a Figura 15, 
na qual, no ponto (0,0), há uma intersecção desses caminhos exatamente na ori-
gem. Portanto, precisaremos optar por outra forma de resolução.
Nesse caso, sugerimos mais uma verificação utilizando outros dois caminhos. 
Usaremos:
 • y = kx
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
lim lim
, , , ,x kx x kx
x kx
x kx
kx
x k� ��� � � ��� �
� �
� � �
�
�0 0
2
2 4 0 0
3
2
3
7 7
3
7 7 44 4x
 �
� �
�� �� ��� �
lim
, ,x kx
x kx
x k x0 0
2
2 4 2
3
7 7
 �
� �
�� �
�
� ��� �
lim
, ,x kx
kx
k x0 0 4 2
3
7 1
0
 • y = x2
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
lim lim
, , , ,x x x x
x x
x x2 0 0
2 2
2 2 4 2 0 0
43
7 7
3
7�
�
�
�
�
��� � �
�
�
�
�
��� �� � �
�
x
xx x x2 8 2 0 0
2 2
2 67
3
7 1�
�
� �
�� ���� ����� �x
x x
x x
lim
, ,
 �
�� �
�
�
�
�
�
�
��� �
lim
, ,x x2 0 0
2
6
3
7 1
0x
x
Note que os dois caminhos nos levam a lim ,
, ,x y
g x y
� ��� �
� � �
0 0
0 . Portanto, essa 
opção também não nos garante um resultado. Essa análise nos leva a suspeitar 
que o limite existe para esse ponto. Assim, faremos:
Seja lim
, ,x y � �
x y
x � � y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
, logo g x y x y
x � �y
,� � �
�
�
�
��
�
�
��
3
7
2
2 4
. Agora, seja ε > 0, queremos 
encontrar um δ > 0 tal que, se
0 3
7
2 4� � � �x y � � 3
7 7
0
2
2 4
x y
x � � y�
� � �
Ou seja:
0 3
7
2 4� � �x y � ⇒ 
3
7 7
2
2 4
x y
x � y��
� �
Uma vez que y2 e y4 são estritamente positivos, temos que:
x x +y
x x y
x
x � �y
2 2 4�
� � � � �� �
�
�
�
�
��
�
�
�� �
3
7
3
7
3
7
3
7
2 2 4
2
2 4
(Continua)
22 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Nesse momento, precisamos fazer com que o numerador seja 3x²y. Contudo, é 
necessário que o produto y(3x²) não modifique o sinal da fração 3
2
2 4
x
x y+
. Para isso 
usaremos |y|.
Dessa forma, se y x
x � �y
3
7
2
2 4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
, então teremos que:
3
7
3
7
2
2 4
�.
x y
x y
y
�
�
Portanto,
3
7
3
7
3
7
2 2 4y y x y� � �
Pelo Teorema do Confronto:
3
7 7
3
7
2
2 4
2 4x y
x y
x y
�
� �
�� �
� �� �� � �� ��
entre 0 e 
Se escolhermos um delta tal que � �� 7
3
 e fizermos 0 3
7
2 4� � �x y �,�teremos:
3
7 7
0 3
7
3
7
3
7
7
3
2
2 4
2 4x y
x y
x y
�
� � � � � �� � �.
Portanto, pela Definição 5:
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �
�
0 0
2
2 4
3
7 7
0
No caso de precisarmos calcular o limite de funções contínuas de duas ou mais 
variáveis, podemos proceder da mesma forma que fazemos para funções de uma 
variável, por meio de substituições diretas.
Vemos que o processo de cálculo para as funções de uma e de múltiplas va-
riáveis é semelhante, mas agora precisamos analisar os caminhos pelos quais po-
demos nos aproximar do valor para o qual queremos encontrar o limite de uma 
determinada função.
1.3 Continuidade de funções 
Vídeo No processo para determinar o limite de uma função de múltiplas variáveis, é 
intuitivo pensarmos se essa função é contínua nesses pontos.
Nas funções de uma variável procuramos se a curva possui “furos” ou “saltos”. 
Nas funções de múltiplas variáveis, exemplificando com o uso de uma função de 
duas variáveis reais, f(x, y), analisaremos se a superfície possui esses mesmos “fu-
ros” ou “saltos/rachaduras” de uma região para outra. Para isso, definimos:
Para reforçar esse con-
teúdo, sugerimos dois 
vídeos do canal UNIVESP. O 
primeiro, ministrado pelos 
professores Samuel Rocha 
de Oliveira e Adolfo Maia 
Jr., traz a parte teórica com 
exemplos. Já no segundo 
vídeo, a professora Martha 
Salermo Monteiro, do 
Instituto de Matemática e 
Estatística da USP, fala das 
curvas em que o limite é 
igual a zero, das curvas de 
limite diferente de zero e do 
teorema para provar que o 
limite da função não existe.
Cálculo II - Aula 4 - Limites e 
Continuidade de Funções de Várias 
Variáveis com Valores Re. Disponível 
em: https://youtu.be/mcPWBJt08XM. 
Acesso em: 27 jan. 2021.
Cálculo II - Aula 6 - Parte 1 - Continui-
dade e cálculo de limites de funções 
de duas variá. Disponível em: https://
youtu.be/8CPS8DjxvZY. Acesso em: 
27 jan. 2021.
Vídeo
Funções de múltiplas variáveis 23
Definição 6
Uma função z = f(x, y) é contínua em um ponto P
0
 = (x
0
, y
0
) se
lim , ,
, ,x y � � x y
f x y f x y
� ��� �
� � � � �
0 0
0 0
Note que a definição é muito semelhante àquela de continuidade para funções 
de uma variável, inclusive visualmente.
Vamos relembrar o Exemplo 10, da função f x y x � �y
x � �y
, .� � � �
�
2 2
2 2
 Vimos que essa fun-
ção tem problemas na origem e que o limite no ponto (0, 0) não existe. Ou seja, essa 
função não é contínua na origem, pois � lim
, ,x y �
x � �y
x � �y� ��� �
�
�0 0
2 2
2 2
.
Agora, observe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 12
Seja a função h(x, y) uma função por partes dada por:
h x y
x y �se x y { x y |x y
se x y {
,
,� � , , �� }
� ,�� ,
� � �
� � �� � � � �
� ��
2 2 2 2 9
9 xx y |x y, �� }� � � �
�
�
�
��
2 2 9
Quando olhamos para x2 + y2 = 9, temos a equação de uma circunferência cen-
trada na origem e de raio 3. Portanto, temos que essa função vale x2 + y2 quando 
olhamos para todos os pontos no interior dessa circunferência e no seu aro, e que h 
vale 9 para os pontos fora dessa circunferência. Graficamente a função h é da forma:
Figura 16
Gráfico da função h(x, y)
Fonte: Elaborada pela autora.
Analisando essa função graficamente, vemos que ela não tem “furos” e nem 
“rachaduras”.
Ao calcularmos o limite de h(x, y) para (x, y) → (3, 3), encontramos que por qual-
quer caminho obteremos o limite igual a 9. Portanto, essa função é contínua, pois:
lim , ,
, ,x y
h x y f
� ��� �
� � � � � �
3 3
3 3 9
24 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Desafio
Analise a função
g x y
x y se x y { x y |�x y
�se x y {
,
,�� � , , }
� ,� � ,
� � �
� � �� � � � �
� ��
2 2 2 2 9
1 xx y |x y, � }� � � �
�
�
�
��
2 2 9 ,
semelhante à h(x, y),e discuta se ela é contínua no ponto (3, 3).
Figura 17
Gráfico de g x y,� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Todas as funções estudadas até esse ponto são funções de múltiplas variáveis 
reais a valores reais. Dentro desse contexto demos prioridade às funções f: ℝ2 → ℝ.
Veremos na sequência uma inversão nessa proposta. Trabalharemos com fun-
ções de uma variável real a valores em ℝn, que podem ser escritas como f: A → ℝn, 
em que A ⊂ ℝ. Tais funções são também chamadas de funções vetoriais. Focaremos 
nas funções f: ℝ → ℝ3.
1.4 Funções vetoriais
Vídeo Para entendermos as chamadas funções vetoriais, trazemos como ponto de par-
tida duas definições sobre o mesmo conceito, de dois matemáticos e autores reno-
mados na área do cálculo multivariável.
Definição 7
“Uma função vetorial, ou função a valores vetoriais, é uma função cujo domínio é um conjunto de 
números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores” (STEWART, 2017, p. 779).
Definição 8
“Uma função de uma variável real a valores em ℝ3 é uma função de F: A→ ℝ3, onde A é um subcon-
junto de ℝ. Uma tal função associa, a cada t ∈ A, um único vetor F (t) ∈ ℝ3. A imagem ou trajetória 
de F é o lugar geométrico, em ℝ3, descrito por F (t), quando t varia em D
F
” (GUIDORIZZI, 2018, p. 116). 
Funções de múltiplas variáveis 25
Para entendermos o conceito geométrico da Definição 8, vamos assumir fun-
ções em que seus valores são vetores tridimensionais, ou seja,� :

r D → 3, com D ⊆ 
 sendo o domínio da função.
Assumindo t ∈ ℝ um valor no domínio de 

r, podemos escrever que existe um úni-
co vetor de ℝ3, denotado por 

r t� �, tal que f(t), g(t) e h(t) são as componentes de r t� �.
Assim, f, g e h são funções a valores reais chamadas funções componentes de 

r e 
são escritas, em coordenadas cartesianas, como:

 

r t f t i� g t j h t k f t �g t �h t� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �, ,
Figura 18
Vetor 

r t� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Seja t uma variável para o tempo, podemos interpretar a expressão 

 

r t f t i� g t j h t k f t �g t �h t� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �, , como o vetor que parte da origem do 
plano cartesiano tridimensional e aponta na direção de P = (f(t), g(t), h(t)).
Assim, se imaginarmos uma partícula que se move por meio da expressão pa-
ramétrica 

r t sent, cost, t� � � � �, então, para t ∈ ℝ, teremos que o caminho percorrido 
por tal partícula será a curva C, que dependerá do tempo t. Essa curva pode ser 
observada na figura a seguir.
Figura 19
Gráfico da função 

r t sent, cost, t� � � � �
Fonte: Elaborada pela autora.
26 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Então, todos os pontos (x, y, z) que formam a curva C, com
x = f(t), y = g(t) e z = h(t) (1)
e t variando em um intervalo aberto conhecido I, são chamados de curva espacial.
As expressões em (1) também são chamadas de representação paramétrica para 
a curva C, em que t é o parâmetro adotado.
Σxemρlo 13
A curva C para a função vetorial 

r t t sent t� � � �� �ln , ,1 , no intervalo I  =  [0,  2π], 
pode ser observada na figura a seguir.
Figura 20
Curva C para 

r t t sent t� � � �� �ln , ,1
Fonte: Elaborada pela autora.
Esses caminhos (curvas) serão modelados por meio da teoria de funções veto-
riais que estamos aprendendo neste capítulo.
Seja a curva D, modelada por:
D �r t sen t t� i sen t sent�j t�k: cos cos

 

� � � �� � � �� � �5 20 5 20 20
no intervalo [0, π].
Figura 21
Modelagem da curva D
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções de múltiplas variáveis 27
Essa curva paramétrica ou função vetorial apresentada para a curva D pode ser 
usada para modelar o reflexo de espelho de feixes de elétrons.
As propriedades para funções vetoriais são semelhantes àquelas para funções 
de uma variável. Assim, sejam  r �s n, :  → , f: ℝ → ℝ e k ∈ ℝ, teremos:
1.      r s t r t s t r s n�� �� � � � � � � � � �� � �:  
2. kr t kr t kr n
  � � � � �� � � � � �:  
3. f r t f t r t f r n· · · :
  � �� � � � � � � � � � � 
4. 
     
r s t r t s t r s�� �� � � � � � � � � �� � �:  
Assumindo 

r t f t g t h tr r r� � � � � � � � �� �, , e 

s t f t g t h ts s s� � � � � � � � �� �, , , teremos 
 
r t s t f t f t g t g t h t h tr s r s r s� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. . .
5.      r s t r t s t r s n�� �� � � � � � � � � �� � �:  
Se n = 3, 

r t f t g t h tr r r� � � � � � � � �� �, , e 

s t f t g t h ts s s� � � � � � � � �� �, , ,
teremos  r s�� � �:  3
   
 

r s t r t s t
i j k
f t g t h t
f t g t h t
r r r
s s s
�� �� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � ��
O limite de uma função vetorial 

r é dado por:
Definição 9
Se 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � , então:
 lim lim
t� �a t� �a
r t f t i g t j h t k
� �
� � � � � � � � � � �
 

se existir os limites de f, g e h com t → a.
Note que os limites de funções vetoriais recaem nas mesmas regras existentes 
para os limites de funções reais. Portanto, uma função vetorial será contínua se:
lim
t� �a
r t r a
�
� � � � � 
Σxemρlo 14
Calcule o limite de 
 

r t t i e j t sent kt� � � � �3 2· para t = 0 e verifique se 

r t� � é contí-
nua nesse ponto.
Solução
lim lim ·
t� � t� �
tr t t i e j t sent k
� �
� � � � �
0 0
3 2  

 lim lim lim ·
t� � t� � t� �
t
t� �
r t t i lim e j t sent
� � � �
� � � � �
0 0
3
0 0
2  

kk
 lim
t� �
r t
�
� � � � � �
0
0 1 0 1

Portanto, o limite de 

r t� � quando t tende a zero é igual a 1.
As curvas paramétricas tri-
dimensionais em função do 
tempo são muito úteis para 
descrever o movimento de 
partículas. No link a seguir 
é possível acompanhar 
diversos resultados obtidos 
com a análise de partículas 
em feixes de elétrons, 
movimento de elétrons em 
campos elétricos, reflexos 
de espelho em feixes de 
elétrons, dentre outros.
Disponível em: http://www.physics.
ucla.edu/plasma-exp/Beam/. Acesso 
em: 11 mar. 2021.
Site
A Propriedade 5 exige que 
lembremos o produto 
vetorial, em geral visto nas 
disciplinas de Geometria 
Analítica e Álgebra Linear. 
Para recordar esse concei-
to, sugerimos o material do 
REAMAT-UFRGS (Recursos 
Educacionais Abertos de 
Matemática). Nele você 
poderá não só recordar 
o conceito de produto 
vetorial, mas também 
acompanhar diversos 
exemplos resolvidos.
Disponível em: https://www.ufrgs.br/
reamat/Calculo/livro-cfvv/xv-o_pro-
duto_vetorial.html. Acesso em: 11 
mar. 2021.
Leitura
28 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A derivada de uma função vetorial 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é definida por:


 
r t dr
dt
t
r t h r t
h
'
t� �
� � � � � �
�� � � � �� �
�
lim
0
Dizemos que 

r t� � é derivável (diferenciável) em t = t0 quando 

r' t0� � existe.
Definição 10
Uma função vetorial é derivável quando suas funções componentes são todas deriváveis.
Assim, se 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é derivável, então:

 

r' t f t ' i g t 'j h t 'k� � � � � � � � � � �
Adotando uma função vetorial da forma f: U → ℝn, tal que U é um subconjunto 
de ℝm, de acordo com Lima (2011, p. 2): “diz-se que uma aplicação f: U → ℝn é dife-
renciável no ponto x ∈ U quando existe uma transformação linear T: ℝm → ℝn tal 
que f(x + h) = f(x) + T · h + r(h), com lim
h
r h
h�
� �
�
0
0”.
Note que as regras de derivação para funções reais podem ser aplicadas às 
funções vetoriais.
A interpretação geométrica para a derivada de uma função vetorial será de-
senvolvida assumindo que 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é um vetor posição de uma 
partícula em movimento no espaço tridimensional. Assim, derivar 

r t� � é encontrar 
o vetor velocidade para a mesma partícula em relação a um ponto t = t0. Também 
podemos interpretar essa derivada como um vetor tangente à trajetória espacial 
descrita pela partícula em cada instante do tempo t.
Já a segunda derivada, 

r'' t� �, nesse caso, pode ser compreendidacomo a acele-
ração da partícula em t.
Σxemρlo 15
Seja 

r t t sent � t� � � � �2, , cos . Calcule �dr�dt

 e �d r�
dt
2
2

.
Solução
As derivadas de 

r t t sent � t� � � � �2, , cos são:
 • �dr�
dt
t t � sent

� �� �2 ,cos ,
 • �d r�
dt
sent � t
2
2
2

� � �� �, , cos
Funções de múltiplas variáveis 29
Por fim, falaremos das integrais de funções vetoriais, que seguem as mesmas 
metodologias adotadas para os limites e derivadas de funções vetoriais. Assim, 
para calcular a integral de uma função vetorial, precisamos calcular as integrais de 
suas componentes, desde que essas integrais existam.
Desse modo, seja 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � uma função vetorial, então:
� � � � � � � � � � � � �� � � � � �    r t dt f t i g t j h t k dt R t C
em que 

R t� � é uma primitiva de r t� �.
Podemos calcular integrais de funções vetoriais definidas em um intervalo [a, b] 
seguindo o mesmo princípio enunciado. Com isso, teremos:
a
b
r t dt R b R a� � � � � � � � �

 
Sendo, 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � , então:
a
b
a
b
a
b
a
b
r t dt f t dt i g t dt j h t� � � �� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
 
ddt k
�
�
�
�
�
�
�
�

Vejamos como esse cálculo é feito na prática.
Σxemρlo 16
Seja 

r t t sent � t� � � � �2, , cos . Calcule 
�
�2
� � �

r t dt
Solução
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2
2 2 3 2
3� � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�

r t dt t dt sentdt tdt t, � , cos � ��
�
�
�
�,� cos � ,� ��
�
�
��
�
�
��t sent
2 2
�
�
� � � � � �
2
3 37
3
2 2 7
3� � � � � �� � �� �
�
�
�
�
�
� �

r t dt sen sen,� cos cos ,� ,����
�
�
�
�
�2 0,�
Dessa maneira, percebemos que as funções vetoriais podem ser calculadas 
com propriedades semelhantes àquelas para funções reais, tendo na sua in-
terpretação geométrica a maior diferença entre essas teorias. O conceito de 
função vetorial é expressivamente usado na física e nas engenharias como um 
todo. Por esse motivo, também é um conceito importante no estudo de diver-
sos teoremas que embasam o cálculo de funções de múltiplas variáveis, os 
quais podem ser encontrados nos materiais de cálculo para funções multiva-
riadas, bem como nas obras de engenharia elétrica, ambiental, de estruturas, 
dentre outras.
30 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS 
Vimos neste capítulo conceitos do cálculo para funções de múltiplas variáveis que 
são base para muitas definições da matemática avançada e peça-chave para resolver 
problemas aplicados em diversas áreas do conhecimento.
Com as funções de múltiplas variáveis e as teorias relacionadas a esse tema, con-
seguimos compreender o comportamento de planos, hiperplanos e superfícies, que 
servem de modelo para nosso mundo real.
O estudo da matemática avançada está só começando. Indicamos que as suges-
tões de leitura, vídeos e demais materiais neste capítulo sejam contempladas e, se 
possível, que os exemplos sejam refeitos para auxiliar na compreensão e na fixação 
do conteúdo.
Desejamos um ótimo estudo!
ATIVIDADES
1. Seja uma função de duas variáveis na forma f x, y =
1
x - y2 2
� � .
A imagem para essa função será Im(f)  =  ℝ  –  {0} e as curvas de nível serão 
f x, y = 1
x - y
= c
2 2� � , com c ≠ 0. Organizando essa expressão, podemos dizer que 
as curvas de nível serão hipérboles? Justifique sua resposta.
2. Seja uma função f(x, y) tal que f(0, 0) = 2. O fato de que f(0, 0) = 2 nos permite 
concluir que existe lim f x, y
x, y 0,0� ��� �
� � ? Justifique sua resposta.
3. Sabendo que 

r t� � é uma função vetorial com três componentes, f(t), g(t) 
e h(t), então se queremos calcular lim r t
t �
� �
0

 teremos que determinar 
lim f t lim g t lim h t
t t t� � �
� � � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0
, , Se o limite em um desses componentes não existir, 
podemos afirmar que o lim r t
t �
� �
0
 também não existe? Justifique.
REFERÊNCIAS 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 2.
LIMA, E. L. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. [Publicações matemáticas]
Vídeo
Derivadas parciais 31
2
Derivadas parciais
Quando trabalhamos com funções de uma variável, pensamos na derivada 
como a inclinação da reta tangente a um determinado ponto do gráfico da 
função. Porém, as funções que trabalharemos neste capítulo são funções de 
duas variáveis ou mais, ou seja, não temos mais uma única curva, mas sim uma 
superfície, uma hiperfície. Os valores para z dependem dos valores de (x, y).
Assim, usaremos o processo que consiste em fixar uma dessas variáveis 
como uma constante e derivar em função das variáveis restantes. Dessa forma, 
procuramos a inclinação de uma reta tangente sobre uma curva da superfície 
da função, paralela a um dos eixos coordenados.
Vamos entender esses processos e nos divertir com as representações 
geométricas dessa importante teoria do cálculo diferencial para funções de 
múltiplas variáveis.
2.1 Derivadas parciais
Vídeo Neste capítulo trabalharemos com funções de duas variáveis ou mais, ou seja, 
não teremos apenas uma curva e sim uma superfície ou uma hiperfície para ser 
avaliada.
De acordo com a obra Variedades diferenciáveis, do saudoso professor Elon Lages 
Lima, um dos matemáticos brasileiros mais importantes da nossa época, uma hiper-
fície está definida como sendo um conjunto M contido no espaço  n+1. Localmente, 
esse conjunto pode ser representado por meio de um gráfico de função real de n 
variáveis (LIMA, 2011).
Quando n = 1, temos uma hiperfície de  2 chamada comumente de curva; 
quando n = 2, temos uma hiperfície  3 conhecida por superfície – é nesse tipo de 
hiperfície que residirá a maior parte dos exemplos deste capítulo.
Vamos entender esse processo e interpretação geométrica para, na sequência, 
trabalharmos com a definição algébrica e os processos de cálculo.
2.1.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais
Para funções de múltiplas variáveis, vamos derivar em relação a cada uma das 
variáveis que compõem a função, fazendo com que as demais sejam fixadas como 
constantes. Sendo assim, se temos uma função f(x, y), calcularemos uma derivada 
em relação a x (com y constante, ou seja y = y0), que será denotada por 
∂
∂
f
x
, e uma 
derivada em relação a y (com x constante, ou seja, x = x0), denotada por 
∂
∂
f
y
.
32 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Temos com isso a derivada parcial da função f em relação a x � f
x
, ∂
∂
  , que toma 
como constante a variável y = y0. Assumiremos que a superfície z = f(x, y) será in-
terceptada por um plano paralelo ao eixo x, passando por A = (x0, y0, f(x0, y0)), como 
apresentado na figura a seguir.
Figura 1
Superfície z = f(x, y) interceptada por um plano paralelo a x
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, ∂
∂
f
x
 será a inclinação da reta tangente à curva C no ponto A = (x0, y0, 
f(x0, y0)).
Figura 2
Reta tangente à curva C
Fonte: Elaborada pela autora.
Já a derivada parcial da função f em relação a y � f
y
, ∂
∂
 toma como constante a va-
riável x = x0. Assumiremos, agora, que a superfície z = f(x, y) será interceptada por 
um plano paralelo ao eixo y, passando por A. Nesse caso, ∂
∂
f
y
 será a inclinação da 
reta tangente à curva D no ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)).
Derivadas parciais 33
Figura 3
Reta tangente à curva D
Fonte: Elaborada pela autora.
Com isso, temos as derivadas parciais em relação a x e em relação a y para uma 
função f(x, y) em um ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)).
�
�
� � � �� � � � �
�
f
x
x y
f x x y f x y
xx0 0 0
0 0 0 0, lim
, ,
�
�
�
�
�
� � � �� � � � �
�
f
y
x y
f x y y f x y
yy0 0 0
0 0 0 0, lim
, ,
�
�
�
Os processos para encontrar as derivadas parciais para funções com mais do 
que duas variáveis são análogos.
2.1.2 Interpretação algébrica
A interpretação geométrica nos ajuda a entender as expressões algébricas que 
utilizamosquando realizamos os cálculos ou provamos alguma teoria. Nesse sen-
tido, vimos a interpretação para as derivadas parciais de uma função composta 
por duas variáveis. Veremos, agora, o contexto algébrico que permite a existência 
dessa estrutura geométrica.
Definição 1
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções ∂
∂
f
x
 e ∂
∂
f
y
 e são definidas por
�
�
� � �
�� � � � �
�
f
x
x y
f x x y f x y
xx
, lim
, ,
�
�
�0
�
�
� � �
�� � � � �
�
f
y
x y
f x y y f x y
yy
, lim
, ,
�
�
�0
em que �
�
� �f
x
x y, é a derivada parcial em relação a x e �
�
� �f
y
x y, é a derivada parcial em relação a y 
(STEWART, 2017).
Portanto, para que exista a derivada parcial em um ponto, é necessário que o 
limite exista nesse ponto.
Para manipular esse 
processo geométrico, 
sugerimos os links a seguir. 
No primeiro, a autora Ana 
Breda criou uma superfície 
por meio da função f(x, 
y) = 4 – x2 – y2 e deixou a 
derivada parcial em relação 
a x interativa, mostrando o 
ponto A de maneira móvel 
e o plano que consequente-
mente intercepta f.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/cfSgMJMf. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Isso também é feito para a 
derivada parcial em relação 
a y, disponível neste link.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/FZwd9Dhp. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Sites
34 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 1
Seja a função f:  2 →  , com f x y x y,� � � �2 2 . Calcule as derivadas parciais de 
f no ponto (0, 0), se existirem.
Solução
�
�
� � � �� � � � � � �
� � �
f
x
f x f
x
x
x
x
x x x
0 0
0 0 0 0
0 0
2
0
, lim
, ,
lim lim
� � �
�
�
�
�
�
��x
Assim, precisamos fazer:
lim
�
�
�x
x
x� �
�
0
1
lim
�
�
�x
x
x� �
� �
0
1
Como �
x
x
x
xx x
lim lim
�
�
�
�
��� � � �
�
0 0
, então �
x
xx
lim
�
�
��0
.
Com isso, não existe a derivada parcial de f em relação a x.
A derivada em relação a y nos levará ao mesmo resultado. Logo, também não 
existe a derivada parcial de f em relação a y.
Nesse caso, temos que a função possui um ponto crítico em (0, 0).
Figura 4
Gráfico da função f x y x y,� � � �2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Notação: podemos denotar as derivadas parciais das formas:
• �
�
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � �
f
x
x y f x y f f
x
z
x
f D f D fx x x, , 1 1
• �
�
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � �
f
y
x y f x y f f
y
z
y
f D f D fy y y, , 2 2
�
�
� �f
x
x,y é a notação 
usada para a derivada 
de f(x, y) em relação a x, 
tomando y como constante 
(independente de x). Já 
a notação 
d
dx
f x,y� �� � é 
a notação usada para a 
derivada de f(x, y) tomando 
y como uma função de x 
(se nada contrário for dito) 
(GUIDORIZZI, 2018).
Importante
Derivadas parciais 35
Técnica:
1. Para encontrar fx, considere y como uma constante e derive f(x, y) em relação 
a x.
2. Para encontrar fy, considere x como uma constante e derive f(x, y) em relação 
a y.
Σxemρlo 2
Calcule as derivadas parciais das funções:
a) f(x, y) = x3 + y2 – 2xy
b) f(x, y, z) = x + y – z2 + 4
c) f(x, y) = sen xy + cos y
Solução
a) f(x, y) = x3 + y2 – 2xy
Fixando primeiro a variável y para calcularmos a derivada parcial de f em rela-
ção a x, temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y x y x y, 3 0 2 3 22 2
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, temos:
�
�
� � � � � � �f
y
x y y x y x, 0 2 2 2 2
b) f(x, y, z) = x + y – z2 + 4
Fixando primeiro as variáveis y e z para calcularmos �
�
� �f
x
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y z, , 1 0 0 0 1
Agora, fazendo x e z constantes para calcularmos �
�
� �f
y
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � �f
y
x y z, , 0 1 0 0 1
Por fim, tomando como constantes x e y para calcularmos �
�
� �f
z
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � � �f
z
x y z z z, , 0 0 2 0 2
c) f(x, y) = sen xy + cos y
Fixando primeiro a variável y para calcularmos a derivada parcial de f em rela-
ção a x, temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y xy y y xy, cos ·� cos0
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, temos:
�
�
� � � � � � � �f
y
x y xy� � x seny x xy seny, cos �·� cos
A plataforma da Khan Aca-
demy traz, além de vídeos 
e atividades, alguns artigos 
sobre o tema da aula. Para 
auxiliar com as derivadas 
parciais, sugerimos o arti-
go intitulado Introdução às 
derivadas parciais. No link 
a seguir também será pos-
sível acessar alguns vídeos 
do canal 3Blue1Brown-
Clips e resolver pequenos 
testes sobre o conceito de 
derivada parcial.
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/multivariable-cal-
culus/multivariable-derivatives/
partial-derivative-and-gradient-arti-
cles/a/introduction-to-partial-deriva-
tives. Acesso em: 30 mar. 2021.
Site
(Continua)
36 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 5
Gráfico de f(x, y) = sen xy + cos y
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que na letra c do Exemplo 2 usamos a regra da cadeia para funções de 
uma variável.
Σxemρlo 3
Se f x y sen xy
x
,� � � ��
�
�
�
�
�
1 , calcule fx e fy.
Solução
Fixando primeiro a variável y para calcularmos fx, teremos:
f x y xy
x
y
x
y
x
xy
xx
, cos cos� � � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
1 1 1 1
2 2 ��
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, teremos:
f x y xy
x
x x xy
xy
, cos cos� � � ��
�
�
�
�
� � � � ��
�
�
�
�
�
1 1
Conhecendo tanto as particularidades geométricas quanto as algébricas das de-
rivadas parciais z = f(x, y), podemos expandir esse campo para as derivadas parciais 
de maior ordem. Veremos, na sequência, essa teoria.
2.1.3 Derivada de maior ordem
Considere uma função f:  2 →  da forma f(x, y).
Podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parciais, desde que o limi-
te exista. Assim, se f(x, y) = x2y5, podemos escrever:
Derivadas parciais 37
 • Derivadas parciais de primeira ordem:
�
�
� � � � � �f
x
x y f x y xx, , 2
�
�
� � � � � �f
y
x y f x y yy, , 5
4
 • Derivadas parciais de segunda ordem:
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
� � � � �� � � � � �x
f
x
x y f
x
x y f f x y f x yx x xx, , , ,
2
2
2
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
� �
� � � � �� � � � � �x
f
y
x y f
x y
x y f f x y f x yx y xy, , , ,
2
0
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
� �
� � � � �� � � � � �y
f
x
x y f
y x
x y f f x y f x yy x yx, , , ,
2
0
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
� � � � �� � � � � �y
f
y
x y f
y
x y f f x y f x y yy y yy, , , ,
2
2
320
Note que �
� �
� � � �
� �
� �
2 2f
x y
x y f
y x
x y, , . Isso não é uma coincidência, e a explicação 
para esse resultado está no teorema a seguir.
Teorema 1: Teorema de Clairaut
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). 
Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então fxy(a, b) = fyx(a, b) (STE-
WART, 2017).
Σxemρlo 4
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x3 + x2y4 – 3y2.
Solução
 • Derivadas de primeira ordem:
�
�
� �
f
x
x y x3 22 4
�
�
� �
f
y
x y y4 62 3
 • Derivadas de segunda ordem:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
46 2f
x x
f
x
x y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
2 212 6f
y y
f
y
x y
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
38f
x y x
f
y
y x
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
38f
y x y
f
x
y x
38 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Derivadas de ordem superior são calculadas derivando as derivadas parciais de 
ordens inferiores.
Σxemρlo 5
Seja a função g(x, y) = x5 + 3xy4 – 2yx7. Calcule gyxx.
Solução
Primeiro devemos derivar g em função de y, depois em função de x e, por fim, 
em função de x novamente.
Assim:
�
�
� �� � � �y x xy yx xy x
5 4 7 3 73 2 12 2
� �� �
�
� �
12 2
12 14
3 7
3 6
xy x
x
y x
Por fim:
� �� �
�
� �
12 14
84
3 6
5
y x
x
x
Vamos entender, na sequência, como podemos calcular a equação de um plano 
tangente a um ponto de uma superfície definida por uma função.
2.2 Plano tangente e diferenciabilidade
Vídeo Vamos supor que a superfície em azul naFigura 6, denotada por S, seja definida 
pela função f(x, y) = z. O ponto A = (x0, y0, z0) é um ponto de S e o plano α tangencia 
S em A.
Figura 6
Plano α tangente a f(x, y) em A.
Fonte: Elaborada pela autora.
Derivadas parciais 39
Note que duas retas estão contidas nesse plano e são retas tangentes à superfície 
S, passando pelo ponto A. Dessa forma, podemos dizer que a inclinação dessas retas 
é calculada por meio das derivadas parciais de f.
Portanto, se pudermos escrever uma equação genérica para o plano α na forma:
h(x, y) = ax+ by + c (1)
Teremos que:
 • A inclinação na direção do eixo x será:
a f
x
x y� �
�
� �0 0, (2)
 • A inclinação na direção do eixo y será:
b f
y
x y� �
�
� �� ,0 0 (3)
 • O ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)) satisfaz (1) 
Com isso, escrevemos:
h(x0, y0) = f(x0, y0) (4)
Substituindo as Equações (2) e (3) na Equação (1), obtemos:
h x y f
x
x y x f
y
x y y c, , ,� � � �
�
� � � �
�
� � �0 0 0 0 (5)
Agora, substituindo a Equação (4) na Equação (5) e isolando a constante c, temos:
c f x y f
x
x y x f
y
x y y� � � � �
�
� � � �
�
� �0 0 0 0 0 0 0 0, , , (6)
Por fim, substituindo a Equação (6) em (5), encontramos:
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0 (7)
Com isso, desde que o plano tangente a um ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)) exista, ele 
poderá ser calculado por meio da Equação (7)
Σxemρlo 6
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z senxy ex y� � ���
2 2
1 no 
ponto A = (0, 0, 2).
Solução
O gráfico de z senxy ex � �y� � ���
2 2
1 é a superfície apresentada na figura a seguir.
(Continua)
40 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 7
Gráfico de z senxy ex y� � ��� � �
2 2
1
Fonte: Elaborada pela autora.
Usando a equação (7):
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
E fazendo:
g x f x sen x e sen e ex � � x x� � � � � � � � � � � � � � ��, �·�� �0 0 1 0 1 12 0 2 2
h y f y sen y e sen e e� �y y y� � � � � � � � � � � � � � ��0 0 1 0 1 10 2 2 2, �·�� �
Temos:
g x xe' x� � � 2 2 e � � � �h y yey2 2
Logo:
�
�
� � � � � � �
�
� � � � � ��f
x
g �� f
y
h'0 0 0 0 0 0 0 0, , , e f(0, 0) = 2
Com isso, a equação do plano tangente a z senxy ex � �y� � ���
2 2
1 no ponto A = (0, 
0, 2) será escrita como:
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
h x y x y,� � � � ��� �� � ��� ��2 0 0 0 0
h x y,� � � 2
Na Figura 8 é possível ver o plano tangente a z senxy ex � �y� � ���
2 2
1, ou seja, veri-
ficar a localização de h(x, y) = 2.
(Continua)
Derivadas parciais 41
Figura 8
Gráfico de h(x, y) = 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Definição 2
Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x, 
y) no ponto A = (x
0
, y
0
, f(x
0
, y
0
))
 
é dada por:
z – f(x
0
, y
0
) = f
x
(x
0
, y
0
)(x – x
0
) + f
y
(x
0
, y
0
)(y – y
0
)
Se o plano calculado pela Equação (7) existe e fornece uma “boa aproximação” 
para f(x, y) ao redor de (x0, y0), então dizemos que f é diferenciável nesse ponto.
O conceito de “boa aproximação” pode ser verificado por meio do limite. Portan-
to, teremos uma “boa aproximação” se:
lim
, , , ,
x x
y y
f x y f x y f
x
x y x x f
y
x y
�
�
� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� �
0
0
0 0 0 0 0 0 0 yy y
x y x y
��� ��
�
�
�
�
�
�
�� � � � �
�
0
0 0
0
,
(8)
em que |(x, y) – (x0, y0)| representa a distância de (x, y) a (x0, y0), que é dada por 
x x y y�� � � �� �0
2
0
2 .
A Equação (8) nos permite concluir que se (x, y) se aproxima de (x0, y0), a diferen-
ça entre f(x, y) e z = h(x, y) se aproximará mais rapidamente de zero.
Neste ponto, podemos tirar algumas conclusões importantes:
 • Toda função diferenciável é contínua, mas nem toda função contínua é 
diferenciável.
 • A existência de derivadas parciais não é suficiente para mostrar que uma 
função é diferenciável.
42 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 7
Verifique se a função f(x, y) = |x| + |y| é diferenciável em (0,0).
Solução
Fazendo y = 0, obteremos z = |x| e, sendo assim:
� z
x
�
�
� �0 0,
pois os limites laterais são diferentes para x → 0.
Portanto, z não é diferenciável, poque uma das condições necessárias para se 
comprovar tal fato já não foi satisfeita.
Teorema 2
Se as derivadas parciais de uma função f(x, y) existirem em um conjunto aberto 
D contendo (x0, y0) e se forem contínuas em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).
Σxemρlo 8
Verifique se a função f(x, y) = sen xy é diferenciável.
Solução
Vamos verificar a existência e continuidade das derivadas parciais.
Assim:
�
�
� � � � �f
x
x y y xy, cos
�
�
� � � � �f
y�
x y x xy, cos
Note que as derivadas parciais são contínuas para todo (x, y) ∈  2, portanto a 
função f(x, y) = sen xy é diferenciável.
Agora que sabemos verificar se uma função de múltiplas variáveis é diferenciá-
vel, vamos aprender a regra da cadeia.
2.3 Regra da cadeia
Vídeo Quando trabalhamos com a regra da cadeia para derivadas, precisamos anali-
sar primeiro a quantidade de variáveis que as funções que compõem o problema 
possuem.
Conhecemos a regra da cadeia para derivadas quando aplicada às funções de 
uma variável. Veremos, a seguir, casos em que essa regra é aplicada para funções 
de múltiplas variáveis.
Derivadas parciais 43
Definição 3: Regra da cadeia para derivadas
Sejam as funções z = f(x, y), x = f(t) e y = g(t) diferenciáveis, ou seja, as suas derivadas parciais são 
contínuas. Então f(x, y) = z é uma função diferenciável de t e podemos escrever:
dz
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
�
�
�
�
�
�
Escrito em versão matricial, temos um produto escalar entre o vetor de deriva-
das parciais pelo vetor de derivadas de f. Assumindo 

v t
x t
y t
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, então:
dz
dt
f
x
f
dx
dt
dy
dt
f v t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � �
y
� �� ��
�
��
�
�
� �
� �� ��
�
v' t
Portanto, d
dt
f v t f v t v t
  � �� � � � � �� � � � �´ .
Acompanhe um exemplo de como calcular a derivada de uma função cujas va-
riáveis dependem de outra variável.
Σxemρlo 9
Seja a função f(x, y) = x2 – 2y, em que x = x(t) = t2 e y = y(t) = et. Calcule a derivada 
de f(t).
Solução
Para isso podemos fazer uma substituição da forma:
f t t � et� � � � � � � �2 2 2
Portanto,
�
�
� �
f
t
t et4 23
Podemos resolver esse mesmo exemplo de uma segunda maneira: calculamos, 
em primeiro lugar, a derivada de f(t) usando as derivadas parciais. Dessa forma, 
fazemos:
�
�
�
f
x
x2
�
�
� �
f
y
2
Precisamos ainda calcular dx
dt
 e dy
dt
 para podermos usar a regra da cadeia na 
forma:
df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
�
�
�
�
�
�
Para relembrar a regra da 
cadeia para funções de 
uma variável, sugerimos 
o vídeo da plataforma da 
Khan Academy intitulado 
Regra da Cadeia.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/ap-calculus-ab/
ab-differentiation-2-new/ab-3-1a/v/
chain-rule-introduction. Acesso em: 
18 fev. 2021.
Vídeo
Uma demonstração para a regra 
da cadeia para derivadas pode 
ser encontrada na página 840 do 
livro Cálculo, de Stewart (2017). 
STEWART, J. São Paulo: Cengage 
Learning, 2017. v. 2.
Leitura
(Continua)
44 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Portanto, dx
dt
t= 2 e dy
dt
et= .
Assim:
df
dt
x t e t t e t et t t� � � � �� � � � � � � �2 2 2 2 2 2 4 22 3
De maneira geral, para funções com mais de duas variáveis, f(x1, ..., xn), com 

v t x t x tn� � � � � � � �� �1 , , , podemos escrever a derivada de f em relação a t na forma:
df
dt
f
x
dx
dt
�
i
n
i
i�
�
�
�
�
1
(9)
Na forma matricial, podemos escrever:
d
dt
f v t
f
x
f
x
dx
n
f v t
�
�
� �� ��
�
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � �
1
1
ddt
dx
dt
n
v' t
�
� �� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
Definição 4:
Seja z = f(x, y), com x = g(s, t) e y = h(s,t), uma função diferenciável com x e y também diferenciáveis. 
Então:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
s
z
x
x
s
z
y
y
s
� (10)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
t
z
x
x
t
z
y
y
t
(11)
Para compreender melhor como calcular as derivadas parciais de uma função 
de duas variáveis, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 10
Seja a função f(x, y) = z = x2 – 2y3x, em que x = x(s, t) = st2 e y = y(t) = s2et. Calcule 
as derivadas ∂
∂
z
s
 e ∂
∂
z
t
.
Solução
Usando a Equação (10), obtemos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
s
z
x
x
s
z
y
y
s
�
�
� �� � � �� �� �zs x y t xy e s
t2 2 6 23 2 2
� � � � � ��
�
�
�
�
� � � �� �� �� �2 2 6 22 2 3 2 2 2st s e t st s e e st t t²
(Continua)
Derivadas parciais 45
�
�
� �� � � � � � � �zs st s e t s t e st s t e s t e
t t t t2 2 12 2 2 122 6 3 2 6 2 3 4 6 2 3 6 2 3
�
�
� �
z
s
st s t e t2 144 6 2 3
Usando a Equação (11), obtemos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
t
z
x
x
t
z
y
y
t
�
�
� �� �� � � �� �� �zt x y st xy s e
t2 2 2 63 2 2
�= st s e st st s e s et t t2 2 2 62 2
3 2 2 2� � � � ��
�
�
�
�
� � � � � �� �� �� �²
�
�
� �� �� � � � � �zt st s e st s t e s t s te s t e
t t t t2 2 2 6 4 4 62 6 3 5 2 2 2 3 7 3 7 2 3
�
�
� �
z
t
s t s t e t4 102 3 7 3³
Na sequência, veremos as derivadas direcionais e como podemos entender as 
derivadas parciais como casos particulares delas.
2.4 Derivadas direcionais e vetor gradiente
Vídeo O gradiente de uma função composta por múltiplas variáveis – f(x1, ..., xn) – é for-
mado por todas as informações sobre suas derivadas parciais. Essas informações 
são apresentadas em formato de vetor, denotado por ∇f, com:
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
f
x
f
xn
1

Assumindo que
�
�
v t x t x t x t
x t
x t
x t
n
n
� � � � � � � � � �� � �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2
1
2, , ,
é uma função vetorial, então o gradiente de uma função f v t
 � �� � é também uma 
função vetorial.
O vetor gradiente aponta para a direção de crescimento da função. Assim, se 
vamos analisar uma situação, por exemplo, a partir do ponto (x0, y0) e desejamos 
entender em que direção a função f cresce (aumenta) mais rapidamente, calcula-
mos ∇f(x0, y0).
46 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A definição de campo vetorial traz que: um campo vetorial associa um vetor a 
cada ponto no espaço.
Desse modo, interpretando ∇f como uma função vetorial e calculando o gra-
diente de f para diversos pontos do domínio de f, podemos visualizar esse resulta-
do como um campo de gradientes. Esse campo de gradientes vive no domínio de f, 
que é o plano xy.
Σxemρlo 11
Seja a função f(x, y) = sen xy diferenciável. O gradiente de f, ∇f, é dado por:
� � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
f x y
y xy
x xy
,
cos
cos
O campo de gradientes de f pode ser visto nas figuras a seguir.
Figura 9
Função f(x, y) = sen xy
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 10
Campo de gradientes de f(x, y) = sen xy
Fonte: Elaborada pela autora.
Para saber mais sobre os 
campos vetoriais, sugeri-
mos que acesse o material 
da plataforma da Khan 
Academy disponibilizado 
no link a seguir. Nele é 
possível rever o conceito 
de campo vetorial, assistir 
a vídeos com exemplos 
e exercitar seu conheci-
mento.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/thinking-
-about-multivariable-function/
ways-to-represent-multivariable-
-functions/a/vector-fields. Acesso em: 
30 mar. 2021.
Site
Derivadas parciais 47
O gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à curva de nível que 
passa por esse ponto. Assim, se traçarmos as curvas de nível de uma função f(x, y) 
e nesse mesmo domínio traçarmos o campo de gradientes, conseguimos ter uma 
ideia bastante precisa sobre o comportamento dessa função.
Para compreender essa relação, analise a figura a seguir 1 .
Figura 11
Campo de gradientes e curvas de nível
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos uma ligação direta entre a regra da cadeia e as derivadas direcionais. 
Vamos entender esse processo na sequência.
2.4.1 Relação da derivada direcional e o vetor gradiente
Quando trabalhamos com as derivadas parciais, analisamos o comportamento 
de uma função em relação à direção dos eixos ordenados. As derivadas direcionais 
podem ser entendidas como uma expansão desse conceito.
Assim, se desejamos calcular a derivada direcional de uma função f, na direção 
de um vetor 

u, em relação a um ponto A = (x0, y0), precisamos calcular a taxa de 
variação de z na direção de 

u, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva obtida 
pela intersecção da superfície z com o plano vertical que passa por (x0, y0, 0) na 
direção de 

u.
Esta figura pode ser 
manipulada no GeoGebra 
on-line, disponível em: 
https://www.geogebra.
org/3d/gmpxsgqy. Acesso 
em: 30 mar. 2021.
1
48 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 12
Derivada de f(x, y) em relação ao vetor au no ponto P 
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Fonte: Dixiemath; Alberca, 2021.
Definição 5
Seja f(x, y) = z uma função de duas variáveis e 

u a b�� �, um vetor unitário. A derivada direcional de f 
em A = (x
0
, y
0
) na direção de 

u é escrita como:
D f x y
f x ha y hb f x y
hu h

0 0
0
0 0 0 0, lim
, ,� �� � �� �� � �
�
(12)
caso esse limite exista.
Algumas notações que representam a derivada direcional de uma função f na 
direção do vetor 

u são:
� �
�
�
� � � �   
u u u uf
f
u
f D f f´ (13)
Portanto, se f é uma função diferenciável, podemos escrever a derivada direcio-
nal por meio do produto escalar entre ∇f e 

u.
Teorema 3
Segundo Stewart (2017), seja f uma função de duas variáveis x e y diferenciável, 
∇f o gradiente de� ,� ,f u a b

� � � um vetor unitário, então:
D f f
x
a f
y
b
f
x
f
y
a
bu
f
�
� �� ��
�
�
�
�
� � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
u
f u�� � �
(14)
Derivadas parciais 49
É comum trabalharmos com vetores normalizados, ou seja, versores, sendo que 
esse tipo de transformação (ajuste) no vetor é necessário nos casos de uso das de-
rivadas direcionais para o cálculo da inclinação.
Σxemρlo 12
Seja a função f x y x y,� � � �2 2 . Sabendo que D f x y f x y uu

, ,� � � � � � � , com u um ve-
tor unitário, calcule a derivada direcional de f no ponto P = (3, 4) na direção do vetor 

 
v i j� �3 4 .
Solução
O versor de 

v pode ser calculado por 
� �
�
� �
u v
v
= .
Assim:
� �
�
v � � �� � �3 4 52 2
Logo:

 
u i j�
�� �
� �
�
�
�
�
�
� � �
3 4
5
3
5
4
5
3
5
4
5
,
, .
Sendo:
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�f x y f
x
f
y
x
x y
y
x y
x
x y
i y
x
, , ,
2 2 2 2 2 2 2

�� y
j
2

Teremos:
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �f � i j3 4 3
3 4
4
3 4
3
5
4
52 2 2 2
, ,
 
Portanto:
D f � f � �u 3 4 3 4
3
5
4
5
3
5
4
5
3
5
4
5
, , �·�� , , �·�� ,� � � � � � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � � � �
9
25
16
25
7
25
Com essa ferramenta, podemos não só calcular a derivada de uma função em 
diversas direções, mas também analisar o comportamento dessa função em pon-
tos específicos e direcionado por diferentes vetores.
2.4.2 A relação entre a regra da cadeia e as derivadas 
direcionais
Para entender esse processo, note que a expressão do produto escalar para a 
regra da cadeia para múltiplas variáveis se parece com uma derivada direcional:
� � �� � � � �f v t u t'  (15)
Esse fato não é uma coincidência. Quando escrevemos a derivada de 

u para um 
valor t0, 

u t' 0� �, o resultado desse processo estará no domínio de f:

u t
x t
y t
'
0
0
0
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
´
´
O GeoGebra é uma 
ferramenta computacio-
nal que permite visualizar 
diversos conceitos da 
matemática por meio de 
suas estruturas geométri-
cas. No material a seguir, 
o professor Waldecir 
Bianchini desenvolveu 
uma ferramenta intera-
tiva que mostra a inter-
pretação geométrica do 
gradiente de uma função 
de duas variáveis em um 
pontoP em relação à sua 
derivada direcional na 
direção do vetor unitário.
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/m5jfSAP6. Acesso 
em: 30 mar. 2021.
Site
Exemplos resolvidos de 
problemas envolvendo 
derivadas direcionais 
podem ser encontrados 
no material da plataforma 
da Khan Academy intitu-
lado Derivadas direcionais 
(introdução).
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/multivariable-
-calculus/multivariable-derivatives/
partial-derivative-and-gradient-ar-
ticles/a/directional-derivative-intro-
duction. Acesso em: 30 mar. 2021.
Leitura
50 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Por exemplo, se 

u t� �  for interpretado como a trajetória de uma partícula no 
momento t t ��u t'� � �0 0,

, dará o vetor velocidade dessa partícula naquele momento.
Com essa interpretação, a regra da cadeia nos diz que a derivada da função 
composta f u t
 � �� � é a derivada direcional de f ao longo da derivada de u t� �.
2.5 Valores máximo e mínimo
Vídeo No estudo das funções de uma variável, percebemos que uma das grandes apli-
cações das derivadas é no estudo de problemas de otimização. Para isso, é funda-
mental que ferramentas envolvendo a teoria de máximos e mínimos sejam usadas.
Isso não é diferente para as funções de múltiplas variáveis. Agora, no entanto, 
os pontos de máximo ou mínimo, locais ou globais, estarão localizados em hiperfí-
cies no  n, com n > 2.
Figura 13
Superfície com máximos e mínimos locais 
JM
at
th
ew
s/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Dessa forma, precisamos identificar em primeiro lugar se temos pontos críticos 
para que possamos verificar, na sequência, se esses pontos são de máximo ou 
mínimo. Essa análise é feita utilizando-se as derivadas parciais de primeira ordem.
Definição 6
Assumindo f uma função de duas variáveis e C = (x
0
, y
0
),
 
dizemos que essa função possui ponto crítico em 
C se 
�
�
� ��f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� ��f
y
x y0 0 0, , ou se uma das derivadas parciais não existir.
Derivadas parciais 51
Teorema 4
“Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (x0, y0) e as derivadas 
parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então �
�
� � �f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� � �f
y
x y0 0 0, ” (STEWART, 2017, p. 859).
Impondo a condição de que �
�
� � �f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� � �f
y
x y0 0 0, em (7), ou seja, na 
equação 
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
 obteremos h(x, y) = f(x0, y0).
Σxemρlo 13
Seja a função f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 representada pela figura a seguir.
Figura 14
Gráfico de f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos fx(x, y) = –8x
3 + 20xy – 4x e fy(x, y) = –12y
3 + 10x2 – 4y. Tomando fx(0, 0) = 0 
e fy(0, 0) = 0, o ponto (0, 0, 0) é um ponto crítico da função.
Acompanhe mais um exemplo.
Σxemρlo 14
Seja a função f(x, y) = –x3 + 4xy – 2y2 +1. Calcule os pontos críticos de f.
Solução
Fazemos:
fy = 4x – 4y = 0 (16)
e
fx = –3x
2 + 4y = 0 (17)
Para entender um pouco 
mais sobre o uso dessas 
definições e como avaliar 
se um ponto crítico é 
um ponto de máximo ou 
mínimo, local ou absoluto, 
sugerimos o material Má-
ximos, mínimos e pontos de 
sela, da plataforma da Khan 
Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applica-
tions-of-multivariable-derivatives/
optimizing-multivariable-functions/a/
maximums-minimums-and-saddle-
-points. Acesso em: 30 mar. 2021.
Leitura
Nem todos os pontos 
críticos são máximos ou 
mínimos.
Importante
(Continua)
52 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Tomando a Equação (16), temos que x = y. Substituindo esse resultado em (17), 
obtemos:
–3x2 + 4x = 0
Portanto, x(–3x + 4) = 0, logo x = 0 e x = 4
3
.
Com isso, temos que os pontos críticos de f estarão em A = (0, 0) e B � �
�
�
�
�
�
4
3
4
3
, .
Observe a figura a seguir para verificar o posicionamento desses pontos. Proje-
tadas no plano xy, podemos ver algumas curvas de nível dessa função.
Figura 15
Gráfico de f(x, y) = –x3 + 4xy – 2y2 + 1
Fonte: Elaborada pela autora.
Seguiremos com quatro definições que nos permitem analisar se os pontos crí-
ticos encontrados são pontos de máximo ou mínimo, local ou global.
Definição 7
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x
0
, y
0
) ∈ D(f) é ponto de máximo absoluto 
ou global de f se ∀ (x, y) ∈ D(f) ⇒ f(x, y) ≤ f(x
0
, y
0
).
 
Nesse caso, dizemos que f(x
0
, y
0
) é o valor máximo 
de f.
Definição 8
Dizemos que a função z = f(x, y) admite um máximo local no ponto (x
0
, y
0
) se existe um disco aberto R 
contendo (x
0
, y
0
) tal que f(x, y) ≤ f(x
0
, y
0
)
 
para todos os pontos (x, y) em R.
Para entender um pouco 
mais sobre o uso dessas 
definições e como avaliar 
se um ponto crítico é um 
ponto de máximo ou mí-
nimo, local ou absoluto, 
sugerimos o material Má-
ximos, mínimos e pontos 
de sela, da plataforma da 
Khan Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applica-
tions-of-multivariable-derivatives/
optimizing-multivariable-func-
tions/a/maximums-minimums-
-and-saddle-points. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Saiba mais
Derivadas parciais 53
Definição 9
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x
0
, y
0
) ∈ D(f) é ponto de mínimo absoluto ou 
global de f se ∀ (x, y) ∈ D(f) ⇒ f(x, y) ≥ f(x
0
, y
0
).
 
Nesse caso, dizemos que f(x
0
, y
0
) é o valor mínimo de f.
Definição 10
Dizemos que a função f(x
0
, y
0
) admite um mínimo local no ponto (x
0
, y
0
) se existe um disco aberto R 
contendo (x
0
, y
0
) tal que f(x
0
, y
0
) ≤ f(x, y) para todos os pontos (x, y) em R.
Contudo, analisar se uma função em determinado ponto é maior ou menor 
quando comparada a uma região pode não ser muito simples. Por esse motivo, 
usaremos o chamado teste da segunda derivada, que nos permitirá concluir o cará-
ter dos pontos críticos encontrados.
Teste da segunda derivada, baseado em Bianchini (2021) e Stewart (2017).
Suponha que f tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em um disco aberto com centro em 
um ponto crítico (x
0
, y
0
) de f. Denotaremos por A = f
xx
(x
0
, y
0
), B = f
xy
(x
0
, y
0
), C = f
yy
(x
0
, y
0
) e H = AC – B2. 
Então:
• Se H > 0 e A > 0, então f(x
0
, y
0
) é um mínimo local.
• Se H > 0 e A < 0, então f(x
0
, y
0
) é um máximo local.
• Se H < 0, então f(x
0
, y
0
) é um ponto de sela e o gráfico de f cruza seu plano tangente em (x
0
, y
0
).
• Se H = 0, nada podemos concluir.
Note que H
f f
f f
A B
B C
AC B f f fxx xy
xy yy
xx yy xy� � � � � � � �2
2
.
Σxemρlo 15
Seja a função f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 (trabalhada no Exemplo 13). 
Temos ferramentas para analisar se o ponto crítico (0, 0, 0) é um ponto de máximo, 
mínimo ou ponto de sela.
Para isso, precisaremos encontrar as segundas derivadas. Assim, fazemos:
fxx = –24x
2 + 20y – 4, fyy = –36y
2 – 4 e fxy = fyx = 20x
Calculando em (x0, y0) = (0, 0), teremos:
f � x yxx 0 0 24 20 4 4
2, � �� � � � � � � �
f � yyy 0 0 36 4 4
2, � �� � � � � � �
f � f � xxy yx0 0 0 0 20 0, ,� � � � � � �
(Continua)
54 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Logo:
H �0 0
4 0
0 4
16 0 16 0,� � � �
�
� � � �
Portanto, como H > 0, temos um ponto de sela representado pelo ponto A = (0, 
0, 0) e que pode ser observado na Figura 14.
Acompanhe outro exemplo.
Σxemρlo 16
Usando o mesmo princípio, analisaremos os pontos críticos da função f(x, y) = 
–x3 + 4xy – 2y2 + 1 do Exemplo 14.
Como fy = 4x – 4y = 0 e fx = – 3x
2 + 4y = 0, então:
fxx = – 6x, fyy = – 4 e fxy = fyx = 4
Assim:
fxx(0, 0) = – 6x = 0, fyy(0, 0) = – 4
fxy(0, 0) = fyx(0, 0) = 4
H �0 0
0 4
4 4
0 16 16 0,� � �
�
� � � � �
Portanto, temos um ponto de sela, representado pelo ponto A = (0, 0, 1) na Fi-
gura 15.
Para analisar o ponto B � �
�
�
�
�
�
4
3
4
3
437
200
, , , vamos aproveitar as derivadas já calcula-
das. Assim:
f xxx � ��6 , fyy � ��4 e f fxy yx= = 4
Logo,f xxx
4
3
4
3
6 8,�
�
�
�
�
� � � � � , fyy
4
3
4
3
4, ��
�
�
�
�
� � �
f fxy yx
4
3
4
3
4
3
4
3
4, ,�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
H �0 0
8 4
4 4
32 16 16 0,� � � �
�
� � � �
Como H > 0 e fxx < 0, temos um ponto de máximo local em B que pode ser ob-
servado na Figura 15.
Com essas ferramentas, podemos começar a pensar em problemas de otimiza-
ção envolvendo funções de múltiplas variáveis, sem nos restringir apenas a proble-
mas no espaço bidimensional.
Caso queira saber mais 
sobre esse assunto, sugeri-
mos que acesse o material 
Raciocínio por trás do teste 
da segunda derivada parcial, 
que apresenta o conceito 
chamado de polinômio de 
Taylor.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applications-
-of-multivariable-derivatives/opti-
mizing-multivariable-functions/a/
reasoning-behind-the-second-par-
tial-derivative-test. Acesso em: 30 
mar. 2021.
E, para treinar seus conhe-
cimentos, sugerimos os 
exercícios também presen-
tes na plataforma da Khan 
Academy que auxiliarão 
na fixação do conteúdo 
e podem ser resolvidos 
on-line.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applications-
-of-multivariable-derivatives/opti-
mizing-multivariable-functions/a/
examples-second-partial-derivative-
-test. Acesso em: 30 mar. 2021.
Saiba mais
Derivadas parciais 55
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Neste capítulo pudemos trabalhar com as derivadas parciais e direcionais de 
uma função de múltiplas variáveis. Tais conceitos nos permitem analisar o compor-
tamento da função, identificar pontos de máximo ou mínimo, locais ou globais, e 
ainda são usadas para problemas aplicados, como na área de otimização.
Os materiais sugeridos para leitura, os vídeos e as atividades complementam 
nosso texto, trazendo um outro olhar sobre o tema, que permite maior reflexão 
e aprendizado. Por isso, vale a pena conferir para aprofundar ainda mais seus 
conhecimentos.
ATIVIDADES
1. Analise a afirmação a seguir e determine se ela é verdadeira ou falsa. Justifique sua 
resposta.
"Existe função descontínua em um determinado ponto que é diferenciável nesse 
mesmo ponto."
2. Sabendo que z = f(x, y) é uma função que admite derivadas parciais em (x0, y0), 
enuncie uma propriedade para 
� � ��
�
�
�
� � �
�
� ��
�
�
�
�
�
f x y
f
x
x y
f
y
x y
0 0
0 0 0 0
,
, , ,
3. Podemos afirmar que se f(x, y) possui um máximo local em (x0, y0), então, nesse 
ponto, o plano tangente a f será paralelo ao plano xy? Justifique sua resposta.
REFERÊNCIAS
BIANCHINI, W. Aprendendo cálculo de várias variáveis. Volume I, Cálculo II. ed. rev. Rio de Janeiro: Instituto 
de matemática – UFRJ, 2021. Disponível em http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/calculo2.pdf. Acesso 
em: 30 mar. 2021.
DIXIEMATH, A. A. S. Directional Derivative 2. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/bxhwxr2x. Acesso em: 30 mar. 2021.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1, 2, 3, 6.
LIMA, E. L. Variedades diferenciáveis. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. Disponível em: https://impa.br/wp-
content/uploads/2017/04/PM_25.pdf. Acesso em: 30 mar. 2021.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 2.
Vídeo
56 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
3
Funções vetoriais e 
curvas espaciais
É comum no cálculo para funções de uma variável precisarmos de 
equações que “façam curvas”, ou seja, uma expressão algébrica que re-
presente uma curva. Nesses casos, utilizamos as funções paramétricas.
Existem curvas belíssimas que podem ser escritas por meio de equa-
ções paramétricas. Além disso, escrever uma curva por meio de um pa-
râmetro não só facilita o cálculo de estruturas – como comprimentos de 
arco, área da região delimitada pela curva, dentre outras –, como também 
agiliza o processo de implementação computacional; e isso, na era da pro-
gramação, pode fazer uma grande diferença na obtenção de resultados.
Toda função vetorial é escrita por meio de equações paramétricas, isto 
é, dependente de parâmetros. Então, vamos entender a matemática e a 
beleza desses conceitos.
3.1 Curvas definidas por equações paramétricas
Vídeo Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C, como mostra a 
Figura 1:
Figura 1
Curva C
(x, y) = (f(t), g(t)))
C
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções vetoriais e curvas espaciais 57
A curva C não é uma função do tipo y = f(x), porque C tem para cada x, mais de 
um correspondente em y. Dessa maneira, se fizermos o teste da reta vertical, ou 
seja, se traçarmos uma reta vertical sobre C, essa reta interceptará C em mais de 
um único ponto.
Anton, Bivens e Davis (2014, p. 692, grifos do original) colocam da seguinte 
forma:
suponha que uma partícula move-se ao longo de uma curva C no plano xy, 
de tal modo que suas coordenadas x e y, como funções do tempo, são x = f(t), 
y = g(t). Dizemos que estas são as equações paramétricas do movimento da 
partícula e nos referimos a C como a trajetória da partícula ou o gráfico das 
equações [...]. A variável t é denominada parâmetro das equações.
Cada valor de t representa um ponto com coordenadas (x, y) que pode ser apre-
sentado em um plano coordenado.
Para que o conceito de curva paramétrica fique bem compreendido, a maior 
parte dos autores usa a analogia a respeito de uma partícula em movimento. Nesse 
caso, interpretamos (x, y) = (f(t), g(t)) como a posição de uma partícula no instante t; 
contudo, a variável não precisa representar apenas o tempo.
Definição 1
Sejam duas funções x e y. Considerando que essas são funções de uma terceira variável, por exemplo t 
(denominada parâmetro), escrevemos:
 x = f(t) e y = g(t) (1)
As equações em (1), são chamadas de funções paramétricas (STEWART, 2017).
Acompanhe um exemplo de funções paramétricas.
Σxemρlo 1
Desenhe a curva determinada pelas equações paramétricas
C �
t
sen �t
��com� t:
cos
,
x t
y t
�
�
�
�
�
��
� �
2
2
0 3
�
�
Solução
Para traçar essa curva, precisamos entender o que acontece com x e y conforme 
t percorre o intervalo entre 0 e 3, inclusive. Para isso, montamos uma tabela com 
alguns valores para podermos avaliar a curva.
(Continua)
58 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Tabela 1
Valores para a curva C �
t
sen t
��com � t:
cos
,
x t
y t
�
�
�
�
�
� �
2
2
0 3
�
�
Ponto t x y
A 0 0 0 0cos = 0 0sen = 0
B 0,3 3
10
3
5
0 09271cos ,� � �
3
10
3
5
0 28532sen � � ,
D 0,5 1
2
0 5cos ,� � � 1
2
0sen� �
E 0,8 4
5
8
5
0 24721cos ,� � 4
5
8
5
0 76085sen � � � ,
F 1 cos2 1� � sen2 0� �
G 1,2 6
5
12
5
cos π 6
5
12
5
sen π
Fonte: Elaborada pela autora.
Com alguns pontos determinados, é possível transpô-los no plano cartesiano 
bidimensional (Figura 2) para que possamos compreender o comportamento da 
curva C.
Figura 2
Curva C �
t
sen t
��com� t:
cos
,
x t
y t
�
�
�
�
�
� �
2
2
0 3
�
�
2,5
1,5
B 0,5
–0,5
–2,5
–1,5
–1
–1
–2
–2–3–4–5
2
1
1 2 3 4 5
x
y
G
F
A
E
D
0
C �
t)
t)
� t:
cos(
(
x t
y t sen
�
�
�
�
�
� �
2
2
0 3
�
�
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções vetoriais e curvas espaciais 59
Portanto, para cada valor t com 0 < t < 3, encontramos um ponto Pt = (xt, yt) que 
pode ser esboçado no plano cartesiano.
Vamos supor que uma partícula P se desloca na curva C �
t
sen t
�:
cos
,
x t
y t
�
�
�
�
�
��
2
2
�
�
 com 
0 < t < 3, em que t é o tempo. Assim, podemos dizer que a posição da partícula de-
pende do tempo, ou seja, cada ponto (x, y) depende de t.
Quanto mais pontos, mais fácil ficará a visualização de C. Por esse motivo, su-
gerimos algumas ferramentas computacionais que podem auxiliar no processo de 
visualização gráfica, conforme mostra o Quadro 1:
Quadro 1
Ferramentas computacionais para visualização gráfica 1
Todas essas linguagens de 
programação são conside-
radas de alto nível, sendo 
mais fáceis de ser imple-
mentadas, sem precisar 
de um grande domínio na 
área de programação.
1
Ferramenta Finalidade Tipo de licença Site
GeoGebra Matemática dinâmica Gratuitohttps://www.geogebra.org/
Wolfram Alpha® Matemática dinâmica Gratuito https://www.wolframalpha.com/
PythonTM Computação numérica Livre https://www.python.org/
Scilab Computação numérica Livre https://www.scilab.org/
Gnu Octave© Computação numérica Livre https://www.gnu.org/software/octave/index
Matlab® Computação numérica Pago https://www.mathworks.com/products/matlab.html
Maple© Computação numérica Pago https://www.maplesoft.com/
Fonte: Elaborado pela autora.
Portanto, podemos dizer que uma partícula que tem sua posição definida por 
equações paramétricas se move ao longo de uma curva na direção em que t au-
menta. É comum, nesse contexto, que o trajeto da partícula apareça direcionado 
por setas, como na Figura 1.
Generalizando, uma curva plana, parametrizada, é uma curva do tipo
f I
t f t f t
:
,
�
� � � �� �
2
1 2
ou
F I
t f t g t
:
,
�
� � � �� �
2

em que I é o intervalo de ℝ.
É comum usarmos o parâmetro t para representar o tempo em uma função. 
Nesse caso, se a função f(t) representa a posição de uma partícula que se desloca 
no plano xy, então t = t0 nos dará em que tempo essa partícula se encontra em cada 
uma dessas posições, ou seja, F(t0) = (f(t0), g(t0)).
O vetor tangente à curva no ponto t = t0 estará representado pela derivada de F, 
ou seja, F’(t0) = (f(t0), g(t0)). Ainda considerando o movimento de uma partícula, esse 
vetor representará o vetor velocidade da partícula no instante t = t0.
Para reforçar os conhe-
cimentos vistos nesta 
seção, sugerimos o vídeo 
Introdução às equações 
paramétricas, disponível 
na plataforma da Khan 
Academy.
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/differential-calculus/
dc-adv-funcs/dc-parametric/v/
parametric-equations-1. Acesso em: 
13 maio 2021.
Vídeo
60 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Para obter o valor absoluto da velocidade basta considerar
v t F t f t g t� � � � � � � �� � � � �� �´ ´ ´2 2
A imagem F(I) chama-se traço de F.
Por fim, a Figura 3 nos dá uma ideia das belas curvas que podemos construir 
usando as equações paramétricas:
Figura 3
Curva de equação 
x
y
t t t
t tsen t
�para � t
� � � �
� � � �
� �
�
�
�
��
1 2 2 3
1 2 2 3
0 2
cos cos
cos
, �
C2
t t) t)
t t)sen( t)
:
cos( cos(
cos(
.
x
y
t
� � � �
� � � �
�
�
�
��
� �
1 2 2 3
1 2 2 3
0 6 22831853071796
2,5
2,5
3,5
3,5 4 5 64,5 5,5
3
3
1,5
1,5
0,5
0,5–0,5
–0,5
–1,5 –1
–1
2
2
1
1
x
y
0
C2
Fonte: Elaborada pela autora.
Porém, vamos perceber que não estamos estudando somente a beleza, mas 
também a funcionalidade e as aplicações.
3.1.1 O problema da cicloide e as curvas paramétricas
Chamamos de cicloide a curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo 
quando ele rola ao longo de uma reta. A cicloide tem um papel importante no cál-
culo da tautócrona (tautos = mesmo e cronos = tempo).
A tautócrona é uma curva que possui uma característica muito interessante. Se 
você colocar dois objetos sobre ela em pontos diferentes, esses objetos chegarão 
ao centro dessa curva ao mesmo tempo.
O vídeo A braquistócro-
na, com Steve Strogatz, 
traz uma conversa 
entre o matemático Steve 
Strogatz, professor da 
Cornell University e um 
dos grandes divulgadores 
da matemática moder-
na na atualidade, Grant 
Sanderson, idealizador do 
canal 3Blue1Brow – que 
propõe uma mudança de 
perspectiva no ensino da 
Matemática – é uma exce-
lente opção para conhecer 
mais sobre o tema da 
braquistócrona.
Disponível em: https://youtu.be/
Cld0p3a43fU. Acesso em: 13 maio 2021.
Vídeo
Funções vetoriais e curvas espaciais 61
Figura 4
Tautócrona com vários objetos
Ad
ap
ta
do
 d
e 
Cl
au
di
o 
Ro
cc
hi
ni
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s.
S
t
S
t
Essa curva é calculada usando o conceito da cicloide (Figura 5), que também é 
chamada de braquistócrona (braqui = rápido e cronos = tempo), pois é uma curva na 
qual uma partícula desliza no menor tempo – sob influência da gravidade – de um 
ponto A até um ponto mais baixo B, não diretamente abaixo de A.
Figura 5
Cicloide
C
P
B
Fonte: Adaptado de Fleitas, 2021.
Vamos entender como calcular essa curva.
Considere uma curva traçada por um ponto P, posicionado no arco de um círcu-
lo que gira ao longo de uma reta (eixo das abscissas), como pode ser observado na 
Figura 5. Vamos supor que, inicialmente, o ponto P está na origem, com um ângulo 
de rotação θ = 0 e que o raio desse círculo vale r. Quando o círculo começa a rolar 
pelo eixo x, esse ângulo gira θ radianos, como mostra a Figura 6.
Figura 6
Giro de θ radianos
Ampliando
C
Pr
r θ
x
x
r θ
P (x, y)
Q(rθ, y)
C(rθ, r)
y
O
y
Q
T
θ
Fonte: Elaborada pela autora.
No site do projeto de inicia-
ção científica Derivando a 
matemática, do curso de 
licenciatura em Matemática 
da Universidade Estadual 
de Campinas (Unicamp) 
existe uma animação da 
cicloide. Essa animação 
permite compreender o 
comportamento dessa 
curva e pensar nos cál-
culos necessários para 
encontrá-la. 
Disponível em: http://www.ime.
unicamp.br/~apmat/parametrizacao-
-cicloide/. Acesso em: 13 maio 2021.
Site
62 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Como esse círculo está em contato com o eixo x, dizemos que a distância que 
ele girou, a partir da origem, foi de OT =arc PT =r .� � � Assim, o centro do círculo será 
C(rθ, r).
Agora, sejam (x, y) as coordenadas de P. Usando como referência a Figura 6, 
temos que
X = |OT| – |PQ| = rθ – r · sen θ = r(θ – senθ) 1
Y = |TC| – |QC| = r – r · cos θ = r(1 – cosθ) 2
Com isso, obtemos as equações paramétricas da cicloide:
x r
y r
� �� �
� �� �
�
�
�
�
��
� �
�
�
sin
cos
,
1
��  (2)
sen =
PQ
r
θ
1
cos =
QC
r
θ
2
Portanto, representar curvas por meio de equações paramétricas, além de au-
xiliar no processo de cálculo e representação, possibilita agilidade no processo de 
implementação computacional quando necessário.
3.2 Cálculos com curvas parametrizadas
Vídeo Sabendo como representar curvas por meio de equações paramétricas, vamos 
agora aplicar os métodos de cálculo para resolver problemas envolvendo tangente 
e integrais.
3.2.1 Tangentes
Algumas curvas definidas por equações paramétricas x = f(t) e y = g(t) podem 
ser expressas, eliminando-se parâmetros, na forma y = F(x). Para demonstrar esse 
resultado, vamos nos basear em Stewart (2017). Confira a seguir a demonstração.
Se f’ é contínua e f’(t) ≠ 0 para a ≤ t ≤ b, então f’(t) > 0, para t ∈ [a, b], ou f’(t) < 0, 
para t ∈ [a, b].
Assim, f é monotônica (estritamente crescente ou estritamente decrescente) em 
[a, b]. Logo, f possui inversa.
Seja F = g∘f-1, definida como F(x) = g(f-1(x)). Então x = f(t) ⇒ f-1(x) = t, logo y = g(t) = 
g(f-1(x)) = F(x).
Portanto, se substituirmos x = f(t) e y = g(t) na equação y = F(x), teremos
g(t) = F(f(t))
Se g, F forem deriváveis, pela regra da cadeia, teremos
g’(t) = F’(f(t)) · f’(t) = F’(x) · f’(t)
Se f’(t) ≠ 0, podemos isolar F(x). Como f’(t) ≠ 0 é condição para escrevermos F(x) 
= y, então:
Funções vetoriais e curvas espaciais 63
F x
g t
f t
´
´
´
� � � � �� � (3)
Como a inclinação da tangente à curva y = F(x) em (x, F(x)) é F’(x), a equação (3) nos 
permite encontrar tangentes a curvas paramétricas sem ter que eliminar o parâmetro.
Reescrevendo (3) pela notação de Leibniz, teremos:
F x
g t
f t
dy
dx
dy
dt
dx
dt
´
´
´
� � � � �� � � � , se 
dx
dt
≠ 0 (4)
Ainda, podemos ter
d y
dx
d
dx
dy
dx
d
dt
dy
dx
dx
dt
2
2
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
Então, as derivadas das funções que definem cada variável representam taxas 
de variação de referência, o que nos permite verificar as seguintes condições:
I. se dx
dt
= 0�em algum ponto da curva, a reta tangente a esse ponto é vertical, 
ou seja, paralela ao eixo y;
II. se dy
dt
�= 0 em algum ponto da curva, a reta tangente a esse ponto é horizon-
tal, ou seja, paralela ao eixo x.
Com o tema de derivadas de curvas paramétricas compreendido, veremos 
na próxima subseção o conceito de integrais de curvas, caracterizadas de modo 
semelhante.
3.2.2 Integrais
Considere a área A,calculada sob uma curva y = F(x), no intervalo fechado [a, b]. 
Para isso, fazemos
A F x dx
a
b
� � ��
Seja essa mesma curva escrita em função de um parâmetro t, ou seja, uma cur-
va parametrizada, em que x = g(t) e y = h(t), isto é, uma função definida por
x g t
y h t
t
�
�
� �
�
�
�
��
( )
( )
, �com�� �
(5)
Então, a integral de F(x) pode ser encontrada da seguinte forma
A y�dx h t g t �dt
a
b
� � � � � �� �
�
�
´ (6)
O vídeo Derivação de equa-
ções paramétricas da plata-
forma Khan Academy é um 
excelente complemento ao 
estudo das tangentes. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
differential-calculus/dc-adv-funcs/
dc-parametric/v/parametric-
function-differentiation. Acesso em: 
13 maio 2021.
Vídeo
64 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Note que a integral de uma curva escrita através de equações paramétricas é 
similar ao uso da técnica de integração conhecida como integração por substituição. 
Na verdade, essa relação ocorre pelo fato de ambas recaírem sobre a regra da ca-
deia para derivadas.
Com a integral definida, vamos trabalhar com o conceito de comprimento de 
arco de curvas parametrizadas.
3.3 Comprimento de arco para curvas parametrizadas
Vídeo O cálculo do comprimento L, de um arco C na forma y = F(x) com a ≤ x ≤ b (Figura 
7), é expresso pela equação que relaciona a integral das diferenciais em relação a x. 
Para entender esse conceito, vamos assumir a curva C: y = F(x).
Figura 7
Curva C de comprimento L
x
ba
y
L
dL
dL
dx
dx
dy
dy
y = F(x)
Fonte: Elaborada pela autora.
Ao ampliarmos a região da Figura 7 em que aparece o triângulo, notamos que é 
possível calcular o valor para dL, assumindo que esse seja um arco de comprimen-
to infinitesimal.
Assim, podemos fazer:
dL dy dx2 2 2� �
dL dy dx� �2 2
dL dy dx dx
dx
�� �� �2 2
2
2
dL dx dy
dx
�
�
�
�
�
�
� �
2
1
dL dx y� �2́ 1
Como L dL
a
b
� � , então
Funções vetoriais e curvas espaciais 65
L y dx dy
dx
dx
a
b
a
b
� ��
��
�
��
� �
�
�
�
�
�
�� �2́
2
1 1
Vamos verificar como utilizar esse resultado para calcular o comprimento de 
uma curva no exemplo a seguir.
Σxemρlo 2
Considere a função f(x) = ex no intervalo fechado [0, 3], conforme mostra a Fi-
gura 8.
Figura 8
Curva L: f(x) = ex, com 0 ≤ x ≤ 3
x
y
f(x) = ex
L (x) = Se(0 ≤ x ≤ 3, ex)
5
10
15
20
–1–2–3–4
–5
0 1 2 3 4 5 6 7
Fonte: Elaborada pela autora.
Calcule o comprimento de arco do gráfico dessa função.
Solução
Sabemos que L
dy
dx
dx
a
b
� �
�
�
�
�
�
�� 1
2
. Após calcular f’(x) = ex, podemos escrever
L e dxx� � � ��
0
3 2
1
Resolvendo essa integral, temos
L e e
e
e e
e
x
x
x
� � �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
� � �� ����1
1 1 1 1 1 2 2 12
2
0
3
6
6
3
ln ln ln ��
��
Portanto, o comprimento de arco da curva L: f(x) = ex, com 0 ≤ x ≤ 3, é
L� e e
e
� � �
� �
� � �� ���� ���1
1 1 2 2 16
6
3
ln ln
Para compreender melhor 
o passo a passo do desen-
volvimento da equação 
L = 1+ dy
dx
dx
a
b 2
�
�
�
�
�
�
�
acesse o site E-Cálculo 
da Universidade de São 
Paulo, em que a constru-
ção e desenvolvimento da 
teoria de comprimento 
de arcos é explanada 
detalhadamente. 
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.
br/integrais/aplicacoes_integral/
compr_arc_curva/compr_arc_curva.
htm. Acesso em: 13 maio 2021.
Site
66 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Agora, generalizando esse conceito, seja C uma curva escrita por equações pa-
ramétricas x = f(t) e y = g(t) com α ≤ t ≤ β. Suponha que a derivada de x em relação 
a t é estritamente positiva, ou seja, dx
dt
f t� � � �´ 0 . Portanto, quando t se desloca de 
α para β, a curva C é percorrida de f(α) = a até f(β) = b. Logo,
L dy
dx
dx
dy
dt
dx
dt
�
a
b
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� �1 1
2
2
�
�
��
�
��
�dx
dt
dt
Como 
dx
dt
> 0 , temos
L dx
dt
dy
dt
dt� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
� 2 2
L f t g t dt� � � � � ��
�
�
´ ´2 2 (7)
Com esse desenvolvimento, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 1
Se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas x = f(t) e y  =  g(t), 
α ≤ t ≤ β, em que f’ e g’ são contínuas em [α, β] e C for percorrida exatamente uma 
vez quando t aumenta de α até β, então o comprimento de C é
L dx
dt
dy
dt
dt f t g t dt� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � � � �� �
�
�
�
�2 2
2 2´ ´ (8)
Para compreender melhor esse teorema, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 3
Calcule o comprimento de arco da cicloide 
x r t sen
y r
� �
� �
� � � �� �
� � � �� �
�
�
�
��
�
cos1
.
Solução
Calculando as derivadas de x e y em relação a θ, obteremos
dx
d
dy
d
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
��
�
�
�
r
rsen
1 cos
� �
Portanto,
L dx
d
dy
d
d r r sen � d� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �� � �� �
0
2 2 2
0
2
2 2 2 21
� �
� �
� � � �cos
L r sen d r d� � � �� � � �� �� �
0
2
2 2 2
0
2
1 2 2 1
� �
� � � � � �cos cos cos
O resumo Comprimento de 
arco de curvas parametriza-
das, da plataforma da Khan 
Academy traz exercícios 
importantes sobre esse 
conteúdo e podem ser 
resolvidos on-line.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/line-inte-
grals-for-scalar-functions-articles/a/
arc-length-part-2-parametric-curve. 
Acesso em: 13 maio 2020.
Leitura
(Continua)
Funções vetoriais e curvas espaciais 67
Nesse momento temos que recorrer ao uso da identidade sen x x2
1
2
1 2� �� �cos , 
com θ = 2x, que fornece 1 2
2
2� �
�
�
�
�
�
�cos�
�sen para calcular essa integral.
Como 0 ≤ θ ≤ 2π, temos 0
2
� �
�
� e, assim, sen �
2
0�
�
�
�
�
� � , portanto
2 1 4
2
2
2
2
2
2�� � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �cos�
� � �sen sen sen
Dessa forma,
L r sen d r r� �
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��� ���2 2 2 2 2 2 2 2
0
2
0
2� �
�
�
�cos �� 8r
Portanto, o comprimento da cicloide no intervalo fechado de 0 a 2π, mede oito 
vezes o valor do raio.
Com isso, temos as ferramentas necessárias para o cálculo de comprimento de 
arco para curvas parametrizadas.
Usaremos um raciocínio similar para encontrar a área de curvas parametrizadas.
3.4 Área de curvas parametrizadas
Vídeo O cálculo de áreas com funções paramétricas nos permite calcular a área de 
formas criadas por curvas fechadas. Para encontrar a área do círculo, por exemplo, 
consideramos as equações paramétricas da circunferência que o circunda como:
x r
y r
� �
� �
� � �
� � �
�
�
�
��
cos
sen
Em que r é o raio da circunferência.
Então, sua área pode ser calculada pela integral (9), se fizermos o parâmetro 
variar de 0 até 2π:
A ydx� �
0
2�
(9)
Sabendo que x = r cos θ, então dx
d
r�sen�
�
�� � . Logo dx = – r sen θ dθ = r sen(-θ). 
Neste caso, precisamos lembrar que sen θ = -sen θ. Essa informação será usada 
mais à frente para ajustar nosso integrando e aplicar uma identidade trigonométri-
ca que auxiliará no processo de cálculo.
Portanto, substituindo em (9), temos
A r�sen� r�sen � d r �sen �d� �� �� � �� �
0
2
0
2
2 2
� �
� � � � �
Utilizando a identidade trigonométrica cos 2θ = 1 – 2sen² θ e isolando -sen² θ, 
temos:
sen2 1
2
2 1
2
� �� � �cos
68 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Assim, podemos escrever:
A r �sen �d r d� � ��
�
�
�
�
�� �
0
2
2 2
0
2
2 1
2
1
2
� �
� � � �cos
Logo,
A r d r� ��
�
�
�
�
� � �� �� �
0
2
2
0
2 21
2
1
2 2
1 2
� �
� � �cos cos
A r d d r r sen� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �� �
2
0
2
0
2 2
0
2 2
0
2
2
2
2 4
2
� � �
�
� � �
�
�cos
A r r� � �
2
22
2
0� �
Desse modo, se a curva y = F(x) de a até b vale A F x dx
a
b
� � �� for dada por equa-
ções paramétricas:
x = f(t) e y = g(t), em que α ≤ t ≤ β
então,
A ydx g t f t dt
a
b
� � � � � �� �� ´
�
�
pois já definimos que
F(x) = g(f-1(x)) = g(t) · f’(t)
Note que o cálculo realizado para obter a área de uma curva parametrizada é se-
melhante ao cálculo de área para uma função unidimensional na variável x. Portanto, 
basta entendermoso conceito de parametrização estudado nas seções anteriores.
Na sequência, veremos um tipo de parametrização muito utilizada no cálculo 
para funções de múltiplas variáveis. Tal parametrização será considerada a partir 
do raio de uma circunferência e do ângulo formado entre este e o eixo Ox. 
Vamos entender esse processo.
3.5 Coordenadas polares
Vídeo O sistema de coordenadas polares (Figura 9) pode ser comparado, em impor-
tância, ao sistema de coordenadas cartesianas, devido a sua gama de utilizações. 
Esse sistema no plano foi idealizado por Newton, sendo caracterizado pelo par de 
coordenadas (ρ, θ), onde ρ é uma distância e θ, uma medida angular em relação a 
um ponto fixo e a um raio fixo (semieixos).
Figura 9
Coordenadas polares
x
P
O
ρ
θ
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções vetoriais e curvas espaciais 69
Comparando ao sistema de coordenadas cartesianas, em um sistema de coor-
denadas polares a origem é chamada de polo e é representada pela letra O. O raio 
fixo é chamado de eixo polar (reta polar) e, em geral, é desenhado horizontalmente, 
com sentido para a direita, sobrepondo-se ao eixo das abscissas. Por esse motivo, 
o eixo polar é representado por Ox.
Cada par de coordenas (ρ, θ) representa um ponto do plano, em geral denotado 
por P(ρ, θ), onde
 • ρ = distância do polo O ao ponto P;
 • θ = ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta OP
� ���
.
Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a dis-
tância em relação à origem fixada e para qual direção se deve caminhar para atingir 
esse ponto.
Por convenção, o ângulo θ é medido no sentido anti-horário.
No caso de ρ ser negativo (–ρ, θ), teremos que (–ρ, θ) e (ρ, θ) pertencem a mesma 
reta, passando por O, e estão a mesma distância |ρ| a partir de O, mas em lados 
opostos de O. Assim,
 • se ρ > 0, o ponto (ρ, 0) está no mesmo quadrante que θ;
 • se ρ < 0, o ponto está no quadrante do lado oposto ao polo.
Observe na Figura 10 que (–ρ < 0) representa o mesmo ponto que (ρ, θ + π).
Figura 10
Representação de pontos em coordenadas polares
O
x
θ + π
π – θ
θ
(ρ, θ)
(–ρ, θ)
ρ
Fonte: Elaborada pela autora.
Isso ocorre, pois usamos a mesma origem para coordenadas cartesianas e para 
coordenadas polares, e como semieixos de referência usamos a parte positiva do 
eixo x. A Figura 11 relaciona as coordenadas cartesianas e polares; desse modo 
podemos partir dessa representação e calcular a transformação de coordenadas.
70 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 11
Mudança de coordenadas
y
x
x
y
O
P = (ρ, θ)
θ
ρ
Fonte: Elaborada pela autora.
Sabemos que
cos cos� �� �
�
� � �
CA
H
x
x y
x x y
2 2
2 2
sen CO
H
y
x y
y x y sen� �� �
�
� � �
2 2
2 2
E considerando � � �x y
2 2
, podemos escrever
x
x sen
�
�
�
�
�
��
� �
� �
cos ( )
( )
10
11
Note que tan arctan� �� � � �
�
�
�
�
�
y
x
y
x
.
3.5.1 Curvas polares
Vimos que cada ponto P(ρ, θ) pode ser representado no plano polar. A exibição 
de todos os pontos P que satisfazem a equação polar, denotada por ρ = f(θ), é cha-
mada de gráfico da equação polar.
3.5.1.1 Alguns gráficos
Vamos conhecer alguns gráficos de equações polares que podem ser facilmente 
compreendidos através de suas representações algébricas.
Considerando a equação θ = c (Figura 12), em que c é uma constante, essa equa-
ção está satisfeita para todos os pontos (ρ, c), qualquer que seja o valor de ρ. Assim, 
o gráfico para a equação θ = c será uma reta que passa pelo polo do sistema.
Funções vetoriais e curvas espaciais 71
Figura 12
Gráfico para θ = c
y
x
 θ = c
O
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora, considere a equação ρ sen θ = b (Figura 13), essa é uma reta paralela ao 
eixo polar. Sabemos que ρ sen θ = y, logo, em coordenadas cartesianas, temos a 
equação y = b.
Figura 13
Gráfico para ρ sen θ = b
ρ senθ = b
b
O
0
π
π/2
3π/2
Fonte: Elaborada pela autora.
As coordenadas cartesianas da reta y = b são do tipo (0, b), em que b ∈ ℝ. Para 
transformar em coordenadas polares, precisamos igualar as coordenadas de cada 
um dos sistemas e encontrar as variáveis faltantes. Assim, como em coordena-
das polares, temos (ρ cos θ, ρ sen θ) e, em coordenadas cartesianas, (x, y) = (0, b), 
escrevemos:
 x = ρ cos θ y = ρ sen θ
0 = ρ cos θ b = ρ sen θ
72 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Neste ponto, vamos analisar em primeiro lugar a expressão 0 = ρ cos θ. Para que 
essa igualdade se verifique e como ρ ≠ 0, então precisamos ter cos θ = 0. Portanto, 
�
�
�
2
 ou � �� 3
2
.
Com isso, podemos passar para a análise da expressão b = ρ sen θ. Nesse caso, 
assumiremos que � ��
2
, uma vez que para � �� 3
2
 teremos sen �3
2
1��
�
�
�
�
� � � . Assim,
b �sen�� �
�
�
�
�
��
�
2
ρ = b
Logo, o par ordenado que corresponde ao ponto (0, b) no plano polar será dado 
por b �, �
2
�
�
�
�
�
� .
Já para a equação ρ cos θ = d (Figura 14), o gráfico é uma reta perpendicular ao 
eixo polar Ox.
Figura 14
Gráfico para ρ cos θ = d
x = d
O
0
π
π/2
3π/2
Fonte: Elaborada pela autora.
Com isso, podemos escrever as coordenadas polares da forma:
x = ρ cos θ e d = ρ cos θ
Então, x = d.
Em coordenadas cartesianas, a reta x = d tem pares ordenados do tipo (d, 0), 
que transformando em coordenadas polares resultam em:
x = ρ cos θ y = ρ sen θ
ρ = d 0 = ρ sen θ
Como ρ ≠ 0, então para sen θ = 0 temos θ = π, 0, 2π, mas x = ρ cos θ. Fazendo θ 
= 2π teremos cos (2π) = -1, que não satisfaz o que precisamos, logo θ = 0. Com isso, 
escrevemos d = ρ cos 0, então ρ = d.
Sendo assim, o par ordenado que corresponde a (d, 0) no plano polar será dado 
por (d, π). Como vimos, em geral ρ = a representa um círculo com centro O e raio 
|a| unidades.
Funções vetoriais e curvas espaciais 73
Neste ponto, vamos analisar em primeiro lugar a expressão 0 = ρ cos θ. Para que 
essa igualdade se verifique e como ρ ≠ 0, então precisamos ter cos θ = 0. Portanto, 
�
�
�
2
 ou � �� 3
2
.
Com isso, podemos passar para a análise da expressão b = ρ sen θ. Nesse caso, 
assumiremos que � ��
2
, uma vez que para � �� 3
2
 teremos sen �3
2
1��
�
�
�
�
� � � . Assim,
b �sen�� �
�
�
�
�
��
�
2
ρ = b
Logo, o par ordenado que corresponde ao ponto (0, b) no plano polar será dado 
por b �, �
2
�
�
�
�
�
� .
Já para a equação ρ cos θ = d (Figura 14), o gráfico é uma reta perpendicular ao 
eixo polar Ox.
Figura 14
Gráfico para ρ cos θ = d
x = d
O
0
π
π/2
3π/2
Fonte: Elaborada pela autora.
Com isso, podemos escrever as coordenadas polares da forma:
x = ρ cos θ e d = ρ cos θ
Então, x = d.
Em coordenadas cartesianas, a reta x = d tem pares ordenados do tipo (d, 0), 
que transformando em coordenadas polares resultam em:
x = ρ cos θ y = ρ sen θ
ρ = d 0 = ρ sen θ
Como ρ ≠ 0, então para sen θ = 0 temos θ = π, 0, 2π, mas x = ρ cos θ. Fazendo θ 
= 2π teremos cos (2π) = -1, que não satisfaz o que precisamos, logo θ = 0. Com isso, 
escrevemos d = ρ cos 0, então ρ = d.
Sendo assim, o par ordenado que corresponde a (d, 0) no plano polar será dado 
por (d, π). Como vimos, em geral ρ = a representa um círculo com centro O e raio 
|a| unidades.
Porém, e se a circunferência não estiver centrada na origem, 
mas sim, em (a, b)?
Fi
sh
Co
ol
is
h/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A equação cartesiana da circunferência com centro em (a, b) que contém a ori-
gem será:
(x – a)2 + (y – b)2 = ρ2, onde ρ2 = a2 + b2
x2 – 2ax + y2 – 2by = 0
(12)
Como x = ρ cos θ e y = ρ sen θ, podemos substituir em (12), logo
ρ2 cos2 θ – 2aρ cos θ + ρ2 sen2 θ – 2bρ sen θ = 0
ρ2(cos2 θ + sen2 θ) – 2aρ cos θ – 2ρ sen θ = 0
ρ2 – 2aρ cos θ – 2bρ sen θ = 0
ρ(ρ – 2a cos θ – 2b sen θ) = 0
 p = 0 (ρ – 2a cos θ – 2b sen θ) = 0
–2a cos θ = 2b sen θ
–2a cos θ = 2b sen θ 
sen a
b
�
�cos
� �
(13)
Logo, tan arctan� �� � � � ��
�
�
�
�
�
a
b
a
b
.
Para a equação b = 0 (Figura 15), a partir de (13), temos que
� � �
�
� � �2
2
a
a
cos cos
Figura 15
Gráfico para b = 0
O
(2a, 0)ρ = a
(a, 0)
π
π/23π/2
Fonte: Elaborada pela autora.
74 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Sabemos que x = ρ cos θ, então
cos�
�
�
x
, logo 
�
�
�
2
22
a
x ax� � �
Como ρ2 = x2 + y2, temos que x2 + y2 = 2ax. Portanto, (x – a)2 + y2 = a2.
Agora, quando a = 0 (Figura 16), a partir de (13), temos que:
� � �
�
� � �2
2
bsen sen
b
(14)
Figura 16
Gráfico para a = 0
O
(0, 2b)
(0, b)
π
3π/2
Fonte: Elaborada pela autora.
Sabemos que y = ρ sen θ,
sen y ����
�
� , logo �
�
�
2
22
b
y by� � �
Como x2 + y2 = ρ2, temos que x² + y² = 2by, e, portanto,
x2 + y2 – 2by + b2 = b2
x2 + (y – b)2 = b2
Logo, temos uma circunferência de raio |b| unidades.
Observe que as manipulações feitas em todas as equações apresentadas nos 
permite montar curvas distintas em diferentes quadrantes no plano cartesiano.
3.5.1.2 Gráfico de algumas curvas polares
Nesta subseção traremos algumas equações genéricas para as principais curvas 
polares trabalhadas nas obras de cálculo para funções de múltiplas variáveis.
A curva denominada limaçon permite que sua equação seja escrita conforme 
dois casos:
Funções vetoriais e curvas espaciais 75
I. � �� �a bcos
II. � �� �a bsen
Além disso, vamos analisar a relação de ordem de a e b da limaçon. Acompanhe 
a seguir essa organização.
Quando temos a curva limaçon com |a| < b (Figura 17), podemos escrever a 
equação polar de dois modos:
C1: ρ = 1 + 2 cos θ
C2: ρ = 1 + 2 sen θ
Figura 17
Limaçon com |a| < b
C1
C2
π θ
0
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora, quando a limaçon tem a relação |a| = b, chamamos de cardioide (Figura 
18) e escrevemos suas equações polares como:
C1: ρ = –1 – 1 cos θ
C2: ρ = –1 – 1 sen θ
Figura 18
Cardioide com |a| = b
C1
C2
θ
0
Fonte: Elaborada pela autora.
Por fim, quando a limaçon tem a relação |a| > b (Figura 19), suas equações são 
escritas como
C1: ρ = 2 + cos θ
C2: ρ = 2 + sen θ
Para visualizar mais casos 
da limaçon, você pode 
alterar os valores de a e b 
no GeoGebra online, no 
link a seguir. 
Disponível em: https://www.geoge-
bra.org/graphing/baxtttzb. Acesso 
em: 13 maio 2021.
Saiba mais
76 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 19
Limaçon com |a| > b
C1
C2
θ
Fonte: Elaborada pela autora.
Outra curva belíssima construída a partir de equações polares é a rosácea. A 
equação dessa curva pode ser escrita conforme dois casos:
I. � �� a ncos( )
II. � �� asen n( )
Ambos os casos com a ≠ 0 e n *� � , com |n| ≠ 1.
Podemos construir uma rosácea de quatro pétalas (Figura 20) através das 
equações:
C1: ρ = 2 cos (2θ)
C2: ρ = 2 sen (2θ)
Figura 20
Rosácea de quatro pétalas
C1
C2
θ
Fonte: Elaborada pela autora.
Para visualizar a rosácea 
com uma quantidade di-
ferente de pétalas, acesse 
o link seguir e altere os 
valores de a e b , criando 
diferentes rosáceas. 
Disponível em: https://www.geoge-
bra.org/graphing/sjcdbgvb. Acesso 
em: 13 maio2021.
Saiba mais
Funções vetoriais e curvas espaciais 77
Podemos encontrar na literatura curvas polares chamadas de lemniscatas, cujas 
equações são ρ2 = a cos (2θ) ou ρ2 = a sen (2θ), com a ≠ 0. Também temos as espirais 
de Arquimedes e muitas outras curvas que não só têm um apelo estético impor-
tante, mas também são usadas em aplicações de diversas áreas do conhecimento.
3.5.2 Tangentes a curvas polares
Para encontrar a reta tangente a uma curva polar ρ = f(θ), vamos considerar θ 
como um parâmetro e escrever suas equações paramétricas como
x = ρ cos θ = f(θ) cos θ e y = ρ sen θ = f(θ) sen θ
Usando o método para encontrar curvas parametrizadas
F x
g t
f t
�oudy
dx
dy
dt
dx
dt
´
´
´
� � � � �� � �
Temos:
dy
dx
dy
dt
dx
dt
d
d
sen
d
d
sen
� �
�
�
�
�
� � �
�
�
� � �
cos
cos
(15)
Localizamos as tangentes horizontais no ponto onde 
dy
d�
� 0 , e as tangentes ver-
ticais no ponto onde dx
d�
� 0 .
Como um exemplo apli-
cado das curvas polares 
estudadas, sugerimos o 
material Curvas planas: o 
limaçon e a órbita de Marte, 
em que é possível analisar 
a órbita de Marte em 
torno da Terra (supondo 
esta como um ponto fixo) 
de maneira dinâmica e 
bastante visual, obtendo a 
descrição de uma limaçon.
Disponível em: http://www.mat.
ufrgs.br/~mat01354/curves/marte.
html. Acesso em: 13 maio 2021.
Saiba mais
Para praticar sobre tan-
gentes a curvas polares, 
sugerimos as atividades 
disponíveis na plataforma 
da Khan Academy.
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/ap-calculus-bc/bc-
-advanced-functions-new/bc-9-7/e/
tangents-to-polar-curves. Acesso em: 
13 maio 2021.
Site
3.6 Comprimento e área em coordenadas polares
Vídeo Calcular o comprimento de uma curva descrita por uma função polar depende 
diretamente do uso da equação do comprimento para curvas paramétricas. Para 
isso, usamos:
L dy
dx
dx dx
dt
dy
dt
dt
a
b
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �1
2 2 2
�
�
Assim, se ρ = f(θ), com α ≤ θ ≤ β, e θ é um parâmetro, teremos:
x = ρ cos θ = f(θ) cos θ e y = ρ sen θ = f(θ) sen θ
Usando a regra do produto e derivando em relação a θ, obteremos:
dx
d
d
d
sen
�
�
�
� � �� �cos
dy
d
d
d
sen
�
�
�
� � �� � cos
78 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Assim, como cos2 θ + sen2 θ = 1, escrevemos
dx
d
dy
d� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
2 2
�
�
�
�
�
�
� � �
d
d
d
d
sen sen�
�
� �
�
�
� � � �
2
2 2 22cos cos ��
�
�
�
�
� � �
d
d
sen d
d
sen�
�
� �
�
�
� � � �
2
2 2 22 cos cos
�
�
�
�
�
�
� �
d
d
�
�
�
2
2
Portanto,
dx
d
dy
d
d
d� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
2 2 2
2
Com isso, escrevemos
L r dr
d
d f f d� � �
�
�
�
�
� � � ��� �� � � ��� ��� �
�
�
�
�
�
� � � �
�
´2
2
2 2
(16)
 Dessa forma, sendo r = f(θ), com α ≤ θ ≤ β, obtemos uma forma geral para o cálculo 
do comprimento de curvas expressas em coordenadas polares.
Encontre o comprimento de arco da cardioide de equação ρ = 1 + cos θ (Figura 21) onde θ 
∈ [0, 2π].
Figura 21
Cardioide de equação polar ρ = 1 + cos θ e equação paramétrica 
x
y sen
� � �
� � �
� � � �� �
� � � �� �
�
�
�
��
1
1
cos cos
cos
θ
ρ = 1+ cosθ
CA
0
Fonte: Elaborada pela autora.
Desafio
Compreendendo como calcular o comprimento de arcos descritos por equa-
ções polares, vamos agora estruturar o cálculo da área de curvas polares.
Para trabalharmos com o conceito de área de uma região escrita em coordena-
das polares, consideraremos uma função contínua e não negativa f, contida em um 
intervalo fechado [α, β].
Funções vetoriais e curvas espaciais 79
Assumiremos que a região R está delimitada pela curva ρ = f(θ) e pelas retas θ = 
α e θ = β, conforme a Figura 22.
Figura 22
Área entre as curvas ρ = f(θ), θ = α e θ = β
ρ = ⨍(θ)
A
Ox
O
B
R
θ = α
α
θ = β
β
Fonte: Elaborada pela autora.
O princípio usado para a obtenção da área se dá com o uso da integral de 
Riemann. Assim, consideramos inicialmente uma partição Δ de [α, β], tal que α = θ0 
< θ1 < ... < θi-1 < θi < θi+1 < ... < θn-1 < θn = β.
Temos, conforme a Figura 23, subintervalos da forma [θi-1, θi], em que i = 1, …, n.
Figura 23
Valor de θ no intervalo [θi-1, θi].
ρ = ⨍(θ)
A
Ox
O
B
θ = α
θ = β
θi – 1
θi
θ = ξi
Fonte: Elaborada pela autora.
Seja ξi um valor de θ no intervalo [θi-1, θi]. A medida em radianos do ângulo entre 
as retas θi-1 e θi será denotada por Δiθ.
O número de unidades de área na área do setor circular de raio f(ξi) unidades e 
ângulo central Δiθ radianos é dada por
Para relembrar o conceito 
de coroa circular da geo-
metria, sugerimos o vídeo 
Área e comprimento do arco 
de um setor circular, da pla-
taforma Khan Academy.
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/basic-geo/
basic-geo-area-and-perimeter/
area-circumference-circle/v/partial-
-circle-area-and-arc-length. Acesso 
em: 13 maio 2021.
Além disso, para relembrar 
sobre setor circular suge-
rimos o vídeo Geometria 
plana: área de segmento 
e coroa circulares (aula 
27), do canal Ferretto 
Matemática. 
Disponível em: https://youtu.be/
MNxLUQQDr18. Acesso em: 13 maio 
2021.
Vídeo80 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
� �S i fR i
raio
i
ângulo
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
� � (17)
Assim, uma aproximação para a área S total de R é dada por
S f
i
n
i i� � ��� ��
�
�
1
21
2
� ��
Assumindo que quanto menor Δiθ mais próximo da área real de R será a aproxi-
mação, então por Riemann escrevemos: 
S f
i i
n
i i� � ��� ���
�
�lim� �� � �0
1
21
2
(18)
Ainda, observando a Figura 23 podemos dizer que a aproximação melhora quan-
do n → ∞. Mas a soma em (18) é de Riemann para a função g f� �� � � � ��� ��
1
2
2
, logo
lim
�
�
i i
n
i if f d�
�
�
� � � �
�
�
� �� ��� �� � � ��� ��0
1
2 21
2
1
2
Portanto, dizemos que a área da região R pode ser calculada por
S f d d� � ��� �� �� �
�
�
�
�
� � � �
1
2
1
2
2 2 (19)
 
Em que ρ = f(θ).
Acompanhe um exemplo de cálculo de área de uma curva em coordenadas polares.
Σxemρlo 4
Calcule a área limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas, ou seja, da 
curva polar ρ = cos 2θ, equação paramétrica C
x r
y r sen
2 :
cos� � �
� � �
� � � � �
� � � � �
�
�
�
��
, apresentada na 
Figura 24.
Figura 24
Área da pétala direita da rosácea de quatro pétalas.
θ
C2
Fonte: Elaborada pela autora.
(Continua)
Funções vetoriais e curvas espaciais 81
Solução
A área da região limitada pelo laço cinza (laço do lado direito) será calculada 
entre os raios � � �� � �7
4 4
 e � ��
4
.
Portanto, podemos escrever
S d d� �
� �
� �
�
�
�
�
� � � �
4
4
2
4
4
21
2
1
2
2cos
Sabendo que cos2θ é uma função par, temos que
S d d d� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
2
2 2 1
2
2 2
4
4
2
0
4
2
0
4
2
�
� � �
� � � � �cos cos cos �� �
S d sen� �� � � ��
�
�
�
�
� ��
0
4
0
41
2
1 4 1
2
1
4
4
8
� �
� � � �
�cos
Logo, a área da pétala do lado direito da rosácea de quatro pétalas é igual a π
8
.
Note que, ao tratarmos de coordenadas polares estamos fazendo uma referên-
cia direta à curvas no plano bidimensional.
Na sequência, veremos a análise de curvas no espaço tridimensional, também 
denominadas de curvas no espaço.
3.7 Curvas espaciais
Vídeo As funções vetoriais podem ser escritas por meio de equações paramétricas. 
Sendo assim, todos os conceitos aplicados às equações paramétricas – derivadas, 
integrais e demais – podem ser aplicados às funções vetoriais.
Indo além dessas estruturas, vamos compreender o conceito de função vetorial 
quando precisamos calcular o comprimento de arco de uma curva C dada por uma 
função vetorial; analisar o conceito de curvatura; e estudar o comportamento do 
vetor normal e binormal.
3.7.1 Comprimento de arco
Suponha uma curva C, dada pela equação vetorial

 

r t f t � i g t � j h t �k� � � � � � � � � � � , com a ≤ t ≤ b
Em que 

ŕ é contínua e C é percorrida exatamente uma vez à medida que t au-
menta de a até b (GUIDORIZZI, 2018).
82 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Definimos a função comprimento de arco por
s t r u du dx
du
dy
du
dz
du
d
a
t
a
t
� � � � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� �� �
�
´
2 2 2
uu (20)
Então, s(t) é o comprimento da parte de C entre 

r a� � e r t� � .
Se derivarmos os dois lados da equação (20), vamos obter:
ds
dt
= r´ t�
� � � (21)
Acompanhe um exemplo do cálculo do comprimento de arco de uma curva em 
equação vetorial.
Σxemρlo 5
Calcule o comprimento da curva 

 

r t t� i sent�j t�k� � � � �cos , com t ∈ [0, 2π].
Solução
Sabendo que 

r t sent t´ ,cos ,� � � �� �1 , então
� �
�
r t sen t t´ cos� � � � � � � �2 2 21
Portanto,
S r t dt dt� � � � �� �
0
2
0
2
2 2 2
� �
�� �
�
´
Logo, o comprimento da curva 

 

r t t� i sent�j t�k� � � � �cos , com t ∈ [0, 2π] é 2 2π .
Parametrizar curvas em relação ao seu comprimento de arco agiliza o processo 
de cálculo, pois, em geral, o comprimento de arco aparece naturalmente a partir da 
curva e independe do sistema de coordenadas utilizado. Além disso, parametrizar 
uma curva facilita o processo de implementação computacional.
3.7.2 Curvatura
Se 

r t� � é uma função vetorial, com derivada

r t�́ � , temos que r t�́ � será um 
vetor tangente à curva definida por r no ponto P desde que exista 

r t�́ � e r t�́ � � 0 .
O vetor tangente unitário, ou versor, será dado por:



T t
r t
r t
� � � � �� �
´
´ (22)
Uma parametrização 

r t� � é lisa em um intervalo I se ŕ for contínua e r t�́ � � 0 
em I. Uma curva é denominada lisa se tiver uma parametrização lisa.
Para relembrar os concei-
tos de derivadas de fun-
ções vetoriais, sugerimos o 
vídeo Derivadas de funções 
vetoriais, da platafor-
ma da Khan Academy. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/
multivariable-derivatives/
differentiating-vector-value-
d-functions/a/derivatives-o-
f-vector-valued-functions. 
Acesso em: 15 mar. 2021.
Já para recordar integrais 
de funções vetoriais, 
sugerimos a aula Integrais 
de funções vetoriais do Prof. 
Dr. Juan López Linares, do 
portal e-Aulas da Universi-
dade de São Paulo (USP). 
Disponível em: http://
eaulas.usp.br/portal/video.
action?idItem=7781. Aces-
so em: 15 mar. 2021.
Site
Funções vetoriais e curvas espaciais 83
Para Stewart (2017, p. 776, grifo do original), temos que “uma curva é chamada de 
suave se tiver uma parametrização suave. Uma curva suave [lisa] não tem quebras 
abruptas ou cúspides; quando seu vetor tangente gira, ele o faz continuamente”.
Podemos observar diferentes curvaturas (Figura 25), que podem ser verificadas 
através do vetor tangente em cada um de seus pontos analisados.
Figura 25
Diferentes curvaturas
Curvatura nula Curvatura pequena Curvatura maior
RE
AM
AT
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Note que a direção do vetor 

T t� � está diretamente relacionado à curvatura da 
curva C. Assim, se a curva C é mais reta, o vetor tangente mudará de direção mais 
lentamente. Já, se a curvatura é mais acentuada, ou seja, com maior torção, a dire-
ção do vetor tangente mudará mais bruscamente.
Para encontrar a curvatura de C, calculamos a variação entre o vetor tangente 
unitário e o comprimento de arco. Como a curvatura sempre será um valor positi-
vo, usamos para esse cálculo a expressão:
� �
dT
ds (23)
Em geral, esse cálculo torna-se mais simples quando a curvatura está em ter-
mos de um parâmetro, por exemplo, em relação ao parâmetro t ao invés de s. Com 
isso, temos, pela regra da cadeia,
dT
dt
dT
ds
ds
dt
�=
 e 
� � �
dT
ds
dT
dt
ds
dt
Mas, ds
dt
r t� � �| ´ |, logo:
 
� t
dT t
dr t
T t
r t
� � � � �� � �
� �
� ��
´
´
  (24)
Adotando propriedades da geometria analítica no estudo dos vetores, podemos 
escrever:
84 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Teorema 2
A curvatura de uma curva dada pela função vetorial 

r é:
 
� t
r t r t
r t
� � � � �
� � �
� �
 

´ �´´
´
3 (25)
Dessa forma, o cálculo da curvatura permite uma melhor compreensão do 
comportamento de diferentes curvas. Vimos também que, partindo das infor-
mações conhecidas sobre a curva, podemos usar diferentes expressões para 
esse cálculo.
A seguir, veremos mais algumas ferramentas que nos auxiliam na compreensão 
do comportamento de diferentes curvas.
3.7.3 Vetor normal e binormal
Seja uma curva lisa 

r t� � , existem muitos vetores que são ortogo-
nais ao vetor tangente unitário 

T t� � . Como para todo t e assumindo que 
   
T t T t T t T t� � � � � � � � � � �´ ´ cos� 0 , então 

T t� � e 

T t�́ � são ortogonais e θ = 90º, con-
forme mostra a Figura 26.
Figura 26
Vetor tangente e vetor normal

N t� �

T t� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que 

T t�́ � pode não ser um vetor unitário, mas se r t�́ � é uma curva lisa, 
podemos definir o vetor normal principal unitário 

N t� � como


N t
T t
T t
� � � � �� �
´
´
(26)
Um vetor dito binormal é um vetor perpendicular, simultaneamente, a T e N e é 
calculado por 
  
B t T t N t�� � � � � � � � (27)
Essa estrutura composta pelos vetores normal, tangentee binormal é chamada 
de Triedro de Frenet (Figura 27).
Para uma melhor 
compreensão sobre o 
cálculo da curvatura e sua 
interpretação geométri-
ca, sugerimos o material 
Curvatura na plataforma 
da Khan Academy. Além 
da parte teórica e da 
estrutura geométrica de 
diferentes curvas, ainda 
permite resolver atividades 
que auxiliarão na fixação 
do conteúdo.
 Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/multivariable-
-calculus/multivariable-derivatives/
differentiating-vector-valued-func-
tions/a/curvature. Acesso em: 13 
maio 2021.
Leitura
No resumo com exercí-
cios Como construir um 
vetor normal unitário a 
uma curva, da plataforma 
Khan Academy, é possível 
encontrar mais sobre esse 
conteúdo.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integratin-
g-multivariable-functions/line-in-
tegrals-in-vector-fields-articles/a/
constructing-a-unit-normal-vector-
-to-curve. Acesso em: 13 maio 2021.
Leitura
Funções vetoriais e curvas espaciais 85
Figura 27
 Triedro de Frenet
Sa
lix
 a
lb
a/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
O vetor binormal é unitário. Essa afirmação pode ser verificada pela expressão:
  
B t T t N t sen
unitário unitário
o� � � � � � � 90
1
Logo 

B t� � � 1.
Esse conceito é muito usado na física, no estudo dos campos gravitacionais e na 
teoria da relatividade geral, a qual mostra que um corpo de massa muito grande 
pode curvar o espaço-tempo. Com isso, a trajetória dos corpos precisa ser calcula-
da considerando essa curvatura.
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Realizamos neste capítulo um longo trabalho sobre o tema das equações paramé-
tricas e das coordenadas polares. Isso não ocorre por acaso, acreditamos que essa 
fundamentação embasa as funções vetoriais e, dessa forma, os conceitos específicos 
sobre funções vetoriais podem ser trabalhados de maneira direta e aplicada.
Toda essa teoria é usada no cálculo integral para funções de múltiplas variáveis e, 
principalmente, no trabalho com os teoremas de Green, Gauss e Stokes. Ficou curio-
so? Sugerimos que este capítulo esteja bem fixado e compreendido para que possa-
mos falar desses temas.
86 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
ATIVIDADES
1. Descreva como podemos interpretar a derivada de uma curva expressa por 
equações paramétricas, em um ponto especificado.
2. Que curva é representada pela equação ρ = 3?
3. Assumindo que a área de uma região R delimitada por θ = α e θ = β é dada por 
S Á d¸ f ¸ d¸
±
²
±
²
� � � ��� ��� �
1
2
1
2
2 , como podemos calcular a área da região T apresentada 
na figura a seguir?
θ = β
β
ρ = ⨍(θ)
ρ = g(θ)
O x
O
BB
T θ = α
α
θ = β
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.
FLEITAS, C. Cicloides, cicloides alargadas y acortadas. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://geogebra.
org/m/ZvxufM44. Acesso em: 13 maio 2021.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 2.
Vídeo
Integrais múltiplas 87
4
Integrais múltiplas
Você já parou para pensar que tudo o que está ao nosso redor é tridimen-
sional? Sendo assim, se queremos funções que representem corretamente os 
espaços, precisamos incluir variáveis nesse contexto – ou seja, no conjunto do 
domínio dessas funções –, passando a trabalhar com as chamadas hiperfícies.
Assim, se quisermos calcular áreas ou volumes dessas hiperfícies, encontrar 
o centro de massa de uma região não regular e estudar os conceitos de pro-
babilidade e de engenharia avançados, será que poderíamos usar as integrais 
dessas funções?
Esse é o tema deste capítulo. Vamos, então, entender esses conceitos e 
aprender a aplicá-los.
4.1 Integrais duplas 
Vídeo Quando precisamos integrar uma função com duas ou mais variáveis, chama-
mos esse conceito de integral múltipla.
Da mesma forma que interpretamos a integral definida de uma função positiva 
de uma variável, como a área entre o gráfico de uma função e o eixo das abscissas, 
uma integral dupla de determinada função de duas variáveis representa o volume 
entre o gráfico dessa função e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de 
duas variáveis, a integral representará o hipervolume de funções multidimensionais.
A notação usada para integrar funções de múltiplas variáveis sobre um domínio 
previamente definido é a mesma utilizada para a integração de funções de uma va-
riável. Porém, agora teremos tantas integrais quanto forem nossas variáveis. Com 
isso, cada integrando (ƒ) receberá o intervalo de integração referente à variável que 
será integrada.
Observe na Equação (1) que o integrando pode apresentar os intervalos de inte-
gração de cada uma dessas variáveis (também chamados de domínio de integração) 
ou apenas trazer a referência à existência desse domínio. Nesse último caso, ado-
tamos uma letra no sinal de integração à direita:
a
a
a
a
am
am
n n D n
f x x dx dx f x x d 
1
2
3
4 1
1 1 1� � � �� � � � � � � �
�
, , , ,    xx dx n1 
(1)
88 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Para entendermos como esse processo de integração pode ser desenvolvido, co-
meçaremos pela integração de funções de duas variáveis reais sobre as regiões re-
tangulares. Essa integração pode ser, ainda, denominada de dupla ou integrais duplas.
4.1.1 Integrais duplas sobre retângulos
O cálculo da integral de uma função de n variáveis é similar ao realizado para 
funções de uma variável. A principal diferença está na região de integração e no 
resultado obtido, o qual terá sua unidade de medida proporcional à quantidade de 
variáveis da função.
Dessa forma, quando calculamos a integral de uma função de uma variável, en-
contramos a área sobre uma curva em relação ao eixo x. Já ao calcular a integral de 
uma função de duas variáveis, por exemplo f(x, y), temos o volume entre a curva f e 
o plano xy. Agora, calculando a integral de uma função de três variáveis, por exem-
plo w = f(x, y, z), encontramos o hipervolume entre w e o volume xyz.
Perceba que, neste momento, não conseguimos visualizar geometricamente al-
guns resultados. Então, passamos a particionar as informações por meio de proje-
ções sobre os planos xy, xz e yz, para que possamos trazer o cálculo algébrico das 
integrais de funções multivariadas para o contexto geométrico do conceito.
Vamos considerar a função f :  2 → , tal que z = f(x, y). Desejamos integrar 
f(x, y) sobre uma região retangular R, conforme Figura 1 a seguir.
Figura 1
Região de integração R
Fonte: Elaborada pela autora. y
y
x
x
R
z = f(x, y)
ba
z
c
d
d
c
a b0
yj
y1
x1 ... ...xi xn – 1
yj – 1
xi – 1
0
Rij
cij (xi, yj)
Assim, dizemos que f está definida em um retângulo fechado:
R a b c d { x y |�a x b�e�c y d � �� �� � �� �� � � �� � � � �, , , }2
Analisando a Figura 1, na qual f(x, y) ≥ 0, chamaremos de S o sólido gerado entre 
a função z = f(x, y) e a área R no plano xy, ou seja:
S { x �y z |� z f x y �com� x y � � �� � � � � � ��, , , , , } 3 0
Desejamos calcular o volume de S, que será denotado por VS. Para isso, vamos usar 
as somas de Riemann, subdividindo a região R em n subintervalos na direção do eixo x, 
Integrais múltiplas 89
ou seja, o intervalo [a, b] será dividido em n, sendo �x x x
b� �a
ni i
� � �
�
�1 . Além disso, 
R será subdividida em m intervalos entre [c, d], de modo que �y y y
d� �c
mj j
� � �
�
�1 .
Assumindo um ponto arbitrário cij na região Rij, conforme a Figura 1, então f(cij) 
será um ponto da superfície z = f(x, y). A região de integração está exemplificada 
na Figura 2.
Figura 2
Descrição da região de integração
y
x
z z = f(x, y)
f(cij)
Rij
ba
c
d
0
Fonte: Elaborada pela autora.
Sabendo que cada Rij possui a = 0 ≤ i ≤ n = b e b = 0 ≤ j ≤ m = d, podemos escrever 
que cada uma das áreas Rij são ΔxΔy = ΔA. Assim, o volume do paralelepípedo de 
área da base ΔA e altura f(cij) é Vp = ΔA · f(cij).
Adotando o mesmo procedimento para todos os intervalos de [a, b] × [c, d],te-
remos um resultado aproximado do volume de S, como pode ser visto na Figura 3.
Figura 3
Volume de S
Fonte: Manthey, 2021.
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
90 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
É exatamente disso que precisamos para calcular o volume de S. Note que a 
aproximação é boa, ou seja, aproxima-se do que queremos, mas não se ajusta per-
feitamente à curva z = f(x, y).
Contudo, quanto menores os valores para ΔA, mais precisa fica a aproximação 
para o volume S (Figura 4).
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 4
Volume de S com maior precisão
Fonte: Manthey, 2021.
Assim, se ΔA → 0, podemos escrever:
V f c A f c AS A
i
n
j
m
ij n m
i
n
j
m
ij� � � � � ��
� �
�
� �
�� ��lim lim,� � �0
1 1 1 1
�
(2)
Se esse limite existir.
Dessa forma, esse limite pode ser escrito em termos de integral de Riemann, 
pela definição a seguir.
Definição 1
A integral dupla de f sobre o retângulo R é:
R a
b
c
d
n m i
n
j
m
ijf x y dA f x y dydx f c A� � �� ��� � � � � � � �� � �
, , lim
, � 1 1
� (3)
Se o limite existir (STEWART, 2017).
Integrais múltiplas 91
Acompanhe um exemplo de integral dupla a seguir.
Σxemρlo 1
Seja R = {(x, y) | –1 ≤ x ≤ 1 e –2 ≤ y ≤ 2}, calcule a integral de:
R
x dA� � �� �2 1
Solução
Sabendo que x está entre –1 e 1 e que y está entre –2 e 2, concluímos que a fun-
ção está sendo integrada em uma região retangular, conforme mostra a Figura 5.
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 5
Região de integração R = {(x, y) | –1 ≤ x ≤ 1 e –2 ≤ y ≤ 2}
Fonte: Manthey, 2021.
Assim,
R
x dA x dydx� � � �� � �� � � �
� �
( ) ,2
1
1
2
2
21 1 5 33
Como vamos trabalhar com as técnicas de resolução nos próximos exemplos, 
aqui, para nos auxiliar na solução do problema, vamos usar uma calculadora 
on-line 1 . Mais à frente, a utilização de calculadoras on-line – ou outras ferramen-
tas computacionais – nos ajudará na validação dos resultados encontrados com as 
técnicas aplicadas.
As propriedades aplicadas nas integrais duplas são similares às propriedades 
conhecidas para as integrais de funções de uma variável. Isso ocorre pois o desen-
volvimento do cálculo das integrais parte dos mesmos princípios – por exemplo, as 
somas de Riemann.
Desse modo, sejam f e g duas funções de 2 em 2, e k ∈2 uma constante qual-
quer, temos as seguintes propriedades:
Disponível em: www.geo-
gebra.org/m/DQ3ehsZa. 
Acesso em: 27 abr. 2021.
1
92 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
 • Linearidade:
R R R
f x y k g x y dA � f x y dA k g x y dA � � � � � �� � � � � ��� �� � � � � � �, , , ,
 • Aditividade:
R R R
f x y dA � f x y dA f x y �dA � � � � � �� � � � � � � �, , ,
1 2
Se R1 ∪ R2 = R e R1∩R2, a aditividade possui apenas pontos de fronteira em comum.
 • Valor médio: existe, no mínimo, um ponto M(a, b) ∈ R, tal que:
∫ ∫
R
f(x, y)dA = f(a, b)A(M)
Em que A(M) é a área do retângulo R.
Para aplicarmos essas propriedades, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 2
Seja a função f(x, y) = 2x2y + 3xy2, determine o valor de:
� �
� � �� �
3
2
3
2
2 22 3x y xy dxdy
Solução
Aplicando as propriedades apresentadas anteriormente, podemos escrever:
� � � � � �
� � � � � �� � � � � � � � �
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
22 3 2 3x y dxdy xy dxdy x y dxdy
�� �
� � � �
3
2
3
2
2xy dxdy
Como mencionado anteriormente, as técnicas de resolução serão vistas nas 
próximas seções. Portanto, para nos auxiliar na resolução dessa integral dupla, 
usaremos uma calculadora on-line (Figura 6).
Figura 6
Calculadora on-line para integrais duplas
Fonte: Silva, 2021.
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Integrais múltiplas 93
Portanto,
� �
� � �� � � �
3
2
3
2
2 22 3 145 83x y xy dxdy ,
Com isso, percebemos que a manipulação de uma integral dupla sobre uma re-
gião retangular é um processo simples. Desse modo, podemos optar por começar 
a integração pelo intervalo em x ou em y.
4.1.1.1 Integrais iteradas
Quando precisamos calcular uma integral dupla, utilizando o conceito de integral 
iterada, na prática calculamos duas integrais simples, resolvidas sequencialmente.
Logo, o processo usado é similar ao cálculo de derivadas de alta ordem, em 
que calculamos a derivada em relação à variável desejada. No caso das integrais 
múltiplas, calculamos a integral da função em relação a uma de suas variáveis, e 
esse resultado será usado para calcular a integral seguinte em relação à próxima 
variável desejada, e assim sucessivamente.
Vamos entender esse processo por meio de um exemplo. Na sequência, 
traremos a definição.
Σxemρlo 3
Seja a função f :  2 → dada por f(x, y) = x2y + 3xy4, integre f em –1 ≤ x ≤ 1 e 
–2 < y ≤ 2, isto é, determine o valor de:
� �
� � �
2
2
1
1
2 43( )x y xy dxdy
(4)
Solução
Quando a integral está apresentada como na Equação (4), em que o enunciado 
nos informa o intervalo de integração para x e para y, organizamos as etapas de in-
tegração usando os parênteses. Dessa forma, conseguimos visualizar exatamente 
o passo a passo da integração. Assim, temos:
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1
1
2 4
1
3( )x y xy dx dy
 Etapa
� ���� ����
Na Etapa 1, precisamos integrar x2y + 3xy4 em relação a x. Portanto, nessa etapa, 
y se comporta como uma constante.
� � �
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
1
2 4
1
1
2 4
1
1
3 3( )x y xy dx y x dx y xdx
y x y x y y
3
4
2
4
3
1
1
3
2
1
1
1
3
1
3
3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � 22
1
2
2
3
�
�
�
�
�
�
� � y
94 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Após a primeira etapa, vamos para a segunda integração, realizada em relação a y.
� �
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2 22
3
2
3
2
3 2
2
2
y�dy y�dy y
2
3
4
2
4
2
0��
�
�
�
�
� �
Portanto,
� �
� � � �
2
2
1
1
2 43 0( )x y xy dxdy
Da forma que exemplificamos, encontramos primeiro uma área:
A y f x y dx
a
b
� � � � �� ,
Na sequência, encontramos: 
 c
d
c
d
a
b
A y dy f x y dxdy� ��� � � � �,
(5)
Isso nos permite expressar, invertendo a ordem das variáveis de integração:
 a
b
c
d
a
b
c
d
f x y dydx f x y dy dx �� � �� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
(6)
O teorema que nos permite realizar essas trocas e etapas é chamado de 
teorema de Fubini, enunciado a seguir.
Teorema 1
Seja f: [a,b] × [c,d] → f :  2 → integrável.
Então, de acordo com Bianchini (2021c),
a b c d a
b
c
d
c
d
a
b
f�dxdy f x y dydx f x y dxdy
, ,
, ,
�� ����� ��
� � �� ��� � � � � �
(7)
Geometricamente, o teorema de Fubini pode ser interpretado por meio da 
análise das integrais A y f x y dx
a
b
� � � � �� , ou A x f x y dy
c
d
� � � � �� , e, respectivamente,
c
d
c
d
a
b
A y dy f x y dxdy� ��� � � � �, (Figura 7) ou 
a
b
a
b
c
d
A x dx f x y dydx� ��� � � � �, (Figura 8). As repre-
sentações a seguir foram feitas considerando como intervalo –1 ≤ x ≤ 1 e –2 ≤ y ≤ 2.
Integrais múltiplas 95
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 7
Representação geométrica de � � � �c
d
c
d
a
bA y dy f x y dxdy( ) ( , )
Fonte: Beck, 2021.
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 8
Representação geométrica de � � � �a
b
a
b
c
dA x dx f x y dydx( ) ( , )
Fonte: Beck, 2021.
Para compreender melhor a interpretação do teorema de Fubini, veja o exemplo.
Σxemρlo 4
Calcule o valor das integrais iteradas a seguir:
1
5
0
2
2 2∫∫x y dxdy
Solução
Inicialmente, vamos resolver em relação a x, ou seja, temos que fazer:
1
5
0
2
2 2
1
5 3
2
1
5
3
2
0
8
3� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�x y dx dy x y dy� yy dy y2
38
3 3
5
1
992
9
�
�
�
��
�
�
�� �
Agora, resolvendo em relação a y, temos:
1
5
0
2
2 2�� �x y dydx
0
2
1
5
2 2
0
2 3
2
0
2
3
5
1
124
3� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�x y dy dx y x dx �� �
�
�
��
�
�
�� �x dx
x2 3124
3 3
2
0
992
9
�
96 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Portanto, o teoremade Fubini nos fornece uma ferramenta essencial para o 
cálculo de integrais de funções de múltiplas variáveis reais.
4.2 Integrais duplas sobre regiões gerais 
Vídeo Agora, queremos integrar funções de mais de uma variável em relação a regiões 
quaisquer – logo, as regiões podem ser retangulares ou não. Dessa forma, usamos 
a Figura 9 para interpretar esse processo, supondo uma função f :  2 → para 
essa representação.
Figura 9
Região de integração D ⊆ R
y
x
z z = f(x, y)
dA = dxdy
ba
c
d
dy
dx
D
R
0
Fonte: Elaborada pela autora.
Seja R = Rxy = [a, b] × [c, d] um retângulo que contém a região D. Além disso, seja 
f uma extensão de f ao retângulo R, definida por:
f x y
x y x y
x y
 
 
 
,
, ,� � ,
,� � ,
� � � � � � �
�
� ��
�
�
�
��
f se D
se D0
(8)
Portanto, a integral dupla de f em D é, por definição, a integral dupla da exten-
são f sobre R, ou seja:
D
R
f x y dA f x y dA� � � �� � � � �, ,
(9)
A partir desse ponto, podemos calcular uma integral dupla sobre regiões não 
retangulares. Em geral, dividimos as regiões de integração (D), de acordo com dois 
casos particulares, descritos a seguir.
Integrais múltiplas 97
Temos uma região de integração D, do tipo I (Figura 10), quando conhe-
cemos o intervalo de integração em x e quando D é uma região formada por 
funções contínuas de x.
1
Figura 10
Exemplos de regiões do tipo I
x xb ba a
D
0 0
y y
y = g2(x)
y = g2(x)
y = g1(x)
y = g1(x)
Fonte: Elaborada pela autora.
D
Nesse caso, temos a definição apresentada a seguir.
Definição 2
Se f é contínua em uma região D do tipo I, com D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b e g
1
 (x) ≤ y ≤ g
2
(x)}, então:
D a
b
g x
g x
f x y dA f x y dydx� � � �� � � � �
� �
� �
, ,
1
2
(10)
Acompanhe o exemplo a seguir, no qual utilizamos a definição anterior e faze-
mos uma integração em uma região do tipo I.
Σxemρlo 5
Determine a integral da função f(x, y) = 2xy2 sobre a região D do plano xy, limita-
da pela reta g1(x) = x e pelo monômio cúbico g2(x) = x
3.
Solução
A região de integração D é formada pela intersecção das funções g1 e g2, em que 
ambas são funções de x. Essa área está representada na Figura 11.
98 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 11
Região D, intersecção entre g1(x) e g2(x)
x
x = 0 x = 1
y
B
g1(x) = x, (0 ≤ x ≤ 1) 
g2(x) = x
3, (0 ≤ x ≤ 1) 
A
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
D
Fonte: Elaborada pela autora.
Assim, a função f(x, y) = 2xy2 está sendo integrada em D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 e 
g1(x) = x ≤ y ≤ g2(x) = x
3}, ou seja, temos que resolver a integral:
0
1 3
22∫ ∫
x
x
xy dydx
Para isso, fazemos:
2 2
3
2
0
1 3
2
0
1 3
0
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�x y dy dx x y
x
x
dx
x
x ³ 11 10 41
3� �� � �x x dx �
2
3
2
3 11 5
1
0
2
3
1
11
1
5
0
0
1
10 4
11 5
� � � �
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
( )x x dx x x
��
� � � �0 072, �
Temos uma região de integração D, do tipo II (Figura 12), quando conhe-
cemos o intervalo de integração em y e quando D é uma região formada por 
funções contínuas de y.
2
Integrais múltiplas 99
Figura 12
Exemplos de regiões do tipo II
x x
D
D
0 0
y
d
d
c
c
y
x = h2(y)
x = h2(y)
x = h1(y)
x = h1(y)
Fonte: Elaborada pela autora.
Nesse caso, temos a seguinte definição:
Definição 3
Se f é contínua em uma região D do tipo II, com D = {(x, y) | h
1
(y) ≤ x ≤ h
2
(y) e c ≤ y ≤ d}, então,
D c
d
h y
h y
f x y dA f x y dxdy� � � �� � � � �
� �
� �
, ,
1
2
(11)
Percebemos que a análise do intervalo de integração é tão importante quanto a 
escolha do método de integração. Logo, compreender a região de integração para 
as integrais duplas nos ajudará nas próximas seções, quando precisarmos calcular 
as regiões de integração para integrais triplas. Sendo assim, sugerimos que todos 
os materiais indicados ao longo desta seção que contenham exemplos e exercícios 
sejam contemplados para auxiliar no aprofundamento desse conceito.
Para saber mais sobre inte-
grais duplas, assistir vídeos 
de resoluções de exercícios 
e praticar, sugerimos os 
materiais da plataforma da 
Khan Academy a seguir:
• Unidade: integração de funções 
multivariáveis. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/
math/multivariable-calculus/
integrating-multivariable-functions/
double-integrals-topic/v/double-
-integral-1?modal=1. Acesso em: 
27 abr. 2021.
• Integrais duplas.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/double-in-
tegrals-a/a/double-integrals. Acesso 
em: 27 abr. 2021.
Vídeo
4.3 Mudanças de variáveis nas integrais duplas 
Vídeo Muitos são os casos em que é necessário realizar uma mudança de variável. Seja 
para facilitar o cálculo de uma integral ou para mudar o sistema de coordenadas 
adotado, as mudanças de variáveis se dão por meio de transformações lineares.
Uma mudança comum em funções de duas variáveis é a conversão de um siste-
ma retangular para um sistema de coordenadas polares.
Nesse caso, transformamos o par de coordenadas (x, y) em um par de coorde-
nadas (r, θ), assumindo:
x = r cos θ
y = r sen θ
100 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Com isso, a integral de uma função f(x, y) sobre uma região retangular R no pla-
no xy passa a ser escrita como:
R S
f x y dA f r �rsen rdr�d� � � �� � � � �, cos ,� � �
(12)
Em que S é a região no plano rθ correspondente ao plano R.
Assim, para generalizar esse tipo de processo, consideramos uma transforma-
ção linear do plano uv para o plano xy, denotada por T(u, v) = (x, y).
Com isso, denotamos:
x = x(u, v) e y = y(u, v)
Assumindo que T é bijetora, temos T–1(x, y) = (u, v), logo,
u = u(x, y) e v = v(x, y)
Para que não haja problema no processo de transformação, também assumi-
mos que a transformação é de classe C1, ou seja, tem derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas.
A transformação T leva cada sub-região ΔR de R a uma sub-região ΔS de S. Por-
tanto, a área de cada região ΔS pode ser aproximada pela área de um paralelogra-
mo formada pelos seguintes vetores:
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
x
u
i y
u
j u T u�u
 
� �
(13)
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
x
v
i y
v
j v T vv
 
� �
(14)
Desse modo, a soma das áreas é dada por T T u v
x y
u v
u vu v� �
� � �
� � �� � � �
,
, .
Trabalhamos, então, com divisões regulares nos intervalos [a, b] e [c, d] da forma: 
� �u b a
n
v� � �
Com isso, obtemos:
A dxdy
x y
u v
u v
x y
R i
n
j
n
ij ij
i
n
j
n
� �
� � �
� � � �
� � �
�� � �� ��
� � � �1 1 1 1
,
,
,
� �
uu v
u v
,� � � �
(15)
Portanto,
R S
f x y dA f x u v y u v
x y
u v
dudv� � � �� � � � � � �� �
� � �
� � �, , , ,
,
,
(16)
Vamos analisar esse processo por meio de um exemplo, no qual iremos utilizar 
a definição a seguir.
Para saber mais sobre as 
coordenadas polares e o 
processo de mudança de 
variável em integrais du-
plas, assumindo a mudan-
ça de sistema, sugerimos 
dois vídeos da plataforma 
da Khan Academy:
• Coordenadas polares. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/double-inte-
grals-a/v/polar-coordinates-1. Acesso 
em: 27 abr. 2021.
• Integrais duplas em coorde-
nadas polares. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/
math/multivariable-calculus/
integrating-multivariable-functions/
double-integrals-a/a/double-inte-
grals-in-polar-coordinates. Acesso 
em: 27 abr. 2021.
Vídeo
Integrais múltiplas 101
Definição 4
O jacobiano da transformação T dada por x = X(u, v) e y = Y(u, v) é:
J
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
x
u
y
v
x
v
y
u
�
�� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
,
Agora, vamos ao exemplo.
Σxemρlo 6
Suponha que temos que integrar a seguinte função:
f(x, y) = (3x – y) cos(3x + y)
Ela deve ser integradano intervalo R, delimitado pelas funções:
 • y = x
 • y = –x
 • y = x – 6
 • y = 12 – x
Seria mais fácil se tivéssemos f(u, v) = u cos v e, com isso,
S
u v�dudv�∫ ∫ cos ?
Fi
sh
Co
ol
is
h/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Com certeza! É assim que procedemos com a mudança de variável. Nesse 
caso, definimos:
 u = 3x – y v = 3x + y
Assim,
u x y
v x y
� �
� �
� � � � �
��
�
�
��
3
3
6
6
u v x x u v
(17)
u x y
v x y
� �
� � � �
� � � � � �
��
�
�
��
3
3
2
2
u v y y v u
(18)
Portanto, para montarmos o jacobiano, precisamos de 
�
�
�
x
u
1
6 , 
�
�
�
x
v
1
6 , 
�
�
� �
y
u
1
2
e �
�
�
y
v
1
2
:
J
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
�
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
,
,
1
6
1
6
1
2
1
2
1
12
1
12
1
6
102 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Agora, precisamos encontrar os limites de integração para a região S, ou seja, 
determinar a região S do plano uv correspondente a R. Assim, assumindo que R 
está delimitada por quatro equações de reta (Figura 13), podemos usar essa infor-
mação para entender o comportamento de R e calcular a região de integração S.
Figura 13
Região R
eq2: x = –y eq3: x = 12 – y
eq4: x = 6 + yeq1: x = x = y
B = (9, 3)
A = (6, 6)
C = (3, –3)
y
x
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fonte: Elaborada pela autora.
D = (0, 0)
Assim, fazendo a conversão para encontrarmos a região S (Figura 14), temos, 
então, u = 0, u = –6, v = 0 e v = –12.
Figura 14
Região S
Fonte: Elaborada pela autora.
eq2: x = –y eq3: x = 12 – y
eq4: x = 6 + yeq1: x = x = y
B = (9, 3)
A = (6, 6)
C = (3, –3)
y
x
6
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
D = (0, 0)
v
4
2
0
–2
–4
–6
–8
uu = 0
u = – 6
v = –12
– 18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8
v = 0
B = (–12, 0) C = (0, 0)
B = (0, –6)A = (–12, –6)
Integrais múltiplas 103
Com isso, é possível calcular:
R
x y x y dydx u v dvdu� � � ��� � �� � � � � � �
� �
3 3 1
6
6
0
12
0
cos cos
Assim, resolvendo a integral dupla em função de u e v sobre S, obtemos:
� �
� � � � � � � � �
6
0
12
0 1
6
3 9 12u v dvdu sen sencos ( )
Concluindo, não mais resolvemos a integral dupla:
� �
�
� � �� � �� �
x
x
x
x
 
x y x y dydx
12
6
3 3cos
Em vez disso, utilizamos a mudança de variável, para resolver uma integral 
mais simples: 
� �
� � � � � �
6
0
12
0 1
6
u v dvducos
Com a realização de mudanças de variáveis, possibilitamos o cálculo de integrais 
que, ao primeiro olhar, seriam extremamente complexas, mas que, com algumas 
mudanças, tornam-se mais simples. As mudanças de variáveis também nos permi-
tem trabalhar com um número maior de aplicações, justamente porque os modelos 
que representam situações físicas costumam ter domínios irregulares e complexos.
Na sequência, vamos analisar algumas aplicações das integrais múltiplas.
4.3.1 Aplicações
Existem muitas aplicações quando pensamos em integrais múltiplas. Vamos es-
tudar alguns exemplos clássicos da engenharia que se enquadram perfeitamente 
não só no tema de integrais duplas, como também nas mudanças de variáveis.
zu
l_m
ah
en
dr
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
DENSIDADE
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que existe uma 
massa distribuída ao longo dela. Consideremos a densidade de D, em unidades de 
massa por unidade de área, conhecida no ponto (x, y), bem como essa densidade 
sendo denotada por ρ(x, y). Respeitando que a lâmina seja feita de material homo-
gêneo e que a densidade seja constante, podemos escrever que a massa total dessa 
lâmina é calculada pelo produto da densidade multiplicado pela área da lâmina.
Se essa densidade varia em diferentes pontos da lâmina, consideraremos uma 
área infinitesimal (Figura 15) e calcularemos a soma da densidade por todas essas 
áreas que tendem a zero.
• O professor Waldecir 
Bianchini, por meio do 
GeoGebra, disponibili-
zou o material Mudança 
de variável na integral 
dupla, no qual aborda a 
mudança de variáveis e 
apresenta uma ferramenta 
interativa, sendo possível 
escolher a transformação 
T(u, v) = (x, y) e visualizar 
graficamente a região de 
integração obtida. 
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/yrfcq5cp. Acesso em: 
27 abr. 2021.
• O professor Bianchini 
tem outros materiais com 
exemplos resolvidos que 
podem complementar 
nosso estudo sobre 
mudança de variáveis. É 
possível acessá-los por 
meio do link a seguir.
Disponível em http://www.im.ufrj.
br/waldecir/calculo3/calculo3.pdf. 
Acesso em: 27 abr. 2021.
Saiba mais
104 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 15
Região infinitesimal dA = dxdy
In
du
ct
ive
lo
ad
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Portanto, aplicando as somas de Riemann, obtemos a seguinte expressão para 
o cálculo da massa total de uma lâmina como apresentada:
m x y dA 
D
� � �� �� ,
Acompanhe um exemplo com a aplicação do conceito de massa total e densidade.
Σxemρlo 7
Considere uma lâmina quadrada, disposta sobre um plano cartesiano, em que 
seus vértices são A(0, 1), B(0, 2), C(1, 1) e D(1, 2). Sabendo que sobre essa lâmina foi 
aplicada uma carga elétrica e que a densidade dessa carga é ρ(x, y) = x2y + xy2, pode-
mos calcular a carga total (Q 2 ), aplicando o princípio da massa total. Assim, fazemos:
m Q x y dA x y xy dydx 
D
� � � � � �� �� � ��� ,
0
1
1
2
2 2
Q x x dx� ��
�
�
�
�
� ��
0
1
23
2
7
3
5
3
Portanto, a carga é de 
5
3
 coulombs.
Rv
ec
to
r/
Sh
ut
te
rs
to
ck
MOMENTO DE FORÇA E CENTRO DE MASSA
O momento físico, também chamado de primeiro momento ou momento de 
força, é a magnitude da força aplicada a um determinado objeto, em pontos que 
permitam que esse objeto gire (rotacione). Essa magnitude leva em consideração a 
distância do eixo de rotação em que foi aplicada essa força.
Em que ρ é dado em cou-
lombs por metro quadrado 
e Q é dada em coulombs.
2
Integrais múltiplas 105
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D e que sua função de densidade 
seja dada por ρ(x, y). O momento da lâmina inteira, também denominado de pri-
meiro momento, em relação ao eixo x, de acordo com Valle (2021a), é igual a:
M y x y dAx
D
� � �� � � ,
Analogamente, o momento em relação ao eixo y é:
M x x y dAy
D
� � �� � � ,
Com o cálculo dos momentos em x e em y definidos, usamos esses resultados 
para encontrar o chamado centro de massa da lâmina, sendo que as coordenadas 
do centro de massa x �y,� � são x M
m
y= e y
M
m
x= , em que m representa a massa 
total da lâmina.
Portanto, dentre as muitas possibilidades de aplicações para as integrais du-
plas, um importante uso está no cálculo do momento e centro de massa de estru-
turas planas bidimensionais. Além disso, podemos procurar o centro de massa de 
estruturas tridimensionais, o qual será nosso objeto de estudo a seguir.
4.4 Integrais triplas 
Vídeo O cálculo de uma integral tripla segue o mesmo princípio desenvolvido para as 
integrais duplas. A diferença agora está nas regiões de integração. Como uma inte-
gral tripla é desenvolvida para funções de três variáveis, por exemplo, w = f(x, y, z), 
temos que as regiões – tridimensionais – de integração são volumes.
Com isso, a ideia inicial é calcular a integral de uma função w = f(x, y, z) sobre 
uma região em formato de caixa retangular (Figura 16), ou seja, sobre o conjunto:
C = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d; e ≤ z ≤ f}
Figura 16
Volume da caixa retangular
xb
a
c
d
y
e
f
z
Fonte: Elaborada pela autora.
106 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Por meio dessa região é possível usar a soma de Riemann, subdividindo a caixa 
retangular em subcaixas de tamanho infinitesimal (Figura 17) e aproximando-se da 
solução da integral tripla (hipervolume) sobre a região volumétrica C.
Figura 17Subdivisão da caixa retangular
Fonte: Dias, 2021. 
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
De acordo com Stewart (2017), pelo teorema de Fubini para integrais triplas, se f 
é contínua em uma caixa retangular C = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d; e ≤ z ≤ f}, então,
C e
f
c
d
a
b
f x y z dV f x y z dxdydz� � � ���� � � � �, , , , (19)
Para compreender melhor esse conceito, vamos desenvolver uma integral tripla 
no exemplo a seguir.
Σxemρlo 8
Calcule a integral tripla dada por:
C
dxdydz∫ ∫ ∫
Em que C = [a, b] × [c, d] × [e, f].
Solução
Sabendo que w = f(x, y, z) = 1, temos:
e
f
c
d
a
b
e
f
c
d
a
b
e
f
c
d
dxdydz dx dydz b a dyd��� �� � ���
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� ��� �� zz �
e
f
c
d
e
f
c
d
e
f
b a dy dz b a dy dz b a d� � � � ��� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � �cc dz� � �
e
f
e
f
b a d c dz b a d c dz b a d c f e� ��� � �� � � �� � �� � � �� � �� � �� �
Integrais múltiplas 107
Portanto, o volume da caixa retangular é dado por:
V dxdydz b a d c f e
e
f
d
c
a
b
� � �� � �� � �� ����
Acompanhe mais um exemplo da resolução de integral tripla.
Σxemρlo 9
Se C = [0, 1] × [1, 2] × [0, 3], uma caixa retangular, calcule:
C
xyz�dzdxdy∫ ∫ ∫
Solução
C
xyz�dzdydy xyz�dz dx dy� � � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
1
0
3 27
8
Portanto, conhecendo a região de integração, podemos usar um princípio se-
melhante ao usado nas equações (8) e (9), para definir uma região de integração W 
qualquer, com W ⊆ C, conforme apresenta a Figura 18.
Figura 18
Região tridimensional qualquer
xb
a
c
d
y
e
f
z
Fonte: Elaborada pela autora.
Então, seja uma função contínua f definida sobre um domínio (região) W, temos:
f x y z
x y z x y z
x y z
 
 
 
, ,
, , ,� � , , �
,� � , ,
� � � � � � �
�
� ��
f se W
se0 CC W�
�
�
�
��
(20)
108 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Nesse ponto, será necessário analisar, assim como nas integrais duplas, as re-
giões de integração delimitadas por funções quaisquer. Assim, dividimos essas 
regiões em três, de acordo com a projeção de cada uma dessas estruturas tridi-
mensionais no plano xy, xz e yz, respectivamente. Essas projeções recaem nos ca-
sos I e II desenvolvidos nas integrais duplas.
Na sequência, veremos cada uma dessas regiões.
A primeira região que será analisada será chamada de região de integração 
do tipo I. Denotaremos por W o domínio de integração.
Nesse caso, temos:
W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D e f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}
Em que D é a projeção de W no plano xy e f1 ≤ f2.
1
Geometricamente, podemos representar essa região conforme a Figura 19.
Figura 19
Região de integração do tipo I
z
W
z = f1 (x, y)
z = f2 (x, y)
y
x
D
Fonte: Elaborada pela autora.
Assim,
W
D
f x y
f x y
f x y z dzdxdy f x y z dz d� � � � � �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��� �
� �
, , , ,
,
,
1
2
xxdy
(21)
Integrais múltiplas 109
A segunda região que será analisada será denominada de região de inte-
gração do tipo II. Aqui, também denotaremos por W o domínio de integra-
ção. Logo, temos:
W = {(x, y, z) | (x, z) ∈ D e g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)}
Em que D é a projeção de W no plano xz e g1 ≤ g2.
2
Podemos representar, geometricamente, essa região como mostra a Figura 20.
Figura 20
Região de integração do tipo II
z
WD
y = g1 (x, z)
y = g2 (x, z)
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Nesse caso, temos:
W
D
g x z
g x z
f x y z dydxdz f x y z dy d� � � � � �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��� �
� �
, , , ,
,
,
1
2
xxdz
(22)
Por fim, a terceira região que será analisada será intitulada de região de 
integração do tipo III. Para essa região, temos:
W = {(x, y, z) | (y, z) ∈ D e h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)}
Onde D é a projeção de W no plano yz e h1 ≤ h2.
3
Geometricamente, podemos representar essa região de acordo com o que traz 
a Figura 21.
110 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 21
Região de integração do tipo III
x
y
z
D
X = h1 (y, z)
X = h2 (y, z)
W
Fonte: Elaborada pela autora.
Para reforçar o conceito de 
integral tripla e melhorar a 
compreensão e identi-
ficação das regiões de 
integração apresentadas 
em cada um dos casos, 
sugerimos os materiais a 
seguir, disponibilizados 
na plataforma da Khan 
Academy sobre o tema.
• Integrais triplas 1. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/triple-in-
tegrals-topic/v/triple-integrals-1. 
Acesso em: 27 abr. 2021.
• Integrais triplas 2. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/triple-in-
tegrals-topic/v/triple-integrals-2. 
Acesso em: 27 abr. 2021.
• Integrais triplas 3. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/triple-in-
tegrals-topic/v/triple-integrals-3. 
Acesso em: 27 abr. 2021.
• Integrais triplas. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
-multivariable-functions/triple-inte-
grals-topic/a/triple-integrals. Acesso 
em: 27 abr. 2021.
Saiba mais .
Logo,
W
D
h y z
h y z
f x y z dxdydz f x y z dx d� � � � � �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��� �
� �
, , , ,
,
,
1
2
yydz
(23)
Ainda, podemos ter a região do tipo IV, que é aquela formada por meio de 
combinações entre os tipos anteriores. Agora, acompanhe um exemplo de integral 
tripla com região de integração do tipo I.
Σxemρlo 10
Calcule 
W
z�dV∫ ∫ ∫ , em que W é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos 
x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
Solução
A região W é do tipo I, e pode ser escrita como:
W x y z x y x z x y� � �� � � � � � � � � �{ , , | ; ; }3 0 1 0 1 0 1
Assim,
W
x x y
z�dV z�dz dy dx� � � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
0
1
0
1
0
1
1
24
Com isso, foi possível expandir o conceito de integral dupla para a tripla, tendo 
como região de integração um volume que pode ser construído por meio de funções.
Integrais múltiplas 111
4.5 Mudanças de variáveis nas integrais triplas 
Vídeo Agora, vamos ver mais alguns exemplos de mudanças de variáveis que podem 
ser adotadas. Porém, essas mudanças serão realizadas pensando na integração tri-
pla. Dessa forma, vamos utilizar transformações do espaço uvw para o espaço xyz.
Para isso, assumimos S* uma região no espaço tridimensional, e x, y e z funções, 
tais que:
x y z S*, , : → 
Com x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). Essas funções são de classe C1 na 
caixa retangular C = [a, b] × [c, d] × [e, f], de modo que S* ⊆ C. Assim, temos:
T S �*: → 3
Assumindo que T é bijetora, temos T–1(x, y, z) = (u, v, w), ou seja, u = u(x, y, z), 
v = v(x, y, z), e w = w(x, y, z).
Desse modo, sendo T uma transformação que leva uma região S* do espaço uvw 
em uma região W do espaço xyz (Figura 22), escrevemos o jacobiano de T como:
J
�
�
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x y z
u v w
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
, ,
, ,
(24)
Teorema 2
Suponha que T seja uma transformação de classe C1, tal que T(S*) = W e W = T–1(S*). 
Considere, também, que o jacobiano de T seja não nulo no interior de S*. Se f é con-
tínua sobre W, então:
W S*
f x y z dV f x u v w y u v w z u v w J u v w d� � � � � �� � � � � � � � �� � � �, , , , , , , , , , , , uudvdw (25)
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 22
Transformação aplicada a uma região de integração volumétrica
Fonte: Bianchini, 2021a.
112 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Dentre os possíveis exemplos que podemos trazer para essa seção, escolhemos 
apresentar um problema que envolve a necessidade de uma mudança de coorde-
nadas cartesianas para as cilíndricas.
Nessa transformação, definimos a coordenada de um ponto P(x, y, z) como:
x
y
z z
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
cos �
sen
Em que ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π e –∞ < z < +∞.
Nesse caso, temos o jacobiano denotado por:
J
x y z
z
x
Á
x � x
z
y y y
z
z z z
 
 
�
� � �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
, ,� �
�
� �
� � ��
�
�
z
sen
sen
cos
cos
� � �
� � �
0
0
0 0 1
Logo, a nossa região de integração padrão, que anteriormente era uma caixa 
retangular, passa a ser um cilindro reto de altura z (Figura 23) e raio da base ρ. As 
coordenadas dessa demonstração podem ser analisadas na Figura 24.
Figura 23
Transformação de coordenadas
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Figura 24
Coordenadas cilíndricas
Fonte: Bianchini, 2021b. 
Lu
ke
33
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s 
As caixinhas que subdividem R – ou seja, as regiões infinitesimais ΔxΔyΔz – 
passam agora a ser elementos cilíndricos de volume ou cunhas cilíndricas.
Acompanhe um exemplo de mudança de variáveis para integrais triplas.
Σxemρlo 11
Considere a função �f x y z x y, ,� � � �2 2 e W a região determinada por 
1 – x2 – y2 ≤ z ≤ 4. A projeção no plano xy é o círculo de equação x2 + y2 ≤ 1. Use as 
coordenadas cilíndricas para encontrar:
W
f x y z dxdydz� � � � �, ,
Para visualizar as estrutu-
ras geométricas – como as 
cunhas cilíndricas – e mais 
algumas transformações 
em coordenadas cilíndricas 
e esféricas, sugerimos, 
agora, a leitura do material 
do professor Waldecir 
Bianchini. 
Disponível em: http://www.im.ufrj.br/
waldecir/calculo3/calculo3.pdf. Acesso 
em: 275 abr. 2021.
Leitura
Integrais múltiplas 113
Solução
Temos S* = {(ρ, ϕ, z) | 1 – ρ2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}.
Portanto,
W
f x y z dxdydz dz d� � � � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
, ,
0
2
0
1
1 2
4
2
�
�
� � dd�
Resolvendo a integral tripla, encontramos:
0
2
0
1
1 2
4
2 12
5
�
�
� � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�dz d d
4.5.1 Aplicações
Para explicarmos o conceito de centro de massa – continuação da aplicação 
apresentada na Seção 4.3.1 –, trazemos o conceito tridimensional para nos auxiliar 
nessa abordagem.
ve
ct
or
/S
hu
tte
rs
to
ck
CENTRO DE MASSA
Compreendemos que o equilíbrio de uma estrutura – seja um objeto, corpo 
etc. – ocorre no centro de massa desse objeto. Assim, vamos calcular o centro de 
massa de um sólido de densidade constante, que é limitado pelo cilindro parabó-
lico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1, sendo representado na figura a seguir.
Figura 25
Centro de massa
Fonte: Adaptada de Alencar, 2021.
114 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 12
Determine o centro de massa de um sólido de densidade constante, que é limi-
tado pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1 (VALLE, 2021b).
Solução
A massa do sólido é:
m �dV �dzdydx
E y
x
� � �� � � � � �
�
� �
�
1
1
2
1
0
4
5
Os momentos são:
Mxz = 0, extraído pela simetria do problema, e:
M x dV x �dzdydxyz
E
x
� � �� � � � � �
�
� �
��
1
1
2
1
0
4
7
y
M z �dV z dzdydxxy
E
x
� � �� � � � � �
�
� �
�
1
1
2
1
0
2
7
y
�
Portanto, o centro de massa é:
x y z
M
m
M
m
M
m
yz xz xy, , , , ; ;� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
5
7
0 5
14
Note que quase não há diferença entre as aplicações para funções de duas va-
riáveis e para funções de três variáveis. Contudo, a questão mais interessante da 
abordagem tridimensional é ela retratar muito do que ocorre no nosso mundo 
físico, que também é tridimensional.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, trabalhamos com as integrais de funções de múltiplas variáveis na 
sua forma algébrica e geométrica. Além disso, vimos as integrais duplas e triplas sobre 
regiões retangulares e gerais, bem como definimos e exemplificamos casos em que há 
a necessidade de se trabalhar com a mudança de variáveis.
Sabemos que os conceitos são bastante abstratos, mesmo com o tratamento geo-
métrico das situações. Por esse motivo, sugerimos muitos materiais de apoio, tanto de 
vídeos, textos e exemplos como também de exercícios. 
Assim, consideramos que todos os materiais indicados complementam o texto do 
capítulo e transformam o conteúdo de integrais múltiplas em algo mais prazeroso e 
completo. Desse modo, reforçamos a necessidade da resolução de exercícios e exem-
plos e da prática sobre o conteúdo.
Integrais múltiplas 115
ATIVIDADES
1. Em alguns momentos, quando realizamos a soma de Riemann, usamos a notação 
Δx → 0 e, em outros, utilizamos m → ∞. Explique essa diferença de notação.
2. Cite alguns casos em que é vantajoso realizar uma mudança de variável para 
resolver integrais simples ou múltiplas.
3. Para que tenhamos um valor numérico como resposta a uma integral tripla, 
com região de integração do tipo IV, cite duas combinações possíveis entre as 
regiões apresentadas.
REFERÊNCIAS
ALENCAR, F. J. C. Centro de massa. InfoEscola, 2021. Disponível em: https://www.infoescola.com/mecanica/
centro-de-massa/. Acesso em: 27 abr. 2021.
BECK, K. Iterated Double Integrals. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/
KtskFc4a. Acesso em: 27 abr. 2021.
BIANCHINI, W. Integral tripla: mudança de variáveis. GeoGebra, 2021a. Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/d86w5abd. Acesso em: 27 abr. 2021.
BIANCHINI, W. Mudança de variáveis: coordenadas cilíndricas. GeoGebra, 2021b. Disponível em: https://
www.geogebra.org/m/yxcgaars. Acesso em: 31 maio 2021.
BIANCHINI, W. O teorema de Fubini. GeoGebra, 2021c. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/waldecir/
calculo3/interativo/teorema_fubini.html. Acesso em: 11 maio 2021.
DIAS, J. Volume para integral tripla. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/
KV9TyvSa. Acesso em: 27 abr. 2021.
MANTHEY, J. Definition of the double integral. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/kXwzQEKV. Acesso em: 5 abr. 2021.
SILVA, A. L. R. Calculadora integrais duplas c/ visualização 3D da f (x, y). GeoGebra. 2021. Disponível em: 
https://www.geogebra.org/m/DQ3ehsZa. Acesso em: 27 abr. 2021.
STEWART, J. Cálculo. ed. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
VALLE, M. E. Aula 12: aplicações de integrais duplas. Unicamp, 2021a. Disponível em: https://www.ime.
unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula12.pdf. Acesso em: 5 abr. 2021.
VALLE, M. E. Aula 13: aplicações de integrais duplas. Unicamp, 2021b. Disponível em: https://www.ime.
unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula13.pdf. Acesso em: 5 abr. 2021.
Vídeo
116 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
5
Cálculo vetorial
O cálculo vetorial está presente na física e, consequentemente, nas en-
genharias como ferramenta primordial do estudo de campos magnéticos, 
escoamento de fluidos, entre outros conteúdos. 
Pensando apenas na grande área da mecânica e da dinâmica dos flui-
dos, encontramos aplicações como: construção de foguetes, aviões e au-
tomóveis, estabilidade de navios, aprimoramento de técnicas e materiais 
para os esportes (futebol, tênis, golfe, beisebol etc.), ondas de choque, 
terremotos, escoamentos no corpo humano (sangue e urina), propagação 
do som, combustão e explosões, turbulência, controle de tráfego aéreo e 
urbano, meteorologia, correntes oceânicas etc. 
Todos esses exemplos são apenas uma pequena parte das possibili-
dades de estudo, e nada disso se faz sem os cálculos que veremos neste 
capítulo, os quais envolvem os teoremas de Green, Gauss e Stokes, além 
dos conceitos de campos vetoriais, rotacionais e divergentes.
Estudaremos esses tópicos e nos concentraremos nas possibilidades 
de aplicações que os envolvem. 
5.1 Campos vetoriais 
Vídeo
Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto no:
 • plano (em cada ponto desse plano):
  
F x y F x y i F x y �jx y, , ,� � � � � � � �
a cada ponto (x, y) em uma região do plano bidimensional xy.
 • espaço (em cada ponto desse espaço):
  

F x y z F x y z i F x y z �j F x y z �kx y z, , , , , , , ,� � � � � � � � � � �
a cada ponto (x, y, z) em uma região do espaço tridimensional xyz.
Assim, seja 

F um campo vetorial definido por meio de seus componentes nos 
eixos x, y, z, ou seja, suas coordenadas cartesianas, temos:
  

F x y z F x y z i F x y z �j F x y z �kx y z, ,, , , , , ,� � � � � � � � � � � (1)
Cálculo vetorial 117
Σxemρlo 1
Seja um campo vetorial 
  
F y � i x �j� �� � � � � . Isso significa que as funções Fx = –y e 
Fy = x são seus componentes e 

i e 

j são seus vetores unitários.
Esse campo vetorial no plano tem a forma ilustrada na Figura 1 a seguir.
Figura 1
Campo vetorial no plano
Fonte: Elaborada pela autora. 
No espaço, o mesmo campo vetorial, agora escrito em: 
  

 

F F x y z � i F x y z �j F x y z �k y i xj �kx y z� � � � � � � � � � �� � � �, , , , , , 0
é representado como mostra a Figura 2.
Figura 2
Campo vetorial no espaço
Fonte: Elaborada pela autora. 
Para complementar 
nossa visualização dos 
campos vetoriais em três 
dimensões, sugerimos o 
vídeo Three dimensional 
vector field, do canal 
3Blue1BrowClips, que traz 
uma amostra semelhante 
ao exemplo do campo 
vetorial no espaço. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=xi0P5JZgUHo. Acesso 
em: 11 maio 2021.
A segunda sugestão é 
para você criar um campo 
vetorial na calculadora 
on-line por meio de uma 
função conhecida. 
Disponível em: https://www.
geogebra.org/3d/parj362s. Acesso 
em: 11 maio 2021.
Saiba mais
118 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
No estudo de fluidos, o conceito de campos vetoriais é imprescindível, pois é 
por meio de sua análise que verificamos os diferentes tipos de escoamento, sendo 
também necessário no estudo de campos magnéticos. 
A Figura 3 apresenta uma aeronave agrícola pousando sobre uma pista pre-
viamente preparada com um corante gasoso expelido no chão.
Figura 3
Avião agrícola pousando.
NA
SA
 L
an
gl
ey
 R
es
ea
rc
h 
Ce
nt
er
 (N
AS
A-
La
RC
)/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
O interesse dos pesquisadores é estudar o vórtice (redemoinho) na ponta da 
asa, que influencia o campo de fluxo de ar atrás do avião.
Esse efeito é chamado de wake vortex ou esteira de turbulência e está diretamen-
te relacionado ao vórtice formado pela ponta da asa do avião. Por causa disso, 
a Federal Aviation Administration (FAA, do português Administração Federal de 
Aviação) exige que as aeronaves mantenham distâncias quando pousam. 
Um programa conjunto da National Aeronautics and Space Administration 
(Nasa – do português Administração Nacional da Aeronáutica e Espaço) com 
a FAA tem se dedicado ao estudo da esteira de turbulência com a intenção de 
aumentar a capacidade aeroportuária. Para isso, são determinadas condições 
para que os aviões possam voar mais próximos (ANAC, 2018).
Os pesquisadores da Nasa estão estudando a esteira de turbulência com uma 
variedade de ferramentas, as quais vão de supercomputadores a túneis de vento e 
testes de voo reais em aeronaves de pesquisa. O objetivo é compreender totalmen-
te o fenômeno e, assim, usar esse conhecimento para criar um sistema automati-
zado que possa prever as mudanças nas condições das esteiras de turbulência nos 
aeroportos. Os pilotos já sabem, por exemplo, que precisam se preocupar menos 
com a esteira em tempo desfavorável ao voo, porque as condições de vento fazem 
com que este se dissipe mais rapidamente.
Cálculo vetorial 119
Todo esse estudo citado só é possível com a análise dos campos vetoriais gera-
dos pelo fluxo de gases e, consequentemente, do campo vetorial dos vórtices. 
Os campos elétricos também são estudados com base nos campos vetoriais. 
As linhas de força (vetores) de determinada carga formam um campo elétrico ao 
redor dessa estrutura e têm seu sentido definido de acordo com a positividade 
ou negatividade da carga. Os vetores moldam todo o campo magnético ao seu 
redor e influenciam outras cargas próximas, bem como sofrem influência delas. 
Desse modo, se a carga é positiva, suas linhas de força serão conforme ilustra 
a Figura 4.
Figura 4
Campo elétrico de uma carga positiva isolada
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora se a carga é negativa, suas linhas de força serão conforme a Figura 5.
Figura 5
Campo elétrico de uma carga negativa isolada
Fonte: Elaborada pela autora.
Mas o que são vetores? Trata-se das direções e dos sentidos (Figura 6) de ação 
da corrente de força, que, em geral, está definida por uma função.
No site Matemática para 
gregos & troianos é possível 
acompanhar de maneira 
dinâmica a influência de uma 
carga positiva sobre uma car-
ga negativa e o que ocorre 
com o campo magnético 
nessa região.
Disponível em: http://www.grego-
setroianos.mat.br/dipolo/index.html. 
Acesso em: 11 maio 2021.
Site
120 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 6
Campo magnético influenciado por duas cargas.
 
Fonte: Adaptado de Araújo, 2003.
Outro exemplo de fluxo analisado por meio de campos vetoriais, mais especi-
ficamente de campos de velocidades, está presente nos simuladores que fazem 
as previsões meteorológicas e nos mostram a direção e a velocidade dos ventos. 
Alguns modelos, como o encontrado no mapa Windy, trazem não só o campo de 
velocidades (Figura 7), mas também as curvas de nível de pressão e temperatura.
Figura 7
Campo de velocidades dos ventos sobre o Brasil
Fonte: Windy, 2021.
Dessa forma, com a compreensão do conceito de campo vetorial, podemos co-
meçar a trabalhar com integrais dessas funções e analisar os resultados teóricos e 
práticos de todos esses conceitos.
Para entender de maneira 
clara o conceito de campo 
de velocidades aplicado à 
meteorologia, sugerimos 
que acesse o site Windy, 
no qual poderá visualizar 
o modelo em tempo real 
e as previsões para os 
próximos dias. 
Disponível em: https://www.windy.
com/?-15.100,-44.414,4,i:pressure. 
Acesso em: 11 maio 2021.
Site
Para saber mais a respeito 
dos campos vetoriais e 
reforçar os conceitos já 
aprendidos, sugerimos o 
conteúdo da plataforma 
Khan Academy, no qual é 
possível rever esses concei-
tos, fazer exercícios e acom-
panhar o desenvolvimento 
geométrico da teoria:
• Campos vetoriais. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/
math/multivariable-calculus/
thinking-about-multivariable-
-function/ways-to-represen-
t-multivariable-functions/a/
vector-fields.
Também indicamos o 
vídeo desenvolvido por 
Salman Khan, fundador da 
Khan Academy:
• Vector fields, introduction | 
Multivariable calculus | Khan 
Academy. Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=-
5FWAVmwMXWg. 
Acessos em: 11 maio 2021.
Saiba mais
Cálculo vetorial 121
5.2 Integrais de linha 
Vídeo
Agora que conhecemos os campos vetoriais, sabemos que eles associam um 
vetor a cada ponto no espaço. No estudo das integrais de linha, vamos calcular 
integrais em campos escalares e campos vetoriais. 
As integrais de linha assemelham-se, em relação aos cálculos realizados, às in-
tegrais de funções de uma variável. A diferença está no fato de que a integral será 
calculada sobre uma curva C, e não sobre um intervalo [a, b]. 
Para entendermos esse processo, vamos escrever uma curva C no plano xy 
(Figura 8) usando equações paramétricas na forma:
x = g(t), y = h(t), com a ≤ t ≤ b
Figura 8
Curva C no plano xy
h(b)
h(a)
g(a) g(b)
(g(b), h(b))
(g(a), h(a))
C
x
y
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora vamos supor que exista uma função f(x, y) = z. Diferentemente das inte-
grais de funções de uma variável, em que encontramos uma área abaixo da curva, 
nesse caso, queremos encontrar uma área bastante irregular, que tem como base 
a curva C e como altura z = f(x, y). Ou seja, uma área similar à da Figura 9.
Figura 9
Área da “parede” curva
z
x
y
C
(g(a), h(a))
(g(b), h(b))
f(x, y)
Fonte: Elaborada pela autora.
122 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Feito isso, vamos assumir um pequeno trecho da curva C, o qual chamaremos 
de dS. Após, se multiplicarmos dS por f(x, y), obteremos a área (Figura 10) de um 
pequeno retângulo de base infinitesimal.
Figura 10
dS · f(x, y)
z
x
y
C
(g(a), h(a))
(g(b), h(b))
f(x, y)
dS
Fonte: Elaborada pela autora.
Assumindo que C possa ser dividida em infinitos pedaços infinitesimais dS, 
teremos que a soma das áreas dos retângulos dS · f(x, y) gerará a área da“pa-
rede” curva. 
Portanto, essa área pode ser escrita da seguinte forma:
t a
t b
dS f x y
�
�
� � � �, (2)
onde dS é uma pequena mudança no comprimento do arco C.
Queremos deixar a expressão (2) parametrizada em função de t. Para isso, a 
Figura 11 traz a análise da curva C e do pequeno trecho infinitesimal dS.
Figura 11
Variação dS na curva C
xdx
dx
y
dy
dy
C
dS
dS
Fonte: Elaborada pela autora.
Cálculo vetorial 123
Temos que dS é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos infinitesi-
mais dx e dy e, portanto, dS² = dx² + dy². Logo:
dS dx dy� �2 2
Além disso, temos que x = g(t), y = h(t), com a ≤ t ≤ b.
Assim, escrevemos:
t a
t b
f x t y t dx dy
�
�
� � � � �� � �, 2 2 (3)
Mas:
dS
dt
dx
dt
dy
dt
dS dx
dt
dy
dt
dt� � � � �
2
2
2
2
2
2
2
2
C t a
t b
f x y dS f g t h t dx
dt
dy
dt
dt� �� � � � � � �� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
2 2
(4)
A equação (4) é uma integral de linha, a qual possibilita o cálculo da área sobre 
uma “linha”, que no caso é a curva C.
Considerando 

 
r t x t � i y t � j� � � � � � � � , a equação pode ser reescrita em formato 
de função vetorial:
C a
b
f x y dS f r t r t dt f r b f r a� �� � � � �� � � � � � �� � � � �� �, ´
   
(5)
A equação (5) é chamada de integral de linha para um campo escalar.
As integrais de linha também podem ser calculadas por funções tridimensio-
nais. Nesse caso, teremos:
x = x(t), y = y(t) e z = z(t), com a ≤ t ≤ b
Assim:
C t a
t b
f x y z dS f x t y t z t dx
dt
dy
dt� �� � � � � � � � �� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
, , , ,
2
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2dz
dt
dt (6)
Notamos que a integral de linha 
C
dS∫ 1 nos fornece exatamente o comprimento 
da curva C.
Com isso definido para um campo escalar, veremos na sequência como inter-
pretar as integrais de linha para campos vetoriais.
5.2.1 Integrais de linha de campos vetoriais
O conceito físico de trabalho, conforme estudado na física, nas engenharias e 
demais áreas que têm a física como base, é peça importante para uma melhor 
compreensão das integrais de linha de campos vetoriais.
No conteúdo produzido 
pelo Instituto Goiano de 
Matemática (IGM digital) 
para o GeoGebra on-line 
consta um exemplo resolvi-
do para a integral de linha 
da função f(x, y, z) = x + 2y 
+ z. Esta também pode ser 
alterada, com isso visuali-
zamos outros resultados 
desse tema. 
Disponível em: https://www.geoge-
bra.org/m/kru7gh44. Acesso em: 11 
maio 2021.
A segunda sugestão é o ma-
terial do professor Waldecir 
Bianchini, que nos permite 
visualizar geometricamente 
o cálculo realizado para uma 
função f(x, y) para diferentes 
valores, tanto da função 
quanto de x(t) e y(t), ou seja, 
é possível visualizarmos 
uma integral de linha para 
um campo escalar.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/ysuufstf. Acesso em: 11 maio 2021.
Saiba mais
O trabalho é a quantidade 
de energia medida por uma 
força que se desloca por um 
caminho. É igual à multiplica-
ção da intensidade da força 
pelo seu deslocamento nesse 
caminho, na direção da força.
Lembrete
124 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Conseguimos perceber essa necessidade por meio do que é abordado por 
Baldiotti (2012, p. 6): “Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos 
é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, 
queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num 
campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio”.
Claro que precisamos interpretar os conceitos físicos matematicamente. Vamos 
supor um campo vetorial bidimensional 

F x y,� � e uma curva lisa r: [a, b] → ℝ² que 
percorre um caminho C: 
  
F x y P x y � i Q x y j, , ,� � � � � � � �
Definição 1
Seja r: [a, b] → ℝ² contínua. Essa curva é dita fechada se r(a) = r(b). Essa mesma curva é denominada 
de curva fechada simples se, além de garantir o fecho (r(a) = r(b)), tivermos r(t
1
) ≠ r(t
2
) se t
1
 ≠ t
2
, com 
t
1
, t
2
 ∈ [a, b].
Uma curva é dita suave ou lisa se os componentes x t �x t � �x tn1 2� � � � � � �, , , são funções de classe C¹, ou 
seja, com derivadas contínuas em um intervalo fechado I.
Agora queremos calcular o trabalho exercido por essa força ao mover uma par-
tícula ao longo de uma curva lisa.
Segundo Stewart (2017, p. 988), definimos o trabalho W feito por um campo 
vetorial 

F como:
W F x y T x y dS F TdS
C C
� � � � � � � �� �
   
, , (7)
Essa equação mostra que “o trabalho é a integral com relação ao comprimento 
do arco da componente tangencial da força”.
Como a curva C é escrita na forma 

 
r t x t � i y t j� � � � � � � � , então, 


T t
r t
r t
� � � � �� �
´
´
. 
Com isso, escrevemos:
W F x y T x y �dS F T�dS F r t
r t
r tC C a
b
� � � � � � � � � � �� � � � �� � �
� � � �� � �
�
�, ,
´
�́� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �� � � � � � �� ��r t �dt F r t �r t dt F dr
a
b
C
� � � � � �
´ ´ (8)
onde 

F é um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela 
função vetorial 

r t �a t b� � � �, .
Para entender melhor esse conceito, vamos supor que o campo vetorial 

F 
realiza um trabalho sobre uma curva C no interior desse campo, conforme a 
Figura 12.
Cálculo vetorial 125
Figura 12
Passo a passo da integral de linha de campos vetoriais
Lu
ca
s 
Vi
ei
ra
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Admitimos por hipótese que uma partícula caminha por essa curva (Figura 13) 
e que a cada passo é necessário realizar um produto escalar entre:
 • o vetor 

F (campo vetorial) no ponto em que a partícula está;
 • o vetor de deslocamento associado ao próximo passo que a partícula dará ao 
longo dessa curva.
Figura 13
Continuação de construção da integral de linha
Lu
ca
s 
Vi
ei
ra
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Quando a partícula terminar de percorrer o intervalo entre a e b, isto é, a curva 
C, teremos uma estimativa calculada pela soma de todos esses produtos escalares 
(Figura 14), uma estimativa para a integral de linha de 

F ao longo de C.
126 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 14
Integral de linha de um campo vetorial
Lu
ca
s 
Vi
ei
ra
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
 • Se temos um campo vetorial em ℝ², então:



F r t F x t y t� �� � � � � � �� �,
 • Se temos um campo vetorial em ℝ³, então:



F r t F x t y t z t� �� � � � � � � � �� �, ,
Fi
sh
Co
ol
is
h/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Teorema 1
Suponhamos que 

F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta 
conexa D. Se � �c


F �dr for independente do caminho em D, 

F é um campo vetorial 
conservativo, ou seja, existe uma função f tal que �� �f F

 (STEWART, 2017).
Σxemρlo 2
Consideremos um campo de força bidimensional que denota:
� � �
∓F x y y� i x�j,� � � �
pelo qual uma partícula se move no sentido anti-horário ao longo de um círculo 
de equação 

 
r t t � i sen t�� j � t � � � � � � �(cos ) ,2 0 2� . Assim, determinamos o traba-
lho feito pelo campo de força sobre essa partícula:
Solução
Para determinar o valor do trabalho, utilizamos a integral de linha:
C a
b
F dr F r t �r t �dt� �� � � �� � � � �



 
´
Logo:
C
F dr sen t� i t j sen t� i t� j � � �� � � � �� �� � � � �� �


   
0
2
2
�
cos cos ddt
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � �� �
0
2
0
2
2
2
� �sen t
t
sen t
t
sen t
 
 
 
 
 
cos cos
cos22 2 t t�� �cos 1 dt
Utilizamos a identidade 
trigonométrica sen² t + 
cos² t = 1.
1
(Continua)
Cálculo vetorial 127
� � � �� ��
0
2
0
2
1 2 2
�
�
cos t�dt t sen t
� sen sen� �� � � �� � �2 2 2 0 2 0 2� � �
Portanto:
C
F dr sen t�i t j sen t�i t�j �dt � �� � � � �� �� � � � �� � �


0
2
2 2
�
cos cos ��
Dessa forma, concluímos que 2π é a quantidade de trabalho exercida pelo campo 
vetorial (campo de força) dado por 
  
F x y y� i x�j,� � � � � sobre uma partícula que se move 
no sentido anti-horário em torno do círculo de equação 

 
rt t � i sen t�� j � � � � �(cos )2 .
Se no Exemplo 2 a orientação da movimentação da partícula em 
torno do círculo estivesse invertida, ou seja, se ela se movimentasse 
no sentido horário, a integral precisaria estar multiplicada por (-1). Fis
hC
oo
lis
h/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Com esses resultados, podemos enunciar o teorema fundamental das integrais 
de linha, como feito a seguir.
Teorema 2
Seja f uma função de múltiplas variáveis com ∇f seu gradiente. Suponhamos 
também uma função vetorial 

r t� � que parametriza uma curva C. Sejam r a� � e 

r b� � 
os pontos inicial e final dessa curva (do caminho), podemos escrever:
C
f d�r f r b f r a�� � � � �� � � � �� �
  
(9)
A equação é chamada de teorema fundamental das integrais de linha, também 
conhecida como teorema do gradiente.
Observamos que:
a
b
a
b
n
nf r t r t dt f
x
dx
dt
f
x
dx
dt
dt� �� � �� � � � � �
�
�
���
�
�
�
�
��
�
�
��
 
´
1
1 (10)
Assim:
a
b
n
n
a
bf
x
dx
dt
f
x
dx
dt
dt d
dt
f r t dt f r b� �
�
�
���
�
�
�
�
��
�
�
�� � � �� � �
1
1   �� �� � � � �� �f r a (11)
Khan (2021, grifos do original) resume esse teorema afirmando que “essa fór-
mula implica que os campos gradientes são independentes do caminho, o que signi-
fica que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam 
os mesmos pontos inicial e final serão iguais”.
128 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 3
Consideremos o campo gravitacional dado por:
� �
�
�
� �
F x mMG
x
�x� � � � 3
que é um campo vetorial conservativo. 
Determinemos o trabalho realizado por 

F ao movermos uma partícula de 
massa conhecida como m do ponto (0, 1, 3) ao ponto (-1, 1, 2), ao longo de uma 
curva lisa C (VALLE, 2021a).
Solução
Como 

F é um campo conservativo, podemos usar o teorema fundamental para as 
integrais de linha. Vemos que ao calcularmos o campo gravitacional para a função:
f x y z MG
x y z
, ,� � �
� �2 2 2
encontramos:
� � �
� �� �
�
� �� �
�
� �� �
f mMG
x y z
x� i mMG
x y z
y�j mMG
x y z2 2 2
3
2 2 2 2
3
2 2 2 2
3
 
22
z�k

Como consequência, escrevemos 

F f� � , logo:
f x y z mMG
x
mMG
x y z
, ,� � � �
� �� �
�
2 2 2
Com isso:
W F dr f dr f f mMG mMG
C C
� � � � � � � � � �� � � �� �

 
0 1 3 11 2
10 6
, , , ,
Feito isso, podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial conserva-
tivo, ou seja, do campo vetorial gradiente da função potencial f, sabendo apenas o 
valor de f nas extremidades de C. 
5.3 Teorema de Green no plano 
Vídeo
No cálculo de funções de múltiplas variáveis existem alguns teoremas que se 
destacam. Um deles é o chamado teorema de Green. 
Ele nos permite relacionar uma integral de linha em torno de uma curva fechada 
simples C e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C.
Cálculo vetorial 129
Consideremos C uma curva fechada e simples. Temos que ela é dita orientada 
positivamente (Figura 15) se 

r t� � percorre C no sentido anti-horário. Ao contrário, 
teremos uma curva C dita orientada negativamente (Figura 16) se 

r t� � percorre C 
no sentido horário.
Figura 15
Orientação positiva de C
Figura 16
Orientação negativa de C
Fonte: Elaborada pela autora. Fonte: Elaborada pela autora. 
C
D
x
y
C
D
x
y
Com esse conceito podemos apresentar o teorema de Green. Para isso, consi-
deramos 

F o campo vetorial bidimensional escrito por meio de seus componen-
tes 
  
F x y P x y � i Q x y �j, , ,� � � � � � � � e C, fronteira da região denotada por D. Assim, 
temos o seguinte teorema.
Teorema 3
Consideremos C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos e 
orientada positivamente e D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas par-
ciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então:
C C
F dr P�dx Q�dy Q
x
P
y
dA� � ��� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�


D
A notação:
Pdx Qdy��c
é usada quando a curva fechada C tem orientação positiva. 
O teorema de Green auxilia o cálculo de algumas integrais de linha.
Σxemρlo 4
Seja a integral de linha dada por:
∮Cx dx xy dy.
3 2+
(Continua)
130 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Calculemos essa integral sabendo que C é um triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) 
e (0, 1), com orientação definida respectivamente pela ordem dada pelos pontos.
Solução
Se precisarmos montar a orientação da curva C pela ordem dos pontos, tere-
mos uma curva construída no sentido anti-horário (Figura 17), ou seja, uma curva 
com orientação positiva.
Esse resultado já era esperado, até mesmo porque a expressão a ser resolvida 
é dada por: 
∮Cx dx xy dy.
3 2+
Nesse exercício, é mais fácil resolvermos a integral de linha usando o teorema 
de Green em vez de parametrizarmos a curva. Portanto, escrevemos:
C
P�dx Q�dy Q
x
P
y
dA� ��� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
D
Que nos permite chegar a:
∮C
y
x dx xy dy y dA y dxdy. 3 2 2
0
1
0
1
2� � � � ���
�
D
Aqui os intervalos de integração foram definidos por um domínio do tipo I, isto 
é, quando conhecemos o intervalo de integração em x e D é uma região formada 
por funções contínuas de x.
Figura 17
Curva triangular C
(1, 0)
(0, 1)
(0, 0)
Fonte: Elaborada pela autora.
Logo:
0
1
0
1
2
0
1
2 1 1
12� � �
�
� �� � �
y
y dxdy y y dy
Assim:
∮
C
x dx xy dy. 3 2 112� �
Para conhecer mais desse 
teorema, indicamos o ar-
tigo Teorema de Green, da 
plataforma Khan Academy. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/greens-theo-
rem-and-stokes-theorem/greens-
-theorem-articles/a/greens-theorem. 
Acesso em: 11 maio 2021.
Leitura
Cálculo vetorial 131
O teorema de Green aparece como ferramenta importante que auxilia o pro-
cesso de resolução das integrais sobre curvas. A análise de seu uso ou não inclui 
verificar o comportamento da curva em questão.
Veremos na sequência dois conceitos que se complementam e nos ajudam a 
desenvolver o teorema de Green em sua forma vetorial.
5.3.1 Rotacional, divergente e laplaciano
Os conceitos de divergente e rotacional costumam ser bem compreendidos 
quando os explicamos tomando como base o fluxo de fluidos.
Observemos as figuras 18 e 19 e pensemos nesses campos vetoriais represen-
tando determinado fluido, em que cada vetor (flecha) indica a velocidade do fluido 
naquele ponto.
Figura 18
  
F y y i x y j� � � �� �� � � � � � � �� �cos cos cos cos
Figura 19
  
F x i y y e jsen x� � � � � � � �(cos )
Fonte: Elaborada pela autora. Fonte: Elaborada pela autora. 
Percebemos que em algumas regiões o fluido parece se acumular e em outras, 
aparentemente, estar sendo repelido. 
O divergente de uma função mostra o quanto esse fluido tende a fluir para den-
tro ou para fora nessas pequenas regiões. 
Podemos observar a versão dinâmica do campo vetorial da Figura 17 represen-
tada na Figura 20 a seguir.
132 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 20
Versão dinâmica de 
  
F y y i x y j� � � �� � � �� �cos cos cos cos �Essas regiões dependem 
diretamente da função 
que origina o campo veto-
rial. Para ver mais exem-
plos com esse tipo de 
visualização, sugerimos a 
simulação computacional 
da ferramenta Randomize, 
que faz com que as 
funções sejam geradas de 
maneira aleatória. Assim, 
você pode apreciar um 
belo espetáculo com a mo-
vimentação e a estrutura 
do campo vetorial gerado 
de um fluido. 
Disponível em: https://anvaka.
github.io/fieldplay/. Acesso em: 11 
maio 2021.
Site
Fonte: Vector, 2021.
A divergência do campo vetorial em pontos nos quais os vetores parecem estar 
sendo repelidos (fontes) será um valor positivo. Ela também será positiva se o flui-
do que entra por um lado for mais lento do que o que sai por outro lado.
Em contrapartida, a divergência do campo vetorial em pontos nos quais os 
vetores parecem estar se acumulando será chamada de sumidouros e terá um 
valor negativo. No ponto P da Figura 21 o divergente será negativo, pois há a 
presença da região de “acumulação”.
Figura 21Divergente negativo
Fonte: Elaborada pela autora.
No canal 3Blue1BrownClips 
é possível assistir à 
animação Simples positive 
divergence example, que é 
um exemplo de divergên-
cia positiva. 
Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=_mwMoE-
wwkvc&list=PLKXWoWb0qgQ-
86VRU20ITYcnaNDJU5EnDn&in-
dex=5. Acesso em: 11 maio 2021.
Vídeo
Cálculo vetorial 133
A mesma divergência negativa é observada quando constatamos um fluxo de 
entrada maior do que o de saída. Isso ocorre porque o campo vetorial é uma 
função que recebe vetores e resulta em vetores bidimensionais no plano e tridi-
mensionais no espaço.
A divergência de uma função resulta em uma nova função, a qual associa um 
único ponto em seu domínio. Contudo, a imagem dela dependerá do comporta-
mento do campo em uma pequena vizinhança desse ponto. 
De maneira análoga, para as derivadas em um ponto, a imagem dará origem 
a um único valor, indicando o quanto esse campo vetorial age como um atrator 
ou um repulsor.
Em um fenômeno prático, como o escoamento de água, se o fluxo é incompres-
sível, ou seja, sua densidade sempre permanece constante ao longo do tempo, o 
campo vetorial que representa a velocidade deve ter divergência igual a zero para 
todos os seus pontos.
Diante desse conceito tão importante, como calculá-lo?
O divergente de um campo vetorial 
  

F P� i Q�j R�k� � � em ℝ³ é escrito da se-
guinte forma:
div�F F P
x
Q
y
R
z
 
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
(12)
se as derivadas parciais existirem.
Σxemρlo 5
Calculemos o divergente para o campo vetorial dado por 
  

F � i x�j k� � � �y 0 .
Solução
Como div�F F P
x
Q
y
R
z
 
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
, então: 
 
div�F �
y
x
x
y z

�
� �� �
�
�
� � �
�
�
�
��
�
�
�� �
� � �
�
�
�
��
�
�
�� �
0
0
O rotacional de um campo vetorial 
  

F P� i Q�j R�k� � � em ℝ³ é um campo veto-
rial em ℝ³ definido por:
rot�F R
y
Q
z
� i P
z
R
x
�j Q
x
P
y
  
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �k

(13)
Com o mesmo raciocínio usado para desenvolvermos o divergente, podemos 
trazer para o conceito de rotacional uma interpretação vinculada ao fluxo de fluidos.
Nesse caso, devemos nos perguntar o quanto o fluido tende a “rodar” em torno 
de determinado ponto. Nas regiões em que o sentido do giro é anti-horário, o rota-
cional será negativo; já nas regiões em que ele é horário, o rotacional será positivo.
Para compreender melhor esse conceito, exemplificamos a seguir.
Sugerimos que assista 
à animação Negative 
Divergence Example, do ca-
nal 3Blue1BrownClips, que 
apresenta um exemplo de 
divergência negativa. 
Disponível em: https://www.youtu-
be.com/watch?v=rqnTQyO4GY4&lis-
t=PLKXWoWb0qgQ86VRU20ITYc-
naNDJU5EnDn&index=6. Acesso em: 
11 maio 2021.
Vídeo
134 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 6
Usando o campo vetorial aplicado ao Exemplo 5, teremos que o rotacional de 
  

F y� i xj k� � � � 0 será:
rot�F R
y
Q
z
� i P
z
R
x
�j Q
x
P
y
  
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �k

rot�F � i � j �k
  

� � � � � � � � �0 0 2
Sabendo que � � �
�
�
�
�
�
�
�
 

i
x
j
y
k
z
 e considerando ∇ como um vetor de 
componentes ∂
∂x
, ∂
∂y
 e ∂
∂z
, o produto vetorial de ∇ pelo campo vetorial 

F será:
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

 





F
i j k
x y
�
z
P Q R
R
y
� i Q
x
�k P
z
�j P
y
�k Q ��
�
�
�
�z
� i R
x
�j
 
Organizando essa expressão com relação a 
 
i � j, e 

k, temos:
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

 


F
i j k
x y
�
z
P Q R
R
y
Q
z
� i P
z
R
x ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� j
Q
x
P
y
�k rot�F



Dessa forma, não precisamos memorizar a operação do rotacional e podemos 
desenvolvê-la sempre que necessário. Notemos que o divergente é um campo es-
calar e o rotacional é um campo vetorial.
Por fim, se 

F é um campo vetorial sobre ℝ³ e P, Q e R são de classe C², então:
div� rot�F
� � � 0 (14)
O operador de Laplace, também conhecido como laplaciano, é definido para 
um campo escalar de f no ℝ³ por meio da expressão:
�f f
x
f
y
f
z
�
�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
��
�
�
��
2
2
2
2
2
2
(15)
Isso ocorre porque o laplaciano é calculado do seguinte modo: 
Δ = ∇ ⋅ ∇ = ∇² (16)
Os três operadores estudados nesta seção são peça fundamental para uma me-
lhor compreensão do teorema de Green e serão ferramentas imprescindíveis para 
o estudo dos teoremas de Gauss e Stokes, que veremos na sequência.
Sugerimos o vídeo Diver-
gência e rotacional | Fluxo 
de fluido com funções com-
plexas, parte 1, do canal 
3Blue1Brown, que auxilia 
a compreensão geomé-
trica do significado do 
rotacional e do divergente 
de uma função. 
Disponível em: https://www.you-
tube.com/watch?v=rB83DpBJQsE. 
Acesso em: 11 maio 2021.
Vídeo
Cálculo vetorial 135
5.3.2 Forma vetorial do teorema de Green
Ao trabalharmos com o teorema de Green no plano, obtemos a seguinte relação:
C C
F dr P�dx Q�dy Q
x
P
y
dA� � ��� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�


D
O objetivo, nesse momento, é podermos relacionar o conceito de operador rota-
cional a esse teorema e, com isso, transformar essa expressão em sua forma vetorial.
Para um campo vetorial 

F bidimensional, temos que o rotacional será calcu-
lado do seguinte modo:
rot F Q
x
P
y
�k


� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
O vetor rotacional tem direção perpendicular ao plano formado pelo campo. 
Com isso, escrevemos:
D D
Q
x
P
y
dA rot�F k�dA� � � �
�
�
�
�
�
� �

Dessa forma, conseguimos enunciar o teorema de Green na sua forma vetorial.
Teorema 4
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos e orientada 
positivamente e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais 
de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D (VALLE, 
2021c), então:
 
C
D
F dr rot�F k�dA�� � �� � �



Todos esses conceitos são fortemente usados na física e em muitas áreas que 
a têm como base. 
Na sequência, vamos trazer o conceito de integral de superfície e, com isso, ex-
pandir nossos conhecimentos a respeito do grande campo de estudo das integrais 
de funções de múltiplas variáveis.
5.4 Superfícies e integral de superfície 
Vídeo
Quando trabalhamos com superfícies conhecidas, podemos rapidamente 
descrever a área dessas estruturas e calculá-las com base no conceito de integral.
Entretanto, nem sempre temos superfícies “simples” ou o conhecimento pré-
vio de seu contorno. Além disso, em muitos casos essas superfícies podem estar 
sofrendo a influência de outras forças, como de campos vetoriais. 
Para resolver esse tipo de situação, devemos definir as integrais de superfície. 
136 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
As superfícies avaliadas serão abordadas por meio de funções vetoriais e seus 
respectivos parâmetros. Por exemplo, uma superfície pode ser descrita com base 
em uma função vetorial 

r com dois parâmetros u e v na forma:

 

r u v x u v � i y u v �j� z u v �k, , , ,� � � � � � � � � � �
O conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈ ℝ³ tal que (u, v) varia em D – uma re-
gião no plano uv – e é denominado superfície parametrizada S (Figura 22). Com isso, 
afirmamos que:
 • S é uma superfície no espaço tridimensional;
 •

r u v,� � é uma função vetorial que parametriza S; 
 • D é uma região no plano uv que corresponde a S.
Figura 22
Região D e superfície S
xu
v
y
z
S

r (u, v)
D

r
Fonte: Elaborada pela autora.
Calculamos a área de S por meio da integral dupla:
 
Pequeno pedaço 
da área em S
D
r
u
r
v
dudv� �
�
�
�
�
�
 
onde ∧ é o produto vetorial. 
Portanto, transformamos pequenos retângulos de D com área dudv em parale-
logramos de S de área:
 
�
�
�
�
�
� �
 
r
u
r
v
dudv d
 Com a compreensão desse conceito, veremos a seguir comocalcular a integral 
de campos vetoriais sobre essas superfícies.
5.4.1 Integral de um campo vetorial
Precisamos generalizar esse processo para uma função 

F x y z, ,� �. Como x = x(u, v), 
y = y(u, v) e z = z(u, v), temos:
 D
F r u v r
u
r
v
dudv� � � �� �
�
�
�
�
�


 
,
Cálculo vetorial 137
Denotando 
�
�
�
�
�
� �
 
r
u
r
v
dudv d , podemos escrever:
S D
F d F r u v r
u
r
v
dudv� � � �� � � � �� �
�
�
�
�
�
 

 
, (17)
onde d∑ representa uma fração ínfima de pedaço de área dessa superfície.
Quando uma superfície S é dita lisa, teremos em cada um dos seus pontos (x0, 
y0, z0) ∈ S dois vetores normais a S. 
De acordo com Adames (2021, grifos do original):
se for possível fazer uma escolha de vetor normal em cada ponto que varia 
continuamente em S, então S é dita orientável (ou orientada) e tal escolha 
é dita uma orientação para S. Grande parte das superfícies que pensamos 
no dia a dia é orientável (como esferas, planos, paraboloides, hiperboloi-
des, etc). Uma superfície não orientável é a faixa de Möbius, que pode ser 
obtida unindo duas pontas de uma tira de papel, mas torcendo a faixa uma 
vez antes de uni-las.
Teremos uma superfície fechada orientada positivamente quando esses vetores 
normais apontarem para fora.
O vetor (campo) normal unitário é assim calculado:

 
 
n
r
u
r
v
r
u
r
v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Portanto, escrevemos:
S D D
F d F r u v r
u
r
v
dudv F r u v
r
� � � � � �� � � � �� � �
�
�
�
�
�
� � �� � �
�
 

 



, , ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u
r
v
r
u
r
v
r
u
r
v
dudv

 
 
. (18)
Se 

F é um campo vetorial contínuo sobre determinada superfície S com orien-
tação positiva, calculada pelo vetor normal unitário 

n, a integral de superfície do 
campo 

F em S será:
S S
F d F n�dS� � � �� � � �
 

(19)
Temos algumas etapas importantes para que consigamos calcular a integral 
de superfície de um campo vetorial 

F x y z, ,� � contínuo e definido sobre uma su-
perfície lisa S:
Pensando nas integrais 
de superfície e comple-
mentando nossos estudos 
com vídeos e exercícios, 
indicamos os conteúdos 
riquíssimos da plataforma 
Khan Academy:
• Introdução à integral de 
superfície. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/
math/multivariable-calculus/
integrating-multivariable-functions/
surface-integrals-introduction/v/
introduction-to-the-surface-integral. 
• Integrais de área de superfície. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integrating-
multivariable-functions/
surface-integrals-articles/a/
surface-area-integrals.
Acessos em: 11 maio 2021.
Saiba mais
Na sequência, 
calculamos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
   
r
u
� r
v
�e� r
u
r
v
�,
Inicialmente, 
precisamos 
parametrizar a 
superfície.
Com isso, é possível 
calcularmos n para 
que analisemos a 
orientação dessa 
superfície por meio 
da expressão:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
r
u
r
v
r
u
r
v
Em seguida, 
calculamos:
    
F r u v r
u
r
v
,� �� � � �
�
�
�
�
É necessário 
também 
encontrarmos: 


F r u v,� �� �
Por fim, 
calculamos:
 
D
F r u v r
u
r
v
dudv� � � �� � �
�
�
�
�
�


 
,
1 2 3 4 5 6
138 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Na sequência, vamos trabalhar com integrais sobre superfícies e o chamado 
teorema de Stokes, que nos permite encontrar a integral de uma superfície sobre a 
influência de campos vetoriais.
5.4.2 Teorema de Stokes
Resumidamente, podemos definir que o teorema de Stokes é a versão tridimen-
sional do teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial 
em torno da fronteira da superfície à integral de superfície do rotacional desse 
mesmo campo vetorial. De maneira algébrica temos:
Teorema 5
Consideremos S uma superfície orientada positivamente, ou seja, para fora. 
Seja 

F um campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciais contínuas 
em uma região aberta de ℝ³, que contém S, e seja C uma curva fechada simples e 
lisa, que é a fronteira de S. Sob essas hipóteses, temos:
C
S S
F dr rot�F dS rot�F n �d�� � � � �� � � � � �


  

( ) (20)
onde 

n é uma função que fornece vetores normais à superfície e: 
d r
u
r
v
dudv� � �
�
�
�
�
 
Assim, o teorema apresenta resultados de integrais sobre superfícies delimita-
das por uma curva C, como podemos ver na Figura 23.
Figura 23
Superfície S e curva C
C
y
x
z

n
S
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos uma orientação positiva da curva tal que se considerarmos uma pessoa 
caminhando sobre ela com a cabeça na direção do vetor normal, será represen-
tada pela superfície que fica à esquerda da pessoa.
Nesse caso, o vetor dr

 representa um pequeno passo ao longo de C, que será 
positivo quando o campo vetorial estiver no mesmo sentido, e negativo quando o 
campo vetorial estiver no sentido oposto. 
Sugerimos o artigo 
Exemplo de integral de 
superfície, da plataforma 
Khan Academy, para você 
acompanhar e praticar um 
modelo dessa integral. As-
sim, terá uma compreen-
são maior do conteúdo. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/integra-
ting-multivariable-functions/
surface-integrals-articles/a/surfa-
ce-integral-example. Acesso em: 11 
maio 2021.
Leitura
Cálculo vetorial 139
Assim, o teorema de Stokes nos possibilita entender a tendência de, por exem-
plo, um gás estar circulando pela curva C. Se for positiva, podemos dizer que esse 
gás estava ajudando essa circulação, ou seja, está no mesmo sentido; se negativa, 
o gás tende a circular em outro sentido.
5.5 Teorema da divergência de Gauss 
Vídeo
O teorema da divergência, também conhecido como teorema de Gauss, relacio-
na a integral do divergente de um campo vetorial 

F sobre uma região com a inte-
gral de 

F sobre a fronteira da região.
Podemos analisar o teorema da divergência pela ótica bidimensional, ou seja, 
para regiões E ⊆ ℝ², nesse caso, 

F x y
P x y
Q x y
,
,
,
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
. Também conseguimos analisar 
pelos campos tridimensionais 

F x y z, ,� � . Será por meio destes últimos que apresen-
taremos as estruturas algébricas.
Partindo dessa definição, enunciamos o teorema de Gauss.
Teorema 6
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E orienta-
da positivamente, isto é, para fora. Seja 

F um campo vetorial cujos componentes 
tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Sob 
essas hipóteses, temos (VALLE, 2021b):
S S E E
F �n�d F dS div�F�dE � F�dE� � � � � � � � � �� � � � � � � �


   
Soma de 
pequenos 
pedaços do fluxo 
para fora de E
Integral de fluxo
onde a região E ⊆ ℝ³ pode ser: 
1
Tipo I: E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Dxy, f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)}
2
Tipo II: E = {(x, y, z) | (x, z) ∈ D e g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)}
3
Tipo III: E = {(x, y, z) | (y, z) ∈ D e h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)}
Para compreender o teorema, exemplificamos a seguir.
140 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 7
Seja a superfície E definida por um cubo de arestas nos pontos (1, -1, -1), (1, 1, 
-1), (-1, 1, -1), (-1, -1, -1), (1, 1, 1), (1, -1, 1), (-1, -1, 1) e (-1, 1, 1). Consideremos o cam-
po vetorial 
  

F x� i x z�j z�k� � �3 32 . Aplicando o teorema do divergente, calculamos o 
fluxo de 

F sobre S.
Solução
Fazendo 
  
F dS div�F�dE� � ����� ES e sendo a região S delimitada pelas expressões 
–1 ≤ x ≤ –1, –1 ≤ y ≤ 1 e –1 ≤ z ≤ 1, podemos escrever:
� � �
� � � � � �
1
1
1
1
1
1
36 6 2 48�dE
Portanto, o fluxo de 

F sobre S é igual a 48 unidades de fluxo.
O uso do teorema da divergência é importante principalmente quando há 
dificuldade em calcular integrais de superfície e algumas triplas. Por meio desse 
teorema, conseguimos passar das integrais de superfície para as integrais tri-
plas. Em alguns casos, também pode nos ajudar a transformar uma integral de 
superfície particularmente difícil em uma integral de volumemais fácil. 
Quando temos situações como a apresentada no Exemplo 7, em que o volume 
E é especialmente simples, o uso do teorema da divergência nos permite calcular o 
resultado da integral de fluxo de maneira rápida.
Para visualizar cada uma 
dessas regiões de integra-
ção, sugerimos três vídeos:
• Regiões tipo I em três dimensões. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/greens-
theorem-and-stokes-theorem/
region-types-3d/v/type-i-regions-
in-three-dimensions.
• Regiões tipo II em três 
dimensões. Disponível: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/greens-
theorem-and-stokes-theorem/
region-types-3d/v/type-ii-
regions-in-three-dimensions.
• Regiões tipo III em três 
dimensões. Disponível: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/greens-
theorem-and-stokes-theorem/
region-types-3d/v/type-iii-
regions-in-three-dimensions.
Acessos em: 11 maio 2021.
Vídeo
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS 
Com a possibilidade de conceituar as integrais de funções vetoriais e de campos 
vetoriais, de modo que possam representar estruturas físicas com maior rigor, trou-
xemos neste capítulo os conceitos algébricos das integrais de linha e de superfície 
e os teoremas importantes dos cálculos diferencial e integral para funções de múl-
tiplas variáveis. Além disso, incentivamos o entendimento dessa teoria de maneira 
geométrica e aplicada.
Sabemos que os conceitos são bastante abstratos, mesmo com o tratamento 
geométrico e físico das situações. Por esse motivo, sugerimos muitos materiais de 
apoio, como vídeos, textos, exemplos e exercícios. Consideramos que todos esses 
recursos complementam nosso estudo e transformam o conteúdo em algo mais 
prazeroso e dinâmico. 
Assim, reforçamos a necessidade da resolução de exercícios de exemplos práticos 
do conteúdo.
Cálculo vetorial 141
ATIVIDADES
1. Explique a influência da orientação, ou seja, do sentido da movimentação de uma 
partícula dentro de um campo vetorial, para o cálculo do trabalho realizado pelo 
campo sobre essa partícula.
2. O resultado div rot�F = 0
� � enquadra-se nos importantes teoremas do 
cálculo diferencial e integral. Demonstre essa expressão lembrando de 
div�F = P
x
+ Q
y
+ R
z
 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
 e rot�F = R
y
- Q
z
i + P
z
- R
x
j + Q
x
- P
y
  �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

k .
3. Descreva o teorema da divergência para regiões E ⊆ ℝ², isto é, 

F x, y =
P x, y
Q x, y
� � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, 
e verifique a semelhança com o teorema de Green.
REFERÊNCIAS
ADAMES, M. R. Cálculo 3 com SageMath: integrais de superfície de campos vetoriais. 2021. (Material 
interativo do curso de Cálculo 3). Disponível em: https://gauss.ct.utfpr.edu.br/~marcio/Calculo3/
section-12.html. Acesso em: 11 maio 2021.
ANAC. Turbulência. Agência Nacional de Aviação, 20 nov. 2018. Disponível em: https://www.anac.
gov.br/assuntos/setor-regulado/profissionais-da-aviacao-civil/meteorologia-aeronautica/condicoes-
meteorologicas-adversas-para-o-voo/turbulencia#esteira. Acesso em: 11 maio 2021.
ARAÚJO, C. C. de. Eletrize-se com o Winplot. Matemática para gregos & troianos, 12 jan. 2003. Disponível 
em: http://www.gregosetroianos.mat.br/dipolo/index.html. Acesso em: 11 maio 2021.
BALDIOTTI, M. C. Noções de cálculo vetorial. 2012. (Anotações de aula). Disponível em: http://www.uel.br/
pessoal/baldiotti/fluxo11-05-2012.pdf. Acesso em: 11 maio 2021.
KHAN, S. Teorema fundamental das integrais de linha. Khan Academy, 2021. Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-
vector-fields-articles/a/fundamental-theorem-of-line-integrals. Acesso em: 11 maio 2021.
STEWART, J. Cálculo. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
VALLE, M. E. Aula 19: Teorema fundamental das integrais de linha. Campinas: Unicamp, 2021a. Disponível 
em: https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula19.pdf. Acesso em: 11 maio 2021.
VALLE, M. E. Aula 25: Teorema do divergente. Campinas: Unicamp, 2021b. Disponível em: https://www.
ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula25.pdf. Acesso em: 11 maio 2021.
VALLE, M. E. Aula 26: Teorema do divergente. Campinas: Unicamp, 2021c. Disponível em: https://www.
ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula26.pdf. Acesso em: 11 maio 2021.
VECTOR field. GitHub, 2021. Disponível em: https://anvaka.github.io/fieldplay/. Acesso em: 11 maio 2021.
WINDY. Disponível em: https://www.windy.com/?-15.100,-44.414,4,i:pressure. Acesso em: 11 maio 2021.
Vídeo
142 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
6
Introdução a equações 
diferenciais ordinárias
Diversas áreas do conhecimento utilizam as equações diferenciais para 
responder a problemas físicos. Elas estão na base das disciplinas de Física, 
Química e Engenharia, como é de se esperar, pois todas são fortemente 
embasadas pela modelagem matemática.
Além disso, também estão presentes em questões relacionadas às 
áreas da biologia, economia e administração e em muitas outras situações.
Já parou para pensar que um investimento financeiro pode ser escrito 
com uma equação diferencial? Ou que o decaimento de carbono, que nos 
permite calcular há quantos anos determinado fóssil estava enterrado, 
utiliza essas equações?
Este será o assunto de nossos estudos: as equações diferenciais.
6.1 Conceitos básicos: equações 
lineares de primeira ordem Vídeo
Ao pensarmos nas equações diferenciais e suas aplicações, entramos imedia-
tamente em um campo da matemática que envolve modelagem e simulação de 
fenômenos que descrevem a natureza.
Por exemplo, podemos descrever um problema que relaciona velocidade e dis-
tância por meio de uma equação diferencial (ED).
Σxemρlo 1
Velocidade x distância
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta. Sua velocidade é inversa-
mente proporcional ao quadrado da distância (S) que ela viajou. A equação que 
descreve essa relação é dada por:
dS
dt
k
S
=
2
onde t é o tempo, ou a variável independente, s é a distância, ou a variável depen-
dente, e dS
dt
 é a taxa de variação da distância instantânea em relação ao tempo, ou 
a velocidade instantânea.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 143
Mas o que de fato é uma equação diferencial? Observemos ela no exemplo 
a seguir.
Σxemρlo 2
y´´ + 2y´ = 3y (1)
A equação (1) é diferencial, pois envolve derivadas de uma função y. Quando y é 
uma função de x, podemos reescrever a equação (1) na forma:
f´´(x) + 2f´(x) = 3f(x) (2)
E o que precisamos encontrar? Devemos chegar a uma função tal que a deriva-
da segunda dela, mais duas vezes a derivada da primeira seja igual a três vezes ela.
A solução de uma equação diferencial será sempre uma função ou 
uma família de funções.
Fi
sh
Co
ol
is
h/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Definição 1
De acordo com Zill e Cullen (2001, p. 2, grifos do original), “uma equação que contém as derivadas ou 
diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, 
é chamada de equação diferencial (ED)” e pode ser representada na forma:
F(x, y(x), y´(x), y´´(x), …, y(n)(x)) = 0 (3)
Vamos conferir alguns exemplos de equações diferenciais a seguir.
Σxemρlo 3
• y´ = sen x;
• 2y´´ + y´ + 4x = 0;
• ex y´´ = (x2 + 2)y2.
Entenderemos mais à frente como resolver alguns desses exemplos.
144 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
6.1.1 Classificação
O método adotado para resolver uma equação diferencial depende diretamen-
te da sua correta classificação. Isso ocorre porque os métodos foram desenvol-
vidos com as especificidades apresentadas pelas diferentes classes de equações 
diferenciais. Sendo assim, temos alguns requisitos a serem verificados:
1 Analisar se a função incógnita possui uma ou mais 
variáveis independentes.
2
Verificar o número de funções incógnitas.
3
Examinar a estrutura da equação.
4 Procurar a derivada de maior ordem para classificar a 
equação quanto a sua ordem.
Assim, podemos ter equações diferenciais ordináriasou parciais que serão de-
terminadas justamente pela quantidade de variáveis independentes da função in-
cógnita. Quando esta é uma função com variável independente, tem a classificação 
de ordinária (EDO). Se isso não se verifica, então temos uma equação diferencial 
parcial (EDP). Essa diferença é perceptível no exemplo a seguir.
Σxemρlo 4
• y´ = 2x ⇒ EDO;
• �
�
�
�
�
� �
2
2
2
2
0u
x
u
y
EDP .
Neste exemplo, a EDP apresentada é chamada de equação diferencial parcial 
de Laplace e costuma ser usada para analisar o comportamento da temperatura 
u = u(x, y) ao longo de uma região plana. Um exemplo disso pode ser encontrado em
trabalhos que verificam o comportamento da temperatura sobre uma placa metáli-
ca. A Figura 1 traz um modelo geométrico de solução para uma EDP não linear.
(Continua)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 145
Figura 1
Equação diferencial parcial não linear
Fonte: Wolfram Cloud, 2021.
Quanto ao número de funções incógnitas, podemos ter problemas que envolvam 
apenas uma função e, nesse caso, trabalhar com EDOs ou EDPs, ou que envolvam 
mais de uma função e, portanto, ter os chamados sistemas de equações diferenciais.
Todos os exemplos abordados até o momento são problemas que envolvem 
apenas uma função incógnita. Um exemplo de duas funções incógnitas é o seguinte:
Σxemρlo 5
x y t
y x t
´
´
t
t
� � � � �
� � � � �
�
�
�
��
Com relação à ordem, temos que para uma equação diferencial ela é determinada 
pela derivada de mais alta ordem. Para compreender melhor, vejamos outro exemplo.
Σxemρlo 6
Aqui temos duas funções incógnitas e suas respectivas ordens:
• y´ = 2x ⇒ ordem 1;
• y´´ + 2xy = 0 ⇒ ordem 2.
Por último, com relação à estrutura, as equações diferenciais seguem a se-
guinte classificação:
146 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Lineares
Quando a incógnita 
e suas derivadas 
aparecem de modo 
linear na equação.
Exemplo 7
Uma equação diferencial linear de 
ordem n pode ser escrita na forma:
Exemplo 8
A equação diferencial
y´´´ + 2ety´´ + yy´ = 0
é não linear, pois apresenta o 
produto de y por y’.
a0(t)y + a1(t)y´ + a2(t)y´´ + … + an(t)y
n = f(t) (4)
Não lineares
Quando suas derivadas 
não aparecem de modo 
linear na equação.
Kh
vo
st
/S
hu
tte
rs
to
ck
A correta classificação nos auxiliará na escolha do método para resolver as 
equações, o que veremos na sequência.
6.1.2 Campos de direções
Tomemos a seguinte equação diferencial:
dy
dx
x
y
� � (5)
Nós não sabemos a solução para ela, mas podemos supor alguns pontos no pla-
no cartesiano pelos quais ela passa, de modo que consigamos ter uma ideia da incli-
nação da reta tangente em cada um desses pontos. Portanto, teremos uma noção do 
comportamento dessa função, ou seja, de como ela se parece.
Definição 2
De acordo com Silva (2005, p. 9, grifos do original):
do ponto de vista geométrico, as curvas integrais (soluções) de uma edo do tipo y’ = f(x, y) 
são tais que em cada ponto (x, y) a reta tangente à curva integral passando pelo ponto tem 
coeficiente angular m = f(x, y). Isto sugere um método geométrico para entender aproxi-
madamente como deveriam ser as curvas integrais da edo. Para isto, traçamos um pequeno 
segmento de reta em cada ponto (x, y) com coeficiente angular f(x, y), o conjunto destes 
segmentos é chamado campo de direções da edo.
Podemos verificar um exemplo desses campos na Figura 2 a seguir.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 147
Figura 2
Campo de direções da equação diferencial (5)
Fonte: Elaborada pela autora.
Os campos de direções também podem ser empregados em softwares como o GeoGebra, 
Maple©, Matlab®, entre outros, ou em linguagens de programação como a C++, PythonTM, 
Scilab, GNU Octave© etc. O GeoGebra é um software que pode ser usado tanto on-line 
quanto off-line e uma de suas funcionalidades é a plotagem de campos de direções. O 
artigo Aplicações para o ensino de equações diferenciais, escrito por Sonia Barbosa Camargo 
Igliori e Marcio Vieira Almeida, traz outras ideias de aplicação do GeoGebra para o estudo 
de equações diferenciais. 
Acesso em: 17 maio 2021.
https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/1982-5153.2017v10n1p257
Artigo
Nas próximas seções, abordaremos a utilização dos campos de direções 
como forma complementar de apresentação de uma solução de equações dife-
renciais ordinárias.
6.1.3 Solução particular e família de soluções
Consideremos a EDO de ordem n dada pela equação (6):
F(x, y(x), y´(x), …, y(n)(x)) = 0 (6)
148 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
como apresentado anteriormente na equação (3). Essa equação também pode ser 
representada pela notação de Leibniz na forma:
F x y x dx
dy
d x
dy
d x
dy
n
n
, , , , ,� � �
�
�
��
�
�
�� �
2
2
0 (7)
Com base na equação (7), é possível definirmos o conceito de solução.
Definição 3
Seja o intervalo dado por I → ℝ e seja a função ϕ definida nesse intervalo com pelo menos n 
derivadas contínuas em I. Fazendo a substituição dessas n derivadas em uma EDO de ordem n, tere-
mos a redução da equação a uma identidade. Essa relação será denominada de solução da equação 
diferencial no intervalo I (ZILL, 2016).
O intervalo I será chamado de domínio da solução, podendo ser classificado como aberto (a, b), fechado 
[a, b], ilimitado (a, ∞) e limitado [a, ∞) ou (a, ∞].
Em termos de equação, escrevemos que ϕ(x) é uma solução da EDO em (7) 
quando:
• F(x, ϕ(x), ϕ´(x), …, ϕ(n)(x)) é definida para todo x ∈ I;
• F(x, ϕ(x), ϕ´(x), …, ϕ(n)(x)) = 0 para todo x ∈ I.
Entre as formas de apresentação de uma solução, temos a chamada solução 
explícita.
Definição 4
Uma solução explícita é aquela que pode ser escrita na forma y = f(x), ou seja, é a solução 
na qual a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e das 
constantes (ZILL; CULLEN, 2001).
Vejamos um exemplo.
Σxemρlo 9
Seja a EDO dada por F(x, y, y´) = y´ + y – x2 = 0. Temos que uma solução explícita 
para ela é:
� x x x c
ex
� � � � �� � �2 2 1
Desse modo, ilustramos o campo de direções, ou campo de vetores, e a família 
de soluções na Figura 3 a seguir.
No vídeo Exemplo solucio-
nado: campo de direções a 
partir de uma equação, da 
plataforma Khan Academy, 
é possível acompanhar 
um problema resolvido de 
campos de direções. 
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/ap-calculus-ab/
ab-differential-equations-new/ab-7-
3/v/identifying-slope-field-example. 
Acesso em: 17 maio 2021.
Vídeo
(Continua)
Figura 3
Campo de direções e família de soluções para F(x, y, y´) = y´ + y – x2 = 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Além da solução explícita, temos a chamada solução implícita de uma equa-
ção diferencial.
Definição 5
Uma solução implícita para uma EDO do tipo (7) no intervalo I é expressa por meio de uma relação 
G(x, y) = 0 quando existe pelo menos uma função ϕ que satisfaça à relação, bem como à equação 
diferencial em I (ZILL; CULLEN, 2001).
Na sequência temos um exemplo de funções com soluções implícitas.
Σxemρlo 10
A relação x2 + y2 – c = 0, que produz as funções h x y c x� � � � � 2 e
k x y c x� � � � � � 2 , ambas definidas no intervalo (–1, 1), é a solução implícita da EDO
F(x, y, y´) = yy´ + x = 0.
Vamos resgatar do Exemplo 2 uma equação diferencial ordinária de segunda 
ordem, a qual é dada por: 
y´´ + 2y´ = 3y (8)
Suponhamos que f(x) = e–3x é a solução para essa EDO. Para verificar se isso é 
verdade, substituímos f(x) e suas derivadas na equação (8). Logo:
f(x) = e–3x (9)
(Continua)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 149
150 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
f´(x) = –3e–3x (10)
f´´(x) = 9e–3x (11)
Substituindo (9), (10) e (11) em (8), obtemos:
9 2 3 3 3 33 3 3 3 3e e e e ex x x x x� � � � �� �� � � � �
Portanto, f(x) = e–3x é a solução da EDO F(x, y, y´) = yy´ + x = 0 do Exemplo 2.
Porém, se realizarmos o mesmo procedimento para verificar se a função f(x) = ex 
é a solução para a EDO y´´+ 2y´ = 3y, descobriremos que se trata de uma solução 
também. O que issosignifica?
Indica que quando encontramos uma solução particular para uma EDO, ela per-
tence a uma família de soluções. Logo, podemos definir da seguinte maneira:
Definição 6
A solução geral para uma EDO de ordem n, conforme apresentado na equação (6), é uma função que 
possui n constantes c
1
, c
2
, ..., c
n
 chamadas de parâmetros (ZILL; CULLEN, 2001).
Notemos que a solução geral, ou seja, a solução completa da EDO de ordem 
n, é uma família de n-parâmetros de soluções na forma explícita ou implícita que 
contém todas as soluções possíveis em um intervalo I.
Observemos na Figura 4 que as soluções se encaixam perfeitamente no cam-
po de direções.
Figura 4
Campo de direções e família de soluções para a EDO F(x, y, y´) = yy´ + x = 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Para auxiliar com uma 
visão geométrica das 
equações diferenciais, su-
gerimos o vídeo Visão geral 
sobre equações diferen-
ciais – capítulo 1, do canal 
3Blue1Brown. 
Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=p_di4Zn4w-
z4&t=87s. Acesso em: 17 maio 2021.
Vídeo
Introdução a equações diferenciais ordinárias 151
Isso não é uma coincidência. Como discutimos anteriormente, o campo de dire-
ções nos mostra o comportamento da equação diferencial e, mais detalhadamen-
te, o comportamento de suas soluções.
6.1.4 Problema de valor inicial ou de Cauchy
Um problema de valor inicial (PVI) ou de Cauchy é um problema do tipo:
du
dt
t u t
t u
� � �� �
� � �
�
�
�
��
f
u
,
0 0
(12)
com:
• u: ℝ → ℝ;
• f: ℝ × ℝ;
• t > t0;
• t0, u0 constantes reais.
E desejamos encontrar o valor para u(t).
Em geral, quando resolvemos uma equação diferencial, chegamos a uma família 
de curvas. Para limitar a solução a determinada curva, precisamos impor condições 
iniciais para o problema.
Assim, a junção de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem a uma 
condição inicial é chamada de problema de valor inicial ou problema de Cauchy.
Uma vez enunciado o problema, é natural o questionamento da existência de uma 
solução para ele. Além disso, admitir uma solução não garante que ela seja única.
A unicidade da solução é desejada principalmente em casos em que há lineari-
dade do operador diferencial, pois a existência de uma segunda solução geraria in-
finitas soluções por meio de combinações lineares. Com isso, devemos questionar 
se a solução admitida para o problema é única.
Para esse fim, existe o teorema de Picard-Lindelöf 1 , que estabelece condições 
suficientes para provarmos a existência e a unicidade de uma solução.
Esse teorema pode ser aplicado em uma vizinhança de to para o problema de 
valor inicial do tipo:
d
dy
y t y t t
t y
� �� � � � �� �
� � �
�
�
�
�
�
f
y
,
0 0
(13)
onde f(x, t) e x = y(t) é uma função contínua na variável t e Lipschitz 2 é contínua na 
variável x.
Com as informações necessárias para que possamos compreender e classifi-
car as equações diferenciais, conseguimos estruturar os métodos de resolução 
de EDOs de primeira ordem. É por meio desse tipo de equação que entramos no 
mundo das equações diferenciais.
A demonstração com-
pleta do teorema de 
Picard-Lindelöf pode 
ser encontrada no livro 
Equações diferenciais: 
volume 1, de Dennis G. Zill 
e Michael R. Cullen.
1
Uma função f é Lipschitz 
contínua se existir L ≥ 0 
tal que |f(x) – f(y)|≤ L|x 
– y| para todo x, y perten-
cente ao domínio de f.
2
152 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
6.2 Equações de primeira ordem: alguns métodos
Vídeo
Nesta seção estudaremos as equações diferenciais de primeira ordem e come-
çaremos a trabalhar alguns métodos de solução delas.
Quando pensamos em um problema que envolva taxa de variação, automatica-
mente nos deparamos com uma equação diferencial. Por exemplo, seja a taxa de 
crescimento de determinado investimento ao longo do tempo dada por: 
d
dt
M t M t � � � � �0 10, · (14)
Ou seja, a variação ao longo do tempo é de 10%.
Ao resolver a equação (14), encontramos que o montante M(t), o qual depende 
de t, é dado por M(t) = e0,10t, ou seja, um investimento que segue esse modelo tem 
um retorno exponencial.
Mas que tipo de equação estamos representando na equação (14)? Estamos, 
justamente, escrevendo esse modelo com uma EDO de primeiro grau. Portanto, 
enunciamos da seguinte forma:
Definição 7
Classificamos uma equação como diferencial de primeira ordem quando ela apresenta apenas a 
primeira derivada.
É comum encontrarmos as equações diferenciais de primeira ordem escritas em função da variável x. De 
modo geral, escrevemos uma EDO conforme a equação (15):
F(x, y, y´) = 0 ou y´ = f(x, y) (15)
A ideia principal a ser considerada ao resolvermos uma equação diferencial de 
primeira ordem é a de que precisamos determinar as curvas cujas retas tangentes 
no ponto (x0, y0) têm inclinação m
dy
dx
f x y� � � �0 0, . Para compreendermos melhor
esse conceito, vamos exemplificar.
Σxemρlo 11
A EDO 
dy
dy
y x� � forma um campo de direções em ℝ2. Cada curva y = ex(e–xx +
e–x + c), com c uma constante arbitrária, possui uma reta tangente no ponto (x, y) 
com inclinação m = y – x.
A Figura 5 a seguir mostra o campo de direções, ou seja, o campo de vetores e a 
solução para a EDO 
dy
dy
y x� � com C = 1.
(Continua)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 153
Figura 5
Campo de direções e solução para dy
dy
y x� � com C = 1
Fonte: Elaborada pela autora.
Para resolver esse tipo de equação, inicialmente vamos estudar o método da 
separação de variáveis.
6.2.1 Método da separação de variáveis
Agora precisamos entender alguns métodos que nos ajudarão a resolver as 
EDOs de primeira ordem. O primeiro procedimento que veremos é o da separa-
ção de variáveis.
Definição 8
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma:
dy
dx
M x N y � � � � �· (16)
é chamada de equação separável.
Essa nomenclatura é assim dita pois, como observamos na equação (17), a 
expressão ao lado direito pode ser organizada como um produto de duas fun-
ções, sendo M(x) dependente apenas da variável x e N(y) dependente apenas da 
variável y.
154 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Assim, para aplicarmos o método da separação de variáveis, inicialmente, iden-
tificamos se a EDO pode ser escrita como em (16) e, na sequência, escrevê-la da 
seguinte forma:
M(x) dx + N(y) dy = 0 ou M(x) dx = –N(y) dy (17)
Conhecendo a equação (17), é fácil visualizarmos que basta integrar os dois la-
dos da igualdade para obter a solução geral da EDO desejada.
M x dx� � N y dy� �C��� � � � � � ��� (18)
Vamos exemplificar esses conceitos e verificar como utilizar essas fórmulas.
Σxemρlo 12
Determinemos a solução geral da equação diferencial x2yy´ – 2xy3 = 0.
Solução
Queremos resolvê-la por meio do método das variáveis separáveis, portanto 
precisamos manipular essa equação algebricamente até que tenhamos M(x) dx e 
N(y) dy. Fazendo x y dy
dx
xy2 32 0� � , podemos escrever:
x ydy xy dx2 32 0� �
Colocando em evidência y
x
3
2
 para conseguirmos separar as variáveis, temos:
y
x y
dy
x
dx
3
2 2
1 2 0�
�
�
��
�
�
�� �
Portanto:
� � �
2 1 0
2x
dx
y
dy
Com essa equação, conseguimos identificar as funções M x
x
� � � 2 e N x
y
� � � 12 .
Utilizando a equação (18) para integrar M(x) e N(x), temos:
� � � � � � ���
1 2 1 2
2 1y
dy
x
dx C
y
ln ln�x C � 
Logo, a solução para a equação diferencial x2yy´ – 2xy3 = 0 é:
y
ln ln�x� C 
� �
�
1
2 1
Como não tínhamos abordado os métodos de resolução anteriormente, não con-
seguimos resolver o exemplo da equação (14), porém vamos resolvê-lo agora.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 155
Σxemρlo 13
A equação (14) também pode ser resolvida por meio do método de separação 
de variáveis. Assumindo C = 0, teremos:
d
dt
M t M t � � � � �0 10, ·
então:
dM
M
�dt
M
dM �dt� � � ��0 10
1 0 10, ,
Resolvendo essa equação, obtemos M(t) = e0,10 · t.
Com isso, começamos a perceber a usabilidade das equações diferenciais no 
mundo físico.
6.2.2 Equações homogêneas
O próximo método que estudaremos é nomeadode método para resolução de 
equações homogêneas ou apenas equações homogêneas.
Definição 9
Uma função é dita homogênea quando podemos escrever:
f(tx, ty) = tn f(x, y)
Dessa maneira, afirmamos que f(x, y) é homogênea com grau de homogeneidade n.
Para compreender melhor esse método, vejamos um exemplo.
Σxemρlo 14
Vamos verificar se a função f(x, y) = x2 – y2 é homogênea. Isto é:
f(tx, ty) = (tx)2 – (ty)2 = t2x2 – t2y2 = t2(x2 – y2) = t2 f(x, y)
Portanto, f(x, y) = x2 – y2 é uma função homogênea.
Teremos uma equação homogênea se pudermos escrever:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Ou seja:
156 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Definição 10
Dizemos que uma equação da forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (19)
é homogênea quando M(x, y) e N(x, y) são funções homogêneas.
Utilizando essa definição, podemos constatar que M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é 
homogênea quando M(tx, ty) = tn M(x, y) e N(tx, ty) = tn N(x, y).
Para resolver uma equação diferencial como a encontrada em (19), utilizamos 
a substituição algébrica. Para isso, fazemos uma mudança de variável da forma 
x = uy ou y = tx. Assim, se y = tx, temos que:
dy = t dx + x dt (20)
Substituindo (20) em (19), obtemos:
M(x, tx) dx + N(x, tx)[t dx + x dt] = 0
Se a função homogênea for de grau n, escrevemos:
xn M(1, t) dx + xn N(1, t)[t dx + x dt] = 0
[M(1, t) + tN(1, t)] dx + x N(1, t) dt = 0
Portanto:
dx
x
N t dt
M t tN t
�
� �
� � � � � �
1
1 1
0
,
, ,
Desse modo, por meio de manipulações algébricas, conseguimos transformar uma 
equação diferencial homogênea em uma equação diferencial separável. Com isso, re-
caímos na utilização do método da separação de variáveis, abordado anteriormente.
Σxemρlo 15
Vamos resolver a equação diferencial (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0.
Solução
1. O primeiro passo é verificar se são funções homogêneas.
Dessa forma, substituímos x por tx e y por ty nas funções M(x, y) e N(x, y).
M(x, y) = x2 – y2
M(tx, ty) = (tx)2 – (ty)2 = t2x2 – t2y2 = t2(x2 – y2) = t2M(x, y)
N(x, y) = 2xy
N(tx, ty) = 2txty = t22xy = t2N(x, y)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 157
2. O segundo passo é realizar a substituição de variáveis da forma:
y = tx ⇒ dy = t dx + x dt
(x2 – y2) dx – 2xy dy = 0
(x2 – (tx)2) dx – 2xtx(t dx + x dt) = 0
(x2 – t2x2) dx – 2xtx(t dx + x dt) = 0
x2(1 – t2) dx – 2x2t(t dx + x dt) = 0
(1 – t2) dx – 2t(t dx + x dt) = 0
dx – t2 dx – 2t2 dx – 2xt dt = 0
dx –3t2 dx – 2xt dt = 0
(1 – 3t2) dx – 2xt dt = 0
3. O terceiro passo é fazer a separação de variáveis:
1 2
1 3
0
2x
dx t
t
dt�
�
�
Resolvendo a equação pelo método da separação de variáveis, obtemos 
com a integração:
1 2
1 3 2x
dx t
t
dt K�
�
���
Agora resolvendo �
�
2
1 3 2
t
� � t
dt por substituição de variáveis, chamaremos 
u = 1 – 3t2. Portanto, temos que:
du = –6t dt
du = –2 ∙ 3t dt
� �
1
3
2du t�dt
Substituindo essa igualdade na integral, chegamos a:
2
1 3
1
3
1 1
3
1
3
1 3
2
2t
t
dt
u
du ln u ln t
�
�
�
� � � � � ���
Voltamos à equação de variáveis separáveis � � �
�
�
1 2
1 3 2x
dx t
� � t
dt K e resolvemos:
1 2
1 3 2x
dx t
� � t
dt K�
�
���
ln x ln t K� � �1
3
1 3 2
ln x ln t lnC� � �1
3
1 3 1
3
2
3 1 3 2ln x ln t lnC� � �
ln x ln t lnC3 21 3� � �
(Continua)
(Continua)
158 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
ln x t lnC3 21 3� �
x t C3 21 3� �
x t C3 21 3�� � �
 x3(1 – 3t2) = ± C
 x3(1 – 3t2) = C1
Mas sabemos que y = tx, ou seja, t y
x
= . Substituindo essa igualdade na equação 
obtida anteriormente, temos:
x3(1 – 3t2) = C1
x y
x
C3
2
11 3�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x y
x
C3
2
2 1
1 3�
�
�
��
�
�
�� �
x y x
x
C3
2 3
2 1
3
� �
 x3 – 3xy2 = C1
–3xy2 = C1 – x
3
3xy2 = – C1 + x
3
y
C x
x
2 1
3
3
�
� �
y
C x
x
� �
� �1
3
3
Portanto, a solução da equação (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 é: 
y
C x
x
� �
� �1
3
3
Percebemos que até podemos ter um processo de resolução longo, contudo ele 
não é complexo.
Na sequência, veremos mais dois métodos de resolução de equações diferen-
ciais ordinárias.
No vídeo EDO homogênea 
– Exemplos, do canal
Matemática Universitária, 
o professor Renan Lima, 
do departamento de 
matemática do Instituto 
Tecnológico de Aeronáutica 
(ITA), resolve alguns exem-
plos de EDOs homogêneas 
que auxiliarão a prática 
desse tipo de equação. 
Disponível em: https://www.youtu-
be.com/watch?v=epd1blGBMHA. 
Acesso em: 17 maio 2021.
Vídeo
6.3 Equação exata e fator integrante
Vídeo
Algumas equações homogêneas têm características que as diferem das demais. 
Dentro desse contexto estão as equações ditas exatas.
Definição 11
Temos uma equação diferencial exata quando, ao assumirmos M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, seu primeiro 
membro é a diferencial total de alguma função U. Isso nos mostra que existe uma função U(x, y) tal que 
dU = M dx + N dy.
Observemos que se dU = M dx + N dy, temos que:
�
�
� � �U
x
M x y, (21)
�
�
� � �U
y
N x y, (22)
Além disso, dU = M dx + N dy = 0, assim, U = C.
Mas como identificar uma equação exata?
Teorema 1: critério para diferencial exata
“Sejam M(x, y) e N(x, y) contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas em uma região R definida por a < x < b e c < y < d. Então uma condição 
necessária e suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma diferencial exata é 
�
�
�
�
�
M
y
N
x
“ (ZILL, 2016, p. 61, grifos do original).
O resultado desse critério para a diferencial exata é:
�
�
�
M
y
2x (23)
Vamos utilizá-lo no exemplo a seguir.
Σxemρlo 16
Com o auxílio do teorema, identificaremos a equação diferencial 2xy dx + (x2 – 1) 
dy = 0 como uma equação exata, pois:
M(x, y) = 2xy e N (x, y) = x2 – 1
Precisamos mostrar que �
�
�
�
�
M
y
N
x
. Para isso, encontramos a derivada parcial de 
M em relação a y e a derivada parcial de N em relação a x:
�
�
�
M
y
2x e �
�
�
N
x
x2
(Continua)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 159
160 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
De fato, temos que �
�
�
�
�
�
M
y
N
x
x2 . Portanto, a equação diferencial 2xy dx + (x2 – 
1) dy = 0 é exata.
Quando conseguimos identificar a existência de uma EDO de primeira ordem 
exata, podemos pensar em maneiras que agilizem a sua resolução.
Inicialmente, mostraremos que a equação é exata e, na sequência, faremos a 
suposição de que �
�
� � �U
x
M x y, e �
�
� � �U
y
N x y, .
A sequência de passos que precisamos adotar é:
• integrar uma dessas equações;
• considerar outra variável como constante;
• comparar com outra equação.
Vamos colocá-los em prática no exemplo a seguir.
Σxemρlo 17
Devemos resolver a equação diferencial 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0.
Solução
1. O primeiro passo é verificar se a EDO é uma equação exata, o que já
constatamos anteriormente.
2. O segundo passo é utilizar a diferencial total:
dU = M dx + N dy
�
�
�
U
x
xy�2 (24)
�
�
�
U
x
xy�2
�
�
� �
U
y
x �2 1
(25)
Integrando a equação (24) em relação a x, podemos considerar y uma cons-
tante. Assim:
U y x C y� � � �2
2
2
1
 U = x2 y + C1(y) (26)
Agora temos que comparar (26) com (25). Dessa forma, vamos derivar U = x2y + 
C1(y) em relação a y:
�
�
� � � �U
y
x C y2 1́
(Continua)
Introdução a equações diferenciais ordinárias 161
Comparando com (25), temos que:
C´1(y) = –1
Logo:
C y �dy1 1� � � ��
C1(y) = –y + C2
Substituindo em (26):
U = x2y + C1(y)
U = x2y – y + C2
Mas sabemos que U = constante, por isso vamos denotar C3:
C3 = x2 y – y + C2
x2y – y = C3 – C2
x2y – y = C
Com esse processo, encontramos a solução da EDO 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0, sen-
do esse resultado igual a y C
x
�
�2 1
.
Quando não temos uma equação exata, a transformamos em exata tomando 
alguns cuidados. Vamos entender esse processo na sequência.
6.3.1 Fatores integrantes
Podemos obter uma equação exata multiplicando uma equação não exata por 
uma função (x, y), a qual denominamos de fator de integração. Nesse caso, chega-
mos à equação da seguinte forma:
(x, y) · M(x, y) dx + (x, y) · N(x, y)dy = 0
Esta pode ser diferente(ou não equivalente) da original quando tratamos de 
suas soluções. A multiplicação ocasiona perdas ou ganhos de soluções.
Teorema 2: fatores integrantes
De acordo com Zill e Cullen (2001), seja a EDO dada por:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
1. Se 
1
N x y y
M x y
x
N x y h x
,
, ,� �
�
�
� � � �
�
� ��
�
�
�
�
� � � � é uma função só de x, então, e h x dx� � �
é um fator integrante.
2. Se 1
M x y x
N x y
y
M x y k y
,
, ,� �
�
�
� � � �
�
� ��
�
�
�
�
� � � � é uma função só de y, então, e
k y dy� � �
é um fator integrante.
É comum trabalharmos com fatores integrantes na variável x. Nesse caso, ado-
tamos a notação μ(x) = h(x) e entendemos que essa é a notação utilizada em méto-
dos de solução para equações que exijam um fator integrante.
No vídeo EDO exatas – 
fator integrante, do canal 
Matemática Universitária, 
o professor Renan Lima 
descreve o método dos 
fatores integrantes e re-
solve um exercício prático. 
Disponível em: https://www.you-
tube.com/watch?v=GTWz5C4Uk-
vE. Acesso em: 17 maio 2021.
Na plataforma Khan 
Academy também há um 
exemplo resolvido desse 
método. 
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
differential-equations/first-order-
-differential-equations/exact-e-
quations/v/integrating-factors-1.
Acesso em: 17 maio 2021.
Vídeo
162 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
6.4 Equações lineares de primeira ordem
Vídeo
Para Zill e Cullen (2001), a forma geral de uma equação diferencial linear de 
ordem n é dada por: 
a x d y
dx
a x d y
dx
a x dy
dx
a x y g x �n
n
n n
n
n� � � � � ��� � � � � � � � ��
�
�1
1
1 1 0
(27)
O que define a linearidade é a verificação de que os coeficientes an(x) são todos 
funções somente de x. Nesse caso, y e todas as suas derivadas são elevados à pri-
meira potência.
Para caracterizar uma equação de primeira ordem, temos n = 1 e escrevemos:
a x dy
dx
a x y g x1 0� � � � � � � �
Fazendo a divisão dessa equação por a x1� � , obtemos:
dy
dx
p x y q x� � � � � � (28)
Ainda segundo Zill e Cullen (2001), procuramos uma solução para a equação 
(28) em um intervalo no qual as funções p(x) e q(x) são contínuas. Dessa maneira,
podemos reescrevê-la na forma:
[p(x) – q(x)]dx + dy = 0
Por meio do fator integrante, vimos que para equações lineares sempre é 
possível encontrar μ(x). Sendo assim, escrevemos:
μ(x)[p(x) – q(x)]dx + μ(x)dy = 0
que é uma equação diferencial exata. Logo:
�
�
� � � � � � ��� �� �
�
�
� �
y
x p x y q x dx
x
x dy� �
d
dx
x x p x� �� � � � � � �
d x
x
p x dx ln ln� x p x dx�
�
�
�
� �
� � � � � � � � � � ��
� x e p x dx� � � � � �
Esse cálculo nos permite concluir que μ(x) é um fator de integração da equa-
ção linear.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 163
Teorema 3
A equação diferencial linear de primeira ordem y´ + p(x)y = q(x) admite um fator 
integrante � x e
p x dx� � � � � � , sendo a solução geral dada por:
y e q x e dx c p x dx p x dx� � � ��
��
�
��
� � � � � � �� ·
Resumo
1. Calcule o fator integrante.
2. Multiplique a equação pelo fator integrante.
3. Integre para achar a solução.
Σxemρlo 18
Vamos encontrar a solução geral de x dy
dx
y x ex� �4 6 .
Solução
dy
dx x
y x ex� �4 5
p x
x
���e���q x x ex� � � � � � �4 5
y q x e dx C ep x dx p x dx� � � �� �� � � � � � ��
p x dx
x
dx �ln ln�x e x ����e���elnln�x � lnln�x �� � � � � � � �� � � � �4 4 4 4 4 xx4��
y xe dx C x xe e C xx x x� �� � � � �� �� 4 4
Com esse último exemplo, construímos ferramentas para resolvermos alguns 
tipos de equações diferenciais com foco nas de primeira ordem. Na sequência, ve-
remos algumas aplicações.
6.5 Aplicações
Vídeo Nesta seção, temos algumas aplicações e como resolvê-las, de acordo com sua 
natureza, pelos métodos das seções anteriores.
Aplicação 1: decaimento ou crescimento exponencial
Dn
 B
r/
Sh
ut
te
rs
to
ck
164 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Os modelos matemáticos que representam crescimento ou decrescimento ex-
ponencial são utilizados em diversas áreas do conhecimento.
Citando uma dessas aplicações, temos o crescimento populacional e, nesse 
caso, incluímos qualquer tipo de população: humanos, peixes, bactérias etc.
Para o crescimento populacional, consideramos uma equação na forma: 
dy
dx
ky= (29)
com k ∈ ℝ e k > 0.
Quando alteramos um pouco o modelo, utilizando k < 0, por exemplo, o cha-
mamos de modelo de decaimento exponencial. Aqui podemos citar diversas apli-
cações, sendo uma das mais conhecidas o decaimento radioativo analisado em 
restos fósseis para identificar a data da morte de espécies animais. Sabendo 
disso, buscar maneiras de resolver a equação (29) é fundamental para encon-
trarmos as suas soluções.
A seguir vamos resolver a equação (29) pelo método da separação de variáveis.
A primeira etapa é, justamente, por meio de manipulações algébricas, separar 
as variáveis x e y: dy
y
� �kdx= .
Em seguida, integramos ambos os lados da equação obtida em relação a x:
dy
y
kdx y kx c� �� � � �ln 1
y = ekx + c1
Portanto, a solução geral para a EDO que representa o decaimento ou o cresci-
mento exponencial é dada por y = ekx+c1 e sua representação gráfica está na Figura 6.
Figura 6
Solução para a EDO 
dy
dx
= ky , com k > 0 e c1 = 1 (em azul) e k < 0 e c1 = 1 (em laranja)
Fonte: Elaborada pela autora.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 165
Observe que a equação (29) pode ser adaptada por meio da inclusão de condi-
ções iniciais ou mesmo com o conhecimento de valores específicos do problema. 
Dessa forma, a solução também acompanhará esse tipo de ajuste do modelo.
Digestão de ruminantes 
Como a proposta desta seção é apresentar algumas aplicações, sugerimos um material 
muito rico em modelos de EDOs aplicadas. A obra Equações diferenciais ordinárias: um 
curso introdutório, do professor Rodney Carlos Bassanezi traz diversos modelos resolvi-
dos que enriquecem nosso conhecimento a respeito das equações diferenciais.
Entre as diversas aplicações presentes no livro, sugerimos a denominada de digestão de ruminantes, 
que propõem um modelo para o entendimento de um sistema digestivo bastante complexo, mas 
que pode ser resolvido de maneira prática com o uso das EDOs.
Disponível em: https://www.researchgate.net/publication/256325903_Equacoes_Diferenciais_
Ordinarias_Um_curso_introdutorio. Acesso em: 17 maio 2021.
Fa
ra
h 
Sa
di
kh
ov
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Aplicação 2: problema da administração de glicose
Su
nc
he
li 
Pr
oj
ec
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Na área médica é imprescindível que sejam calculados valores que orientem os 
profissionais na indicação de dosagens de medicamentos de acordo com a massa 
corporal, seja de humanos, seja de animais. Vamos analisar medicamentos que são 
administrados por via intravenosa.
Nesse contexto, cada medicamento deve ser avaliado de acordo com três variá-
veis principais:
• r: taxa de administração do medicamento;
• C(t): concentração do medicamento na corrente sanguínea em determina-
do período;
• t: tempo.
O fator a ser encontrado é a concentração desse medicamento ao longo do tem-
po, já que determinará quando o medicamento pode ser novamente administrado 
ou mesmo a dosagem que deve ser feita.
Para isso, existe um modelo muito simples, mas extremamente eficaz, que pode 
ser analisado na equação (30).
dC
dt
r kC� � (30)
onde k > 0.
Notamos que esse modelo é muito similar ao que vimos na Aplicação 1. Isso 
ocorre porque ele também é um modelo de decaimento exponencial.
Assumindo que a concentração em determinado tempo t = 0 é C0, queremos en-
contrar a concentração de um possível medicamento administrado em um tempo 
t qualquer. 
166 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Para isso, utilizaremos novamente o método da separação de variáveis:
dC
dt
r kC� �
dC
kC r
dt
�
� �
Integrando os dois lados da igualdade:
dC
kC r
dt
�� � � ���
1
1k
kC r t Cln � � � �
(31)
Precisamos isolar C, o que faremos multiplicando (31) por k ≠ 0. Logo:
ln kC r kt C� � � � 2
Aplicando a função exponencialaos dois lados da equação:
kC r e kt C� � � � 2
Com isso, escrevemos:
kC – r = C3 · e
–kt (32)
Vemos que a cada manipulação da constante trocamos o seu índice para carac-
terizar essa modificação do valor numérico.
Por fim, somando r a ambos os membros de (32), obtemos:
kC = C3 e
–kt + r (33)
Dividindo os membros de (33) por k, encontramos a solução geral:
C(t) C t C e r
k
kt� � � ��4
(34)
Como essa aplicação traz uma condição inicial, temos um problema de valor 
inicial. Assim, assumindo C r
k0
< e fazendo C(0) = C0 em (34), temos:
C C r
k0 4
� �
Consequentemente, conseguimos encontrar o valor da constante C C r
k4 0
� � ,
sendo possível calcular a solução para o PVI da Aplicação 2:
C t C r
k
e r
k
kt� � � ��
�
�
�
�
� �
�
0
Nesse ponto, podemos adotar valores para k, r e C0 e encontrar uma solução 
específica para medicamentos diferentes.
Com essas aplicações, percebemos a importância do conhecimento das técni-
cas para a resolução de equações diferenciais de primeira ordem, pois por meio 
delas conseguimos encontrar soluções para problemas modelados fisicamente.
Introdução a equações diferenciais ordinárias 167
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Ao longo do capítulo trouxemos o conceito de alguns métodos para encontrarmos 
a solução de equações diferenciais de primeira ordem.
O campo da matemática que as abrange é amplo e riquíssimo não só em suas teo-
rias, mas nas possibilidades de aplicações.
Além de ferramentas para a solução de equações analíticas, como vimos ao longo 
do estudo, o campo das equações diferenciais estende-se para os métodos numéricos 
demasiadamente possíveis de resolução computacional.
Essa é uma área realmente fascinante e esperamos que você tenha gostado de 
estudá-la assim como gostamos de apresentá-la.
ATIVIDADES
1. Relate algumas ferramentas computacionais que podem ser utilizadas para uma
visualização geométrica de equações diferenciais. Explique sucintamente como
são usadas.
2. De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão do indutor
L di
dt
�
�
�
�
�
� e da queda de tensão do resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) do circuito.
Sendo assim, temos a seguinte equação que representa esse problema:
L di
dt
�
�
�
�
�
� � �+Ri = E t
Em que:
• L é a indutância;
• R é a resistência;
• i é a corrente;
• E é a força eletromotriz.
Adotando i(0) = 0, podemos classificar o problema como um PVI? Justifique a 
sua resposta.
3. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao
número de bactérias presente em um tempo qualquer. A equação que modela
esse problema pode ser representada por dp
dt
= kp t� � , em que k é a constante de
proporcionalidade, p é a população de bactérias e t é o tempo. Descreva o fator de
integração para essa equação e resolva-a.
REFERÊNCIAS
FERREIRA, J. A. Equações diferenciais ordinárias: uma abordagem computacional utilizando o software 
wxMaxima. 2017. Trabalho de conclusão de curso – Instituto de Matemática, Estatística e Física, 
Universidade Federal do Rio Grande, Rio Grande do Sul. Disponível em: https://imef.furg.br/images/
stories/Monografias/Matematica_aplicada/2017/Juciara_Ferreira.pdf. Acesso em: 17 maio 2021.
FIGUEIREDO, D. G. de.; NEVES, A. F. Equações diferenciais aplicadas. Rio de Janeiro: Impa, 1997.
SILVA, P. N. Equações diferenciais ordinárias. Rio de Janeiro: IME/UERJ, 2005.
WOLFRAM CLOUD. Nonlinear Wave Equation Explorer. 2021. Disponível em: https://www.wolframcloud.
com/objects/demonstrations/NonlinearWaveEquationExplorer-source.nb. Acesso em: 17 maio 2021.
ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais: volume 1. São Paulo: Pearson Universidades, 2001.
Vídeo
168 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
GABARITO 
1 Funções de múltiplas variáveis
1. Seja uma função de duas variáveis na forma f x, y =
1
x - y2 2
� � .
A imagem para essa função será Im(f)  =  ℝ  –  {0} e as curvas de nível serão 
f x, y = 1
x - y
= c
2 2� � , com c ≠ 0. Organizando essa expressão, podemos dizer que 
as curvas de nível serão hipérboles? Justifique sua resposta.
Sabendo que as curvas de nível de f são escritas como 12 2x �y
c
��
� , para c  ≠ 0, 
então trabalhando essa expressão algébrica teremos �
x
c
y
c
2 2
1 1
1� � , que nos fornece
a expressão para diferentes hipérboles dependentes dos valores de c e centradas 
na origem.
Ainda podemos dizer que os eixos real e imaginário dessas hipérboles serão 
2 2 2 1
2
a b
c
= = . .
Figura 22
Exemplo de algumas curvas de nível de f
Fonte: Elaborada pela autora.
2. Seja uma função f(x, y) tal que f(0, 0) = 2. O fato de que f(0, 0) = 2 nos permite
concluir que existe lim f x, y
x, y 0,0� ��� �
� � ? Justifique sua resposta.
Não podemos concluir que o limite lim ,
, ,x y
f x y
� ��� �
� �
0 0
 existe pelo simples fato de que
f(0, 0) = 2. Observe o caso exposto como contraexemplo:
f x y
x y
x y
x y
x y
,
,�� � , ,
,�� � , ,
� � �
�
�
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
2 2
2 2
0 0
2 0 0
se
se
Esse caso mostra claramente que no ponto (0, 0) o valor da função f(x, y) vale 2.
Gabarito 169
Vamos procurar o limite da função em (0, 0). Para isso usaremos os caminhos:
• y = 0
lim , lim , lim
, ,x y � x� � x� �
f x y f x
� ��� � � �
� � � � � � �
0 0 0 0
0 1 1
• x = 0
lim , lim , lim
, ,x y � y� � y� �
f x y f y
� ��� � � �
� � � � � � � � �
0 0 0 0
0 1 1
Portanto, para a função f x y
x y
x y
x y
x y
,
,�� � , ,
,�� � , ,
� � �
�
�
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
2 2
2 2
0 0
2 0 0
se
se
, não existe o limite em (0, 0).
3. Sabendo que 

r t� � é uma função vetorial com três componentes, f(t), g(t)
e h(t), então se queremos calcular lim r t
t �
� �
0

teremos que determinar 
lim f t lim g t lim h t
t t t� � �
� � � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0
, , Se o limite em um desses componentes não existir, 
podemos afirmar que o lim r t
t �
� �
0
 também não existe? Justifique.
Sim. Para formar um vetor com três componentes é necessário que cada uma 
dessas componentes seja bem definida.
Pela Definição 9 temos:
Se 
 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � , então:
lim lim
t� �a t� �a
r t f t i g t j h t k
� �
� � � � � � � � � � �
 

se existirem os limites de f, g e h com t → a.
Portanto, caso algum dos valores para os limites de lim , lim , lim
t� � t� � t� �
f t � g t h t
� � �
� � � � � �� �0 0 0
não exista, também não existirá o lim
t� �
r t
�
� �
0
 .
2 Derivadas parciais
1. Analise a afirmação a seguir e determine se ela é verdadeira ou falsa. Justifique sua
resposta.
“Existe função descontínua em um determinado ponto que é diferenciável nesse
mesmo ponto.”
Falsa. Temos que toda função diferenciável é contínua, o que nos permite concluir
que se a função é descontínua, então não será diferenciável.
2. Sabendo que z = f(x, y) é uma função que admite derivadas parciais em (x0, y0), 
enuncie uma propriedade para
� � ��
�
�
�
� � �
�
� ��
�
�
�
�
�
f x y
f
x
x y
f
y
x y
0 0
0 0 0 0
,
, , ,
Temos que ∇f(x0, y0) é o vetor gradiente de z, ou seja, é um vetor no plano xy que 
aponta na direção de maior crescimento da função f.
3. Podemos afirmar que se f(x, y) possui um máximo local em (x0, y0), então, nesse
ponto, o plano tangente a f será paralelo ao plano xy?
Sim. Se (x0, y0) é um ponto de máximo local de f, então nesse ponto as derivadas
parciais existem e são nulas, o que nos permite escrever a equação do plano
tangente (passando por (x0, y0)) como z = z0 = f(x0, y0), portanto paralelo ao plano xy.
170 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
3 Funções vetoriais e curvas espaciais
1. Descreva como podemos interpretar a derivada de uma curva expressa por
equações paramétricas, em um ponto especificado.
Assim como nas funções de uma variável real, a derivada de uma função em
um determinado ponto é uma relação de variação entre variáveis dessa função.
Portanto, se temos uma curva C escrita naforma de equações paramétricas sobre
o parâmetro t, teremos que dC
dt
t0� � será um vetor tangente à trajetória de C, em
C(t0).
2. Que curva é representada pela equação ρ = 3?
A curva consiste em todos os pontos (ρ, θ) com ρ = 3. Como ρ representa a distância
do ponto ao polo, a curva ρ = 3 representa o círculo com centro O e raio ρ = 3. Em
geral a equação ρ = a representa um círculo com centro O e raio |a| unidades. A
curva ρ = 3 está destacada na figura a seguir.
x
ρ = 2
ρ = 1
ρ = 4
ρ = 3
3. Assumindo que a área de uma região R delimitada por θ = α e θ = β é dada por
S Á d¸ f ¸ d¸
±
²
±
²
� � � ��� ��� �
1
2
1
2
2 , como podemos calcular a área da região T apresentada
na figura a seguir?
θ = β
β
ρ = ⨍(θ)
ρ = g(θ)
O x
O
BB
T θ = α
α
θ = β
A área da região T está delimitada pelas funções θ = α e θ = β e pelas funções ρ = f(θ) 
e ρ = g(θ), portanto, fazendo uma analogia ao cálculo de funções de uma variável e a 
expressão usada para o cálculo da área entre duas funções, podemos escrever:
Gabarito 171
S f d g dT � � �� � � � �� �� �
1
2
1
2
2 2
�
�
�
�
� � � �
S f g dT � � �� � � � �� ����
�
���
1
2
2 2
�
�
� � �
4 Integrais múltiplas
1. Em alguns momentos, quando realizamos a soma de Riemann, usamos a notação 
Δx → 0 e, em outros, utilizamos m → ∞. Explique essa diferença de notação.
Quando queremos dizer que o tamanho do intervalo aplicado às subdivisões da 
região de integração é o menor possível (para que tenhamos uma boa aproximação), 
colocamos a notação Δx → 0. Já quando estamos fazendo referência à quantidade 
de subdivisões da região de integração, queremos que essa quantidade seja muito 
grande, para que se tenha uma boa aproximação. Nesse caso, usamos m → ∞.
2. Cite alguns casos em que é vantajoso realizar uma mudança de variável para 
resolver integrais simples ou múltiplas.
É vantajoso, sempre que for possível, simplificar uma expressão. Ou seja, no caso 
das integrais, sempre será vantajoso quando conseguirmos resolver a integração 
com maior agilidade, sem depender de tabelas ou calculadoras computacionais, 
por exemplo. Isso é facilmente percebido com as mudanças de coordenadas 
realizadas nos exemplos do capítulo.
3. Para que tenhamos um valor numérico como resposta a uma integral tripla, 
com região de integração do tipo IV, cite duas combinações possíveis entre as 
regiões apresentadas.
Dentre as combinações possíveis, podemos escrever:
W e
f
h x
h x
f x y
f x y
f x y z dxdydy f x y z dz� � � � � �� � � � �
� �
� �
� �
� �
, , , ,
,
,
1
2
1
2��
�
�
��
�
�
�
��
dydx
Ou, ainda:
W e
f
g z
g z
f x z
f x z
f x y z dxdydy f x y z dy� � � � � �� � � � �
� �
� �
� �
� �
, , , ,
,
,
1
2
1
2��
�
�
��
�
�
�
��
dydz
5 Cálculo vetorial
1. Explique a influência da orientação, ou seja, do sentido da movimentação de uma 
partícula dentro de um campo vetorial, para o cálculo do trabalho realizado pelo 
campo sobre essa partícula.
Na integral 
C
F · dr∫


 cada vetor dr

 representa um pequeno avanço ao longo da 
curva C. Sendo assim, se invertemos o sentido de dr

, o produto escalar dentro 
da integral será multiplicado por (-1). Logo, o sentido do movimento da partícula 
alterará o sinal do resultado da integral e, com isso, o sentido de aplicação da força.
172 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
2. O resultado div rot�F = 0
� � enquadra-se nos importantes teoremas do 
cálculo diferencial e integral. Demonstre essa expressão lembrando de 
div�F = P
x
+ Q
y
+ R
z
 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
 e rot�F = R
y
- Q
z
i + P
z
- R
x
j + Q
x
- P
y
  �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

k .
Considerando div�F = P
x
+ Q
y
+ R
z
 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
 e 
rot�F = R
y
- Q
z
i + P
z
- R
x
j + Q
x
- P
y
  �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

k ,
podemos escrever:
div R
y
- Q
z
i + P
z
- R
x
j + Q
x
- P
y
k�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 

���
�
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
�= R
x y
- Q
x z
+ P
y z
-
2 2 2 2RR
x y
+ Q
x z
- P
y z
= 0
2 2
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
Assim, mostramos que div rot (F) = 0

.
3. Descreva o teorema da divergência para regiões E ⊆ ℝ², isto é, F x, y =
P x, y
Q x, y
� � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, e 
verifique a semelhança com o teorema de Green.
O teorema da divergência (ou de Gauss) bidimensional está relacionado ao 
divergente assim como o teorema de Green está relacionado ao rotacional.
Sabendo que o campo vetorial bidimensional denota 

F x, y� � , sendo R uma região 
no plano xy, C a fronteira de R e 

n a função que determina os vetores unitários 
voltados para fora normais a C, então:
C R
F ·�n�dS = div�F�dA∫ ∫ ∫



Portanto:
C
R
Pdy - Qdx = P
x
+ Q
y�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Semelhante ao teorema de Grenn.
6 Introdução a equações diferenciais ordinárias
1. Relate algumas ferramentas computacionais que podem ser utilizadas para uma 
visualização geométrica de equações diferenciais. Explique sucintamente como 
são usadas.
Podemos enriquecer os cálculos usando as seguintes ferramentas:
 • GeoGebra on-line, com a qual é possível construir os gráficos das soluções das 
EDOs e os campos de direções. Ela traz funções intrínsecas prontas para serem 
usadas para essa finalidade.
 • PythonTM e GNU Octave©, que são linguagens de programação de alto nível, ou 
mesmo softwares pagos, mas de conhecimento público, como Matlab® e Maple©. A 
respeito da primeira linguagem, ela é de fácil programação e rápida visualização, po-
dendo ser utilizada tanto para auxiliar quanto para visualizar a resolução das EDOs.
 • SciLab, que, assim como o Matlab®, é um software com muitas possibilidades.
Gabarito 173
Há muitas opções – e algumas que nem foram citadas –, mas todas auxiliam de 
maneira ampla o ensino e a aprendizagem das equações diferenciais.
2. De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão do indutor 
L di
dt
�
�
�
�
�
� e da queda de tensão do resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) do circuito. 
Sendo assim, temos a seguinte equação que representa esse problema:
L di
dt
�
�
�
�
�
� � �+Ri = E t
Em que:
 • L é a indutância;
 • R é a resistência;
 • i é a corrente;
 • E é a força eletromotriz.
Adotando i(0) = 0, podemos classificar o problema como um PVI? Justifique a 
sua resposta.
Sobre o problema, foram informados os dados:
L di
dt
+Ri = E t
i 0 = 0
�
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
Portanto, trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem. Como 
conhecemos o valor de i no instante t = 0, ou seja, i(0) = 0, podemos afirmar que 
esse é um problema de valor inicial.
3. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao 
número de bactérias presente em um tempo qualquer. A equação que modela 
esse problema pode ser representada por dp
dt
= kp t� � , em que k é a constante de 
proporcionalidade, p é a população de bactérias e t é o tempo. Descreva o fator de 
integração para essa equação e resolva-a.
Sabendo que dp
dt
-kp t = 0� � , o fator de integração será dado por:
� t = e = e-kdt -kt� � � � �
Com ele, podemos escrever:
e dp
dt
-kp t =�e 0 · -kt -kt� � � �� ��
�
�
�
�
�
Aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
e dp
dt
- e kp t = 0-kt -kt� � � ��
�
�
�
�
� � �� �
d
dt
e p = 0 · -kt� ��
��
�
��
Integrando, chegamos a:
e(-kt) · p = c
Logo:
p(t) = cekt
174 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Quadro de símbolos 
Símbolo Significado
ℝ Conjunto dos números reais; espaço unidimensional real
ℝ² Espaço bidimensional real
ℝ³ Espaço tridimensional real
ℝn Espaço n dimensional real
+
* Conjunto dos números inteiros positivos sem o 0
[a, b] Intervalo fechado com início a e fim b
]a, b[ Intervalo aberto com início a e fim b
D(f) Domínio deuma função f
Im(f) Imagem de uma função f
∀ Para todo
⇒ Implica
⇔ Se, e somente se; equivalente
∑ Somatório
∫ Integral simples
∃ Existe
∄ Não existe
ε Épsilon
δ ou Δ Delta
f ∘ g Função composta (f após g)
f–1 Função inversa
x → a x tende para a
∞ Infinito
· Produto escalar
⋀ Produto vetorial
r Função vetorial r
𝜕 D-rond (pronúncia “derron”) ou del
|| || Norma de
∇ Nabla
θ Teta
ρ Rô
π Pi
α Alfa
β Beta
ξ Xi
κ Capa
× Produto cartesiano
Código Logístico
59619
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6696-4
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 9 6 4