Cálculo_II

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59619
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6696-4
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 9 6 4
Cálculo para funções 
de múltiplas variáveis
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2021
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do 
detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. 
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427c
Vargas, Marina
Cálculo para funções de múltiplas variáveis / Marina Vargas - 1. ed. - 
Curitiba [PR] : IESDE, 2021.
174 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6696-4
1. Cálculo. 2. Funções de várias variáveis reais. I. Título.
21-71247 CDD: 515.84
CDU: 517.55
Marina Vargas Pós-doutora em Mecânica Computacional pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Doutora e mestra em Métodos 
Numéricos em Engenharia na área de programação 
matemática também pela UFPR. Especialista em Educação 
Matemática e licenciada em Matemática pela Universidade 
Paranaense (Unipar). Professora no ensino superior nas 
modalidades presencial e a distância, ministrando as 
disciplinas de Cálculo de funções de uma e mais variáveis, 
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Métodos Numéricos, 
Teoria dos Números, Pesquisa Operacional, Matemática 
Aplicada, Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos. 
Professora conteudista em diversas instituições e empresas. 
Pesquisadora nas áreas de programação matemática, 
mecânica computacional, educação matemática e educação 
em engenharias.
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SUMÁRIO
1 Funções de múltiplas variáveis 9
1.1 Definição de funções de múltiplas variáveis 9
1.2 Limites de funções de múltiplas variáveis 18
1.3 Continuidade de funções 22
1.4 Funções vetoriais 24
2 Derivadas parciais 31
2.1 Derivadas parciais 31
2.2 Plano tangente e diferenciabilidade 38
2.3 Regra da cadeia 42
2.4 Derivadas direcionais e vetor gradiente 45
2.5 Valores máximo e mínimo 50
3 Funções vetoriais e curvas espaciais 56
3.1 Curvas definidas por equações paramétricas 56
3.2 Cálculos com curvas parametrizadas 62
3.3 Comprimento de arco para curvas parametrizadas 64
3.4 Área de curvas parametrizadas 67
3.5 Coordenadas polares 68
3.6 Comprimento e área em coordenadas polares 77
3.7 Curvas espaciais 81
4 Integrais múltiplas 87
4.1 Integrais duplas 87
4.2 Integrais duplas sobre regiões gerais 96
4.3 Mudanças de variáveis nas integrais duplas 99
4.4 Integrais triplas 105
4.5 Mudanças de variáveis nas integrais triplas 111
5 Cálculo vetorial 116
5.1 Campos vetoriais 116
5.2 Integrais de linha 121
5.3 Teorema de Green no plano 128
5.4 Superfícies e integral de superfície 135
5.5 Teorema da divergência de Gauss 139
6 Introdução a equações diferenciais ordinárias 142
6.1 Conceitos básicos: equações lineares de primeira ordem 142
6.2 Equações de primeira ordem: alguns métodos 152
6.3 Equação exata e fator integrante 159
6.4 Equações lineares de primeira ordem 162
6.5 Aplicações 163
Gabarito 168
 Quadro de símbolos 174
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Nesta obra trazemos os conceitos necessários para trabalharmos com 
funções que representam superfícies e hiperfícies. Além de tratarmos das 
funções compostas de múltiplas variáveis, abordamos as funções vetoriais e, 
com isso, abrimos um importante leque para o estudo de campos escalares 
e vetoriais, tendo como fechamento a introdução ao estudo das equações 
diferenciais, conteúdo que por si só possibilitaria a escrita de diversas obras. 
O estudo de funções com domínio real é indispensável na formação do 
matemático, seja bacharel ou licenciado. Além disso, esse conteúdo está 
presente nos cursos de Engenharia, Física, Química, Ciência da Computação, 
Administração, Economia, Biologia e muitos outros que poderíamos continuar 
listando por se beneficiarem desse conhecimento. 
Pensando nisso, no primeiro capítulo discorremos sobre o conceito das 
funções de múltiplas variáveis, com atenção especial às funções de duas 
variáveis pela possibilidade de sua representação gráfica. Também tratamos 
de limite e continuidade de uma função composta de n variáveis e trazemos o 
conceito de função vetorial, que aprofundamos em outros capítulos.
No segundo capítulo construímos o conceito de derivada parcial, 
considerando como referência as funções de duas variáveis. Aqui a escolha 
também ocorre pela possibilidade de representação gráfica e analogia direta 
com as derivadas de funções de uma variável. Além do conceito de derivadas 
parciais, trabalhamos com as derivadas direcionais e o vetor gradiente, 
ferramenta fundamental para o detalhamento de muitas das teorias presentes 
no quinto capítulo. 
No terceiro capítulo explanamos as funções vetoriais, as curvas espaciais e 
as equações paramétricas. Com isso, é possível compreendermos as funções 
sob uma ótica diferente da trabalhada nos capítulos iniciais. A estrutura desse 
capítulo possibilita a introdução de conceitos como o movimento de partículas 
ao longo do tempo e as mudanças de coordenadas.
No quarto capítulo apresentamos as integrais de funções de múltiplas 
variáveis. A escolha de funções de duas variáveis é importante para a 
percepção da composição geométrica por traz da estrutura algébrica. Além 
de funções de duas variáveis, trabalhamos com as funções de três variáveis e 
o conceito de integrais triplas. Como a integração permite o uso de algumas 
mudanças de variáveis, é nesse capítulo que explicamos as coordenadas 
polares e cilíndricas.
No quinto capítulo debatemos a concepção de cálculo vetorial. Para isso, 
é importante recordarmos todos os conceitos apreendidos nos capítulos 
anteriores para, com base nisso, desenvolvermos o conceito de rotacional e 
divergente e trabalharmos com os teoremas de Green, Gauss e Stokes. Talvez 
APRESENTAÇÃOVídeo
esse seja o capítulo mais denso e que exija maior abstração, pois abordamos os campos 
vetoriais e a influência deles sobre curvas e superfícies. Entretanto, é um dos mais ricos 
em exemplos envolvendo outras áreas do conhecimento.
No sexto e último capítulo realizamos uma introdução ao amplo campo das equações 
diferenciais. Enunciamos a definição e classificação delas e uma breve metodologia para a 
solução das ordinárias de primeira ordem. 
Este é o foco desta obra: a compreensão do comportamento de funções de múltiplas 
variáveis e de funções vetoriais. Desse modo, a proposta é que amadureçamos nosso 
conhecimento matemático para que consigamos manusear as ferramentas matemáticas 
com mais agilidade e domínio, ensinar esses conceitos utilizando ferramentas 
computacionais simples – as quais são apresentadas no decorrer dos capítulos –, e 
aplicar nas mais diversas áreas e situações práticas.
Esperamos que este livro colabore para a formação de um excelente profissional 
na área escolhida.
Bons estudos!
8 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Funções de múltiplas variáveis 9
1
Funções de múltiplas 
variáveis
1.1 Definição de funções demúltiplas variáveis 
Vídeo Muitos são os casos em que uma função de uma variável não é suficiente para 
modelar um problema físico de maneira efetiva, sendo necessário mais variáveis 
para representar o que realmente ocorre fisicamente; por exemplo, se precisamos 
calcular a área aproximada de uma superfície conhecendo o peso e a altura dessa 
estrutura, ou mesmo se vamos calcular o volume de um cilindro conhecendo seu 
raio e sua altura. Dessa forma, o que teremos neste capítulo são funções que po-
dem depender de duas ou mais variáveis.
Um ponto no espaço n-dimensional, 

n, é representado por uma n-upla de nú-
meros reais P = (x1, x2, …, xn).
Alguns casos particulares são fundamentais também na modelagem de situa-
ções físicas aplicadas a problemas da engenharia, da computação, da tecnologia 
em geral, da biologia, dentre outras áreas. Em particular, se:
 • n = 1 ⇒ P = x
 • n = 2 ⇒ P = (x, y)
 • n = 3 ⇒ P = (x, y, z)
 • 
 • n = 6 ⇒ P = (x1, x2, …, x6)
Quando trabalhamos com funções de uma variável, aprendemos técnicas 
de derivação e integração que nos permitem analisar o comportamento de 
uma função que pode ser representada por uma curva no plano cartesiano.
Contudo, a necessidade de expandir a quantidade de variáveis nessas 
funções, de modo que seja possível trabalhar com superfícies, hiperespaços, 
funções vetoriais, dentre outros exemplos, nos obriga também a aumentar as 
técnicas já conhecidas.
Assim, vamos estudar neste capítulo o comportamento de funções de múl-
tiplas variáveis dando um enfoque especial às funções de duas variáveis reais, 
que nos permitam compreender o comportamento de superfícies no espaço 
tridimensional. Além disso, traremos o conceito de limites de funções de n va-
riáveis e trabalharemos com conceitos algébricos e geométricos.
Esperamos que você se sinta motivado pelo tema.
10 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Acompanhe um exemplo de função em que n = 2 ⇒ P = (x, y).
Σxemρlo 1
Seja a função de x e y dada pelos pares ordenados (P, z), tal que
z x y� � �64 2 2 , então o domínio de f é dado por 64 – x2 – y2 ≥ 0, logo:
D(f) = {(x, y) ∈ 2 | x2 + y2 ≤ 64}
Esse conjunto é composto por pontos do plano xy sobre a circunferência x2 + y2 
= 64 e pontos no interior da região limitada pela circunferência. Observe na figura 
a seguir.
Figura 1
Domínio da função z x y� � �64 2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Como z x y� � �� �64 2 2 , então 0 ≤ z ≤ 8, assim a imagem de f é o conjunto de 
todos os números reais no intervalo fechado de [0, 8].
Figura 2
Im(f) da esfera x2 + y² + z² = 64
Fonte: Elaborada pela autora.
Para reforçar o conceito 
de funções de múltiplas 
variáveis, sugerimos o 
artigo O que são funções 
multivariáveis? da platafor-
ma da Khan Academy, que 
traz não só a parte concei-
tual, mas também vários 
exemplos de funções.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/thinking-
-about-multivariable-function/
ways-to-represent-multivariable-
-functions/a/multivariable-functions. 
Acesso em: 11 mar. 2021.
Leitura
Funções de múltiplas variáveis 11
Definição 1
Uma função de n variáveis é um conjunto de pares ordenados (P, w), em que dois pares distintos não 
podem ter os primeiros elementos iguais. P é um ponto no espaço n-dimensional numérico e w é um 
número real. O conjunto de todos os valores possíveis de P é chamado de domínio da função, enquanto 
o conjunto de todos os valores possíveis de w é chamado de imagem da função (STEWART, 2017).
Uma função f de duas variáveis f(x, y) = z tem no seu domínio elementos na for-
ma (x, y) ∈ 2 e na sua imagem elementos da forma z ∈ .
Figura 3
Relação domínio e imagem para f(x, y) = z

x
y
z
(x, y)
(a, b)
f
0 f (x, y)
f (a, b)
Dom ı́nio Imagem
O
 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Para compreender melhor o conceito de domínio de uma função de múltiplas 
variáveis, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 2
A função g de duas variáveis x e y é o conjunto dos pares ordenados da forma 
(P, z) para os quais g x �y z
x � �y � �
,� � � �
� �
1
642 2
.
O domínio de g é o conjunto com x y2 2 64 0� � � , logo D(g) = {(x, y) ∈ 2 | x2 + 
y2 > 64}. Conforme a Figura 4.
Figura 4
Domínio da função g
Fonte: Elaborada pela autora.
12 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A imagem de g será o conjunto aberto 1
8
,���
�
�
�
�
� . O gráfico de g está representado 
na Figura 5.
Figura 5
Gráfico da função g
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que uma função de duas variáveis nos leva a uma imagem tridimensional. 
Portanto, quando a função passa a ter mais do que duas variáveis, não teremos 
uma dimensão, visualmente falando, para a representação geométrica de todas as 
coordenadas ao mesmo tempo.
Acompanhe um exemplo para calcular o valor de uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 3
Considerando uma função definida por f x y x y,� � � � �64 2 2 , calcule:
a. f �1 2,� �
b. f �8 0,� �
c. f ��� �2 3,
d. f u � v, 3� �
Para calcular f x y x y,� � � � �64 2 2 nas coordenadas indicadas, substituímos x 
pelo valor do primeiro elemento da coordenada e y pelo valor do segundo elemen-
to da coordenada. Assim, temos que:
a. f �1 2 64 1 2 64 1 4 592 2,� � � � � � � � � � � � �
b. f �8 0 64 8 0 64 64 0 02, ( ) ²� � � � � � � � � � �
c. f ��� � � � �� � � � � � � � �2 3 64 2 3 64 4 9 512 2, ����
d. f u � v u v u v, ( ) �3 64 3 64 92 2 2 2� � � � � � � � � �
Agora, verifique no exemplo a seguir o cálculo do valor de uma função de três 
variáveis.
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 13
Σxemρlo 4
Considerando a função g x �y �z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 , calcule:
a. g � �1 2 1, , �� �
b. g u � v �w2 4, ,�� �
c. g x ��y � z, , �� �
Para calcular �g x �y �z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 nas coordenadas indicadas, fazemos de 
maneira semelhante ao cálculo com duas variáveis, mas agora é preciso substituir 
o valor de z pelo terceiro elemento da coordenada enunciada, além de substituir os 
valores de x e y. Assim, temos que:
a. g � � ��1 2 1 1 4 2 1 1 2
1
1 8 2 72, , ·�� � � � � � � � �� � �
�
� � � �
b. g u � v �w u v w
u v
w
u vw uv
w
2 4 2 4 4
2 4
4 16 82 2, ,�� � � � � � �� �� � � � � �� � � � �
c. g x �y � z x y z xy
z
� �x yz xy
z
, , �� � � � � � � � �� � �
�
� � �
2 24 4
Vejamos outro exemplo, agora para determinar o domínio de uma dada função.
Σxemρlo 5
Calcule o domínio para a função g x y z x yz xy
z
, ,� � � � �2 4 .
Neste caso, a função é definida para todos os reais exceto quando z = 0. Portan-
to, D(g) = {(x, y, z) ∈ 

3 | z ≠ 0}.
Definição 2
Se f for uma função com uma variável e g uma função de duas variáveis, então a função composta 
f  g será a função de duas variáveis definida por (f  g)(x, y) = f(g(x, y)) e o domínio de f  g será 
o conjunto de todos os pontos (x, y) no domínio de g para os quais g(x, y) está no domínio de f 
(GUIDORRIZZI, 2018).
O símbolo  significa a 
composição das funções 
e lemos “f bola g”. É a 
notação utilizada para a 
função f composta com a 
função g.
Saiba mais
Acompanhe um exemplo da definição de composição de funções de uma variá-
vel com uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 6
Dadas as funções f t
t
� � � 1 e g(x, y) = x + y, ache a função composta h(x, y) = (f  g)
(x, y) e determine o domínio de h.
Como queremos h(x, y) = (f  g)(x, y), então podemos escrever:
(Continua)
14 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
h x y f g x y f x y
x y
, ,� � � � �� � � �� � �
�
1
Assim, o domínio de h será D(f) = {(x, y) ∈ 2x + y ≠ 0}. A figura a seguir mostra 
a representação gráfica dessa composição de funções.
Figura 6
Função h x �y
x� �y
,� � �
�
1
Fonte: Elaborada pela autora.
Definição 3
Uma função polinomial de duas variáveis x e y é uma função f tal que f(x, y) seja a soma de termos 
da forma cxnym, sendo c ∈ � e m, n números inteiros não negativos. O grau da função polinomial é 
determinado pela maior soma m + n dos expoentes de x e y dos termos, em que c ≠ 0.
Vejamos um exemplo da definição de função polinomial de duas variáveis.Σxemρlo 7
O volume V de um cone reto é uma função do raio da base r e de sua altura h. 
Assim, V r h r h,� � � �
2
3
. Determine o grau desse polinômio, o domínio e a imagem 
dessa função.
O grau desse polinômio é igual a 3, pois somamos o grau de r e o grau de h (2 
+ 1 = 3).
Como o raio e a altura de um cone devem ser valores positivos, então D(V) = {(r, 
h) ∈ 2r > 0 e h > 0}.
A imagem de V é dada por z r h� �
2
3
, portanto Im(V) = (0, +∞).
Funções de múltiplas variáveis 15
Dessa forma, passamos a compreender o conceito de função de múltiplas va-
riáveis e a definição de domínio e imagem para essas funções. Também é possí-
vel perceber que agora temos mais possibilidades para modelarmos o mundo ao 
nosso redor.
1.1.1 Interpretação gráfica e curvas de nível 
Nesta subseção vamos trabalhar com um conceito muito útil em áreas da enge-
nharia e da cartografia chamado curva de nível de uma função. Para isso, definire-
mos o conceito de gráfico de uma função e na sequência trabalharemos com um 
tipo específico de gráfico, que nos mostra as curvas de nível de uma função f(x, y).
Definição 4
Suponha f uma função de duas variáveis reais. Essa função escrita na forma f:  2 → , terá como 
gráfico o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em ℝ3, sendo que (x, y) ∈2 é um ponto do domínio 
de f e z = f(x, y) ∈ é a imagem dessa função.
Dessa forma, o gráfico de f: R R�2 → é uma superfície que representa o conjun-
to de todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional.
Σxemρlo 8 
Seja a função de um paraboloide elíptico com a = b = 1, podemos escrever essa 
função na forma f(x, y) = x2 + y2, com f(x, y) ∈ ℝ.
Figura 7
Paraboloide f(x, y) = x² + y²
Fonte: Elaborada pela autora.
Como o domínio de f é um conjunto de pontos no plano xy e cada par ordena-
do (x, y) no domínio de f corresponde a um único valor de z, então nenhuma reta 
perpendicular ao plano xy pode interceptar o gráfico de f em mais de um ponto.
Atrelado a esse conceito, surge a definição de curva de nível. Uma curva de nível 
é obtida com a interseção de um plano paralelo ao plano xy em determinado valor 
de z. Assim, cada curva de nível pode ser expressa por f(x, y) = c, em que c ∈ ℝ. 
16 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Entendemos que, com esse processo, estamos identificando valores do conjunto 
imagem da função f.
Observe o gráfico a seguir com algumas curvas de nível do paraboloide do 
exemplo anterior.
Figura 8
Curvas de nível de ƒ
Fonte: Elaborada pela autora.
Acompanhe mais um exemplo sobre a representação gráfica de uma função de 
duas variáveis e suas curvas de nível.
Σxemρlo 9
A função g x y
(sen(x seny))
(xy)
,� � � � possui domínio D(g) = {(x, y) ∈ ℝ2 | xy ≠ 0}. O gráfico 
para essa função e as curvas de nível serão dados conforme as figuras a seguir.
Figura 9
Gráfico da função �g x y
(sen(x seny))
(xy)
,� � � �
Fonte: Elaborada pela autora.
Curvas de nível para
 • z = –0,2;
 • z = –0,1;
 • z = 0,1;
 • z = 0,2.
Quando temos uma função 
de três variáveis reais a va-
lores reais, f :  3 → , tal 
que f x, y,z = w� � teremos o 
que chamamos de superfície 
de nível. Para entender 
mais sobre esse conceito, 
sugerimos o material do 
Projeto Newton da Univer-
sidade Federal do Pará, que 
trata desse tema, dentre 
os assuntos relacionados 
aos gráficos de funções de 
múltiplas variáveis.
Disponível em: https://aedmoodle.
ufpa.br/pluginfile.php/326997/
mod_resource/content/0/Aula%20
09%20-%20Gr%C3%A1fico%20
de%20fun%C3%A7%C3%B5es%20
de%20duas%20vari%C3%A1veis.pdf. 
Acesso em: 11 mar. 2021.
Leitura
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 17
Figura 10
Curvas de nível, vista superior
Figura 11
Curvas de nível, vista inferior
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que podemos entender as curvas de nível como a projeção do gráfico da 
função sobre o plano xy. Vamos, na sequência, trazer aplicações com o uso das 
curvas de nível para funções na forma f(x, y).
1.1.2 Algumas aplicações
Vamos trazer algumas aplicações de funções de múltiplas variáveis usando o 
conceito gráfico e as curvas de nível.
Essas funções podem ser usadas para indicar a temperatura em uma placa. 
Seja z = T(x, y) uma função que representa a temperatura em cada ponto de uma 
região plana. Nesse caso, as curvas de nível dessa função representam pontos de 
igual temperatura.
É comum que essas regiões sejam representadas por uma paleta de cores (le-
genda) de acordo com a temperatura. Assim, curvas de mesma cor são chamadas 
de isotermas (mesma temperatura).
No artigo Escoamento de ar através de embalagens de polpa de frutas em caixas comerciais: efei-
tos sobre os perfis de velocidade em túneis de congelamento, dos autores Jaime Vilela de Resende, 
Lincoln de Camargo Neves Filho e Vivaldo Silveira Jr., publicado em 2002 na Revista Ciência e 
Tecnologia de Alimentos, você pode observar algumas imagens de curvas isotermas.
Acesso em: 11 mar. 2021. 
https://www.scielo.br/pdf/cta/v22n2/a14v22n2.pdf
Artigo
Também podemos encontrar as curvas de nível na cartografia. A ideia é ma-
pear as alturas de cada terreno e representá-las por meio de curvas no plano xy, 
como mostra a Figura 12.
18 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 12
Representação de curvas no plano xy
Ro
m
ar
y/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
O artigo Uso de césio-137 para avaliar as taxas de erosão em cultura de soja, café e pastagem, 
de Andrello, Appoloni e Guimarães, publicado na Revista Brasileira de Ciência do Solo em 
2003, traz uma imagem bem interessante do uso das curvas de nível na área topográfica para 
análise de solo.
Acesso em: 11 mar. 2021. 
https://www.scielo.br/pdf/rbcs/v27n2/16223.pdf
Artigo
Ainda, podemos encontrar curvas de nível sendo aplicadas a funções de ruptura 
de concreto e de potencial elétrico. Muitos outros exemplos poderiam ser dados 
nesta seção, mas vamos tratar agora de outras ferramentas importantes para a 
análise de funções de múltiplas variáveis.
1.2 Limites de funções de múltiplas variáveis 
Vídeo Assim como estudamos o limite de uma função de uma variável e entendemos 
que esse tipo de estudo é essencial para que possamos entender o comportamen-
to de uma função, principalmente em pontos que não pertencem ao domínio dela, 
nesta seção traremos a definição e alguns exemplos sobre o limite de uma função 
de duas variáveis.
Lembre-se de que estamos dando um enfoque maior nas funções de duas va-
riáveis pela possibilidade de representação geométrica, mas os conceitos desenvol-
vidos podem ser extrapolados para funções de múltiplas variáveis.
Definição 5
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). 
Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) → (a, b) é L e escrevemos
lim
x y a b
f x y L
, ,
,
� � �� �
� ��
Se para todo ε > 0� existe um número correspondente δ > 0 tal que se (x, y) ∈ D e 
0
2 2
 x a y b � �� � � �� � � � , então |f(x, y) – L| < ε (GUIDORIZZI, 2018, p. 170).
Funções de múltiplas variáveis 19
Figura 13
Representação gráfica para a definição de limite
L – ε L L + ε
Fonte: Elaborada pela autora.
Quando trabalhamos com funções de uma variável e x → a, só existem duas 
direções possíveis de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Sabemos que:
se lim lim lim
x� �a x� �a x� �a
f x f x � f x �
� � � � �
� � � � � � � �
Já para as funções de duas variáveis existem infinitas maneiras de (x, y) se apro-
ximar de (a, b). Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de aproximação ao 
longo dos quais f(x, y) tenha limites diferentes, então � f x y
x y � � a b
lim ,
, ,� ��� �
� � . A seguir, 
exemplificaremos como calcular o limite de uma função de duas variáveis.
Σxemρlo 10
Calcule o limite da função f x y x � �y
x � �y
,� � � �
�
2 2
2 2
 quando (x, y) tende a (0, 0).
Solução
Temos que calcular lim ,
, , , ,x y a b x y
f x y lim x � �y
x � �y
�
� ��� � � ��� �
� � � �
�0 0
2 2
2 2
.
Para isso, vamos usar a ideia de caminhos diferentes que possam nos levar a re-
sultadosdiferentes. Se isso se confirmar, saberemos que o limite não existe. Caso 
contrário, precisaremos usar outro tipo de ferramenta de verificação ou escolher 
outro caminho.
Para auxiliar na escolha desses caminhos, vamos analisar rapidamente o gráfico 
da função.
Figura 14
Gráfico de f x y x � �y
x � �y
,� � � �
�
2 2
2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
(Continua)
20 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Pelo gráfico, notamos que a função não está bem definida no ponto (0, 0), jus-
tamente o ponto em que desejamos calcular o limite. Desse modo, não é possível 
determinar o limite por uma substituição direta, e adotaremos dois caminhos dife-
rentes na tentativa de concluirmos que o limite não existe na origem do sistema.
Uma das maneiras de escolher esses caminhos é justamente optar por regiões 
que apresentem “problema” no domínio, por exemplo em x = 0 e y = 0, pois x2 + 
y2 ≠ 0.
Assim, fazemos:
 • y = 0
lim , � lim
, , , ,x � � x � � x� �
f x �y lim x
x0 0 0 0 0 0
2
2 0
0
0� ��� � � ��� � �
� � � �
�
� ��x
x
�
2
2
1�
 • x = 0
lim , lim
, , , ,0 0 0 0 0 0
2
2 0
0
0y � � y � � y� �
f x �y lim y
y� ��� � � ��� � �
� � � �
�
�
�yy
y
�
2
2
1� �
Portanto, dois caminhos diferentes nos levam a limites diferentes. Dessa manei-
ra, o limite da função f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0) não existe.
Acompanhe mais um exemplo do cálculo de limite de uma função de duas 
variáveis.
Σxemρlo 11
Calcule o limite de g x y x y
x � � y
,� � �
�
3
7 7
2
2 4
, para (x, y) → (0, 0).
Observe que nessa função precisamos tomar cuidado com o valor para (x, y) de 
maneira que o denominador seja diferente de zero, ou seja, 7x2 + 7y4 ≠ 0.
Figura 15
Gráfico da função g x y x y
x � � y
,� � �
�
3
7 7
2
2 4
Fonte: Elaborada pela autora.
Escolher os caminhos x = 0 e y = 0 pode ser uma opção simples. Contudo, ao 
adotarmos esses dois caminhos, recairemos em dois limites com o mesmo resul-
(Continua)
Funções de múltiplas variáveis 21
tado lim � � lim
y x� y
 e 
x �� �
� �
�
�
��
�
�
��0 4 0 2
0
7
0 0
7
0 . Percebemos esse padrão observando a Figura 15, 
na qual, no ponto (0,0), há uma intersecção desses caminhos exatamente na ori-
gem. Portanto, precisaremos optar por outra forma de resolução.
Nesse caso, sugerimos mais uma verificação utilizando outros dois caminhos. 
Usaremos:
 • y = kx
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
lim lim
, , , ,x kx x kx
x kx
x kx
kx
x k� ��� � � ��� �
� �
� � �
�
�0 0
2
2 4 0 0
3
2
3
7 7
3
7 7 44 4x
 �
� �
�� �� ��� �
lim
, ,x kx
x kx
x k x0 0
2
2 4 2
3
7 7
 �
� �
�� �
�
� ��� �
lim
, ,x kx
kx
k x0 0 4 2
3
7 1
0
 • y = x2
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
lim lim
, , , ,x x x x
x x
x x2 0 0
2 2
2 2 4 2 0 0
43
7 7
3
7�
�
�
�
�
��� � �
�
�
�
�
��� �� � �
�
x
xx x x2 8 2 0 0
2 2
2 67
3
7 1�
�
� �
�� ���� ����� �x
x x
x x
lim
, ,
 �
�� �
�
�
�
�
�
�
��� �
lim
, ,x x2 0 0
2
6
3
7 1
0x
x
Note que os dois caminhos nos levam a lim ,
, ,x y
g x y
� ��� �
� � �
0 0
0 . Portanto, essa 
opção também não nos garante um resultado. Essa análise nos leva a suspeitar 
que o limite existe para esse ponto. Assim, faremos:
Seja lim
, ,x y � �
x y
x � � y� ��� � �0 0
2
2 4
3
7 7
, logo g x y x y
x � �y
,� � �
�
�
�
��
�
�
��
3
7
2
2 4
. Agora, seja ε > 0, queremos 
encontrar um δ > 0 tal que, se
0 3
7
2 4� � � �x y � � 3
7 7
0
2
2 4
x y
x � � y�
� � �
Ou seja:
0 3
7
2 4� � �x y � ⇒ 
3
7 7
2
2 4
x y
x � y��
� �
Uma vez que y2 e y4 são estritamente positivos, temos que:
x x +y
x x y
x
x � �y
2 2 4�
� � � � �� �
�
�
�
�
��
�
�
�� �
3
7
3
7
3
7
3
7
2 2 4
2
2 4
(Continua)
22 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Nesse momento, precisamos fazer com que o numerador seja 3x²y. Contudo, é 
necessário que o produto y(3x²) não modifique o sinal da fração 3
2
2 4
x
x y+
. Para isso 
usaremos |y|.
Dessa forma, se y x
x � �y
3
7
2
2 4
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
, então teremos que:
3
7
3
7
2
2 4
�.
x y
x y
y
�
�
Portanto,
3
7
3
7
3
7
2 2 4y y x y� � �
Pelo Teorema do Confronto:
3
7 7
3
7
2
2 4
2 4x y
x y
x y
�
� �
�� �
� �� �� � �� ��
entre 0 e 
Se escolhermos um delta tal que � �� 7
3
 e fizermos 0 3
7
2 4� � �x y �,�teremos:
3
7 7
0 3
7
3
7
3
7
7
3
2
2 4
2 4x y
x y
x y
�
� � � � � �� � �.
Portanto, pela Definição 5:
lim
, ,x y
x y
x y� ��� � �
�
0 0
2
2 4
3
7 7
0
No caso de precisarmos calcular o limite de funções contínuas de duas ou mais 
variáveis, podemos proceder da mesma forma que fazemos para funções de uma 
variável, por meio de substituições diretas.
Vemos que o processo de cálculo para as funções de uma e de múltiplas va-
riáveis é semelhante, mas agora precisamos analisar os caminhos pelos quais po-
demos nos aproximar do valor para o qual queremos encontrar o limite de uma 
determinada função.
1.3 Continuidade de funções 
Vídeo No processo para determinar o limite de uma função de múltiplas variáveis, é 
intuitivo pensarmos se essa função é contínua nesses pontos.
Nas funções de uma variável procuramos se a curva possui “furos” ou “saltos”. 
Nas funções de múltiplas variáveis, exemplificando com o uso de uma função de 
duas variáveis reais, f(x, y), analisaremos se a superfície possui esses mesmos “fu-
ros” ou “saltos/rachaduras” de uma região para outra. Para isso, definimos:
Para reforçar esse con-
teúdo, sugerimos dois 
vídeos do canal UNIVESP. O 
primeiro, ministrado pelos 
professores Samuel Rocha 
de Oliveira e Adolfo Maia 
Jr., traz a parte teórica com 
exemplos. Já no segundo 
vídeo, a professora Martha 
Salermo Monteiro, do 
Instituto de Matemática e 
Estatística da USP, fala das 
curvas em que o limite é 
igual a zero, das curvas de 
limite diferente de zero e do 
teorema para provar que o 
limite da função não existe.
Cálculo II - Aula 4 - Limites e 
Continuidade de Funções de Várias 
Variáveis com Valores Re. Disponível 
em: https://youtu.be/mcPWBJt08XM. 
Acesso em: 27 jan. 2021.
Cálculo II - Aula 6 - Parte 1 - Continui-
dade e cálculo de limites de funções 
de duas variá. Disponível em: https://
youtu.be/8CPS8DjxvZY. Acesso em: 
27 jan. 2021.
Vídeo
Funções de múltiplas variáveis 23
Definição 6
Uma função z = f(x, y) é contínua em um ponto P
0
 = (x
0
, y
0
) se
lim , ,
, ,x y � � x y
f x y f x y
� ��� �
� � � � �
0 0
0 0
Note que a definição é muito semelhante àquela de continuidade para funções 
de uma variável, inclusive visualmente.
Vamos relembrar o Exemplo 10, da função f x y x � �y
x � �y
, .� � � �
�
2 2
2 2
 Vimos que essa fun-
ção tem problemas na origem e que o limite no ponto (0, 0) não existe. Ou seja, essa 
função não é contínua na origem, pois � lim
, ,x y �
x � �y
x � �y� ��� �
�
�0 0
2 2
2 2
.
Agora, observe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 12
Seja a função h(x, y) uma função por partes dada por:
h x y
x y �se x y { x y |x y
se x y {
,
,� � , , �� }
� ,�� ,
� � �
� � �� � � � �
� ��
2 2 2 2 9
9 xx y |x y, �� }� � � �
�
�
�
��
2 2 9
Quando olhamos para x2 + y2 = 9, temos a equação de uma circunferência cen-
trada na origem e de raio 3. Portanto, temos que essa função vale x2 + y2 quando 
olhamos para todos os pontos no interior dessa circunferência e no seu aro, e que h 
vale 9 para os pontos fora dessa circunferência. Graficamente a função h é da forma:
Figura 16
Gráfico da função h(x, y)
Fonte: Elaborada pela autora.
Analisando essa função graficamente, vemos que ela não tem “furos” e nem 
“rachaduras”.
Ao calcularmos o limite de h(x, y) para (x, y) → (3, 3), encontramos que por qual-
quer caminho obteremos o limite igual a 9. Portanto, essa função é contínua, pois:
lim , ,
, ,x y
h x y f
� ��� �
� � � � � �
3 3
3 3 9
24 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Desafio
Analise a função
g x y
x y se x y { x y |�x y
�se x y {
,
,�� � , , }
� ,� � ,
� � �
� � �� � � � �
� ��
2 2 2 2 9
1 xx y |x y, � }� � � �
�
�
�
��
2 2 9 ,
semelhante à h(x, y),e discuta se ela é contínua no ponto (3, 3).
Figura 17
Gráfico de g x y,� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Todas as funções estudadas até esse ponto são funções de múltiplas variáveis 
reais a valores reais. Dentro desse contexto demos prioridade às funções f: ℝ2 → ℝ.
Veremos na sequência uma inversão nessa proposta. Trabalharemos com fun-
ções de uma variável real a valores em ℝn, que podem ser escritas como f: A → ℝn, 
em que A ⊂ ℝ. Tais funções são também chamadas de funções vetoriais. Focaremos 
nas funções f: ℝ → ℝ3.
1.4 Funções vetoriais
Vídeo Para entendermos as chamadas funções vetoriais, trazemos como ponto de par-
tida duas definições sobre o mesmo conceito, de dois matemáticos e autores reno-
mados na área do cálculo multivariável.
Definição 7
“Uma função vetorial, ou função a valores vetoriais, é uma função cujo domínio é um conjunto de 
números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores” (STEWART, 2017, p. 779).
Definição 8
“Uma função de uma variável real a valores em ℝ3 é uma função de F: A→ ℝ3, onde A é um subcon-
junto de ℝ. Uma tal função associa, a cada t ∈ A, um único vetor F (t) ∈ ℝ3. A imagem ou trajetória 
de F é o lugar geométrico, em ℝ3, descrito por F (t), quando t varia em D
F
” (GUIDORIZZI, 2018, p. 116). 
Funções de múltiplas variáveis 25
Para entendermos o conceito geométrico da Definição 8, vamos assumir fun-
ções em que seus valores são vetores tridimensionais, ou seja,� :

r D → 3, com D ⊆ 
 sendo o domínio da função.
Assumindo t ∈ ℝ um valor no domínio de 

r, podemos escrever que existe um úni-
co vetor de ℝ3, denotado por 

r t� �, tal que f(t), g(t) e h(t) são as componentes de r t� �.
Assim, f, g e h são funções a valores reais chamadas funções componentes de 

r e 
são escritas, em coordenadas cartesianas, como:

 

r t f t i� g t j h t k f t �g t �h t� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �, ,
Figura 18
Vetor 

r t� �
Fonte: Elaborada pela autora.
Seja t uma variável para o tempo, podemos interpretar a expressão 

 

r t f t i� g t j h t k f t �g t �h t� � � � � � � � � � � � � � � � � �� �, , como o vetor que parte da origem do 
plano cartesiano tridimensional e aponta na direção de P = (f(t), g(t), h(t)).
Assim, se imaginarmos uma partícula que se move por meio da expressão pa-
ramétrica 

r t sent, cost, t� � � � �, então, para t ∈ ℝ, teremos que o caminho percorrido 
por tal partícula será a curva C, que dependerá do tempo t. Essa curva pode ser 
observada na figura a seguir.
Figura 19
Gráfico da função 

r t sent, cost, t� � � � �
Fonte: Elaborada pela autora.
26 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Então, todos os pontos (x, y, z) que formam a curva C, com
x = f(t), y = g(t) e z = h(t) (1)
e t variando em um intervalo aberto conhecido I, são chamados de curva espacial.
As expressões em (1) também são chamadas de representação paramétrica para 
a curva C, em que t é o parâmetro adotado.
Σxemρlo 13
A curva C para a função vetorial 

r t t sent t� � � �� �ln , ,1 , no intervalo I  =  [0,  2π], 
pode ser observada na figura a seguir.
Figura 20
Curva C para 

r t t sent t� � � �� �ln , ,1
Fonte: Elaborada pela autora.
Esses caminhos (curvas) serão modelados por meio da teoria de funções veto-
riais que estamos aprendendo neste capítulo.
Seja a curva D, modelada por:
D �r t sen t t� i sen t sent�j t�k: cos cos

 

� � � �� � � �� � �5 20 5 20 20
no intervalo [0, π].
Figura 21
Modelagem da curva D
Fonte: Elaborada pela autora.
Funções de múltiplas variáveis 27
Essa curva paramétrica ou função vetorial apresentada para a curva D pode ser 
usada para modelar o reflexo de espelho de feixes de elétrons.
As propriedades para funções vetoriais são semelhantes àquelas para funções 
de uma variável. Assim, sejam  r �s n, :  → , f: ℝ → ℝ e k ∈ ℝ, teremos:
1.      r s t r t s t r s n�� �� � � � � � � � � �� � �:  
2. kr t kr t kr n
  � � � � �� � � � � �:  
3. f r t f t r t f r n· · · :
  � �� � � � � � � � � � � 
4. 
     
r s t r t s t r s�� �� � � � � � � � � �� � �:  
Assumindo 

r t f t g t h tr r r� � � � � � � � �� �, , e 

s t f t g t h ts s s� � � � � � � � �� �, , , teremos 
 
r t s t f t f t g t g t h t h tr s r s r s� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. . .
5.      r s t r t s t r s n�� �� � � � � � � � � �� � �:  
Se n = 3, 

r t f t g t h tr r r� � � � � � � � �� �, , e 

s t f t g t h ts s s� � � � � � � � �� �, , ,
teremos  r s�� � �:  3
   
 

r s t r t s t
i j k
f t g t h t
f t g t h t
r r r
s s s
�� �� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � ��
O limite de uma função vetorial 

r é dado por:
Definição 9
Se 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � , então:
 lim lim
t� �a t� �a
r t f t i g t j h t k
� �
� � � � � � � � � � �
 

se existir os limites de f, g e h com t → a.
Note que os limites de funções vetoriais recaem nas mesmas regras existentes 
para os limites de funções reais. Portanto, uma função vetorial será contínua se:
lim
t� �a
r t r a
�
� � � � � 
Σxemρlo 14
Calcule o limite de 
 

r t t i e j t sent kt� � � � �3 2· para t = 0 e verifique se 

r t� � é contí-
nua nesse ponto.
Solução
lim lim ·
t� � t� �
tr t t i e j t sent k
� �
� � � � �
0 0
3 2  

 lim lim lim ·
t� � t� � t� �
t
t� �
r t t i lim e j t sent
� � � �
� � � � �
0 0
3
0 0
2  

kk
 lim
t� �
r t
�
� � � � � �
0
0 1 0 1

Portanto, o limite de 

r t� � quando t tende a zero é igual a 1.
As curvas paramétricas tri-
dimensionais em função do 
tempo são muito úteis para 
descrever o movimento de 
partículas. No link a seguir 
é possível acompanhar 
diversos resultados obtidos 
com a análise de partículas 
em feixes de elétrons, 
movimento de elétrons em 
campos elétricos, reflexos 
de espelho em feixes de 
elétrons, dentre outros.
Disponível em: http://www.physics.
ucla.edu/plasma-exp/Beam/. Acesso 
em: 11 mar. 2021.
Site
A Propriedade 5 exige que 
lembremos o produto 
vetorial, em geral visto nas 
disciplinas de Geometria 
Analítica e Álgebra Linear. 
Para recordar esse concei-
to, sugerimos o material do 
REAMAT-UFRGS (Recursos 
Educacionais Abertos de 
Matemática). Nele você 
poderá não só recordar 
o conceito de produto 
vetorial, mas também 
acompanhar diversos 
exemplos resolvidos.
Disponível em: https://www.ufrgs.br/
reamat/Calculo/livro-cfvv/xv-o_pro-
duto_vetorial.html. Acesso em: 11 
mar. 2021.
Leitura
28 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A derivada de uma função vetorial 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é definida por:


 
r t dr
dt
t
r t h r t
h
'
t� �
� � � � � �
�� � � � �� �
�
lim
0
Dizemos que 

r t� � é derivável (diferenciável) em t = t0 quando 

r' t0� � existe.
Definição 10
Uma função vetorial é derivável quando suas funções componentes são todas deriváveis.
Assim, se 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é derivável, então:

 

r' t f t ' i g t 'j h t 'k� � � � � � � � � � �
Adotando uma função vetorial da forma f: U → ℝn, tal que U é um subconjunto 
de ℝm, de acordo com Lima (2011, p. 2): “diz-se que uma aplicação f: U → ℝn é dife-
renciável no ponto x ∈ U quando existe uma transformação linear T: ℝm → ℝn tal 
que f(x + h) = f(x) + T · h + r(h), com lim
h
r h
h�
� �
�
0
0”.
Note que as regras de derivação para funções reais podem ser aplicadas às 
funções vetoriais.
A interpretação geométrica para a derivada de uma função vetorial será de-
senvolvida assumindo que 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � é um vetor posição de uma 
partícula em movimento no espaço tridimensional. Assim, derivar 

r t� � é encontrar 
o vetor velocidade para a mesma partícula em relação a um ponto t = t0. Também 
podemos interpretar essa derivada como um vetor tangente à trajetória espacial 
descrita pela partícula em cada instante do tempo t.
Já a segunda derivada, 

r'' t� �, nesse caso, pode ser compreendidacomo a acele-
ração da partícula em t.
Σxemρlo 15
Seja 

r t t sent � t� � � � �2, , cos . Calcule �dr�dt

 e �d r�
dt
2
2

.
Solução
As derivadas de 

r t t sent � t� � � � �2, , cos são:
 • �dr�
dt
t t � sent

� �� �2 ,cos ,
 • �d r�
dt
sent � t
2
2
2

� � �� �, , cos
Funções de múltiplas variáveis 29
Por fim, falaremos das integrais de funções vetoriais, que seguem as mesmas 
metodologias adotadas para os limites e derivadas de funções vetoriais. Assim, 
para calcular a integral de uma função vetorial, precisamos calcular as integrais de 
suas componentes, desde que essas integrais existam.
Desse modo, seja 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � uma função vetorial, então:
� � � � � � � � � � � � �� � � � � �    r t dt f t i g t j h t k dt R t C
em que 

R t� � é uma primitiva de r t� �.
Podemos calcular integrais de funções vetoriais definidas em um intervalo [a, b] 
seguindo o mesmo princípio enunciado. Com isso, teremos:
a
b
r t dt R b R a� � � � � � � � �

 
Sendo, 

 

r t f t i g t j h t k� � � � � � � � � � � , então:
a
b
a
b
a
b
a
b
r t dt f t dt i g t dt j h t� � � �� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
 
ddt k
�
�
�
�
�
�
�
�

Vejamos como esse cálculo é feito na prática.
Σxemρlo 16
Seja 

r t t sent � t� � � � �2, , cos . Calcule 
�
�2
� � �

r t dt
Solução
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2
2 2 3 2
3� � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�

r t dt t dt sentdt tdt t, � , cos � ��
�
�
�
�,� cos � ,� ��
�
�
��
�
�
��t sent
2 2
�
�
� � � � � �
2
3 37
3
2 2 7
3� � � � � �� � �� �
�
�
�
�
�
� �

r t dt sen sen,� cos cos ,� ,����
�
�
�
�
�2 0,�
Dessa maneira, percebemos que as funções vetoriais podem ser calculadas 
com propriedades semelhantes àquelas para funções reais, tendo na sua in-
terpretação geométrica a maior diferença entre essas teorias. O conceito de 
função vetorial é expressivamente usado na física e nas engenharias como um 
todo. Por esse motivo, também é um conceito importante no estudo de diver-
sos teoremas que embasam o cálculo de funções de múltiplas variáveis, os 
quais podem ser encontrados nos materiais de cálculo para funções multiva-
riadas, bem como nas obras de engenharia elétrica, ambiental, de estruturas, 
dentre outras.
30 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS 
Vimos neste capítulo conceitos do cálculo para funções de múltiplas variáveis que 
são base para muitas definições da matemática avançada e peça-chave para resolver 
problemas aplicados em diversas áreas do conhecimento.
Com as funções de múltiplas variáveis e as teorias relacionadas a esse tema, con-
seguimos compreender o comportamento de planos, hiperplanos e superfícies, que 
servem de modelo para nosso mundo real.
O estudo da matemática avançada está só começando. Indicamos que as suges-
tões de leitura, vídeos e demais materiais neste capítulo sejam contempladas e, se 
possível, que os exemplos sejam refeitos para auxiliar na compreensão e na fixação 
do conteúdo.
Desejamos um ótimo estudo!
ATIVIDADES
1. Seja uma função de duas variáveis na forma f x, y =
1
x - y2 2
� � .
A imagem para essa função será Im(f)  =  ℝ  –  {0} e as curvas de nível serão 
f x, y = 1
x - y
= c
2 2� � , com c ≠ 0. Organizando essa expressão, podemos dizer que 
as curvas de nível serão hipérboles? Justifique sua resposta.
2. Seja uma função f(x, y) tal que f(0, 0) = 2. O fato de que f(0, 0) = 2 nos permite 
concluir que existe lim f x, y
x, y 0,0� ��� �
� � ? Justifique sua resposta.
3. Sabendo que 

r t� � é uma função vetorial com três componentes, f(t), g(t) 
e h(t), então se queremos calcular lim r t
t �
� �
0

 teremos que determinar 
lim f t lim g t lim h t
t t t� � �
� � � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0
, , Se o limite em um desses componentes não existir, 
podemos afirmar que o lim r t
t �
� �
0
 também não existe? Justifique.
REFERÊNCIAS 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 2.
LIMA, E. L. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. [Publicações matemáticas]
Vídeo
Derivadas parciais 31
2
Derivadas parciais
Quando trabalhamos com funções de uma variável, pensamos na derivada 
como a inclinação da reta tangente a um determinado ponto do gráfico da 
função. Porém, as funções que trabalharemos neste capítulo são funções de 
duas variáveis ou mais, ou seja, não temos mais uma única curva, mas sim uma 
superfície, uma hiperfície. Os valores para z dependem dos valores de (x, y).
Assim, usaremos o processo que consiste em fixar uma dessas variáveis 
como uma constante e derivar em função das variáveis restantes. Dessa forma, 
procuramos a inclinação de uma reta tangente sobre uma curva da superfície 
da função, paralela a um dos eixos coordenados.
Vamos entender esses processos e nos divertir com as representações 
geométricas dessa importante teoria do cálculo diferencial para funções de 
múltiplas variáveis.
2.1 Derivadas parciais
Vídeo Neste capítulo trabalharemos com funções de duas variáveis ou mais, ou seja, 
não teremos apenas uma curva e sim uma superfície ou uma hiperfície para ser 
avaliada.
De acordo com a obra Variedades diferenciáveis, do saudoso professor Elon Lages 
Lima, um dos matemáticos brasileiros mais importantes da nossa época, uma hiper-
fície está definida como sendo um conjunto M contido no espaço  n+1. Localmente, 
esse conjunto pode ser representado por meio de um gráfico de função real de n 
variáveis (LIMA, 2011).
Quando n = 1, temos uma hiperfície de  2 chamada comumente de curva; 
quando n = 2, temos uma hiperfície  3 conhecida por superfície – é nesse tipo de 
hiperfície que residirá a maior parte dos exemplos deste capítulo.
Vamos entender esse processo e interpretação geométrica para, na sequência, 
trabalharmos com a definição algébrica e os processos de cálculo.
2.1.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais
Para funções de múltiplas variáveis, vamos derivar em relação a cada uma das 
variáveis que compõem a função, fazendo com que as demais sejam fixadas como 
constantes. Sendo assim, se temos uma função f(x, y), calcularemos uma derivada 
em relação a x (com y constante, ou seja y = y0), que será denotada por 
∂
∂
f
x
, e uma 
derivada em relação a y (com x constante, ou seja, x = x0), denotada por 
∂
∂
f
y
.
32 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Temos com isso a derivada parcial da função f em relação a x � f
x
, ∂
∂
  , que toma 
como constante a variável y = y0. Assumiremos que a superfície z = f(x, y) será in-
terceptada por um plano paralelo ao eixo x, passando por A = (x0, y0, f(x0, y0)), como 
apresentado na figura a seguir.
Figura 1
Superfície z = f(x, y) interceptada por um plano paralelo a x
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, ∂
∂
f
x
 será a inclinação da reta tangente à curva C no ponto A = (x0, y0, 
f(x0, y0)).
Figura 2
Reta tangente à curva C
Fonte: Elaborada pela autora.
Já a derivada parcial da função f em relação a y � f
y
, ∂
∂
 toma como constante a va-
riável x = x0. Assumiremos, agora, que a superfície z = f(x, y) será interceptada por 
um plano paralelo ao eixo y, passando por A. Nesse caso, ∂
∂
f
y
 será a inclinação da 
reta tangente à curva D no ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)).
Derivadas parciais 33
Figura 3
Reta tangente à curva D
Fonte: Elaborada pela autora.
Com isso, temos as derivadas parciais em relação a x e em relação a y para uma 
função f(x, y) em um ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)).
�
�
� � � �� � � � �
�
f
x
x y
f x x y f x y
xx0 0 0
0 0 0 0, lim
, ,
�
�
�
�
�
� � � �� � � � �
�
f
y
x y
f x y y f x y
yy0 0 0
0 0 0 0, lim
, ,
�
�
�
Os processos para encontrar as derivadas parciais para funções com mais do 
que duas variáveis são análogos.
2.1.2 Interpretação algébrica
A interpretação geométrica nos ajuda a entender as expressões algébricas que 
utilizamosquando realizamos os cálculos ou provamos alguma teoria. Nesse sen-
tido, vimos a interpretação para as derivadas parciais de uma função composta 
por duas variáveis. Veremos, agora, o contexto algébrico que permite a existência 
dessa estrutura geométrica.
Definição 1
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções ∂
∂
f
x
 e ∂
∂
f
y
 e são definidas por
�
�
� � �
�� � � � �
�
f
x
x y
f x x y f x y
xx
, lim
, ,
�
�
�0
�
�
� � �
�� � � � �
�
f
y
x y
f x y y f x y
yy
, lim
, ,
�
�
�0
em que �
�
� �f
x
x y, é a derivada parcial em relação a x e �
�
� �f
y
x y, é a derivada parcial em relação a y 
(STEWART, 2017).
Portanto, para que exista a derivada parcial em um ponto, é necessário que o 
limite exista nesse ponto.
Para manipular esse 
processo geométrico, 
sugerimos os links a seguir. 
No primeiro, a autora Ana 
Breda criou uma superfície 
por meio da função f(x, 
y) = 4 – x2 – y2 e deixou a 
derivada parcial em relação 
a x interativa, mostrando o 
ponto A de maneira móvel 
e o plano que consequente-
mente intercepta f.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/cfSgMJMf. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Isso também é feito para a 
derivada parcial em relação 
a y, disponível neste link.
Disponível em: https://www.geogebra.
org/m/FZwd9Dhp. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Sites
34 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 1
Seja a função f:  2 →  , com f x y x y,� � � �2 2 . Calcule as derivadas parciais de 
f no ponto (0, 0), se existirem.
Solução
�
�
� � � �� � � � � � �
� � �
f
x
f x f
x
x
x
x
x x x
0 0
0 0 0 0
0 0
2
0
, lim
, ,
lim lim
� � �
�
�
�
�
�
��x
Assim, precisamos fazer:
lim
�
�
�x
x
x� �
�
0
1
lim
�
�
�x
x
x� �
� �
0
1
Como �
x
x
x
xx x
lim lim
�
�
�
�
��� � � �
�
0 0
, então �
x
xx
lim
�
�
��0
.
Com isso, não existe a derivada parcial de f em relação a x.
A derivada em relação a y nos levará ao mesmo resultado. Logo, também não 
existe a derivada parcial de f em relação a y.
Nesse caso, temos que a função possui um ponto crítico em (0, 0).
Figura 4
Gráfico da função f x y x y,� � � �2 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Notação: podemos denotar as derivadas parciais das formas:
• �
�
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � �
f
x
x y f x y f f
x
z
x
f D f D fx x x, , 1 1
• �
�
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � �
f
y
x y f x y f f
y
z
y
f D f D fy y y, , 2 2
�
�
� �f
x
x,y é a notação 
usada para a derivada 
de f(x, y) em relação a x, 
tomando y como constante 
(independente de x). Já 
a notação 
d
dx
f x,y� �� � é 
a notação usada para a 
derivada de f(x, y) tomando 
y como uma função de x 
(se nada contrário for dito) 
(GUIDORIZZI, 2018).
Importante
Derivadas parciais 35
Técnica:
1. Para encontrar fx, considere y como uma constante e derive f(x, y) em relação 
a x.
2. Para encontrar fy, considere x como uma constante e derive f(x, y) em relação 
a y.
Σxemρlo 2
Calcule as derivadas parciais das funções:
a) f(x, y) = x3 + y2 – 2xy
b) f(x, y, z) = x + y – z2 + 4
c) f(x, y) = sen xy + cos y
Solução
a) f(x, y) = x3 + y2 – 2xy
Fixando primeiro a variável y para calcularmos a derivada parcial de f em rela-
ção a x, temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y x y x y, 3 0 2 3 22 2
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, temos:
�
�
� � � � � � �f
y
x y y x y x, 0 2 2 2 2
b) f(x, y, z) = x + y – z2 + 4
Fixando primeiro as variáveis y e z para calcularmos �
�
� �f
x
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y z, , 1 0 0 0 1
Agora, fazendo x e z constantes para calcularmos �
�
� �f
y
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � �f
y
x y z, , 0 1 0 0 1
Por fim, tomando como constantes x e y para calcularmos �
�
� �f
z
x y z, , , temos:
�
�
� � � � � � � �f
z
x y z z z, , 0 0 2 0 2
c) f(x, y) = sen xy + cos y
Fixando primeiro a variável y para calcularmos a derivada parcial de f em rela-
ção a x, temos:
�
�
� � � � � � �f�
x
x y xy y y xy, cos ·� cos0
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, temos:
�
�
� � � � � � � �f
y
x y xy� � x seny x xy seny, cos �·� cos
A plataforma da Khan Aca-
demy traz, além de vídeos 
e atividades, alguns artigos 
sobre o tema da aula. Para 
auxiliar com as derivadas 
parciais, sugerimos o arti-
go intitulado Introdução às 
derivadas parciais. No link 
a seguir também será pos-
sível acessar alguns vídeos 
do canal 3Blue1Brown-
Clips e resolver pequenos 
testes sobre o conceito de 
derivada parcial.
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/multivariable-cal-
culus/multivariable-derivatives/
partial-derivative-and-gradient-arti-
cles/a/introduction-to-partial-deriva-
tives. Acesso em: 30 mar. 2021.
Site
(Continua)
36 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 5
Gráfico de f(x, y) = sen xy + cos y
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que na letra c do Exemplo 2 usamos a regra da cadeia para funções de 
uma variável.
Σxemρlo 3
Se f x y sen xy
x
,� � � ��
�
�
�
�
�
1 , calcule fx e fy.
Solução
Fixando primeiro a variável y para calcularmos fx, teremos:
f x y xy
x
y
x
y
x
xy
xx
, cos cos� � � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
1 1 1 1
2 2 ��
Agora, fazendo x constante para calcularmos a derivada parcial de f em relação 
a y, teremos:
f x y xy
x
x x xy
xy
, cos cos� � � ��
�
�
�
�
� � � � ��
�
�
�
�
�
1 1
Conhecendo tanto as particularidades geométricas quanto as algébricas das de-
rivadas parciais z = f(x, y), podemos expandir esse campo para as derivadas parciais 
de maior ordem. Veremos, na sequência, essa teoria.
2.1.3 Derivada de maior ordem
Considere uma função f:  2 →  da forma f(x, y).
Podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parciais, desde que o limi-
te exista. Assim, se f(x, y) = x2y5, podemos escrever:
Derivadas parciais 37
 • Derivadas parciais de primeira ordem:
�
�
� � � � � �f
x
x y f x y xx, , 2
�
�
� � � � � �f
y
x y f x y yy, , 5
4
 • Derivadas parciais de segunda ordem:
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
� � � � �� � � � � �x
f
x
x y f
x
x y f f x y f x yx x xx, , , ,
2
2
2
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
� �
� � � � �� � � � � �x
f
y
x y f
x y
x y f f x y f x yx y xy, , , ,
2
0
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
� �
� � � � �� � � � � �y
f
x
x y f
y x
x y f f x y f x yy x yx, , , ,
2
0
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
�
� � � � �� � � � � �y
f
y
x y f
y
x y f f x y f x y yy y yy, , , ,
2
2
320
Note que �
� �
� � � �
� �
� �
2 2f
x y
x y f
y x
x y, , . Isso não é uma coincidência, e a explicação 
para esse resultado está no teorema a seguir.
Teorema 1: Teorema de Clairaut
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). 
Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então fxy(a, b) = fyx(a, b) (STE-
WART, 2017).
Σxemρlo 4
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x3 + x2y4 – 3y2.
Solução
 • Derivadas de primeira ordem:
�
�
� �
f
x
x y x3 22 4
�
�
� �
f
y
x y y4 62 3
 • Derivadas de segunda ordem:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
46 2f
x x
f
x
x y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
2
2
2 212 6f
y y
f
y
x y
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
38f
x y x
f
y
y x
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
38f
y x y
f
x
y x
38 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Derivadas de ordem superior são calculadas derivando as derivadas parciais de 
ordens inferiores.
Σxemρlo 5
Seja a função g(x, y) = x5 + 3xy4 – 2yx7. Calcule gyxx.
Solução
Primeiro devemos derivar g em função de y, depois em função de x e, por fim, 
em função de x novamente.
Assim:
�
�
� �� � � �y x xy yx xy x
5 4 7 3 73 2 12 2
� �� �
�
� �
12 2
12 14
3 7
3 6
xy x
x
y x
Por fim:
� �� �
�
� �
12 14
84
3 6
5
y x
x
x
Vamos entender, na sequência, como podemos calcular a equação de um plano 
tangente a um ponto de uma superfície definida por uma função.
2.2 Plano tangente e diferenciabilidade
Vídeo Vamos supor que a superfície em azul naFigura 6, denotada por S, seja definida 
pela função f(x, y) = z. O ponto A = (x0, y0, z0) é um ponto de S e o plano α tangencia 
S em A.
Figura 6
Plano α tangente a f(x, y) em A.
Fonte: Elaborada pela autora.
Derivadas parciais 39
Note que duas retas estão contidas nesse plano e são retas tangentes à superfície 
S, passando pelo ponto A. Dessa forma, podemos dizer que a inclinação dessas retas 
é calculada por meio das derivadas parciais de f.
Portanto, se pudermos escrever uma equação genérica para o plano α na forma:
h(x, y) = ax+ by + c (1)
Teremos que:
 • A inclinação na direção do eixo x será:
a f
x
x y� �
�
� �0 0, (2)
 • A inclinação na direção do eixo y será:
b f
y
x y� �
�
� �� ,0 0 (3)
 • O ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)) satisfaz (1) 
Com isso, escrevemos:
h(x0, y0) = f(x0, y0) (4)
Substituindo as Equações (2) e (3) na Equação (1), obtemos:
h x y f
x
x y x f
y
x y y c, , ,� � � �
�
� � � �
�
� � �0 0 0 0 (5)
Agora, substituindo a Equação (4) na Equação (5) e isolando a constante c, temos:
c f x y f
x
x y x f
y
x y y� � � � �
�
� � � �
�
� �0 0 0 0 0 0 0 0, , , (6)
Por fim, substituindo a Equação (6) em (5), encontramos:
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0 (7)
Com isso, desde que o plano tangente a um ponto A = (x0, y0, f(x0, y0)) exista, ele 
poderá ser calculado por meio da Equação (7)
Σxemρlo 6
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z senxy ex y� � ���
2 2
1 no 
ponto A = (0, 0, 2).
Solução
O gráfico de z senxy ex � �y� � ���
2 2
1 é a superfície apresentada na figura a seguir.
(Continua)
40 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 7
Gráfico de z senxy ex y� � ��� � �
2 2
1
Fonte: Elaborada pela autora.
Usando a equação (7):
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
E fazendo:
g x f x sen x e sen e ex � � x x� � � � � � � � � � � � � � ��, �·�� �0 0 1 0 1 12 0 2 2
h y f y sen y e sen e e� �y y y� � � � � � � � � � � � � � ��0 0 1 0 1 10 2 2 2, �·�� �
Temos:
g x xe' x� � � 2 2 e � � � �h y yey2 2
Logo:
�
�
� � � � � � �
�
� � � � � ��f
x
g �� f
y
h'0 0 0 0 0 0 0 0, , , e f(0, 0) = 2
Com isso, a equação do plano tangente a z senxy ex � �y� � ���
2 2
1 no ponto A = (0, 
0, 2) será escrita como:
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
h x y x y,� � � � ��� �� � ��� ��2 0 0 0 0
h x y,� � � 2
Na Figura 8 é possível ver o plano tangente a z senxy ex � �y� � ���
2 2
1, ou seja, veri-
ficar a localização de h(x, y) = 2.
(Continua)
Derivadas parciais 41
Figura 8
Gráfico de h(x, y) = 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Definição 2
Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x, 
y) no ponto A = (x
0
, y
0
, f(x
0
, y
0
))
 
é dada por:
z – f(x
0
, y
0
) = f
x
(x
0
, y
0
)(x – x
0
) + f
y
(x
0
, y
0
)(y – y
0
)
Se o plano calculado pela Equação (7) existe e fornece uma “boa aproximação” 
para f(x, y) ao redor de (x0, y0), então dizemos que f é diferenciável nesse ponto.
O conceito de “boa aproximação” pode ser verificado por meio do limite. Portan-
to, teremos uma “boa aproximação” se:
lim
, , , ,
x x
y y
f x y f x y f
x
x y x x f
y
x y
�
�
� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� �
0
0
0 0 0 0 0 0 0 yy y
x y x y
��� ��
�
�
�
�
�
�
�� � � � �
�
0
0 0
0
,
(8)
em que |(x, y) – (x0, y0)| representa a distância de (x, y) a (x0, y0), que é dada por 
x x y y�� � � �� �0
2
0
2 .
A Equação (8) nos permite concluir que se (x, y) se aproxima de (x0, y0), a diferen-
ça entre f(x, y) e z = h(x, y) se aproximará mais rapidamente de zero.
Neste ponto, podemos tirar algumas conclusões importantes:
 • Toda função diferenciável é contínua, mas nem toda função contínua é 
diferenciável.
 • A existência de derivadas parciais não é suficiente para mostrar que uma 
função é diferenciável.
42 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Σxemρlo 7
Verifique se a função f(x, y) = |x| + |y| é diferenciável em (0,0).
Solução
Fazendo y = 0, obteremos z = |x| e, sendo assim:
� z
x
�
�
� �0 0,
pois os limites laterais são diferentes para x → 0.
Portanto, z não é diferenciável, poque uma das condições necessárias para se 
comprovar tal fato já não foi satisfeita.
Teorema 2
Se as derivadas parciais de uma função f(x, y) existirem em um conjunto aberto 
D contendo (x0, y0) e se forem contínuas em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).
Σxemρlo 8
Verifique se a função f(x, y) = sen xy é diferenciável.
Solução
Vamos verificar a existência e continuidade das derivadas parciais.
Assim:
�
�
� � � � �f
x
x y y xy, cos
�
�
� � � � �f
y�
x y x xy, cos
Note que as derivadas parciais são contínuas para todo (x, y) ∈  2, portanto a 
função f(x, y) = sen xy é diferenciável.
Agora que sabemos verificar se uma função de múltiplas variáveis é diferenciá-
vel, vamos aprender a regra da cadeia.
2.3 Regra da cadeia
Vídeo Quando trabalhamos com a regra da cadeia para derivadas, precisamos anali-
sar primeiro a quantidade de variáveis que as funções que compõem o problema 
possuem.
Conhecemos a regra da cadeia para derivadas quando aplicada às funções de 
uma variável. Veremos, a seguir, casos em que essa regra é aplicada para funções 
de múltiplas variáveis.
Derivadas parciais 43
Definição 3: Regra da cadeia para derivadas
Sejam as funções z = f(x, y), x = f(t) e y = g(t) diferenciáveis, ou seja, as suas derivadas parciais são 
contínuas. Então f(x, y) = z é uma função diferenciável de t e podemos escrever:
dz
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
�
�
�
�
�
�
Escrito em versão matricial, temos um produto escalar entre o vetor de deriva-
das parciais pelo vetor de derivadas de f. Assumindo 

v t
x t
y t
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, então:
dz
dt
f
x
f
dx
dt
dy
dt
f v t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � �
y
� �� ��
�
��
�
�
� �
� �� ��
�
v' t
Portanto, d
dt
f v t f v t v t
  � �� � � � � �� � � � �´ .
Acompanhe um exemplo de como calcular a derivada de uma função cujas va-
riáveis dependem de outra variável.
Σxemρlo 9
Seja a função f(x, y) = x2 – 2y, em que x = x(t) = t2 e y = y(t) = et. Calcule a derivada 
de f(t).
Solução
Para isso podemos fazer uma substituição da forma:
f t t � et� � � � � � � �2 2 2
Portanto,
�
�
� �
f
t
t et4 23
Podemos resolver esse mesmo exemplo de uma segunda maneira: calculamos, 
em primeiro lugar, a derivada de f(t) usando as derivadas parciais. Dessa forma, 
fazemos:
�
�
�
f
x
x2
�
�
� �
f
y
2
Precisamos ainda calcular dx
dt
 e dy
dt
 para podermos usar a regra da cadeia na 
forma:
df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
�
�
�
�
�
�
Para relembrar a regra da 
cadeia para funções de 
uma variável, sugerimos 
o vídeo da plataforma da 
Khan Academy intitulado 
Regra da Cadeia.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/ap-calculus-ab/
ab-differentiation-2-new/ab-3-1a/v/
chain-rule-introduction. Acesso em: 
18 fev. 2021.
Vídeo
Uma demonstração para a regra 
da cadeia para derivadas pode 
ser encontrada na página 840 do 
livro Cálculo, de Stewart (2017). 
STEWART, J. São Paulo: Cengage 
Learning, 2017. v. 2.
Leitura
(Continua)
44 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Portanto, dx
dt
t= 2 e dy
dt
et= .
Assim:
df
dt
x t e t t e t et t t� � � � �� � � � � � � �2 2 2 2 2 2 4 22 3
De maneira geral, para funções com mais de duas variáveis, f(x1, ..., xn), com 

v t x t x tn� � � � � � � �� �1 , , , podemos escrever a derivada de f em relação a t na forma:
df
dt
f
x
dx
dt
�
i
n
i
i�
�
�
�
�
1
(9)
Na forma matricial, podemos escrever:
d
dt
f v t
f
x
f
x
dx
n
f v t
�
�
� �� ��
�
� �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �� � �
1
1
ddt
dx
dt
n
v' t
�
� �� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
Definição 4:
Seja z = f(x, y), com x = g(s, t) e y = h(s,t), uma função diferenciável com x e y também diferenciáveis. 
Então:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
s
z
x
x
s
z
y
y
s
� (10)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
t
z
x
x
t
z
y
y
t
(11)
Para compreender melhor como calcular as derivadas parciais de uma função 
de duas variáveis, acompanhe o exemplo a seguir.
Σxemρlo 10
Seja a função f(x, y) = z = x2 – 2y3x, em que x = x(s, t) = st2 e y = y(t) = s2et. Calcule 
as derivadas ∂
∂
z
s
 e ∂
∂
z
t
.
Solução
Usando a Equação (10), obtemos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
s
z
x
x
s
z
y
y
s
�
�
� �� � � �� �� �zs x y t xy e s
t2 2 6 23 2 2
� � � � � ��
�
�
�
�
� � � �� �� �� �2 2 6 22 2 3 2 2 2st s e t st s e e st t t²
(Continua)
Derivadas parciais 45
�
�
� �� � � � � � � �zs st s e t s t e st s t e s t e
t t t t2 2 12 2 2 122 6 3 2 6 2 3 4 6 2 3 6 2 3
�
�
� �
z
s
st s t e t2 144 6 2 3
Usando a Equação (11), obtemos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
z
t
z
x
x
t
z
y
y
t
�
�
� �� �� � � �� �� �zt x y st xy s e
t2 2 2 63 2 2
�= st s e st st s e s et t t2 2 2 62 2
3 2 2 2� � � � ��
�
�
�
�
� � � � � �� �� �� �²
�
�
� �� �� � � � � �zt st s e st s t e s t s te s t e
t t t t2 2 2 6 4 4 62 6 3 5 2 2 2 3 7 3 7 2 3
�
�
� �
z
t
s t s t e t4 102 3 7 3³
Na sequência, veremos as derivadas direcionais e como podemos entender as 
derivadas parciais como casos particulares delas.
2.4 Derivadas direcionais e vetor gradiente
Vídeo O gradiente de uma função composta por múltiplas variáveis – f(x1, ..., xn) – é for-
mado por todas as informações sobre suas derivadas parciais. Essas informações 
são apresentadas em formato de vetor, denotado por ∇f, com:
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
f
x
f
xn
1

Assumindo que
�
�
v t x t x t x t
x t
x t
x t
n
n
� � � � � � � � � �� � �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2
1
2, , ,
é uma função vetorial, então o gradiente de uma função f v t
 � �� � é também uma 
função vetorial.
O vetor gradiente aponta para a direção de crescimento da função. Assim, se 
vamos analisar uma situação, por exemplo, a partir do ponto (x0, y0) e desejamos 
entender em que direção a função f cresce (aumenta) mais rapidamente, calcula-
mos ∇f(x0, y0).
46 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
A definição de campo vetorial traz que: um campo vetorial associa um vetor a 
cada ponto no espaço.
Desse modo, interpretando ∇f como uma função vetorial e calculando o gra-
diente de f para diversos pontos do domínio de f, podemos visualizar esse resulta-
do como um campo de gradientes. Esse campo de gradientes vive no domínio de f, 
que é o plano xy.
Σxemρlo 11
Seja a função f(x, y) = sen xy diferenciável. O gradiente de f, ∇f, é dado por:
� � � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
f x y
y xy
x xy
,
cos
cos
O campo de gradientes de f pode ser visto nas figuras a seguir.
Figura 9
Função f(x, y) = sen xy
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 10
Campo de gradientes de f(x, y) = sen xy
Fonte: Elaborada pela autora.
Para saber mais sobre os 
campos vetoriais, sugeri-
mos que acesse o material 
da plataforma da Khan 
Academy disponibilizado 
no link a seguir. Nele é 
possível rever o conceito 
de campo vetorial, assistir 
a vídeos com exemplos 
e exercitar seu conheci-
mento.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/thinking-
-about-multivariable-function/
ways-to-represent-multivariable-
-functions/a/vector-fields. Acesso em: 
30 mar. 2021.
Site
Derivadas parciais 47
O gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à curva de nível que 
passa por esse ponto. Assim, se traçarmos as curvas de nível de uma função f(x, y) 
e nesse mesmo domínio traçarmos o campo de gradientes, conseguimos ter uma 
ideia bastante precisa sobre o comportamento dessa função.
Para compreender essa relação, analise a figura a seguir 1 .
Figura 11
Campo de gradientes e curvas de nível
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos uma ligação direta entre a regra da cadeia e as derivadas direcionais. 
Vamos entender esse processo na sequência.
2.4.1 Relação da derivada direcional e o vetor gradiente
Quando trabalhamos com as derivadas parciais, analisamos o comportamento 
de uma função em relação à direção dos eixos ordenados. As derivadas direcionais 
podem ser entendidas como uma expansão desse conceito.
Assim, se desejamos calcular a derivada direcional de uma função f, na direção 
de um vetor 

u, em relação a um ponto A = (x0, y0), precisamos calcular a taxa de 
variação de z na direção de 

u, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva obtida 
pela intersecção da superfície z com o plano vertical que passa por (x0, y0, 0) na 
direção de 

u.
Esta figura pode ser 
manipulada no GeoGebra 
on-line, disponível em: 
https://www.geogebra.
org/3d/gmpxsgqy. Acesso 
em: 30 mar. 2021.
1
48 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Figura 12
Derivada de f(x, y) em relação ao vetor au no ponto P 
Cr
ea
te
d 
by
 G
eo
Ge
br
a
Fonte: Dixiemath; Alberca, 2021.
Definição 5
Seja f(x, y) = z uma função de duas variáveis e 

u a b�� �, um vetor unitário. A derivada direcional de f 
em A = (x
0
, y
0
) na direção de 

u é escrita como:
D f x y
f x ha y hb f x y
hu h

0 0
0
0 0 0 0, lim
, ,� �� � �� �� � �
�
(12)
caso esse limite exista.
Algumas notações que representam a derivada direcional de uma função f na 
direção do vetor 

u são:
� �
�
�
� � � �   
u u u uf
f
u
f D f f´ (13)
Portanto, se f é uma função diferenciável, podemos escrever a derivada direcio-
nal por meio do produto escalar entre ∇f e 

u.
Teorema 3
Segundo Stewart (2017), seja f uma função de duas variáveis x e y diferenciável, 
∇f o gradiente de� ,� ,f u a b

� � � um vetor unitário, então:
D f f
x
a f
y
b
f
x
f
y
a
bu
f
�
� �� ��
�
�
�
�
� � � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
u
f u�� � �
(14)
Derivadas parciais 49
É comum trabalharmos com vetores normalizados, ou seja, versores, sendo que 
esse tipo de transformação (ajuste) no vetor é necessário nos casos de uso das de-
rivadas direcionais para o cálculo da inclinação.
Σxemρlo 12
Seja a função f x y x y,� � � �2 2 . Sabendo que D f x y f x y uu

, ,� � � � � � � , com u um ve-
tor unitário, calcule a derivada direcional de f no ponto P = (3, 4) na direção do vetor 

 
v i j� �3 4 .
Solução
O versor de 

v pode ser calculado por 
� �
�
� �
u v
v
= .
Assim:
� �
�
v � � �� � �3 4 52 2
Logo:

 
u i j�
�� �
� �
�
�
�
�
�
� � �
3 4
5
3
5
4
5
3
5
4
5
,
, .
Sendo:
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�f x y f
x
f
y
x
x y
y
x y
x
x y
i y
x
, , ,
2 2 2 2 2 2 2

�� y
j
2

Teremos:
� � � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �f � i j3 4 3
3 4
4
3 4
3
5
4
52 2 2 2
, ,
 
Portanto:
D f � f � �u 3 4 3 4
3
5
4
5
3
5
4
5
3
5
4
5
, , �·�� , , �·�� ,� � � � � � ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� � � � �
9
25
16
25
7
25
Com essa ferramenta, podemos não só calcular a derivada de uma função em 
diversas direções, mas também analisar o comportamento dessa função em pon-
tos específicos e direcionado por diferentes vetores.
2.4.2 A relação entre a regra da cadeia e as derivadas 
direcionais
Para entender esse processo, note que a expressão do produto escalar para a 
regra da cadeia para múltiplas variáveis se parece com uma derivada direcional:
� � �� � � � �f v t u t'  (15)
Esse fato não é uma coincidência. Quando escrevemos a derivada de 

u para um 
valor t0, 

u t' 0� �, o resultado desse processo estará no domínio de f:

u t
x t
y t
'
0
0
0
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
´
´
O GeoGebra é uma 
ferramenta computacio-
nal que permite visualizar 
diversos conceitos da 
matemática por meio de 
suas estruturas geométri-
cas. No material a seguir, 
o professor Waldecir 
Bianchini desenvolveu 
uma ferramenta intera-
tiva que mostra a inter-
pretação geométrica do 
gradiente de uma função 
de duas variáveis em um 
pontoP em relação à sua 
derivada direcional na 
direção do vetor unitário.
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/m5jfSAP6. Acesso 
em: 30 mar. 2021.
Site
Exemplos resolvidos de 
problemas envolvendo 
derivadas direcionais 
podem ser encontrados 
no material da plataforma 
da Khan Academy intitu-
lado Derivadas direcionais 
(introdução).
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/multivariable-
-calculus/multivariable-derivatives/
partial-derivative-and-gradient-ar-
ticles/a/directional-derivative-intro-
duction. Acesso em: 30 mar. 2021.
Leitura
50 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Por exemplo, se 

u t� �  for interpretado como a trajetória de uma partícula no 
momento t t ��u t'� � �0 0,

, dará o vetor velocidade dessa partícula naquele momento.
Com essa interpretação, a regra da cadeia nos diz que a derivada da função 
composta f u t
 � �� � é a derivada direcional de f ao longo da derivada de u t� �.
2.5 Valores máximo e mínimo
Vídeo No estudo das funções de uma variável, percebemos que uma das grandes apli-
cações das derivadas é no estudo de problemas de otimização. Para isso, é funda-
mental que ferramentas envolvendo a teoria de máximos e mínimos sejam usadas.
Isso não é diferente para as funções de múltiplas variáveis. Agora, no entanto, 
os pontos de máximo ou mínimo, locais ou globais, estarão localizados em hiperfí-
cies no  n, com n > 2.
Figura 13
Superfície com máximos e mínimos locais 
JM
at
th
ew
s/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Dessa forma, precisamos identificar em primeiro lugar se temos pontos críticos 
para que possamos verificar, na sequência, se esses pontos são de máximo ou 
mínimo. Essa análise é feita utilizando-se as derivadas parciais de primeira ordem.
Definição 6
Assumindo f uma função de duas variáveis e C = (x
0
, y
0
),
 
dizemos que essa função possui ponto crítico em 
C se 
�
�
� ��f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� ��f
y
x y0 0 0, , ou se uma das derivadas parciais não existir.
Derivadas parciais 51
Teorema 4
“Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (x0, y0) e as derivadas 
parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então �
�
� � �f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� � �f
y
x y0 0 0, ” (STEWART, 2017, p. 859).
Impondo a condição de que �
�
� � �f
x
x y0 0 0, e 
�
�
� � �f
y
x y0 0 0, em (7), ou seja, na 
equação 
h x y f x y f
x
x y x x f
y
x y y y, , , ,� � � � � � �
�
� � ��� �� �
�
�
� � ��� ��0 0 0 0 0 0 0 0
 obteremos h(x, y) = f(x0, y0).
Σxemρlo 13
Seja a função f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 representada pela figura a seguir.
Figura 14
Gráfico de f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 
Fonte: Elaborada pela autora.
Temos fx(x, y) = –8x
3 + 20xy – 4x e fy(x, y) = –12y
3 + 10x2 – 4y. Tomando fx(0, 0) = 0 
e fy(0, 0) = 0, o ponto (0, 0, 0) é um ponto crítico da função.
Acompanhe mais um exemplo.
Σxemρlo 14
Seja a função f(x, y) = –x3 + 4xy – 2y2 +1. Calcule os pontos críticos de f.
Solução
Fazemos:
fy = 4x – 4y = 0 (16)
e
fx = –3x
2 + 4y = 0 (17)
Para entender um pouco 
mais sobre o uso dessas 
definições e como avaliar 
se um ponto crítico é 
um ponto de máximo ou 
mínimo, local ou absoluto, 
sugerimos o material Má-
ximos, mínimos e pontos de 
sela, da plataforma da Khan 
Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applica-
tions-of-multivariable-derivatives/
optimizing-multivariable-functions/a/
maximums-minimums-and-saddle-
-points. Acesso em: 30 mar. 2021.
Leitura
Nem todos os pontos 
críticos são máximos ou 
mínimos.
Importante
(Continua)
52 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Tomando a Equação (16), temos que x = y. Substituindo esse resultado em (17), 
obtemos:
–3x2 + 4x = 0
Portanto, x(–3x + 4) = 0, logo x = 0 e x = 4
3
.
Com isso, temos que os pontos críticos de f estarão em A = (0, 0) e B � �
�
�
�
�
�
4
3
4
3
, .
Observe a figura a seguir para verificar o posicionamento desses pontos. Proje-
tadas no plano xy, podemos ver algumas curvas de nível dessa função.
Figura 15
Gráfico de f(x, y) = –x3 + 4xy – 2y2 + 1
Fonte: Elaborada pela autora.
Seguiremos com quatro definições que nos permitem analisar se os pontos crí-
ticos encontrados são pontos de máximo ou mínimo, local ou global.
Definição 7
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x
0
, y
0
) ∈ D(f) é ponto de máximo absoluto 
ou global de f se ∀ (x, y) ∈ D(f) ⇒ f(x, y) ≤ f(x
0
, y
0
).
 
Nesse caso, dizemos que f(x
0
, y
0
) é o valor máximo 
de f.
Definição 8
Dizemos que a função z = f(x, y) admite um máximo local no ponto (x
0
, y
0
) se existe um disco aberto R 
contendo (x
0
, y
0
) tal que f(x, y) ≤ f(x
0
, y
0
)
 
para todos os pontos (x, y) em R.
Para entender um pouco 
mais sobre o uso dessas 
definições e como avaliar 
se um ponto crítico é um 
ponto de máximo ou mí-
nimo, local ou absoluto, 
sugerimos o material Má-
ximos, mínimos e pontos 
de sela, da plataforma da 
Khan Academy.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
multivariable-calculus/applica-
tions-of-multivariable-derivatives/
optimizing-multivariable-func-
tions/a/maximums-minimums-
-and-saddle-points. Acesso em: 30 
mar. 2021.
Saiba mais
Derivadas parciais 53
Definição 9
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x
0
, y
0
) ∈ D(f) é ponto de mínimo absoluto ou 
global de f se ∀ (x, y) ∈ D(f) ⇒ f(x, y) ≥ f(x
0
, y
0
).
 
Nesse caso, dizemos que f(x
0
, y
0
) é o valor mínimo de f.
Definição 10
Dizemos que a função f(x
0
, y
0
) admite um mínimo local no ponto (x
0
, y
0
) se existe um disco aberto R 
contendo (x
0
, y
0
) tal que f(x
0
, y
0
) ≤ f(x, y) para todos os pontos (x, y) em R.
Contudo, analisar se uma função em determinado ponto é maior ou menor 
quando comparada a uma região pode não ser muito simples. Por esse motivo, 
usaremos o chamado teste da segunda derivada, que nos permitirá concluir o cará-
ter dos pontos críticos encontrados.
Teste da segunda derivada, baseado em Bianchini (2021) e Stewart (2017).
Suponha que f tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em um disco aberto com centro em 
um ponto crítico (x
0
, y
0
) de f. Denotaremos por A = f
xx
(x
0
, y
0
), B = f
xy
(x
0
, y
0
), C = f
yy
(x
0
, y
0
) e H = AC – B2. 
Então:
• Se H > 0 e A > 0, então f(x
0
, y
0
) é um mínimo local.
• Se H > 0 e A < 0, então f(x
0
, y
0
) é um máximo local.
• Se H < 0, então f(x
0
, y
0
) é um ponto de sela e o gráfico de f cruza seu plano tangente em (x
0
, y
0
).
• Se H = 0, nada podemos concluir.
Note que H
f f
f f
A B
B C
AC B f f fxx xy
xy yy
xx yy xy� � � � � � � �2
2
.
Σxemρlo 15
Seja a função f(x, y) = 10x2y – 2y2 – 2x2 – 2x4 – 3y4 (trabalhada no Exemplo 13). 
Temos ferramentas para analisar se o ponto crítico (0, 0, 0) é um ponto de máximo, 
mínimo ou ponto de sela.
Para isso, precisaremos encontrar as segundas derivadas. Assim, fazemos:
fxx = –24x
2 + 20y – 4, fyy = –36y
2 – 4 e fxy = fyx = 20x
Calculando em (x0, y0) = (0, 0), teremos:
f � x yxx 0 0 24 20 4 4
2, � �� � � � � � � �
f � yyy 0 0 36 4 4
2, � �� � � � � � �
f � f � xxy yx0 0 0 0 20 0, ,� � � � � � �
(Continua)
54 Cálculo para funções de múltiplas variáveis
Logo:
H �0 0
4 0
0 4
16 0 16 0,� � � �
�
� � � �
Portanto, como H > 0, temos um ponto de sela representado pelo ponto A = (0, 
0, 0) e que pode ser observado na Figura 14.
Acompanhe outro exemplo.
Σxemρlo 16
Usando o mesmo princípio, analisaremos os pontos críticos da função f(x, y) = 
–x3 + 4xy – 2y2 + 1 do Exemplo 14.
Como fy = 4x – 4y = 0 e fx = – 3x
2 + 4y = 0, então:
fxx = – 6x, fyy = – 4 e fxy = fyx = 4
Assim:
fxx(0, 0) = – 6x = 0, fyy(0, 0) = – 4
fxy(0, 0) = fyx(0, 0) = 4
H �0 0
0 4
4 4
0 16 16 0,� � �
�
� � � � �
Portanto, temos um ponto de sela, representado pelo ponto A = (0, 0, 1) na Fi-
gura 15.
Para analisar o ponto B � �
�
�
�
�
�
4
3
4
3
437
200
, , , vamos aproveitar as derivadas já calcula-
das. Assim:
f xxx � ��6 , fyy � ��4 e f fxy yx= = 4
Logo,