LISTA TRIG MAT 2

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<p>Aluno (a):</p><p>3a série</p><p>Turma:</p><p>Data: ____/05/2024</p><p>Professor: Nonô</p><p>Componente Curricular: Matemática</p><p>LISTA 8</p><p>ORIENTAÇÕES:</p><p>· Realize os exercícios no caderno procurando argumentar cada resposta, seja através de cálculos ou textualmente. Se necessário, peça um modelo de argumentação para o professor.</p><p>· Não é necessário copiar as perguntas.</p><p>Trigonometria no Triângulo Retângulo</p><p>Consideremos o triângulo abaixo:</p><p>Onde  = 90°(ângulo reto) e são ângulos agudos. As seguintes relações são definidas para os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Assim:</p><p>Seno = sen = sen =</p><p>Cosseno = cos = cos =</p><p>Tangente = tg = tg =</p><p>Cotangente = cotg =cotg=</p><p>Secante = sec=sec=</p><p>Cossecante = cosssec=cossec=</p><p>Relação Fundamentalsen2+ cos2=1 sen2+ cos2= 1</p><p>E.P.1. (Fatec-SP) Na figura, a medida do segmento AB é:</p><p>E.P.2. (Fuvest-SP) O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo em B é 0,8, qual o valor da tangente do ângulo Ĉ?</p><p>E.P.3.(UFMG) Na figura a seguir, a distância d vale:</p><p>TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER</p><p>Lei dos Cossenos</p><p>Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.</p><p>a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos Â</p><p>b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos</p><p>c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos</p><p>E.P.4. Determine o valor de x nos casos:</p><p>E.P.5. Determine a medida do ângulo x nos casos:</p><p>Lei dos Senos</p><p>Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual a medida do diâmetro da circunferência circunscrita.</p><p>E.P.6. (UNICAMP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência, tais que AB = 2 km, BC = 1 km e a medida do ângulo seja de 135°.</p><p>a) Calcule o raio dessa circunferência.</p><p>b) Calcule a área do triângulo ABC.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. (UCMG) No triângulo ABC da figura, a projeção de AB sobre o lado AC mede 1,5 cm, o ângulo mede 30° e o lado AC mede 4 cm. A medida do lado BC, em centímetros, é:</p><p>a) √13 b) 2√3 c) 3 d) 3√2 e) 5</p><p>E.F.2. (USP) Calcule o valor de x na figura:</p><p>a) x = 50 b) x = 60 c) x = 100 d) x =</p><p>e) x não pode ser determinado por falta de dados.</p><p>E.F.3. (VUNESP) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado na figura. O ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC. Assumindo o valor √3 = 1,7 e sabendo que AB = 2 km, BC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determine:</p><p>a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros;</p><p>b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo que o valor da corrida do táxi é dado pela função y = 4 + 0,8x, sendo x a distância percorrida em quilômetros e y o valor da corrida em reais.</p><p>E.F.4. Determine o valor de x a seguir:</p><p>E.F.5. Determine a medida do ângulo x abaixo:</p><p>E.F.6. (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um ângulo α com a horizontal. Após subir a rampa, esta pessoa estará h metros acima da posição em que se encontrava inicialmente como mostra a figura abaixo:</p><p>a) Que relação existe entre os valores de α, h e d?</p><p>b) Supondo α = 30º e h = 1 m, qual o valor de d?</p><p>E.F.7. (UNICAMP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência, tais que AB = 2 km, BC = 1km e a medida do ângulo seja de 135°.</p><p>a) Calcule o raio dessa circunferência.</p><p>b) Calcule a área do triângulo ABC.</p><p>E.F.8. (FUVEST) Na figura abaixo, AD = 2 cm, AB = √3 cm, a medida do ângulo BÂC é 30° e BD = DC, onde D é ponto do lado AC. A medida do lado BC, em centímetros, é:</p><p>a) √3</p><p>b) 2</p><p>c) √5</p><p>d) √6</p><p>e) √7</p><p>E.F.9. A tangente de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo vale o dobro da tangente do outro. Sabendo que a hipotenusa mede 1 m, quais os comprimentos dos catetos?</p><p>E.F.10. (EU-CE) Na figura, MNPQ é um trapézio isósceles, MN = 20 cm, QP = 10 cm e θ = 60°. Então, a área desse trapézio, em centímetros quadrados, é:</p><p>a) 55√3</p><p>b) 65√3</p><p>c) 75√3</p><p>d) 85√3</p><p>E.F.11. (PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Se sen θ = (k + 1)/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.</p><p>GABARITO</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. 10√3/3	 E.P.2. 0,75 E.P.3. 2 E.P.4. 14 E.P.5. 60°</p><p>E.P.6.a) km b) √2/2 km2</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. a E.F.2. a E.F.3. a) EF = 1,7 km e BD = 4 km b) R$ 13,60</p><p>E.F.4. 5 E.F.5. 20° E.F.6. a) senα = h/d ; b) d = 2 m. E.F.7. a) km b) √2/2 km2 E.F.8. a E.F.9. √3/3 m e √6/3 m E.F.10. c E.F.11. 96 cm2</p><p>Se c = 2πr, então , ou seja, o número real que expressa o ângulo raso (180º) é . Esta correspondência será usada para fazer conversões entre graus e os números reais.</p><p>Medidas de Arcos	Radianos</p><p>Define-se que</p><p>Onde c é o comprimento do arco sobre a circunferência de raio r.</p><p>Se c = r então = 1, que recebeu o nome de radiano.</p><p>Grau: É a medida de uma das partes da circunferência quando dividimos esta em 360 partes.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 314 km em torno de uma pista circular de raio 200 m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. Use π = 3,14.</p><p>Arco de circunferência: É cada uma das partes da circunferência quando a dividimos por dois de seus pontos.</p><p>Comprimento de um arco: determinaremos o comprimento através de uma regra de três simples e direta, onde:</p><p>O comprimento de arco pode também ser calculado em função do arco dado em radianos, veja:medida do arco comprimento</p><p>1 rad r</p><p>α ℓ</p><p>ângulo comprimento</p><p>360° 2πr</p><p>α ℓ</p><p>E.P.2. (FUVEST) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere a seguir, um arco A’B’ de 60° numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo – se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’ (ambos medidos em centímetros), obtém – se:</p><p>a) 11/6 b) 2 c) 11/3 d) 22/3 e) 11</p><p>Arcos Côngruos: São arcos de mesma extremidade, mas com a origem em A, que é a origem do ciclo trigonométrico.</p><p>Primeira determinação positiva de um arco: Dado um arco θ, este terá como primeira determinação positiva um outro arco α, côngruo a θ, tal que 0 α</p><p>+ cos2x = 1 cossecx = tg2x + 1 = sec2x</p><p>secx = cotg2x + 1 = cosec2x tgx =</p><p>Redução ao 1º Quadrante</p><p>Seja a um arco do 1º quadrante, temos:</p><p>→ Do 2° para o primeiro</p><p>sen(180° – a) = + sena cos(180° – a) = – cosa</p><p>tg(180° – a) = – tga cotg(180° – a) = – cogta</p><p>→ Do 3° para o primeiro</p><p>sen(π + a) = – sena cos(π + a) = – cosa</p><p>tg(π + a) = + tga cotg(π + a) = + cogta</p><p>→ Do 4° para o primeiro</p><p>sen(2π – a) = – sena sen(– a) = – sena</p><p>cos(2π – a) = + cosa cos(– a) = + cosa</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.</p><p>a) Determine o comprimento da circunferência dessa roda.</p><p>b) Quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m? Adote π = 3,14.</p><p>E.F.2. Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de 1690° na circunferência trigonométrica. Quantas voltas completas deu e em que quadrante parou?</p><p>E.F.3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:</p><p>a) – 1920° b) 17π/3 rad</p><p>E.F.4. (PUC) Se tg x = 2, a expressão é igual a:</p><p>a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) /3 e) 2/3</p><p>E.F.5. (ESAN) Simplificando a expressão y = , temos:</p><p>a) y = tgx b) y = cotgx c) y senx.cosx d) y = -senx e) y = - cosx</p><p>E.F.6. As razões trigonométricas de um ângulo α do segundo quadrante são tais que senα = 5/13. Calcule o valor das expressões:</p><p>a) A = cosα + tgα b) B =</p><p>E.F.7. (PUC) A expressão é igual a:</p><p>a) 1 b) 2 c) 2 sen x d) 2 sec x e) 2 cossec x</p><p>E.F.8. (PUC) O limite da soma sen2a + sen4a + ... + sen2na + ..., onde a ≠ kπ + π/2, k , é:</p><p>a) cos2a b) n.sen2a c) 2n.sena d) tga e) tg2a</p><p>GABARITO</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. 250 voltas E.P.2. c E.P.3. π/4 + 2kπ, k</p><p>E.P.4. a) 120° e α = 120° + k.360°, k b) 5π/4 e α = 5π/4 + 2kπ, k</p><p>E.P.5. a) b) 3 + E.P.6. – y = cotgx</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. a) 1,884 m b) 50 voltas</p><p>E.F.2. 4 voltas completas e parou no 3ª quadrante</p><p>E.F.3. a) 240° e α = 240° + k.360°, k b) π/3 e α = π/3 + 2kπ, k</p><p>E.F.4. b E.F.5. b E.F.6. a) A = -209/156 b) 79/156</p><p>E.F.7. e E.F.8. e</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>a) Função seno</p><p>b) Função cosseno</p><p>c) Função tangente</p><p>E.P.1. Determine o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função f(x) = senx</p><p>E.P.2. Determine o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função f(x) = - senx</p><p>E.P.3. Para que valores de m existe x tal que senx = 2m – 5?</p><p>E.P.4. Determine o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função dada por f(x) = cosx</p><p>E.P.5. Determine o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função dada por f(x) = 2.cosx</p><p>E.P.6. Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cos x = ?</p><p>E.P.7. Determine o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função dada por f(x) = tgx</p><p>E.P.8. Qual é o domínio da função real f tal que f(x) = tg2x?</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.2. Em cada caso abaixo, para que valores de m existe x satisfazendo a igualdade?</p><p>a) sen x = 2 – 5m b) sen x =</p><p>E.F.3. Qual é o domínio da funções reais?</p><p>a) f(x) = tg3x b) g(x) = tg (2x – π/3)</p><p>E.F.4. (Santa Casa) Seja a função f, definida por f(x) = sem x + cos x + cotg x + cossec x – tg x – sec x, x ≠ kπ/2 e k . O valor de f(π/3) é:</p><p>E.F.5. (MACK) O domínio da função f definida por f(x) = é:</p><p>E.F.6. (FUVEST) O menor valor de , com x real, é:</p><p>E.F.7. (UFP-RS) O conjunto imagem da função f: → , definida por f(x) = 2.sen x – 3, é o intervalo:</p><p>a) [-1; 1] b) [-5; 5] c) [-5; 1] d) [-1; 5] e) [-5; -1]</p><p>E.F.8. (UFES) O período da função f(x) = 4.(cos1/4x + 3) é:</p><p>a) 8π b) 7π c) 6π d) 3π e) 2π</p><p>E.F.9. (MACK) O domínio da função f(x) = sec(π/2 + x) é:</p><p>a) b) {x π/2 + kπ}</p><p>c) { x kπ, k } d) {x -1 ou x 1} e) n.r.a</p><p>E.F.10. (FGV) O gráfico abaixo representa a função:</p><p>a) y = tg x b) y = sen x c) y = sen x + cos x</p><p>d) y = sen 2x e) y = 2sen x</p><p>E.F.11. (PUC-SP)</p><p>A figura acima é parte do gráfico da função:</p><p>a) f(x) = 2.sen x/2 b) f(x) = 2.sen 2x c) f(x) = 1 + sen 2x</p><p>d) f(x) = 2.cos x/2 e) f(x) = 2.cos 2x</p><p>E.F.12. (UNIRIO) A equação senx = logx apresenta:</p><p>a) 1 solução b) 2 solução c) 3 solução</p><p>d) 4 solução e) mais de 4 soluções</p><p>E.F.13. (Cescem) se x ]π;3π/2[ e cos x = 2k – 1, então k varia no intervalo:</p><p>a) [-1;0] b) [-1;0[ c) ]0;1/2[ d) ]0;1[ e) ]1/2;1[</p><p>GABARITO</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. D = Im = {y / -1 y 1} Período = 2π</p><p>E.P.2.</p><p>p(f) = 2π</p><p>Im(f) = [-1, 1]</p><p>E.P.3. 2 m 3</p><p>E.P.4.</p><p>D =</p><p>Im = {y / -1 y 1}</p><p>Período = 2π</p><p>E.P.5.</p><p>p(f) = 2π</p><p>Im(f) = [-2, 2]</p><p>E.P.6. t -1/3 ou t 3</p><p>E.P.7.</p><p>D = {x / x π/2 + kπ, k } Im = Período = π</p><p>E.P.8. D(f) = {x /x π/4 + kπ/2, k }</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.2. a) 1/5 m 3/5 b) m 3/2</p><p>E.F.3. a) D(f) = {x /x π/6 + kπ/3, k }</p><p>b) D(f) = {x /x 5π/12 + kπ/2, k }</p><p>E.F.4. E.F.5. D = {x /x 3π/4 + kπ, k } E.F.6. 1/4</p><p>E.F.7. e E.F.8. a E.F.9. c E.F.10. b E.F.11. a E.F.12. c E.F.13. c</p><p>TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>Adição e subtração de Arcos</p><p>sen (a ± b) = sena cosb ± senb cosa</p><p>cos( a ± b)  = cosa cosb ±sena senb</p><p>tg(a b) =</p><p>Arco Duplo</p><p>sen2a= 2.sena.cosa</p><p>cos2a = cos2a - sen2a</p><p>tg2a =</p><p>Arco Metade</p><p>cos= ; sen= ; tg=</p><p>Transformação em Produto</p><p>sen p + sen q = 2 sen</p><p>sen p – sen q = 2 sen</p><p>cos p + cos q = 2cos</p><p>cos p – cos q = -2sen</p><p>tg p  tg q =</p><p>E.P.1. Determine sen 105°</p><p>E.P.2. Determine sen 15°</p><p>E.P.3. Determine cos 105°</p><p>E.P.4. Determien cos 75°</p><p>E.P.5. Determine tg 105°</p><p>E.P.6. Determine sen 2x, sabendo que sen x = 2/5 e x é do 1° quadrante.</p><p>E.P.7. Determine cos 2x, sendo sen x = -1/4 com x do 3° quadrante.</p><p>E.P.8. Determine tg 2x, sabendo que tg x = 5.</p><p>E.P.9. Calcule o valor de sen a/2, cosa/2 e tg a/2, sabendo que a = 30°.</p><p>E.P.10. Fatore: sen 10° + sen 80°</p><p>E.P.11. Fatore:</p><p>a) y = cos 15° + cos 25°</p><p>b) t = cos 15° - cos 25°</p><p>E.P.12. tg 2x + tg 4x</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. Sabendo que cosx = /2 com x do 1° quadrante, determine:</p><p>a) sen (x + π/3) b) cos (π/6 – x)</p><p>E.F.2. Calcule o valor da expressão sen 105° - cos 75°.</p><p>E.F.3. Calcule a cotg 165°, sec 255° e cossec 15°</p><p>E.F.4. Calcule os valores de:</p><p>a) sen 105° b) cos 75° c) sen 15°</p><p>d) cos (π/12) e) cos 105° f) tg 105°</p><p>E.F.5. Calcule tg(x + y) e tg(x – y):</p><p>a) tgx = 3 e tgy = 2</p><p>b) tgx = -5 e tg y = – 4</p><p>E.F.6. Determine: –</p><p>a) sen 2x, sabendo que sen x = 2/5 e x é do 1° quadrante.</p><p>b) cos 2x, sendo sen x = -1/4 com x do 3° quadrante.</p><p>c) tg 2x, sabendo que tg x = 5.</p><p>d) tg 2a, sendo sen a = 3/5 com 0</p><p>pé da torre.</p><p>a) 100/3 m b) 50m c) 50m d) l00m e) 100 m</p><p>E.F.10. (FAE/FAC) Se sen α = 1/3 se cos β = 1/4, e se α e β estão no 1o quadrante , então sen(α + β) é:</p><p>a) 7/12 b) c) 1/2 d) e) 1/12</p><p>E.F.11. (UC-MG) Se M = cos2x, para todo x real, é correto afirmar que M é igual a:</p><p>a) b) c)</p><p>d) e)</p><p>E.F.12. (UF-SE) A expressão sen2x + cos2x +2.sen2x é equivalente a:</p><p>a) 2.senx(1 + senx) b) (1 + cosx)2 c) (senx + cosx)2</p><p>d) 1 – 2.senx.cosx e) 1 + cos2x – sen2x</p><p>GABARITO</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. E.P.2. E.P.3. E.P.4.</p><p>E.P.5. E.P.6. E.P.7. 7/8 E.P.8. -5/12</p><p>E.P.9. sen a/2 = , cos a/2 = , tg a/2 =</p><p>E.P.10. .cos35° E.P.11. a) y = 2.cos20°.cos5° b) t = 2.sen20°.sen5°</p><p>E.P.12.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. a) 1 b)1 E.F.2. /2 E.F.3. -(2 + ) , -(),</p><p>E.F.4. a) b) c)</p><p>d) e) f)</p><p>E.F.5. a) tg(x + y) = -1 e tg(x – y) = 1/7</p><p>b) tg(x + y) = e tg(x – y) =</p><p>E.F.6. a) 4/25 b) 7/8 c) -5/12 d) 1 e) -12/5</p><p>E.F.7. a)1/2 b) /2 c) /3</p><p>E.F.8. a)/2 b) 1/2</p><p>E.F.9. b E.F.10. b E.F.11. c E.F.12. c</p><p>EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES</p><p>Uma equação é dita trigonométrica quando esta possui uma variável, ou mais de uma, submetida a alguma função trigonométrica.</p><p>De maneira geral, mesmo que seja muito complicada uma equação trigonométrica, podemos reduzi-la a uma equação de um dos seguintes tipos:</p><p>sen x = senα, cos x = cos α, tgx = tgα. Dessa forma, iremos chamar tais tipos de equações de fundamentais.</p><p>Resolução das equações fundamentais.</p><p>senx = senα</p><p>Para que α e x tenham o mesmo seno é necessário que estes tenham extremidades na mesma horizontal, ou seja simétrica em relação ao eixo dos senos.</p><p>Assim, com k , podemos dizer que α + 2kπ e (π – α) + 2kπ possuem o mesmo seno, podendo ser escritos da seguinte forma:</p><p>S = {x / x = α + 2kπ ou x = (π – α) + 2kπ, k }</p><p>cosx = cosα</p><p>Para que α e x tenham o mesmo seno é necessário que estes tenham extremidades na mesma vertical, ou seja simétrica em relação ao eixo dos cossenos. Assim, com k , podemos dizer que α + 2kπ e – α + 2kπ possuem o mesmo cosseno, podendo ser escritos da seguinte forma:</p><p>S = {x / x = α + 2kπ, k }</p><p>tgx = tgα</p><p>Equações desse tipo também tem duas possibilidades. Ou as extremidades de α e x se coincidem ou elas são simétricas em relação ao centro do ciclo. Dessa forma, temos:</p><p>S = {x / x = α + 2kπ ou x = (α + π) + 2kπ, k }, que de forma mais simplificada fica S = {x / x = α + kπ, k }</p><p>a) tgπ/4 = 1, (U = )</p><p>b) tgx = tg π/3, U = ]0, 2π[ - {π/2, 3π/2}</p><p>c) tg(x – π/4) = √3, com U = [0, π]</p><p>Resolução das inequações fundamentais.</p><p>De maneira geral, o mesmo ocorre com as inequações trigonométricas, podendo reduzi-las a uma inequação mais simples, as quais são:</p><p>sen x > m, cos x > m, tgx > m, sen x m ; sen x m ; cosx m ; tgx 1/2.</p><p>E.P.6. Resolva a inequação cosx > 1/2.</p><p>E.P.7. Resolva a inequação tg x -√3.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇAÕ</p><p>E.F.1. Resolva as seguintes equações, para x :</p><p>a) sen x = sen π/5</p><p>b) sen x = 0</p><p>c) sen x = 1/2</p><p>E.F.2. Resolva as equações abaixo, no domínio :</p><p>a) sen2 x = 1/4</p><p>b) sen2 x – sen x = 0</p><p>E.F.3. Resolva as seguintes equações:</p><p>a) sen2x = 1/2</p><p>b) sen(x – π/3) =</p><p>E.F.4. Resolva, em , as seguintes equações:</p><p>a) cos x = -1/2</p><p>b) cos x = -</p><p>E.F.5. Resolva as seguintes equações, em :</p><p>a) cos 2x = cos x</p><p>b) cos= 0</p><p>E.F.6. (UFMS) A soma das duas menores soluções positivas da equação sen(3x – π/4) = 0.</p><p>a) π/2 b) 3π/4 c) π</p><p>d) 3π/2 e) 2π</p><p>E.F.7. (CESCEA) A soma das raízes da equação 1 – 4.cos2x = 0, compreendidas entre zero e π, é:</p><p>a) π/3 b) π c) 3π/4</p><p>d) 5π/6 e) 7π/6</p><p>E.F.8. (UNIRIO) O menor valor real e positivo de x tal que 4-sen x = 1/2 é:</p><p>a) π b) π/2 c) π/3</p><p>d) π/4 e) π/6</p><p>E.F.9. (FCC - SP) O número de soluções da equação cos 2x = -1/2, no intervalo [-π; π], é:</p><p>a) 0 b) 1 c) 2</p><p>d) 3 e) 4</p><p>E.F.10. (OSEC) O conjunto solução da equação cos x = cos(π/3 – x) para 0</p><p>( com exceção do 1º e do último ) é a soma dos dois elementos da linha anterior, imediatamente acima dele.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. Calcule os elementos da seqüência</p><p>E.P.2. Resolva a equação .</p><p>BINÔMIO DE NEWTON</p><p>Muitas vezes estamos interessados em conhecer apenas um termo específico do desenvolvimento de (a + b)n, sem precisar escrever todos os seus termos. Para isso, é necessário encontrarmos uma expressão que possa representar qualquer termos do desenvolvimento de (a + b)n e, a partir dela, determinamos o termo procurado.</p><p>Observe o desenvolvimento</p><p>Cada uma das parcelas do segundo membro dessa igualdade é da forma:</p><p>Exemplos:</p><p>O termo geral de (x + 2)10 é (n = 10, a = 2):</p><p>O termo geral de (x2 - 3)13 é (n = 13, a = 3, x x2):</p><p>E.P.3. Utilizando o desenvolvimento de (x + a)n, calcule a soma .</p><p>Exemplos:</p><p>= 24 = 16</p><p>E.P.4. Calcule o 4o e o 7o termos do desenvolvimento de</p><p>E.P.5. Do desenvolvimento de encontre O termo independente de x.</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1.	Achar o termo independente de x no desenvolvimento de .</p><p>E.F.2.	Calcular o décimo primeiro termo de .</p><p>E.F.3. Encontrar o termo médio do desenvolvimento de .</p><p>E.F.4. Determinar o valor de n no desenvolvimento do binômio (x + a)n, sabendo-se que .</p><p>E.F.5. Achar o terceiro termo do desenvolvimento .</p><p>E.F.6. Determinar o antepenúltimo termo do desenvolvimento de .</p><p>E.P.7. Achar a soma e o produto das expressões .</p><p>E.P.8.	Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1 + x)n estão em progressão aritmética. determinar n.</p><p>E.P.9.	No desenvolvimento do binômio (a + b)n + 5, ordenado segundo as potências decrescentes de a, o quociente do termo que ocupa a posição (n + 3) pelo termo que ocupa a posição (n + 1) é 2b2/3a2. Determine n.</p><p>E.F.10.	Determine o coeficiente de x26 em (x2 – 2)5.(x + 3)20.</p><p>E.F.11.	Determine em função de m o somatório:</p><p>E.F.12. Resolva a equação .</p><p>E.F.13. Sejam n N*, p N, calcule:</p><p>E.F.14.	Calcule .</p><p>E.F.15.	Calcule: .</p><p>E.F.16.	Determine o coeficiente de x50 no desenvolvimento de</p><p>(1 + x)1000 + x(1 + x)999 + x2(1 + x)998 +...+ x1000 é:</p><p>a) 	b) 	c)</p><p>d) 	e)</p><p>E.F.17. Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de meios aritméticos e geométricos com razões positivas r e q, respectivamente. Sabe-se que o terceiro termo do desenvolvimento de em potências crescentes de 1/q é r/9q, determine r + q.</p><p>a) 60	b) 63	c) 67	d) 70	e) 80</p><p>E.F.18. (UFBA 1988) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.</p><p>E.F.19. (UFBA 1992) Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!</p><p>E.F.20. (PUCRJ 1993) Se (1 + x + x2)n = A0 + A1x + A2x2 + ... +A2nx2n, então A0 + A1 + A2 + ... +A2n vale:</p><p>a) 2n – 1	b) 3n	 	c) (3n + 1)/2</p><p>d) 3n/2		e) (3n – 1)/2</p><p>E.F.21. (CESGRANRIO) O valor de n na igualdade é:</p><p>a) 6	b) 7	c) 8	d) 9	e) 10</p><p>E.F.22. (UNIRIO) No desenvolvimento de (x + y)n, a diferença entre os coeficientes do 3º e do 2º termos é igual a 54. Podemos afirmar que o termo médio é o:</p><p>a) 3°	b) 4°	c) 5°	d) 6°	e) 7°</p><p>E.F.23. (MACK SP) Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:</p><p>a) 4 	b) 6 	c) 8 	d) 10 	e) 12</p><p>E.F.24. (FGV SP) Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:</p><p>a) 10	b) -10 	c) 20 	d) -20 	e) 36</p><p>E.F.25. (FUVEST) Lembrando que</p><p>A) Calcule</p><p>B) Simplifique a fração</p><p>C) Determine os inteiros n e p de modo que</p><p>E.P.25. (UNICAMP) O símbolo Cn , p é definido por para n p com 0! = 1. Estes números Cn , p são inteiros e aparecem como coeficientes no desenvolvimento de (a + b)n.</p><p>a) Mostre que Cn , p-1 + Cn , p = Cn+1 , p.</p><p>B) Seja S = Cn , 0 + Cn , 1 + ... + Cn , n. Calcule log 2 S.</p><p>E.P.26. (UFV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:</p><p>a) 5 	b) 6 	c)10 	d) 3 	e) 4</p><p>GABARITO</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>E.P.1. 1 ; 5 ; 10 ; 10 ; 5 ; 1</p><p>E.P.2. S = {3; 9}</p><p>E.P.3. 2n.</p><p>E.P.4. a) 15360x4</p><p>b) 3360.(1/x2)</p><p>E.P.5. 495</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>E.F.1. 28. 25.36; E.F.2. ;</p><p>E.F.3. 252; E.F.4. 7;</p><p>E.F.5. ; E.F.6. ;</p><p>E.F.7. P = 1;	S = 28+364 . 9 = 10084; E.F.8. 14 ou 7;</p><p>E.F.9. 4 ou -7 E.F.10. 375385;</p><p>E.F.11. ; E.F.12. 9;</p><p>E.F.13. 0; E.F.14. n.2n-1;</p><p>E.F.15. 231n; E.F.16. c;</p><p>E.F.17. c; E.F.18. 84;</p><p>E.F.19. 24 ; E.F.20. b;</p><p>E.F.21. c; E.F.22. c;</p><p>E.F.23. a; E.F.24. d;</p><p>E.F.25. a) 15;	b) 5/8;	c) P = 4; n = 14;</p><p>E.F.26. b) n; E.F.27. e;</p><p>image4.wmf</p><p>$</p><p>C</p><p>image35.emf</p><p>CabABcR</p><p>oleObject62.bin</p><p>image36.wmf</p><p>$</p><p>ABC</p><p>oleObject63.bin</p><p>image37.wmf</p><p>$</p><p>ABM</p><p>oleObject64.bin</p><p>image38.emf</p><p>ACMB</p><p>oleObject65.bin</p><p>image39.wmf</p><p>1003</p><p>2</p><p>oleObject66.bin</p><p>oleObject3.bin</p><p>image40.wmf</p><p>oleObject67.bin</p><p>image41.emf</p><p>ABCDEFH1 km3 km3,3 km2 km60o</p><p>oleObject68.bin</p><p>image42.wmf</p><p>oleObject69.bin</p><p>image43.wmf</p><p>oleObject70.bin</p><p>image44.wmf</p><p>h</p><p>d</p><p>oleObject71.bin</p><p>image5.wmf</p><p>catetooposto</p><p>hipotenusa</p><p>image45.wmf</p><p>$</p><p>ABC</p><p>oleObject72.bin</p><p>image46.emf</p><p>ABCD</p><p>oleObject73.bin</p><p>oleObject74.bin</p><p>image47.emf</p><p>MQPN</p><p>oleObject75.bin</p><p>oleObject76.bin</p><p>image48.wmf</p><p>1042</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject77.bin</p><p>oleObject4.bin</p><p>image49.wmf</p><p>p</p><p>a=</p><p>2r</p><p>r</p><p>oleObject78.bin</p><p>image50.wmf</p><p>p</p><p>oleObject79.bin</p><p>oleObject80.bin</p><p>oleObject81.bin</p><p>image51.wmf</p><p>1042</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject82.bin</p><p>image52.wmf</p><p>a=</p><p>c</p><p>r</p><p>oleObject83.bin</p><p>image6.wmf</p><p>Û</p><p>image53.wmf</p><p>a</p><p>oleObject84.bin</p><p>oleObject85.bin</p><p>oleObject86.bin</p><p>image54.emf</p><p>rcO</p><p>oleObject87.bin</p><p>image55.wmf</p><p>p</p><p>oleObject88.bin</p><p>image56.emf</p><p>Eixo dos senosEixo dos cossenosOI QuadranteIII QuadranteII QuadranteIV QuadranteSentido positivo (+)0 = 360 = 0 rad = 2 radoo2rad90 =orad180 =o2 Rad270 =o3Semi - eixo das tangentes (+)Sentido negativo ( )P(a,b)1sen cos tg sen ( ) cos ( ) sen (+) cos ( ) sen ( ) cos ( ) +sen ( ) cos ( ) ++Semi - eixo das tangentes ( ) A(y)(x)tT</p><p>oleObject89.bin</p><p>oleObject5.bin</p><p>image57.emf</p><p>2121133232222323sen cos tg 304560OOORazãoÂngulo</p><p>oleObject90.bin</p><p>image58.wmf</p><p>1</p><p>senx</p><p>oleObject91.bin</p><p>image59.wmf</p><p>1</p><p>cosx</p><p>oleObject92.bin</p><p>image60.wmf</p><p>senx</p><p>cosx</p><p>oleObject93.bin</p><p>image61.wmf</p><p>2cosx</p><p>3senx</p><p>oleObject94.bin</p><p>image7.wmf</p><p>$</p><p>B</p><p>image62.wmf</p><p>5</p><p>oleObject95.bin</p><p>image63.wmf</p><p>5</p><p>oleObject96.bin</p><p>image64.wmf</p><p>cos(2x).cos(x)</p><p>sen(x).sen(/xx)</p><p>p-p-</p><p>p+p-</p><p>oleObject97.bin</p><p>image65.wmf</p><p>seccotg</p><p>cossec</p><p>a-a</p><p>a</p><p>oleObject98.bin</p><p>image66.wmf</p><p>senx1cosx</p><p>1cosxsenx</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>oleObject99.bin</p><p>oleObject6.bin</p><p>image67.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject100.bin</p><p>image68.wmf</p><p>Î</p><p>¢</p><p>oleObject101.bin</p><p>image69.wmf</p><p>32</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject102.bin</p><p>image70.wmf</p><p>2</p><p>oleObject103.bin</p><p>image71.wmf</p><p>t2</p><p>2t1</p><p>+</p><p>-</p><p>oleObject104.bin</p><p>image8.wmf</p><p>b</p><p>a</p><p>image72.wmf</p><p>m1</p><p>m2</p><p>-</p><p>-</p><p>oleObject105.bin</p><p>image73.wmf</p><p>"</p><p>oleObject106.bin</p><p>image74.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject107.bin</p><p>image75.wmf</p><p>¢</p><p>oleObject108.bin</p><p>image76.wmf</p><p>senx</p><p>senxcosx</p><p>+</p><p>oleObject109.bin</p><p>oleObject7.bin</p><p>image77.wmf</p><p>1</p><p>3cosx</p><p>-</p><p>oleObject110.bin</p><p>image78.wmf</p><p>¡</p><p>oleObject111.bin</p><p>image79.wmf</p><p>¹</p><p>oleObject112.bin</p><p>oleObject113.bin</p><p>image80.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject114.bin</p><p>image81.emf</p><p>1yx23220</p><p>oleObject8.bin</p><p>oleObject115.bin</p><p>image82.emf</p><p>yx20-222-</p><p>oleObject116.bin</p><p>image83.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject117.bin</p><p>image84.wmf</p><p>¡</p><p>oleObject118.bin</p><p>image85.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject119.bin</p><p>image86.wmf</p><p>£</p><p>image9.wmf</p><p>µ</p><p>C</p><p>oleObject120.bin</p><p>oleObject121.bin</p><p>image87.emf</p><p>BB’1AA’OMNsen xy</p><p>oleObject122.bin</p><p>oleObject123.bin</p><p>image88.emf</p><p>f(x) = senxx23221-10</p><p>oleObject124.bin</p><p>image89.emf</p><p>-11senoídeyx23220</p><p>oleObject125.bin</p><p>image90.emf</p><p>BB’1AA’OMycos Px</p><p>oleObject9.bin</p><p>oleObject126.bin</p><p>oleObject127.bin</p><p>image91.emf</p><p>f(x) = cosxx23221-10</p><p>oleObject128.bin</p><p>oleObject129.bin</p><p>oleObject130.bin</p><p>oleObject131.bin</p><p>oleObject132.bin</p><p>image92.emf</p><p>xxxx2222232323232222yyyy02-202-202-202-2</p><p>oleObject133.bin</p><p>image10.wmf</p><p>c</p><p>a</p><p>image93.emf</p><p>TBB’1AA’OMNxytg</p><p>oleObject134.bin</p><p>oleObject135.bin</p><p>image94.emf</p><p>x32202f(x) = tgx</p><p>oleObject136.bin</p><p>oleObject137.bin</p><p>image95.wmf</p><p>¹</p><p>oleObject138.bin</p><p>oleObject139.bin</p><p>image96.wmf</p><p>¢</p><p>oleObject10.bin</p><p>oleObject140.bin</p><p>oleObject141.bin</p><p>image97.wmf</p><p>Î</p><p>oleObject142.bin</p><p>image98.wmf</p><p>¡</p><p>oleObject143.bin</p><p>image99.wmf</p><p>¹</p><p>oleObject144.bin</p><p>oleObject145.bin</p><p>image100.wmf</p><p>¢</p><p>image11.wmf</p><p>catetoadjacente</p><p>hipotenusa</p><p>oleObject146.bin</p><p>oleObject147.bin</p><p>image101.wmf</p><p>¡</p><p>oleObject148.bin</p><p>oleObject149.bin</p><p>oleObject150.bin</p><p>image102.wmf</p><p>¢</p><p>oleObject151.bin</p><p>oleObject152.bin</p><p>oleObject153.bin</p><p>oleObject11.bin</p><p>oleObject154.bin</p><p>oleObject155.bin</p><p>oleObject156.bin</p><p>image103.wmf</p><p>33</p><p>2</p><p>-</p><p>oleObject157.bin</p><p>oleObject158.bin</p><p>image104.wmf</p><p>¡</p><p>oleObject159.bin</p><p>image105.wmf</p><p>¹</p><p>oleObject160.bin</p><p>oleObject12.bin</p><p>oleObject161.bin</p><p>image106.wmf</p><p>¢</p><p>oleObject162.bin</p><p>image107.wmf</p><p>±</p><p>oleObject163.bin</p><p>image108.wmf</p><p>±</p><p>m</p><p>tgatgb</p><p>1tga.tgb</p><p>oleObject164.bin</p><p>image109.wmf</p><p>-</p><p>2</p><p>2tga</p><p>1tga</p><p>oleObject165.bin</p><p>image110.wmf</p><p>a</p><p>2</p><p>oleObject13.bin</p><p>oleObject166.bin</p><p>image111.wmf</p><p>+</p><p>±</p><p>1cosx</p><p>2</p><p>oleObject167.bin</p><p>oleObject168.bin</p><p>image112.wmf</p><p>-</p><p>±</p><p>1cosx</p><p>2</p><p>oleObject169.bin</p><p>oleObject170.bin</p><p>image113.wmf</p><p>-</p><p>±</p><p>+</p><p>1cosx</p><p>1cosx</p><p>oleObject171.bin</p><p>image114.wmf</p><p>+-</p><p>æöæö</p><p>ç÷ç÷</p><p>èøèø</p><p>pqpq</p><p>.cos</p><p>22</p><p>image12.wmf</p><p>c</p><p>a</p><p>oleObject172.bin</p><p>image115.wmf</p><p>-+</p><p>æöæö</p><p>ç÷ç÷</p><p>èøèø</p><p>pqpq</p><p>.cos</p><p>22</p><p>oleObject173.bin</p><p>oleObject174.bin</p><p>image116.wmf</p><p>+-</p><p>æöæö</p><p>ç÷ç÷</p><p>èøèø</p><p>pqpq</p><p>.sen</p><p>22</p><p>oleObject175.bin</p><p>oleObject176.bin</p><p>image117.wmf</p><p>±</p><p>sen(pq)</p><p>cosp.cosq</p><p>oleObject177.bin</p><p>image118.wmf</p><p>3</p><p>oleObject14.bin</p><p>oleObject178.bin</p><p>oleObject179.bin</p><p>image119.wmf</p><p>$</p><p>B</p><p>oleObject180.bin</p><p>oleObject181.bin</p><p>image120.png</p><p>oleObject182.bin</p><p>image121.wmf</p><p>2</p><p>oleObject183.bin</p><p>oleObject184.bin</p><p>oleObject15.bin</p><p>oleObject185.bin</p><p>image122.wmf</p><p>1230</p><p>12</p><p>+</p><p>oleObject186.bin</p><p>image123.wmf</p><p>235</p><p>5</p><p>-</p><p>oleObject187.bin</p><p>image124.wmf</p><p>1sen2x</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject188.bin</p><p>image125.wmf</p><p>1sen2x</p><p>2</p><p>-</p><p>oleObject189.bin</p><p>image126.wmf</p><p>1cos2x</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject16.bin</p><p>oleObject190.bin</p><p>image127.wmf</p><p>1cos2x</p><p>2</p><p>-</p><p>oleObject191.bin</p><p>image128.wmf</p><p>2</p><p>cos2x</p><p>2</p><p>æö</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject192.bin</p><p>image129.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>+</p><p>oleObject193.bin</p><p>image130.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject194.bin</p><p>image131.wmf</p><p>26</p><p>4</p><p>-</p><p>image13.wmf</p><p>b</p><p>a</p><p>oleObject195.bin</p><p>image132.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject196.bin</p><p>image133.wmf</p><p>62</p><p>26</p><p>+</p><p>-</p><p>oleObject197.bin</p><p>image134.wmf</p><p>421</p><p>25</p><p>oleObject198.bin</p><p>image135.wmf</p><p>23</p><p>2</p><p>-</p><p>oleObject199.bin</p><p>image136.wmf</p><p>23</p><p>2</p><p>+</p><p>oleObject17.bin</p><p>oleObject200.bin</p><p>image137.wmf</p><p>23</p><p>-</p><p>oleObject201.bin</p><p>image138.wmf</p><p>2</p><p>oleObject202.bin</p><p>image139.wmf</p><p>sen6x</p><p>cos2x.cos4x</p><p>oleObject203.bin</p><p>image140.wmf</p><p>2</p><p>oleObject204.bin</p><p>oleObject205.bin</p><p>image14.wmf</p><p>catetooposto</p><p>catetoadjacente</p><p>image141.wmf</p><p>62</p><p>+</p><p>oleObject206.bin</p><p>image142.wmf</p><p>62</p><p>+</p><p>oleObject207.bin</p><p>image143.wmf</p><p>26</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject208.bin</p><p>image144.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject209.bin</p><p>image145.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject210.bin</p><p>oleObject18.bin</p><p>image146.wmf</p><p>62</p><p>4</p><p>+</p><p>oleObject211.bin</p><p>image147.wmf</p><p>26</p><p>4</p><p>-</p><p>oleObject212.bin</p><p>image148.wmf</p><p>62</p><p>26</p><p>+</p><p>-</p><p>oleObject213.bin</p><p>image149.wmf</p><p>23</p><p>16</p><p>+</p><p>-</p><p>oleObject214.bin</p><p>image150.wmf</p><p>23</p><p>16</p><p>-</p><p>+</p><p>oleObject215.bin</p><p>oleObject19.bin</p><p>image151.wmf</p><p>21</p><p>oleObject216.bin</p><p>oleObject217.bin</p><p>oleObject218.bin</p><p>oleObject219.bin</p><p>image152.wmf</p><p>3/2</p><p>oleObject220.bin</p><p>image153.wmf</p><p>2/2</p><p>oleObject221.bin</p><p>image154.wmf</p><p>x</p><p>6</p><p>p</p><p>æö</p><p>+</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>image15.wmf</p><p>b</p><p>c</p><p>oleObject222.bin</p><p>image155.wmf</p><p>¢</p><p>oleObject223.bin</p><p>oleObject224.bin</p><p>oleObject225.bin</p><p>oleObject226.bin</p><p>oleObject227.bin</p><p>image156.wmf</p><p>n!</p><p>p!(np)!</p><p>-</p><p>oleObject228.bin</p><p>image157.wmf</p><p>n</p><p>p</p><p>æö</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject20.bin</p><p>oleObject229.bin</p><p>image158.wmf</p><p>1010</p><p>e</p><p>82</p><p>æöæö</p><p>ç÷ç÷</p><p>èøèø</p><p>oleObject230.bin</p><p>image159.wmf</p><p>nn</p><p>e</p><p>pq</p><p>æöæö</p><p>ç÷ç÷</p><p>èøèø</p><p>oleObject231.bin</p><p>image160.png</p><p>image161.png</p><p>image162.png</p><p>oleObject21.bin</p><p>image163.wmf</p><p>555555</p><p>,,,,,</p><p>012345</p><p>æöæöæöæöæöæö</p><p>ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷</p><p>èøèøèøèøèøèø</p><p>oleObject232.bin</p><p>image164.wmf</p><p>1010</p><p>x12</p><p>æöæö</p><p>=</p><p>ç÷ç÷</p><p>-</p><p>èøèø</p><p>oleObject233.bin</p><p>image165.wmf</p><p>N</p><p>n</p><p>,</p><p>a</p><p>x</p><p>n</p><p>n</p><p>...</p><p>a</p><p>x</p><p>p</p><p>n</p><p>...</p><p>a</p><p>x</p><p>2</p><p>n</p><p>a</p><p>x</p><p>1</p><p>n</p><p>a</p><p>x</p><p>0</p><p>n</p><p>)</p><p>a</p><p>x</p><p>(</p><p>0</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>0</p><p>n</p><p>Î</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>=</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>oleObject234.bin</p><p>image166.wmf</p><p>pnp</p><p>p1</p><p>n</p><p>Txa</p><p>p</p><p>-</p><p>+</p><p>æö</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject235.bin</p><p>image167.wmf</p><p>nnnn</p><p>...</p><p>012n</p><p>æöæöæöæö</p><p>++++</p><p>ç÷ç÷ç÷ç÷</p><p>èøèøèøèø</p><p>oleObject22.bin</p><p>oleObject236.bin</p><p>image168.wmf</p><p>44444</p><p>01234</p><p>æöæöæöæöæö</p><p>++++</p><p>ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷</p><p>èøèøèøèøèø</p><p>oleObject237.bin</p><p>image169.wmf</p><p>8</p><p>888888</p><p>...2256</p><p>012348</p><p>æöæöæöæöæöæö</p><p>++++++==</p><p>ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷</p><p>èøèøèøèøèøèø</p><p>oleObject238.bin</p><p>image170.wmf</p><p>10</p><p>1</p><p>2x</p><p>x</p><p>æö</p><p>+</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject239.bin</p><p>image171.wmf</p><p>12</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>æö</p><p>-</p><p>ç÷</p><p>èø</p><p>oleObject240.bin</p><p>image172.wmf</p><p>8</p><p>3</p><p>x</p><p>5</p><p>3x</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>image16.wmf</p><p>c</p><p>b</p><p>oleObject241.bin</p><p>image173.wmf</p><p>25</p><p>3b</p><p>y</p><p>2a</p><p>x</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>oleObject242.bin</p><p>image174.wmf</p><p>10</p><p>a</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>oleObject243.bin</p><p>image175.wmf</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>x</p><p>a</p><p>.</p><p>5</p><p>3</p><p>T</p><p>T</p><p>=</p><p>-</p><p>-</p><p>oleObject244.bin</p><p>image176.wmf</p><p>5</p><p>1</p><p>a</p><p>x</p><p>a</p><p>3</p><p>1</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>-</p><p>oleObject245.bin</p><p>image177.wmf</p><p>11</p><p>3</p><p>a</p><p>a</p><p>11a</p><p>a</p><p>÷</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>oleObject23.bin</p><p>oleObject246.bin</p><p>image178.wmf</p><p>(</p><p>)</p><p>(</p><p>)</p><p>7</p><p>7</p><p>3</p><p>2</p><p>B</p><p>;</p><p>3</p><p>2</p><p>A</p><p>-</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>oleObject247.bin</p><p>image179.wmf</p><p>å</p><p>å</p><p>å</p><p>-</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>=</p><p>2</p><p>m</p><p>0</p><p>n</p><p>m</p><p>0</p><p>k</p><p>n</p><p>0</p><p>i</p><p>k</p><p>i</p><p>k</p><p>S</p><p>oleObject248.bin</p><p>image180.wmf</p><p>n</p><p>10</p><p>)</p><p>!</p><p>n</p><p>(</p><p>)!</p><p>1</p><p>n</p><p>(</p><p>)!</p><p>1</p><p>n</p><p>(</p><p>2</p><p>=</p><p>-</p><p>+</p><p>oleObject249.bin</p><p>image181.wmf</p><p>å</p><p>=</p><p>-</p><p>-</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>×</p><p>-</p><p>×</p><p>-</p><p>×</p><p>-</p><p>n</p><p>0</p><p>p</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>p</p><p>p</p><p>n</p><p>)</p><p>1</p><p>(</p><p>)</p><p>1</p><p>(</p><p>)</p><p>1</p><p>(</p><p>oleObject250.bin</p><p>image182.wmf</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>3</p><p>n</p><p>3</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>n</p><p>L</p><p>image17.wmf</p><p>catetoadjacente</p><p>catetooposto</p><p>oleObject251.bin</p><p>image183.wmf</p><p>ú</p><p>ú</p><p>û</p><p>ù</p><p>ê</p><p>ê</p><p>ë</p><p>é</p><p>×</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>×</p><p>ú</p><p>ú</p><p>û</p><p>ù</p><p>ê</p><p>ê</p><p>ë</p><p>é</p><p>×</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>å</p><p>å</p><p>=</p><p>=</p><p>n</p><p>0</p><p>k</p><p>k</p><p>n</p><p>0</p><p>k</p><p>k</p><p>20</p><p>k</p><p>n</p><p>10</p><p>k</p><p>n</p><p>oleObject252.bin</p><p>image184.wmf</p><p>50</p><p>1000</p><p>C</p><p>oleObject253.bin</p><p>image185.wmf</p><p>51</p><p>1000</p><p>C</p><p>oleObject254.bin</p><p>image186.wmf</p><p>50</p><p>1001</p><p>C</p><p>oleObject255.bin</p><p>image187.wmf</p><p>51</p><p>1001</p><p>C</p><p>oleObject24.bin</p><p>oleObject256.bin</p><p>image188.wmf</p><p>49</p><p>1001</p><p>C</p><p>oleObject257.bin</p><p>image189.wmf</p><p>8</p><p>q</p><p>1</p><p>1</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>oleObject258.bin</p><p>image190.wmf</p><p>å</p><p>-</p><p>=</p><p>=</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>1</p><p>n</p><p>1</p><p>p</p><p>254</p><p>p</p><p>n</p><p>oleObject259.bin</p><p>image191.wmf</p><p>)!</p><p>p</p><p>n</p><p>(</p><p>!</p><p>p</p><p>!</p><p>n</p><p>p</p><p>n</p><p>-</p><p>=</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>oleObject260.bin</p><p>image192.wmf</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>4</p><p>6</p><p>oleObject25.bin</p><p>oleObject261.bin</p><p>image193.wmf</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>5</p><p>12</p><p>4</p><p>12</p><p>oleObject262.bin</p><p>image194.wmf</p><p>3</p><p>2</p><p>p</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>p</p><p>n</p><p>1</p><p>p</p><p>n</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>=</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>=</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>oleObject263.bin</p><p>image195.wmf</p><p>)!</p><p>p</p><p>n</p><p>(</p><p>!</p><p>p</p><p>!</p><p>n</p><p>-</p><p>oleObject264.bin</p><p>image196.wmf</p><p>15</p><p>10</p><p>b</p><p>3</p><p>y</p><p>a</p><p>2</p><p>x</p><p>10</p><p>25</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>-</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>oleObject265.bin</p><p>image197.wmf</p><p>a</p><p>9</p><p>x</p><p>10</p><p>oleObject26.bin</p><p>oleObject266.bin</p><p>image198.wmf</p><p>7</p><p>8</p><p>a</p><p>11</p><p>5</p><p>-</p><p>oleObject267.bin</p><p>image199.wmf</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>-</p><p>÷</p><p>÷</p><p>ø</p><p>ö</p><p>ç</p><p>ç</p><p>è</p><p>æ</p><p>+</p><p>+</p><p>oleObject268.bin</p><p>image18.wmf</p><p>c</p><p>b</p><p>oleObject27.bin</p><p>image1.png</p><p>oleObject28.bin</p><p>oleObject29.bin</p><p>image19.wmf</p><p>b</p><p>c</p><p>oleObject30.bin</p><p>image20.wmf</p><p>1</p><p>cosseno</p><p>oleObject31.bin</p><p>image21.wmf</p><p>Û</p><p>oleObject32.bin</p><p>oleObject33.bin</p><p>image22.wmf</p><p>a</p><p>c</p><p>image2.emf</p><p>ABCabc</p><p>oleObject34.bin</p><p>oleObject35.bin</p><p>oleObject36.bin</p><p>image23.wmf</p><p>a</p><p>b</p><p>oleObject37.bin</p><p>image24.wmf</p><p>1</p><p>seno</p><p>oleObject38.bin</p><p>oleObject39.bin</p><p>oleObject40.bin</p><p>oleObject41.bin</p><p>oleObject1.bin</p><p>oleObject42.bin</p><p>oleObject43.bin</p><p>oleObject44.bin</p><p>image25.wmf</p><p>®</p><p>oleObject45.bin</p><p>oleObject46.bin</p><p>oleObject47.bin</p><p>image26.wmf</p><p>Û</p><p>oleObject48.bin</p><p>oleObject49.bin</p><p>image3.wmf</p><p>$</p><p>B</p><p>oleObject50.bin</p><p>image27.emf</p><p>oleObject51.bin</p><p>image28.emf</p><p>oleObject52.bin</p><p>image29.wmf</p><p>$</p><p>B</p><p>oleObject53.bin</p><p>image30.wmf</p><p>$</p><p>C</p><p>oleObject54.bin</p><p>oleObject55.bin</p><p>oleObject2.bin</p><p>oleObject56.bin</p><p>image31.emf</p><p>aCcBAb</p><p>oleObject57.bin</p><p>image32.wmf</p><p>oleObject58.bin</p><p>image33.wmf</p><p>oleObject59.bin</p><p>image34.wmf</p><p>µ</p><p>$</p><p>$</p><p>abc</p><p>2R</p><p>senbsenc</p><p>sena</p><p>===</p><p>oleObject60.bin</p><p>oleObject61.bin</p>